DREIECKE.

§ 28. Konstruktionen mit Zirkel und Lineal.

Bisher haben wir beim Lösen von Konstruktionsproblemen einen Zirkel, ein Lineal, ein Zeichendreieck und einen Winkelmesser verwendet.

Lassen Sie uns nun eine Reihe von Konstruktionsproblemen mit nur zwei Werkzeugen lösen – einem Zirkel und einem Lineal.

Aufgabe 1. Teilen Sie dieses Segment in zwei Hälften.

Bei einem gegebenen Segment AB müssen Sie es in zwei Hälften teilen.

Lösung. Mit einem Radius größer als die Hälfte des Segments AB beschreiben wir Schnittbögen von den Punkten A und B als von Mittelpunkten (Abb. 161). Durch die Schnittpunkte dieser Bögen zeichnen wir eine Gerade CD, die das Segment AB an einem Punkt K schneidet und es mit diesem Punkt in zwei Hälften teilt: AK = KV.

Lass es uns beweisen. Verbinden wir die Punkte A und B mit den Punkten C und D. /\ CAD = /\ SVD, da konstruktionsbedingt AC = CB, AD = BD, CD die gemeinsame Seite ist.

Aus der Gleichheit dieser Dreiecke folgt das / ACK = / VSK, d. h. SK ist die Winkelhalbierende am Scheitelpunkt des gleichschenkligen Dreiecks ASV. Und die Winkelhalbierende am Scheitelpunkt eines gleichschenkligen Dreiecks ist auch sein Median, d.h. Gerade CD teilt das Segment AB in zwei Hälften.

Aufgabe 2. Zeichnen Sie eine Senkrechte zu einer gegebenen Linie AB durch den Punkt O, der auf dieser Linie liegt.

Gegeben sei eine Gerade AB und ein Punkt O, der auf dieser Geraden liegt. Es ist erforderlich, eine Senkrechte zur Geraden AB zu zeichnen, die durch den Punkt O verläuft.

Lösung. Zeichnen wir zwei gleiche Segmente OM und ON auf der Linie AB vom Punkt O aus
(Zeichnung 162). Von den Punkten M und N sowie von den Mittelpunkten aus beschreiben wir zwei Bögen mit demselben Radius, der größer als OM ist. Wir verbinden ihren Schnittpunkt K mit dem Punkt O. KO ist der Median im gleichschenkligen Dreieck MKN, also KO_|_A B (§ 18).

Aufgabe 3. Zeichnen Sie eine Senkrechte zu einer gegebenen Linie AB durch einen Punkt C, der außerhalb dieser Linie liegt.

Bei einer Geraden AB und einem Punkt C außerhalb dieser Geraden ist eine Senkrechte zur Geraden AB erforderlich, die durch den Punkt C geht.

Lösung. Vom Punkt C aus beschreiben wir wie vom Mittelpunkt aus einen Bogen mit einem solchen Radius, dass er die Gerade AB beispielsweise an den Punkten M und N schneidet (Abb. 163). Von den Punkten M und N sowie von den Mittelpunkten aus beschreiben wir Bögen mit demselben Radius, der größer als die Hälfte von MN ist. Wir verbinden ihren Schnittpunkt E mit Punkt C und mit den Punkten M und N. Die Dreiecke CME und CNE sind auf drei Seiten gleich. Bedeutet, / 1 = / 2 und CE ist die Winkelhalbierende des Winkels C im gleichschenkligen Dreieck MCN und daher senkrecht zur Geraden AB (§ 18).

Die Konturen aller Bilder werden durch verschiedene Linien gebildet. Die Hauptlinien sind eine Gerade, ein Kreis und eine Reihe von Kurven. Beim Zeichnen der Konturen von Bildern werden geometrische Konstruktionen und Konjugationen verwendet.

Im Studium der Disziplin „Darstellende Geometrie und Technische Grafik“ müssen die Studierenden die Regeln und Reihenfolge der Durchführung geometrischer Konstruktionen und Verbindungen erlernen.

Der beste Weg, Konstruktionsfähigkeiten zu erwerben, besteht in dieser Hinsicht darin, die Konturen komplexer Teile zu zeichnen.

Bevor Sie mit der Testaufgabe beginnen, müssen Sie die Technik zur Durchführung geometrischer Konstruktionen und Verbindungen gemäß dem Methodenhandbuch erlernen.

1. Aufteilung von Segmenten und Winkeln

1.1. Ein Segment in zwei Hälften teilen

Teilen Sie das gegebene Segment AB in zwei Hälften.

Von den Enden des Segments AB sowie von den Mittelpunkten aus zeichnen wir Kreisbögen mit dem Radius R, deren Größe etwas größer als die Hälfte des Segments AB sein sollte (Abb. 1). Diese Bögen schneiden sich an den Punkten M und N. Suchen wir den Punkt C, an dem sich die Geraden AB und MN schneiden. Punkt C teilt das Segment AB in zwei gleiche Teile.

Notiz. Alle notwendigen Konstruktionen müssen und können nur mit Hilfe eines Zirkels und eines Lineals (ohne Teilung) durchgeführt werden.

1.2. Teilen eines Segments in n gleiche Teile

Teilen Sie ein gegebenes Segment in n gleiche Teile.

Vom Ende des Segments – Punkt A – zeichnen wir einen Hilfsstrahl in einem beliebigen Winkel α (Abb. 2 a). Auf diesem Strahl legen wir 4 gleiche Segmente beliebiger Länge (Abb. 2b). Das Ende des letzten, vierten Segments (Punkt 4) wird mit Punkt B verbunden. Als nächstes zeichnen wir von allen vorherigen Punkten 1...3 Segmente parallel zum Segment B4, bis sie das Segment AB an den Punkten 1", 2 schneiden ", 3". Die so erhaltenen Punkte teilten das Segment in gleich große vier Segmente

1.3. Einen Winkel in zwei Hälften teilen

Teilen Sie den angegebenen Winkel BAC in zwei Hälften.

Vom Scheitelpunkt des Winkels A zeichnen wir einen Bogen mit beliebigem Radius, bis er die Seiten des Winkels in den Punkten B und C schneidet (Abb. 3 a). Dann zeichnen wir von den Punkten B und C zwei Bögen mit einem Radius, der größer als die Hälfte der Distanz BC ist, bis sie sich im Punkt D schneiden (Abb. 3 b). Indem wir die Punkte A und D mit einer Geraden verbinden, erhalten wir die Winkelhalbierende, die den gegebenen Winkel in zwei Hälften teilt (Abb. 3 c)

a) b) c)

2. Einen Kreis in gleiche Teile teilen und regelmäßige Vielecke konstruieren

2.1. Einen Kreis in drei gleiche Teile teilen

Zeichnen Sie vom Ende des Durchmessers, zum Beispiel Punkt A (Abb. 4), einen Bogen mit dem Radius R, der dem Radius des gegebenen Kreises entspricht. Man erhält die erste und zweite Unterteilung – Punkte 1 und 2. Die dritte Unterteilung, Punkt 3, befindet sich am gegenüberliegenden Ende des gleichen Durchmessers. Indem Sie die Punkte 1,2,3 mit Akkorden verbinden, erhalten Sie ein regelmäßiges eingeschriebenes Dreieck.

2.2. Einen Kreis in sechs gleiche Teile teilen

Von den Enden eines beliebigen Durchmessers, zum Beispiel AB (Abb. 5), werden Bögen mit dem Radius R beschrieben. Die Punkte A, 1,3,B,4,2 teilen den Kreis in sechs gleiche Teile. Durch die Verbindung mit Schnüren entsteht ein regelmäßiges beschriftetes Sechseck.

Notiz. Hilfsbögen sollten nicht vollständig gezeichnet werden; es reicht aus, Kerben in den Kreis einzubringen.

2.3. Einen Kreis in fünf gleiche Teile teilen

1. Eingezeichnet sind zwei zueinander senkrechte Durchmesser AB und CD (Abb. 6). Der OS-Radius am Punkt O 1 wird in zwei Hälften geteilt.
2. Zeichnen Sie vom Punkt O1 aus wie vom Mittelpunkt aus einen Bogen mit dem Radius O1A, bis er den Durchmesser CD am Punkt E schneidet.
3. Das Segment AE entspricht der Seite eines regelmäßig eingeschriebenen Fünfecks und das Segment OE entspricht der Seite eines regelmäßig eingeschriebenen Zehnecks.
4. Nimmt man Punkt A als Mittelpunkt, markiert ein Bogen mit dem Radius R1 = AE die Punkte 1 und 4 auf dem Kreis. Von den Punkten 1 und 4 aus markieren Bögen mit demselben Radius R1 die Punkte 3 und 2. Die Punkte A, 1, 2, 3, 4 teilen den Kreis in fünf gleiche Teile.

2.4. Einen Kreis in sieben gleiche Teile teilen

Zeichnen Sie vom Ende des Durchmessers, zum Beispiel Punkt A, einen Bogen mit dem Radius R, der dem Radius des Kreises entspricht (Abb. 7). Die Akkord-CD entspricht der Seite eines regelmäßigen eingeschriebenen Dreiecks. Die Hälfte der Akkord-CD entspricht in ausreichender Näherung der Seite eines regelmäßig beschrifteten Siebenecks, d. h. teilt den Kreis in sieben gleiche Teile.

Reis. 7

Literatur

1. Bogolyubov S.K. Ingenieurgrafiken: Lehrbuch für weiterführende Fachschulen. – 3. Aufl., rev. Und zusätzlich - M.: Maschinenbau, 2006. – S. 392: Abb.
2. Kuprikov M. Yu. Ingenieurgrafiken: Lehrbuch für weiterführende Bildungseinrichtungen – M.: Bustard, 2010 – 495 Seiten: Abb.
3. Fedorenko V.A., Shoshin A.I. Handbuch des Maschinenbauzeichnens L.: Maschinenbau. 1976. 336 S.

Wissen; Da die Dreiecke auf beiden Seiten und der Winkel zwischen ihnen gleich sind, können wir dieses Segment mit Zirkel und Lineal in zwei gleiche Teile teilen.

Wenn Sie beispielsweise ein Segment in zwei Hälften teilen müssen A B(Abb. 69) und platzieren Sie dann die Spitze des Zirkels an den Punkten A I B und Sie beschreiben um sich herum, als ob sie in der Nähe der Zentren wären, zwei sich kreuzende Bögen mit gleichem Radius (Abb. 70). Ihre Schnittpunkte MIT Und D durch eine gerade Linie verbunden, die AB entzwei: JSC= OB.

Um sicherzustellen, dass die Segmente JSC Und OB müssen gleich sein, verbinden Sie die Punkte C Und D mit Enden A Und IN Segment (Abb. 71). Sie erhalten zwei Dreiecke ACD Und BCD, deren drei Seiten jeweils gleich sind: Wechselstrom= Sonne; ANZEIGE= BD; CD - gemeinsam, d.h. gehört zu beiden Dreiecken. Dies impliziert die völlige Gleichheit dieser Dreiecke und damit die Gleichheit aller Winkel. Die Winkel sind also übrigens gleich ACD Und BCD. Vergleichen Sie nun die Dreiecke ASO Und VSO, wir sehen, dass sie eine Seite haben Betriebssystem – allgemein, A.C.= CB und der Winkel zwischen ihnen ASO = ug. VSO. Die Dreiecke sind entlang zweier Seiten und dem Winkel zwischen ihnen gleich; daher sind die Seiten gleich JSC Und OB, also Punkt UM es gibt einen Mittelpunkt AB.

§ 22. Wie man ein Dreieck aus einer Seite und zwei Winkeln konstruiert

Betrachten Sie abschließend ein Problem, dessen Lösung zur Konstruktion eines Dreiecks aus einer Seite und zwei Winkeln führt:

Auf der anderen Flussseite (Abb. 72) ist ein Meilenstein sichtbar A. Es ist erforderlich, ohne den Fluss zu überqueren, vom Meilenstein aus die Entfernung zum Fluss herauszufinden IN an diesem Ufer.

Lass uns das machen. Lassen Sie uns vom Punkt aus messen IN jede beliebige Entfernung in einer geraden Linie Sonne und am Ende davon IN Und MIT Lassen Sie uns die Winkel 1 und 2 messen (Abb. 73). Wenn wir nun die Entfernung auf einer geeigneten Fläche messen DE, gleich Sonne und an den Enden Winkel bilden A Und B(Abb. 74), gleich den Winkeln 1 und 2, dann erhalten wir am Schnittpunkt ihrer Seiten den dritten Scheitelpunkt F Dreieck DEF. Es ist leicht zu überprüfen, ob es sich um ein Dreieck handelt DEF gleich einem Dreieck ABC; in der Tat, wenn wir uns das Dreieck vorstellen DEFüberlagert ABC also diese Seite DE fiel mit seiner gleichen Seite zusammen Sonne, dann ug. A wird mit Winkel 1, Winkel, zusammenfallen B - mit Winkel 2 und Seite DF werde zur Seite gehen VA, und die Seite E.F. auf der Seite SA. Da sich zwei Geraden nur in einem Punkt schneiden können, dann im Scheitelpunkt F sollte mit der Oberseite übereinstimmen A. Also die Entfernung DF gleich dem erforderlichen Abstand VA.

Wie wir sehen, gibt es für das Problem nur eine Lösung. Im Allgemeinen kann aus einer Seite und zwei an diese Seite angrenzenden Winkeln nur ein Dreieck konstruiert werden; Es können keine anderen Dreiecke mit der gleichen Seite und den gleichen zwei Winkeln an den gleichen Stellen daneben liegen. Alle Dreiecke, die eine gleiche Seite und zwei gleiche angrenzende Winkel an den gleichen Stellen haben, können durch Überlagerung vollständig zur Deckung gebracht werden. Dies bedeutet, dass dies ein Zeichen ist, anhand dessen man die vollständige Gleichheit von Dreiecken feststellen kann.

Zusammen mit den bisher etablierten Gleichheitszeichen von Dreiecken kennen wir nun die folgenden drei:

Dreiecke:

auf drei Seiten;

an den beiden Seiten und an der Ecke dazwischen;

auf der Seite und zwei Seiten.

Der Kürze halber werden wir diese drei Fälle der Dreiecksgleichheit weiter wie folgt bezeichnen:

auf drei Seiten: SSS;

auf zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen: SUS;

entlang der Seite und zwei Ecken: USU.

Anwendungen

14. Um die Entfernung zu einem Punkt herauszufinden A auf der anderen Seite des Flusses vom Punkt aus IN Messen Sie an diesem Ufer (Abb. 5) eine gerade Linie Sonne, dann am Punkt IN Konstruieren Sie einen Winkel gleich ABC, auf der anderen Seite Sonne, und zwar auf den Punkt MIT- ebenso ein Winkel gleich DIA Punktabstand D Schnittpunkt der Seiten beider Seiten der Winkel zum Punkt IN gleich dem erforderlichen Abstand AB. Warum?

Lösung: Dreiecke ABC Und BDC auf einer Seite gleich ( Sonne) und zwei Winkel (ang. DCB= ug. DIA; ug. DBC= ug. ABC.) Somit, AB= ÂD, als Seiten, die in gleichen Dreiecken gegen gleiche Winkel liegen.

§ 23. Parallelogramme

Von Dreiecken gehen wir zu Vierecken über, also zu Figuren, die durch vier Seiten begrenzt sind. Ein Beispiel für ein Viereck ist ein Quadrat – ein Viereck, bei dem alle Seiten gleich sind und alle Winkel rechtwinklig sind (Abb. 76). Eine andere Art von Viereck, die ebenfalls häufig vorkommt, ist ein Rechteck:

So nennt man jedes Viereck mit 4 rechten Winkeln (Abb. 77 und 78). Ein Quadrat ist ebenfalls ein Rechteck, aber mit gleichen Seiten.

Die Besonderheit eines Rechtecks ​​(und Quadrats) besteht darin, dass beide Paare seiner gegenüberliegenden Seiten parallel sind. In einem Rechteck A B C D, zum Beispiel (Abb. 78), AB parallel Gleichstrom, A ANZEIGE parallel Sonne. Dies folgt aus der Tatsache, dass beide gegenüberliegenden Seiten senkrecht auf derselben Geraden stehen und wir wissen, dass zwei Senkrechte zu einer Geraden parallel zueinander sind (§ 16).

Eine weitere Eigenschaft jedes Rechtecks ​​ist, dass seine gegenüberliegenden Seiten einander gleich sind. Sie können dies überprüfen, indem Sie die gegenüberliegenden Eckpunkte des Rechtecks ​​​​mit einer Geraden verbinden, also eine Diagonale darin zeichnen. Verbinden A Mit MIT(Gezeichnet 79) erhalten wir zwei Dreiecke ABC Und ADC. Es ist leicht zu zeigen, dass diese Dreiecke einander gleich sind: Seite Wechselstrom – insgesamt, ug. 1 = Winkel 2, weil es sich um Kreuzwinkel mit Parallelen handelt AB Und CD Aus dem gleichen Grund sind die Winkel 3 und 4 gleich auf derselben Seite und zwei Winkel, Dreiecke ABC Und ACD gleich; daher die Seite AB= Seite Gleichstrom, und Seite ANZEIGE= Seite Sonne.

Solche Vierecke, bei denen wie bei Rechtecken gegenüberliegende Seiten parallel sind, nennt man Parallelogramme. Scheiß drauf. 80 zeigt ein Beispiel eines Parallelogramms: AB parallel Gleichstrom, A ANZEIGE parallel Chr. Verdammt.80

Ein Rechteck ist eines der Parallelogramme, nämlich eines, bei dem alle Winkel rechtwinklig sind. Es lässt sich leicht überprüfen, dass jedes Parallelogramm die folgenden Eigenschaften hat:

Gegensätzliche Winkel Parallele Grammatik gleich; Gegenüberliegende Seiten

P a r l l o g r a v y s.

Um dies zu überprüfen, zeichnen wir ein Parallelogramm ein A B C D(Abb. 81) gerade ВD(diagonal) und Dreiecke vergleichen ABD Und VDC. Diese Dreiecke sind gleich (Fall USU): BD– gemeinsame Seite; ug. 1 = Winkel 2, Ecke 3 = Winkel 4 (warum?). Daraus ergeben sich die zuvor aufgeführten Eigenschaften.

Ein Parallelogramm mit vier gleichen Seiten wird Raute genannt.

Wiederholen Sie die Fragen

Welche Form nennt man Quadrat? Rechteck? – Was nennt man eine Diagonale? – Welche Figur nennt man Parallelogramm? Diamant? – Geben Sie die Eigenschaften der Winkel und Seiten eines beliebigen Parallelogramms an. – Welches Rechteck heißt Quadrat? – Welches Parallelogramm heißt Rechteck? – Was sind die Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen einem Quadrat und einer Raute?

Ein Segment in zwei Hälften teilen

Das Teilen eines Segments in zwei Hälften erfolgt wie folgt. Auf der Strecke AB muss vom Punkt A aus ein Bogen über die Hälfte dieser Strecke gezogen werden. Als nächstes werden wir, ohne den Wert des Kompasses zu ändern, von Punkt B aus Serifen konstruieren, die unseren Bogen schneiden. Der Schnittpunkt des Bogens und der Serifen bildet die Punkte E und D, dann zeichnen wir eine Gerade durch diese Punkte, die unser Segment AB in genau zwei Teile teilt. Wenn Sie die resultierenden Teile weiterhin halbieren, können Sie das Segment auf die gleiche Weise in 4, 8, 16 usw. teilen, d. h. zu einer Zahl, die ein Vielfaches von 2 ist.

Nachweisen:

Verbinden Sie die Punkte E und D mit den Enden des Segments AB. Konstruktionsbedingt AD = AE = DB = EB. Daher sind gleichschenklige Dreiecke DAE und DBE auf drei Seiten gleich. Dies impliziert die Gleichheit der Winkel ADO und BDO. In einem gleichschenkligen Dreieck ABD ist DO die Winkelhalbierende zur Basis, also der Mittelwert und die Höhe. Daher ist AO = OB und Punkt O ist der Mittelpunkt des Segments AB.

Teilen eines Liniensegments in proportionale Teile

Es gibt einen Satz von Thales, der wie folgt lautet: „Wenn mehrere gleiche Segmente nacheinander auf einer von zwei Geraden ausgelegt werden und durch deren Enden parallele Linien gezogen werden, die die zweite Gerade schneiden, dann schneiden sie gleiche Segmente auf der zweiten Geraden ab.“ zweite Reihe." Mit diesem Satz können wir eine Strecke in proportionale Teile unterteilen. Schauen wir uns an, wie diese Aufteilung durchgeführt wird.

Um das Segment AB beispielsweise im Verhältnis 3:2 (von Punkt A aus gezählt) zu teilen, ist es notwendig, von Punkt A aus eine Hilfsgerade in einem beliebigen Winkel zu zeichnen. Zeichnen Sie dann auf dieser Geraden 5 beliebige, aber gleiche Segmente ein. Als nächstes verbinden Sie die geraden Punkte B und 5 und zeichnen von Punkt 3 parallel zur Geraden B5 eine gerade Linie, bis sie das Segment AB schneidet. Der resultierende Schnittpunkt D teilt das Segment AB im Verhältnis 3:2. Wir erhalten das Verhältnis AD:DB = 3:2

Nachweisen:

Betrachten Sie die Dreiecke ACB und AEB. Diese Dreiecke sind in zwei Winkeln ähnlich (?A- gemeinsam, ?ACD=?AEB- entsprechend). Daher sind die Seitenverhältnisse der Dreiecke gleich. Konstruktionsbedingt bedeutet = auch =. Dies bedeutet, dass das Segment AB in einem bestimmten Verhältnis geteilt wird.

Aufteilung eines Segments in Extrem- und Durchschnittsverhältnis

In der Abbildung ist das Segment AO so geteilt, dass das Verhältnis des Segments AO zum Segment AK gleich dem Verhältnis des Segments AK zum Segment KO ist (AO: AK = AK: KO). Diese Einteilung wird als Goldener Schnitt oder Goldener Schnitt bezeichnet. Der Goldene Schnitt hat aufgrund seiner Anwendung in der Malerei und insbesondere in der Architektur sowie der Entdeckung dieses Verhältnisses (und der damit eng verwandten Fibonacci-Zahlen) in der belebten Natur an Popularität gewonnen.

Die grafische Konstruktion des Goldenen Schnitts erfolgt wie folgt: Teilen Sie das Segment AO in zwei gleiche Teile (Punkt C); Im Punkt O bauen wir eine Senkrechte zur Strecke AO, auf der Senkrechten legen wir die Strecke OM fest, die gleich der Strecke OS ist; Die Punkte A und M sind durch eine Gerade verbunden. Als nächstes wird auf dieser Geraden von Punkt M die Strecke MN = OM abgelegt, und auf der Strecke AO von Punkt A wird die Strecke AK von Punkt N abgelegt. Punkt K ist der resultierende Punkt, der die Strecke AO teilt in extremen und durchschnittlichen Verhältnissen.