In dieser Lektion sehen wir uns die Funktionen an Umkehrfunktionen und wiederholen inverse trigonometrische Funktionen. Separat werden die Eigenschaften aller wichtigen inversen trigonometrischen Funktionen betrachtet: Arkussinus, Arkuskosinus, Arkustangens und Arkuskotangens.

Diese Lektion hilft Ihnen bei der Vorbereitung auf eine der Aufgabenarten. UM 7 und C1.

Vorbereitung auf die Prüfung in Mathematik

Experiment

Lektion 9

Theorie

Zusammenfassung der Lektion

Erinnern Sie sich, wann wir auf ein solches Konzept als Umkehrfunktion gestoßen sind. Betrachten Sie zum Beispiel die Quadrierfunktion. Angenommen, wir haben einen quadratischen Raum mit einer Seitenlänge von 2 Metern und wir möchten seine Fläche berechnen. Dazu quadrieren wir gemäß der Square-Sparing-Formel eine Zwei und erhalten als Ergebnis 4 m 2. Stellen Sie sich nun das umgekehrte Problem vor: Wir kennen die Fläche eines quadratischen Raums und wollen die Längen seiner Seiten ermitteln. Wenn wir wissen, dass die Fläche immer noch die gleichen 4 m 2 ist, führen wir die umgekehrte Aktion zum Quadrieren durch - das Ziehen der arithmetischen Quadratwurzel, was uns einen Wert von 2 m ergibt.

Somit besteht für die Funktion zum Quadrieren einer Zahl die Umkehrfunktion darin, die arithmetische Quadratwurzel zu ziehen.

Speziell in diesem Beispiel hatten wir keine Probleme mit der Berechnung der Raumseite, weil Wir verstehen, dass dies eine positive Zahl ist. Wenn wir uns jedoch von diesem Fall lösen und das Problem allgemeiner betrachten: „Berechnen Sie eine Zahl, deren Quadrat vier ist“, werden wir auf ein Problem stoßen – es gibt zwei solcher Zahlen. Das sind 2 und -2, weil ist ebenfalls gleich vier. Es stellt sich heraus, dass das inverse Problem im allgemeinen Fall mehrdeutig gelöst wird, und die Aktion zur Bestimmung der Zahl, die zum Quadrat die uns bekannte Zahl ergab? hat zwei Ergebnisse. Es ist bequem, dies in einer Grafik darzustellen:

Und das bedeutet, dass wir ein solches Zahlenkorrespondenzgesetz nicht Funktion nennen können, da einer Funktion ein Wert des Arguments entspricht streng eins Funktionswert.

Um genau die Umkehrfunktion beim Quadrieren einzuführen, wurde das Konzept einer arithmetischen Quadratwurzel vorgeschlagen, die nur nicht negative Werte liefert. Jene. für eine Funktion wird die Umkehrfunktion als betrachtet.

In ähnlicher Weise gibt es Funktionen, die zu trigonometrischen invers sind, sie werden genannt inverse trigonometrische Funktionen. Jede der betrachteten Funktionen hat ihre eigene Inverse, sie heißen: Arkussinus, Arkuskosinus, Arkustangens und Arkuskotangens.

Diese Funktionen lösen das Problem der Winkelberechnung aus einem bekannten Wert einer trigonometrischen Funktion. Anhand der Wertetabelle der wichtigsten trigonometrischen Funktionen können Sie beispielsweise den Sinus berechnen, dessen Winkel gleich ist. Wir finden diesen Wert in der Sinuslinie und bestimmen, welchem ​​Winkel er entspricht. Das erste, was Sie beantworten möchten, ist, dass dies ein Winkel oder ist. Wenn Sie jedoch eine Wertetabelle bis zu haben, werden Sie sofort einen anderen Anwärter auf die Antwort bemerken - dies ist ein Winkel oder. Und wenn wir uns an die Periode des Sinus erinnern, werden wir verstehen, dass es unendlich viele Winkel gibt, bei denen der Sinus gleich ist. Und ein solcher Satz von Winkelwerten, der einem bestimmten Wert der trigonometrischen Funktion entspricht, wird auch für Kosinus, Tangente und Kotangens beobachtet, weil Sie alle haben Periodizität.

Jene. Wir stoßen auf das gleiche Problem, da wir den Wert des Arguments aus dem Wert der Funktion für die Quadrierungsaktion berechnen mussten. Und in diesem Fall wurde für inverse trigonometrische Funktionen eine Begrenzung des Wertebereichs eingeführt, den sie bei der Berechnung angeben. Diese Eigenschaft solcher Umkehrfunktionen heißt Bereichsverengung, und es ist notwendig, damit sie Funktionen genannt werden können.

Für jede der inversen trigonometrischen Funktionen hat der Winkelbereich, den sie zurückgibt, einen eigenen, und wir werden sie separat betrachten. Der Arkussinus liefert beispielsweise Winkelwerte im Bereich von bis .

Die Fähigkeit, mit inversen trigonometrischen Funktionen zu arbeiten, wird uns beim Lösen trigonometrischer Gleichungen nützlich sein.

Jetzt werden wir die Haupteigenschaften jeder der inversen trigonometrischen Funktionen angeben. Wer sie genauer kennenlernen möchte, sei auf das Kapitel „Lösung trigonometrischer Gleichungen“ im Programm der 10. Klasse verwiesen.

Betrachten Sie die Eigenschaften der Arkussinusfunktion und zeichnen Sie ihren Graphen.

Definition.Der Arkussinus einer Zahlx

Die Haupteigenschaften des Arkussinus:

1) beim ,

2) beim .

Die Haupteigenschaften der Arkussinusfunktion:

1) Definitionsbereich ;

2) Wertebereich ;

3) Die Funktion ist ungerade Es ist wünschenswert, sich diese Formel separat zu merken, weil es ist nützlich für Transformationen. Beachten Sie auch, dass die Ungeradheit die Symmetrie des Graphen der Funktion in Bezug auf den Ursprung impliziert;

Lassen Sie uns einen Graphen der Funktion erstellen:

Beachten Sie, dass sich keiner der Abschnitte des Funktionsgraphen wiederholt, was bedeutet, dass der Arkussinus im Gegensatz zum Sinus keine periodische Funktion ist. Dasselbe gilt für alle anderen Bogenfunktionen.

Betrachten Sie die Eigenschaften der Arkuskosinusfunktion und erstellen Sie ihren Graphen.

Definition.Arkuskosinus einer Zahlx Nennen Sie den Wert des Winkels y für die . Darüber hinaus als Einschränkungen für die Werte des Sinus, aber als ausgewählter Winkelbereich.

Die Haupteigenschaften des Arkuskosinus:

1) beim ,

2) beim .

Die Haupteigenschaften der Arkuskosinusfunktion:

1) Definitionsbereich ;

2) Wertebereich;

3) Die Funktion ist weder gerade noch ungerade, d.h. Gesamtansicht . Es ist auch wünschenswert, sich an diese Formel zu erinnern, sie wird uns später nützlich sein;

4) Die Funktion ist monoton fallend.

Lassen Sie uns einen Graphen der Funktion erstellen:

Betrachten Sie die Eigenschaften der Arkustangensfunktion und zeichnen Sie ihren Graphen.

Definition.Arkustangens einer Zahlx Nennen Sie den Wert des Winkels y für die . Außerdem seit es gibt keine Einschränkungen bei den Tangenswerten, sondern als ausgewählten Winkelbereich.

Die Haupteigenschaften des Arcustangens:

1) beim ,

2) beim .

Die Haupteigenschaften der Arkustangensfunktion:

1) Definitionsbereich;

2) Wertebereich ;

3) Die Funktion ist ungerade . Diese Formel ist auch nützlich, wie ähnliche. Wie im Fall des Arkussinus impliziert die Ungeradheit die Symmetrie des Graphen der Funktion in Bezug auf den Ursprung;

4) Die Funktion ist monoton steigend.

Lassen Sie uns einen Graphen der Funktion erstellen:

Inverse trigonometrische Funktionen(Kreisfunktionen, Bogenfunktionen) - mathematische Funktionen, die invers zu trigonometrischen Funktionen sind.

Dazu gehören in der Regel 6 Funktionen:

• Arkussinus(Symbol: arcsin x; arcsin x ist der Winkel Sünde was gleich ist x),
• Arkuskosinus(Symbol: arccos x; arccos x ist der Winkel, dessen Kosinus gleich ist x usw),
• Bogentangente(Symbol: arctg x oder arctan x),
• Bogentangente(Symbol: arcctg x oder arccot ​​x oder arccotan x),
• Bogensekant(Symbol: Bogensekunde x),
• Arkuskosekan(Symbol: arccosec x oder arccsc x).

Arkussinus (y = arcsin x) ist die Umkehrfunktion zu Sünde (x = siny . Mit anderen Worten, gibt den Winkel nach seinem Wert zurück Sünde.

Arkuskosinus (y = arccos x) ist die Umkehrfunktion zu cos (x = cos y cos.

Arkustangens (y = arctan x) ist die Umkehrfunktion zu tg (x = tgy), die einen Definitionsbereich und eine Reihe von Werten hat . Mit anderen Worten, gibt den Winkel nach seinem Wert zurück tg.

Bogentangente (y = arcctg x) ist die Umkehrfunktion zu ctg (x = ctg y), die einen Definitionsbereich und eine Reihe von Werten hat. Mit anderen Worten, gibt den Winkel nach seinem Wert zurück ctg.

Bogensekunde- arcsecans, gibt den Winkel durch den Wert seiner Sekante zurück.

Arccosec- Arkuskosekans, gibt den Winkel durch den Wert seines Kosekans zurück.

Wenn die inverse trigonometrische Funktion am angegebenen Punkt nicht definiert ist, erscheint ihr Wert nicht in der resultierenden Tabelle. Funktionen Bogensekunde und Arccosec sind nicht auf dem Segment (-1,1) definiert, aber Bogensünde und arccos sind nur auf dem Intervall [-1,1] definiert.

Der Name der inversen trigonometrischen Funktion wird aus dem Namen der entsprechenden trigonometrischen Funktion gebildet, indem das Präfix „ark-“ (von lat. Bogen uns- Bogen). Dies liegt daran, dass geometrisch der Wert der inversen trigonometrischen Funktion mit der Länge des Bogens eines Einheitskreises (oder dem Winkel, der diesen Bogen begrenzt) verbunden ist, der dem einen oder anderen Segment entspricht.

Manchmal verwenden sie in der ausländischen Literatur sowie in wissenschaftlichen / technischen Taschenrechnern Notationen wie Sünde −1, cos -1 für Arkussinus, Arkuskosinus und dergleichen - dies gilt als nicht ganz genau, weil wahrscheinliche Verwechslung mit der Potenzierung einer Funktion −1 (« −1 » (minus der ersten Potenz) definiert die Funktion x=f-1(y), die Umkehrung der Funktion y=f(x)).

Grundbeziehungen der inversen trigonometrischen Funktionen.

Hier ist es wichtig, auf die Intervalle zu achten, für die die Formeln gelten.

Formeln zu inversen trigonometrischen Funktionen.

Bezeichnen Sie einen der Werte der inversen trigonometrischen Funktionen durch Arksin x, Arccos x, Arctan x, Arccot ​​x und behalte die Notation bei: arcsin x, arcus x, arctan x, arccot ​​x für ihre Hauptwerte, dann wird die Beziehung zwischen ihnen durch solche Beziehungen ausgedrückt.

Da trigonometrische Funktionen periodisch sind, sind die zu ihnen inversen Funktionen nicht einwertig. Also, die Gleichung y = Sünde x, denn gegeben , hat unendlich viele Wurzeln. In der Tat, aufgrund der Periodizität des Sinus, wenn x eine solche Wurzel ist, dann x + 2n(wobei n eine ganze Zahl ist) ist auch die Wurzel der Gleichung. Auf diese Weise, inverse trigonometrische Funktionen sind mehrwertig. Um die Arbeit mit ihnen zu erleichtern, wird das Konzept ihrer Hauptwerte eingeführt. Betrachten Sie zum Beispiel den Sinus: y = Sünde x. Beschränken wir das Argument x auf das Intervall , dann darauf die Funktion y = Sünde x steigt monoton an. Daher hat es eine einwertige Umkehrfunktion, die Arkussinus genannt wird: x = arcsin y.

Sofern nicht anders angegeben, bedeuten inverse trigonometrische Funktionen ihre Hauptwerte, die durch die folgenden Definitionen definiert sind.

Arkussinus ( y= arcsin x) ist die Umkehrfunktion des Sinus ( x= siny
Arkuskosinus ( y= arccos x) ist die Umkehrfunktion des Kosinus ( x= lauschig), die einen Definitionsbereich und eine Reihe von Werten hat.
Arkustangens ( y= arctg x) ist die Umkehrfunktion des Tangens ( x= tg y), die einen Definitionsbereich und eine Reihe von Werten hat.
Arcustangens ( y= arcctg x) ist die Umkehrfunktion des Kotangens ( x= ctg y), die einen Definitionsbereich und eine Reihe von Werten hat.

Graphen von inversen trigonometrischen Funktionen

Graphen inverser trigonometrischer Funktionen erhält man aus Graphen trigonometrischer Funktionen durch Spiegelung an der Geraden y = x. Siehe Abschnitte Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens.

y= arcsin x

y= arccos x

y= arctg x

y= arcctg x

Grundlegende Formeln

Dabei ist besonders darauf zu achten, für welche Intervalle die Formeln gelten.

arcsin(sin x) = x beim
sin(Arkussin x) = x
arccos(cosx) = x beim
cos(arcos x) = x

arctg(tg x) = x beim
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x beim
ctg(arctg x) = x

Formeln zu inversen trigonometrischen Funktionen

Siehe auch: Ableitung von Formeln für inverse trigonometrische Funktionen

Summen- und Differenzenformeln

bei oder

bei und

bei und

bei oder

bei und

bei und

beim

beim

beim

beim

beim

beim

beim

beim

beim

beim

Verweise:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten höherer Bildungseinrichtungen, Lan, 2009.

Inverse trigonometrische Funktionen sind Arkussinus, Arkuskosinus, Arkustangens und Arkuskotangens.

Lassen Sie uns zuerst Definitionen geben.

Arkussinus Oder wir können sagen, dass dies ein solcher Winkel ist, der zu dem Segment gehört, dessen Sinus gleich der Zahl a ist.

Arkuskosinus Nummer a heißt eine solche Zahl

Arkustangens Nummer a heißt eine solche Zahl

Bogentangente Nummer a heißt eine solche Zahl

Lassen Sie uns ausführlich über diese vier neuen Funktionen für uns sprechen - inverse trigonometrische.

Denken Sie daran, wir haben uns bereits mit getroffen.

Beispielsweise ist die arithmetische Quadratwurzel von a eine nicht negative Zahl, deren Quadrat a ist.

Der Logarithmus der Zahl b zur Basis a ist eine Zahl c, so dass

Dabei

Wir verstehen, warum Mathematiker neue Funktionen „erfinden“ mussten. Zum Beispiel sind die Lösungen einer Gleichung und Wir könnten sie ohne das spezielle arithmetische Quadratwurzelsymbol nicht aufschreiben.

Das Konzept des Logarithmus hat sich als notwendig erwiesen, um beispielsweise Lösungen für eine solche Gleichung zu schreiben: Die Lösung dieser Gleichung ist eine irrationale Zahl, das ist der Exponent, auf den 2 erhoben werden muss, um 7 zu erhalten.

Dasselbe gilt für trigonometrische Gleichungen. Wir wollen zum Beispiel die Gleichung lösen

Es ist klar, dass seine Lösungen Punkten auf dem trigonometrischen Kreis entsprechen, dessen Ordinate gleich ist Und es ist klar, dass dies kein Tabellenwert des Sinus ist. Wie schreibe ich Lösungen auf?

Hier können wir nicht auf eine neue Funktion verzichten, die den Winkel bezeichnet, dessen Sinus gleich einer gegebenen Zahl a ist. Ja, jeder hat es schon erraten. Dies ist der Arkussinus.

Der Winkel, der zu dem Segment gehört, dessen Sinus gleich ist, ist der Arkussinus von einem Viertel. Und so ist die Reihe von Lösungen unserer Gleichung, die dem rechten Punkt auf dem trigonometrischen Kreis entspricht

Und die zweite Reihe von Lösungen unserer Gleichung ist

Mehr über das Lösen trigonometrischer Gleichungen -.

Es bleibt zu klären - warum wird in der Definition des Arkussinus angegeben, dass dies ein Winkel ist, der zur Strecke gehört?

Tatsache ist, dass es unendlich viele Winkel gibt, deren Sinus beispielsweise . Wir müssen einen von ihnen auswählen. Wir wählen diejenige, die auf dem Segment liegt.

Betrachten Sie den trigonometrischen Kreis. Sie werden sehen, dass auf dem Segment jede Ecke einem bestimmten Wert des Sinus entspricht, und zwar nur einem. Und umgekehrt entspricht jeder Wert des Sinus aus dem Segment einem einzelnen Wert des Winkels auf dem Segment. Das bedeutet, dass Sie auf dem Segment eine Funktion definieren können, die Werte von bis annimmt

Wiederholen wir die Definition noch einmal:

Der Arkussinus von a ist die Zahl , so dass

Bezeichnung: Der Definitionsbereich des Arkussinus ist ein Segment Der Wertebereich ist ein Segment.

Sie können sich an den Satz „Arxine wohnen rechts“ erinnern. Das vergessen wir nur nicht nur rechts, sondern auch auf dem Segment .

Wir sind bereit, die Funktion graphisch darzustellen

Wie üblich markieren wir die x-Werte auf der horizontalen Achse und die y-Werte auf der vertikalen Achse.

Da also x zwischen -1 und 1 liegt.

Daher ist der Definitionsbereich der Funktion y = arcsin x die Strecke

Wir sagten, dass y zum Segment gehört. Das bedeutet, dass der Wertebereich der Funktion y = arcsin x die Strecke ist.

Beachten Sie, dass der Graph der Funktion y=arcsinx vollständig in dem von Linien und begrenzten Bereich platziert wird

Beginnen wir wie immer beim Plotten einer unbekannten Funktion mit einer Tabelle.

Per Definition ist der Arkussinus von Null eine Zahl aus dem Segment, dessen Sinus Null ist. Was ist das für eine Nummer? - Es ist klar, dass dies Null ist.

Ebenso ist der Arkussinus von eins die Zahl aus dem Segment, dessen Sinus gleich eins ist. Offensichtlich dies

Wir fahren fort: - Dies ist eine Zahl aus dem Segment, dessen Sinus gleich ist. Ja diese

			0
			0

Wir bauen einen Funktionsgraphen

Funktionseigenschaften

1. Definitionsbereich

2. Wertebereich

3. , das heißt, diese Funktion ist ungerade. Sein Graph ist bezüglich des Ursprungs symmetrisch.

4. Die Funktion ist monoton steigend. Sein kleinster Wert, gleich - , wird bei erreicht und sein größter Wert, gleich , bei

5. Was haben Funktionsgraphen und gemeinsam? Glaubst du nicht, dass sie „nach demselben Muster gemacht“ sind – genau wie der rechte Zweig der Funktion und der Graph der Funktion oder wie die Graphen der Exponential- und Logarithmusfunktionen?

Stellen Sie sich vor, wir schneiden ein kleines Fragment von bis aus einer gewöhnlichen Sinuswelle aus und drehen es dann vertikal - und wir erhalten das Arkussinusdiagramm.

Die Tatsache, dass für die Funktion in diesem Intervall die Werte des Arguments sind, dann gibt es für den Arkussinus die Werte der Funktion. Das ist wie es sein sollte! Schließlich sind Sinus und Arkussinus zueinander inverse Funktionen. Andere Beispiele für Paare von zueinander inversen Funktionen sind for und , sowie die Exponential- und Logarithmusfunktionen.

Erinnern Sie sich, dass die Graphen gegenseitig inverser Funktionen in Bezug auf die gerade Linie symmetrisch sind

In ähnlicher Weise definieren wir die Funktion.Nur das Segment, das wir brauchen, ist eines, auf dem jeder Wert des Winkels seinem eigenen Kosinuswert entspricht, und wenn wir den Kosinus kennen, können wir den Winkel eindeutig finden. Wir brauchen einen Schnitt

Der Arkuskosinus von a ist die Zahl , so dass

Es ist leicht zu merken: „Bogenkosinusse leben von oben“, und zwar nicht nur von oben, sondern auf einem Segment

Bezeichnung: Definitionsbereich des Arkuskosinus - Segment Wertebereich - Segment

Offensichtlich wird das Segment gewählt, weil darauf jeder Kosinuswert nur einmal genommen wird. Mit anderen Worten, jeder Kosinuswert von -1 bis 1 entspricht einem einzelnen Winkelwert aus dem Intervall

Der Arkuskosinus ist weder eine gerade noch eine ungerade Funktion. Stattdessen können wir die folgende offensichtliche Beziehung verwenden:

Zeichnen wir die Funktion

Wir brauchen einen Teil der Funktion, wo sie monoton ist, das heißt, sie nimmt jeden ihrer Werte genau einmal an.

Lassen Sie uns ein Segment auswählen. Auf diesem Segment nimmt die Funktion monoton ab, d. h. die Korrespondenz zwischen den Sätzen und ist eins zu eins. Jeder x-Wert hat seinen eigenen y-Wert. Auf diesem Segment gibt es eine zum Kosinus inverse Funktion, dh die Funktion y \u003d arccosx.

Füllen Sie die Tabelle mit der Definition des Arkuskosinus aus.

Der Arkuskosinus der zum Intervall gehörenden Zahl x wird eine solche zum Intervall gehörende Zahl y sein

Weil ;

Als ;

Als ,

Als ,

			0
					0

Hier ist die Darstellung des Arkuskosinus:

Funktionseigenschaften

1. Definitionsbereich

2. Wertebereich

Dies ist eine generische Funktion - sie ist weder gerade noch ungerade.

4. Die Funktion ist streng fallend. Die Funktion y \u003d arccosx nimmt den größten Wert an, gleich , bei , und der kleinste Wert, gleich Null, nimmt an

5. Die Funktionen und sind zueinander invers.

Die nächsten sind arctangens und arccotangens.

Der Arkustangens von a ist die Zahl , so dass

Bezeichnung: . Der Definitionsbereich des Arcustangens ist das Intervall, der Wertebereich das Intervall.

Warum sind die Intervallenden - Punkte bei der Definition des Arcustangens ausgeschlossen? Natürlich, weil die Tangente an diesen Punkten nicht definiert ist. Es gibt keine Zahl a, die gleich der Tangente eines dieser Winkel ist.

Lassen Sie uns den Arcus Tangens zeichnen. Laut Definition ist der Arkustangens einer Zahl x eine Zahl y, die zum Intervall gehört, so dass

Wie man ein Diagramm erstellt, ist bereits klar. Da der Arkustangens die Umkehrfunktion des Tangens ist, gehen wir wie folgt vor:

Wir wählen einen solchen Ausschnitt des Funktionsgraphen, bei dem die Entsprechung zwischen x und y eineindeutig ist. Dies ist das Intervall C. In diesem Abschnitt nimmt die Funktion Werte von bis an

Dann ist die Umkehrfunktion, also die Funktion , der Definitionsbereich ist der gesamte Zahlenstrahl, von bis und der Wertebereich ist das Intervall

Meint,

Meint,

Meint,

Aber was passiert, wenn x unendlich groß ist? Mit anderen Worten, wie verhält sich diese Funktion, wenn x gegen unendlich geht?

Wir können uns die Frage stellen: Für welche Zahl im Intervall geht der Wert des Tangens gegen unendlich? - Offensichtlich das

Für unendlich große Werte von x nähert sich also die Darstellung des Arcus Tangens der horizontalen Asymptote

In ähnlicher Weise nähert sich die Darstellung des Arkustangens der horizontalen Asymptote, wenn x gegen minus unendlich tendiert

In der Abbildung - ein Diagramm der Funktion

Funktionseigenschaften

1. Definitionsbereich

2. Wertebereich

3. Die Funktion ist ungerade.

4. Die Funktion ist streng steigend.

6. Die Funktionen und sind zueinander invers - natürlich, wenn die Funktion auf dem Intervall betrachtet wird

Auf ähnliche Weise definieren wir die Funktion des Arkuskotangens und zeichnen ihren Graphen.

Der Arkustangens von a ist die Zahl , so dass

Funktionsgraph:

Funktionseigenschaften

1. Definitionsbereich

2. Wertebereich

3. Die Funktion ist von allgemeiner Form, dh weder gerade noch ungerade.

4. Die Funktion ist streng fallend.

5. Direkte und - horizontale Asymptoten der gegebenen Funktion.

6. Die Funktionen und sind gegenseitig invers, wenn sie auf dem Intervall betrachtet werden

Aufgaben zu inversen trigonometrischen Funktionen werden häufig bei Schulabschlussprüfungen und bei Aufnahmeprüfungen an einigen Universitäten angeboten. Eine vertiefte Auseinandersetzung mit diesem Thema kann nur in außerschulischen Lehrveranstaltungen oder in Wahlpflichtveranstaltungen erreicht werden. Der vorgeschlagene Kurs soll die Fähigkeiten jedes Studenten so weit wie möglich entwickeln, um seine mathematische Ausbildung zu verbessern.

Der Kurs ist auf 10 Stunden ausgelegt:

1. Funktionen von arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x (4 Stunden).

2. Operationen an inversen trigonometrischen Funktionen (4 Stunden).

3. Inverse trigonometrische Operationen auf trigonometrischen Funktionen (2 Stunden).

Lektion 1 (2 Stunden) Thema: Funktionen y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x.

Zweck: vollständige Abdeckung dieses Problems.

1. Funktion y \u003d arcsin x.

a) Für die Funktion y \u003d sin x auf dem Segment gibt es eine inverse (einwertige) Funktion, die wir als Arkussinus bezeichnen und wie folgt bezeichnen: y \u003d arcsin x. Der Graph der Umkehrfunktion ist symmetrisch zum Graphen der Hauptfunktion in Bezug auf die Winkelhalbierende der I-III-Koordinatenwinkel.

Funktionseigenschaften y = arcsin x .

1) Definitionsbereich: Segment [-1; ein];

2) Änderungsbereich: Schnitt ;

3) Funktion y = arcsin x ungerade: arcsin (-x) = - arcsin x;

4) Die Funktion y = arcsin x ist monoton steigend;

5) Der Graph schneidet die Achsen Ox, Oy am Ursprung.

Beispiel 1. Finde a = arcsin . Im Detail lässt sich dieses Beispiel wie folgt formulieren: Finde ein solches Argument a , das im Bereich von bis liegt und dessen Sinus gleich ist.

Entscheidung. Es gibt unzählige Argumente, deren Sinus ist, zum Beispiel: usw. Aber wir interessieren uns nur für das Argument, das auf dem Intervall steht. Dieses Argument wird sein. So, .

Beispiel 2. Finden .Entscheidung. Wenn wir auf die gleiche Weise wie in Beispiel 1 argumentieren, erhalten wir .

b) mündliche Übungen. Suchen: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin , arcsin (), arcsin , arcsin (), arcsin , arcsin (), arcsin 0 Beispielantwort: , da . Machen die Ausdrücke Sinn: ; arcsin 1,5; ?

c) Sortiere aufsteigend: arcsin, arcsin (-0.3), arcsin 0.9.

II. Funktionen y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (ähnlich).

Lektion 2 (2 Stunden) Thema: Inverse trigonometrische Funktionen, ihre Graphen.

Zweck: In dieser Lektion müssen Fähigkeiten zur Bestimmung der Werte trigonometrischer Funktionen, zum Zeichnen inverser trigonometrischer Funktionen mit D (y), E (y) und den erforderlichen Transformationen erarbeitet werden.

Führen Sie in dieser Lektion Übungen durch, die das Ermitteln des Definitionsbereichs, des Umfangs von Funktionen des Typs: y = arcsin , y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos umfassen.

Es ist notwendig, Funktionsgraphen zu erstellen: a) y = arcsin 2x; b) y = 2 arcsin 2x; c) y \u003d Bogensinus;

d) y \u003d Bogensinus; e) y = arcsin; f) y = arcsin; g) y = | arcsin | .

Beispiel. Lassen Sie uns y = arccos darstellen

Sie können die folgenden Aufgaben in Ihre Hausaufgaben einbauen: Erstellen Sie Graphen von Funktionen: y = arccos , y = 2 arcctg x, y = arccos | x | .

Graphen von Umkehrfunktionen

Lektion Nr. 3 (2 Stunden) Thema:

Operationen auf inversen trigonometrischen Funktionen.

Zweck: Erweiterung der mathematischen Kenntnisse (wichtig für Studienbewerber in Fachrichtungen mit erhöhten Anforderungen an die mathematische Vorbereitung) durch Einführung der grundlegenden Zusammenhänge für inverse trigonometrische Funktionen.

Unterrichtsmaterial.

Einige einfache trigonometrische Operationen an inversen trigonometrischen Funktionen: Sünde (arcsin x) \u003d x, ich xi? ein; cos (arñcos x) = x, i xi? ein; tg (arctg x)= x , x I R; ctg (arcctg x) = x , x I R.

Übungen.

a) tg (1,5 + arctg 5) = - ctg (arctg 5) = .

ctg (arctgx) = ; tg (arctg x) = .

b) cos (+ arcsin 0,6) = - cos (arcsin 0,6). Sei arcsin 0,6 \u003d a, sin a \u003d 0,6;

cos(arkussin x) = ; Sünde (Arccos x) = .

Hinweis: Wir nehmen das „+“-Zeichen vor der Wurzel, weil a = arcsin x erfüllt.

c) sin (1.5 + arcsin) Antwort:;

d) ctg (+ arctg 3).Antwort: ;

e) tg (- arcctg 4) Antwort: .

f) cos (0,5 + arccos) . Antworten: .

Berechnung:

a) Sünde (2 arctan 5) .

Sei arctg 5 = a, dann sin 2 a = oder sin(2 arctan 5) = ;

b) cos (+ 2 arcsin 0,8) Antwort: 0,28.

c) arctg + arctg.

Sei a = arctg , b = arctg ,

dann tan(a + b) = .

d) Sünde (arcsin + arcsin).

e) Beweisen Sie, dass für alle x I [-1; 1] wahr arcsin x + arccos x = .

Nachweisen:

arcsin x = - arccos x

sin (arcsin x) = sin (- arccos x)

x = cos (Arccos x)

Für eine eigenständige Lösung: sin (arccos ), cos (arcsin ) , cos (arcsin ()), sin (arctg (- 3)), tg (arccos ) , ctg (arccos ).

Für eine Heimlösung: 1) sin (arcsin 0,6 + arctg 0); 2) arcsin + arcsin; 3) ctg (- arccos 0,6); 4) cos (2 arcctg 5) ; 5) sin (1,5 - arcsin 0,8); 6) arctg 0,5 - arctg 3.

Lektion Nr. 4 (2 Stunden) Thema: Operationen auf inversen trigonometrischen Funktionen.

Zweck: In dieser Lektion soll die Verwendung von Verhältnissen bei der Transformation komplexerer Ausdrücke gezeigt werden.

Unterrichtsmaterial.

ORAL:

a) sin (arccos 0,6), cos (arcsin 0,8);

b) tg (arctg 5), ctg (arctg 5);

c) sin (arctg -3), cos (arctg ());

d) tg (arccos), ctg (arccos()).

GESCHRIEBEN:

1) cos (arcsin + arcsin + arcsin).

2) cos (arctg 5 - arccos 0,8) = cos (arctg 5) cos (arctg 0,8) + sin (arctg 5) sin (arccos 0,8) =

3) tg (- Arcsin 0,6) = - tg (Arcsin 0,6) =

4)

Unabhängige Arbeit hilft, den Grad der Assimilation des Materials zu bestimmen

1) tg ( arctg 2 - arctg ) 2) cos( - arctg2) 3) arcsin + arccos	1) cos (arcsin + arcsin) 2) Sünde (1,5 - arctg 3) 3) arcctg3 - arctg2

Als Hausaufgaben können Sie anbieten:

1) ctg (arctg + arctg + arctg); 2) Sünde 2 (arctg 2 - arcctg ()); 3) sin (2 arctg + tg ( arcsin )); 4) Sünde (2 arctan); 5) tg ( (Arkussin))

Lektion Nr. 5 (2h) Thema: Inverse trigonometrische Operationen auf trigonometrischen Funktionen.

Zweck: Um das Verständnis der Schüler für inverse trigonometrische Operationen auf trigonometrischen Funktionen zu schärfen, konzentrieren Sie sich darauf, die Aussagekraft der untersuchten Theorie zu erhöhen.

Beim Studium dieses Themas wird davon ausgegangen, dass die Menge an theoretischem Material, das auswendig gelernt werden muss, begrenzt ist.

Material für den Unterricht:

Sie können anfangen, neues Material zu lernen, indem Sie die Funktion y = arcsin (sin x) untersuchen und grafisch darstellen.

3. Jedes x I R ist mit y I assoziiert, d.h.<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. Die Funktion ist ungerade: sin (-x) \u003d - sin x; arcsin(sin(-x)) = - arcsin(sin x).

6. Graph y = arcsin (sin x) auf:

a) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

b)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

sin y \u003d sin (- x) \u003d sinx, 0<= - x <= .

So,

Nachdem wir y = arcsin (sin x) auf aufgebaut haben, fahren wir symmetrisch um den Ursprung auf [- fort; 0] unter Berücksichtigung der Seltsamkeit dieser Funktion. Unter Verwendung der Periodizität fahren wir mit der gesamten numerischen Achse fort.

Dann schreibe einige Verhältnisse auf: arcsin (sin a) = ein wenn<= a <= ; arccos (cos a ) = a wenn 0<= a <= ; arctg (tg a) = ein wenn< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

Und machen Sie die folgenden Übungen: a) arccos (sünde 2) Antwort: 2 - ; b) arcsin (cos 0,6) Antwort: - 0,1; c) arctg (tg 2) Antwort: 2 -;

d) arcctg (tg 0,6) Antwort: 0,9; e) arccos (cos ( - 2)) Antwort: 2 -; f) arcsin (sin (- 0,6)). Antwort: - 0,6; g) arctg (tg 2) = arctg (tg (2 - )). Antwort: 2 - ; h) arcctg (tg 0,6). Antwort: - 0,6; - Arktanx; e) arccos + arccos