Was ist das Volumen eines Prismas und wie findet man es?

Das Volumen eines Prismas ist das Produkt aus Grundfläche mal Höhe.

Wir wissen jedoch, dass die Basis eines Prismas ein Dreieck, ein Quadrat oder ein anderes Polyeder haben kann.

Um das Volumen eines Prismas zu ermitteln, müssen Sie daher nur die Fläche der Basis des Prismas berechnen und diese Fläche dann mit ihrer Höhe multiplizieren.

Das heißt, wenn sich an der Basis des Prismas ein Dreieck befindet, müssen Sie zuerst die Fläche des Dreiecks ermitteln. Wenn die Basis des Prismas ein Quadrat oder ein anderes Polygon ist, müssen Sie zuerst die Fläche des Quadrats oder eines anderen Polygons ermitteln.

Es sollte daran erinnert werden, dass die Höhe des Prismas eine Senkrechte ist, die zu den Basen des Prismas gezogen wird.

Was ist ein prisma

Erinnern wir uns nun an die Definition eines Prismas.

Ein Prisma ist ein Polygon, dessen zwei Flächen (Grundflächen) in parallelen Ebenen liegen und alle Kanten außerhalb dieser Flächen parallel sind.

Einfach gesagt dann:

Ein Prisma ist jede geometrische Figur, die zwei gleiche Grundflächen und flache Flächen hat.

Der Name eines Prismas hängt von der Form seiner Basis ab. Wenn die Basis eines Prismas ein Dreieck ist, wird ein solches Prisma als dreieckig bezeichnet. Ein polyedrisches Prisma ist eine geometrische Figur, deren Basis ein Polyeder ist. Ein Prisma ist auch eine Art Zylinder.

Welche Arten von Prismen gibt es?

Wenn wir uns die obige Abbildung ansehen, können wir sehen, dass Prismen gerade, regelmäßig und schräg sind.

Die Übung

1. Was ist das richtige Prisma?
2. Warum heißt es so?
3. Wie heißt ein Prisma, dessen Grundflächen regelmäßige Polygone sind?
4. Wie hoch ist diese Figur?
5. Wie heißt ein Prisma, dessen Kanten nicht senkrecht sind?
6. Definieren Sie ein dreieckiges Prisma.
7. Kann ein Prisma ein Parallelepiped sein?
8. Welche geometrische Figur wird als halbregelmäßiges Vieleck bezeichnet?

Aus welchen Elementen besteht ein Prisma?

Ein Prisma besteht aus Elementen wie der unteren und oberen Basis, Seitenflächen, Kanten und Scheitelpunkten.

Beide Grundflächen des Prismas liegen in Ebenen und sind parallel zueinander.
Die Seitenflächen der Pyramide sind Parallelogramme.
Die Seitenfläche der Pyramide ist die Summe der Seitenflächen.
Die gemeinsamen Seiten der Seitenflächen sind nichts anderes als die Seitenkanten dieser Figur.
Die Höhe der Pyramide ist das Segment, das die Ebenen der Basen verbindet und senkrecht zu ihnen steht.

Prismeneigenschaften

Eine geometrische Figur, wie ein Prisma, hat eine Reihe von Eigenschaften. Schauen wir uns diese Eigenschaften genauer an:

Erstens werden die Basen eines Prismas als gleiche Polygone bezeichnet;
Zweitens sind die Seitenflächen des Prismas in Form eines Parallelogramms dargestellt;
Drittens hat diese geometrische Figur parallele und gleiche Kanten;
Viertens beträgt die Gesamtfläche des Prismas:

Betrachten Sie nun den Satz, der eine Formel liefert, mit der die Seitenfläche berechnet und bewiesen werden kann.

Haben Sie jemals über eine so interessante Tatsache nachgedacht, dass ein Prisma nicht nur ein geometrischer Körper sein kann, sondern auch andere Objekte um uns herum. Sogar eine gewöhnliche Schneeflocke kann sich je nach Temperaturregime in ein Eisprisma verwandeln und die Form einer sechseckigen Figur annehmen.

Aber Calcitkristalle haben ein so einzigartiges Phänomen, dass sie in Fragmente zerfallen und die Form eines Parallelepipeds annehmen. Und was am meisten überrascht, egal wie klein die Calcit-Kristalle zerkleinert werden, das Ergebnis ist immer das gleiche, sie verwandeln sich in winzige Quader.

Es stellt sich heraus, dass das Prisma nicht nur in der Mathematik an Popularität gewonnen hat und seinen geometrischen Körper demonstriert, sondern auch im Bereich der Kunst, da es die Grundlage für Gemälde von so großen Künstlern wie P. Picasso, Braque, Griss und anderen darstellt.

DIREKTES PRISMA. OBERFLÄCHE UND VOLUMEN EINES DIREKTEN PRISMAS.

§ 68. Volumen eines direkten Prismas.

1. Das Volumen eines geraden dreieckigen Prismas.

Lassen Sie es erforderlich sein, das Volumen eines rechten dreieckigen Prismas zu finden, dessen Grundfläche gleich S ist und dessen Höhe gleich ist h= AA" = = BB" = SS" (Abb. 306).

Lassen Sie uns die Basis des Prismas, dh das Dreieck ABC (Abb. 307, a), separat zeichnen und zu einem Rechteck vervollständigen, für das wir eine gerade Linie KM durch den Eckpunkt B || ziehen AC und von den Punkten A und C lassen wir die Senkrechten AF und CE auf diese Linie fallen. Wir erhalten das ACEF-Rechteck. Nachdem wir die Höhe BD des Dreiecks ABC gezeichnet haben, sehen wir, dass das ACEF-Rechteck in 4 rechtwinklige Dreiecke unterteilt ist. Und /\ ALLE = /\ BCD und /\ BAF = /\ SCHLECHT. Das bedeutet, dass die Fläche des Rechtecks ​​ACEF doppelt so groß ist wie die Fläche des Dreiecks ABC, also gleich 2S.

Zu diesem Prisma mit der Basis ABC fügen wir Prismen mit den Basen ALL und BAF und der Höhe hinzu h(Zeichnung 307, b). Wir erhalten ein rechteckiges Parallelepiped mit einer Basis
ACEF.

Wenn wir dieses Parallelepiped durch eine Ebene schneiden, die durch die Linien BD und BB" verläuft, sehen wir, dass das rechteckige Parallelepiped aus 4 Prismen mit Basen besteht
BCD, ALLE, SCHLECHT und BAF.

Prismen mit den Basen BCD und ALL können kombiniert werden, da ihre Basen gleich sind ( /\ BCD = /\ BCE) und auch gleich ihren Seitenkanten, die senkrecht zu einer Ebene stehen. Daher sind die Volumina dieser Prismen gleich. Die Volumina von Prismen mit den Basen BAD und BAF sind ebenfalls gleich.

So stellt sich heraus, dass das Volumen eines gegebenen dreieckigen Prismas mit einer Basis
ABC ist halb so groß wie ein rechteckiges Parallelepiped mit der Basis ACEF.

Wir wissen, dass das Volumen eines rechteckigen Parallelepipeds gleich dem Produkt aus der Fläche seiner Basis und der Höhe ist, d.h. in diesem Fall ist es gleich 2S h. Daher ist das Volumen dieses rechtwinkligen Dreiecksprismas gleich S h.

Das Volumen eines geraden dreieckigen Prismas ist gleich dem Produkt aus der Fläche seiner Basis und der Höhe.

2. Das Volumen eines geraden polygonalen Prismas.

Ermitteln des Volumens eines geraden polygonalen Prismas, z. B. eines fünfeckigen, mit Grundfläche S und Höhe h, zerlegen wir es in dreieckige Prismen (Abb. 308).

Wenn wir die Grundflächen dreieckiger Prismen durch S 1, S 2 und S 3 und das Volumen dieses polygonalen Prismas durch V bezeichnen, erhalten wir:

V = S1 h+S2 h+ S3 h, oder
V = (S1 + S2 + S3) h.

Und schließlich: V = S h.

Auf die gleiche Weise wird die Formel für das Volumen eines geraden Prismas mit einem beliebigen Polygon an seiner Basis hergeleitet.

Meint, Das Volumen eines geraden Prismas ist gleich dem Produkt aus der Fläche seiner Basis und der Höhe.

Übungen.

1. Berechnen Sie das Volumen eines geraden Prismas mit einem Parallelogramm an der Basis unter Verwendung der folgenden Daten:

2. Berechnen Sie das Volumen eines geraden Prismas mit einem Dreieck an der Basis mit den folgenden Daten:

3. Berechnen Sie das Volumen eines geraden Prismas mit einem gleichseitigen Dreieck mit einer Seitenlänge von 12 cm (32 cm, 40 cm) an der Basis. Prismenhöhe 60 cm.

4. Berechnen Sie das Volumen eines geraden Prismas mit einem rechtwinkligen Dreieck an der Basis und Beinen von 12 cm und 8 cm (16 cm und 7 cm; 9 m und 6 m). Die Höhe des Prismas beträgt 0,3 m.

5. Berechnen Sie das Volumen eines geraden Prismas mit einem Trapez an der Basis mit parallelen Seiten von 18 cm und 14 cm und einer Höhe von 7,5 cm. Die Höhe des Prismas beträgt 40 cm.

6. Berechnen Sie das Volumen Ihres Klassenzimmers (Fitnessstudio, Ihr Zimmer).

7. Die Gesamtfläche des Würfels beträgt 150 cm 2 (294 cm 2, 864 cm 2). Berechne das Volumen dieses Würfels.

8. Die Länge eines Bausteins beträgt 25,0 cm, seine Breite 12,0 cm, seine Dicke 6,5 cm a) Berechne sein Volumen, b) Bestimme sein Gewicht, wenn 1 Kubikzentimeter eines Bausteins 1,6 g wiegt.

9. Wie viele Bausteine ​​werden benötigt, um eine massive Ziegelmauer zu bauen, die die Form eines rechteckigen Quaders von 12 m Länge, 0,6 m Breite und 10 m Höhe hat? (Ziegelabmessungen aus Aufgabe 8.)

10. Ein sauber geschnittenes Brett ist 4,5 m lang, 35 cm breit, 6 cm dick a) Berechne das Volumen b) Bestimme sein Gewicht, wenn der Kubikdezimeter des Bretts 0,6 kg wiegt.

11. Wie viele Tonnen Heu können auf einem Heuboden mit Satteldach (Abb. 309) gelagert werden, wenn die Länge des Heubodens 12 m, die Breite 8 m, die Höhe 3,5 m und die Höhe des Heubodens beträgt Dachfirst beträgt 1,5 m? (Das spezifische Gewicht von Heu wird mit 0,2 angenommen.)

12. Es ist erforderlich, einen 0,8 km langen Graben zu graben; im Schnitt sollte der Graben die Form eines Trapezes mit einer Basis von 0,9 m und 0,4 m haben und die Grabentiefe 0,5 m betragen (Abb. 310). Wie viel Kubikmeter Erde müssen ausgehoben werden?

Verschiedene Prismen unterscheiden sich voneinander. Gleichzeitig haben sie viele Gemeinsamkeiten. Um den Bereich der Basis eines Prismas zu finden, müssen Sie herausfinden, wie er aussieht.

Allgemeine Theorie

Ein Prisma ist ein beliebiges Polyeder, dessen Seiten die Form eines Parallelogramms haben. Darüber hinaus kann jedes Polyeder an seiner Basis sein - vom Dreieck bis zum n-Eck. Außerdem sind die Basen des Prismas immer gleich groß. Was für die Seitenflächen nicht gilt – sie können in der Größe stark variieren.

Bei der Lösung von Problemen wird nicht nur der Bereich der Basis des Prismas angetroffen. Es kann erforderlich sein, die Seitenfläche zu kennen, dh alle Flächen, die keine Basen sind. Die gesamte Oberfläche ist bereits die Vereinigung aller Flächen, aus denen das Prisma besteht.

Manchmal erscheinen Höhen in Aufgaben. Es steht senkrecht zu den Basen. Die Diagonale eines Polyeders ist ein Segment, das zwei beliebige Eckpunkte paarweise verbindet, die nicht zur selben Fläche gehören.

Es ist zu beachten, dass die Fläche der Basis eines geraden oder geneigten Prismas nicht vom Winkel zwischen ihnen und den Seitenflächen abhängt. Wenn sie auf der Ober- und Unterseite die gleichen Zahlen haben, sind ihre Flächen gleich.

dreieckiges Prisma

Es hat an der Basis eine Figur mit drei Ecken, dh ein Dreieck. Das geht bekanntlich anders. Dann genügt es, sich daran zu erinnern, dass seine Fläche durch das halbe Produkt der Beine bestimmt wird.

Die mathematische Schreibweise sieht so aus: S = ½ av.

Um die Fläche der Basis in allgemeiner Form herauszufinden, sind die Formeln nützlich: Heron und diejenige, bei der die Hälfte der Seite auf die Höhe gebracht wird, die darauf gezeichnet ist.

Die erste Formel sollte folgendermaßen geschrieben werden: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-c)). Dieser Eintrag enthält einen Halbumfang (p), also die Summe von drei Seiten geteilt durch zwei.

Zweitens: S = ½ n a * a.

Wenn Sie die Fläche der Basis eines dreieckigen Prismas kennen möchten, die regelmäßig ist, stellt sich heraus, dass das Dreieck gleichseitig ist. Es hat seine eigene Formel: S = ¼ a 2 * √3.

viereckiges Prisma

Seine Basis ist eines der bekannten Vierecke. Es kann ein Rechteck oder ein Quadrat, ein Quader oder eine Raute sein. Um die Fläche der Basis des Prismas zu berechnen, benötigen Sie in jedem Fall eine eigene Formel.

Wenn die Grundfläche ein Rechteck ist, wird ihre Fläche wie folgt bestimmt: S = av, wobei a, b die Seiten des Rechtecks ​​sind.

Wann wir redenüber ein viereckiges Prisma, dann wird die Fläche der Basis eines regulären Prismas mit der Formel für ein Quadrat berechnet. Denn er ist es, der an der Basis liegt. S \u003d eine 2.

Wenn die Basis ein Parallelepiped ist, wird die folgende Gleichheit benötigt: S \u003d a * n a. Es kommt vor, dass eine Seite eines Parallelepipeds und einer der Winkel gegeben sind. Um die Höhe zu berechnen, müssen Sie dann eine zusätzliche Formel verwenden: na \u003d b * sin A. Außerdem grenzt der Winkel A an die Seite "b" und die Höhe ist na gegenüber diesem Winkel.

Wenn eine Raute an der Basis des Prismas liegt, wird dieselbe Formel benötigt, um ihre Fläche zu bestimmen wie für ein Parallelogramm (da es sich um einen Spezialfall davon handelt). Du kannst aber auch dieses verwenden: S = ½ d 1 d 2. Hier sind d 1 und d 2 zwei Diagonalen der Raute.

Regelmäßiges fünfeckiges Prisma

In diesem Fall wird das Polygon in Dreiecke aufgeteilt, deren Flächen leichter zu ermitteln sind. Obwohl es vorkommt, dass die Figuren eine unterschiedliche Anzahl von Scheitelpunkten haben können.

Da die Grundfläche des Prismas ein regelmäßiges Fünfeck ist, kann es in fünf gleichseitige Dreiecke unterteilt werden. Dann ist die Fläche der Basis des Prismas gleich der Fläche eines solchen Dreiecks (die Formel ist oben zu sehen), multipliziert mit fünf.

Regelmäßiges sechseckiges Prisma

Nach dem für ein fünfeckiges Prisma beschriebenen Prinzip ist es möglich, das Grundsechseck in 6 gleichseitige Dreiecke zu unterteilen. Die Formel für die Fläche der Basis eines solchen Prismas ist ähnlich wie die vorherige. Nur darin sollte mit sechs multipliziert werden.

Die Formel sieht folgendermaßen aus: S = 3/2 und 2 * √3.

Aufgaben

Nr. 1. Gegeben ist eine regelmäßige gerade Linie, deren Diagonale 22 cm beträgt, die Höhe des Polyeders 14 cm. Berechnen Sie die Fläche der Basis des Prismas und der gesamten Oberfläche.

Entscheidung. Die Basis eines Prismas ist ein Quadrat, aber seine Seite ist nicht bekannt. Sie können seinen Wert aus der Diagonale des Quadrats (x), die mit der Diagonale des Prismas (d) und seiner Höhe (n) zusammenhängt, ermitteln. x 2 \u003d d 2 - n 2. Andererseits ist dieses Segment "x" die Hypotenuse in einem Dreieck, dessen Schenkel gleich der Seite des Quadrats sind. Das heißt, x 2 \u003d a 2 + a 2. Es stellt sich also heraus, dass a 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.

Ersetzen Sie die Zahl 22 anstelle von d und ersetzen Sie „n“ durch seinen Wert - 14. Es stellt sich heraus, dass die Seite des Quadrats 12 cm beträgt. Jetzt ist es einfach, die Grundfläche herauszufinden: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .

Um die Fläche der gesamten Oberfläche zu ermitteln, müssen Sie den doppelten Wert der Grundfläche addieren und die Seite vervierfachen. Letzteres lässt sich leicht durch die Formel für ein Rechteck finden: Multieder die Höhe des Polyeders und die Seite der Grundfläche. Das heißt, 14 und 12, diese Zahl entspricht 168 cm 2. Die Gesamtfläche des Prismas beträgt 960 cm 2 .

Antworten. Die Grundfläche des Prismas beträgt 144 cm2. Die gesamte Fläche - 960 cm 2 .

Nr. 2. Dana An der Basis liegt ein Dreieck mit einer Seite von 6 cm, in diesem Fall beträgt die Diagonale der Seitenfläche 10 cm. Berechnen Sie die Flächen: die Basis und die Seitenfläche.

Entscheidung. Da das Prisma regelmäßig ist, ist seine Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck. Daher ergibt sich seine Fläche aus 6 zum Quadrat mal ¼ und der Quadratwurzel aus 3. Eine einfache Rechnung führt zu dem Ergebnis: 9√3 cm 2. Dies ist die Fläche einer Basis des Prismas.

Alle Seitenflächen sind gleich und stellen Rechtecke mit Seiten von 6 und 10 cm dar. Um ihre Flächen zu berechnen, genügt es, diese Zahlen zu multiplizieren. Dann multipliziere sie mit drei, denn genau so viele Seitenflächen hat das Prisma. Dann wird die Fläche der Seitenfläche 180 cm 2 gewickelt.

Antworten. Flächen: Basis - 9√3 cm 2, Seitenfläche des Prismas - 180 cm 2.

In der Physik wird häufig ein dreieckiges Prisma aus Glas verwendet, um das Spektrum von weißem Licht zu untersuchen, da es dieses in seine einzelnen Bestandteile zerlegen kann. In diesem Artikel betrachten wir die Volumenformel

Was ist ein Dreiecksprisma?

Bevor Sie die Volumenformel angeben, betrachten Sie die Eigenschaften dieser Figur.

Um dies zu erhalten, müssen Sie ein Dreieck beliebiger Form nehmen und es um eine bestimmte Strecke parallel zu sich selbst bewegen. Die Eckpunkte des Dreiecks in der Anfangs- und Endposition sollten durch gerade Segmente verbunden sein. Die resultierende dreidimensionale Figur wird als Dreiecksprisma bezeichnet. Es hat fünf Seiten. Zwei von ihnen werden Basen genannt: Sie sind parallel und einander gleich. Die Grundflächen des betrachteten Prismas sind Dreiecke. Die drei verbleibenden Seiten sind Parallelogramme.

Zusätzlich zu den Seiten ist das betrachtete Prisma durch sechs Ecken (drei für jede Basis) und neun Kanten gekennzeichnet (6 Kanten liegen in den Ebenen der Basen und 3 Kanten werden durch den Schnittpunkt der Seiten gebildet). Wenn die Seitenkanten senkrecht zu den Basen stehen, wird ein solches Prisma als rechteckig bezeichnet.

Der Unterschied zwischen einem dreieckigen Prisma und allen anderen Figuren dieser Klasse besteht darin, dass es immer konvex ist (vier-, fünf-, ..., n-eckige Prismen können auch konkav sein).

Dies ist eine rechteckige Figur, an deren Basis ein gleichseitiges Dreieck liegt.

Volumen eines dreieckigen Prismas allgemeiner Art

Wie findet man das Volumen eines dreieckigen Prismas? Die Formel im Allgemeinen ist ähnlich wie bei einem Prisma jeglicher Art. Es hat die folgende mathematische Notation:

Hier ist h die Höhe der Figur, dh der Abstand zwischen ihren Basen, S o ist die Fläche des Dreiecks.

Der Wert von So kann gefunden werden, wenn einige Parameter für ein Dreieck bekannt sind, beispielsweise eine Seite und zwei Winkel oder zwei Seiten und ein Winkel. Die Fläche eines Dreiecks ist gleich dem halben Produkt aus seiner Höhe und der Länge der Seite, auf der diese Höhe abgesenkt wird.

Was die Höhe h der Figur betrifft, ist es am einfachsten, sie für ein rechteckiges Prisma zu finden. Im letzteren Fall stimmt h mit der Länge der Seitenkante überein.

Volumen eines regelmäßigen dreieckigen Prismas

Mit der allgemeinen Formel für das Volumen eines dreieckigen Prismas, die im vorherigen Abschnitt des Artikels angegeben ist, kann der entsprechende Wert für ein regelmäßiges dreieckiges Prisma berechnet werden. Da seine Basis ein gleichseitiges Dreieck ist, ist seine Fläche:

Jeder kann diese Formel verstehen, wenn er bedenkt, dass in einem gleichseitigen Dreieck alle Winkel gleich sind und 60° ergeben. Hier ist das Symbol a die Seitenlänge des Dreiecks.

Die Höhe h ist die Kantenlänge. Sie hat nichts mit der Basis eines regulären Prismas zu tun und kann beliebige Werte annehmen. Als Ergebnis sieht die Formel für das Volumen eines dreieckigen Prismas der richtigen Form so aus:

Nachdem wir die Wurzel berechnet haben, können wir diese Formel wie folgt umschreiben:

Um also das Volumen eines regulären Prismas mit dreieckiger Grundfläche zu finden, ist es notwendig, die Seite der Grundfläche quadratisch zu machen, diesen Wert mit der Höhe zu multiplizieren und den resultierenden Wert mit 0,433 zu multiplizieren.

Das Volumen des Prismas. Probleme lösen

Geometrie ist das mächtigste Werkzeug zur Verfeinerung unserer geistigen Fähigkeiten und ermöglicht es uns, richtig zu denken und zu argumentieren.

G. Galileo

Das Ziel des Unterrichts:

• das Lösen von Problemen zur Berechnung des Volumens von Prismen zu lehren, die Informationen, die die Schüler über das Prisma und seine Elemente haben, zusammenzufassen und zu systematisieren, um die Fähigkeit zu entwickeln, Probleme mit erhöhter Komplexität zu lösen;
• entwickeln logisches Denken, die Fähigkeit, unabhängig zu arbeiten, die Fähigkeiten der gegenseitigen Kontrolle und Selbstkontrolle, die Fähigkeit zu sprechen und zuzuhören;
• Entwickeln Sie die Gewohnheit der ständigen Beschäftigung, einiger nützlicher Taten, der Erziehung zu Reaktionsfähigkeit, Fleiß und Genauigkeit.

Art des Unterrichts: ein Unterricht in der Anwendung von Wissen, Fertigkeiten und Fähigkeiten.

Ausstattung: Kontrollkarten, Beamer, Präsentation „Unterricht. Prism-Volume“, Computer.

Während des Unterrichts

• Seitliche Rippen des Prismas (Abb. 2).
• Die Seitenfläche des Prismas (Abbildung 2, Abbildung 5).
• Die Höhe des Prismas (Abbildung 3, Abbildung 4).
• Direktes Prisma (Abb. 2,3,4).
• Geneigtes Prisma (Abbildung 5).
• Richtiges Prisma (Abb. 2, Abb. 3).
• Diagonalschnitt eines Prismas (Abb. 2).
• Prismendiagonale (Abbildung 2).
• Senkrechter Schnitt des Prismas (pi3, fig4).
• Die Fläche der Seitenfläche des Prismas.
• Die Gesamtfläche des Prismas.
• Das Volumen des Prismas.

1. HAUSAUFGABEN ÜBERPRÜFEN (8 min)

Hefte tauschen, Lösung auf den Folien überprüfen und markieren (10 markieren, wenn die Aufgabe zusammengesetzt ist)

Zeichne ein Problem und löse es. An der Tafel verteidigt der Student sein erarbeitetes Problem. Abbildung 6 und Abbildung 7.





Kapitel 2, §3
Aufgabe.2. Die Längen aller Kanten eines regelmäßigen dreieckigen Prismas sind einander gleich. Berechnen Sie das Volumen des Prismas, wenn seine Oberfläche cm 2 beträgt (Abb. 8)



Kapitel 2, §3
Aufgabe 5. Die Grundfläche des geraden Prismas ABCA 1B 1C1 ist ein rechtwinkliges Dreieck ABC (Winkel ABC=90°), AB=4cm. Berechnen Sie das Volumen des Prismas, wenn der Radius des umschriebenen Dreiecks ABC 2,5 cm und die Höhe des Prismas 10 cm beträgt. (Abbildung 9).



Kapitel 2, § 3
Aufgabe 29. Die Seitenlänge der Grundfläche eines regelmäßigen viereckigen Prismas beträgt 3 cm. Die Diagonale des Prismas bildet mit der Ebene der Seitenfläche einen Winkel von 30°. Berechnen Sie das Volumen des Prismas (Abbildung 10).



2. Gemeinsame Arbeit des Lehrers mit der Klasse (2-3 Min.).

Zweck: Zusammenfassung der Ergebnisse des theoretischen Warm-ups (Schüler geben einander Noten ab), Lernen, wie man Probleme zum Thema löst.

3. KÖRPERLICHE MINUTE (3 min)
4. PROBLEMLÖSUNG (10 min)

In dieser Phase organisiert der Lehrer Frontalarbeit zur Wiederholung von Methoden zur Lösung planimetrischer Probleme, Planimetrieformeln. Die Klasse ist in zwei Gruppen aufgeteilt, einige lösen Probleme, andere arbeiten am Computer. Dann ändern sie sich. Die Studierenden sind eingeladen, alle Nr. 8 (mündlich), Nr. 9 (mündlich) zu lösen. Nachdem sie in Gruppen eingeteilt wurden und übertreten, um die Probleme Nr. 14, Nr. 30, Nr. 32 zu lösen.

Kapitel 2, §3, Seite 66-67

Aufgabe 8. Alle Kanten eines regelmäßigen dreieckigen Prismas sind einander gleich. Finden Sie das Volumen des Prismas, wenn die Querschnittsfläche der Ebene, die durch die Kante der unteren Basis und die Mitte der Seite der oberen Basis verläuft, cm beträgt (Abb. 11).



Kapitel 2, §3, Seite 66-67
Aufgabe 9. Die Grundfläche eines geraden Prismas ist ein Quadrat, und seine Seitenkanten sind doppelt so groß wie die Seite der Grundfläche. Berechnen Sie das Volumen des Prismas, wenn der Radius des Kreises, der in der Nähe des Prismenabschnitts von einer Ebene umschrieben wird, die durch die Seite der Basis und die Mitte der gegenüberliegenden Seitenkante verläuft, gleich ist (Abb. 12).



Kapitel 2, §3, Seite 66-67
Aufgabe 14.Die Basis eines geraden Prismas ist ein Rhombus, dessen Diagonale gleich seiner Seite ist. Berechnen Sie den Umfang des Schnitts durch eine Ebene, die durch die große Diagonale der unteren Basis verläuft, wenn das Volumen des Prismas gleich ist und alle Seitenflächen quadratisch sind (Abb. 13).



Kapitel 2, §3, Seite 66-67
Aufgabe 30.ABCA 1 B 1 C 1 ist ein regelmäßiges dreieckiges Prisma, dessen Kanten alle gleich sind, der Punkt etwa in der Mitte der Kante BB 1. Berechnen Sie den Radius des Kreises, der durch die AOS-Ebene in den Schnitt des Prismas eingeschrieben ist, wenn das Volumen des Prismas gleich ist (Abb. 14).



Kapitel 2, §3, Seite 66-67
Aufgabe 32.In einem regelmäßigen viereckigen Prisma ist die Summe der Flächen der Basen gleich der Fläche der Seitenfläche. Berechnen Sie das Volumen des Prismas, wenn der Durchmesser des Kreises, der in der Nähe des Prismenabschnitts von einer Ebene umschrieben wird, die durch zwei Scheitelpunkte der unteren Basis und den gegenüberliegenden Scheitelpunkt der oberen Basis verläuft, 6 cm beträgt (Abb. 15).



Beim Lösen von Problemen vergleichen die Schüler ihre Antworten mit denen, die der Lehrer zeigt. Dies ist ein Beispiel für die Lösung eines Problems mit detaillierten Kommentaren ... Einzelarbeit eines Lehrers mit „starken“ Schülern (10 Min.).

5. Eigenständiges Arbeiten der Studierenden am Test am Computer

1. Die Seite der Basis eines regelmäßigen dreieckigen Prismas ist , und die Höhe ist 5. Finden Sie das Volumen des Prismas.

1) 152) 45 3) 104) 125) 18

2. Kreuze die richtige Aussage an.

1) Das Volumen eines geraden Prismas, dessen Grundfläche ein rechtwinkliges Dreieck ist, ist gleich dem Produkt aus Grundfläche und Höhe.

2) Das Volumen eines regelmäßigen dreieckigen Prismas wird nach der Formel V \u003d 0,25a 2 h berechnet - wobei a die Seite der Basis und h die Höhe des Prismas ist.

3) Das Volumen eines geraden Prismas entspricht der Hälfte des Produkts aus der Fläche der Basis und der Höhe.

4) Das Volumen eines regelmäßigen viereckigen Prismas wird nach der Formel V \u003d a 2 h berechnet, wobei a die Seite der Basis und h die Höhe des Prismas ist.

5) Das Volumen eines regelmäßigen sechseckigen Prismas wird nach der Formel V \u003d 1,5a 2 h berechnet, wobei a die Seite der Basis und h die Höhe des Prismas ist.

3. Die Seite der Basis eines regelmäßigen dreieckigen Prismas ist gleich. Durch die Seite der unteren Basis und die gegenüberliegende Oberseite der oberen Basis wird eine Ebene gezogen, die in einem Winkel von 45° zur Basis verläuft. Finden Sie das Volumen des Prismas.

1) 92) 9 3) 4,54) 2,255) 1,125

4. Die Basis eines geraden Prismas ist eine Raute, deren Seite 13 ist, und eine der Diagonalen ist 24. Finden Sie das Volumen des Prismas, wenn die Diagonale der Seitenfläche 14 ist.