Wertetabelle trigonometrischer Funktionen

Notiz. Diese Tabelle trigonometrischer Funktionswerte verwendet das √-Zeichen zur Darstellung der Quadratwurzel. Um einen Bruch anzugeben, verwenden Sie das Symbol „/“.

siehe auch nützliche Materialien:

Für Bestimmen des Wertes einer trigonometrischen Funktion, finden Sie es am Schnittpunkt der Linie, die die trigonometrische Funktion angibt. Zum Beispiel Sinus 30 Grad – wir suchen die Spalte mit der Überschrift sin (Sinus) und finden den Schnittpunkt dieser Tabellenspalte mit der Zeile „30 Grad“, an ihrem Schnittpunkt lesen wir das Ergebnis – eine Hälfte. Ebenso finden wir Kosinus 60 Grad, Sinus 60 Grad (wiederum finden wir am Schnittpunkt der Sin-Spalte und der 60-Grad-Linie den Wert sin 60 = √3/2) usw. Die Werte von Sinus, Cosinus und Tangens anderer „beliebter“ Winkel werden auf die gleiche Weise ermittelt.

Sinus Pi, Kosinus Pi, Tangens Pi und andere Winkel im Bogenmaß

Die folgende Tabelle mit Kosinus, Sinus und Tangens eignet sich auch zum Ermitteln des Werts trigonometrischer Funktionen, deren Argument ist angegeben im Bogenmaß. Verwenden Sie dazu die zweite Spalte mit Winkelwerten. Dadurch können Sie den Wert gängiger Winkel von Grad in Bogenmaß umrechnen. Suchen wir zum Beispiel den Winkel von 60 Grad in der ersten Zeile und lesen darunter seinen Wert im Bogenmaß ab. 60 Grad entsprechen π/3 Bogenmaß.

Die Zahl pi drückt eindeutig die Abhängigkeit des Umfangs vom Gradmaß des Winkels aus. Somit entspricht Pi im Bogenmaß 180 Grad.

Jede in Pi (Bogenmaß) ausgedrückte Zahl kann leicht in Grad umgewandelt werden, indem Pi (π) durch 180 ersetzt wird.

Beispiele:
1. Sinus pi.
Sünde π = Sünde 180 = 0
Somit ist der Sinus von Pi derselbe wie der Sinus von 180 Grad und gleich Null.

2. Kosinus pi.
cos π = cos 180 = -1
Daher ist der Kosinus von Pi derselbe wie der Kosinus von 180 Grad und gleich minus eins.

3. Tangente pi
tg π = tg 180 = 0
Daher ist der Tangens Pi dasselbe wie der Tangens 180 Grad und gleich Null.

Tabelle der Sinus-, Cosinus- und Tangenswerte für Winkel 0 - 360 Grad (allgemeine Werte)

Winkel α-Wert (Grad)	Winkel α-Wert im Bogenmaß (über pi)	Sünde (Sinus)	cos (Kosinus)	tg (Tangente)	ctg (Kotangens)	Sek (Sekante)	cosec (Kosekans)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Wenn in der Wertetabelle trigonometrischer Funktionen anstelle des Funktionswerts ein Strich angegeben ist (Tangens (tg) 90 Grad, Kotangens (ctg) 180 Grad), dann ist für einen gegebenen Wert das Gradmaß des Winkels die Funktion hat keinen bestimmten Wert. Wenn kein Bindestrich vorhanden ist, ist die Zelle leer, was bedeutet, dass wir den erforderlichen Wert noch nicht eingegeben haben. Wir interessieren uns für die Anfragen der Nutzer und ergänzen die Tabelle mit neuen Werten, obwohl die aktuellen Daten zu den Werten von Kosinus, Sinus und Tangens der häufigsten Winkelwerte zur Lösung der meisten völlig ausreichen Probleme.

Wertetabelle der trigonometrischen Funktionen sin, cos, tg für die gängigsten Winkel
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 Grad
(Zahlenwerte „gemäß Bradis-Tabellen“)

Winkel α-Wert (Grad)	Winkel α-Wert im Bogenmaß	Sünde (Sinus)	cos (Kosinus)	tg (Tangente)	ctg (Kotangens)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

Wertetabellen für Sinus (sin), Kosinus (cos), Tangens (tg) und Kotangens (ctg) sind ein leistungsstarkes und nützliches Werkzeug, das bei der Lösung vieler theoretischer und angewandter Probleme hilft. In diesem Artikel stellen wir eine Tabelle der grundlegenden trigonometrischen Funktionen (Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens) für Winkel von 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 Grad (0, π 6, π 3, π) bereit 2,... , 2 π Bogenmaß). Es werden auch separate Bradis-Tabellen für Sinus und Cosinus, Tangens und Kotangens gezeigt, mit einer Erklärung, wie man sie zum Ermitteln der Werte grundlegender trigonometrischer Funktionen verwendet.

Tabelle der grundlegenden trigonometrischen Funktionen für die Winkel 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 Grad

Basierend auf den Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens können Sie die Werte dieser Funktionen für Winkel von 0 und 90 Grad ermitteln

sin 0 = 0, cos 0 = 1, t g 0 = 0, Kotangens Null ist nicht definiert,

sin 90° = 1, cos 90° = 0, c t g 90° = 0, Tangens von neunzig Grad ist nicht definiert.

Die Werte von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens im Geometriekurs werden als Verhältnis der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks definiert, dessen Winkel 30, 60 und 90 Grad sowie 45, 45 und 90 Grad betragen.

Definieren trigonometrischer Funktionen für einen spitzen Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck

Sinus- das Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse.

Kosinus- das Verhältnis des angrenzenden Beins zur Hypotenuse.

Tangente- das Verhältnis der Gegenseite zur Nachbarseite.

Kotangens- das Verhältnis der Anliegerseite zur Gegenseite.

Entsprechend den Definitionen ergeben sich die Werte der Funktionen:

sin 30 ° = 1 2 , cos 30 ° = 3 2 , t g 30 ° = 3 3 , c t g 30 ° = 3 , sin 45 ° = 2 2 , cos 45 ° = 2 2 , t g 45 ° = 1 , c t g 45 ° = 1, sin 60° = 3 2, cos 45° = 1 2, tg 45° = 3, c tg 45° = 3 3.

Tragen wir diese Werte in eine Tabelle ein und nennen wir sie eine Tabelle der Grundwerte von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens.

Tabelle der Grundwerte von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens

α °	0	30	45	60	90
Sünde α	0	1 2	2 2	3 2	1
cos α	1	3 2	2 2	1 2	0
t g α	0	3 3	1	3	unbestimmt
c t g α	unbestimmt	3	1	3 3	0
α, r a d i a n	0	π 6	π 4	π 3	π 2

Eine der wichtigen Eigenschaften trigonometrischer Funktionen ist die Periodizität. Basierend auf dieser Eigenschaft kann diese Tabelle mithilfe von Reduktionsformeln erweitert werden. Nachfolgend präsentieren wir eine erweiterte Tabelle der Werte der wichtigsten trigonometrischen Funktionen für die Winkel 0, 30, 60, ... , 120, 135, 150, 180, ... , 360 Grad (0, π 6, π 3 , π 2, ... , 2 π Bogenmaß).

Tabelle der Sinus-, Kosinus-, Tangens- und Kotangenswerte

α °	0	30	45	60	90	120	135	150	180	210	225	240	270	300	315	330	360
Sünde α	0	1 2	2 2	3 2	1	3 2	2 2	1 2	0	- 1 2	- 2 2	- 3 2	- 1	- 3 2	- 2 2	- 1 2	0
cos α	1	3 2	2 2	1 2	0	- 1 2	- 2 2	- 3 2	- 1	- 3 2	- 2 2	- 1 2	0	1 2	2 2	3 2	1
t g α	0	3 3	1	3	-	- 1	- 3 3	0	0	3 3	1	3	-	- 3	- 1		0
c t g α	-	3	1	3 3	0	- 3 3	- 1	- 3	-	3	1	3 3	0	- 3 3	- 1	- 3	-
α, r a d i a n	0	π 6	π 4	π 3	π 2	2 π 3	3 π 4	5 π 6	π	7 π 6	5 π 4	4 π 3	3 π 2	5 π 3	7 π 4	11 π 6	2π

Durch die Periodizität von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens können Sie diese Tabelle auf beliebig große Winkelwerte erweitern. Die in der Tabelle gesammelten Werte werden am häufigsten bei der Lösung von Problemen verwendet, daher wird empfohlen, sie sich zu merken.

So verwenden Sie die Tabelle der Grundwerte trigonometrischer Funktionen

Das Prinzip der Verwendung einer Wertetabelle für Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens ist auf intuitiver Ebene klar. Der Schnittpunkt einer Zeile und einer Spalte gibt den Wert der Funktion für einen bestimmten Winkel an.

Beispiel. Verwendung der Sinus-, Kosinus-, Tangens- und Kotangenstabelle

Wir müssen herausfinden, was sin 7 π 6 ist

Wir finden eine Spalte in der Tabelle, deren letzter Zellenwert 7 π 6 Bogenmaß ist – das Gleiche wie 210 Grad. Dann wählen wir den Term der Tabelle aus, in der die Sinuswerte dargestellt sind. Am Schnittpunkt von Zeile und Spalte finden wir den gewünschten Wert:

Sünde 7 π 6 = - 1 2

Bradis-Tische

Mit der Bradis-Tabelle können Sie den Wert von Sinus, Cosinus, Tangens oder Kotangens mit einer Genauigkeit von 4 Dezimalstellen ohne den Einsatz von Computertechnologie berechnen. Dies ist eine Art Ersatz für einen technischen Taschenrechner.

Referenz

Vladimir Modestovich Bradis (1890 - 1975) – sowjetischer Mathematiker-Lehrer, seit 1954 korrespondierendes Mitglied der Akademie der Pädagogischen Wissenschaften der UdSSR. Die von Bradis entwickelten Tabellen mit vierstelligen Logarithmen und natürlichen trigonometrischen Größen wurden erstmals 1921 veröffentlicht.

Zunächst stellen wir die Bradis-Tabelle für Sinus und Cosinus vor. Damit können Sie die Näherungswerte dieser Funktionen für Winkel, die eine ganze Zahl von Grad und Minuten enthalten, ziemlich genau berechnen. Die Spalte ganz links in der Tabelle stellt Grad dar, und die oberste Zeile stellt Minuten dar. Beachten Sie, dass alle Winkelwerte der Bradis-Tabelle Vielfache von sechs Minuten sind.

Bradis-Tabelle für Sinus und Cosinus

Sünde	0"	6"	12"	18"	24"	30"	36"	42"	48"	54"	60"	cos	1"	2"	3"
											0.0000	90°
0°	0.0000	0017	0035	0052	0070	0087	0105	0122	0140	0157	0175	89°	3	6	9
1°	0175	0192	0209	0227	0244	0262	0279	0297	0314	0332	0349	88°	3	6	9
2°	0349	0366	0384	0401	0419	0436	0454	0471	0488	0506	0523	87°	3	6	9
3°	0523	0541	0558	0576	0593	0610	0628	0645	0663	0680	0698	86°	3	6	9
4°	0698	0715	0732	0750	0767	0785	0802	0819	0837	0854	0.0872	85°	3	6	9
5°	0.0872	0889	0906	0924	0941	0958	0976	0993	1011	1028	1045	84°	3	6	9
6°	1045	1063	1080	1097	1115	1132	1149	1167	1184	1201	1219	83°	3	6	9
7°	1219	1236	1253	1271	1288	1305	1323	1340	1357	1374	1392	82°	3	6	9
8°	1392	1409	1426	1444	1461	1478	1495	1513	1530	1547	1564	81°	3	6	9
9°	1564	1582	1599	1616	1633	1650	1668	1685	1702	1719	0.1736	80°	3	6	9
10°	0.1736	1754	1771	1788	1805	1822	1840	1857	1874	1891	1908	79°	3	6	9
11°	1908	1925	1942	1959	1977	1994	2011	2028	2045	2062	2079	78°	3	6	9
12°	2079	2096	2113	2130	2147	2164	2181	2198	2215	2233	2250	77°	3	6	9
13°	2250	2267	2284	2300	2317	2334	2351	2368	2385	2402	2419	76°	3	6	8
14°	2419	2436	2453	2470	2487	2504	2521	2538	2554	2571	0.2588	75°	3	6	8
15°	0.2588	2605	2622	2639	2656	2672	2689	2706	2723	2740	2756	74°	3	6	8
16°	2756	2773	2790	2807	2823	2840	2857	2874	2890	2907	2924	73°	3	6	8
17°	2924	2940	2957	2974	2990	3007	3024	3040	3057	3074	3090	72°	3	6	8
18°	3090	3107	3123	3140	3156	3173	3190	3206	3223	3239	3256	71°	3	6	8
19°	3256	3272	3289	3305	3322	3338	3355	3371	3387	3404	0.3420	70°	3	5	8
20°	0.3420	3437	3453	3469	3486	3502	3518	3535	3551	3567	3584	69°	3	5	8
21°	3584	3600	3616	3633	3649	3665	3681	3697	3714	3730	3746	68°	3	5	8
22°	3746	3762	3778	3795	3811	3827	3843	3859	3875	3891	3907	67°	3	5	8
23°	3907	3923	3939	3955	3971	3987	4003	4019	4035	4051	4067	66°	3	5	8
24°	4067	4083	4099	4115	4131	4147	4163	4179	4195	4210	0.4226	65°	3	5	8
25°	0.4226	4242	4258	4274	4289	4305	4321	4337	4352	4368	4384	64°	3	5	8
26°	4384	4399	4415	4431	4446	4462	4478	4493	4509	4524	4540	63°	3	5	8
27°	4540	4555	4571	4586	4602	4617	4633	4648	4664	4679	4695	62°	3	5	8
28°	4695	4710	4726	4741	4756	4772	4787	4802	4818	4833	4848	61°	3	5	8
29°	4848	4863	4879	4894	4909	4924	4939	4955	4970	4985	0.5000	60°	3	5	8
30°	0.5000	5015	5030	5045	5060	5075	5090	5105	5120	5135	5150	59°	3	5	8
31°	5150	5165	5180	5195	5210	5225	5240	5255	5270	5284	5299	58°	2	5	7
32°	5299	5314	5329	5344	5358	5373	5388	5402	5417	5432	5446	57°	2	5	7
33°	5446	5461	5476	5490	5505	5519	5534	5548	5563	5577	5592	56°	2	5	7
34°	5592	5606	5621	5635	5650	5664	5678	5693	5707	5721	0.5736	55°	2	5	7
35°	0.5736	5750	5764	5779	5793	5807	5821	5835	5850	5864	0.5878	54°	2	5	7
36°	5878	5892	5906	5920	5934	5948	5962	5976	5990	6004	6018	53°	2	5	7
37°	6018	6032	6046	6060	6074	6088	6101	6115	6129	6143	6157	52°	2	5	7
38°	6157	6170	6184	6198	6211	6225	6239	6252	6266	6280	6293	51°	2	5	7
39°	6293	6307	6320	6334	6347	6361	6374	6388	6401	6414	0.6428	50°	2	4	7
40°	0.6428	6441	6455	6468	6481	6494	6508	6521	6534	6547	6561	49°	2	4	7
41°	6561	6574	6587	6600	6613	6626	6639	6652	6665	6678	6691	48°	2	4	7
42°	6691	6704	6717	6730	6743	6756	6769	6782	6794	6807	6820	47°	2	4	6
43°	6820	6833	6845	6858	6871	6884	6896	8909	6921	6934	6947	46°	2	4	6
44°	6947	6959	6972	6984	6997	7009	7022	7034	7046	7059	0.7071	45°	2	4	6
45°	0.7071	7083	7096	7108	7120	7133	7145	7157	7169	7181	7193	44°	2	4	6
46°	7193	7206	7218	7230	7242	7254	7266	7278	7290	7302	7314	43°	2	4	6
47°	7314	7325	7337	7349	7361	7373	7385	7396	7408	7420	7431	42°	2	4	6
48°	7431	7443	7455	7466	7478	7490	7501	7513	7524	7536	7547	41°	2	4	6
49°	7547	7559	7570	7581	7593	7604	7615	7627	7638	7649	0.7660	40°	2	4	6
50°	0.7660	7672	7683	7694	7705	7716	7727	7738	7749	7760	7771	39°	2	4	6
51°	7771	7782	7793	7804	7815	7826	7837	7848	7859	7869	7880	38°	2	4	5
52°	7880	7891	7902	7912	7923	7934	7944	7955	7965	7976	7986	37°	2	4	5
53°	7986	7997	8007	8018	8028	8039	8049	8059	8070	8080	8090	36°	2	3	5
54°	8090	8100	8111	8121	8131	8141	8151	8161	8171	8181	0.8192	35°	2	3	5
55°	0.8192	8202	8211	8221	8231	8241	8251	8261	8271	8281	8290	34°	2	3	5
56°	8290	8300	8310	8320	8329	8339	8348	8358	8368	8377	8387	33°	2	3	5
57°	8387	8396	8406	8415	8425	8434	8443	8453	8462	8471	8480	32°	2	3	5
58°	8480	8490	8499	8508	8517	8526	8536	8545	8554	8563	8572	31°	2	3	5
59°	8572	8581	8590	8599	8607	8616	8625	8634	8643	8652	0.8660	30°	1	3	4
60°	0.8660	8669	8678	8686	8695	8704	8712	8721	8729	8738	8746	29°	1	3	4
61°	8746	8755	8763	8771	8780	8788	8796	8805	8813	8821	8829	28°	1	3	4
62°	8829	8838	8846	8854	8862	8870	8878	8886	8894	8902	8910	27°	1	3	4
63°	8910	8918	8926	8934	8942	8949	8957	8965	8973	8980	8988	26°	1	3	4
64°	8988	8996	9003	9011	9018	9026	9033	9041	9048	9056	0.9063	25°	1	3	4
65°	0.9063	9070	9078	9085	9092	9100	9107	9114	9121	9128	9135	24°	1	2	4
66°	9135	9143	9150	9157	9164	9171	9178	9184	9191	9198	9205	23°	1	2	3
67°	9205	9212	9219	9225	9232	9239	9245	9252	9259	9256	9272	22°	1	2	3
68°	9272	9278	9285	9291	9298	9304	9311	9317	9323	9330	9336	21°	1	2	3
69°	9336	9342	9348	9354	9361	9367	9373	9379	9383	9391	0.9397	20°	1	2	3
70°	9397	9403	9409	9415	9421	9426	9432	9438	9444	9449	0.9455	19°	1	2	3
71°	9455	9461	9466	9472	9478	9483	9489	9494	9500	9505	9511	18°	1	2	3
72°	9511	9516	9521	9527	9532	9537	9542	9548	9553	9558	9563	17°	1	2	3
73°	9563	9568	9573	9578	9583	9588	9593	9598	9603	9608	9613	16°	1	2	2
74°	9613	9617	9622	9627	9632	9636	9641	9646	9650	9655	0.9659	15°	1	2	2
75°	9659	9664	9668	9673	9677	9681	9686	9690	9694	9699	9703	14°	1	1	2
76°	9703	9707	9711	9715	9720	9724	9728	9732	9736	9740	9744	13°	1	1	2
77°	9744	9748	9751	9755	9759	9763	9767	9770	9774	9778	9781	12°	1	1	2
78°	9781	9785	9789	9792	9796	9799	9803	9806	9810	9813	9816	11°	1	1	2
79°	9816	9820	9823	9826	9829	9833	9836	9839	9842	9845	0.9848	10°	1	1	2
80°	0.9848	9851	9854	9857	9860	9863	9866	9869	9871	9874	9877	9°	0	1	1
81°	9877	9880	9882	9885	9888	9890	9893	9895	9898	9900	9903	8°	0	1	1
82°	9903	9905	9907	9910	9912	9914	9917	9919	9921	9923	9925	7°	0	1	1
83°	9925	9928	9930	9932	9934	9936	9938	9940	9942	9943	9945	6°	0	1	1
84°	9945	9947	9949	9951	9952	9954	9956	9957	9959	9960	9962	5°	0	1	1
85°	9962	9963	9965	9966	9968	9969	9971	9972	9973	9974	9976	4°	0	0	1
86°	9976	9977	9978	9979	9980	9981	9982	9983	9984	9985	9986	3°	0	0	0
87°	9986	9987	9988	9989	9990	9990	9991	9992	9993	9993	9994	2°	0	0	0
88°	9994	9995	9995	9996	9996	9997	9997	9997	9998	9998	0.9998	1°	0	0	0
89°	9998	9999	9999	9999	9999	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	0°	0	0	0
90°	1.0000
Sünde	60"	54"	48"	42"	36"	30"	24"	18"	12"	6"	0"	cos	1"	2"	3"

Um die Werte der Sinus- und Cosinuswerte von Winkeln zu ermitteln, die nicht in der Tabelle aufgeführt sind, müssen Korrekturen vorgenommen werden.

Jetzt präsentieren wir die Bradis-Tabelle für Tangenten und Kotangenten. Es enthält Werte für Tangenten von Winkeln von 0 bis 76 Grad und Kotangenten von Winkeln von 14 bis 90 Grad.

Bradis-Tabelle für Tangens und Kotangens

tg	0"	6"	12"	18"	24"	30"	36"	42"	48"	54"	60"	ctg	1"	2"	3"
											0	90°
0°	0,000	0017	0035	0052	0070	0087	0105	0122	0140	0157	0175	89°	3	6	9
1°	0175	0192	0209	0227	0244	0262	0279	0297	0314	0332	0349	88°	3	6	9
2°	0349	0367	0384	0402	0419	0437	0454	0472	0489	0507	0524	87°	3	6	9
3°	0524	0542	0559	0577	0594	0612	0629	0647	0664	0682	0699	86°	3	6	9
4°	0699	0717	0734	0752	0769	0787	0805	0822	0840	0857	0,0875	85°	3	6	9
5°	0,0875	0892	0910	0928	0945	0963	0981	0998	1016	1033	1051	84°	3	6	9
6°	1051	1069	1086	1104	1122	1139	1157	1175	1192	1210	1228	83°	3	6	9
7°	1228	1246	1263	1281	1299	1317	1334	1352	1370	1388	1405	82°	3	6	9
8°	1405	1423	1441	1459	1477	1495	1512	1530	1548	1566	1584	81°	3	6	9
9°	1584	1602	1620	1638	1655	1673	1691	1709	1727	1745	0,1763	80°	3	6	9
10°	0,1763	1781	1799	1817	1835	1853	1871	1890	1908	1926	1944	79°	3	6	9
11°	1944	1962	1980	1998	2016	2035	2053	2071	2089	2107	2126	78°	3	6	9
12°	2126	2144	2162	2180	2199	2217	2235	2254	2272	2290	2309	77°	3	6	9
13°	2309	2327	2345	2364	2382	2401	2419	2438	2456	2475	2493	76°	3	6	9
14°	2493	2512	2530	2549	2568	2586	2605	2623	2642	2661	0,2679	75°	3	6	9
15°	0,2679	2698	2717	2736	2754	2773	2792	2811	2830	2849	2867	74°	3	6	9
16°	2867	2886	2905	2924	2943	2962	2981	3000	3019	3038	3057	73°	3	6	9
17°	3057	3076	3096	3115	3134	3153	3172	3191	3211	3230	3249	72°	3	6	10
18°	3249	3269	3288	3307	3327	3346	3365	3385	3404	3424	3443	71°	3	6	10
19°	3443	3463	3482	3502	3522	3541	3561	3581	3600	3620	0,3640	70°	3	7	10
20°	0,3640	3659	3679	3699	3719	3739	3759	3779	3799	3819	3839	69°	3	7	10
21°	3839	3859	3879	3899	3919	3939	3959	3979	4000	4020	4040	68°	3	7	10
22°	4040	4061	4081	4101	4122	4142	4163	4183	4204	4224	4245	67°	3	7	10
23°	4245	4265	4286	4307	4327	4348	4369	4390	4411	4431	4452	66°	3	7	10
24°	4452	4473	4494	4515	4536	4557	4578	4599	4621	4642	0,4663	65°	4	7	11
25°	0,4663	4684	4706	4727	4748	4770	4791	4813	4834	4856	4877	64°	4	7	11
26°	4877	4899	4921	4942	4964	4986	5008	5029	5051	5073	5095	63°	4	7	11
27°	5095	5117	5139	5161	5184	5206	5228	5250	5272	5295	5317	62°	4	7	11
28°	5317	5340	5362	5384	5407	5430	5452	5475	5498	5520	5543	61°	4	8	11
29°	5543	5566	5589	5612	5635	5658	5681	5704	5727	5750	0,5774	60°	4	8	12
30°	0,5774	5797	5820	5844	5867	5890	5914	5938	5961	5985	6009	59°	4	8	12
31°	6009	6032	6056	6080	6104	6128	6152	6176	6200	6224	6249	58°	4	8	12
32°	6249	6273	6297	6322	6346	6371	6395	6420	6445	6469	6494	57°	4	8	12
33°	6494	6519	6544	6569	6594	6619	6644	6669	6694	6720	6745	56°	4	8	13
34°	6745	6771	6796	6822	6847	6873	6899	6924	6950	6976	0,7002	55°	4	9	13
35°	0,7002	7028	7054	7080	7107	7133	7159	7186	7212	7239	7265	54°	4	8	13
36°	7265	7292	7319	7346	7373	7400	7427	7454	7481	7508	7536	53°	5	9	14°
37°	7536	7563	7590	7618	7646	7673	7701	7729	7757	7785	7813	52°	5	9	14
38°	7813	7841	7869	7898	7926	7954	7983	8012	8040	8069	8098	51°	5	9	14
39°	8098	8127	8156	8185	8214	8243	8273	8302	8332	8361	0,8391	50°	5	10	15
40°	0,8391	8421	8451	8481	8511	8541	8571	8601	8632	8662	0,8693	49°	5	10	15
41°	8693	8724	8754	8785	8816	8847	8878	8910	8941	8972	9004	48°	5	10	16
42°	9004	9036	9067	9099	9131	9163	9195	9228	9260	9293	9325	47°	6	11	16
43°	9325	9358	9391	9424	9457	9490	9523	9556	9590	9623	0,9657	46°	6	11	17
44°	9657	9691	9725	9759	9793	9827	9861	9896	9930	9965	1,0000	45°	6	11	17
45°	1,0000	0035	0070	0105	0141	0176	0212	0247	0283	0319	0355	44°	6	12	18
46°	0355	0392	0428	0464	0501	0538	0575	0612	0649	0686	0724	43°	6	12	18
47°	0724	0761	0799	0837	0875	0913	0951	0990	1028	1067	1106	42°	6	13	19
48°	1106	1145	1184	1224	1263	1303	1343	1383	1423	1463	1504	41°	7	13	20
49°	1504	1544	1585	1626	1667	1708	1750	1792	1833	1875	1,1918	40°	7	14	21
50°	1,1918	1960	2002	2045	2088	2131	2174	2218	2261	2305	2349	39°	7	14	22
51°	2349	2393	2437	2482	2527	2572	2617	2662	2708	2753	2799	38°	8	15	23
52°	2799	2846	2892	2938	2985	3032	3079	3127	3175	3222	3270	37°	8	16	24
53°	3270	3319	3367	3416	3465	3514	3564	3613	3663	3713	3764	36°	8	16	25
54°	3764	3814	3865	3916	3968	4019	4071	4124	4176	4229	1,4281	35°	9	17	26
55°	1,4281	4335	4388	4442	4496	4550	4605	4659	4715	4770	4826	34°	9	18	27
56°	4826	4882	4938	4994	5051	5108	5166	5224	5282	5340	5399	33°	10	19	29
57°	5399	5458	5517	5577	5637	5697	5757	5818	5880	5941	6003	32°	10	20	30
58°	6003	6066	6128	6191	6255	6319	6383	6447	6512	6577	6643	31°	11	21	32
59°	6643	6709	6775	6842	6909	6977	7045	7113	7182	7251	1,7321	30°	11	23	34
60°	1,732	1,739	1,746	1,753	1,760	1,767	1,775	1,782	1,789	1,797	1,804	29°	1	2	4
61°	1,804	1,811	1,819	1,827	1,834	1,842	1,849	1,857	1,865	1,873	1,881	28°	1	3	4
62°	1,881	1,889	1,897	1,905	1,913	1,921	1,929	1,937	1,946	1,954	1,963	27°	1	3	4
63°	1,963	1,971	1,980	1,988	1,997	2,006	2,014	2,023	2,032	2,041	2,05	26°	1	3	4
64°	2,050	2,059	2,069	2,078	2,087	2,097	2,106	2,116	2,125	2,135	2,145	25°	2	3	5
65°	2,145	2,154	2,164	2,174	2,184	2,194	2,204	2,215	2,225	2,236	2,246	24°	2	3	5
66°	2,246	2,257	2,267	2,278	2,289	2,3	2,311	2,322	2,333	2,344	2,356	23°	2	4	5
67°	2,356	2,367	2,379	2,391	2,402	2,414	2,426	2,438	2,450	2,463	2,475	22°	2	4	6
68°	2,475	2,488	2,5	2,513	2,526	2,539	2,552	2,565	2,578	2,592	2,605	21°	2	4	6
69°	2,605	2,619	2,633	2,646	2,66	2,675	2,689	2,703	2,718	2,733	2,747	20°	2	5	7
70°	2,747	2,762	2,778	2,793	2,808	2,824	2,840	2,856	2,872	2,888	2,904	19°	3	5	8
71°	2,904	2,921	2,937	2,954	2,971	2,989	3,006	3,024	3,042	3,06	3,078	18°	3	6	9
72°	3,078	3,096	3,115	3,133	3,152	3,172	3,191	3,211	3,230	3,251	3,271	17°	3	6	10
73°	3,271	3,291	3,312	3,333	3,354	3,376							3	7	10
							3,398	3,42	3,442	3,465	3,487	16°	4	7	11
74°	3,487	3,511	3,534	3,558	3,582	3,606							4	8	12
							3,630	3,655	3,681	3,706	3,732	15°	4	8	13
75°	3,732	3,758	3,785	3,812	3,839	3,867							4	9	13
							3,895	3,923	3,952	3,981	4,011	14°	5	10	14
tg	60"	54"	48"	42"	36"	30"	24"	18"	12"	6"	0"	ctg	1"	2"	3"

So verwenden Sie Bradis-Tabellen

Betrachten Sie die Bradis-Tabelle für Sinus und Cosinus. Alles, was mit den Nebenhöhlen zu tun hat, befindet sich oben und links. Wenn wir Kosinuswerte benötigen, schauen Sie sich die rechte Seite unten in der Tabelle an.

Um die Werte des Sinus eines Winkels zu ermitteln, müssen Sie den Schnittpunkt der Zeile mit der erforderlichen Gradzahl in der Zelle ganz links und der Spalte mit der erforderlichen Minutenzahl in der oberen Zelle ermitteln.

Wenn der genaue Winkelwert nicht in der Bradis-Tabelle enthalten ist, greifen wir auf Korrekturen zurück. Korrekturen für eine, zwei und drei Minuten sind in den Tabellenspalten ganz rechts angegeben. Um den Wert des Sinus eines Winkels zu ermitteln, der nicht in der Tabelle enthalten ist, ermitteln wir den Wert, der ihm am nächsten kommt. Danach addieren oder subtrahieren wir die Korrektur, die der Differenz zwischen den Winkeln entspricht.

Wenn wir den Sinus eines Winkels suchen, der größer als 90 Grad ist, müssen wir zuerst die Reduktionsformeln und erst dann die Bradis-Tabelle verwenden.

Beispiel. So verwenden Sie den Bradis-Tisch

Nehmen wir an, wir müssen den Sinus des Winkels 17 ° 44 " ermitteln. Mithilfe der Tabelle finden wir heraus, was der Sinus von 17 ° 42 " ist, und fügen seinem Wert eine Korrektur von zwei Minuten hinzu:

17°44" - 17°42" = 2" (notwendige Korrektur) sin 17°44" = 0. 3040 + 0 . 0006 = 0 . 3046

Das Prinzip der Arbeit mit Kosinus, Tangens und Kotangens ist ähnlich. Es ist jedoch wichtig, sich das Vorzeichen der Änderungsanträge zu merken.

Wichtig!

Bei der Berechnung der Sinuswerte hat die Korrektur ein positives Vorzeichen, und bei der Berechnung der Kosinuswerte muss die Korrektur mit einem negativen Vorzeichen vorgenommen werden.

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Wie Sie sehen, ist dieser Kreis im kartesischen Koordinatensystem konstruiert. Der Radius des Kreises ist gleich eins, während der Mittelpunkt des Kreises im Koordinatenursprung liegt, ist die Anfangsposition des Radiusvektors entlang der positiven Richtung der Achse festgelegt (in unserem Beispiel ist dies der Radius).

Jeder Punkt auf dem Kreis entspricht zwei Zahlen: der Achsenkoordinate und der Achsenkoordinate. Was sind diese Koordinatenzahlen? Und was haben sie generell mit dem jeweiligen Thema zu tun? Dazu müssen wir uns an das betrachtete rechtwinklige Dreieck erinnern. In der Abbildung oben sehen Sie zwei ganze rechtwinklige Dreiecke. Betrachten Sie ein Dreieck. Es ist rechteckig, weil es senkrecht zur Achse steht.

Was ist das Dreieck gleich? Alles ist richtig. Darüber hinaus wissen wir, dass dies der Radius des Einheitskreises ist, was bedeutet. Setzen wir diesen Wert in unsere Formel für den Kosinus ein. Folgendes passiert:

Was ist das Dreieck gleich? Nun, natürlich, ! Setzen Sie den Radiuswert in diese Formel ein und erhalten Sie:

Können Sie also sagen, welche Koordinaten ein Punkt hat, der zu einem Kreis gehört? Nun ja, auf keinen Fall? Was wäre, wenn Sie das erkennen und nur Zahlen sind? Welcher Koordinate entspricht es? Na klar, die Koordinaten! Und welcher Koordinate entspricht es? Genau, Koordinaten! Also Punkt.

Was sind dann und gleich? Richtig, verwenden wir die entsprechenden Definitionen von Tangens und Kotangens und erhalten das: a.

Was ist, wenn der Winkel größer ist? Zum Beispiel wie auf diesem Bild:

Was hat sich in diesem Beispiel geändert? Lass es uns herausfinden. Dazu wenden wir uns noch einmal einem rechtwinkligen Dreieck zu. Betrachten Sie ein rechtwinkliges Dreieck: Winkel (als angrenzend an einen Winkel). Welche Werte haben Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens für einen Winkel? Richtig, wir halten uns an die entsprechenden Definitionen trigonometrischer Funktionen:

Nun, wie Sie sehen können, entspricht der Wert des Sinus des Winkels immer noch der Koordinate; der Wert des Kosinus des Winkels - die Koordinate; und die Werte von Tangens und Kotangens an die entsprechenden Verhältnisse. Somit gelten diese Beziehungen für jede Drehung des Radiusvektors.

Es wurde bereits erwähnt, dass die Anfangsposition des Radiusvektors entlang der positiven Richtung der Achse liegt. Bisher haben wir diesen Vektor gegen den Uhrzeigersinn gedreht, aber was passiert, wenn wir ihn im Uhrzeigersinn drehen? Nichts Außergewöhnliches, Sie erhalten auch einen Winkel mit einem bestimmten Wert, aber nur dieser ist negativ. Wenn wir also den Radiusvektor gegen den Uhrzeigersinn drehen, erhalten wir positive Winkel und beim Drehen im Uhrzeigersinn - Negativ.

Wir wissen also, dass eine ganze Umdrehung des Radiusvektors um einen Kreis oder ist. Ist es möglich, den Radiusvektor nach oder nach zu drehen? Natürlich können Sie das! Im ersten Fall macht der Radiusvektor daher eine volle Umdrehung und stoppt an der Position oder.

Im zweiten Fall macht der Radiusvektor drei volle Umdrehungen und stoppt an der Position oder.

Aus den obigen Beispielen können wir daher schließen, dass Winkel, die sich um oder (wobei eine beliebige ganze Zahl ist) unterscheiden, derselben Position des Radiusvektors entsprechen.

Die folgende Abbildung zeigt einen Winkel. Das gleiche Bild entspricht der Ecke usw. Diese Liste lässt sich beliebig fortsetzen. Alle diese Winkel können durch die allgemeine Formel oder (wobei eine beliebige ganze Zahl ist) geschrieben werden

Versuchen Sie nun, die Definitionen der grundlegenden trigonometrischen Funktionen zu kennen und den Einheitskreis zu verwenden, die Werte zu beantworten:

Hier ist ein Einheitskreis, der Ihnen helfen soll:

Haben Sie Schwierigkeiten? Dann lass es uns herausfinden. Wir wissen also:

Von hier aus bestimmen wir die Koordinaten der Punkte, die bestimmten Winkelmaßen entsprechen. Nun, fangen wir der Reihe nach an: Der Winkel entspricht einem Punkt mit Koordinaten, also:

Existiert nicht;

Wenn wir der gleichen Logik folgen, finden wir außerdem heraus, dass die Ecken jeweils Punkten mit Koordinaten entsprechen. Mit diesem Wissen ist es einfach, die Werte trigonometrischer Funktionen an den entsprechenden Punkten zu bestimmen. Probieren Sie es zunächst selbst aus und überprüfen Sie dann die Antworten.

Antworten:

Existiert nicht

Existiert nicht

Existiert nicht

Existiert nicht

Somit können wir die folgende Tabelle erstellen:

Es ist nicht nötig, sich alle diese Werte zu merken. Es reicht aus, sich an die Entsprechung zwischen den Koordinaten von Punkten auf dem Einheitskreis und den Werten trigonometrischer Funktionen zu erinnern:

Aber die Werte der trigonometrischen Funktionen der Winkel in und, angegeben in der folgenden Tabelle, muss in Erinnerung bleiben:

Haben Sie keine Angst, jetzt zeigen wir Ihnen ein Beispiel ganz einfach, sich die entsprechenden Werte zu merken:

Um diese Methode verwenden zu können, ist es wichtig, sich die Werte des Sinus für alle drei Winkelmaße () sowie den Wert des Tangens des Winkels zu merken. Wenn man diese Werte kennt, ist es ganz einfach, die gesamte Tabelle wiederherzustellen – die Kosinuswerte werden entsprechend den Pfeilen übertragen, das heißt:

Wenn Sie dies wissen, können Sie die Werte wiederherstellen. Der Zähler „ “ stimmt überein und der Nenner „ “ stimmt überein. Kotangenswerte werden gemäß den in der Abbildung angegebenen Pfeilen übertragen. Wenn Sie dies verstehen und sich das Diagramm mit den Pfeilen merken, reicht es aus, sich alle Werte aus der Tabelle zu merken.

Koordinaten eines Punktes auf einem Kreis

Ist es möglich, einen Punkt (seine Koordinaten) auf einem Kreis zu finden? Kenntnis der Koordinaten des Kreismittelpunkts, seines Radius und Drehwinkels?

Natürlich können Sie das! Lass es uns rausholen allgemeine Formel zum Ermitteln der Koordinaten eines Punktes.

Hier ist zum Beispiel ein Kreis vor uns:

Wir wissen, dass der Punkt der Mittelpunkt des Kreises ist. Der Radius des Kreises ist gleich. Es ist notwendig, die Koordinaten eines Punktes zu ermitteln, indem man den Punkt um Grad dreht.

Wie aus der Abbildung ersichtlich ist, entspricht die Koordinate des Punktes der Länge des Segments. Die Länge des Segments entspricht der Koordinate des Kreismittelpunkts, ist also gleich. Die Länge eines Segments kann mit der Definition des Kosinus ausgedrückt werden:

Dann haben wir das für die Punktkoordinate.

Mit derselben Logik ermitteln wir den y-Koordinatenwert für den Punkt. Auf diese Weise,

Im Allgemeinen werden die Koordinaten von Punkten also durch die Formeln bestimmt:

Koordinaten des Kreismittelpunkts,

Kreisradius,

Der Drehwinkel des Vektorradius.

Wie Sie sehen können, sind diese Formeln für den Einheitskreis, den wir betrachten, erheblich reduziert, da die Koordinaten des Mittelpunkts gleich Null und der Radius gleich Eins sind:

Probieren wir diese Formeln aus, indem wir üben, Punkte auf einem Kreis zu finden.

1. Finden Sie die Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis, den Sie durch Drehen des Punktes erhalten.

2. Finden Sie die Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis, den Sie durch Drehen des Punktes erhalten.

3. Finden Sie die Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis, den Sie durch Drehen des Punktes erhalten.

4. Der Punkt ist der Mittelpunkt des Kreises. Der Radius des Kreises ist gleich. Es ist notwendig, die Koordinaten des Punktes zu finden, der durch Drehen des anfänglichen Radiusvektors um erhalten wird.

5. Der Punkt ist der Mittelpunkt des Kreises. Der Radius des Kreises ist gleich. Es ist notwendig, die Koordinaten des Punktes zu finden, der durch Drehen des anfänglichen Radiusvektors um erhalten wird.

Haben Sie Schwierigkeiten, die Koordinaten eines Punktes auf einem Kreis zu finden?

Lösen Sie diese fünf Beispiele (oder werden Sie gut darin, sie zu lösen) und Sie werden lernen, sie zu finden!

1.

Das merkt man. Aber wir wissen, was einer vollständigen Umdrehung des Ausgangspunkts entspricht. Somit befindet sich der gewünschte Punkt in der gleichen Position wie beim Drehen. Mit diesem Wissen ermitteln wir die erforderlichen Koordinaten des Punktes:

2. Der Einheitskreis hat seinen Mittelpunkt in einem Punkt, was bedeutet, dass wir vereinfachte Formeln verwenden können:

Das merkt man. Wir wissen, was zwei vollen Umdrehungen des Startpunkts entspricht. Somit befindet sich der gewünschte Punkt in der gleichen Position wie beim Drehen. Mit diesem Wissen ermitteln wir die erforderlichen Koordinaten des Punktes:

Sinus und Cosinus sind Tabellenwerte. Wir erinnern uns an ihre Bedeutung und erhalten:

Somit hat der gewünschte Punkt Koordinaten.

3. Der Einheitskreis hat seinen Mittelpunkt in einem Punkt, was bedeutet, dass wir vereinfachte Formeln verwenden können:

Das merkt man. Lassen Sie uns das betreffende Beispiel in der Abbildung darstellen:

Der Radius bildet Winkel, die gleich und mit der Achse sind. Da wir wissen, dass die Tabellenwerte von Cosinus und Sinus gleich sind, und nachdem wir festgestellt haben, dass der Cosinus hier einen negativen Wert und der Sinus einen positiven Wert annimmt, haben wir:

Solche Beispiele werden beim Studium der Formeln zur Reduzierung trigonometrischer Funktionen im Thema ausführlicher besprochen.

Somit hat der gewünschte Punkt Koordinaten.

4.

Drehwinkel des Radius des Vektors (nach Bedingung)

Um die entsprechenden Vorzeichen von Sinus und Cosinus zu bestimmen, konstruieren wir einen Einheitskreis und einen Einheitswinkel:

Wie Sie sehen, ist der Wert positiv und der Wert negativ. Wenn wir die Tabellenwerte der entsprechenden trigonometrischen Funktionen kennen, erhalten wir Folgendes:

Setzen wir die erhaltenen Werte in unsere Formel ein und ermitteln die Koordinaten:

Somit hat der gewünschte Punkt Koordinaten.

5. Um dieses Problem zu lösen, verwenden wir Formeln in allgemeiner Form, wo

Koordinaten des Kreismittelpunkts (in unserem Beispiel

Kreisradius (nach Bedingung)

Drehwinkel des Radius des Vektors (nach Bedingung).

Setzen wir alle Werte in die Formel ein und erhalten:

und - Tabellenwerte. Erinnern wir uns und setzen sie in die Formel ein:

Somit hat der gewünschte Punkt Koordinaten.

ZUSAMMENFASSUNG UND GRUNDFORMELN

Der Sinus eines Winkels ist das Verhältnis des gegenüberliegenden (fernen) Schenkels zur Hypotenuse.

Der Kosinus eines Winkels ist das Verhältnis des benachbarten (nahen) Schenkels zur Hypotenuse.

Der Tangens eines Winkels ist das Verhältnis der gegenüberliegenden (fernen) Seite zur benachbarten (nahen) Seite.

Der Kotangens eines Winkels ist das Verhältnis der angrenzenden (nahen) Seite zur gegenüberliegenden (fernen) Seite.

Finden Sie den Winkel anhand des Sinus

Wir haben also die Möglichkeit, den Sinus eines beliebigen Winkels von 0 bis 90° e mit zwei Dezimalstellen zu berechnen. Es ist kein vorgefertigter Tisch erforderlich; Für ungefähre Berechnungen können wir es auf Wunsch jederzeit selbst zusammenstellen.

Aber um trigonometrische Probleme zu lösen, müssen Sie das Gegenteil tun können – Winkel aus einem gegebenen Sinus berechnen. Auch das ist einfach. Angenommen, Sie müssen einen Winkel finden, dessen Sinus 0,38 beträgt. Da dieser Sinus kleiner als 0,5 ist, beträgt der gewünschte Winkel weniger als 30°. Aber er ist größer als 15°, da sin 15°, wie wir wissen, gleich 0,26 ist. Um diesen Winkel zu ermitteln, der zwischen 15 und 30° liegt, gehen wir wie zuvor erklärt vor:

Der gewünschte Winkel beträgt also etwa 22,5°. Ein weiteres Beispiel: Finden Sie einen Winkel, dessen Sinus 0,62 beträgt.

Der erforderliche Winkel beträgt ca. 38,6°.

Zum Schluss das dritte Beispiel: Finden Sie einen Winkel, dessen Sinus 0,91 beträgt.

Da dieser Sinus zwischen 0,71 und 1 liegt, liegt der gewünschte Winkel zwischen 45° und 90°. Auf: Abb. 91 Sonne ist der Sinus des Winkels L, wenn VA= 1. Wissen Sonne, leicht, den Sinus eines Winkels zu finden IN:

Lassen Sie uns nun den Winkel finden IN, dessen Sinus 0,42 beträgt; Danach wird es leicht sein, den Winkel A zu finden, der 90° entspricht - IN.

Da 0,42 zwischen 0,26 und 0,5 liegt, dann ist der Winkel IN liegt zwischen 15° und 30°. Er ist wie folgt definiert:

Und daher Winkel A = 90° - B = 90° - 25° = 65°.

Wir sind jetzt bestens gerüstet, um trigonometrische Probleme näherungsweise zu lösen, da wir Sinuswerte aus Winkeln und Winkel aus Sinuswerten mit einer für Feldzwecke ausreichenden Genauigkeit ermitteln können.

Aber reicht Sinus allein dafür aus? Brauchen wir nicht die restlichen trigonometrischen Funktionen – Kosinus, Tangens usw.? Nun zeigen wir anhand einiger Beispiele, dass wir für unsere vereinfachte Trigonometrie völlig mit dem Sinus auskommen.

Beispiele:

\(\sin(⁡30^°)=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\sin⁡\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\sin⁡2=0,909…\)

Argument und Bedeutung

Sinus eines spitzen Winkels

Sinus eines spitzen Winkels lässt sich anhand eines rechtwinkligen Dreiecks ermitteln – es ist gleich dem Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse.

Beispiel :

1) Es sei ein Winkel gegeben und Sie müssen den Sinus dieses Winkels bestimmen.

2) Vervollständigen wir ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck in diesem Winkel.

3) Nachdem wir die erforderlichen Seiten gemessen haben, können wir \(sinA\) berechnen.

Sinus einer Zahl

Mit dem Zahlenkreis können Sie den Sinus einer beliebigen Zahl bestimmen, aber normalerweise finden Sie den Sinus von Zahlen, die irgendwie mit Folgendem zusammenhängen: \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).

Beispielsweise ist für die Zahl \(\frac(π)(6)\) der Sinus gleich \(0,5\). Und für die Zahl \(-\)\(\frac(3π)(4)\) ist sie gleich \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (ungefähr \ (-0 ,71\)).

Zum Sinus für andere in der Praxis häufig anzutreffende Zahlen siehe.

Der Sinuswert liegt immer im Bereich von \(-1\) bis \(1\). Darüber hinaus kann es für absolut jeden Winkel und jede Zahl berechnet werden.

Sinus eines beliebigen Winkels

Dank des Einheitskreises ist es möglich, trigonometrische Funktionen nicht nur eines spitzen Winkels, sondern auch eines stumpfen, negativen und sogar größeren als \(360°\) (volle Umdrehung) zu bestimmen. Wie man das macht, ist leichter einmal zu sehen als hundertmal zu hören, schauen Sie sich also das Bild an.

Nun eine Erklärung: Wir müssen \(sin∠KOA\) mit dem Gradmaß in \(150°\) definieren. Den Punkt kombinieren UM mit dem Mittelpunkt des Kreises und der Seite OK– mit der \(x\)-Achse. Danach \(150°\) gegen den Uhrzeigersinn beiseite legen. Dann die Ordinate des Punktes A wird uns \(\sin⁡∠KOA\) zeigen.

Wenn wir uns für einen Winkel mit Gradmaß interessieren, zum Beispiel in \(-60°\) (Winkel KOV), machen wir dasselbe, setzen aber \(60°\) im Uhrzeigersinn.

Und schließlich ist der Winkel größer als \(360°\) (Winkel CBS) - Alles ist ähnlich wie beim Dummen, nur nachdem wir eine volle Umdrehung im Uhrzeigersinn gemacht haben, gehen wir zum zweiten Kreis und „bekommen das Fehlen von Graden“. Konkret wird in unserem Fall der Winkel \(405°\) als \(360° + 45°\) aufgetragen.

Es ist leicht zu erraten, dass man zum Zeichnen eines Winkels, beispielsweise in \(960°\), zwei Drehungen machen muss (\(360°+360°+240°\)), und für einen Winkel in \(2640 °\) - ganze sieben.

Wie Sie vielleicht sagen, sind sowohl der Sinus einer Zahl als auch der Sinus eines beliebigen Winkels nahezu identisch definiert. Lediglich die Art und Weise, wie der Punkt auf dem Kreis gefunden wird, ändert sich.

Beziehung zu anderen trigonometrischen Funktionen:

Funktion \(y=\sin⁡x\)

Wenn wir die Winkel im Bogenmaß entlang der \(x\)-Achse und die diesen Winkeln entsprechenden Sinuswerte entlang der \(y\)-Achse auftragen, erhalten wir die folgende Grafik:

Dieser Graph wird Sinuswelle genannt und hat die folgenden Eigenschaften:

Der Definitionsbereich ist jeder Wert von x: \(D(\sin⁡x)=R\)
- Wertebereich – von \(-1\) bis einschließlich \(1\): \(E(\sin⁡x)=[-1;1]\)
- ungerade: \(\sin⁡(-x)=-\sin⁡x\)
- periodisch mit Periode \(2π\): \(\sin⁡(x+2π)=\sin⁡x\)
- Schnittpunkte mit Koordinatenachsen:
Abszissenachse: \((πn;0)\), wobei \(n ϵ Z\)
Y-Achse: \((0;0)\)
- Intervalle der Vorzeichenkonstanz:
die Funktion ist positiv auf den Intervallen: \((2πn;π+2πn)\), wobei \(n ϵ Z\)
die Funktion ist negativ auf den Intervallen: \((π+2πn;2π+2πn)\), wobei \(n ϵ Z\)
- Anstiegs- und Abfallintervalle:
die Funktion wächst auf den Intervallen: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn)\ ), wobei \(n ϵ Z\)
die Funktion nimmt auf den Intervallen ab: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\) , wobei \(n ϵ Z\)
- Maxima und Minima der Funktion:
die Funktion hat einen Maximalwert \(y=1\) an den Punkten \(x=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn\), wobei \(n ϵ Z\)
die Funktion hat einen Minimalwert \(y=-1\) an den Punkten \(x=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn\), wobei \(n ϵ Z\) .