Vorlesung: "Methoden zum Lösen von Exponentialgleichungen."

1 . Exponentialgleichungen.

Gleichungen, die Unbekannte im Exponenten enthalten, heißen Exponentialgleichungen. Die einfachste davon ist die Gleichung ax = b, wobei a > 0 und a ≠ 1.

1) Für b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) Für b > 0 hat die Gleichung unter Verwendung der Monotonie der Funktion und des Wurzelsatzes eine einzelne Wurzel. Um es zu finden, muss b als b = añ, ax = bс ó x = c oder x = logab dargestellt werden.

Die Exponentialgleichungen führen durch algebraische Transformationen zu Standardgleichungen, die mit den folgenden Methoden gelöst werden:

1) Methode der Reduktion auf eine Base;

2) Bewertungsmethode;

3) grafische Methode;

4) die Methode zur Einführung neuer Variablen;

5) Faktorisierungsmethode;

6) Exponential - Potenzgleichungen;

7) Exponential mit einem Parameter.

2 . Methode der Reduktion auf eine Basis.

Das Verfahren basiert auf folgender Eigenschaft von Graden: Wenn zwei Grade gleich sind und ihre Basen gleich sind, dann sind ihre Exponenten gleich, d.h. es muss versucht werden, die Gleichung auf die Form zu bringen

Beispiele. Löse die Gleichung:

1 . 3x=81;

Lassen Sie uns die rechte Seite der Gleichung in der Form 81 = 34 darstellen und die Gleichung schreiben, die dem Original 3 x = 34 entspricht; x = 4. Antwort: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> und gehe zur Gleichung für Exponenten 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5 Antwort: 0,5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Beachten Sie, dass die Zahlen 0,2, 0,04, √5 und 25 Potenzen von 5 sind. Machen wir uns das zunutze und wandeln die ursprüngliche Gleichung wie folgt um:

, woher 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, woraus wir die Lösung x = -1 finden. Antwort 1.

5. 3x = 5. Nach Definition des Logarithmus ist x = log35. Antwort: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Lassen Sie uns die Gleichung umschreiben als 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, d.h..png" width="181" height="49 src="> Also x - 4 =0, x = 4. Antwort: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Unter Verwendung der Eigenschaften von Potenzen schreiben wir die Gleichung in der Form zB x+1 = 2, x =1. Antwort 1.

Aufgabenbank Nr. 1.

Löse die Gleichung:

Versuch Nummer 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) keine Wurzeln
	1) 7;1 2) keine Wurzeln 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Test Nr. 2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) keine Wurzeln 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Bewertungsmethode.

Der Wurzelsatz: Wenn die Funktion f (x) auf dem Intervall I zunimmt (abnimmt), die Zahl a ein beliebiger Wert ist, der von f in diesem Intervall angenommen wird, dann hat die Gleichung f (x) = a eine einzelne Wurzel auf dem Intervall I.

Beim Lösen von Gleichungen durch das Schätzverfahren werden dieses Theorem und die Monotonieeigenschaften der Funktion verwendet.

Beispiele. Gleichungen lösen: 1. 4x = 5 - x.

Entscheidung. Schreiben wir die Gleichung um als 4x + x = 5.

1. Wenn x \u003d 1, dann 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 wahr ist, dann ist 1 die Wurzel der Gleichung.

Die Funktion f(x) = 4x wächst auf R und g(x) = x wächst auf R => h(x)= f(x)+g(x) wächst auf R als Summe der steigenden Funktionen, x = 1 ist also die einzige Wurzel der Gleichung 4x = 5 – x. Antwort 1.

2.

Entscheidung. Wir schreiben die Gleichung in die Form um .

1. wenn x = -1, dann , 3 = 3-wahr, also ist x = -1 die Wurzel der Gleichung.

2. beweisen, dass es einzigartig ist.

3. Die Funktion f(x) = - nimmt mit R ab, und g(x) = - x - nimmt mit R ab => h(x) = f(x) + g(x) - nimmt mit R ab, als Summe von abnehmenden Funktionen. Nach dem Wurzelsatz ist also x = -1 die einzige Wurzel der Gleichung. Antwort 1.

Aufgabenbank Nr. 2. löse die Gleichung

a) 4x + 1 = 6 - x;

b)

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Verfahren zur Einführung neuer Variablen.

Die Methode ist in Abschnitt 2.1 beschrieben. Die Einführung einer neuen Variablen (Substitution) erfolgt in der Regel nach Transformationen (Vereinfachung) der Terme der Gleichung. Betrachten Sie Beispiele.

Beispiele. R Essensgleichung: 1. .

Schreiben wir die Gleichung anders um: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">

Entscheidung. Schreiben wir die Gleichung anders um:

Bezeichnen Sie https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - nicht geeignet.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> ist eine irrationale Gleichung. Beachten Sie das

Die Lösung der Gleichung ist x = 2,5 ≤ 4, also ist 2,5 die Wurzel der Gleichung. Antwort: 2.5.

Entscheidung. Lassen Sie uns die Gleichung in der Form umschreiben und beide Seiten durch 56x+6 ≠ 0 teilen. Wir erhalten die Gleichung

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, also..png" width="118" height="56">

Die Wurzeln der quadratischen Gleichung - t1 = 1 und t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Entscheidung . Wir schreiben die Gleichung in die Form um

und beachten Sie, dass es sich um eine homogene Gleichung zweiten Grades handelt.

Teilen Sie die Gleichung durch 42x, erhalten wir

Ersetzen Sie https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Antwort: 0; 0,5.

Aufgabenbank Nr. 3. löse die Gleichung

b)

G)

Prüfung Nr. 3 mit Antwortauswahl. Mindestniveau.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
À2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) keine Wurzeln 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) keine Wurzeln 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Prüfung Nr. 4 mit Antwortauswahl. Allgemeine Ebene.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
À2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) keine Wurzeln

5. Methode der Faktorisierung.

1. Löse die Gleichung: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Lösung..png" width="169" height="69"> , woher

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Entscheidung. Nehmen wir 6x auf der linken Seite der Gleichung heraus und 2x auf der rechten Seite. Wir erhalten die Gleichung 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Da 2x >0 für alle x ist, können wir beide Seiten dieser Gleichung durch 2x dividieren, ohne befürchten zu müssen, Lösungen zu verlieren. Wir erhalten 3x = 1ó x = 0.

3.

Entscheidung. Wir lösen die Gleichung durch Faktorisieren.

Wir wählen das Quadrat des Binoms

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 ist die Wurzel der Gleichung.

Gleichung x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Test Nr. 6 Allgemeine Ebene.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2
A2	1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Exponential - Potenzgleichungen.

An die Exponentialgleichungen schließen sich die sogenannten Exponentialgleichungen an, also Gleichungen der Form (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Wenn bekannt ist, dass f(x) > 0 und f(x) ≠ 1, dann wird die Gleichung, wie die Exponentialgleichung, durch Gleichsetzen der Exponenten g(x) = f(x) gelöst.

Wenn die Bedingung die Möglichkeit von f(x)=0 und f(x)=1 nicht ausschließt, müssen wir diese Fälle beim Lösen der Potenzgleichung berücksichtigen.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

Entscheidung. x2 +2x-8 - macht für jedes x Sinn, weil ein Polynom, also die Gleichung äquivalent zur Menge ist

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

b)

7. Exponentialgleichungen mit Parametern.

1. Für welche Werte des Parameters p hat die Gleichung 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) eine eindeutige Lösung?

Entscheidung. Führen wir die Änderung 2x = t, t > 0 ein, dann nimmt Gleichung (1) die Form t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0 an. (2)

Die Diskriminante von Gleichung (2) ist D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Gleichung (1) hat eine eindeutige Lösung, wenn Gleichung (2) eine positive Wurzel hat. Dies ist in folgenden Fällen möglich.

1. Wenn D = 0, also p = 1, dann hat Gleichung (2) die Form t2 – 2t + 1 = 0, also t = 1, daher hat Gleichung (1) eine eindeutige Lösung x = 0.

2. Wenn p1, dann 9(p – 1)2 > 0, dann hat Gleichung (2) zwei verschiedene Wurzeln t1 = p, t2 = 4p – 3. Die Menge der Systeme erfüllt die Bedingung des Problems

Wenn wir t1 und t2 in die Systeme einsetzen, haben wir

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="(!LANG:no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Entscheidung. Lassen dann nimmt Gleichung (3) die Form t2 – 6t – a = 0 an. (4)

Lassen Sie uns die Werte des Parameters a finden, für die mindestens eine Wurzel der Gleichung (4) die Bedingung t > 0 erfüllt.

Führen wir die Funktion f(t) = t2 – 6t – a ein. Folgende Fälle sind möglich.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Fall 2. Gleichung (4) hat eine eindeutige positive Lösung, wenn

D = 0, wenn a = – 9, dann nimmt Gleichung (4) die Form an (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Fall 3. Gleichung (4) hat zwei Wurzeln, aber eine davon erfüllt nicht die Ungleichung t > 0. Dies ist möglich, wenn

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="(!LANG:no35_17" width="267" height="63">!}

Somit hat Gleichung (4) bei a 0 eine einzige positive Wurzel . Dann hat Gleichung (3) eine eindeutige Lösung

Für ein< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

wenn ein< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
wenn a = – 9, dann x = – 1;

wenn a  0, dann

Vergleichen wir die Methoden zum Lösen der Gleichungen (1) und (3). Beachten Sie, dass beim Lösen von Gleichung (1) sie auf eine quadratische Gleichung reduziert wurde, deren Diskriminante ein volles Quadrat ist; somit wurden die Wurzeln von Gleichung (2) sofort durch die Formel der Wurzeln der quadratischen Gleichung berechnet, und dann wurden Schlussfolgerungen bezüglich dieser Wurzeln gezogen. Gleichung (3) wurde auf eine quadratische Gleichung (4) reduziert, deren Diskriminante kein perfektes Quadrat ist. Daher ist es ratsam, beim Lösen von Gleichung (3) Sätze über die Position der Wurzeln eines quadratischen Trinoms und zu verwenden ein grafisches Modell. Beachten Sie, dass Gleichung (4) unter Verwendung des Vieta-Theorems gelöst werden kann.

Lassen Sie uns komplexere Gleichungen lösen.

Aufgabe 3. Lösen Sie die Gleichung

Entscheidung. ODZ: x1, x2.

Lassen Sie uns einen Ersatz einführen. Sei 2x = t, t > 0, dann nimmt die Gleichung als Ergebnis der Transformationen die Form t2 + 2t – 13 – a = 0 an. (*) Finden Sie die Werte von a, für die mindestens eine Wurzel von gilt die Gleichung (*) erfüllt die Bedingung t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Antwort: wenn a > - 13, a  11, a  5, dann wenn a - 13,

a = 11, a = 5, dann gibt es keine Wurzeln.

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In der Phase der Vorbereitung auf die Abschlussprüfung müssen Gymnasiasten ihre Kenntnisse zum Thema "Exponentialgleichungen" verbessern. Die Erfahrung der vergangenen Jahre zeigt, dass solche Aufgaben Schulkindern gewisse Schwierigkeiten bereiten. Daher müssen Gymnasiasten unabhängig von ihrem Vorbereitungsniveau die Theorie sorgfältig beherrschen, sich die Formeln merken und das Prinzip der Lösung solcher Gleichungen verstehen. Wenn die Absolventen gelernt haben, mit dieser Art von Aufgaben umzugehen, können sie beim Bestehen der Prüfung in Mathematik mit hohen Punktzahlen rechnen.

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Zur besseren Aneignung des Stoffes empfehlen wir Ihnen, die Aufgaben zu üben. Sehen Sie sich die Beispiele für Exponentialgleichungen mit Lösungen auf dieser Seite sorgfältig an, um den Berechnungsalgorithmus zu verstehen. Fahren Sie danach mit den Aufgaben im Abschnitt "Kataloge" fort. Sie können mit den einfachsten Aufgaben beginnen oder direkt zur Lösung komplexer Exponentialgleichungen mit mehreren Unbekannten oder übergehen. Die Übungsdatenbank auf unserer Website wird ständig ergänzt und aktualisiert.

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Staatliche Universität Belgorod

STUHL Algebra, Zahlentheorie und Geometrie

Arbeitsthema: Exponentielle Potenzgleichungen und Ungleichungen.

Diplomarbeit Student der Fakultät für Physik und Mathematik

Wissenschaftlicher Leiter:

______________________________

Rezensent: ________________________________

________________________

Belgorod. 2006

Einführung			3
Gegenstand ICH.	Analyse der Literatur zum Forschungsthema.
Gegenstand II.	Funktionen und ihre Eigenschaften, die beim Lösen von Potenzgleichungen und Ungleichungen verwendet werden.
	I.1.	Potenzfunktion und ihre Eigenschaften.
	I.2.	Die Exponentialfunktion und ihre Eigenschaften.
Gegenstand III.	Lösung von Potenzgleichungen, Algorithmus und Beispiele.
Gegenstand IV.	Lösung exponentieller Potenzungleichungen, Lösungsplan und Beispiele.
Gegenstand v.	Erfahrung in der Durchführung von Unterricht mit Schülern zum Thema: „Lösung von Exponentialgleichungen und Ungleichungen“.
v. 1.	Lehrmaterial.
v. 2.	Aufgaben zur selbstständigen Lösung.
Fazit.	Schlussfolgerungen und Angebote.
Literaturverzeichnis.
Anwendungen

Einführung.

"... die Freude am Sehen und Verstehen ..."

A. Einstein.

In dieser Arbeit habe ich versucht, meine Erfahrung als Mathematiklehrer zu vermitteln, zumindest teilweise meine Haltung zum Unterrichten von Mathematik zu vermitteln - eine menschliche Angelegenheit, in der mathematische Wissenschaft, Pädagogik, Didaktik, Psychologie und sogar Philosophie überraschend sind verflochten.

Ich hatte die Möglichkeit, mit Kindern und Absolventen zu arbeiten, mit Kindern, die an den Polen der intellektuellen Entwicklung standen: diejenigen, die bei einem Psychiater registriert waren und sich wirklich für Mathematik interessierten

Ich musste viele methodische Probleme lösen. Ich werde versuchen, über diejenigen zu sprechen, die ich lösen konnte. Aber mehr noch - es war nicht möglich, und in denen, die gelöst zu sein scheinen, tauchen neue Fragen auf.

Aber noch wichtiger als das Erlebnis selbst sind die Überlegungen und Zweifel des Lehrers: Warum ist es genau so, dieses Erlebnis?

Und der Sommer ist jetzt anders, und die Bildungswende ist interessanter geworden. „Unter den Jupitern“ ist heute nicht die Suche nach einem mythischen optimalen System des Unterrichtens „jeder und alles“, sondern das Kind selbst. Aber dann - mit Notwendigkeit - und der Lehrer.

Im Schulkurs Algebra und Beginn der Analysis, Klassen 10 - 11, beim Bestehen der Abiturprüfung und bei Aufnahmeprüfungen an Universitäten gibt es Gleichungen und Ungleichungen mit einer Unbekannten an der Basis und Exponenten - diese sind exponentiell -Power Gleichungen und Ungleichungen.

In der Schule wird ihnen wenig Beachtung geschenkt, in Lehrbüchern gibt es praktisch keine Aufgaben zu diesem Thema. Die Beherrschung der Methodik zu ihrer Lösung scheint mir jedoch sehr nützlich zu sein: Es erhöht die geistigen und kreativen Fähigkeiten der Schüler, völlig neue Horizonte eröffnen sich vor uns. Beim Lösen von Problemen erwerben die Studierenden erste Fähigkeiten der Forschungsarbeit, ihre mathematische Kultur wird bereichert und die Fähigkeit zum logischen Denken entwickelt sich. Schulkinder entwickeln solche Persönlichkeitsmerkmale wie Zielstrebigkeit, Zielstrebigkeit, Unabhängigkeit, die ihnen im späteren Leben nützlich sein werden. Und es gibt auch eine Wiederholung, Erweiterung und tiefe Aneignung von Unterrichtsmaterial.

Ich habe mit der Arbeit an diesem Thema meiner Diplomarbeit begonnen, indem ich eine Seminararbeit geschrieben habe. Im Rahmen dessen ich die mathematische Literatur zu diesem Thema vertieft und analysiert habe, habe ich die am besten geeignete Methode zur Lösung von Exponentialgleichungen und Ungleichungen identifiziert.

Es liegt in der Tatsache, dass zusätzlich zum allgemein akzeptierten Ansatz beim Lösen von Potenzgleichungen (die Basis wird größer als 0 genommen) und beim Lösen der gleichen Ungleichungen (die Basis wird größer als 1 oder größer als 0 genommen, aber kleiner als 1), werden auch Fälle berücksichtigt, in denen die Basen negativ sind, 0 und 1 sind.

Eine Analyse der schriftlichen Prüfungsarbeiten von Schülerinnen und Schülern zeigt, dass die fehlende Behandlung der Problematik des negativen Werts des Arguments der Potenzfunktion in Schulbüchern ihnen eine Reihe von Schwierigkeiten bereitet und zu Fehlern führt. Und sie haben auch Probleme in der Phase der Systematisierung der erhaltenen Ergebnisse, wo aufgrund des Übergangs zu einer Gleichung - einer Konsequenz oder einer Ungleichung - einer Konsequenz fremde Wurzeln auftreten können. Um Fehler zu eliminieren, verwenden wir eine Überprüfung durch die ursprüngliche Gleichung oder Ungleichung und einen Algorithmus zum Lösen von Potenzgleichungen oder einen Plan zum Lösen von Potenzungleichungen.

Damit die Studierenden die Abschluss- und Aufnahmeprüfungen erfolgreich bestehen, ist es meines Erachtens notwendig, dem Lösen von Potenzgleichungen und Ungleichungen im Unterricht oder zusätzlich in Wahlfächern und Zirkeln mehr Aufmerksamkeit zu schenken.

Auf diese Weise Gegenstand , ist meine Diplomarbeit wie folgt definiert: „Exponentialgleichungen und Ungleichungen“.

Ziele dieser Arbeit sind:

1. Analysieren Sie die Literatur zu diesem Thema.

2. Geben Sie eine vollständige Analyse der Lösung von Potenzgleichungen und Ungleichungen an.

3. Geben Sie zu diesem Thema genügend Beispiele unterschiedlicher Art an.

4. Prüfen Sie im Unterricht, Wahlpflicht- und Zirkelunterricht, wie die vorgeschlagenen Methoden zur Lösung von Exponentialgleichungen und Ungleichungen wahrgenommen werden. Geben Sie geeignete Empfehlungen für das Studium dieses Themas.

Gegenstand unsere forschung ist die entwicklung einer technik zur lösung von exponentiellen potenzgleichungen und ungleichungen.

Zweck und Gegenstand der Studie erforderten die Lösung folgender Aufgaben:

1. Studieren Sie die Literatur zum Thema: „Exponentielle Potenzgleichungen und Ungleichungen“.

2. Beherrschen Sie die Methoden zur Lösung von Potenzgleichungen und Ungleichungen.

3. Wählen Sie Trainingsmaterial aus und entwickeln Sie ein System von Übungen auf verschiedenen Ebenen zum Thema: „Exponentielle Gleichungen und Ungleichungen lösen“.

Im Verlauf der Dissertation wurden mehr als 20 Arbeiten analysiert, die sich mit der Anwendung verschiedener Methoden zur Lösung von Potenzgleichungen und Ungleichungen befassten. Von hier bekommen wir.

Abschlussplan:

Einführung.

Kapitel I. Analyse der Literatur zum Forschungsthema.

Kapitel II. Funktionen und ihre Eigenschaften, die beim Lösen von Potenzgleichungen und Ungleichungen verwendet werden.

II.1. Potenzfunktion und ihre Eigenschaften.

II.2. Die Exponentialfunktion und ihre Eigenschaften.

Kapitel III. Lösung von Potenzgleichungen, Algorithmus und Beispiele.

Kapitel IV. Lösung exponentieller Potenzungleichungen, Lösungsplan und Beispiele.

Kapitel V. Erfahrung in der Durchführung von Unterricht mit Schülern zu diesem Thema.

1. Lehrmaterial.

2. Aufgaben zur selbstständigen Lösung.

Fazit. Schlussfolgerungen und Angebote.

Verzeichnis der verwendeten Literatur.

In Kapitel I analysierte Literatur

Diese Lektion ist für diejenigen gedacht, die gerade erst anfangen, Exponentialgleichungen zu lernen. Beginnen wir wie immer mit einer Definition und einfachen Beispielen.

Wenn Sie diese Lektion lesen, dann vermute ich, dass Sie bereits zumindest ein minimales Verständnis der einfachsten Gleichungen haben - linear und quadratisch: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ usw. Solche Konstruktionen lösen zu können, ist absolut notwendig, um nicht in dem jetzt zu behandelnden Thema „hängen“ zu bleiben.

Also Exponentialgleichungen. Lassen Sie mich Ihnen ein paar Beispiele geben:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Einige von ihnen mögen Ihnen komplizierter erscheinen, andere sind im Gegenteil zu einfach. Aber alle eint ein wichtiges Merkmal: Sie enthalten eine Exponentialfunktion $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Daher führen wir die Definition ein:

Eine Exponentialgleichung ist jede Gleichung, die eine Exponentialfunktion enthält, d.h. Ausdruck der Form $((a)^(x))$. Neben der angegebenen Funktion können solche Gleichungen beliebige andere algebraische Konstruktionen enthalten - Polynome, Wurzeln, Trigonometrie, Logarithmen usw.

Gut. Definition verstanden. Jetzt stellt sich die Frage: Wie löst man diesen ganzen Mist? Die Antwort ist einfach und komplex zugleich.

Beginnen wir mit der guten Nachricht: Aus meiner Erfahrung mit vielen Studenten kann ich sagen, dass für die meisten Exponentialgleichungen viel einfacher sind als die gleichen Logarithmen, und noch mehr Trigonometrie.

Aber es gibt auch schlechte Nachrichten: Manchmal werden die Ersteller von Aufgaben für alle Arten von Lehrbüchern und Prüfungen von „Inspiration“ heimgesucht, und ihr drogengeplagtes Gehirn beginnt, so brutale Gleichungen zu produzieren, dass es nicht nur für Studenten problematisch wird, sie zu lösen - sogar viele Lehrer bleiben bei solchen Problemen hängen.

Reden wir jedoch nicht über traurige Dinge. Und kehren wir zu den drei Gleichungen zurück, die ganz am Anfang der Geschichte gegeben wurden. Versuchen wir, jeden von ihnen zu lösen.

Erste Gleichung: $((2)^(x))=4$. Nun, mit welcher Potenz muss die Zahl 2 potenziert werden, um die Zahl 4 zu erhalten? Vielleicht das Zweite? Immerhin ist $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — und wir haben die richtige numerische Gleichheit erhalten, d.h. tatsächlich $x=2$. Danke, Cap, aber diese Gleichung war so einfach, dass sogar meine Katze sie lösen konnte. :)

Betrachten wir die folgende Gleichung:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Aber hier ist es etwas schwieriger. Viele Schüler wissen, dass $((5)^(2))=25$ das Einmaleins ist. Einige vermuten auch, dass $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ im Wesentlichen die Definition negativer Exponenten ist (ähnlich der Formel $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

Schließlich vermuten nur wenige Auserwählte, dass diese Fakten kombiniert werden können und die Ausgabe das folgende Ergebnis ist:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Somit wird unsere ursprüngliche Gleichung wie folgt umgeschrieben:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Und das ist jetzt auch schon komplett gelöst! Auf der linken Seite der Gleichung steht eine Exponentialfunktion, auf der rechten Seite der Gleichung steht eine Exponentialfunktion, sonst gibt es nichts als sie. Daher ist es möglich, die Basen zu „verwerfen“ und die Indikatoren dumm gleichzusetzen:

Wir haben die einfachste lineare Gleichung, die jeder Schüler in nur wenigen Zeilen lösen kann. Okay, in vier Zeilen:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Wenn Sie nicht verstehen, was in den letzten vier Zeilen passiert ist, kehren Sie unbedingt zum Thema „lineare Gleichungen“ zurück und wiederholen Sie es. Denn ohne eine klare Aneignung dieses Themas ist es für Sie zu früh, sich mit Exponentialgleichungen zu befassen.

\[((9)^(x))=-3\]

Na, wie entscheidest du dich? Erster Gedanke: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, also kann die ursprüngliche Gleichung so umgeschrieben werden:

\[((\links(((3)^(2)) \rechts))^(x))=-3\]

Dann erinnern wir uns, dass beim Potenzieren eines Grades die Indikatoren multipliziert werden:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Und für eine solche Entscheidung bekommen wir eine ehrlich verdiente Zwei. Denn wir haben mit der Gelassenheit eines Pokémon das Minuszeichen vor die Drei hoch genau diese Drei gestellt. Und das kannst du nicht. Und deshalb. Schauen Sie sich die verschiedenen Potenzen des Tripels an:

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrix)\]

Beim Kompilieren dieser Tafel habe ich nicht so schnell pervertiert: Ich habe positive Grade und negative und sogar gebrochene Grade berücksichtigt ... nun, wo ist hier mindestens eine negative Zahl? Er ist nicht da! Und das kann es nicht sein, denn die Exponentialfunktion $y=((a)^(x))$ nimmt erstens immer nur positive Werte an (egal wie viel man mit eins multipliziert oder durch zwei dividiert, es bleibt immer noch a positive Zahl), und zweitens ist die Basis einer solchen Funktion, die Zahl $a$, per Definition eine positive Zahl!

Nun, wie löst man dann die Gleichung $((9)^(x))=-3$? Nein, es gibt keine Wurzeln. Und in diesem Sinne sind Exponentialgleichungen quadratischen sehr ähnlich – es darf dort auch keine Wurzeln geben. Aber wenn in quadratischen Gleichungen die Anzahl der Wurzeln durch die Diskriminante bestimmt wird (die Diskriminante ist positiv - 2 Wurzeln, negativ - keine Wurzeln), dann hängt in Exponentialgleichungen alles davon ab, was rechts vom Gleichheitszeichen steht.

Damit formulieren wir die zentrale Schlussfolgerung: Die einfachste Exponentialgleichung der Form $((a)^(x))=b$ hat genau dann eine Wurzel, wenn $b>0$. Wenn Sie diese einfache Tatsache kennen, können Sie leicht feststellen, ob die Ihnen vorgeschlagene Gleichung Wurzeln hat oder nicht. Jene. Lohnt es sich überhaupt, es zu lösen, oder schreiben Sie sofort auf, dass es keine Wurzeln gibt.

Dieses Wissen hilft uns um ein Vielfaches, wenn wir komplexere Probleme lösen müssen. In der Zwischenzeit genug Texte - es ist Zeit, den grundlegenden Algorithmus zum Lösen von Exponentialgleichungen zu studieren.

Wie man Exponentialgleichungen löst

Also formulieren wir das Problem. Es ist notwendig, die Exponentialgleichung zu lösen:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Gemäß dem zuvor verwendeten "naiven" Algorithmus ist es notwendig, die Zahl $b$ als Potenz der Zahl $a$ darzustellen:

Außerdem erhalten wir, wenn anstelle der Variablen $x$ ein Ausdruck steht, eine neue Gleichung, die bereits gelöst werden kann. Zum Beispiel:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\end(align)\]

Und seltsamerweise funktioniert dieses Schema in etwa 90% der Fälle. Was ist dann mit den anderen 10%? Die restlichen 10 % sind leicht "schizophrene" Exponentialgleichungen der Form:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Mit welcher Potenz müssen Sie 2 erhöhen, um 3 zu erhalten? In der ersten? Aber nein: $((2)^(1))=2$ ist nicht genug. In dieser Sekunde? Weder noch: $((2)^(2))=4$ ist zu viel. Was dann?

Sachkundige Studenten haben es wahrscheinlich schon erraten: In solchen Fällen, in denen es unmöglich ist, „schön“ zu lösen, ist „schwere Artillerie“ mit dem Fall verbunden - Logarithmen. Ich möchte Sie daran erinnern, dass mithilfe von Logarithmen jede positive Zahl als Potenz jeder anderen positiven Zahl (mit Ausnahme von Eins) dargestellt werden kann:

Erinnern Sie sich an diese Formel? Wenn ich meinen Schülern von Logarithmen erzähle, warne ich Sie immer: Diese Formel (es ist auch die logarithmische Grundidentität oder, wenn Sie so wollen, die Definition des Logarithmus) wird Sie sehr lange verfolgen und am meisten „auftauchen“. unerwartete Orte. Nun, sie tauchte auf. Schauen wir uns unsere Gleichung und diese Formel an:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Wenn wir annehmen, dass $a=3$ unsere ursprüngliche Zahl auf der rechten Seite ist und $b=2$ die eigentliche Basis der Exponentialfunktion ist, auf die wir die rechte Seite so reduzieren wollen, erhalten wir Folgendes:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rightarrow x=( (\log )_(2))3. \\\end(align)\]

Wir haben eine etwas seltsame Antwort bekommen: $x=((\log )_(2))3$. Bei einer anderen Aufgabe würden viele mit einer solchen Antwort zweifeln und anfangen, ihre Lösung noch einmal zu überprüfen: Was wäre, wenn irgendwo ein Fehler wäre? Ich beeile mich, Sie zu erfreuen: Hier liegt kein Fehler vor, und Logarithmen in den Wurzeln von Exponentialgleichungen sind eine ziemlich typische Situation. Also gewöhn dich dran. :)

Nun lösen wir analog die verbleibenden zwei Gleichungen:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rechtspfeil x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(align)\]

Das ist alles! Die letzte Antwort kann übrigens auch anders geschrieben werden:

Wir waren es, die den Multiplikator in das Argument des Logarithmus eingeführt haben. Aber niemand hindert uns daran, diesen Faktor zur Basis hinzuzufügen:

Außerdem sind alle drei Optionen richtig - es sind nur unterschiedliche Schreibweisen derselben Zahl. Welche Sie in dieser Entscheidung auswählen und aufschreiben, liegt bei Ihnen.

So haben wir gelernt, beliebige Exponentialgleichungen der Form $((a)^(x))=b$ zu lösen, wobei die Zahlen $a$ und $b$ strikt positiv sind. Die harte Realität unserer Welt ist jedoch so, dass solche einfachen Aufgaben Sie sehr, sehr selten treffen werden. Häufiger werden Sie auf Folgendes stoßen:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(align)\]

Na, wie entscheidest du dich? Kann man das überhaupt lösen? Und wenn ja, wie?

Keine Panik. Alle diese Gleichungen lassen sich schnell und einfach auf die einfachen Formeln reduzieren, die wir bereits betrachtet haben. Sie müssen sich nur ein paar Tricks aus dem Algebra-Kurs merken können. Und natürlich geht es nirgendwo ohne Regeln für das Arbeiten mit Abschlüssen. Ich werde jetzt über all das sprechen. :)

Transformation von Exponentialgleichungen

Das erste, woran man sich erinnern sollte, ist, dass jede Exponentialgleichung, egal wie komplex sie sein mag, auf die eine oder andere Weise auf die einfachsten Gleichungen reduziert werden muss – genau die, die wir bereits betrachtet haben und die wir zu lösen wissen. Mit anderen Worten, das Schema zum Lösen einer beliebigen Exponentialgleichung lautet wie folgt:

1. Schreiben Sie die ursprüngliche Gleichung auf. Zum Beispiel: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Mach irgendeinen dummen Scheiß. Oder sogar irgendein Mist namens "Transform the Equation";
3. Als Ausgabe erhalten Sie die einfachsten Ausdrücke wie $((4)^(x))=4$ oder so ähnlich. Darüber hinaus kann eine Anfangsgleichung mehrere solcher Ausdrücke gleichzeitig liefern.

Mit dem ersten Punkt ist alles klar - sogar meine Katze kann die Gleichung auf ein Blatt schreiben. Auch beim dritten Punkt scheint es mehr oder weniger klar zu sein - wir haben oben schon eine ganze Reihe solcher Gleichungen gelöst.

Aber was ist mit dem zweiten Punkt? Was sind die Transformationen? Was in was umwandeln? Und wie?

Nun, lass es uns herausfinden. Zunächst möchte ich auf Folgendes hinweisen. Alle Exponentialgleichungen werden in zwei Typen unterteilt:

1. Die Gleichung setzt sich aus Exponentialfunktionen mit gleicher Basis zusammen. Beispiel: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Die Formel enthält Exponentialfunktionen mit unterschiedlichen Basen. Beispiele: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ und $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09$.

Beginnen wir mit Gleichungen des ersten Typs - sie sind am einfachsten zu lösen. Und bei ihrer Lösung wird uns eine Technik wie die Auswahl stabiler Ausdrücke helfen.

Hervorheben eines stabilen Ausdrucks

Schauen wir uns diese Gleichung noch einmal an:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Was sehen wir? Die vier werden in unterschiedlichem Maße angehoben. Aber all diese Potenzen sind einfache Summen der Variablen $x$ mit anderen Zahlen. Daher müssen die Regeln für die Arbeit mit Abschlüssen beachtet werden:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(y))). \\\end(align)\]

Einfach ausgedrückt, die Addition von Exponenten kann in ein Produkt von Potenzen umgewandelt werden, und die Subtraktion lässt sich leicht in eine Division umwandeln. Versuchen wir, diese Formeln auf die Potenzen aus unserer Gleichung anzuwenden:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(align)\]

Wir schreiben die ursprüngliche Gleichung unter Berücksichtigung dieser Tatsache um und sammeln dann alle Terme auf der linken Seite:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -elf; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(align)\]

Die ersten vier Terme enthalten das Element $((4)^(x))$ – nehmen wir es aus der Klammer:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(align)\]

Es bleibt, beide Teile der Gleichung durch den Bruch $-\frac(11)(4)$ zu dividieren, also im Wesentlichen mit dem umgekehrten Bruch multiplizieren - $-\frac(4)(11)$. Wir bekommen:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\end(align)\]

Das ist alles! Wir haben die ursprüngliche Gleichung auf die einfachste reduziert und die endgültige Antwort erhalten.

Gleichzeitig haben wir beim Lösen den gemeinsamen Faktor $((4)^(x))$ entdeckt (und sogar aus der Klammer genommen) - das ist der stabile Ausdruck. Es kann als neue Variable bezeichnet werden, oder Sie können es einfach genau ausdrücken und eine Antwort erhalten. In jedem Fall lautet das Kernprinzip der Lösung wie folgt:

Finden Sie in der ursprünglichen Gleichung einen stabilen Ausdruck, der eine Variable enthält, die leicht von allen Exponentialfunktionen zu unterscheiden ist.

Die gute Nachricht ist, dass fast jede Exponentialgleichung einen solchen stabilen Ausdruck zulässt.

Aber es gibt auch schlechte Nachrichten: Solche Ausdrücke können sehr schwierig sein, und es kann ziemlich schwierig sein, sie zu unterscheiden. Schauen wir uns also ein anderes Problem an:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Vielleicht hat jetzt jemand eine Frage: „Pascha, bist du bekifft? Hier sind verschiedene Basen - 5 und 0,2. Aber versuchen wir mal, eine Potenz zur Basis 0,2 umzurechnen. Lassen Sie uns zum Beispiel den Dezimalbruch loswerden und ihn auf das Übliche bringen:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10 ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

Wie Sie sehen können, erschien die Zahl 5 immer noch, wenn auch im Nenner. Gleichzeitig wurde der Indikator negativ umgeschrieben. Und jetzt erinnern wir uns an eine der wichtigsten Regeln für die Arbeit mit Abschlüssen:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Hier habe ich natürlich ein wenig geschummelt. Denn für ein vollständiges Verständnis musste die Formel zur Beseitigung negativer Indikatoren wie folgt geschrieben werden:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ rechts))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Andererseits hinderte uns nichts daran, nur mit einer Fraktion zu arbeiten:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ rechts))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

In diesem Fall müssen Sie jedoch in der Lage sein, einen Abschluss auf einen anderen Abschluss anzuheben (ich erinnere Sie daran: In diesem Fall werden die Indikatoren addiert). Aber ich musste die Brüche nicht "umdrehen" - vielleicht wird es für jemanden einfacher. :)

In jedem Fall wird die ursprüngliche Exponentialgleichung umgeschrieben als:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(align)\]

Es stellt sich also heraus, dass die ursprüngliche Gleichung noch einfacher zu lösen ist als die zuvor betrachtete: Hier müssen Sie nicht einmal einen stabilen Ausdruck herausgreifen - alles wurde von selbst reduziert. Es bleibt nur zu bedenken, dass $1=((5)^(0))$, woraus wir erhalten:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\end(align)\]

Das ist die ganze Lösung! Wir haben die endgültige Antwort: $x=-2$. Gleichzeitig möchte ich einen Trick anmerken, der uns alle Berechnungen stark vereinfacht hat:

Achten Sie in Exponentialgleichungen darauf, Dezimalbrüche zu entfernen und sie in gewöhnliche Brüche umzuwandeln. Dadurch können Sie die gleichen Grundlagen der Abschlüsse sehen und die Lösung erheblich vereinfachen.

Kommen wir nun zu komplexeren Gleichungen, in denen es unterschiedliche Basen gibt, die im Allgemeinen nicht mit Hilfe von Potenzen aufeinander reduziert werden.

Verwenden der Exponenteneigenschaft

Ich möchte Sie daran erinnern, dass wir zwei besonders harte Gleichungen haben:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(align)\]

Die Hauptschwierigkeit besteht hier darin, dass nicht klar ist, was und auf welche Grundlage zu führen ist. Wo sind die festen Ausdrücke? Wo sind die Gemeinsamkeiten? Davon gibt es nichts.

Aber lass uns versuchen, den anderen Weg zu gehen. Wenn es keine vorgefertigten identischen Basen gibt, können Sie versuchen, sie zu finden, indem Sie die verfügbaren Basen faktorisieren.

Beginnen wir mit der ersten Gleichung:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\end(align)\]

Sie können aber auch das Gegenteil tun - bilden Sie die Zahl 21 aus den Zahlen 7 und 3. Dies ist auf der linken Seite besonders einfach, da die Indikatoren beider Grade gleich sind:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\&x=3. \\\end(align)\]

Das ist alles! Sie haben den Exponenten aus dem Produkt entfernt und sofort eine schöne Gleichung erhalten, die in ein paar Zeilen gelöst werden kann.

Kommen wir nun zur zweiten Gleichung. Hier ist alles viel komplizierter:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

In diesem Fall erwiesen sich die Brüche als irreduzibel, aber wenn etwas reduziert werden kann, reduzieren Sie es unbedingt. Dabei ergeben sich oft interessante Gründe, mit denen Sie bereits arbeiten können.

Leider ist uns nichts eingefallen. Aber wir sehen, dass die Exponenten links im Produkt entgegengesetzt sind:

Zur Erinnerung: Um das Minuszeichen im Exponenten loszuwerden, musst du nur den Bruch „umdrehen“. Schreiben wir also die ursprüngliche Gleichung um:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(align)\]

In der zweiten Zeile haben wir einfach die Summe aus dem Produkt nach der Regel $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right ))^ (x))$, und in letzterem haben sie einfach die Zahl 100 mit einem Bruch multipliziert.

Beachten Sie nun, dass die Zahlen links (an der Basis) und rechts etwas ähnlich sind. Wie? Ja, offensichtlich: es sind Potenzen der gleichen Zahl! Wir haben:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \right))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \right))^(2)). \\\end(align)\]

Somit wird unsere Gleichung wie folgt umgeschrieben:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3 )(10) \right))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10 )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

Gleichzeitig können Sie rechts auch einen Abschluss mit derselben Basis erhalten, für den es ausreicht, nur den Bruch zu „umdrehen“:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Schließlich nimmt unsere Gleichung die Form an:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(align)\]

Das ist die ganze Lösung. Seine Hauptidee läuft darauf hinaus, dass wir selbst bei unterschiedlichen Gründen versuchen, diese Gründe auf die gleiche Weise zu reduzieren. Dabei helfen uns elementare Transformationen von Gleichungen und die Regeln für die Arbeit mit Potenzen.

Aber welche Regeln und wann zu verwenden? Wie kann man verstehen, dass Sie in einer Gleichung beide Seiten durch etwas dividieren müssen und in einer anderen - um die Basis der Exponentialfunktion zu faktorisieren?

Die Antwort auf diese Frage ergibt sich aus der Erfahrung. Versuchen Sie sich zuerst an einfachen Gleichungen und komplizieren Sie die Aufgaben dann nach und nach - und sehr bald werden Ihre Fähigkeiten ausreichen, um jede Exponentialgleichung aus demselben USE oder jede unabhängige / Testarbeit zu lösen.

Und um Ihnen bei dieser schwierigen Aufgabe zu helfen, schlage ich vor, eine Reihe von Gleichungen von meiner Website herunterzuladen, um eine unabhängige Lösung zu erhalten. Alle Gleichungen haben Antworten, sodass Sie sich jederzeit selbst überprüfen können.

In dieser Lektion werden wir die Lösung komplexerer Exponentialgleichungen betrachten und uns an die wichtigsten theoretischen Bestimmungen zur Exponentialfunktion erinnern.

1. Definition und Eigenschaften einer Exponentialfunktion, eine Technik zum Lösen der einfachsten Exponentialgleichungen

Erinnern Sie sich an die Definition und die wichtigsten Eigenschaften einer Exponentialfunktion. Auf den Eigenschaften basiert die Lösung aller Exponentialgleichungen und Ungleichungen.

Exponentialfunktion ist eine Funktion der Form , wobei die Basis der Grad ist und x hier eine unabhängige Variable, ein Argument ist; y - abhängige Variable, Funktion.

Reis. 1. Graph der Exponentialfunktion

Der Graph zeigt einen steigenden und fallenden Exponenten, was die Exponentialfunktion an einer Basis größer als eins bzw. kleiner als eins, aber größer als null darstellt.

Beide Kurven gehen durch den Punkt (0;1)

Eigenschaften der Exponentialfunktion:

Domäne: ;

Wertebereich: ;

Die Funktion ist monoton, steigt mit , fällt mit .

Eine monotone Funktion nimmt jeden ihrer Werte mit einem einzigen Wert des Arguments an.

Wenn das Argument von minus auf plus unendlich steigt, steigt die Funktion von null (einschließlich) auf plus unendlich. Wenn im Gegensatz dazu das Argument von minus auf plus unendlich zunimmt, nimmt die Funktion von unendlich auf null einschließlich ab.

2. Lösung typischer Exponentialgleichungen

Erinnern Sie sich, wie man die einfachsten Exponentialgleichungen löst. Ihre Lösung basiert auf der Monotonie der Exponentialfunktion. Fast alle komplexen Exponentialgleichungen werden auf solche Gleichungen zurückgeführt.

Die Gleichheit von Exponenten mit gleichen Basen liegt an der Eigenschaft der Exponentialfunktion, nämlich ihrer Monotonie.

Lösungsmethode:

Gleichen Sie die Basen der Grade aus;

Exponenten gleichsetzen.

Kommen wir zu komplexeren Exponentialgleichungen, unser Ziel ist es, jede von ihnen auf die einfachste zu reduzieren.

Lassen Sie uns die Wurzel auf der linken Seite loswerden und die Grade auf dieselbe Basis reduzieren:

Um eine komplexe Exponentialgleichung auf eine einfache zu reduzieren, wird oft eine Variablenänderung verwendet.

Lassen Sie uns die Grad-Eigenschaft verwenden:

Wir führen einen Ersatz ein. Lass dann

Wir multiplizieren die resultierende Gleichung mit zwei und übertragen alle Terme auf die linke Seite:

Die erste Wurzel erfüllt das Intervall von y-Werten nicht, wir verwerfen sie. Wir bekommen:

Bringen wir die Grade auf denselben Indikator:

Wir führen einen Ersatz ein:

Lass dann . Bei dieser Ersetzung ist es offensichtlich, dass y ausschließlich positive Werte annimmt. Wir bekommen:

Wir wissen, wie man ähnliche quadratische Gleichungen löst, wir schreiben die Antwort auf:

Um sicherzustellen, dass die Wurzeln richtig gefunden werden, können Sie nach dem Vieta-Theorem überprüfen, dh die Summe der Wurzeln und ihres Produkts finden und mit den entsprechenden Koeffizienten der Gleichung überprüfen.

Wir bekommen:

3. Technik zur Lösung homogener Exponentialgleichungen zweiten Grades

Lassen Sie uns die folgende wichtige Art von Exponentialgleichungen untersuchen:

Gleichungen dieser Art heißen homogen zweiten Grades bezüglich der Funktionen f und g. Auf seiner linken Seite befindet sich ein quadratisches Trinom bezüglich f mit Parameter g oder ein quadratisches Trinom bezüglich g mit Parameter f.

Lösungsmethode:

Diese Gleichung kann quadratisch gelöst werden, aber einfacher ist es umgekehrt. Zwei Fälle sollten betrachtet werden:

Im ersten Fall bekommen wir

Im zweiten Fall haben wir das Recht, durch den höchsten Grad zu dividieren und erhalten:

Sollte man einen Variablenwechsel einführen, erhalten wir eine quadratische Gleichung für y:

Beachten Sie, dass die Funktionen f und g beliebig sein können, aber wir interessieren uns für den Fall, wenn es sich um Exponentialfunktionen handelt.

4. Beispiele zur Lösung homogener Gleichungen

Verschieben wir alle Terme auf die linke Seite der Gleichung:

Da die Exponentialfunktionen streng positive Werte annehmen, haben wir das Recht, die Gleichung sofort durch zu dividieren, ohne den Fall zu berücksichtigen, wenn:

Wir bekommen:

Wir führen einen Ersatz ein: (nach den Eigenschaften der Exponentialfunktion)

Wir haben eine quadratische Gleichung:

Wir bestimmen die Nullstellen nach dem Satz von Vieta:

Die erste Wurzel erfüllt das Intervall von y-Werten nicht, wir verwerfen sie, wir erhalten:

Nutzen wir die Eigenschaften des Grades und reduzieren alle Grade auf einfache Basen:

Die Funktionen f und g sind leicht zu erkennen:

Da die Exponentialfunktionen streng positive Werte annehmen, haben wir das Recht, die Gleichung sofort durch zu dividieren, ohne den Fall zu berücksichtigen, wenn .