Offensichtlich können Zahlen mit Potenzen wie andere Größen addiert werden , indem Sie sie nacheinander mit ihren Vorzeichen hinzufügen.

Die Summe von a 3 und b 2 ist also a 3 + b 2 .
Die Summe von a 3 – b n und h 5 – d 4 ist a 3 – b n + h 5 – d 4 .

Chancen die gleichen Potenzen der gleichen Variablen können addiert oder subtrahiert werden.

Die Summe von 2a 2 und 3a 2 ist also 5a 2 .

Es ist auch offensichtlich, dass, wenn wir zwei Quadrate a oder drei Quadrate a oder fünf Quadrate a nehmen.

Aber Grad verschiedene Variablen und verschiedene Abschlüsse identische Variablen, müssen hinzugefügt werden, indem sie zu ihren Zeichen hinzugefügt werden.

Die Summe von a 2 und a 3 ist also die Summe von a 2 + a 3 .

Es ist offensichtlich, dass das Quadrat von a und der Würfel von a weder das Doppelte des Quadrats von a noch das Doppelte des Würfels von a ist.

Die Summe von a 3 b n und 3a 5 b 6 ist a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Subtraktion Potenzen werden wie Additionen ausgeführt, nur dass die Vorzeichen des Subtrahends entsprechend geändert werden müssen.

Oder:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3 Std. 2 b 6 - 4 Std. 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Potenzmultiplikation

Zahlen mit Potenzen können wie andere Größen multipliziert werden, indem man sie hintereinander schreibt, mit oder ohne Multiplikationszeichen dazwischen.

Das Ergebnis der Multiplikation von a 3 mit b 2 ist also a 3 b 2 oder aaabb.

Oder:
x -3 ⋅ ein m = ein m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
ein 2 b 3 y 2 ⋅ ein 3 b 2 y = ein 2 b 3 y 2 ein 3 b 2 y

Das Ergebnis im letzten Beispiel kann durch Hinzufügen derselben Variablen geordnet werden.
Der Ausdruck hat die Form: a 5 b 5 y 3 .

Durch den Vergleich mehrerer Zahlen (Variablen) mit Potenzen können wir sehen, dass, wenn zwei davon multipliziert werden, das Ergebnis eine Zahl (Variable) mit einer Potenz gleich ist Summe Grade von Begriffen.

Also a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Hier ist 5 die Potenz des Ergebnisses der Multiplikation, gleich 2 + 3, die Summe der Potenzen der Terme.

Also, ein n .am = ein m+n .

Für a n wird a so oft als Faktor genommen wie die Potenz von n;

Und a m wird so oft als Faktor genommen, wie der Grad m gleich ist;

So, Potenzen mit gleichen Basen können durch Addition der Exponenten multipliziert werden.

Also a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Und x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Oder:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Multipliziere (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Antwort: x 4 - y 4.
Multipliziere (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Diese Regel gilt auch für Zahlen, deren Exponenten - Negativ.

1. Also a -2 .a -3 = a -5 . Dies kann geschrieben werden als (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. ein -n .am = ein m-n .

Wenn a + b mit a - b multipliziert wird, ist das Ergebnis a 2 - b 2: das heißt

Das Ergebnis der Multiplikation der Summe oder Differenz zweier Zahlen ist gleich der Summe oder Differenz ihrer Quadrate.

Wird die Summe und Differenz zweier Zahlen zu erhoben Quadrat, ist das Ergebnis gleich der Summe oder Differenz dieser Zahlen in vierte Grad.

Also, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(ein 2 - y 2)⋅(ein 2 + y 2) = ein 4 - y 4 .
(ein 4 - y 4)⋅(ein 4 + y 4) = ein 8 - y 8 .

Gewaltenteilung

Zahlen mit Potenzen können wie andere Zahlen dividiert werden, indem man sie vom Divisor subtrahiert oder sie in Form eines Bruchs darstellt.

Also a 3 b 2 dividiert durch b 2 ist a 3 .

Oder:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Das Schreiben einer 5 geteilt durch eine 3 sieht aus wie $\frac(a^5)(a^3)$. Aber das ist gleich einer 2 . In einer Reihe von Zahlen
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
Jede Zahl kann durch eine andere geteilt werden, und der Exponent ist gleich Unterschied Indikatoren für teilbare Zahlen.

Bei der Division von Potenzen mit gleicher Basis werden deren Exponenten subtrahiert..

Also, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Das heißt, $\frac(yyy)(yy) = y$.

Und ein n+1:a = ein n+1-1 = ein n . Das heißt, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Oder:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Die Regel gilt auch für Zahlen mit Negativ Grad Werte.
Das Ergebnis der Division von a -5 durch a -3 ist a -2 .
Also $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 oder $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Es ist notwendig, die Multiplikation und Division von Potenzen sehr gut zu beherrschen, da solche Operationen in der Algebra sehr weit verbreitet sind.

Beispiele zum Lösen von Beispielen mit Brüchen, die Zahlen mit Potenzen enthalten

1. Reduziere die Exponenten in $\frac(5a^4)(3a^2)$ Antwort: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Reduziere die Exponenten in $\frac(6x^6)(3x^5)$. Antwort: $\frac(2x)(1)$ oder 2x.

3. Die Exponenten a 2 / a 3 und a -3 / a -4 kürzen und auf einen gemeinsamen Nenner bringen.
a 2 .a -4 ist ein -2 erster Zähler.
a 3 .a -3 ist a 0 = 1, der zweite Zähler.
a 3 .a -4 ist a -1 , der gemeinsame Zähler.
Nach Vereinfachung: a -2 /a -1 und 1/a -1 .

4. Reduziere die Exponenten 2a 4 /5a 3 und 2 /a 4 und bringe sie auf einen gemeinsamen Nenner.
Antwort: 2a 3 / 5a 7 und 5a 5 / 5a 7 oder 2a 3 / 5a 2 und 5/5a 2.

5. Multipliziere (a 3 + b)/b 4 mit (a - b)/3.

6. Multipliziere (a 5 + 1)/x 2 mit (b 2 - 1)/(x + a).

7. Multipliziere b 4 /a –2 mit h –3 /x und an /y –3 .

8. Teilen Sie a 4 /y 3 durch a 3 /y 2 . Antwort: a/y.

9. Teile (h 3 - 1)/d 4 durch (d n + 1)/h.

) und der Nenner durch den Nenner (wir erhalten den Nenner des Produkts).

Bruchmultiplikationsformel:

Zum Beispiel:

Bevor Sie mit der Multiplikation von Zählern und Nennern fortfahren, müssen Sie die Möglichkeit einer Bruchkürzung prüfen. Wenn Sie es schaffen, den Bruch zu reduzieren, können Sie leichter weiterrechnen.

Division eines gewöhnlichen Bruchs durch einen Bruch.

Division von Brüchen mit einer natürlichen Zahl.

Es ist nicht so beängstigend, wie es scheint. Wie bei der Addition wandeln wir eine ganze Zahl in einen Bruch mit einer Einheit im Nenner um. Zum Beispiel:

Multiplikation gemischter Brüche.

Regeln zum Multiplizieren von Brüchen (gemischt):

• wandle gemischte Brüche in unechte um;
• multipliziere die Zähler und Nenner von Brüchen;
• wir reduzieren den Bruch;
• Wenn wir einen unechten Bruch erhalten, wandeln wir den unechten Bruch in einen gemischten um.

Beachten Sie! Um einen gemischten Bruch mit einem anderen gemischten Bruch zu multiplizieren, müssen Sie sie zuerst in die Form von unechten Brüchen bringen und dann gemäß der Regel zum Multiplizieren gewöhnlicher Brüche multiplizieren.

Die zweite Möglichkeit, einen Bruch mit einer natürlichen Zahl zu multiplizieren.

Es ist bequemer, die zweite Methode zum Multiplizieren eines gewöhnlichen Bruchs mit einer Zahl zu verwenden.

Beachten Sie! Um einen Bruch mit einer natürlichen Zahl zu multiplizieren, ist es notwendig, den Nenner des Bruchs durch diese Zahl zu dividieren und den Zähler unverändert zu lassen.

Aus dem obigen Beispiel wird deutlich, dass diese Option bequemer zu verwenden ist, wenn der Nenner eines Bruchs ohne Rest durch eine natürliche Zahl dividiert wird.

Mehrstufige Brüche.

In der High School werden oft dreistöckige (oder mehr) Fraktionen gefunden. Beispiel:

Um einen solchen Bruch auf seine übliche Form zu bringen, wird eine Division durch 2 Punkte verwendet:

Beachten Sie! Beim Teilen von Brüchen ist die Reihenfolge der Teilung sehr wichtig. Achtung, hier kommt man leicht durcheinander.

Beachten Sie, Zum Beispiel:

Wenn Sie eins durch einen beliebigen Bruch dividieren, ist das Ergebnis derselbe Bruch, nur umgekehrt:

Praktische Tipps zum Multiplizieren und Dividieren von Brüchen:

1. Das Wichtigste bei der Arbeit mit Bruchausdrücken ist Genauigkeit und Aufmerksamkeit. Führen Sie alle Berechnungen sorgfältig und genau, konzentriert und klar durch. Es ist besser, ein paar zusätzliche Zeilen in einen Entwurf zu schreiben, als sich in den Berechnungen im Kopf zu verirren.

2. Gehen Sie bei Aufgaben mit verschiedenen Arten von Brüchen zur Art der gewöhnlichen Brüche.

3. Wir kürzen alle Brüche, bis eine Kürzung nicht mehr möglich ist.

4. Wir bringen mehrstufige Bruchausdrücke in gewöhnliche Ausdrücke, indem wir die Division durch 2 Punkte verwenden.

5. Wir teilen die Einheit gedanklich in einen Bruch auf, indem wir einfach den Bruch umdrehen.

In der letzten Lektion haben wir gelernt, wie man Dezimalbrüche addiert und subtrahiert (siehe Lektion „Addieren und Subtrahieren von Dezimalbrüchen“). Gleichzeitig schätzten sie, wie stark die Berechnungen im Vergleich zu den üblichen „zweistöckigen“ Brüchen vereinfacht werden.

Bei Multiplikation und Division von Dezimalbrüchen tritt dieser Effekt leider nicht auf. In einigen Fällen erschwert die Dezimalschreibweise diese Operationen sogar.

Lassen Sie uns zunächst eine neue Definition einführen. Wir werden ihm noch oft begegnen, nicht nur in dieser Stunde.

Der signifikante Teil einer Zahl ist alles zwischen der ersten und der letzten Ziffer ungleich Null, einschließlich der Trailer. Wir sprechen nur über Zahlen, der Dezimalpunkt wird nicht berücksichtigt.

Die Ziffern, die im signifikanten Teil der Zahl enthalten sind, werden als signifikante Ziffern bezeichnet. Sie können sich wiederholen und sogar gleich Null sein.

Betrachten Sie beispielsweise mehrere Dezimalbrüche und schreiben Sie die entsprechenden signifikanten Teile aus:

1. 91,25 → 9125 (signifikante Zahlen: 9; 1; 2; 5);
2. 0,008241 → 8241 (signifikante Zahlen: 8; 2; 4; 1);
3. 15.0075 → 150075 (signifikante Ziffern: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
4. 0,0304 → 304 (signifikante Zahlen: 3; 0; 4);
5. 3000 → 3 (es gibt nur eine signifikante Zahl: 3).

Bitte beachten Sie: Nullen innerhalb des signifikanten Teils der Zahl gehen nirgendwo hin. Etwas Ähnliches ist uns schon begegnet, als wir gelernt haben, Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche umzuwandeln (siehe die Lektion „Dezimalbrüche“).

Dieser Punkt ist so wichtig, und hier werden so oft Fehler gemacht, dass ich demnächst einen Test zu diesem Thema veröffentlichen werde. Unbedingt üben! Und wir werden, bewaffnet mit dem Konzept eines bedeutenden Teils, tatsächlich zum Thema der Lektion übergehen.

Dezimale Multiplikation

Die Multiplikationsoperation besteht aus drei aufeinanderfolgenden Schritten:

1. Notieren Sie für jeden Bruchteil den signifikanten Teil. Sie erhalten zwei gewöhnliche ganze Zahlen - ohne Nenner und Dezimalpunkte;
2. Multiplizieren Sie diese Zahlen auf beliebige Weise. Direkt, wenn die Zahlen klein sind, oder in einer Spalte. Wir erhalten den wesentlichen Teil des gewünschten Bruchteils;
3. Finden Sie heraus, wo und um wie viele Stellen der Dezimalpunkt in den ursprünglichen Brüchen verschoben wird, um den entsprechenden signifikanten Teil zu erhalten. Führen Sie Rückwärtsverschiebungen an dem signifikanten Teil durch, der im vorherigen Schritt erhalten wurde.

Ich möchte Sie noch einmal daran erinnern, dass Nullen an den Seiten des signifikanten Teils niemals berücksichtigt werden. Das Ignorieren dieser Regel führt zu Fehlern.

1. 0,28 12,5;
2. 6,3 1,08;
3. 132,5 0,0034;
4. 0,0108 1600,5;
5. 5,25 10.000.

Wir arbeiten mit dem ersten Ausdruck: 0,28 12,5.

1. Lassen Sie uns die signifikanten Teile für die Zahlen aus diesem Ausdruck ausschreiben: 28 und 125;
2. Ihr Produkt: 28 125 = 3500;
3. Im ersten Multiplikator wird der Dezimalpunkt um 2 Ziffern nach rechts verschoben (0,28 → 28) und im zweiten um eine weitere Ziffer. Insgesamt ist eine Verschiebung um drei Stellen nach links erforderlich: 3500 → 3,500 = 3,5.

Betrachten wir nun den Ausdruck 6.3 1.08.

1. Lassen Sie uns die signifikanten Teile aufschreiben: 63 und 108;
2. Ihr Produkt: 63 108 = 6804;
3. Wieder zwei Verschiebungen nach rechts: um 2 bzw. 1 Stelle. Insgesamt - wieder 3 Ziffern nach rechts, also wird die Rückwärtsverschiebung 3 Ziffern nach links sein: 6804 → 6,804. Diesmal gibt es keine Nullen am Ende.

Wir kommen zum dritten Ausdruck: 132,5 0,0034.

1. Bedeutende Teile: 1325 und 34;
2. Ihr Produkt: 1325 34 = 45.050;
3. Im ersten Bruch geht der Dezimalpunkt um 1 Ziffer nach rechts und im zweiten um bis zu 4. Gesamt: 5 nach rechts. Wir verschieben um 5 nach links: 45050 → .45050 = 0.4505. Null wurde am Ende entfernt und vorne hinzugefügt, um keinen „nackten“ Dezimalpunkt zu hinterlassen.

Der folgende Ausdruck: 0,0108 1600,5.

1. Wir schreiben wichtige Teile: 108 und 16 005;
2. Wir multiplizieren sie: 108 16 005 = 1 728 540;
3. Wir zählen die Zahlen nach dem Komma: In der ersten Zahl gibt es 4, in der zweiten - 1. Insgesamt - wieder 5. Wir haben: 1.728.540 → 17,28540 = 17,2854. Am Ende wurde die „zusätzliche“ Null entfernt.

Schließlich der letzte Ausdruck: 5,25 10.000.

1. Bedeutende Teile: 525 und 1;
2. Wir multiplizieren sie: 525 1 = 525;
3. Der erste Bruch wird um 2 Stellen nach rechts verschoben, und der zweite Bruch wird um 4 Stellen nach links verschoben (10.000 → 1,0000 = 1). Summe 4 − 2 = 2 Ziffern nach links. Wir führen eine Rückverschiebung um 2 Ziffern nach rechts durch: 525, → 52 500 (wir mussten Nullen hinzufügen).

Beachten Sie das letzte Beispiel: Da sich der Dezimalpunkt in verschiedene Richtungen bewegt, erfolgt die gesamte Verschiebung durch die Differenz. Dies ist ein sehr wichtiger Punkt! Hier ist ein weiteres Beispiel:

Betrachten wir die Zahlen 1,5 und 12 500. Wir haben: 1,5 → 15 (Verschiebung um 1 nach rechts); 12 500 → 125 (Verschiebung 2 nach links). Wir „schreiten“ 1 Ziffer nach rechts und dann 2 Ziffern nach links. Als Ergebnis sind wir 2 − 1 = 1 Stelle nach links gegangen.

Dezimalteilung

Die Teilung ist vielleicht die schwierigste Operation. Natürlich können Sie hier analog zur Multiplikation vorgehen: Teilen Sie die signifikanten Teile und „verschieben“ Sie dann den Dezimalpunkt. Aber in diesem Fall gibt es viele Feinheiten, die das Einsparpotenzial zunichte machen.

Schauen wir uns also einen generischen Algorithmus an, der etwas länger, aber viel zuverlässiger ist:

1. Wandle alle Dezimalzahlen in gewöhnliche Brüche um. Mit ein wenig Übung dauert dieser Schritt nur wenige Sekunden;
2. Teilen Sie die resultierenden Brüche auf klassische Weise. Mit anderen Worten, multiplizieren Sie den ersten Bruch mit dem "umgekehrten" zweiten (siehe Lektion " Multiplikation und Division von numerischen Brüchen");
3. Geben Sie das Ergebnis nach Möglichkeit als Dezimalzahl zurück. Auch dieser Schritt geht schnell, denn oft hat der Nenner schon eine Zehnerpotenz.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

1. 3,51: 3,9;
2. 1,47: 2,1;
3. 6,4: 25,6:
4. 0,0425: 2,5;
5. 0,25: 0,002.

Wir betrachten den ersten Ausdruck. Lassen Sie uns zuerst Obi-Brüche in Dezimalzahlen umwandeln:

Das Gleiche machen wir mit dem zweiten Ausdruck. Der Zähler des ersten Bruchs wird wieder in Faktoren zerlegt:

Im dritten und vierten Beispiel gibt es einen wichtigen Punkt: Nach dem Wegfall der Dezimalschreibweise erscheinen kürzbare Brüche. Wir werden diese Kürzung jedoch nicht durchführen.

Das letzte Beispiel ist interessant, weil der Zähler des zweiten Bruchs eine Primzahl ist. Hier gibt es einfach nichts zu faktorisieren, also betrachten wir es als „blank through“:

Manchmal ergibt die Division eine ganze Zahl (ich spreche vom letzten Beispiel). In diesem Fall wird der dritte Schritt überhaupt nicht durchgeführt.

Außerdem entstehen beim Dividieren oft „hässliche“ Brüche, die sich nicht in Dezimalzahlen umwandeln lassen. Hier unterscheidet sich die Division von der Multiplikation, bei der die Ergebnisse immer in Dezimalform ausgedrückt werden. Natürlich wird auch in diesem Fall der letzte Schritt wieder nicht durchgeführt.

Beachten Sie auch das 3. und 4. Beispiel. Dabei kürzen wir bewusst keine gewöhnlichen Brüche aus Dezimalzahlen. Andernfalls wird es das umgekehrte Problem verkomplizieren - die endgültige Antwort wieder in Dezimalform darzustellen.

Denken Sie daran: Die Grundeigenschaft eines Bruchs (wie jede andere Regel in der Mathematik) an sich bedeutet nicht, dass er überall und immer und bei jeder Gelegenheit angewendet werden muss.

Beispiel.

Finden Sie das Produkt von algebraischen Brüchen und.

Entscheidung.

Bevor wir die Multiplikation von Brüchen durchführen, zerlegen wir das Polynom in den Zähler des ersten Bruchs und den Nenner des zweiten. Dabei helfen uns die entsprechenden abgekürzten Multiplikationsformeln: x 2 +2 x+1=(x+1) 2 und x 2 −1=(x−1) (x+1) . Auf diese Weise, .

Offensichtlich kann der resultierende Bruchteil reduziert werden (Wir haben diesen Vorgang im Artikel über die Kürzung algebraischer Brüche besprochen).

Es bleibt nur, das Ergebnis in Form eines algebraischen Bruchs zu schreiben, für den Sie das Monom mit dem Polynom im Nenner multiplizieren müssen: .

Normalerweise wird die Lösung ohne Erklärung als Folge von Gleichungen geschrieben:

Antworten:

.

Manchmal sollten bei algebraischen Brüchen, die multipliziert oder dividiert werden müssen, einige Transformationen durchgeführt werden, um die Implementierung dieser Operationen einfacher und schneller zu machen.

Beispiel.

Teile einen algebraischen Bruch durch einen Bruch.

Entscheidung.

Vereinfachen wir die Form eines algebraischen Bruchs, indem wir den Bruchkoeffizienten loswerden. Dazu multiplizieren wir seinen Zähler und Nenner mit 7, was es uns ermöglicht, die Haupteigenschaft eines algebraischen Bruchs zu machen, den wir haben .

Jetzt ist klar geworden, dass der Nenner des resultierenden Bruchs und der Nenner des Bruchs, durch den wir dividieren müssen, entgegengesetzte Ausdrücke sind. Ändern Sie die Vorzeichen des Zählers und Nenners des Bruchs , den wir haben .

Die reine Mathematik ist auf ihre Weise die Poesie der logischen Idee. Albert Einstein

In diesem Artikel bieten wir Ihnen eine Auswahl einfacher mathematischer Tricks, von denen viele durchaus lebensrelevant sind und Sie schneller zählen lassen.

1. Schnelle Zinsberechnung

Die vielleicht relevanteste mathematische Fähigkeit im Zeitalter von Krediten und Ratenzahlungen kann als virtuose mentale Zinsberechnung bezeichnet werden. Der schnellste Weg, einen bestimmten Prozentsatz einer Zahl zu berechnen, besteht darin, den angegebenen Prozentsatz mit dieser Zahl zu multiplizieren und dann die letzten beiden Ziffern im Ergebnis zu verwerfen, da der Prozentsatz nichts anderes als ein Hundertstel ist.

Wie viel sind 20 % von 70? 70 × 20 = 1400. Wir verwerfen zwei Ziffern und erhalten 14. Wenn Sie die Faktoren neu anordnen, ändert sich das Produkt nicht, und wenn Sie versuchen, 70 % von 20 zu berechnen, lautet die Antwort ebenfalls 14.

Diese Methode ist bei runden Zahlen sehr einfach, aber was ist, wenn Sie beispielsweise einen Prozentsatz der Zahl 72 oder 29 berechnen müssen? In einer solchen Situation müssen Sie zugunsten der Geschwindigkeit Genauigkeit opfern und die Zahl runden (in unserem Beispiel wird 72 auf 70 und 29 auf 30 aufgerundet) und dann den gleichen Trick anwenden, indem Sie die letzte Zahl multiplizieren und verwerfen zweistellig.

2. Schneller Teilbarkeitscheck

Kann man 408 Bonbons gleichmäßig auf 12 Kinder aufteilen? Diese Frage lässt sich leicht ohne Taschenrechner beantworten, wenn wir uns an die einfachen Zeichen der Teilbarkeit erinnern, die uns in der Schule beigebracht wurden.

• Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer durch 2 teilbar ist.
• Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn die Summe der Ziffern, aus denen die Zahl besteht, durch 3 teilbar ist. Nehmen Sie zum Beispiel die Zahl 501, stellen Sie sie als 5 + 0 + 1 = 6 dar. 6 ist durch 3 teilbar, was bedeutet, dass die Zahl 501 selbst ist durch 3 teilbar.
• Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die aus ihren letzten beiden Ziffern gebildete Zahl durch 4 teilbar ist. Nehmen Sie zum Beispiel 2340. Die letzten beiden Ziffern bilden die Zahl 40, die durch 4 teilbar ist.
• Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer 0 oder 5 ist.
• Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und 3 teilbar ist.
• Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn die Summe der Ziffern, aus denen die Zahl besteht, durch 9 teilbar ist. Nehmen wir zum Beispiel die Zahl 6.390 und stellen sie als 6 + 3 + 9 + 0 = 18 dar. 18 ist durch 9 teilbar, was bedeutet, dass die Zahl 6 selbst 390 durch 9 teilbar ist.
• Eine Zahl ist durch 12 teilbar, wenn sie durch 3 und 4 teilbar ist.

3. Schnelle Berechnung der Quadratwurzel

Die Quadratwurzel aus 4 ist 2. Jeder kann das zählen. Was ist mit der Quadratwurzel von 85?

Für eine schnelle Näherungslösung finden wir die nächste Quadratzahl zur gegebenen, in diesem Fall ist es 81 = 9^2.

Finden Sie nun das nächste nächste Quadrat. In diesem Fall ist es 100 = 10^2.

Die Quadratwurzel von 85 liegt irgendwo zwischen 9 und 10, und da 85 näher an 81 als an 100 liegt, ist die Quadratwurzel dieser Zahl etwas 9.

4. Schnelle Berechnung der Zeit, nach der sich eine Bareinzahlung mit einem bestimmten Prozentsatz verdoppelt

Sie wollen schnell wissen, wie lange es dauert, bis sich Ihre Bareinlage zu einem bestimmten Zinssatz verdoppelt? Es braucht auch keinen Taschenrechner, es reicht, die „72er-Regel“ zu kennen.

Wir teilen die Zahl 72 durch unseren Zinssatz, danach erhalten wir den ungefähren Zeitraum, nach dem sich die Einzahlung verdoppelt.

Wenn die Anzahlung mit 5 % pro Jahr erfolgt, dauert es ungefähr 14 Jahre, bis sie sich verdoppelt.

Warum genau 72 (manchmal nehmen sie 70 oder 69)? Wie es funktioniert? Diese Fragen werden ausführlich von Wikipedia beantwortet.

5. Schnelle Berechnung der Zeit, nach der sich eine Bareinzahlung zu einem bestimmten Prozentsatz verdreifacht

In diesem Fall sollte der Zinssatz für die Einlage ein Teiler von 115 werden.

Wenn die Anzahlung mit 5 % pro Jahr erfolgt, dauert es 23 Jahre, bis sie sich verdreifacht.

6. Schnelle Berechnung des Stundensatzes

Stellen Sie sich vor, Sie führen ein Vorstellungsgespräch mit zwei Arbeitgebern, die Gehälter nicht im üblichen „Rubel pro Monat“-Format angeben, sondern über Jahresgehälter und Stundenlohn sprechen. Wie kann man schnell berechnen, wo sie mehr bezahlen? Wo das Jahresgehalt 360.000 Rubel beträgt oder wo sie 200 Rubel pro Stunde zahlen?

Um die Vergütung für eine Arbeitsstunde bei der Abrechnung des Jahresgehalts zu berechnen, müssen die letzten drei Stellen des genannten Betrags gestrichen und die resultierende Zahl dann durch 2 geteilt werden.

360.000 werden zu 360 ÷ 2 = 180 Rubel pro Stunde. Wenn andere Dinge gleich sind, stellt sich heraus, dass der zweite Vorschlag besser ist.

7. Fortgeschrittene Mathematik an den Fingern

Ihre Finger können viel mehr als einfaches Addieren und Subtrahieren.

Mit den Fingern kannst du ganz einfach mit 9 multiplizieren, wenn du das Einmaleins plötzlich vergessen hast.

Nummerieren wir die Finger an den Händen von links nach rechts von 1 bis 10.

Wenn wir 9 mit 5 multiplizieren wollen, biegen wir den fünften Finger von links.

Schauen wir uns nun die Hände an. Es stellt sich heraus, dass vier ungebogene Finger gebogen sind. Sie repräsentieren Zehner. Und fünf ungebeugte Finger nach dem gebogenen. Sie repräsentieren Einheiten. Antwort: 45.

Wenn wir 9 mit 6 multiplizieren wollen, biegen wir den sechsten Finger von links. Wir bekommen fünf ungebogene Finger vor dem gebogenen Finger und vier danach. Antwort: 54.

So können Sie die gesamte Spalte der Multiplikation mit 9 reproduzieren.

8. Schnelle Multiplikation mit 4

Es gibt eine ganz einfache Möglichkeit, auch große Zahlen blitzschnell mit 4 zu multiplizieren. Dazu reicht es, die Operation in zwei Schritte zu zerlegen, die gewünschte Zahl mit 2 zu multiplizieren und dann noch einmal mit 2.

Überzeugen Sie sich selbst. Nicht jeder kann 1.223 sofort in Gedanken mit 4 multiplizieren. Und jetzt machen wir 1223 × 2 = 2446 und dann 2446 × 2 = 4892. Das ist viel einfacher.

9. Schnelle Bestimmung des erforderlichen Minimums

Stellen Sie sich vor, Sie machen eine Reihe von fünf Tests, für deren Bestehen Sie zum Bestehen eine Mindestpunktzahl von 92 benötigen. Der letzte Test bleibt bestehen, und die Ergebnisse der vorherigen sind: 81, 98, 90, 93. So berechnen Sie die erforderliche Minimum, das Sie im letzten Test erreichen müssen?

Dazu berücksichtigen wir, wie viele Punkte wir in den bereits bestandenen Tests verpasst / überschritten haben, und bezeichnen den Mangel mit negativen Zahlen und die Ergebnisse mit einer Marge - positiv.

Also 81 − 92 = −11; 98 - 92 = 6; 90 - 92 = -2; 93 - 92 = 1.

Wenn wir diese Zahlen addieren, erhalten wir die Anpassung für das erforderliche Minimum: -11 + 6 - 2 + 1 = -6.

Es stellt sich ein Rückstand von 6 Punkten heraus, was bedeutet, dass sich das erforderliche Minimum erhöht: 92 + 6 = 98. Die Dinge stehen schlecht. :(

10. Schnelle Darstellung des Wertes einer gewöhnlichen Fraktion

Der ungefähre Wert eines gewöhnlichen Bruchs lässt sich sehr schnell als Dezimalbruch darstellen, wenn man ihn zunächst auf einfache und verständliche Verhältnisse bringt: 1/4, 1/3, 1/2 und 3/4.

Zum Beispiel haben wir einen Bruch 28/77, der sehr nahe an 28/84 = 1/3 liegt, aber da wir den Nenner erhöht haben, wird die ursprüngliche Zahl etwas größer sein, dh etwas mehr als 0,33.

11. Zahlen-Rate-Trick

Sie können einen kleinen David Blaine spielen und Ihre Freunde mit einem interessanten, aber sehr einfachen Mathetrick überraschen.

1. Bitten Sie einen Freund, eine beliebige ganze Zahl zu erraten.
2. Lass ihn mit 2 multiplizieren.
3. Addieren Sie dann 9 zu der resultierenden Zahl.
4. Jetzt subtrahieren wir 3 von der resultierenden Zahl.
5. Und jetzt lass ihn die resultierende Zahl halbieren (es wird sowieso ohne Rest geteilt).
6. Bitten Sie ihn schließlich, von der resultierenden Zahl die Zahl abzuziehen, an die er zu Beginn gedacht hat.

Die Antwort wird immer 3 sein.

Ja, sehr dumm, aber oft übertrifft die Wirkung alle Erwartungen.

Bonus

Und natürlich konnten wir nicht anders, als dasselbe Bild mit einer sehr coolen Art der Multiplikation in diesen Beitrag einzufügen.