In der Schule wird uns allen eine einfache Regel beigebracht, dass man nicht durch Null teilen darf. Gleichzeitig, wenn wir die Frage stellen: „Warum?“, wird uns geantwortet: „Das ist nur eine Regel und Sie müssen sie kennen.“ In diesem Artikel werde ich versuchen, Ihnen zu erklären, warum es unmöglich ist, durch Null zu teilen. Warum sind diejenigen, die sagen, dass es möglich ist, durch Null zu teilen, und dann Unendlich, falsch.

Warum kann man nicht durch Null teilen?

Formal gibt es in der Mathematik nur zwei Aktionen. Addition und Multiplikation von Zahlen. Was ist also mit Subtraktion und Division? Betrachten wir ein solches Beispiel. 7-4=3, wir alle wissen, dass sieben minus vier gleich drei ist. Tatsächlich kann dieses Beispiel formal als eine Möglichkeit angesehen werden, die Gleichungen x + 4 = 7 zu lösen. Das heißt, wir wählen eine Zahl aus, die zusammen mit vier 7 ergibt. Dann werden wir nicht lange nachdenken und verstehen, dass diese Zahl gleich drei ist. Dasselbe mit der Teilung. Sagen wir 12/3. Dies ist dasselbe wie x*3=12.

Wir wählen eine Zahl aus, die, wenn sie mit 3 multipliziert wird, 12 ergibt. In diesem Fall sind es vier. Das ist offensichtlich genug. Was ist mit Beispielen wie 7/0. Was passiert, wenn wir sieben geteilt durch null schreiben? Das bedeutet, dass wir sozusagen eine Gleichung der Form 0*x=7 lösen. Aber diese Gleichung hat keine Lösung, denn wenn du Null mit irgendeiner Zahl multiplizierst, dann bekommst du immer Null. Das heißt, es gibt keine Lösung. Dies wird entweder mit den Worten geschrieben, dass es keine Lösungen gibt, oder mit einem Zeichen, das eine leere Menge bedeutet.

Mit anderen Worten

Hier ist die Bedeutung dieser Regel. Sie können nicht durch Null dividieren, weil die entsprechende Gleichung, Null multipliziert mit x gleich Sieben, oder welche Zahl auch immer wir durch Null zu teilen versuchen, keine Lösungen hat. Die Aufmerksamsten mögen sagen, dass, wenn wir Null durch Null teilen, sich ziemlich genau herausstellt, dass wenn 0*X=0 ist. Alles ist in Ordnung, wir multiplizieren Null mit einer Zahl, wir bekommen Null. Aber dann können wir eine beliebige Zahl als Lösung haben. Betrachten wir x=1, 0*1=0, x=100500, 0*100500=0. Hier reicht jede Zahl.

Warum sollten wir uns also für einen von ihnen entscheiden? Wir haben wirklich keine Überlegungen, mit denen wir eine dieser Zahlen nehmen und sagen können, dass dies Lösungen von Gleichungen sind. Daher gibt es unendlich viele Lösungen, und dies ist auch ein mehrdeutiges Problem, bei dem man glaubt, dass es keine Lösungen gibt.

Unendlichkeit

Oben habe ich Ihnen die Gründe genannt, warum Sie nicht teilen können, jetzt möchte ich mit Ihnen darüber sprechen. Versuchen wir, uns der Operation Division durch Null mit Vorsicht zu nähern. Teilen Sie zuerst die Zahl 5 durch zwei. Wir wissen, dass der Dezimalbruch 2,5 herauskommen wird. Jetzt reduzieren wir den Divisor und teilen 5 durch 1, es wird 5. Jetzt teilen wir 5 durch 0,5. Dies ist dasselbe wie fünf geteilt durch die Hälfte oder dasselbe wie 5 * 2, es wird 10 sein. Beachten Sie, dass das Ergebnis der Division, dh der Quotient, zunimmt: 2,5, 5, 10.

Jetzt teilen wir 5 durch 0,1, es wird dasselbe sein wie 5*10=50, der Quotient hat sich wieder erhöht. Gleichzeitig haben wir den Divisor reduziert. Wenn wir 5 durch 0,01 teilen, ist es dasselbe wie 5*100=500. Sehen. Je kleiner wir den Divisor machen, desto größer wird der Quotient. Wenn wir 5 durch 0,00001 teilen, erhalten wir 500000.

Zusammenfassen

Was ist dann eine Division durch Null, wenn Sie es in diesem Sinne betrachten? Beachten Sie, wie wir unseren Quotienten reduziert haben? Wenn Sie eine Achse zeichnen, zeigt dies, dass wir zuerst eine Zwei hatten, dann eine Eins, dann 0,5, 0,1 und so weiter. Wir näherten uns rechts immer näher der Null, aber wir erreichten nie die Null. Wir nehmen eine immer kleinere Zahl und teilen unseren Quotienten durch sie. Es wird immer größer. In diesem Fall schreiben sie, dass wir 5 durch X teilen, wobei x unendlich klein ist. Das heißt, es nähert sich immer mehr dem Nullpunkt. Das ist in diesem Fall genauso, wenn wir die fünf durch X teilen, erhalten wir unendlich. Eine unendlich große Zahl. Hier gibt es eine Nuance.

Wenn wir uns von rechts der Null nähern, ist dieses Infinitesimale für uns positiv und wir erhalten plus unendlich. Wenn wir uns x von links nähern, also zuerst durch -2 teilen, dann durch -1, durch -0,5, durch -0,1 und so weiter. Wir erhalten einen negativen Quotienten. Und dann fünf geteilt durch x, wobei x unendlich klein sein wird, aber schon auf der linken Seite, gleich minus unendlich sein wird. In diesem Fall schreiben sie: x tendiert von rechts nach Null, 0 + 0, was zeigt, dass wir von rechts nach Null tendieren. Sagen wir, wenn wir die Drei auf der rechten Seite anstreben, schreiben sie in diesem Fall x tendiert nach links. Dementsprechend würden wir eine Drei von links anstreben und notieren, dass x gegen 3-0 tendiert.

Wie ein Feature-Graph helfen kann

Der Graph der Funktion, den wir in der Schule ständig durchgegangen sind, hilft, das besser zu verstehen. Die Funktion wird als inverse Beziehung bezeichnet, und ihr Graph ist eine Hyperbel. Die Übertreibung sieht so aus. Dies ist eine Kurve, deren Asymptoten x und y sind. Eine Asymptote ist eine Linie, die die Kurve anstrebt, aber nie erreicht. Das ist das mathematische Drama. Wir sehen, je näher wir Null kommen, desto größer wird unser Wert von y. Je kleiner x wird, dh wenn x rechts gegen Null geht, wird y immer größer und eilt gegen unendlich. Wenn dementsprechend von links nach Null tendiert, wenn x von links nach Null tendiert, d. h. x zu 0-0 tendiert, tendiert y zu minus unendlich. So ist es richtig geschrieben. Y tendiert gegen minus unendlich, wobei X von links gegen Null tendiert. Dementsprechend schreiben wir Y tendiert gegen unendlich, wobei x rechts gegen Null tendiert. Das heißt, wir dividieren tatsächlich nicht durch Null, sondern durch einen infinitesimalen Wert.

Und diejenigen, die sagen, dass Sie durch Null teilen können, erhalten wir nur unendlich, sie meinen nur, dass Sie nicht durch Null dividieren können, aber Sie können durch eine Zahl nahe Null dividieren, dh durch einen unendlich kleinen Wert. Dann erhalten wir plus unendlich, wenn wir durch ein infinitesimal positiv dividieren, und minus unendlich, wenn wir durch ein infinitesimal negativ dividieren.

Ich hoffe, dass dieser Artikel Ihnen geholfen hat, die Frage zu verstehen, die Sie seit Ihrer Kindheit am meisten quält, warum es unmöglich ist, durch Null zu teilen. Warum sind wir gezwungen, eine Regel zu lernen, aber nichts wird erklärt. Ich hoffe, der Artikel hat Ihnen geholfen zu verstehen, dass Sie wirklich nicht durch Null dividieren können, und diejenigen, die sagen, dass Sie durch Null dividieren können, meinen tatsächlich, dass Sie durch einen infinitesimalen Wert dividieren können.

"Du kannst nicht durch Null teilen!" - Die meisten Schulkinder merken sich diese Regel auswendig, ohne Fragen zu stellen. Alle Kinder wissen, was „Nein“ ist und was passiert, wenn man darauf fragt: „Warum?“ Aber tatsächlich ist es sehr interessant und wichtig zu wissen, warum es unmöglich ist.

Die Sache ist die, dass die vier Operationen der Arithmetik – Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division – tatsächlich ungleich sind. Mathematiker erkennen nur zwei davon als vollwertig an - Addition und Multiplikation. Diese Operationen und ihre Eigenschaften sind in der eigentlichen Definition des Zahlenbegriffs enthalten. Alle anderen Aktionen sind auf die eine oder andere Weise aus diesen beiden aufgebaut.

Betrachten Sie zum Beispiel die Subtraktion. Was heißt 5 – 3 ? Der Schüler wird darauf einfach antworten: Sie müssen fünf Gegenstände nehmen, drei davon wegnehmen (entfernen) und sehen, wie viele übrig bleiben. Aber Mathematiker sehen dieses Problem ganz anders. Es gibt keine Subtraktion, nur Addition. Daher der Eintrag 5 – 3 bedeutet eine Zahl, die, wenn sie zu einer Zahl addiert wird 3 werde die Nummer geben 5 . Also 5 – 3 ist nur eine Abkürzung für die Gleichung: x + 3 = 5. In dieser Gleichung gibt es keine Subtraktion. Es gibt nur eine Aufgabe - eine passende Nummer zu finden.

Dasselbe gilt für Multiplikation und Division. Aufzeichnung 8: 4 kann als Ergebnis der Teilung von acht Objekten in vier gleiche Stapel verstanden werden. Aber es ist wirklich nur eine verkürzte Form der Gleichung 4 x = 8.

Hier wird deutlich, warum es unmöglich (oder besser gesagt unmöglich) ist, durch Null zu teilen. Aufzeichnung 5: 0 ist eine Abkürzung für 0 x = 5. Das heißt, diese Aufgabe besteht darin, eine Zahl zu finden, die multipliziert mit 0 wird geben 5 . Aber wir wissen das, wenn wir mit multiplizieren 0 stellt sich immer heraus 0 . Dies ist eine inhärente Eigenschaft von Null, streng genommen Teil seiner Definition.

Eine Zahl, die multipliziert mit 0 wird etwas anderes als null geben, existiert einfach nicht. Das heißt, unser Problem hat keine Lösung. (Ja, es kommt vor, nicht jedes Problem hat eine Lösung.) 5: 0 keiner bestimmten Zahl entspricht, und es steht einfach für nichts und macht daher keinen Sinn. Die Sinnlosigkeit dieses Eintrags wird kurz damit ausgedrückt, dass man nicht durch Null teilen kann.

Die aufmerksamsten Leser werden sich an dieser Stelle sicherlich fragen: Kann man Null durch Null teilen? In der Tat, da die Gleichung 0 x = 0 erfolgreich gelöst. Sie können zum Beispiel nehmen x=0, und dann bekommen wir 0 0 = 0. Es stellt sich heraus 0: 0 = 0 ? Aber beeilen wir uns nicht. Versuchen wir zu nehmen x=1. Werden 0 1 = 0. Korrekt? Meint, 0: 0 = 1 ? Aber Sie können jede Zahl nehmen und bekommen 0: 0 = 5 oder 0: 0 = 317 usw.

Aber wenn irgendeine Zahl geeignet ist, dann haben wir keinen Grund, uns für eine von ihnen zu entscheiden. Das heißt, wir können nicht sagen, welche Nummer dem Eintrag entspricht 0: 0 . Und wenn ja, dann müssen wir zugeben, dass auch dieser Rekord keinen Sinn macht. Es stellt sich heraus, dass selbst Null nicht durch Null geteilt werden kann. (In der mathematischen Analyse gibt es Fälle, in denen aufgrund zusätzlicher Bedingungen des Problems einer der möglichen Optionen zur Lösung der Gleichung der Vorzug gegeben werden kann 0 x = 0; Mathematiker sprechen in solchen Fällen von "Offenbarung der Unbestimmtheit", aber in der Arithmetik kommen solche Fälle nicht vor.)

Dies ist das Merkmal der Divisionsoperation. Genauer gesagt haben die Multiplikationsoperation und die ihr zugeordnete Zahl Null.

Nun, die Akribischsten, die bis zu diesem Punkt gelesen haben, mögen sich fragen: Warum kann man nicht durch Null dividieren, aber Null subtrahieren? In gewisser Weise beginnt hier echte Mathematik. Sie kann nur beantwortet werden, indem man sich mit den formalen mathematischen Definitionen numerischer Mengen und Operationen an ihnen vertraut macht. Es ist nicht so schwierig, aber aus irgendeinem Grund wird es nicht in der Schule gelernt. Aber in Mathematikvorlesungen an der Uni wird dir das erst mal beigebracht.

Alexander Sergejew

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Ihre Aufmerksamkeit wird auf ein Forschungsprogramm gelenkt, das die neupythagoräische Philosophie in der theoretischen Physik konsequent wiederbelebt und auf dem Glauben an die Nicht-Zufälligkeit physikalischer Gesetze basiert, an die Existenz eines einzigen primären Prinzips, das die Struktur (sichtbar und unsichtbar) bestimmt. der Welt und ist in einer abstrakten mathematischen Sprache geschrieben, in der Sprache der Zahlen (ganzzahlig, reell und möglicherweise ihre Verallgemeinerungen).

Arnold VI.

Ein beliebter Vortrag in der Form, in der Vladimir Igorevich Arnold ihn am 13. Mai 2006 auf Einladung der Dynasty Foundation im Akademichesky Concert Hall vortrug. Akademiker Arnold selbst versichert, dass dieser Vortrag auch von einem Schüler verstanden werden kann.

Es scheint, dass das 20. Jahrhundert nicht umsonst war. Zuerst schufen die Menschen für einen Moment eine zweite Sonne, indem sie eine Wasserstoffbombe zündeten. Dann betraten sie den Mond und bewiesen schließlich den berüchtigten Satz von Fermat. Von diesen drei Wundern sind die ersten beiden in aller Munde, denn sie hatten enorme soziale Folgen. Im Gegenteil, das dritte Wunder sieht aus wie ein weiteres wissenschaftliches Spielzeug – auf einer Stufe mit der Relativitätstheorie, der Quantenmechanik und dem Satz von Gödel über die Unvollständigkeit der Arithmetik. Relativität und Quanten führten die Physiker jedoch zur Wasserstoffbombe, und die Forschung der Mathematiker füllte unsere Welt mit Computern. Wird diese Reihe von Wundern im 21. Jahrhundert fortgesetzt? Lässt sich der Zusammenhang zwischen den nächsten wissenschaftlichen Spielzeugen und Revolutionen in unserem Alltag nachvollziehen? Erlaubt uns diese Verbindung, erfolgreiche Vorhersagen zu treffen? Versuchen wir dies am Beispiel des Satzes von Fermat zu verstehen.

Alexandrov P. S., Markushevich A. I., Khinchin A. Ya.

Die Büchersammlung richtet sich an Personen, die Elementarmathematik studiert haben und bereits Lehrer für Elementarmathematik geworden sind oder sich darauf vorbereiten. Die Logik unserer Publikation ist die Logik einer systematischen, möglichst einfachen und zugänglichen Darstellung jener Fragen der mathematischen Wissenschaft, aus denen der Schulkurs aufgebaut ist, sowie jener, die, obwohl sie in diesem Kurs keinen unmittelbaren Ausdruck finden, sind für ein richtiges und bewusstes Verständnis dennoch notwendig und schaffen Perspektiven für die inhaltliche und methodische Weiterentwicklung des Schulunterrichts.

Wladimir Kassandrow

Gordon-Programm

Gibt es einen einzigen „Code of Nature“? Kann Zahl Licht erzeugen und Licht Materie? Was ist die Essenz der Hauptprinzipien des "neopythagoräischen" Ansatzes zur Konstruktion physikalischer Theorien? Über den "Fluss der Zeit" und Teilchen als "Kondensationspunkte" primärer Lichtströme - Physiker Vladimir Kassandrov.

Die Division durch 0 wirft viele Fragen für diejenigen auf, die Mathematik studiert haben und nur während der Schulzeit damit in Kontakt gekommen sind. Zu der Zeit, wo das Kind beginnt, die Multiplikations- und Divisionsoperationen als Ganzes zu studieren, nähert sich die Sache auch der Division durch Null. In diesem Moment sagt der Lehrer meistens, dass es unmöglich ist, durch Null zu teilen, und ... das war's.

Erklärungen in dieser Phase sind vorbei. Es ist unmöglich, und obwohl Sie knacken

Vor dem Schüler entsteht ein Dilemma – er soll den Lehrern beim Wort nehmen und einfach schreiben, dass es in dem Beispiel, in dem eine solche Operation auftaucht, keine Antwort gibt, oder versuchen, dieses Problem zu verstehen. Aber die Mehrheit der Eltern, die vor langer Zeit die Schule abgeschlossen haben und alles Wissen, das ihnen während der Schulzeit eingetrichtert wurde (außer denen, die ihnen im Leben zumindest irgendwie nützlich waren), getrost in den Müll des Gehirns geworfen haben, können in dieser Angelegenheit auch nicht besonders helfen. . Und der Ausweg ist relativ einfach. Es ist gut, wenn der Lehrer sich der Frage, warum es unmöglich ist, durch Null zu teilen, von einer kreativen Seite nähert. Dazu reicht es aus, die üblichen Vorgänge mit einer visuellen Demonstration des Prozesses durchzuführen. Worüber reden wir?

Demonstration verschiedener Teilungsoperationen mit Hilfe von Handlungen, die für jede Person verständlich sind

Sie können mehrere Äpfel nehmen, sagen wir sechs Stücke, und erklären, dass 6 die Zahl ist, die geteilt werden muss, das heißt, nach den studierten mathematischen Begriffen ist dies eine Teilbare.

Der Lehrer steht neben der Tafel und vor ihm auf dem Tisch liegen 6 Äpfel. Dann ruft er zwei Personen aus der Klasse und teilt diese Äpfel zu gleichen Teilen auf. Das heißt, zwei Personen stehen in diesem Fall für den Divisor – die Zahl, durch die der Dividende geteilt werden soll. Der Lehrer gibt jedem Schüler drei Äpfel. Das heißt, der Teilungsprozess findet genau dann statt, wenn der Lehrer die Äpfel in die Hände der Schüler übergab. Und drei Äpfel in den Händen jedes Kindes sind ein Quotient der Division.

Null durch eine Zahl teilen - eine Demonstration des Ursprungs des Prozesses

Die Frage, warum es unmöglich ist, durch Null zu teilen, ergibt sich aus der umgekehrten Situation - warum ist es möglich, Null durch eine Zahl zu teilen? Jetzt sind wir schlau und wissen, dass jede Zahl durch eine andere geteilt werden kann und dass sie vollständig geteilt wird oder ein Bruch erscheint oder sogar ein negatives Vorzeichen, eine Wurzel oder Pi - alles ist möglich. Aber hier ist ein Mysterium mit Null und das war's.

Was passiert, wenn man Null durch eine Zahl dividiert?

Um zu erklären, dass man nicht durch Null teilen kann, wollen wir zunächst verstehen, was passiert, wenn 0 durch eine bestimmte Zahl geteilt wird. Derselbe Lehrer steht neben der Tafel und hat nichts auf dem Tisch. Vor ihm ist Leere, Null. Wenn die Schüler zu ihm kommen und ihre Hände ausstrecken, um ihr Privatwort zu empfangen, teilt der Lehrer dieses Nichts mit ihm, indem er einfach ihre Handflächen berührt. Das heißt, er hatte ein großes Nichts, und er gab dieses Nichts zwei Schülern. Damit wird deutlich, dass die Division von Null durch eine beliebige Zahl erfolgt, weil der Übertragungsprozess stattgefunden hat. Mit dem einzigen Unterschied, dass mit einem Nullergebnis.

Fall drei

Eine ähnliche, dritte Situation sollte bereits durchgeführt werden, um zu zeigen, warum es unmöglich ist, durch Null zu teilen. Der Lehrer in den Händen oder auf dem Tisch vor sich hat wieder die gleichen sechs Äpfel wie in der ersten Situation. Aber wir teilen durch Null, weil niemand wegen Äpfeln zu ihm kommt.

Das heißt, die beiden Schüler, die in der ersten Situation früher auftauchten, stellten die Zahl 2 dar. Um die Zahl 0 darzustellen, stellt sich heraus, dass niemand auftauchen sollte. Wie wir uns erinnern, ist es die Übertragung von Äpfeln aus den Händen des Lehrers in die Hände der Schüler, die der Prozess der Teilung ist. Aber jetzt gibt es keine Jünger mehr, und der Prozess der Teilung geschieht bei niemandem. Deshalb ist es unmöglich, durch Null zu teilen. Für Kinder auf Schulniveau ist dies eine elementare Erklärung.

Einfach und leicht erklärt. Und dann lassen Sie die Lehrer des Instituts dasselbe tun

Bereits nach dem Eintritt in eine höhere Bildungseinrichtung und dem Studium des Begriffs einer Grenze wird beispielsweise die Frage beseitigt, warum es unmöglich ist, durch Null zu teilen, weil sich herausstellt, dass dies möglich ist. Wenn man etwas durch Null dividiert, ist das Ergebnis Unendlichkeit, Unsicherheit.

Die unendliche Dimension eines solchen Ergebnisses ist noch nicht vollständig bestimmt, und eine Person ohne spezielle mathematische Ausbildung kann nicht verstehen, warum dies notwendig ist, welche Ziele bei der Lösung dieser Operation verfolgt wurden und was sie im Allgemeinen gibt. Aber für Schüler im Schulalter reicht die obige Erklärung völlig aus, um ihren Wunsch zu befriedigen, zu verstehen, warum es immer noch nicht möglich ist, durch Null zu teilen - nicht nur sagen und die Kinder vor die Tatsache stellen, sondern ihnen eine interessante und unterhaltsame Erklärung geben.

• Lernprogramm

Meine dreijährige Tochter Sophia erwähnt in letzter Zeit zum Beispiel oft die „Null“ in diesem Zusammenhang:

- Sonya, du schienst zuerst nicht zu gehorchen, und dann hast du gehorcht, was passiert? ..
- Nun ... null!

Jene. das gefühl von negativen zahlen und der neutralität von null hat schon, oh wie. Bald wird er fragen: Warum kann man nicht durch Null teilen?
Und so beschloss ich, in einfachen Worten alles aufzuschreiben, woran ich mich noch erinnere, über die Division durch Null und all das.

Im Allgemeinen ist es besser, die Trennung einmal zu sehen, als sie hundertmal zu hören.
Na ja, oder man teilt mal x mal um zu sehen...

Hier ist sofort klar, dass Null das Zentrum des Lebens, des Universums und all das ist. Lassen Sie die Antwort auf die Hauptfrage zu all dem 42 sein, aber das Zentrum ist sowieso 0. Es hat nicht einmal ein Vorzeichen, weder Plus (gehorsam) noch Minus (nicht gehorcht), es ist wirklich Null. Und er weiß viel über Schweine.

Denn wenn irgendein Schwein mit Null multipliziert wird, dann wird das Schwein in dieses runde schwarze Loch gesogen, und man erhält wieder Null. Diese Null ist nicht so neutral, wenn es um Addition-Subtraktion bis Multiplikation geht, geschweige denn Division ... Da, wenn die Null auf „0 / x“ steht, dann wieder ein schwarzes Loch. Alles geht auf Null. Aber wenn während der Teilung und sogar von unten - "x / 0", dann beginnt es ... folge dem weißen Kaninchen, Sonya!

In der Schule sagen sie dir „Du kannst nicht durch Null teilen“ und werden nicht rot. Als Beweis drücken sie „1/0 =“ auf den Taschenrechner und der übliche Taschenrechner schreibt, auch ohne zu erröten, „E“, „Fehler“, sie sagen, „es ist unmöglich – es bedeutet, dass es unmöglich ist.“ Obwohl, was als gewöhnlicher Taschenrechner betrachtet wird, gibt es eine andere Frage. Jetzt, im Jahr 2014, schreibt mir ein Standardrechner auf einem Android-Handy etwas ganz anderes:

Boah unendlich. Schieben Sie Ihre Augen, schneiden Sie Kreise. Hier kannst du nicht. Es stellt sich heraus, dass Sie es können. Wenn sorgfältig. Denn nicht aufpassen, mein Android stimmt auch noch nicht zu: "0/0=Error", wieder kannst du nicht. Versuchen wir es noch einmal: "-1/0 = -∞", oh wie. Interessante Meinung, aber ich stimme ihr nicht zu. Da ich mit "0/0=Error" nicht einverstanden bin.

Übrigens widerspricht das JavaScript, das heutige Seiten antreibt, auch dem Android-Rechner: Gehen Sie zur Browser-Konsole (immer noch F12?) und schreiben Sie dort: "0/0" (Eingabe). JS wird Ihnen antworten: "NaN". Es ist kein Fehler. Das ist "Not a Number" - d.h. so etwas, aber keine Zahl. Während "1/0" JS auch als "Infinity" versteht. Es ist näher. Aber solange es warm ist...

An der Universität - Höhere Mathematik. Es gibt Grenzen, Pole und anderen Schamanismus. Und alles wird komplizierter, komplizierter, man redet um den heißen Brei herum, aber nur um nicht gegen die Kristallgesetze der Mathematik zu verstoßen. Aber wenn Sie nicht versuchen, die Division durch Null in diese bestehenden Gesetze einzutragen, dann können Sie diese Fantasie spüren - an Ihren Fingern.

Schauen wir uns dazu noch einmal die Division an:

Folgen Sie der rechten Linie von rechts nach links. Je näher x an Null liegt, desto stärker fliegt der geteilt durch x nach oben. Und irgendwo in den Wolken "plus unendlich". Sie ist immer weiter, wie der Horizont, du wirst sie nicht einholen.

Folgen Sie nun der linken Linie von links nach rechts. Die gleiche Geschichte, nur fliegt jetzt das Geteilte hinab, unendlich hinab in „minus unendlich“. Daher die Meinung, dass "1/0 = +∞" und "-1/0 = 1/-0 = -∞".

Aber der Trick ist, dass "0 = -0", Null kein Vorzeichen hat, wenn Sie nicht mit den Grenzen komplizieren. Und wenn man Eins durch so eine „einfache“ Null ohne Vorzeichen dividiert, dann ist es nicht logisch anzunehmen, dass auch Unendlich herauskommt – „nur“ Unendlich, ohne Vorzeichen, wie Null. Wo ist es - oben oder unten? Es ist überall – in alle Richtungen unendlich weit von Null entfernt. Dies ist eine von innen nach außen gedrehte Null. Null - nichts. Unendlichkeit ist alles. Sowohl positiv als auch negativ. Im Allgemeinen alles. Und gleich. Absolut.

Aber da war etwas über "0/0", etwas anderes, nicht unendlich ... Machen wir diesen Trick: "2 * 0 = 0", ja, wird der Lehrer in der Schule sagen. Auch: "3 * 0 = 0" - wieder, ja. Und nachdem sie ein wenig auf „Du kannst nicht durch Null teilen“ gespuckt haben, sagen sie, die ganze Welt teilt sich bereits langsam, wir bekommen: „2 = 0/0“ und „3 = 0/0“. In welcher Klasse wird es gehalten, natürlich nur ohne Null.

Moment mal, es stellt sich heraus "2 = 0/0 = 3", "2=3"?! Deshalb haben sie Angst, deshalb „können sie nicht“. Nur „0/0“ ist schlimmer als „1/0“, davor hat sogar der Android-Rechner Angst.

Und wir haben keine Angst! Denn wir haben die Vorstellungskraft der Mathematik. Wir können uns irgendwo in den Sternen als unendliches Absolutes vorstellen, von dort auf die sündige Welt der endlichen Zahlen und Menschen schauen und verstehen, dass sie von diesem Standpunkt aus alle gleich sind. Und "2" c "3" und sogar "-1" und der Lehrer in der Schule vielleicht auch.

Also gehe ich bescheiden davon aus, dass 0/0 die ganze endliche Welt ist, oder vielmehr alles, was nicht unendlich ist und nicht Leere.

So sieht Null dividiert durch x in meinen Fantasien aus, weit entfernt von offizieller Mathematik. Tatsächlich sieht es aus wie 1 / x, nur dass die Beugung nicht bei Eins, sondern bei Null liegt. Übrigens hat 2/x eine Biegung in zwei, und 0,5/x hat eine Biegung in 0,5.

Es stellt sich heraus, dass 0/x bei x=0 alle endlichen Werte annimmt – nicht unendlich, nicht leer. In der Grafik ist bei Null ein Loch, die Achsen sind sichtbar.

Natürlich kann man einwenden, dass „0 * 0 = 0“ bedeutet, dass auch Null (Leere) in die Kategorie 0/0 fällt. Ich laufe ein wenig voraus - es wird Nullgrade geben und dieser Einwand wird in Fragmente zerspringen.

Ups, die Eins im Unendlichen kann auch als 0/0 geschrieben werden, es stellt sich heraus (0/0)/0 - Unendlich. Jetzt die Reihenfolge, alles kann durch das Verhältnis von Nullen ausgedrückt werden.

Wenn Sie zum Beispiel das Endliche zum Unendlichen hinzufügen, absorbiert die Unendlichkeit das Endliche und bleibt unendlich:
1/0 + 0/0 = (1+0)/0 = 1/0.

Und wenn Unendlichkeit mit Leerheit multipliziert wird, dann absorbieren sie einander und eine endliche Welt wird erhalten:
1/0 * 0 = (1*0)/0 = 0/0.

Aber das ist nur die erste Ebene der Träume. Sie können tiefer graben.

Wenn Sie das Konzept der „Potenz einer Zahl“ und „1/x = x^-1“ bereits kennen, können Sie mit etwas Nachdenken von all diesen Divisionen und Klammern (wie (0/0)/0) zu wechseln nur Kräfte:

1/0 = 0^-1
0/0 = 0^0
0 = 0^1

Hinweis.
Hier, mit Unendlichkeit und Leere, ist alles einfach, wie in der Schule. Und die endliche Welt geht zu Graden wie diesen über:

0/0
= (0*1)/0
= 0*(1/0)
= 0 * 1/0
= 0^1 * 0^-1
= 0^(1 + -1)
= 0^(1-1)
= 0^0.

Uff!

Es stellt sich heraus, dass die positiven Nullgrade Nullen sind, die negativen Nullgrade Unendlichkeiten und der Nullgrad eine endliche Welt.

So stellt sich das universelle Objekt „0^x“ heraus. Solche Objekte interagieren perfekt miteinander, auch hier gehorchen sie vielen Gesetzen, der Schönheit im Allgemeinen.

Meine bescheidenen Mathematikkenntnisse reichten aus, um daraus eine abelsche Gruppe zu ziehen, die isoliert im luftleeren Raum („nur abstrakte Objekte, so eine Notationsform, wie ein Exponent“) auch dem Test des coolsten Mathematiklehrers standhielt das Urteil „interessant, aber nichts wird klappen“. Trotzdem würde sich hier etwas herausstellen, das ist ein Tabuthema - Division durch Null. Im Allgemeinen stört es nicht.

Versuchen wir einfach, unendlich mit einer endlichen Zahl zu multiplizieren:
0^-1 * 0^0 = 0^(-1 + 0) = 0^-1.

Auch hier hat die Unendlichkeit eine endliche Zahl auf die gleiche Weise verschluckt, wie ihr Antipode Null endliche Zahlen verschluckt, dasselbe schwarze Loch:
0^1 * 0^0 = 0^(1 + 0) = 0^1.

Und es stellt sich heraus, dass Abschlüsse wie Stärke sind. Jene. Null zweiten Grades ist stärker als gewöhnliche Null (ersten Grades, 0^1). Und unendlich minus zweiter Grad ist stärker als gewöhnlich unendlich (0^-1).

Und wenn das Nichts mit dem Absoluten kollidiert, messen sie ihre Kräfte - wer mehr hat, wird gewinnen:
0^1 * 0^-2 = 0^(1 + -2) = 0^-1 = ∞.
0^2 * 0^-1 = 0^(2 + -1) = 0^1 = 0.

Wenn sie gleich stark sind, dann vernichten sie sich und die endliche Welt bleibt:
0^1 * 0^-1 = 0^(1 + -1) = 0^0.

Übrigens ist die offizielle Mathematik schon nah. Seine Vertreter wissen um die „Pole“ und dass die Pole unterschiedliche Stärken (Ordnung) haben, sowie um die „Null der Ordnung k“. Aber sie trampeln immer noch auf der festen Oberfläche "neben" und haben Angst, in das Schwarze Loch zu springen.

Und die letzte ist für mich die dritte Ebene der Träume. Das sind zum Beispiel alle 0^-1 und 0^-2 - Unendlichkeiten unterschiedlicher Stärke. Oder 0^1, 0^2 - Nullen unterschiedlicher Stärke. Aber immerhin "-1" und "-2" und "+1" und "+2" - das ist alles - 0/0, gleich 0 ^ 0, ist bereits vergangen. Es stellt sich heraus, dass es auf dieser Ebene der Träume überhaupt nicht wichtig ist, was es ist - Nullen, Unendlichkeiten und sogar die endliche Welt kommt mit etwas Erleuchtung dorthin. An einer Stelle. in einer Kategorie. Dieses Glück wird die Singularität genannt.

Es muss zugegeben werden, dass ich außerhalb des Zustands der Erleuchtung nicht einen Punkt, sondern eine Kategorie – die Vereinigung „0 ^ 0 U 0 ^ (0 ^ 0)“ – vollständig beobachte.

Welchen Nutzen kann man daraus ziehen? Immerhin noch etwas weniger verrückte "imaginäre Zahlen", die auch Taschenrechner in Error = √-1 zerreißen, und sie könnten offizielle Mathematik werden und jetzt die Stahlherstellungsberechnungen vereinfachen.

So wie die Blätter eines Baumes aus der Ferne gleich erscheinen, aber wenn man sie genau betrachtet, sind sie alle unterschiedlich. Und wenn man darüber nachdenkt, dann wieder dasselbe. Und nicht viel anders als du oder ich. Oder besser gesagt, sie unterscheiden sich überhaupt nicht, wenn Sie genau nachdenken.

Der Vorteil hier ist die Fähigkeit, sich sowohl auf Unterschiede zu konzentrieren als auch zu abstrahieren. Dies ist sowohl im Beruf als auch im Leben und sogar in Bezug auf den Tod sehr nützlich.

Solche Ausflüge in den Kaninchenbau, Sonja!