Funktionen einer komplexen Variablen. Differenzierung von Funktionen einer komplexen Variablen

1. Ableitung und Differential. Die Definitionen der Ableitung und des Differentials einer Funktion einer komplexen Variablen stimmen buchstäblich mit den entsprechenden Definitionen für Funktionen einer einzelnen reellen Variablen überein.

Lassen Sie die Funktion w = f(z) = und +iv in einer Nachbarschaft definiert U Punkte zo. Geben wir die unabhängige Variable an z = x + gu Inkrement A z= A.g + Gau, führt nicht aus der Umgebung hinaus U. Dann die Funktion w = f(z) erhält die entsprechende Erhöhung Aw = = f(z 0 + Dg) - f(z 0).

Ableitung der Funktion w = f(z) im Punkt zq wird als Grenze des Funktionsinkrementverhältnisses bezeichnet Ach zum Inkrement von Argument A z beim Streben Az auf Null (auf beliebige Weise).

Die Ableitung wird bezeichnet f"(z Q), w oder y-. Die Definition von Derivat kann wie folgt geschrieben werden:

Der Grenzwert in (6.1) existiert möglicherweise nicht; dann sagen sie, dass die Funktion w = f(z) hat im Punkt zq keine Ableitung.

Funktion w = f(z) angerufen differenzierbar um den Punkt Zq, wenn es in einer Nachbarschaft definiert ist U Punkte zq und sein Zuwachs Ach kann im Formular dargestellt werden

wo ist eine komplexe Zahl L hängt nicht von A g ab und die Funktion a(Ag) ist unendlich klein bei Az-» 0, d.h. Pm a(Ag) = 0.

Genau wie bei Funktionen einer reellen Variablen wird bewiesen, dass die Funktion f(z) am Punkt differenzierbar zq genau dann, wenn es eine Ableitung in hat zo. Und A = f"(zo). Ausdruck f"(zo)Az angerufen Differential der Funktion f(z) im Punkt Zqund ist bezeichnet dw oder df(zo). In diesem Fall das Inkrement Az der unabhängigen Variablen -r wird auch Differential der Variablen r und genannt

bezeichnet durch dz. Auf diese Weise,

Das Differential ist der wichtigste lineare Teil des Inkrements der Funktion.

Beispiel 6.1. Untersuchen Sie, ob die Funktion vorhanden ist w= /(r) = R ez Ableitung an einem beliebigen Punkt Zq.

Lösung. Bedingung: w = Rea = X. Aufgrund der Definition der Ableitung sollte der Grenzwert (C.1) nicht davon abhängen, welcher Pfad vorliegt

Punkt z = Zq + Az nähert sich Th an einer z-? 0. Nehmen wir zunächst A z - Ah(Abb. 15, a). Als Aw = Ah. dann = 1. Wenn

nimm A z = iAy(Abb. 15, B), Das Oh= 0 und daher Ach = 0.

Dies bedeutet u = 0. Daher wird die Beziehung verraten, wenn Az-> 0 nicht A z A z

existiert und daher die Funktion w= Re g = X hat zu keinem Zeitpunkt eine Ableitung.

Gleichzeitig die Funktion w = z = X + ich, hat offensichtlich an jedem Punkt r eine Ableitung und /"(th) = 1. Hieraus ist klar, dass Real- und Imaginärteil der differenzierbaren Funktion f(r) nicht beliebig sein können; sie müssen durch einige zusätzliche Beziehungen verbunden sein. Diese Beziehungen entstehen, weil die Bedingung für die Existenz der Ableitung /"(0) wesentlich restriktiver ist als die Bedingung für die Existenz der Ableitung von Funktionen einer reellen Variablen oder partieller Ableitungen von Funktionen mehrerer reeller Variablen: Es ist erforderlich, dass Der Grenzwert in (6.1) existiert und hängt nicht vom Pfad ab, nach dem sich der Punkt r = r + Ar r als Ar 0 nähert. Um diese Beziehungen abzuleiten, erinnern Sie sich an die Definition der Differenzierbarkeit einer Funktion zweier Variablen.

Echte Funktion u = u(x,y) reelle Variablen X Und bei an einem Punkt differenzierbar genannt Ro(ho, oh), wenn es in einer Umgebung von Punkt D> definiert ist und sein Gesamtinkrement A ist Und = ihre o + Oh, oh+ A y) - und (ho, Uo) in der Form darstellbar

Wo IN Und MIT- reelle Zahlen unabhängig von J , Ja, A {3 Oh Und Ja, tendiert gegen Null Oh -» 0, Ja-> 0.

Wenn die Funktion Und im Punkt Po differenzierbar ist, dann hat es a

G, " di(P 0)^ di(Ro) gt ,

ny-Derivate in Po, und IN= ---, C = ---. Aber anders

oh oh

aus Funktionen einer Variablen) aus der Existenz partieller Ableitungen der Funktion u(x,y) seine Differenzierbarkeit ergibt sich noch nicht.

2. Cauchy-Riemann-Bedingungen.

Satz 6.1. Sei die Funktion w = f(z) der komplexen Variablen z= (f, y) ist in der Umgebung des Punktes zq definiert= (jo, yo) und f(z) = u(x,y) +iv(x, y). Damit f(z) im Punkt Zq differenzierbar ist, ist es notwendig und ausreichend, dass die Funktionen u(x, y) XI v(x, y) im Punkt differenzierbar sind(jo, oo) und dass zu diesem Zeitpunkt die Bedingungen erfüllt sind

Gleichungen (6.4) werden aufgerufen Cauchy-Riemann-Bedingungen .

Nachweisen. Notwendigkeit. Lassen Sie die Funktion w = f(z) ist im Punkt zq differenzierbar, d.h.

Bezeichnen wir f"(zo) = a + ib a(Dg) = fi(Ax, Ау)+ g7(J, Ja); Az = Ah + (Ja, Wo /3 und 7 – reelle Funktionen von Variablen Ah, oh, tendiert gegen Null als J -> 0, Au -> 0. Wenn wir diese Gleichungen in (6.5) einsetzen und den Real- und Imaginärteil trennen, erhalten wir:

Da die Gleichheit komplexer Zahlen der Gleichheit ihrer Real- und Imaginärteile entspricht, ist (6.6) äquivalent zum Gleichungssystem

Gleichungen (6.7) bedeuten, dass die Funktionen u(x,y), v(x,y) erfüllen die Bedingung (6.3) und sind daher differenzierbar. Da die Koeffizienten für J und Ja sind gleich den partiellen Ableitungen nach w und bei dementsprechend erhalten wir aus (6.7).

Daraus folgen die Bedingungen (6.4).

Angemessenheit. Nehmen wir nun an, dass die Funktionen u(x, y) Und v(x,y) an einem Punkt differenzierbar (ho.oo) Und u(x,y) und die Bedingungen (6.4) sind erfüllt.

Wenn wir a = ^, 6 = -^ bezeichnen und (6.4) anwenden, gelangen wir zu den Gleichungen (6.8). Aus (6.8) und der Bedingung der Differenzierbarkeit von Funktionen u(x,y), v(x,y) wir haben

wo ft, 7i, ft, D-2 - Funktionen, die gegen Null tendieren als Ah -> 0, Au ->-> 0. Von hier

Ein + iAv= (o + ib)(Ah + i.Ay)+ (ft + ift)Ax + (71 + *72) Ja.(6.9) Definieren wir die Funktion a(Dr) durch die Gleichheit

und legen A = A 4- ib. Dann wird (6.9) als Gleichheit umgeschrieben

was mit (6.2) übereinstimmt. Tag des Nachweises der Differenzierbarkeit

Funktionen f(z) Es bleibt noch zu zeigen, dass lim a(Az) = 0. Aus der Gleichheit

folgt dem Oh^ |Dg|, Ja^ |Dg|. Deshalb

Wenn Az-? 0 also Oh-? 0, Ja-> 0, was bedeutet, dass die Funktionen ft, ft, 71, 72 gegen Null tendieren. Daher a(Dr) -> 0 bei Az-> 0, und der Beweis von Satz 6.1 ist abgeschlossen.

Beispiel 6.2. Finden Sie heraus, ob eine Funktion vorhanden ist w = z 2 differenzierbar; Wenn ja, an welchen Punkten?

Lösung, w = u + iv = (x + iy) 2 = x 2 - y 2 + 2xy, Wo und = = x 2 - y 2, V = 2xy. Somit,

Somit sind die Cauchy-Riemann-Bedingungen (6.4) an jedem Punkt erfüllt; das bedeutet die Funktion w = g 2 wird in C differenzierbar sein.

Beispiel 6.3. Untersuchen Sie die Differenzierbarkeit einer Funktion w = - z - x - iy.

Lösung. w = u + iv = x - iy, Wo u = x, v = -y Und

Somit sind die Cauchy-Riemann-Bedingungen und damit die Funktion zu keinem Zeitpunkt erfüllt w = z ist nirgends differenzierbar.

Sie können die Differenzierbarkeit einer Funktion überprüfen und Ableitungen direkt mithilfe der Formel (6.1) finden.

Beispiel 6.4. Untersuchen Sie mithilfe der Formel (6.1) die Differenzierbarkeit der Funktion IV = z 2.

Lösung. A w- (zq + A z) 2- Zq = 2 zqAz -I- (A z) 2 , Wo

Daher die Funktion w = zr ist in jedem Punkt 2o differenzierbar, und seine Ableitung f"(zo) =2 zo-

Da die wichtigsten Grenzwertsätze für Funktionen einer komplexen Variablen erhalten bleiben und sich die Definition der Ableitung einer Funktion einer komplexen Variablen auch nicht von der entsprechenden Definition für Funktionen einer reellen Variablen unterscheidet, gelten die bekannten Regeln für Für Funktionen einer komplexen Variablen bleiben die Differenzierung von Summe, Differenz, Produkt, Quotient und komplexer Funktion weiterhin gültig. Ebenso lässt sich auch beweisen, dass wenn die Funktion f(z) am Punkt differenzierbar zo. dann ist es an dieser Stelle stetig; das Gegenteil ist nicht der Fall.

3. Analytische Funktionen. Funktion w= /(^nur im Punkt selbst differenzierbar zq, aber auch in einer Umgebung dieses Punktes, wird aufgerufen analytisch am Punkt zq. Wenn f(z) ist an jedem Punkt der Region analytisch D, dann heißt es analytisch (regulär, holomorph) in Domäne D.

Aus den Eigenschaften von Derivaten folgt sofort, dass wenn f(z) Und g(z)- analytische Funktionen im Feld D, dann die Funktionen f(z) + g(z), f(z) - g(z), f(z) g(z) auch analytisch im Feld D, und der Quotient f(z)/g(z) analytische Funktion an allen Punkten der Region D. in welchem g(z) f 0. Zum Beispiel Funktion

ist analytisch in der C-Ebene mit fallengelassenen Punkten z= = 1 und z - ich.

Aus dem Satz über die Ableitung einer komplexen Funktion folgt folgende Aussage: if the function Und = u(z) ist in der Domäne analytisch D und Anzeigen D zur Region D" Variable und, und Funktion w = f(u) analytisch auf dem Gebiet D", dann eine komplexe Funktion w = f(u(z)) Variable z analytisch in D.

Lassen Sie uns das Konzept einer Funktion einführen, die in einem geschlossenen Bereich analytisch ist D. Der Unterschied zur offenen Region besteht hier darin, dass Grenzpunkte hinzugefügt werden, zu denen keine Nachbarschaft gehört D; daher ist die Ableitung an diesen Punkten nicht definiert. Funktion f(z) angerufen analytisch (regulär, holomorph) in einem geschlossenen Bereich D, wenn diese Funktion auf einen größeren Bereich ausgeweitet werden kann D ich enthalten D, bis analytisch D Funktionen.

Die Bedingungen (6.4) wurden bereits im 18. Jahrhundert untersucht. d'Alembert und Euler. Daher werden sie manchmal auch als d'Alembert-Euler-Bedingungen bezeichnet, was aus historischer Sicht korrekter ist.

Lassen Sie die Funktion W = F(Z) ist auf einem Set angegeben und Z 0 , zugehörig E, der Grenzpunkt dieser Menge. Fügen wir hinzu Z 0 = X 0 + ich· j 0 Inkrement Δ Z = Δ X+ ich· Δ j darauf hinweisen Z = Z 0 + Δ Z gehörte vielen E. Dann die Funktion W = u+ ich· v = F(Z) = u(X, j)+ ich· v(X, j). Wir erhalten das Inkrement Δ W = Δ u+ ich· Δ v = F(Z 0 + Δ Z) - F(Z 0 ) = Δ F(Z 0 ) ,
.

Wenn es eine endliche Grenze gibt
, dann heißt es Ableitung einer FunktionF(Z) am PunktZ 0 Bei vielenE, und wird bezeichnet
,
,
, W" .

Formal ist die Ableitungsfunktion einer komplexen Variablen genauso definiert wie die Ableitungsfunktion einer reellen Variablen, ihr Inhalt ist jedoch unterschiedlich.

Bei der Definition der Ableitung einer Funktion F(X) reelle Variable an einem Punkt X 0 , X→ x 0 entlang einer geraden Linie. Im Fall einer Funktion einer komplexen Variablen F(Z), Z kann danach streben Z 0 entlang eines beliebigen ebenen Pfades, der zu einem Punkt führt Z 0 .

Daher ist die Anforderung an die Existenz einer Ableitung einer Funktion einer komplexen Variablen sehr streng. Dies erklärt, dass selbst einfache Funktionen einer komplexen Variablen keine Ableitung haben.

Beispiel.

Betrachten Sie die Funktion W = = X- ich· j. Zeigen wir, dass diese Funktion an keinem Punkt eine Ableitung hat. Nehmen wir jeden Punkt Z 0 = X 0 + ich· j 0 , Geben wir ihm ein Inkrement Δ Z = Δ X+ ich· Δ j, dann wird die Funktion inkrementiert. Bedeutet

,
,

Wir betrachten zunächst Δ Z = Δ X + ich· Δ j so dass Δ X → 0 und Δ j = 0 , also Punkt Z 0 + Δ Z → Z 0 entlang einer horizontalen Geraden. In diesem Fall verstehen wir das

Wir betrachten nun das Inkrement ∆ Z so dass ∆ X = 0 , und ∆ j → 0 , d.h. Wann Z 0 + ∆ Z→ Z 0 entlang einer vertikalen geraden Linie, und es wird offensichtlich sein
.

Die resultierenden Grenzen sind unterschiedlich, also das Verhältnis hat keine Begrenzung ∆ Z → 0 , also die Funktion
hat zu keinem Zeitpunkt eine Ableitung Z 0 .

Lassen Sie uns die Bedeutung der Ableitung in Bezug auf eine Menge herausfinden. Lassen E ist die reale Achse und W = F(Z) = X, dann ist dies eine gewöhnliche reelle Funktion einer reellen Variablen F(X) = X und seine Ableitung wird gleich sein 1 (
).

Lass es jetzt E- Das ist das gesamte Flugzeug (Z). Zeigen wir die Funktion F(Z) = X In diesem Fall gibt es zu keinem Zeitpunkt eine Ableitung. In diesem Fall tatsächlich
.Daraus geht hervor, dass wenn
A
, Das
. Wenn
, A
, Das
.Daher die Einstellung hat keine Begrenzung
, also die Funktion F(Z) = X hat zu keinem Zeitpunkt eine Ableitung
.

Beachten Sie, dass, wenn wir eine komplexwertige Funktion einer reellen Variablen betrachten, dies sofort aus der Definition der Ableitung folgt
, daher (dies ist die Ableitung in Bezug auf die reelle Achse).

Formel zum Inkrementieren von Funktionen.

Lassen Sie die Funktion W = F(Z) hat an der Stelle Z 0 Derivat
. Zeigen wir, dass Darstellung (1) gilt, wobei die Menge gilt
, Wann
.

Tatsächlich haben wir nach der Definition von Derivat
, also der Wert
, Wann
. Daher erfolgt die Darstellung (1) (beide Seiten mit multiplizieren).
und bewege es
nach links).

Vorlesung Nr. 8 Differenzierbarkeit und Differential einer Funktion einer komplexen Variablen

Funktion W = F(Z) angerufen am Punkt differenzierbarZ 0 , wenn an dieser Stelle Darstellung (2) stattfindet, wo A ist eine feste komplexe Zahl und die Menge
tendiert gegen Null, wenn
.

Wenn die Funktion W = F(Z) am Punkt differenzierbar Z 0 , dann das Hauptlinear relativ zu
ein Teil davon A·
Zuwachs
am Punkt Z 0 angerufen Differentialfunktion F(Z) am Punkt und ist bezeichnet
.

Der Satz gilt.

Satz.

Damit die Funktion gewährleistet istW = F(Z) war zu diesem Zeitpunkt differenzierbarZ 0 , ist es notwendig und ausreichend, dass es an dieser Stelle eine endliche Ableitung hat
, und es stellt sich immer heraus, dass in der Darstellung (2)
.

Nachweisen.

Notwendigkeit. Die Funktion sei im Punkt differenzierbar Z 0 . Zeigen wir, dass es an diesem Punkt eine endliche Ableitung hat und dass diese Ableitung gleich der Zahl ist A. Aufgrund der Differenzierung F(Z) am Punkt Z 0 Darstellung (2) erfolgt, das heißt
(3). Hier geht es bis ans Limit
Das verstehen wir
, Bedeutet
.

Angemessenheit. Lassen Sie die Funktion F(Z) hat an der Stelle Z 0 endgültige Ableitung
. Zeigen wir, dass Darstellung (2) gilt. Aufgrund der Existenz des Derivats
Darstellung (1) erfolgt, diese ist aber auch Darstellung (2), in der A =
. Die Ausreichendheit wurde festgestellt.

Wie wir wissen, ist das Differential das Differential der unabhängigen Variablen Z sein Zuwachs
, das heißt, vorausgesetzt
, wir können schreiben
Und deswegen
(Dies ist eine Beziehung von Differentialen, nicht ein einzelnes Symbol).

Sei Funktion = u(x,y)+iv(x,y) wird in der Nähe des Punktes definiert z = X+iy. Wenn die Variable z Zuwachs  z= X+ich j, dann die Funktion
erhält eine Erhöhung


= (z+ z)–
=u(X+ X, j+ j)+

+ iv(X+ X, j+ j) - u(x,y) - iv(x,y) = [u(X+ X, j+ j) –

– u(x,y)] + ich[v(X+ X, j+ j) - v(x,y)] =

= u(x,y) + ich v(x,y).

Definition. Wenn es eine Grenze gibt

=

,

dann heißt dieser Grenzwert Ableitung der Funktion
am Punkt z und wird mit bezeichnet F(z) oder
. Somit ist per Definition

=

=

. (1.37)

Wenn die Funktion
hat eine Ableitung an dem Punkt z, dann sagen sie, dass die Funktion
am Punkt differenzierbar z. Offensichtlich wegen der Differenzierbarkeit der Funktion
Es ist notwendig, dass die Funktionen u(x,y) Und v(x,y) waren differenzierbar. Dies reicht jedoch nicht aus, damit das Derivat existiert F(z). Zum Beispiel für die Funktion w== X–iy Funktionen u(x,y)=X

Und v(x,y)=–j differenzierbar in allen Punkten M( x,y), sondern die Grenze des Verhältnisses
bei  X0,  j0 existiert nicht, denn if  j= 0,  X 0 also  w/ z= 1,

Wenn  X = 0,  j 0 also  w/z = -1.

Es gibt keine einheitliche Grenze. Dies bedeutet, dass die Funktion

w= hat zu keinem Zeitpunkt eine Ableitung z. Für die Existenz einer Ableitung einer Funktion einer komplexen Variablen sind zusätzliche Bedingungen erforderlich. Was für? Die Antwort auf diese Frage gibt der folgende Satz.

Satz. Lassen Sie die Funktionen u(x,y) Und v(x,y) sind im Punkt M( x,y). Dann um die Funktion zu erfüllen

= u(x,y) + iv(x,y)

hatte zu diesem Zeitpunkt eine Ableitung z = X+iy, es ist notwendig und ausreichend, damit die Gleichheiten gelten

Gleichungen (1.38) heißen Cauchy-Riemann-Bedingungen.

Nachweisen. 1) Notwendigkeit. Lassen Sie die Funktion
hat eine Ableitung im Punkt z, das heißt, es gibt einen Grenzwert

=

=
.(1.39)

Der Grenzwert auf der rechten Seite der Gleichheit (1.39) hängt nicht davon ab, welchen Weg der Punkt nimmt  z =  X+ich j strebt

zu 0. Insbesondere wenn y = 0, x  0 (Abb. 1.10), dann

Wenn x = 0, y  0 (Abb. 1.11), dann

(1.41)

Abb.1.10 Abb. 1.11

Die linken Seiten in den Gleichungen (1.40) und (1.41) sind gleich. Das bedeutet, dass auch die rechten Seiten gleich sind

Es folgt dem

Also aus der Annahme der Existenz der Ableitung F(z) Gleichheit (1.38) folgt, das heißt, die Cauchy-Riemann-Bedingungen sind für die Existenz der Ableitung notwendig F(z).

1) Ausreichend. Nehmen wir nun an, dass die Gleichungen (1.38) erfüllt sind:

und beweisen Sie, dass in diesem Fall die Funktion
hat eine Ableitung an dem Punkt z= X+iy, also der Grenzwert (1.39)

=

existiert.

Da die Funktionen u(x,y) Und v(x,y) sind im Punkt M( x,y), dann ist das Gesamtinkrement dieser Funktionen am Punkt M( x,y) können im Formular dargestellt werden

wobei  1 0,  2 0,  1 0,  2 0 bei  X0, j0.

Da aufgrund von (1.38)

Somit,

=
,

 1 =  1 +ich 1 0,  2 =  2 +ich 2 0 bei z =  X+ichj0.

Auf diese Weise,

Seit  z 2 =  X 2 + j 2 , dann  X/ z1,  j/z1. Deshalb

bei  z  0.

Daraus folgt, dass die rechte Seite der Gleichheit (1.42) einen Grenzwert hat  z 0, daher hat auch die linke Seite eine Grenze bei  z 0, und diese Grenze hängt nicht vom Pfad ab  z tendiert gegen 0. Damit ist bewiesen, dass wenn an dem Punkt M(x,y) Bedingungen (1.38) erfüllt sind, dann ist die Funktion
hat eine Ableitung an dem Punkt z = X+iy, Und

Der Satz ist vollständig bewiesen.

Beim Beweis des Satzes wurden zwei Formeln (1.40) und (1.42) für die Ableitung einer Funktion einer komplexen Variablen erhalten

Mit den Formeln (1.38) können wir zwei weitere Formeln erhalten

, (1.43)

. (1.44)

Wenn die Funktion F(z) an allen Punkten der Region D eine Ableitung hat, dann sagen wir, dass die Funktion
ist im Bereich D differenzierbar. Dazu ist es notwendig und ausreichend, dass die Cauchy-Riemann-Bedingungen an allen Punkten des Bereichs D erfüllt sind.

Beispiel.Überprüfen Sie die Cauchy-Riemann-Bedingungen für

Funktionen e z .

Als e z = e x+iy = e X(weil j + ich Sünde j),

Das u(X, j) = Re e z = e X cos j, v(X, j) = Ich e z = e X Sünde j,

,
,

somit,

Cauchy-Riemann-Bedingungen für eine Funktion e z in allen Punkten erfüllt z. Also die Funktion e z ist auf der gesamten Ebene der komplexen Variablen differenzierbar, und

Die Differenzierbarkeit wird auf genau die gleiche Weise bewiesen

Funktionen z N , cos z, Sünde z, CH z, Sch z, Ln z und die Gültigkeit der Formeln

(z N) = n z n-1, (cos z) = -sin z, (Sünde z) = cos z,

(CH z) = sh z, (Sch z) = Kap z, (Ln z) = 1/z.

Für Funktionen einer komplexen Variablen bleiben alle Regeln zur Differenzierung von Funktionen einer reellen Variablen in Kraft. Der Beweis dieser Regeln folgt aus der Definition der Ableitung auf die gleiche Weise wie für Funktionen einer reellen Variablen.

Satz

Damit die Funktion gewährleistet ist w = F(z) , in einem bestimmten Bereich definiert D komplexe Ebene, war an dem Punkt differenzierbar z 0 = X 0 + ichj 0 als Funktion einer komplexen Variablen z, es ist notwendig und ausreichend, dass seine Real- und Imaginärteile u Und v waren zu dem Zeitpunkt differenzierbar ( X 0 ,j 0) als Funktionen reeller Variablen X Und j und dass außerdem an dieser Stelle die Cauchy-Riemann-Bedingungen erfüllt sind:

; ;

Wenn die Cauchy-Riemann-Bedingungen erfüllt sind, dann die Ableitung F"(z) kann in einer der folgenden Formen dargestellt werden:

Nachweisen

Folgen

Geschichte

Diese Bedingungen tauchten erstmals in der Arbeit von d'Alembert (1752) auf, die der St. Petersburger Akademie der Wissenschaften 1777 vorgelegt wurde. Sie erhielten erstmals den Charakter eines allgemeinen Zeichens der Analytizität von Funktionen nutzte diese Beziehungen, um die Theorie der Funktionen zu konstruieren, beginnend mit den Memoiren, die 1814 der Pariser Akademie der Wissenschaften vorgelegt wurden. Riemanns berühmte Dissertation über die Grundlagen der Funktionentheorie stammt aus dem Jahr 1851.

Literatur

Shabbat B.V. Einführung in die komplexe Analyse. - M.: Wissenschaft, . - 577 S.
Titchmarsh E. Funktionentheorie: Übers. aus dem Englischen - 2. Aufl., überarbeitet. - M.: Wissenschaft, . - 464 s.
Privalov I. I. Einführung in die Theorie der Funktionen einer komplexen Variablen: Ein Handbuch für die Hochschulbildung. - M.-L.: Staatsverlag, . - 316 S.
Evgrafov M. A. Analytische Funktionen. - 2. Aufl., überarbeitet. und zusätzlich - M.: Wissenschaft, . - 472 s.

Wikimedia-Stiftung. 2010.

Sehen Sie sich die „Cauchy-Riemann-Bedingungen“ in anderen Wörterbüchern an:

Riemann-Bedingungen, auch d'Alembert-Euler-Bedingungen genannt, Beziehungen, die den Real- und Imaginärteil einer differenzierbaren Funktion einer komplexen Variablen verbinden. Inhalt 1 Wortlaut ... Wikipedia

Cauchy-Riemann-Bedingungen oder D'Alembert-Euler-Bedingungen, Bedingungen für die reellen u = u(x,y)- und imaginären v = v(x,y)-Teile einer Funktion einer komplexen Variablen, die eine unendliche kontinuierliche Differenzierbarkeit von f( z) als Funktion eines Komplexes... ... Wikipedia

D Alembert-Euler-Bedingungen, Bedingungen für die realen u=u(x, y)- und imaginären v=v(x, y)-Teile einer Funktion einer komplexen Variablen, die die Monogenität und Analytizität von f(z) als Funktion sicherstellen einer komplexen Variablen. Damit die Funktion w=f(z),… … Mathematische Enzyklopädie

Augustin Louis Cauchy Augustin Louis Cauchy ... Wikipedia

Augustin Louis Cauchy Augustin Louis Cauchy (französischer Augustin Louis Cauchy; 21. August 1789, Paris 23. Mai 1857, Saux (Eau de Seine)) Französischer Mathematiker, Mitglied der Pariser Akademie der Wissenschaften, entwickelte die Grundlagen der mathematischen Analyse und machte sie selbst ein großer Beitrag zur Analyse ... Wikipedia

Konzept einer Funktion einer komplexen Variablen

Lassen Sie uns zunächst unser Wissen über die Schulfunktion einer Variablen auffrischen:

Eine Funktion einer Variablen ist eine Regel, nach der jeder Wert der unabhängigen Variablen (aus dem Definitionsbereich) genau einem Wert der Funktion entspricht. Natürlich sind „x“ und „y“ reelle Zahlen.

Im komplexen Fall wird die funktionale Abhängigkeit ähnlich spezifiziert:

Eine einwertige Funktion einer komplexen Variablen ist eine Regel, nach der jeder komplexe Wert der unabhängigen Variablen (aus dem Definitionsbereich) einem und nur einem komplexen Wert der Funktion entspricht. Die Theorie berücksichtigt auch mehrwertige und einige andere Arten von Funktionen, aber der Einfachheit halber werde ich mich auf eine Definition konzentrieren.

Was ist der Unterschied zwischen einer komplexen Variablenfunktion?

Der Hauptunterschied: komplexe Zahlen. Ich bin nicht ironisch. Solche Fragen versetzen die Leute oft in Erstaunen; am Ende des Artikels erzähle ich Ihnen eine lustige Geschichte. Im Unterricht Komplexe Zahlen für Dummies Wir haben eine komplexe Zahl in der Form betrachtet. Da der Buchstabe „z“ nun zu einer Variablen geworden ist, bezeichnen wir ihn wie folgt: , während „x“ und „y“ unterschiedliche reale Werte annehmen können. Grob gesagt hängt die Funktion einer komplexen Variablen von den Variablen und ab, die „normale“ Werte annehmen. Aus dieser Tatsache ergibt sich logischerweise folgender Punkt:

Real- und Imaginärteil einer Funktion einer komplexen Variablen

Die Funktion einer komplexen Variablen kann wie folgt geschrieben werden:
, wobei und zwei Funktionen zweier reeller Variablen sind.

Die Funktion wird als Realteil der Funktion bezeichnet.
Die Funktion wird als Imaginärteil der Funktion bezeichnet.

Das heißt, die Funktion einer komplexen Variablen hängt von zwei reellen Funktionen und ab. Um abschließend alles zu verdeutlichen, schauen wir uns praktische Beispiele an:

Lösung: Die unabhängige Variable „zet“ wird, wie Sie sich erinnern, in der Form geschrieben, also:

(1) Wir haben ersetzt.

(2) Für den ersten Term haben wir die abgekürzte Multiplikationsformel verwendet. Im Begriff wurden die Klammern geöffnet.

(3) Sorgfältig quadriert, das nicht vergessen

(4) Umgruppierung von Begriffen: Zuerst schreiben wir die Begriffe um, in denen es keine imaginäre Einheit gibt (erste Gruppe), dann die Begriffe, in denen es keine imaginäre Einheit gibt (zweite Gruppe). Es ist zu beachten, dass ein Mischen der Begriffe nicht erforderlich ist und dieser Schritt übersprungen werden kann (indem man ihn tatsächlich mündlich durchführt).

(5) Für die zweite Gruppe nehmen wir es aus Klammern.

Als Ergebnis stellte sich heraus, dass unsere Funktion in der Form dargestellt wurde

Antwort:
– Realteil der Funktion.
– Imaginärteil der Funktion.

Um welche Funktionen handelte es sich dabei? Die häufigsten Funktionen von zwei Variablen, aus denen Sie solche finden können, sind beliebt partielle Ableitungen. Ohne Gnade werden wir es finden. Aber etwas später.

Kurz gesagt lässt sich der Algorithmus für das gelöste Problem wie folgt schreiben: Wir setzen , in die ursprüngliche Funktion ein, nehmen Vereinfachungen vor und teilen alle Terme in zwei Gruppen ein – ohne imaginäre Einheit (Realteil) und mit imaginärer Einheit (Imaginärteil). .

Finden Sie den Real- und Imaginärteil der Funktion

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Bevor Sie sich mit gezogenen Steinen auf dem komplexen Flugzeug in die Schlacht stürzen, möchte ich Ihnen die wichtigsten Ratschläge zu diesem Thema geben:

SEIEN SIE AUFMERKSAM! Natürlich muss man überall vorsichtig sein, aber bei komplexen Zahlen sollte man vorsichtiger denn je sein! Denken Sie daran, die Klammern vorsichtig zu öffnen, damit nichts verloren geht. Nach meinen Beobachtungen ist der häufigste Fehler der Verlust eines Schildes. Beeil dich nicht!

Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Jetzt der Würfel. Mit der abgekürzten Multiplikationsformel leiten wir ab:
.

Formeln sind in der Praxis sehr praktisch, da sie den Lösungsprozess deutlich beschleunigen.

Differenzierung von Funktionen einer komplexen Variablen.
Cauchy-Riemann-Bedingungen

Ich habe zwei Neuigkeiten: gute und schlechte. Ich fange mit dem Guten an. Für eine Funktion einer komplexen Variablen gelten die Differenzierungsregeln und die Ableitungstabelle elementarer Funktionen. Die Ableitung erfolgt also genauso wie bei einer Funktion einer reellen Variablen.

Die schlechte Nachricht ist, dass es für viele Funktionen einer komplexen Variablen überhaupt keine Ableitung gibt und Sie herausfinden müssen, ob eine bestimmte Funktion differenzierbar ist. Und herauszufinden, wie sich Ihr Herz anfühlt, ist mit zusätzlichen Problemen verbunden.

Betrachten wir die Funktion einer komplexen Variablen. Damit diese Funktion differenzierbar ist, ist es notwendig und ausreichend:

1) Es existieren also partielle Ableitungen erster Ordnung. Vergessen Sie diese Notationen gleich, da in der Theorie der Funktionen einer komplexen Variablen traditionell eine andere Notation verwendet wird: .

2) Damit die sogenannten Cauchy-Riemann-Bedingungen erfüllt sind:

Nur in diesem Fall existiert die Ableitung!

Bestimmen Sie den Real- und Imaginärteil einer Funktion . Überprüfen Sie die Erfüllung der Cauchy-Riemann-Bedingungen. Wenn die Cauchy-Riemann-Bedingungen erfüllt sind, ermitteln Sie die Ableitung der Funktion.

Die Lösung gliedert sich in drei aufeinanderfolgende Phasen:

1) Finden wir den Real- und Imaginärteil der Funktion. Diese Aufgabe wurde in früheren Beispielen besprochen, daher schreibe ich sie kommentarlos auf:

Seit damals:

Auf diese Weise:
– Realteil der Funktion;
– Imaginärteil der Funktion.

Lassen Sie mich auf einen weiteren technischen Punkt eingehen: In welcher Reihenfolge sollten wir die Begriffe im Real- und Imaginärteil schreiben? Ja, im Prinzip spielt es keine Rolle. Der Realteil kann beispielsweise so geschrieben werden: , und der Imaginärteil so: .

3) Überprüfen wir die Erfüllung der Cauchy-Riemann-Bedingungen. Es gibt zwei davon.

Beginnen wir mit der Überprüfung des Zustands. Wir finden partielle Ableitungen:

Somit ist die Bedingung erfüllt.

Die gute Nachricht ist natürlich, dass partielle Ableitungen fast immer sehr einfach sind.

Wir prüfen die Erfüllung der zweiten Bedingung:

Das Ergebnis ist dasselbe, jedoch mit umgekehrten Vorzeichen, d. h. die Bedingung ist ebenfalls erfüllt.

Die Cauchy-Riemann-Bedingungen sind erfüllt, daher ist die Funktion differenzierbar.

3) Finden wir die Ableitung der Funktion. Auch die Ableitung ist sehr einfach und wird nach den üblichen Regeln gefunden:

Die imaginäre Einheit wird bei der Differentiation als Konstante betrachtet.

Antwort: – Realteil, – Imaginärteil.
Die Cauchy-Riemann-Bedingungen sind erfüllt.

FKP-Integral. Satz von Cauchy.

Formel ( 52 ) heißt Cauchy-Integralformel oder Cauchy-Integral. Wenn als Kontur in ( 52 ) Wählen Sie einen Kreis. Wenn Sie dann das Differential der Bogenlänge ersetzen und berücksichtigen, kann das Cauchy-Integral als Formel für den Durchschnittswert dargestellt werden:

Zusätzlich zur unabhängigen Bedeutung der Cauchy-Integralformel ( 52 ), (54 ) bieten tatsächlich eine sehr bequeme Möglichkeit, Konturintegrale zu berechnen, die, wie man sehen kann, durch den Wert des „Rests“ des Integranden an dem Punkt ausgedrückt werden, an dem diese Funktion eine Singularität aufweist.

Beispiel 3-9. Berechnen Sie das Integral einer Funktion entlang der Kontur (Abb.20).

Lösung. Der Punkt, an dem die Funktion eine Singularität aufweist, liegt im Gegensatz zu Beispiel 4-1 innerhalb des Kreises. Stellen wir das Integral in der Form dar ( 52 ):

Cauchys Formel.

Sei ein Bereich auf der komplexen Ebene mit einer stückweise glatten Grenze, die Funktion ist holomorph und ein Punkt innerhalb des Bereichs. Dann gilt die folgende Cauchy-Formel:

Die Formel ist auch gültig, wenn wir davon ausgehen, dass sie innerhalb des Abschlusses holomorph und stetig ist, und auch, wenn der Rand nicht stückweise glatt, sondern nur korrigierbar ist (die holomorphe Funktion ist eine Funktion einer komplexen Zahl, die stückweise glatte Funktion ist eine Funktion von eine reelle Zahl)

Elementare FKP: Taylor-Funktion, trigonometrische Funktionen, hyperbolische Funktionen, inverse trigonometrische Funktionen, logarithmische Funktionen, Cauchy-Formel.

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