Das Gaußsche Verfahren hat eine Reihe von Nachteilen: Es ist unmöglich zu wissen, ob das System konsistent ist oder nicht, bis alle für das Gaußsche Verfahren erforderlichen Transformationen durchgeführt wurden; das Gaußsche Verfahren ist für Systeme mit Buchstabenkoeffizienten nicht geeignet.

Betrachten Sie andere Methoden zum Lösen von linearen Gleichungssystemen. Diese Methoden verwenden das Konzept des Rangs einer Matrix und reduzieren die Lösung eines beliebigen gemeinsamen Systems auf die Lösung eines Systems, für das die Cramersche Regel gilt.

Beispiel 1 Finden Sie die allgemeine Lösung des folgenden linearen Gleichungssystems unter Verwendung des fundamentalen Lösungssystems des reduzierten homogenen Systems und einer bestimmten Lösung des inhomogenen Systems.

1. Wir erstellen eine Matrix EIN und die erweiterte Matrix des Systems (1)

2. Erkunden Sie das System (1) für Kompatibilität. Dazu finden wir die Ränge der Matrizen EIN und https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Wenn sich herausstellt, dass , dann das System (1) unvereinbar. Wenn wir das bekommen , dann ist dieses System konsistent und wir werden es lösen. (Die Konsistenzstudie basiert auf dem Satz von Kronecker-Capelli).

a. Wir finden rA.

Finden rA, betrachten wir sukzessive von Null verschiedene Minoren der ersten, zweiten usw. Ordnung der Matrix EIN und die sie umgebenden Minderjährigen.

M1=1≠0 (1 wird aus der oberen linken Ecke der Matrix genommen SONDERN).

Angrenzend M1 die zweite Zeile und zweite Spalte dieser Matrix. . Wir fahren weiter an der Grenze M1 die zweite Zeile und die dritte Spalte..gif" width="37" height="20 src=">. Jetzt begrenzen wir den Moll ungleich Null М2′ zweite Bestellung.

Wir haben: (weil die ersten beiden Spalten gleich sind)

(weil die zweite und dritte Zeile proportional sind).

Wir sehen das rA=2, und ist der Basis-Minor der Matrix EIN.

b. Wir finden .

Ausreichend grundlegendes Moll М2′ Matrizen EIN Grenze mit einer Spalte mit freien Mitgliedern und allen Zeilen (wir haben nur die letzte Zeile).

. Daraus folgt das М3′′ bleibt die Basis Minor der Matrix https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Als М2′- Basis-Moll der Matrix EIN Systeme (2) , dann ist dieses System äquivalent zu dem System (3) , bestehend aus den ersten beiden Gleichungen des Systems (2) (zum М2′ befindet sich in den ersten beiden Zeilen der Matrix A).

(3)

Da der grundlegende Minor https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> ist (4)

In diesem System sind zwei freie Unbekannte ( x2 und x4 ). So FSR Systeme (4) besteht aus zwei Lösungen. Um sie zu finden, weisen wir freie Unbekannte zu (4) Werte zuerst x2=1 , x4=0 , und dann - x2=0 , x4=1 .

Beim x2=1 , x4=0 wir bekommen:

.

Dieses System hat bereits Das einzige Lösung (sie kann durch die Cramersche Regel oder durch jede andere Methode gefunden werden). Subtrahiert man die erste Gleichung von der zweiten Gleichung, erhält man:

Ihre Entscheidung wird sein x1= -1 , x3=0 . Angesichts der Werte x2 und x4 , die wir gegeben haben, erhalten wir die erste fundamentale Lösung des Systems (2) : .

Jetzt setzen wir ein (4) x2=0 , x4=1 . Wir bekommen:

.

Wir lösen dieses System mit dem Satz von Cramer:

.

Wir erhalten die zweite fundamentale Lösung des Systems (2) : .

Lösungen β1 , β2 und ausmachen FSR Systeme (2) . Dann wird seine allgemeine Lösung sein

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Hier C1 , C2 sind beliebige Konstanten.

4. Finden Sie einen Privat Entscheidung heterogenes System(1) . Wie im Absatz 3 , anstelle des Systems (1) Betrachten Sie das äquivalente System (5) , bestehend aus den ersten beiden Gleichungen des Systems (1) .

(5)

Wir übertragen die freien Unbekannten auf die rechte Seite x2 und x4.

(6)

Lassen Sie uns freie Unbekannte geben x2 und x4 beliebige Werte, zum Beispiel x2=2 , x4=1 und stecke sie ein (6) . Holen wir uns das System

Dieses System hat eine eindeutige Lösung (weil seine Determinante М2′0). Wenn wir es lösen (unter Verwendung des Cramer-Theorems oder der Gauß-Methode), erhalten wir x1=3 , x3=3 . Gegeben sind die Werte der freien Unbekannten x2 und x4 , wir bekommen spezielle Lösung eines inhomogenen Systems(1)α1=(3,2,3,1).

5. Jetzt bleibt noch zu schreiben allgemeine Lösung α eines inhomogenen Systems(1) : es ist gleich der Summe private Entscheidung dieses System u allgemeine Lösung seines reduzierten homogenen Systems (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(-С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Das heisst: (7)

6. Untersuchung. Um zu überprüfen, ob Sie das System richtig gelöst haben (1) , brauchen wir eine allgemeine Lösung (7) einwechseln (1) . Wenn jede Gleichung eine Identität wird ( C1 und C2 zerstört werden soll), dann ist die Lösung richtig gefunden.

Wir werden ersetzen (7) beispielsweise nur in der letzten Gleichung des Systems (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Wir erhalten: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Wobei -1=-1. Wir haben eine Identität. Das machen wir mit allen anderen Gleichungen des Systems (1) .

Kommentar. Die Verifizierung ist in der Regel recht umständlich. Wir können folgende „Teilprüfung“ empfehlen: in der Gesamtlösung des Systems (1) Weisen Sie beliebigen Konstanten einige Werte zu und ersetzen Sie die resultierende bestimmte Lösung nur in den verworfenen Gleichungen (d.h. in jenen Gleichungen aus (1) die nicht darin enthalten sind (5) ). Wenn Sie Identitäten bekommen, dann wahrscheinlich, Lösung des Systems (1) korrekt gefunden (aber eine solche Überprüfung gibt keine volle Garantie für die Korrektheit!). Wenn zum Beispiel in (7) stellen C2=- 1 , C1=1, dann erhalten wir: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Durch Einsetzen in die letzte Gleichung des Systems (1) haben wir: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , also –1=–1. Wir haben eine Identität.

Beispiel 2 Finden Sie eine allgemeine Lösung für ein lineares Gleichungssystem (1) , die die wichtigsten Unbekannten in Form von freien ausdrückt.

Entscheidung. Wie in Beispiel 1, Matrizen erstellen EIN und https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> dieser Matrizen. Jetzt lassen wir nur noch diese Gleichungen des Systems (1) , deren Koeffizienten in diesem grundlegenden Minor enthalten sind (d. h. wir haben die ersten beiden Gleichungen), und betrachten das System, das aus ihnen besteht, das dem System (1) entspricht.

Übertragen wir die freien Unbekannten auf die rechte Seite dieser Gleichungen.

System (9) wir lösen nach der Gaußschen Methode, wobei wir die rechten Teile als freie Glieder betrachten.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Option 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Möglichkeit 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Möglichkeit 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Möglichkeit 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Homogene Systeme linearer algebraischer Gleichungen

Innerhalb des Unterrichts Gauss-Methode und Inkompatible Systeme/Systeme mit gemeinsamer Lösung wir betrachten inhomogene Systeme linearer Gleichungen, wo Freies Mitglied(was normalerweise rechts ist) mindestens ein der Gleichungen von Null verschieden war.
Und jetzt, nach einem guten Warm-up mit Matrix Rang, werden wir weiter an der Technik feilen elementare Transformationen auf der homogenes System linearer Gleichungen.
Laut den ersten Absätzen mag das Material langweilig und gewöhnlich erscheinen, aber dieser Eindruck täuscht. Neben der Weiterentwicklung von Techniken wird es viele neue Informationen geben, also versuchen Sie bitte nicht, die Beispiele in diesem Artikel zu vernachlässigen.

Was ist ein homogenes lineares Gleichungssystem?

Die Antwort liegt nahe. Ein lineares Gleichungssystem ist homogen, wenn der freie Term jedermann Systemgleichung ist Null. Zum Beispiel:

Das ist ganz klar homogenes System ist immer konsistent, das heißt, es hat immer eine Lösung. Und vor allem die sog trivial Entscheidung . Trivial bedeutet für diejenigen, die die Bedeutung des Adjektivs überhaupt nicht verstehen, bespontovoe. Natürlich nicht akademisch, aber verständlich =) ... Warum um den heißen Brei herumreden, lassen Sie uns herausfinden, ob dieses System noch andere Lösungen hat:

Beispiel 1

Entscheidung: Um ein homogenes System zu lösen, muss man schreiben Systemmatrix und mit Hilfe elementarer Transformationen in eine gestufte Form bringen. Beachten Sie, dass es nicht nötig ist, den vertikalen Balken und die Nullspalte der freien Mitglieder hier aufzuschreiben - denn was auch immer Sie mit Nullen machen, sie bleiben Null:

(1) Die erste Reihe wurde zur zweiten Reihe addiert, multipliziert mit -2. Die erste Zeile wurde zur dritten Zeile addiert, multipliziert mit -3.

(2) Die zweite Zeile wurde zur dritten Zeile hinzugefügt, multipliziert mit -1.

Die dritte Reihe durch 3 zu teilen macht wenig Sinn.

Durch elementare Transformationen erhält man ein äquivalentes homogenes System , und wenn man den umgekehrten Zug der Gaußschen Methode anwendet, ist es leicht zu verifizieren, dass die Lösung eindeutig ist.

Antworten:

Lassen Sie uns ein naheliegendes Kriterium formulieren: ein homogenes System linearer Gleichungen hat nur triviale Lösung, Wenn Rang der Systemmatrix(in diesem Fall 3) ist gleich der Anzahl der Variablen (in diesem Fall 3 Stk.).

Wir wärmen uns auf und stimmen unser Radio auf eine Welle elementarer Transformationen ab:

Beispiel 2

Lösen Sie ein homogenes System linearer Gleichungen

Aus dem Artikel Wie findet man den Rang einer Matrix? wir erinnern uns an die rationale Methode, die Zahlen der Matrix zufällig zu reduzieren. Andernfalls müssen Sie große und oft beißende Fische schlachten. Ein Beispiel für eine Aufgabe am Ende der Lektion.

Nullen sind gut und bequem, aber in der Praxis ist der Fall viel häufiger, wenn die Zeilen der Matrix des Systems linear abhängig. Und dann ist das Erscheinen einer allgemeinen Lösung unvermeidlich:

Beispiel 3

Lösen Sie ein homogenes System linearer Gleichungen

Entscheidung: Wir schreiben die Matrix des Systems und bringen sie mit elementaren Transformationen in eine Stufenform. Die erste Aktion zielt nicht nur darauf ab, einen einzelnen Wert zu erhalten, sondern auch die Zahlen in der ersten Spalte zu reduzieren:

(1) Die dritte Reihe wurde zur ersten Reihe addiert, multipliziert mit -1. Die dritte Zeile wurde zur zweiten Zeile hinzugefügt, multipliziert mit -2. Oben links habe ich eine Einheit mit einem "Minus" bekommen, was für weitere Transformationen oft viel bequemer ist.

(2) Die ersten beiden Zeilen sind gleich, eine davon wurde entfernt. Ehrlich gesagt habe ich die Entscheidung nicht angepasst - es ist passiert. Wenn Sie Transformationen in einer Vorlage durchführen, dann lineare Abhängigkeit Linien würden etwas später auftauchen.

(3) Zur dritten Zeile addieren Sie die zweite Zeile, multipliziert mit 3.

(4) Das Vorzeichen der ersten Zeile wurde geändert.

Als Ergebnis elementarer Transformationen erhält man ein äquivalentes System:

Der Algorithmus funktioniert genauso wie für heterogene Systeme. Variablen "auf den Stufen sitzen" sind die wichtigsten, die Variable, die die "Stufen" nicht bekommen hat, ist frei.

Wir drücken die Basisvariablen durch die freie Variable aus:

Antworten: gemeinsame Entscheidung:

Die triviale Lösung ist in der allgemeinen Formel enthalten, und es ist unnötig, sie separat zu schreiben.

Die Überprüfung erfolgt ebenfalls nach dem üblichen Schema: Die resultierende allgemeine Lösung muss in die linke Seite jeder Gleichung des Systems eingesetzt werden, und für alle Substitutionen wird eine legitime Null erhalten.

Dies könnte ruhig beendet werden, aber oft muss die Lösung eines homogenen Gleichungssystems dargestellt werden in Vektorform mit Hilfe fundamentales Entscheidungssystem. Bitte vergessen Sie das vorübergehend Analytische Geometrie, da wir jetzt über Vektoren im allgemeinen algebraischen Sinne sprechen, über die ich in einem Artikel leicht geöffnet habe Matrix Rang. Terminologie ist nicht notwendig zu schattieren, alles ist ganz einfach.

Beispiel 1 . Finden Sie eine allgemeine Lösung und ein grundlegendes System von Lösungen für das System

Entscheidung mit einem Taschenrechner finden. Der Lösungsalgorithmus ist derselbe wie für Systeme linearer inhomogener Gleichungen.
Wenn wir nur mit Zeilen arbeiten, finden wir den Rang der Matrix, den grundlegenden Minor; wir deklarieren abhängige und freie Unbekannte und finden die allgemeine Lösung.

Die erste und zweite Zeile sind proportional, eine davon wird gelöscht:

.
Abhängige Variablen - x 2, x 3, x 5, frei - x 1, x 4. Aus der ersten Gleichung 10x 5 = 0 finden wir dann x 5 = 0
; .
Die allgemeine Lösung sieht so aus:

Wir finden das fundamentale Lösungssystem, das aus (n-r) Lösungen besteht. In unserem Fall n=5, r=3 besteht also das Fundamentallösungssystem aus zwei Lösungen, und diese Lösungen müssen linear unabhängig sein. Damit die Zeilen linear unabhängig sind, ist es notwendig und ausreichend, dass der Rang der aus den Elementen der Zeilen zusammengesetzten Matrix gleich der Anzahl der Zeilen ist, also 2. Es genügt, die freien Unbekannten x 1 und x anzugeben 4 Werte aus den Zeilen der Determinante zweiter Ordnung, die von Null verschieden ist, und berechnen x 2 , x 3 , x 5 . Die einfachste Determinante ungleich Null ist .
Die erste Lösung lautet also: , der Zweite - .
Diese beiden Entscheidungen bilden das grundlegende Entscheidungssystem. Beachten Sie, dass das Fundamentalsystem nicht eindeutig ist (von Null verschiedene Determinanten können beliebig oft zusammengesetzt werden).

Beispiel 2 . Finden Sie die allgemeine Lösung und das fundamentale Lösungssystem des Systems
Entscheidung.



,
Daraus folgt, dass der Rang der Matrix 3 ist und gleich der Anzahl der Unbekannten ist. Das bedeutet, dass das System keine freien Unbekannten hat und daher eine eindeutige Lösung hat – eine triviale.

Die Übung . Untersuchen und lösen Sie ein System linearer Gleichungen.
Beispiel 4

Die Übung . Finden Sie allgemeine und spezielle Lösungen für jedes System.
Entscheidung. Wir schreiben die Hauptmatrix des Systems:

5	-2	9	-4	-1
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6
x 1	x2	x 3	x4	x5

Wir bringen die Matrix in eine Dreiecksform. Wir werden nur mit Zeilen arbeiten, da das Multiplizieren einer Zeile einer Matrix mit einer Zahl ungleich Null und das Hinzufügen zu einer anderen Zeile für das System bedeutet, die Gleichung mit derselben Zahl zu multiplizieren und sie zu einer anderen Gleichung hinzuzufügen, was die Lösung nicht ändert vom System.
Multiplizieren Sie die 2. Reihe mit (-5). Fügen wir die 2. Zeile zur 1. hinzu:

0	-22	-1	-14	24
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6

Multiplizieren Sie die 2. Reihe mit (6). Multiplizieren Sie die 3. Zeile mit (-1). Fügen wir die 3. Zeile zur 2. hinzu:
Finde den Rang der Matrix.

0	22	1	14	-24
6	2	11	-2	-6
x 1	x2	x 3	x4	x5

Der hervorgehobene Minor hat die höchste Ordnung (der möglichen Minors) und ist ungleich Null (er ist gleich dem Produkt der Elemente auf der reziproken Diagonale), daher rang(A) = 2.
Dieses Nebenfach ist grundlegend. Es enthält Koeffizienten für Unbekannte x 1, x 2, was bedeutet, dass die Unbekannten x 1, x 2 abhängig (Basis) und x 3, x 4, x 5 frei sind.
Wir transformieren die Matrix und lassen nur das Basis-Moll auf der linken Seite.

0	22	14	-1	-24
6	2	-2	-11	-6
x 1	x2	x4	x 3	x5

Das System mit den Koeffizienten dieser Matrix entspricht dem ursprünglichen System und hat die Form:
22 x 2 = 14 x 4 - x 3 - 24 x 5
6x1 + 2x2 = - 2x4 - 11x3 - 6x5
Durch die Methode der Eliminierung von Unbekannten finden wir nicht triviale Lösung:
Wir haben Beziehungen erhalten, die abhängige Variablen x 1 , x 2 durch freie x 3 , x 4 , x 5 ausdrücken, das heißt, wir haben gefunden gemeinsame Entscheidung:
x2 = 0,64 x 4 - 0,0455 x 3 - 1,09 x 5
x 1 = - 0,55 x 4 - 1,82 x 3 - 0,64 x 5
Wir finden das fundamentale Lösungssystem, das aus (n-r) Lösungen besteht.
In unserem Fall n=5, r=2 besteht also das Fundamentallösungssystem aus 3 Lösungen, und diese Lösungen müssen linear unabhängig sein.
Damit die Zeilen linear unabhängig sind, ist es notwendig und ausreichend, dass der Rang der aus den Elementen der Zeilen zusammengesetzten Matrix gleich der Anzahl der Zeilen ist, also 3.
Es reicht aus, den freien Unbekannten x 3 , x 4 , x 5 Werte aus den Zeilen der Determinante 3. Ordnung, verschieden von Null, zu geben und x 1 , x 2 zu berechnen.
Die einfachste Determinante ungleich Null ist die Identitätsmatrix.

1	0	0
0	1	0
0	0	1

Aufgabe . Finden Sie einen fundamentalen Satz von Lösungen für ein homogenes System linearer Gleichungen.

Schon in der Schule beschäftigte sich jeder von uns mit Gleichungen und natürlich mit Gleichungssystemen. Aber nicht viele Menschen wissen, dass es mehrere Möglichkeiten gibt, sie zu lösen. Heute werden wir alle Methoden zur Lösung eines Systems linearer algebraischer Gleichungen, die aus mehr als zwei Gleichungen bestehen, im Detail analysieren.

Geschichte

Heute weiß man, dass die Kunst, Gleichungen und ihre Systeme zu lösen, ihren Ursprung im alten Babylon und Ägypten hat. Gleichheiten in ihrer üblichen Form tauchten jedoch nach dem Erscheinen des Gleichheitszeichens "=" auf, das 1556 vom englischen Mathematiker Record eingeführt wurde. Übrigens wurde dieses Zeichen aus einem bestimmten Grund gewählt: Es bedeutet zwei parallele gleiche Segmente. Tatsächlich gibt es kein besseres Beispiel für Gleichberechtigung.

Begründer der modernen Buchstabenbezeichnungen von Unbekannten und Gradzeichen ist ein französischer Mathematiker, dessen Bezeichnungen sich jedoch deutlich von den heutigen unterschieden. Beispielsweise bezeichnete er das Quadrat einer unbekannten Zahl mit dem Buchstaben Q (lat. „quadratus“) und den Würfel mit dem Buchstaben C (lat. „cubus“). Diese Notationen erscheinen heute umständlich, aber damals war es die verständlichste Art, Systeme linearer algebraischer Gleichungen zu schreiben.

Ein Nachteil der damaligen Lösungsmethoden war jedoch, dass Mathematiker nur positive Wurzeln betrachteten. Vielleicht liegt das daran, dass negative Werte keinen praktischen Nutzen hatten. Auf die eine oder andere Weise waren es die italienischen Mathematiker Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano und Rafael Bombelli, die im 16. Jahrhundert als erste negative Wurzeln betrachteten. Und die moderne Sichtweise, die Hauptlösungsmethode (durch die Diskriminante), wurde erst im 17. Jahrhundert dank der Arbeit von Descartes und Newton geschaffen.

Mitte des 18. Jahrhunderts fand der Schweizer Mathematiker Gabriel Cramer einen neuen Weg, um das Lösen von linearen Gleichungssystemen zu erleichtern. Diese Methode wurde später nach ihm benannt und wir verwenden sie bis heute. Aber wir werden etwas später über Cramers Methode sprechen, aber jetzt werden wir lineare Gleichungen und Methoden zu ihrer Lösung getrennt vom System diskutieren.

Lineare Gleichungen

Lineare Gleichungen sind die einfachsten Gleichungen mit Variablen. Sie werden als algebraisch klassifiziert. schreiben Sie in allgemeiner Form wie folgt: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... und n * x n \u003d b. Ihre Darstellung in dieser Form werden wir bei der weiteren Zusammenstellung von Systemen und Matrizen benötigen.

Systeme linearer algebraischer Gleichungen

Die Definition dieses Begriffs lautet wie folgt: Es handelt sich um eine Reihe von Gleichungen, die gemeinsame Unbekannte und eine gemeinsame Lösung haben. In der Schule wurde in der Regel alles durch Systeme mit zwei oder sogar drei Gleichungen gelöst. Aber es gibt Systeme mit vier oder mehr Komponenten. Lassen Sie uns zuerst herausfinden, wie man sie aufschreibt, damit sie später bequem gelöst werden können. Erstens sehen lineare algebraische Gleichungssysteme besser aus, wenn alle Variablen als x mit dem entsprechenden Index geschrieben werden: 1,2,3 und so weiter. Zweitens sollten alle Gleichungen auf die kanonische Form gebracht werden: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n =b.

Nach all diesen Aktionen können wir darüber sprechen, wie man eine Lösung für lineare Gleichungssysteme findet. Matrizen sind dafür sehr nützlich.

Matrizen

Eine Matrix ist eine Tabelle, die aus Zeilen und Spalten besteht und an deren Schnittpunkt sich ihre Elemente befinden. Dies können entweder bestimmte Werte oder Variablen sein. Meistens werden zur Kennzeichnung von Elementen tiefgestellte Zeichen darunter gesetzt (z. B. eine 11 oder eine 23). Der erste Index bedeutet die Zeilennummer und der zweite die Spaltennummer. Auf Matrizen sowie auf jedem anderen mathematischen Element können Sie verschiedene Operationen ausführen. So können Sie:

2) Multipliziere eine Matrix mit einer Zahl oder einem Vektor.

3) Transponieren: Matrixzeilen in Spalten und Spalten in Zeilen umwandeln.

4) Multipliziere Matrizen, wenn die Zeilenzahl der einen gleich der Spaltenzahl der anderen ist.

Wir werden alle diese Techniken ausführlicher besprechen, da sie für uns in Zukunft nützlich sein werden. Das Subtrahieren und Addieren von Matrizen ist sehr einfach. Da wir Matrizen gleicher Größe nehmen, entspricht jedes Element einer Tabelle jedem Element einer anderen. Daher addieren (subtrahieren) wir diese beiden Elemente (es ist wichtig, dass sie sich in ihren Matrizen an denselben Stellen befinden). Wenn Sie eine Matrix mit einer Zahl oder einem Vektor multiplizieren, müssen Sie einfach jedes Element der Matrix mit dieser Zahl (oder diesem Vektor) multiplizieren. Die Umsetzung ist ein sehr interessanter Prozess. Es ist manchmal sehr interessant, es im wirklichen Leben zu sehen, zum Beispiel wenn die Ausrichtung eines Tablets oder Telefons geändert wird. Die Symbole auf dem Desktop sind eine Matrix, und wenn Sie die Position ändern, wird sie transponiert und breiter, nimmt jedoch an Höhe ab.

Lassen Sie uns einen solchen Prozess analysieren, obwohl er für uns nicht nützlich sein wird, ist es dennoch nützlich, ihn zu kennen. Sie können zwei Matrizen nur multiplizieren, wenn die Anzahl der Spalten in einer Tabelle gleich der Anzahl der Zeilen in der anderen ist. Nehmen wir nun die Elemente einer Reihe einer Matrix und die Elemente der entsprechenden Spalte einer anderen. Wir multiplizieren sie miteinander und addieren sie dann (d.h. zum Beispiel das Produkt der Elemente a 11 und a 12 mit b 12 und b 22 ist gleich: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Somit wird ein Element der Tabelle erhalten, und es wird durch ein ähnliches Verfahren weiter gefüllt.

Jetzt können wir anfangen zu überlegen, wie das lineare Gleichungssystem gelöst wird.

Gauss-Methode

Dieses Thema beginnt in der Schule. Wir kennen das Konzept des "Systems aus zwei linearen Gleichungen" gut und wissen, wie man es löst. Was aber, wenn die Anzahl der Gleichungen mehr als zwei beträgt? Das wird uns helfen

Natürlich ist diese Methode praktisch, wenn Sie aus dem System eine Matrix erstellen. Aber man kann es nicht transformieren und in seiner reinen Form lösen.

Wie wird also das System der linearen Gaußschen Gleichungen mit dieser Methode gelöst? Übrigens, obwohl diese Methode nach ihm benannt ist, wurde sie in der Antike entdeckt. Gauß schlägt folgendes vor: Operationen mit Gleichungen durchzuführen, um schließlich die gesamte Menge auf eine Stufenform zu reduzieren. Das heißt, es ist notwendig, dass von oben nach unten (bei richtiger Platzierung) von der ersten bis zur letzten Gleichung eine Unbekannte abnimmt. Mit anderen Worten, wir müssen sicherstellen, dass wir beispielsweise drei Gleichungen erhalten: in der ersten - drei Unbekannte, in der zweiten - zwei, in der dritten - eine. Dann finden wir aus der letzten Gleichung die erste Unbekannte, setzen ihren Wert in die zweite oder erste Gleichung ein und finden dann die verbleibenden zwei Variablen.

Cramer-Methode

Um diese Methode zu beherrschen, ist es wichtig, die Fähigkeiten der Addition und Subtraktion von Matrizen zu beherrschen, und Sie müssen auch in der Lage sein, Determinanten zu finden. Wenn Sie dies alles schlecht machen oder überhaupt nicht wissen, wie, müssen Sie es lernen und üben.

Was ist die Essenz dieser Methode und wie kann man sie so gestalten, dass man ein System linearer Cramer-Gleichungen erhält? Alles ist sehr einfach. Wir müssen eine Matrix aus numerischen (fast immer) Koeffizienten eines linearen algebraischen Gleichungssystems konstruieren. Dazu nehmen wir einfach die Zahlen vor den Unbekannten und tragen sie in der Reihenfolge, in der sie im System geschrieben sind, in die Tabelle ein. Wenn der Zahl ein „-“-Zeichen vorangestellt ist, schreiben wir einen negativen Koeffizienten auf. Wir haben also die erste Matrix aus den Koeffizienten der Unbekannten zusammengestellt, ohne die Zahlen nach den Gleichheitszeichen (natürlich sollte die Gleichung auf die kanonische Form reduziert werden, wenn rechts nur die Zahl steht und alle Unbekannten mit Koeffizienten links). Dann müssen Sie mehrere weitere Matrizen erstellen - eine für jede Variable. Dazu ersetzen wir wiederum in der ersten Matrix jede Spalte mit Koeffizienten durch eine Zahlenspalte nach dem Gleichheitszeichen. So erhalten wir mehrere Matrizen und finden dann ihre Determinanten.

Nachdem wir die Determinanten gefunden haben, ist die Sache klein. Wir haben eine Anfangsmatrix und es gibt mehrere resultierende Matrizen, die verschiedenen Variablen entsprechen. Um die Lösungen des Systems zu erhalten, dividieren wir die Determinante der resultierenden Tabelle durch die Determinante der Anfangstabelle. Die resultierende Zahl ist der Wert einer der Variablen. Ebenso finden wir alle Unbekannten.

Andere Methoden

Es gibt mehrere weitere Methoden, um eine Lösung für lineare Gleichungssysteme zu erhalten. Beispielsweise das sogenannte Gauß-Jordan-Verfahren, das zur Lösungsfindung eines Systems quadratischer Gleichungen dient und auch mit der Verwendung von Matrizen verbunden ist. Es gibt auch ein Jacobi-Verfahren zum Lösen eines Systems linearer algebraischer Gleichungen. Es ist am einfachsten an einen Computer anzupassen und wird in der Computertechnik verwendet.

Schwierige Fälle

Komplexität entsteht normalerweise, wenn die Anzahl der Gleichungen kleiner ist als die Anzahl der Variablen. Dann können wir mit Sicherheit sagen, dass entweder das System inkonsistent ist (d. h. es hat keine Wurzeln) oder die Anzahl seiner Lösungen gegen unendlich geht. Wenn wir den zweiten Fall haben, müssen wir die allgemeine Lösung des linearen Gleichungssystems aufschreiben. Es enthält mindestens eine Variable.

Fazit

Hier kommen wir zum Ende. Fassen wir zusammen: Wir haben analysiert, was ein System und eine Matrix sind, und gelernt, wie man eine allgemeine Lösung für ein System linearer Gleichungen findet. Darüber hinaus wurden weitere Optionen geprüft. Wir haben herausgefunden, wie ein lineares Gleichungssystem gelöst wird: die Gauß-Methode, und wir haben über schwierige Fälle und andere Lösungsansätze gesprochen.

Tatsächlich ist dieses Thema viel umfangreicher, und wenn Sie es besser verstehen wollen, dann raten wir Ihnen, spezialisiertere Literatur zu lesen.

Wir werden weiter an der Technik feilen elementare Transformationen auf der homogenes System linearer Gleichungen.
Laut den ersten Absätzen mag das Material langweilig und gewöhnlich erscheinen, aber dieser Eindruck täuscht. Neben der Weiterentwicklung von Techniken wird es viele neue Informationen geben, also versuchen Sie bitte nicht, die Beispiele in diesem Artikel zu vernachlässigen.

Was ist ein homogenes lineares Gleichungssystem?

Die Antwort liegt nahe. Ein lineares Gleichungssystem ist homogen, wenn der freie Term jedermann Systemgleichung ist Null. Zum Beispiel:

Das ist ganz klar homogenes System ist immer konsistent, das heißt, es hat immer eine Lösung. Und vor allem die sog trivial Entscheidung . Trivial bedeutet für diejenigen, die die Bedeutung des Adjektivs überhaupt nicht verstehen, bespontovoe. Natürlich nicht akademisch, aber verständlich =) ... Warum um den heißen Brei herumreden, lassen Sie uns herausfinden, ob dieses System noch andere Lösungen hat:

Beispiel 1

Entscheidung: Um ein homogenes System zu lösen, muss man schreiben Systemmatrix und mit Hilfe elementarer Transformationen in eine gestufte Form bringen. Beachten Sie, dass es nicht nötig ist, den vertikalen Balken und die Nullspalte der freien Mitglieder hier aufzuschreiben - denn was auch immer Sie mit Nullen machen, sie bleiben Null:

(1) Die erste Reihe wurde zur zweiten Reihe addiert, multipliziert mit -2. Die erste Zeile wurde zur dritten Zeile addiert, multipliziert mit -3.

(2) Die zweite Zeile wurde zur dritten Zeile hinzugefügt, multipliziert mit -1.

Die dritte Reihe durch 3 zu teilen macht wenig Sinn.

Durch elementare Transformationen erhält man ein äquivalentes homogenes System , und wenn man den umgekehrten Zug der Gaußschen Methode anwendet, ist es leicht zu verifizieren, dass die Lösung eindeutig ist.

Antworten:

Lassen Sie uns ein naheliegendes Kriterium formulieren: ein homogenes System linearer Gleichungen hat nur triviale Lösung, Wenn Rang der Systemmatrix(in diesem Fall 3) ist gleich der Anzahl der Variablen (in diesem Fall 3 Stk.).

Wir wärmen uns auf und stimmen unser Radio auf eine Welle elementarer Transformationen ab:

Beispiel 2

Lösen Sie ein homogenes System linearer Gleichungen

Um den Algorithmus endgültig zu reparieren, analysieren wir die letzte Aufgabe:

Beispiel 7

Lösen Sie ein homogenes System, schreiben Sie die Antwort in Vektorform.

Entscheidung: Wir schreiben die Matrix des Systems und bringen sie durch elementare Transformationen in eine Stufenform:

(1) Das Vorzeichen der ersten Zeile wurde geändert. Ich mache noch einmal auf die wiederholt getroffene Technik aufmerksam, mit der Sie die folgende Aktion erheblich vereinfachen können.

(1) Die erste Zeile wurde zur 2. und 3. Zeile hinzugefügt. Die erste Zeile multipliziert mit 2 wurde zur 4. Zeile addiert.

(3) Die letzten drei Zeilen sind proportional, zwei davon wurden entfernt.

Als Ergebnis erhält man eine Standardstufenmatrix und die Lösung setzt sich entlang der Rändelspur fort:

– grundlegende Variablen;
sind freie Variablen.

Wir drücken die Basisvariablen durch freie Variablen aus. Aus der 2. Gleichung:

- Ersetze in der 1. Gleichung:

Die allgemeine Lösung lautet also:

Da es im betrachteten Beispiel drei freie Variablen gibt, enthält das Fundamentalsystem drei Vektoren.

Lassen Sie uns ein Tripel von Werten ersetzen in die allgemeine Lösung ein und erhalte einen Vektor, dessen Koordinaten jede Gleichung des homogenen Systems erfüllen. Und ich wiederhole noch einmal, dass es sehr wünschenswert ist, jeden empfangenen Vektor zu überprüfen - es wird nicht so viel Zeit in Anspruch nehmen, aber hundertprozentig vor Fehlern bewahren.

Für ein Tripel von Werten Finde den Vektor

Und schließlich für das Triple wir erhalten den dritten Vektor:

Antworten: , wo

Diejenigen, die Bruchwerte vermeiden möchten, können Tripletts in Betracht ziehen und erhalten Sie die Antwort in der äquivalenten Form:

Apropos Brüche. Schauen wir uns die in der Aufgabe erhaltene Matrix an und stellen Sie die Frage - ist es möglich, die weitere Lösung zu vereinfachen? Immerhin haben wir hier zuerst die Grundvariable in Brüchen ausgedrückt, dann die Grundvariable in Brüchen, und ich muss sagen, dieser Prozess war nicht der einfachste und nicht der angenehmste.

Die zweite Lösung:

Die Idee ist, es zu versuchen Wählen Sie andere grundlegende Variablen. Schauen wir uns die Matrix an und bemerken zwei Einsen in der dritten Spalte. Warum also nicht oben Null bekommen? Machen wir noch eine elementare Transformation: