Sowohl in der 7. als auch in der 8. Klasse haben wir Gleichungen oft grafisch gelöst. Ist Ihnen aufgefallen, dass die Gleichungen in fast allen diesen Beispielen „gute“ Wurzeln hatten? Dies waren ganze Zahlen, die mit Hilfe von Grafiken leicht zu finden waren, insbesondere auf kariertem Papier. Aber das ist nicht immer der Fall, wir haben bisher nur „gute“ Beispiele aufgeschnappt.
Betrachten Sie zwei Gleichungen: = 2 - x und = 4 - x. Die erste Gleichung hat eine einzige Wurzel x \u003d 1, da sich die Graphen der Funktionen y \u003d und y \u003d 2 - x an einem Punkt A (1; 1) schneiden (Abb. 112). Im zweiten Fall schneiden sich die Graphen der Funktionen - fs und y \u003d 4 - x ebenfalls an einem Punkt B (Abb. 113), jedoch mit "schlechten" Koordinaten. Unter Verwendung der Zeichnung können wir schließen, dass die Abszisse von Punkt B ungefähr gleich 2,5 ist. In solchen Fällen sprechen sie nicht von der exakten, sondern von der ungefähren Lösung der Gleichung und schreiben so:
Dies ist einer der Gründe, warum Mathematiker beschlossen haben, das Konzept eines Näherungswerts einer reellen Zahl einzuführen. Es gibt noch einen zweiten Grund, der vielleicht noch wichtiger ist: Was ist eine reelle Zahl? Dies ist eine unendliche Dezimalzahl. Es ist jedoch unpraktisch, Berechnungen mit unendlichen Dezimalbrüchen durchzuführen, daher werden in der Praxis Näherungswerte von reellen Zahlen verwendet. Beispielsweise verwenden sie für eine Zahl die ungefähre Gleichheit 3,141 oder 3,142. Der erste wird als ungefährer Wert (oder Annäherung) der Zahl n in Bezug auf den Mangel mit einer Genauigkeit von 0,001 bezeichnet; der zweite wird als Näherungswert (Annäherung) der Zahl k im Überschuss mit einer Genauigkeit von 0,001 bezeichnet. Genauere Näherungen können vorgenommen werden: zum Beispiel
3,1415 - Annäherung durch Mangel mit einer Genauigkeit von 0,0001; 3,1416 ist eine überschüssige Annäherung mit einer Genauigkeit von 0,0001. Sie können weniger genaue Näherungen nehmen, z. B. mit einer Genauigkeit von 0,01: 3,14 für den Mangel, 3,15 für den Überschuss.
Das ungefähre Gleichheitszeichen » haben Sie im Mathematikunterricht der 5. bis 6. Klasse und wahrscheinlich im Physikunterricht verwendet, und wir haben es früher verwendet, z. B. in § 27.
Beispiel 1 Finden Sie ungefähre Werte für Mangel und Überschuss mit einer Genauigkeit von 0,01 für Zahlen:
Lösung,
a) Das wissen wir = 2,236 . 2,24 ist eine Exzessnäherung mit einer Genauigkeit von 0,01.
b) 2 + = 2,000... + 2,236... = 4,236... . Daher ist 2 + 4,23 eine Annäherung an den Mangel mit einer Genauigkeit von 0,01; 2 + 4,24 ist eine Exzessnäherung mit einer Genauigkeit von 0,01.
c) Wir haben 0,31818... (siehe § 26). Somit ist 0,31 eine Annäherung an den Mangel mit einer Genauigkeit von 0,01; 0,32 ist eine Exzessnäherung mit einer Genauigkeit von 0,01.
Die Approximation durch Mangel und die Approximation durch Exzess wird manchmal als Runden einer Zahl bezeichnet.
Definition.
Der Näherungsfehler (absoluter Fehler) ist der Betrag der Differenz zwischen dem exakten Wert von x und seinem Näherungswert a: Der Näherungsfehler ist | x - ein |.
Beispielsweise wird der Fehler der ungefähren Gleichheit ausgedrückt als bzw. als ,
Es stellt sich eine rein praktische Frage: Welche Näherung ist besser, in Bezug auf Mangel oder Überschuss, d.h. in welchem Fall ist der Fehler kleiner? Dies hängt natürlich von der speziellen Zahl ab, für die die Näherungen gemacht werden. Normalerweise werden beim Runden positiver Zahlen die folgenden Regeln verwendet:
Heugabel:
Wenden wir diese Regel auf alle in diesem Abschnitt betrachteten Zahlen an; Wählen wir für die betrachteten Zahlen diejenigen Näherungen aus, bei denen der Fehler am kleinsten ausfällt.
1) = 3,141592... . Bei einer Genauigkeit von 0,001 haben wir 3,142; hier ist die erste verworfene Ziffer 5 (an der vierten Stelle nach dem Dezimalkomma), also haben wir die überschüssige Annäherung genommen.
Bei einer Genauigkeit von 0,0001 haben wir 3,1416 – und hier haben wir die Exzessnäherung genommen, da die erste verworfene Ziffer (an der fünften Stelle nach dem Komma) 9 ist. Aber bei einer Genauigkeit von 0,01 müssen wir die Defizitnäherung nehmen : 3.14.
2) = 2,236 ... . Bei einer Genauigkeit von 0,01 haben wir 2,24
(exzessive Annäherung). ¦
3) 2 + = 4,236... . Bei einer Genauigkeit von 0,01 haben wir 2 + 4,24 (exzessive Annäherung).
4) = 0,31818... . Bei einer Genauigkeit von 0,001 haben wir 0,318 (Näherung durch Mangel).
Schauen wir uns das letzte Beispiel genauer an. Nehmen wir ein vergrößertes Fragment der Koordinatenlinie (Abb. 114).
Der Punkt gehört zum Segment , was bedeutet, dass seine Abstände von den Enden des Segments die Länge des Segments nicht überschreiten. Punktabstände von Enden
Segmente sind jeweils gleich 
Segment ist 0,001. Meint, 
und 
In beiden Fällen (sowohl für die Approximation einer Zahl durch Mangel als auch für die Approximation durch Exzess) überschreitet der Fehler 0,001 nicht.
Bisher haben wir gesagt: Annäherungen auf 0,01, auf 0,001 usw. Jetzt können wir die Verwendung der Terminologie bereinigen.
Ist a ein Näherungswert der Zahl x und , so sagt man, dass der Fehler der Näherung h nicht überschreitet oder dass die Zahl x gleich der Zahl a c ist
bis h.
Warum ist es wichtig, Näherungswerte von Zahlen finden zu können? Tatsache ist, dass es praktisch unmöglich ist, mit unendlichen Dezimalbrüchen zu operieren und diese zur Messung von Mengen zu verwenden. In der Praxis werden in vielen Fällen statt exakter Werte Näherungswerte mit vorgegebener Genauigkeit (Fehler) genommen. Diese Idee ist auch in Taschenrechner eingebettet, auf deren Displays der endgültige Dezimalbruch angezeigt wird, also eine Annäherung an die auf dem Bildschirm angezeigte Zahl (mit seltenen Ausnahmen, wenn die angezeigte Zahl ein endgültiger Dezimalbruch ist, der auf den Bildschirm).
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Aufgabe 6.12.
Erweitern Sie in einer Fourier-Reihe eine periodische Funktion f(x) mit einer Periode, die auf dem Intervall gegeben ist.
| 1. | f(x)= . | 2. | f(x)= |
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| 27. | f(x)= | 28. | f(x)= |
| 29. | f(x)= | 30. | f(x)= |
Aufgabe 6.13.
Erweitern Sie die auf dem Intervall (0; π) gegebene Funktion f (x) zu einer Fourier-Reihe, indem Sie sie gerade und ungerade fortsetzen (erweitern). Zeichnen Sie Diagramme für jede Fortsetzung.
| 1. | f(x) = e x | 2. | f(x)=x2 | 3. | f(x)=x2 |
| 4. | f(x) = chx | 5. | f (x) \u003d e - x | 6. | f (x) = (x - 1) 2 |
| 7. | f(x) = 3 – x / 2 | 8. | f(x) = sh2x | 9. | f (x) = e 2 x |
| 10. | f (x) = (x - 2) 2 | 11. | f(x)=4x/3 | 12. | f(x) = chx/2 |
| 13. | f (x) = e 4 x | 14. | f(x)=(x+1)2 | 15. | f(x) = 5 – x |
| 16. | f(x) = sch 3 x | 17. | f (x) \u003d e - x / 4 | 18. | f (x) = (2 x - 1) 2 |
| 19. | f(x)=6x/4 | 20. | f (x) = ch 4 x | 21. | f (x) \u003d e - 3 x |
| 22. | f (x) = x 2 + 1 | 23. | f(x) = 7 - x / 7 | 24. | f(x) = sh x /5 |
| 25. | f (x) \u003d e - 2 x / 3 | 26. | f (x) = (x - π) 2 | 27. | f(x) = 10 – x |
| 28. | f(x) = ch x / π | 29. | f (x) = e 4 x / 3 | 30. | f (x) = (x - 5) 2 |
Aufgabe 6.14.
Erweitern Sie in einer Fourier-Reihe im angegebenen Intervall die periodische Funktion f (x) mit period .
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Aufgabe 6.15.
Finden Sie die Summe dieser numerischen Reihe, indem Sie die Funktion f (x) in einer Fourier-Reihe im angegebenen Intervall entwickeln.
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Kontrollarbeit Nummer 7.
"Wahrscheinlichkeitstheorie"
Aufgabe 7.1.
1. Jedes der beiden Teams von 5 Athleten führt eine Auslosung durch, um Nummern zu vergeben. Die beiden Brüder spielen in unterschiedlichen Teams. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Brüder erhalten: a) Zahl 4; b) die gleiche Nummer.
2. Das Gerät enthält zwei identische, unabhängig voneinander funktionierende Blöcke mit den Wahrscheinlichkeiten für einen fehlerfreien Betrieb von 0,8. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Folgendes fehlerfrei funktioniert: a) nur ein Block; b) mindestens ein Block.
3. Die Basis schickte die Waren an zwei Geschäfte. Die Wahrscheinlichkeit einer rechtzeitigen Lieferung an jeden von ihnen beträgt 0,8. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Ware rechtzeitig eintrifft: a) nur ein Geschäft; b) mindestens ein Geschäft.
4. Das geplante Boot kann aus zwei unabhängigen Gründen verspätet sein: schlechtes Wetter und Fehlfunktion der Ausrüstung. Die Schlechtwetterwahrscheinlichkeit beträgt 0,3, die Ausfallwahrscheinlichkeit 0,4. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Boot Verspätung hat: a) nur wegen schlechtem Wetter; b) aus irgendeinem Grund.
5. Die Bedingungen des Duells sehen nacheinander 2 Schüsse auf jeden der Duellanten bis zum ersten Treffer vor. Die Wahrscheinlichkeit, dass sie mit einem Schuss treffen, beträgt 0,2 bzw. 0,3. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Duellant: a) den Gegner mit einem zweiten Schuss trifft; b) den Gegner schlagen.
6. Die Wahrscheinlichkeit, von Angreifern mit einem Torschuss ein Tor zu erzielen, beträgt 0,3. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass nach zwei Schlägen erzielt wird: a) nur ein Tor; b) mindestens ein Tor.
7. Die Wahrscheinlichkeit der rechtzeitigen Erkennung eines Marschflugkörpers durch eine Radarstation (RLS) beträgt 0,8. Es sind zwei Radargeräte im Einsatz. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Rakete entdeckt wird: a) von nur einem Radar; b) mindestens ein Radar.
8. Die Autonummer besteht aus vier Ziffern. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Ziffern der Nummer des entgegenkommenden Autos: a) gleich zwei ist; b) nicht mehr als zwei.
9. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig benannte zweistellige Zahl: a) durch 3 teilbar ist; b) hat eine Quersumme gleich 1.
10. In einer Schachtel sind fünf weiße und zwei rote Kugeln. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass zwei zufällig gezogene Kugeln: a) dieselbe Farbe haben; b) weiß.
11. Zwei Personen steigen unabhängig voneinander in einen achtteiligen Elektrozug ein. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit ihres Treffens heraus.
12. Die Rakete trägt zwei Mehrfachsprengköpfe, die das Ziel unabhängig voneinander mit Wahrscheinlichkeiten von 0,8 und 0,7 treffen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Ziel getroffen wird von: a) nur einem Sprengkopf; b) mindestens einen Gefechtskopf.
13. In einer Schachtel sind fünf weiße und drei schwarze Kugeln. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass zwei zufällig gezogene Kugeln a) unterschiedliche Farben haben; b) schwarz.
14. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Passanten geboren wurden: a) in einem Monat; b) im Sommer.
15. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Quersumme einer zufällig ausgewählten zweistelligen Zahl: a) gleich fünf ist; b) weniger als fünf.
16. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt der Ziffern einer zufällig ausgewählten zweistelligen Zahl: a) gleich drei ist; b) weniger als drei.
17. Die Wahrscheinlichkeiten, Fische beim Anbeißen zu fangen, betragen für Angler 0,2 bzw. 0,3. Jeder hatte einen Bissen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ihr Gesamtfang: a) ein Fisch sein wird; b) mindestens ein Fisch.
18. Telefonnummer enthält 6 Ziffern. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Quersumme einer zufällig ausgewählten Zahl: a) gleich 2 ist; b) weniger als 2.
19. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Wort „ausgezeichnet“ nach acht zufälligen Tastenanschlägen einer Schreibmaschine getippt wird. Die Tastatur enthält 40 Tasten.
20. Zwei Schachspieler spielen ein Zwei-Spiele-Match. Die Wahrscheinlichkeit, in jedem Spiel durch den ersten von ihnen zu gewinnen, beträgt 0,6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er gewinnt: a) nur ein Spiel; 2) mindestens ein Spiel.
21. Zwei Schützen haben je einen Schuss auf die Scheibe mit Wahrscheinlichkeit p 1 = 0,6, p 2 = 0,7 abgegeben. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit für: a) nur einen Treffer; b) mindestens ein Treffer.
22. Die Wahrscheinlichkeiten, die Stange für zwei Springer zu überwinden, sind p 1 = 0,8 bzw. p 2 = 0,7. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass: a) nur einer von ihnen die Höhe nimmt; b) mindestens einer von ihnen nimmt die Höhe ein.
23. Die Autonummer besteht aus vier Ziffern. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Nummer eines entgegenkommenden Autos Folgendes enthält: a) drei Fünfer hintereinander; b) drei Fünfer.
24. Zwei Teams wurden zum Brandort geschickt, der mit Wahrscheinlichkeiten p 1 = 0,9, p 2 = 0,8 rechtzeitig gelöscht werden kann. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, das Feuer zu löschen, wenn dazu: a) ein Befehl ausreicht; b) beide Befehle werden benötigt.
25. Zwei Flugzeuge feuern eine Rakete auf ein Ziel mit Trefferwahrscheinlichkeiten p 1 = 0,8, p 2 = 0,9. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, das Ziel zu treffen: a) durch zwei Raketen; b) nur eine Rakete.
26. Das Gerät besteht aus drei unabhängig voneinander funktionierenden Blöcken A, B, C mit den Wahrscheinlichkeiten des störungsfreien Betriebs P(A)=0,9, P(B)=0,8, P(C)=0,7. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für einen störungsfreien Betrieb des Gerätes, wenn dies das Funktionieren der Einheit A und mindestens einer der Einheiten B, C voraussetzt.
27. Die Wahrscheinlichkeiten der Erfüllung des Monatsplans durch zwei Werkstätten des Unternehmens sind gleich p 1 = 0,9, p 2 = 0,7. Unter der Annahme, dass die Geschäfte unabhängig voneinander arbeiten, ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeiten, dass: a) nur ein Geschäft den Plan erfüllt; b) mindestens ein Workshop erfüllt den Plan.
28. Ein Abschnitt des Stromkreises besteht aus in Reihe geschalteten Elementen A, B mit Ausfallwahrscheinlichkeiten p 1 \u003d 0,1, p 2 \u003d 0,2. Element B wird mit Hilfe des parallel geschalteten Elements C dupliziert (p 3 \u003d 0,2). Finden Sie die Wahrscheinlichkeit des störungsfreien Betriebs des Abschnitts: a) in Abwesenheit von Element C; b) falls vorhanden.
29. Zwei Kanonen feuern ein Projektil auf ein Ziel mit Trefferwahrscheinlichkeiten p 1 = 0,6, p 2 = 0,7. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Ziel trifft: a) nur ein Projektil; b) mindestens ein Projektil.
30. Die Krankheiten A, B haben die gleichen Symptome, die bei dem Patienten gefunden wurden. Die Krankheitswahrscheinlichkeiten sind P(A) = 0,3, P(B) = 0,5. Unter der Annahme, dass eine Person unabhängig voneinander Krankheiten bekommen kann, bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Patient an a) nur einer der Krankheiten erkrankt ist; b) mindestens eine Krankheit.
Aufgabe 7.2.
1. 70 % der zum Verkauf stehenden Bügeleisen des gleichen Typs werden im Unternehmen A hergestellt, 30 % im Unternehmen B. Der Anteil der Mängel beträgt im Unternehmen A 5 %, im Unternehmen B 2 %. a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, ein defektes Bügeleisen zu kaufen; b) das gekaufte Bügeleisen sich als defekt herausstellte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es von Werk A hergestellt wird?
2. In der Urne sind 2 weiße und 3 schwarze Kugeln. Einer von ihnen wird zufällig genommen und beiseite gelegt. Dann wird die zweite Kugel gezogen. a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er weiß ist; b) die gezogene zweite Kugel ist weiß. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Kugel schwarz war?
3. Das Gerät wird mit einer Einheit vervollständigt, die von den Fabriken 1 (liefert 60 % der Einheiten) und 2 (liefert 40 % der Einheiten) hergestellt wird. Der Ausschussanteil beträgt bei Werk 1 0,05, bei Werk 2 - 0,07. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Gerät defekt ist; b) das Gerät sich als defekt herausstellte. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Werk 1 der Übeltäter ist.
4. Bei der Montage von Lagern werden Kugeln verwendet, die zu 30 % von Werkstatt 1 und zu 70 % von Werkstatt 2 geliefert werden. Die Ausschussquoten in den Werkstätten betragen 0,1 bzw. 0,05. a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit eines defekten Lagers; b) das Lager hat sich als defekt herausgestellt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Geschäft 1 der Übeltäter ist.
5. Zwei Urnen enthalten 2 weiße und 3 schwarze Kugeln. Ein Ball wird zufällig vom ersten zum zweiten übertragen, dann wird ein Ball vom zweiten genommen. a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er weiß ist; b) die entnommene Kugel ist weiß. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die schwarze Kugel vertauscht wurde?
6. Zwei Werkstätten produzieren jeweils 50 % des gleichen Fernsehertyps, der in den Verkauf kommt. Shop 1 produziert 5 % der defekten Fernseher, Shop 2 - 7 %. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, einen defekten Fernseher zu kaufen; b) Finden Sie die Wahrscheinlichkeit heraus, dass der gekaufte Fernseher von Werkstatt 1 produziert wurde, falls er sich als defekt herausstellen sollte.
7. Die Keimung (Keimungswahrscheinlichkeit) der an der Zuchtstation 1 erhaltenen Samen beträgt 0,9, an der Station 2 - 0,8. Von beiden Stationen wird eine gleiche Menge Saatgut verkauft. a) Finden Sie die Keimung der gekauften Samen; b) Ein zufällig ausgewählter Samen ist bei der Aussaat nicht gekeimt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es an Station 1 wächst?
8. Zwei Werkstätten liefern die gleiche Anzahl Schrauben pro Baugruppe. Der Ausschussanteil im ersten Geschäft beträgt 0,1, im zweiten - 0,2. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig für die Montage entnommene Schraube defekt ist; b) der Bolzen sich als defekt herausstellte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es von Geschäft 2 hergestellt wurde?
9. Die Latenzzeit der Krankheit kann in 30 % der Fälle lang und in 70 % der Fälle kurz sein. Die Erholungswahrscheinlichkeiten betragen für lange Zeiträume 0,9 und für kurze Zeiträume 0,6. a) Finden Sie die Genesungswahrscheinlichkeit eines zufällig ausgewählten Patienten; b) Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Latenzzeit lang war, wenn sich der Patient erholte.
10. Laut Statistik erkranken von den Kälbern, die im Laufe des Jahres erkranken, 20 % in der warmen Jahreszeit und 80 % in der kalten Jahreszeit. Die Heilungswahrscheinlichkeit eines in der warmen Jahreszeit erkrankten Kalbes beträgt 0,9, in der kalten Jahreszeit 0,8. a) Finden Sie die Genesungswahrscheinlichkeit eines zufällig ausgewählten Patienten; b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Kalb während der warmen Jahreszeit krank wurde, wenn es sich erholte.
11. Die Einheit wird mit einem Widerstand aus einer der drei Fabriken vervollständigt, die 60 %, 30 % und 20 % der Versorgung übernehmen. Der Ausschussanteil bei den Widerständen beträgt 0,3 in Werk 1, 0,2 - in Werk 2, 0,1 - in Werk 3. A) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit der Fehlerhaftigkeit der produzierten Einheit; b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das defekte Gerät mit einem Fabrik-1-Widerstand ausgestattet ist.
12. Im Krisenstadium kann die Krankheit mit gleicher Wahrscheinlichkeit in vorübergehende (C) und träge (B) Formen übergehen. Die Genesungswahrscheinlichkeiten betragen 0,95 für Form C und 0,8 für Form B. a) Bestimmen Sie die Genesungswahrscheinlichkeit eines zufällig ausgewählten Patienten; b) Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Krankheit in Form C übergegangen ist, wenn sich der Patient erholt hat.
13. Bei dieser Krankheit finden sich gleich häufig die Formen A und B, die den weiteren Verlauf bestimmen. Im Fall A erholt sich der Patient innerhalb eines Monats mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,8, im Fall B mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,6. a) Finden Sie die Wahrscheinlichkeit der Genesung in einem Monat für einen zufällig ausgewählten Patienten; b) Finden Sie die Wahrscheinlichkeit des Krankheitsverlaufs in der Form A, wenn sich der Patient innerhalb eines Monats erholt hat.
14. Die Wahrscheinlichkeit, den Plan des Trawlers mit der rechtzeitigen Ankunft des Tankers zu erfüllen, beträgt 0,8, mit der vorzeitigen Ankunft - 0,4. Der Tankwagen kommt in 90 % der Fälle pünktlich an. a) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Trawler den Plan erfüllt; b) Berechnung der Wahrscheinlichkeit einer rechtzeitigen Betankung, wenn bekannt ist, dass der Trawler den Plan erfüllt hat.
15. Der Sommer kann 20 % der Zeit trocken, 30 % der Zeit übermäßig nass und den Rest der Zeit normal sein. Die Wahrscheinlichkeiten der Erntereife betragen 0,7, 0,6 bzw. 0,9. a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit der Erntereife in einem zufällig ausgewählten Jahr; b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Sommer trocken war, wenn die Ernte reif war.
16. In diesem Bereich werden nur die Krankheiten A und B gefunden, deren Symptome äußerlich nicht zu unterscheiden sind. Bei Patienten tritt A in 30% der Fälle auf, B in 70%. Die Heilungswahrscheinlichkeiten von Krankheiten betragen 0,6 bzw. 0,3. a) Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein zufällig ausgewählter Patient erholt; b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die genesene Person Krankheit A hatte?
17. Ein Objekt kann mit einer geplanten Lieferung von Geräten mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,9 pünktlich in Betrieb genommen werden, mit einer verspäteten Lieferung mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,6. Im Durchschnitt wurden geplante Lieferungen in 80% der Bestellungen eingehalten, Lieferungen mit Verspätung - in 20%. a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit der rechtzeitigen Lieferung des Objekts? b) Finden Sie die Wahrscheinlichkeit einer rechtzeitigen Lieferung, wenn bekannt ist, dass das Objekt rechtzeitig geliefert wurde.
18. Eine Kernreaktion kann in 70 % der Fälle Partikel des Typs A und in 30 % der Fälle des Typs B erzeugen. Partikel A werden vom Gerät mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,8 erkannt, Partikel B - mit einer Wahrscheinlichkeit von 1. a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für die Erkennung eines Partikels im bevorstehenden Experiment; b) Das Gerät bemerkte das Auftreten eines Partikels. Wie wahrscheinlich ist es, dass es Typ B ist?
19. Unter den in der ersten Jahreshälfte Geborenen übersteigt das Durchschnittsgewicht 60% der Neugeborenen, in der zweiten Jahreshälfte 30%. Unter der Annahme, dass die Geburtenrate in beiden Halbjahren gleich ist, finden Sie: a) die Wahrscheinlichkeit für Übergewicht bei einem zufällig ausgewählten Kind; b) die Wahrscheinlichkeit, im ersten Halbjahr ein Kind zu bekommen, wenn er übergewichtig ist.
20. Das von der Kathode emittierte Elektron kann mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,7 „schnell“ und mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,3 „langsam“ sein. Die Wahrscheinlichkeit, dass "schnelle" Elektronen auf das Target treffen, beträgt 0,9, "langsame" - 0,4. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass: a) das Elektron das Target trifft; b) das Elektron war "langsam", wenn es das Target erreichte.
21. Ein Fuchs, der einen grauen Hasen jagt, überholt ihn in 30% der Fälle, ein weißer Hase - in 20% der Fälle. Beide Hasenarten kommen im Wald gleich häufig vor. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Fuchs einen zufällig angetroffenen Hasen einholt; b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der überholte Hase grau war.
22. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Flugzeug unter ungünstigen Bedingungen (schlechtes Wetter, technische Gründe) zu spät kommt, beträgt 0,6 und unter günstigen Bedingungen - 0,1. Ungünstige Bedingungen wurden bei 20% der Flüge beobachtet, günstige - bei 80%. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass: a) das Flugzeug mit dem nächsten Flug Verspätung hat; b) die Verzögerung mit ungünstigen Umständen einherging.
23. Produkte des gleichen Typs werden von den Fabriken 1 und 2 verkauft, die 60 % und 40 % der Produkte liefern. Der Ausschussanteil beträgt im Werk 1 0,05, im Werk 2 - 0,07. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass: a) das gekaufte Produkt defekt ist; b) das fehlerhafte Produkt wurde von Fabrik 2 hergestellt.
24. Zwei Chargen enthalten die gleiche Anzahl von Teilen des gleichen Typs und haben Ausschussanteile (Wahrscheinlichkeit fehlerhafter Teile) von 0,1 bzw. 0,2. Eine der Chargen wird zufällig ausgewählt, aus der das Teil entnommen wird. a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es defekt ist; b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das defekte Teil zur ersten Charge gehörte.
25. Die Wahrscheinlichkeit, bei klarem Wetter ein Ziel von einem Bomber zu treffen, beträgt 0,9, bei schlechtem Wetter 0,7. Klares Wetter am 1. Juni wurde in 60% der Fälle beobachtet, schlechtes Wetter - in 40%. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass am 1. Juni: a) das Ziel getroffen wird; b) das Wetter klar war, wenn bekannt ist, dass das Ziel getroffen wurde.
26. Zwei Schachspieler A und B spielen eine Partie. Die Wahrscheinlichkeit, dass A gewinnt, wenn er weiße Steine hat, ist 0,7, wenn er schwarze Steine hat - 0,4. Die Farbe der Spielsteine wird vor dem Spiel per Los ermittelt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass: a) Schachspieler A gewinnt; b) A spielte mit Schwarz, wenn bekannt ist, dass er gewonnen hat.
27. Die Wahrscheinlichkeit einer rechtzeitigen Ankunft des Schiffes bei störungsfreiem Motorbetrieb beträgt 0,8 und bei einem Ausfall - 0,1. Der Motor hat zuvor auf 90 % der Fahrten des Schiffes einwandfrei funktioniert. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass: a) das Schiff auf der nächsten Reise keine Verspätung hat; b) Maschinenausfälle, wenn das Schiff bekanntermaßen Verspätung hat.
28. Das Gerät kann in 30 % der Fälle unter schwierigen Bedingungen betrieben werden, wo es mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,3 ausfällt, und in 70 % der Fälle - unter günstigen Bedingungen, wo es mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,1 ausfällt. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass: a) das Gerät ausfällt; b) das ausgefallene Gerät unter ungünstigen Bedingungen betrieben wurde.
29. Aus einer Urne mit 3 weißen und 2 schwarzen Kugeln werden der Reihe nach 2 Kugeln genommen. Die Farbe des ersten von ihnen ist unbekannt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass: a) die zweite Kugel weiß ist; b) der erste Ball war schwarz, wenn der zweite weiß war.
30. Zwei Werkstätten liefern den gleichen Typ von Einheiten für die Montage des Produkts. Der erste versorgt 60 % aller Knoten, der zweite 40 %. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Knoten defekt ist, beträgt 0,2 für Shop 1 und 0,3 für Shop 2. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass: a) ein zufällig ausgewählter Knoten defekt sein wird; b) die defekte Baugruppe kam aus Werkstatt 1.
Aufgabe 7.3.
Erstellen Sie eine Verteilungsreihe, eine Verteilungsfunktion und ihren Graphen, finden Sie die mathematische Erwartung und Varianz einer Zufallsvariablen X - die Anzahl der Vorkommen eines zufälligen Ereignisses A in der unten angegebenen Reihe unabhängiger Tests.
1. Eine Münze wird viermal geworfen. A - Wappenverlust mit einem Wurf, Р(А)=0,5.
2. Der Schütze schießt 3 Mal auf die Scheibe. A - Treffer mit einem Schuss, P(A)=0,6.
3. Der Angler wirft seine Schnur dreimal aus. A - Biss mit einem Wurf, P (A) \u003d 0,3.
4. Aus einer Urne mit 2 weißen und 3 schwarzen Kugeln wird zufällig eine Kugel gezogen (ist sie weiß, dann ist A gekommen), die dann in die Urne zurückgelegt wird. Die Erfahrung wird dreimal wiederholt.
5. 3 Kürbiskerne werden gesät. Die Keimung (Keimwahrscheinlichkeit A eines Samens) ist P(A)=0,8.
6. Ein Elementarteilchen kann von einem Gerät registriert werden (Ereignis A) mit einer Wahrscheinlichkeit P(A)=0,7. Drei Teilchen fliegen abwechselnd vor das Gerät.
7. A - ein Ereignis, das auftritt, wenn die erste Ziffer der Nummer des entgegenkommenden Autos Null ist. Zwei Autos passieren abwechselnd.
8. A - Ausfall der elektrischen Ausrüstung des Autos im Laufe des Jahres, P (A) \u003d 0,3. Drei Fahrzeuge werden in Betracht gezogen.
9. A - ein Ereignis, das darin besteht, einen Weltrekord durch einen Athleten zu brechen, Р(А)=0,2. Drei Athleten nehmen am Wettkampf teil.
10. Die Waffe feuert drei Projektile auf das Ziel ab. A - Projektiltreffer, P(A)=0,8.
11. Ein zufällig aus einem Bücherregal entnommenes Buch kann sich mit Wahrscheinlichkeit P(A)=0,4 als Lehrbuch herausstellen (Ereignis A). Drei Bücher werden abgerufen.
12. Ein Positron kann bei der Geburt eine rechte (Ereignis A) oder linke Rotationsrichtung annehmen, Р(А)=0.6. Es werden 3 Positronen betrachtet.
13. Das Vorhandensein von blauem Ton weist mit einer Wahrscheinlichkeit P(A)=0,4 auf die Möglichkeit einer Diamantablagerung (Ereignis A) hin. Blauer Ton wird in drei Bereichen gefunden.
14. Während der Blütezeit kann die Pflanze mit einer Wahrscheinlichkeit P(A)=0,8 bestäubt werden (Ereignis A). Es werden 4 Anlagen berücksichtigt.
15. Ein Angler kann einen Fisch beim Anbeißen (Ereignis A) mit einer Wahrscheinlichkeit P(A)=0,4 fangen. Der Angler hatte drei Bisse.
16. Bei einer Kernreaktion kann ein resonantes Teilchen (Ereignis A) mit einer Wahrscheinlichkeit P(A)=0,2 entstehen. Drei Reaktionen werden betrachtet.
17. Ein in den Boden gesetzter Setzling kann akzeptiert werden (Ereignis A) mit einer Wahrscheinlichkeit P(A)=0,7. Drei Setzlinge wurden gepflanzt.
18. Der Generator eines Kraftwerks kann im Laufe des Jahres (Ereignis A) mit einer Wahrscheinlichkeit P(A)=0,2 ausfallen. Betrachtet wird eine dreijährige Betriebsdauer des Generators.
19. Tagsüber kann die Milch im Topf mit einer Wahrscheinlichkeit P(A)=0,4 sauer werden (Ereignis A). Der Fall von drei Töpfen wird betrachtet.
20. Auf einem in einer Nebelkammer aufgenommenen Foto wird im Experiment (Ereignis A) ein Teilchen mit einer Wahrscheinlichkeit P(A)=0,5 registriert. Es wurden 4 Versuche durchgeführt.
21. A - das Erscheinen einer geraden Anzahl von Punkten beim Würfeln. Der Würfel wird 4 Mal geworfen.
22. Drei Kanonen feuern auf ihre Ziele, A – das Projektil trifft das Ziel, P(A)=0,7.
23. Beim Anbeißen kann ein Angler einen Fisch herausziehen (Ereignis A) mit einer Wahrscheinlichkeit P(A)=0,6. Biss trat bei 4 Anglern auf.
24. Das Schlagen des Rotors des Elektromotors führt zu dessen Ausfall mit der Wahrscheinlichkeit P (A) = 0,8. Es werden drei Motoren des gleichen Typs betrachtet.
25. Bei der Fertigung eines Teils kann sich dieses mit einer Wahrscheinlichkeit P(A)=0,2 als fehlerhaft erweisen (Ereignis A). Es sind drei Stück entstanden.
26. Die Maschine arbeitet ein Jahr lang fehlerfrei (Ereignis A) mit einer Wahrscheinlichkeit P(A)=0,8. Es gibt 4 Maschinen in der Werkstatt.
27. A - das Erscheinen einer ungeraden Anzahl von Punkten beim Würfeln. Der Würfel wird 4 Mal geworfen.
28. Der Zug kann planmäßig (Ereignis A) mit Wahrscheinlichkeit P(A)=0,9 ankommen. Angedacht sind drei Flüge.
29. Im Durchschnitt macht der Bediener bei der Eingabe einer Textseite in 30 % der Fälle einen Fehler (Ereignis A). Der Artikel enthält 4 Seiten Text.
30. Ein Aufklärungsflugzeug kann ein Ziel (Ereignis A) mit einer Wahrscheinlichkeit P(A)=0,8 erkennen. Drei Flugzeuge wurden geschickt, um das Ziel zu lokalisieren.
Aufgabe 7.4.
Gegeben sei die Verteilungsfunktion F(x) der Zufallsvariablen RV X, finde die Verteilungsdichte und trage sie graphisch ein. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P( a≤X≤ b) das Erreichen des Werts von CB in einem bestimmten Intervall, mathematischer Erwartung und Streuung.
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Aufgabe 7.5.
Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, in das gegebene Intervall zu fallen [ ein, b] Werte einer normalverteilten Zufallsvariablen X wenn seine mathematische Erwartung bekannt ist M[X] und Varianz D[X].
| Var. | M[X] | D[X] | b | |
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| -1 | ||||
| -1 | ||||
| -8 | -9 | |||
| -2 | ||||
| -1 | ||||
Walter A. Aue / flickr.com
Amerikanische Physiker haben die Dimension der Raumzeit verfeinert, indem sie die Entfernung zur Quelle verglichen haben, berechnet aus der Dämpfung von Gravitationswellen und der Rotverschiebung elektromagnetischer Strahlung. Wissenschaftler führten solche Berechnungen für das Ereignis GW170817 durch und fanden heraus, dass die Dimension unserer Raumzeit ungefähr gleich ist D≈ 4,0 ± 0,1. Außerdem legten sie eine untere Grenze für die Lebensdauer eines Gravitons fest, die etwa 450 Millionen Jahre betrug. Der Vorabdruck des Artikels ist auf arXiv.org verfügbar.
Aktualisiert: Im Juli 2018 wurde der Artikelveröffentlicht im Journal of Cosmology and Astroarticle Physics.
Die Allgemeine Relativitätstheorie und das Standardmodell basieren auf der Annahme, dass wir in einer vierdimensionalen Raumzeit leben. Genauer gesagt in (3 + 1)-dimensional: 3 räumliche Dimensionen und eine zeitliche. Andererseits neigen Wissenschaftler dazu, die elementarsten Aussagen anzuzweifeln. Vielleicht ist die Dimension unserer Raumzeit nicht genau gleich vier, sondern nur sehr nahe an diesem Wert? Tatsächlich gibt es Theorien, in denen unsere Raumzeit in höherdimensionale Räume eingebettet ist. Daher muss allgemein gesagt die Vierdimensionalität unserer Welt bewiesen und nicht als selbstverständlich hingenommen werden.
Eine Gruppe von Physikern unter der Leitung von David Spergel setzte der Dimension unserer Raumzeit genaue Grenzen, indem sie – fast gleichzeitig – Gravitations- und elektromagnetische Wellen analysierten, die auf die Erde kamen und während der Verschmelzung zweier Neutronensterne emittiert wurden. Zum einen kann aus der elektromagnetischen Komponente die Entfernung zur Wellenquelle bestimmt werden. Andererseits lässt sie sich aus der Dämpfung von Gravitationswellen berechnen. Offensichtlich müssen diese beiden Entfernungen zusammenfallen, was der Differenz zwischen der Zerfallsrate und der von der allgemeinen Relativitätstheorie vorhergesagten Rate Einschränkungen auferlegt. Es ist erwähnenswert, dass ein zusätzlicher Fehler in der aus der Rotverschiebung bestimmten Entfernung dadurch eingeführt wird, dass die Werte der Hubble-Konstante, gemessen aus der Geschwindigkeit des Rückzugs von Galaxien und aus den Schwankungen der kosmischen Hintergrundstrahlung, sind miteinander. In diesem Artikel haben die Wissenschaftler für alle Fälle Berechnungen für beide Werte durchgeführt, aber der Fehler der experimentellen Daten überwog diesen Unterschied immer noch.
In der Allgemeinen Relativitätstheorie nimmt die Intensität von Gravitationswellen umgekehrt mit der ersten Potenz der Entfernung von der Quelle ab: h ~ 1/r. In Theorien mit mehr Dimensionen wird dieses Gesetz jedoch modifiziert und die Dämpfung erfolgt schneller: h ~ 1/rγ , wobei γ = ( D− 2)/2 und D- Anzahl der Messungen. Es stellt sich heraus, dass die Energie der Welle in zusätzliche Dimensionen zu „lecken“ scheint. Bei der Berechnung der "elektromagnetischen" und "gravitativen" Entfernung zu Neutronensternen stellten die Physiker fest, dass der Grad der Abhängigkeit γ ≈ 1,00 ± 0,03 beträgt, dh die Dimension unseres Weltraums D≈ 4,0 ± 0,1.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung, in der wir leben D-dimensionaler Raum. Linien unterschiedlicher Farbe entsprechen unterschiedlichen Werten der Hubble-Konstante, die in den Berechnungen verwendet werden
Andererseits wird in einer anderen Art alternativer Theorien die Gravitation abgeschirmt – in kleinen Entfernungen verhält sie sich genauso wie in der vierdimensionalen Theorie, und in großen Entfernungen ähnelt sie D-dimensional. Angesichts der Einschränkungen des GW170817-Ereignisses bestimmten Physiker den minimalen Abschirmradius für solche Theorien auf etwa zwanzig Megaparsec. In diesem Fall befindet sich die eigentliche Quelle der Wellen in der Galaxie NGC 4993 in einer Entfernung von etwa vierzig Megaparsec.
Schließlich kann eine zusätzliche Dämpfung von Gravitationswellen dadurch entstehen, dass Gravitonen instabile Teilchen sind und auf dem Weg von der Quelle zum Detektor zerfallen. Basierend auf dieser Annahme haben Physiker eine untere Grenze für die Lebensdauer eines Gravitons berechnet. Es stellte sich heraus, dass es nicht weniger als 4,5 × 10 8 Jahre sein kann.
Die gleichzeitige Registrierung der gravitativen und elektromagnetischen Komponenten hatte einen großen Einfluss auf alternative Gravitationstheorien. Zum Beispiel Ende Dezember letzten Jahres in Briefe zur körperlichen Überprüfung Gleichzeitig wurden vier Artikel auf einmal veröffentlicht, die sich mit dem Ereignis GW170817 und Einschränkungen verschiedener Quantentheorien der Gravitation befassen. Außerdem ist dieses Ereignis eine sehr strenge Beschränkung der Gravitationsgeschwindigkeit – jetzt kann das Verhältnis der Gravitationsgeschwindigkeit zur Lichtgeschwindigkeit um nicht mehr als 3 × 10 –15 von Eins abweichen.
Dmitri Trunin
Am 9. September 2007 gewann Fahrer Logan Gomez das Chicagoland 100-Rennen der IRL Indy Pro Series-Meisterschaft. Er schlug den Zweitplatzierten um 0,0005 Sekunden und stellte damit einen Rekord für die Zieldichte im weltweiten Motorsport auf. Welche Geräte können die Zeit mit einer solchen Genauigkeit messen?
Auf der Welle des Leuchtturms Im modernen Rennsport läuft die Zeitmessung vollkommen automatisch ab. Jedes Auto ist mit einem Funkfeuer ausgestattet, das Funkwellen mit einer einzigartigen Frequenz aussendet. Antennen, die sich an genau definierten Stellen auf der Strecke befinden, nehmen sein Signal auf und bestimmen anhand der Frequenz, welches bestimmte Auto vorbeigefahren ist. Die Antennen sind paarweise angeordnet: Der Computer bestimmt die Geschwindigkeit des Autos, indem er die Zeit misst, die benötigt wird, um die Entfernung von einer Antenne zur anderen zurückzulegen. Auf dem Weg können bis zu 20 Antennen aufgestellt werden. Zur Geschwindigkeitskontrolle in der Boxengasse werden spezielle Antennen eingesetzt. Informationen von den Funkempfängern werden an das Zeitmesszentrum gesendet, wo mehr als 20 Ingenieure kontinuierlich den Betrieb von Computern überwachen. Für alle Fälle wird das Zeitmesssystem durch ein Paar Infrarot-Fotozellen unterstützt, die an der Ziellinie installiert sind.
Tim Skorenko
In der Indycar-Serie sind die Anforderungen an die Zeitmessung am strengsten. Keine andere Meisterschaft kann sich rühmen, die Zeit auf die Zehntausendstelsekunde genau zu messen. Die überwältigende Anzahl von Serien ist auf 0,001 s begrenzt, und das reicht meistens mit einem Vorsprung, aber es gibt Zwischenfälle: Beispielsweise bei der Europa-Grand-Prix-Qualifikation 1997 in der Formel-1-Klasse, die es schaffte, bis zu drei Piloten zu zeigen eine Zeit, die bis zu einer Tausendstelsekunde übereinstimmt, - 1.21.072. Die Pole-Position ging schließlich an Jacques Villeneuve, der seine schnellste Runde vor den anderen fuhr.
In der Formel 1 hat sich die Genauigkeit des Timings im Laufe der Zeit deutlich verändert. Bei der ersten Meisterschaft im Jahr 1950 reichten 0,1 s, um das Ziel der Piloten vollständig auszumachen. In der Meisterschaftswertung war kein einziges Rennen enthalten, bei dem der Abstand zwischen den Piloten weniger als eine Sekunde betragen hätte. Die Genauigkeit von 0,1 geht auf den allerersten Grand Prix in der Geschichte des Motorsports zurück – den Grand Prix von Frankreich im Jahr 1906, wo die Zeit des Siegers, Ferenc Szys im Renault, 12 Stunden 14 Minuten und 7,4 Sekunden betrug (nicht wie der kurze und einfache heutige Rennen, richtig?). Bei den meisten Rennen, die vor dem Ersten Weltkrieg ausgetragen wurden, überschritt die Genauigkeit 1 s überhaupt nicht.
Im modernen Rennsport ist die Zeitmessung vollautomatisch. Jedes Auto ist mit einem Funkfeuer ausgestattet, das Funkwellen mit einer einzigartigen Frequenz aussendet. Antennen, die sich an genau definierten Stellen auf der Strecke befinden, nehmen sein Signal auf und bestimmen anhand der Frequenz, welches bestimmte Auto vorbeigefahren ist. Die Antennen sind paarweise angeordnet: Der Computer bestimmt die Geschwindigkeit des Autos, indem er die Zeit misst, die benötigt wird, um die Entfernung von einer Antenne zur anderen zurückzulegen. Auf dem Weg können bis zu 20 Antennen aufgestellt werden. Zur Geschwindigkeitskontrolle in der Boxengasse werden spezielle Antennen eingesetzt. Informationen von den Funkempfängern werden an das Zeitmesszentrum gesendet, wo mehr als 20 Ingenieure kontinuierlich den Betrieb von Computern überwachen. Für alle Fälle wird das Zeitmesssystem durch ein Paar Infrarot-Fotozellen unterstützt, die an der Ziellinie installiert sind.
In Amerika waren die Zeitnehmer viel fortschrittlicher. Die Nachkriegsrennen der AAA-Serie (später CART) erforderten meist eine Messgenauigkeit von bis zu 0,01. Das lag vor allem an der Konfiguration der Strecken und der Fülle an Ovalen, wo die Abstände zwischen den Fahrern extrem gering sind. Die unglaubliche Genauigkeit der Zeitmessung des modernen IRL ist auf denselben Faktor zurückzuführen: Von den siebzehn Etappen der Meisterschaft 2010 werden acht auf Ovalen ausgetragen.
Zwischenfälle und Ausfälle
Die Rennzeitmessung ist untrennbar mit den weltweit führenden Uhren- und Elektronikherstellern verbunden: TAG Heuer, Tissot, Omega, Longines … Fast alle sind auf die eine oder andere Weise als offizielle Zeitnehmer in verschiedenen Sportarten vertreten. Fehler und Ungenauigkeiten bei der Zeitmessung sind heute praktisch ausgeschlossen. Von 1992 bis heute ist der oben erwähnte 97. Europäische Grand Prix zur einzigen chronometrischen Kuriosität der Formel 1 geworden, und selbst solche Vorfälle sind im IRL völlig unmöglich.
Heute zählen Zeitmesssysteme von Indycar und NASCAR zu den besten der Welt. Jede Bahn ist so ausgestattet, dass die europäischen Veranstalter nur beneiden können. Die Punktzahl reicht bis zu 0,0001 Sekunden (für Indycar), und Live-Zuschauer können jederzeit Informationen über die Geschwindigkeit jedes Autos auf der Strecke, seine Rundenzeit und alle Sektoren des Kreises, Lücken im Pelaton mit einer Genauigkeit von erhalten ein Sektor usw. im Allgemeinen maximale Informationen. Bei einem Rennen, bei dem die Hälfte der Saison auf Ovalen gespielt wird, ist das Timing von größter Bedeutung. Der Sieger wird oft durch ein Fotofinish ermittelt.
Seltsamerweise tauchte das Konzept des „offiziellen Zeitnehmers“ erst vor kurzem auf. Tissot ist es, der heute die Motorradrennweltmeisterschaft „anführt“, und kein anderes Unternehmen hat das Recht, sich einzumischen. Noch vor 30 Jahren hatte jedes einzelne Rennen seine eigenen Zeitnehmer, „bewaffnet“ mit der Ausrüstung, die die Organisatoren kaufen konnten.
Vor dem Zweiten Weltkrieg wurden fast alle Rennserien und -klassen manuell gemessen: An der Strecke standen speziell ausgebildete Personen mit Stoppuhren. Sie zeichneten die Rundenzeit des nächsten Autos auf und zeichneten die Daten auf. Allerdings gab es auch Durchbrüche. 1911, beim ersten Indianapolis 500-Rennen, entwarf und implementierte Ingenieur Charlie Warner das allererste halbautomatische Zeitmesssystem. Entlang der Start-Ziel-Linie wurde ein dünner Draht leicht gespannt und leicht über die Ziegelbeschichtung angehoben. Jede Maschine drückte den Draht auf den Boden und erhöhte seine Spannung. An dem Draht war ein Hammersiegel befestigt, das beim Ziehen einen Tintenfleck auf einem langsam kriechenden Band mit Teilungen hinterließ. Die Messgenauigkeit erreichte 0,01 s! Die Anzahl der Autos gegenüber jedem Punkt wurde vom Zeitnehmer manuell eingestellt. Das System hat sich aus einem lustigen Grund nicht durchgesetzt: Mitten im Rennen brach das Auto des Rennfahrers Herb Little den Draht. Beim Ziehen eines neuen (Laufen vor rauschenden Autos) vergingen mindestens 20 Runden, in denen das Timing ungefähr war. Der Sieg im Rennen ging an Ray Harrown on the Marmon, aber ein anderer berühmter Rennfahrer, Ralph Mulford, war sich bis zu seinem Tod sicher, dass er es war, der den ersten Indy 500 aller Zeiten gewonnen hatte.
Die Blütezeit des erfolgreichen Einsatzes halbautomatischer Systeme fällt in die 1930er Jahre. Die Indy 500 verwendete dann Stewart-Warner-Chronographen oder riesige Loughborough-Hayes-Chronographen.
In den frühen Jahren der NASCAR-Serie war das Timing schrecklich. Bei manchen Rennen saß ein Mann mit Papier und Bleistift an der Ziellinie und notierte: Der und der kommt zuerst, der und der an zweiter Stelle. Allerdings betraf dies nur Schotter- und Schlammpisten. Auf den Autodrome lief es besser. Insbesondere beim Rennen in Elhart Lake "1951 wurde der Streeter-Amet-Chronograph verwendet. Das Gerät druckte nacheinander (in Zehntelsekunden) die Zeit jedes vorbeifahrenden Autos auf ein Papierband, das Werk einer Person bestand darin, Autonummern gegenüber jeder Nummer zu schreiben.
Ein vollautomatisches Zeitmesssystem wurde erstmals 1970 bei einem USAC-Meisterschaftsrennen auf der Rennstrecke von Ontario eingesetzt. Jedes Fahrzeug war mit einem Sender ausgestattet, der Wellen mit seiner eigenen einzigartigen Frequenz aussendete. An der Start-Ziel-Linie wurde eine Antenne installiert, die die Schwingungsfrequenz jedes Senders erfasste – den Rest erledigte ein Computer.
Der professionelle Zeitnehmer David McKinney, der in den 1960er Jahren bei verschiedenen Rennen in Australien und Neuseeland arbeitete, gab uns eine interessante Information: „Wenn der qualifizierteste Zeitnehmer mit dem besten Zeitnehmer eine Zehntelsekunde genau ‚fangen‘ kann, dann ist er es Glück gehabt.“ Alle manuellen Messungen, die jemals im Rennsport vorgenommen wurden, können getrost als ungefähr angesehen werden.
"Formel 1"
In Europa erschienen automatische Systeme viel später als in Amerika. In internationalen Serien wie der Formel 1 herrschten Verwirrung und Schwankungen. Bis in die späten 1970er Jahre wurde die Zeitnahme bei verschiedenen Grand Prix von völlig unterschiedlichen Personen mit unterschiedlichen Geräten und Methoden durchgeführt. Bei freien Rennen wurde die Rolle der Zeitnehmer meistens von den Ehefrauen der Fahrer übernommen. Zum Beispiel ging Norma Hill, die Frau des zweifachen Weltmeisters Graham Hill, mit ihrem Mann zu jedem Grand Prix und stoppte persönlich seine Rundenzeiten und überprüfte die Arbeit der Streckenposten.
Mitte der 1970er Jahre begann das Ferrari-Team, der ständigen Verwirrung und Fehler überdrüssig, damit, seine eigene, in Amerika gekaufte, hochpräzise Ausrüstung zum Grand Prix zu tragen. Einer der Mechaniker von Ferraris ewigem Rivalen, dem Lotus-Team, fragte seinen Chef Colin Chapman: "Warum machen wir nicht dasselbe?" „Glaubst du wirklich, dass unsere Autos dadurch schneller werden?“ antwortete Chapman. Diese Antwort charakterisiert sehr genau die europäische Einstellung zur Genauigkeit der Zeitmessung in jenen Jahren. Ende der 1970er-Jahre schlossen jedoch fast alle großen Teams Verträge mit Uhrenherstellern ab und führten ihre eigenen Zeitmesssysteme mit sich. Nach einem der Rennen schrieb das Autosport-Magazin: "Teams veröffentlichen in offiziellen Berichten so genaue Zeitangaben, dass die offiziellen Nummern der Organisatoren des Grand Prix aussehen, als wären sie mit einer Micky-Maus-Uhr erstellt worden!"
Aufgrund von Zeitfehlern kam es regelmäßig zu wunderbaren Vorfällen. Beim verregneten Kanada-Grand-Prix 1973 beispielsweise wurde erstmals ein Safety-Car auf die Strecke gebracht. Die Zeitnehmer waren verwirrt, wurden mit Round-Robins verwechselt und die Zeit vor und nach dem Pace Car falsch zusammengezählt. In der Folge feierten Emerson Fittipaldi von Lotus, Jackie Oliver von Shadow und Peter Revson von McLaren konsequent den Sieg. Der Sieg ging an Letzteren - nach mehrstündigem Gezänk.
Eine ebenso interessante Geschichte ereignete sich 1975 beim Großen Preis von Schweden. März-Fahrer Vittorio Brambilla war bei weitem nicht der Schnellste im Pelaton, aber er war es, der in diesem Rennen die Pole-Position holte. Dies lag daran, dass der März-Designer Robin Hurd eine halbe Sekunde, bevor Brambilla die Ziellinie überquerte, direkt vor die Fotozelle des Rekorders schlich. Wie durch ein Wunder sah das niemand, und das Gerät zeichnete die Zeit von Hurd zu Fuß auf und überhaupt nicht die des Rennfahrers.
Der Siegeszug der Technik
Die heutigen Rennen sind der Triumph der Hochtechnologie. Beispielsweise war die NASCAR-Serie fast die letzte, die auf moderne Zeitmessungsmethoden umstellte und so weit wie möglich an Traditionen festhielt. Aber heute gelten die Zeitmesssysteme von NASCAR als einige der besten der Welt. Tissot, seit vier Jahren offizieller Zeitnehmer der Überseeserie, hat jede Strecke so ausgestattet, dass die europäischen Organisatoren sie nur beneiden können. Bei einem Rennen, bei dem 34 der 36 Runden einer Saison Ovale sind, ist das Timing von größter Bedeutung.
Nicht weniger seriöse Systeme werden in der Motorradrennweltmeisterschaft eingesetzt (Tissot ist auch ihr Zeitnehmer). Anders als bei NASCAR sind keine ausgeklügelten Überwachungssysteme erforderlich, um festzustellen, wer vorne liegt: Die Motorradfahrer befinden sich nicht in einem so engen Pelaton. Aber da die MotoGP-Strecken die traditionelle europäische Konfiguration haben und keine Ovale, gibt es auch genug Schwierigkeiten. Das Setzen von Zeitschnitten an bestimmten Punkten der Route erfordert sorgfältige Überlegung (Ovale werden einfach geometrisch in 4-8 Teile geteilt).
Die heutige Computertechnologie eliminiert praktisch die Möglichkeit von Zeitfehlern bei Auto- oder Motorradrennen. Die Organisatoren des Grand Prix haben längst ganz andere Probleme auf dem Kopf – Sicherheit, Ökologie usw. Und die Zeitnehmer arbeiten für sich und arbeiten. Man könnte sagen, es ist wie ein Uhrwerk.
Lassen Sie es erforderlich sein, bis zu (mit einem Nachteil) zu finden. Lassen Sie uns die Berechnungen wie folgt anordnen:
Wir finden zunächst nur aus der ganzen Zahl 2 eine Näherungswurzel bis 1. Wir erhalten 1 (und der Rest ist 1). Wir schreiben die Zahl 1 an die Wurzel und setzen ein Komma dahinter. Jetzt finden wir die Zahl der Zehntel. Dazu fügen wir rechts vom Komma die Zahlen 3 und 5 zum Rest der 1 hinzu und fahren mit der Extraktion fort, als ob wir die Wurzel aus der ganzen Zahl 235 ziehen würden. Die resultierende Zahl 5 schreiben wir an die Wurzel in Platz der Zehntel. Die restlichen Ziffern der Wurzelzahl (104) brauchen wir nicht. Dass die resultierende Zahl 1,5 tatsächlich eine ungefähre Wurzel bis zu sein wird, ist aus dem Folgenden ersichtlich; wenn wir die größte ganzzahlige Wurzel von 235 mit einer Genauigkeit von 1 finden würden, dann würden wir 15 erhalten, was bedeutet
Dividiert man jede dieser Zahlen durch 100, erhält man:
(Ab der Addition der Zahl 0.00104 sollte sich das Doppelzeichen ≤ offensichtlich in das Vorzeichen ändern<, а знак >bleibt (seit 0.00104< 0,01).)
Es sei erforderlich, bis auf eine Annäherung einen Nachteil zu finden. Lassen Sie uns also eine ganze Zahl finden - die Anzahl der Zehntel, dann die Anzahl der Hundertstel. Die Quadratwurzel einer ganzen Zahl ist 15 ganze Zahlen. Um die Zahl der Zehntel zu erhalten, müssen, wie wir gesehen haben, dem Rest von 23 rechts vom Dezimalpunkt zwei weitere Ziffern hinzugefügt werden:
In unserem Beispiel existieren diese Nummern überhaupt nicht; Setzen Sie Nullen an ihre Stelle. Indem wir sie zum Rest hinzufügen und die Aktion fortsetzen, als ob wir die Wurzel der ganzen Zahl 24800 finden würden, finden wir die Zehntelziffer 7. Es bleibt, die Hundertstelziffer zu finden. Dazu fügen wir dem Rest 151 zwei weitere Nullen hinzu und fahren mit der Extraktion fort, als ob wir die Wurzel der ganzen Zahl 2480000 finden würden. Wir erhalten 15,74. Dass diese Zahl tatsächlich die ungefähre Wurzel von 248 bis zum Minus ist, geht aus dem Folgenden hervor. Wenn wir die größte ganzzahlige Quadratwurzel der ganzen Zahl 2480000 finden würden, dann würden wir 1574 erhalten, was bedeutet
Dividiert man jede dieser Zahlen durch 10000 (1002), erhält man:
15,74 2 ≤ 248; 15,75 2 > 248.
Das bedeutet, dass 15,74 jener Dezimalbruch ist, den wir die Näherungswurzel genannt haben, mit einem Nachteil bis 248.
Regel. Um aus einer gegebenen ganzen Zahl oder einem gegebenen Dezimalbruch eine ungefähre Wurzel mit einem Nachteil mit einer Genauigkeit von bis zu, bis zu, bis zu usw. zu ziehen, finden Sie zuerst eine ungefähre Wurzel mit einem Nachteil mit einer Genauigkeit von 1, indem Sie die Wurzel aus der Ganzzahl (wenn sie nicht vorhanden ist, schreiben Sie an die Wurzel 0 Ganzzahlen).
Dann finden Sie die Anzahl der Zehntel. Dazu werden dem Rest zwei Ziffern der subjugierten Zahl rechts vom Dezimalpunkt hinzugefügt (falls nicht vorhanden, werden dem Rest zwei Nullen zugeschrieben) und die Extraktion wird so fortgesetzt, wie sie ist getan, wenn die Wurzel aus einer ganzen Zahl extrahiert wird. Die resultierende Zahl wird anstelle von Zehnteln an die Wurzel geschrieben.
Dann finden Sie die Anzahl der Hundertstel. Dazu werden dem Rest wieder zwei Figuren zugeordnet, die rechts von den gerade Abgerissenen stehen usw.
Also beim Wurzelziehen einer ganzen Zahl mit einem Dezimalbruch Die Zahl muss in Seiten mit jeweils zwei Ziffern unterteilt werden, beginnend mit einem Komma, sowohl nach links (im ganzzahligen Teil der Zahl) als auch nach rechts (im Bruchteil).
Beispiele.
Im letzten Beispiel haben wir den Bruch in eine Dezimalzahl umgewandelt, indem wir acht Dezimalstellen berechnet haben, um die vier Flächen zu bilden, die zum Ermitteln der vier Dezimalstellen der Wurzel erforderlich sind.
