Flächenrechner mit Integral. Online-Rechner Berechnen Sie ein bestimmtes Integral (Fläche eines krummlinigen Trapezes)

Lösung.

Der erste und wichtigste Moment der Entscheidung ist die Konstruktion einer Zeichnung.

Machen wir eine Zeichnung:

Die gleichung y=0 setzt die x-Achse;

- x=-2 und x=1 - gerade, parallel zur Achse OE;

- y \u003d x 2 +2 - eine Parabel, deren Äste nach oben gerichtet sind, mit einem Scheitelpunkt im Punkt (0;2).

Kommentar. Um eine Parabel zu konstruieren, genügt es, die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen zu finden, d.h. Putten x=0 Finden Sie den Schnittpunkt mit der Achse OU und Lösen der entsprechenden quadratischen Gleichung, finde den Schnittpunkt mit der Achse Oh .

Der Scheitelpunkt einer Parabel kann mit den folgenden Formeln gefunden werden:

Sie können Linien und Punkt für Punkt zeichnen.

Auf dem Intervall [-2;1] der Graph der Funktion y=x 2 +2 gelegen über Achse Ochse , deshalb:

Antworten: S \u003d 9 Quadrateinheiten

Nachdem die Aufgabe erledigt ist, ist es immer hilfreich, sich die Zeichnung anzusehen und herauszufinden, ob die Antwort echt ist. In diesem Fall zählen wir "mit dem Auge" die Anzahl der Zellen in der Zeichnung - nun, ungefähr 9 werden eingegeben, es scheint wahr zu sein. Es ist ganz klar, dass, wenn wir beispielsweise die Antwort hätten: 20 Quadrateinheiten, dann wurde offensichtlich irgendwo ein Fehler gemacht - 20 Zellen passen eindeutig nicht in die fragliche Zahl, höchstens ein Dutzend. Fällt die Antwort negativ aus, wurde die Aufgabe auch falsch gelöst.

Was tun, wenn sich das krummlinige Trapez befindet unter Achse Oh?

b) Berechnen Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Figur y=-e x , x=1 und Koordinatenachsen.

Lösung.

Machen wir eine Zeichnung.

Wenn ein krummliniges Trapez komplett unter der Achse Oh , dann kann seine Fläche durch die Formel gefunden werden:

Antworten: S=(e-1) qm Einheit" 1,72 qm Einheit

Aufmerksamkeit! Verwechseln Sie die beiden Arten von Aufgaben nicht:

1) Wenn Sie nur ein bestimmtes Integral ohne geometrische Bedeutung lösen sollen, kann es negativ sein.

2) Wenn Sie aufgefordert werden, die Fläche einer Figur mithilfe eines bestimmten Integrals zu finden, dann ist die Fläche immer positiv! Deshalb kommt in der eben betrachteten Formel das Minus vor.

In der Praxis befindet sich die Figur meistens sowohl in der oberen als auch in der unteren Halbebene.

Mit) Finden Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten ebenen Figur y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

Lösung.

Zuerst müssen Sie eine Zeichnung machen. Im Allgemeinen sind wir beim Erstellen einer Zeichnung in Flächenproblemen am meisten an den Schnittpunkten von Linien interessiert. Finde die Schnittpunkte der Parabel und direkt Dies kann auf zwei Arten erfolgen. Der erste Weg ist der analytische.

Wir lösen die Gleichung:

Also die untere Integrationsgrenze a=0 , die obere Integrationsgrenze b=3 .

Wir bauen die gegebenen Geraden: 1. Parabel - Scheitelpunkt im Punkt (1;1); Achsenkreuzung Oh - Punkte(0;0) und (0;2). 2. Gerade - die Winkelhalbierende des 2. und 4. Koordinatenwinkels. Und jetzt Achtung! Wenn auf dem Segment [ a;b] eine stetige Funktion f(x) größer oder gleich einer stetigen Funktion g(x), dann kann die Fläche der entsprechenden Figur durch die Formel gefunden werden: .

Und es spielt keine Rolle, wo sich die Figur befindet - über der Achse oder unter der Achse, aber es ist wichtig, welches Diagramm HÖHER (relativ zu einem anderen Diagramm) und welches UNTEN ist. In dem betrachteten Beispiel ist es offensichtlich, dass sich die Parabel auf dem Segment über der geraden Linie befindet und daher abgezogen werden muss

Es ist möglich, Linien Punkt für Punkt zu konstruieren, während die Integrationsgrenzen wie "von selbst" ermittelt werden. Trotzdem muss die analytische Methode der Grenzfindung manchmal immer noch angewendet werden, wenn beispielsweise der Graph groß genug ist oder die Thread-Konstruktion die Integrationsgrenzen nicht offenbart hat (sie können gebrochen oder irrational sein).

Die gewünschte Figur wird von oben durch eine Parabel und von unten durch eine Gerade begrenzt.

Auf dem Segment , nach der entsprechenden Formel:

Antworten: S \u003d 4,5 Quadratmeter Einheiten

Tatsächlich benötigen Sie nicht so viel Wissen über das unbestimmte und bestimmte Integral, um den Bereich einer Figur zu finden. Die Aufgabe "Fläche mit einem bestimmten Integral berechnen" beinhaltet immer das Erstellen einer Zeichnung, so dass Ihr Wissen und Ihre zeichnerischen Fähigkeiten ein viel relevanteres Thema sind. In dieser Hinsicht ist es nützlich, die Erinnerung an die Graphen der wichtigsten Elementarfunktionen aufzufrischen und zumindest in der Lage zu sein, eine gerade Linie und eine Hyperbel zu erstellen.

Ein krummliniges Trapez ist eine flache Figur, die durch eine Achse, gerade Linien und einen Graphen einer kontinuierlichen Funktion auf einem Segment begrenzt wird, das in diesem Intervall das Vorzeichen nicht ändert. Lassen Sie diese Figur lokalisieren nicht weniger Abszisse:

Dann Die Fläche eines krummlinigen Trapezes ist numerisch gleich einem bestimmten Integral. Jedes bestimmte Integral (das existiert) hat eine sehr gute geometrische Bedeutung.

In Bezug auf die Geometrie ist das definitive Integral die FLÄCHE.

Also, das bestimmte Integral (falls vorhanden) entspricht geometrisch der Fläche einer Figur. Betrachten Sie zum Beispiel das bestimmte Integral . Der Integrand definiert eine Kurve in der Ebene, die sich über der Achse befindet (wer möchte, kann die Zeichnung vervollständigen), und das bestimmte Integral selbst ist numerisch gleich der Fläche des entsprechenden krummlinigen Trapezes.

Beispiel 1

Dies ist eine typische Aufgabenstellung. Der erste und wichtigste Moment der Entscheidung ist die Konstruktion einer Zeichnung. Außerdem muss die Zeichnung gebaut werden RECHTS.

Bei diesem Problem könnte die Lösung so aussehen.
Machen wir eine Zeichnung (beachten Sie, dass die Gleichung die Achse definiert):

Auf dem Segment befindet sich der Graph der Funktion über Achse, deshalb:

Antworten:

Beispiel 3

Berechnen Sie die durch Linien und Koordinatenachsen begrenzte Fläche der Figur.

Lösung: Machen wir eine Zeichnung:

Wenn das krummlinige Trapez lokalisiert ist unter Achse(oder zumindest nicht höher gegebene Achse), dann kann seine Fläche durch die Formel gefunden werden:

In diesem Fall:

Aufmerksamkeit! Verwechseln Sie die beiden Arten von Aufgaben nicht:

1) Wenn Sie nur ein bestimmtes Integral ohne geometrische Bedeutung lösen sollen, kann es negativ sein.

In der Praxis befindet sich die Figur meistens sowohl in der oberen als auch in der unteren Halbebene, und daher gehen wir von den einfachsten Schulproblemen zu aussagekräftigeren Beispielen über.

Beispiel 4

Finden Sie die Fläche einer flachen Figur, die durch Linien begrenzt ist.

Lösung: Zuerst müssen Sie die Zeichnung vervollständigen. Im Allgemeinen sind wir beim Erstellen einer Zeichnung in Flächenproblemen am meisten an den Schnittpunkten von Linien interessiert. Lassen Sie uns die Schnittpunkte der Parabel und der Linie finden. Dies kann auf zwei Arten erfolgen. Der erste Weg ist der analytische. Wir lösen die Gleichung:

Daher die untere Integrationsgrenze, die obere Integrationsgrenze.

Es ist am besten, diese Methode nach Möglichkeit nicht zu verwenden..

Es ist viel rentabler und schneller, die Linien Punkt für Punkt zu bauen, während die Integrationsgrenzen wie „von selbst“ herausgefunden werden. Trotzdem muss die analytische Methode der Grenzfindung manchmal immer noch angewendet werden, wenn beispielsweise der Graph groß genug ist oder die Thread-Konstruktion die Integrationsgrenzen nicht offenbart hat (sie können gebrochen oder irrational sein). Und wir werden auch ein solches Beispiel betrachten.

Wir kehren zu unserer Aufgabe zurück: Es ist vernünftiger, zuerst eine Gerade und dann erst eine Parabel zu konstruieren. Machen wir eine Zeichnung:

Und jetzt die Arbeitsformel: Wenn es eine kontinuierliche Funktion im Intervall gibt größer als oder gleich eine kontinuierliche Funktion, dann kann die Fläche der Figur, die durch die Graphen dieser Funktionen und geraden Linien begrenzt ist, durch die Formel gefunden werden:

Hier muss nicht mehr darüber nachgedacht werden, wo sich die Figur befindet - über der Achse oder unter der Achse und grob gesagt Es ist wichtig, welches Diagramm OBEN ist(relativ zu einem anderen Diagramm), und welches ist UNTEN.

In dem betrachteten Beispiel ist es offensichtlich, dass sich die Parabel auf dem Segment über der geraden Linie befindet und daher abgezogen werden muss

Die Fertigstellung der Lösung könnte so aussehen:

Die gewünschte Figur wird von oben durch eine Parabel und von unten durch eine Gerade begrenzt.
Auf dem Segment nach der entsprechenden Formel:

Antworten:

Beispiel 4

Berechnen Sie die Fläche der Figur, die durch die Linien , , , begrenzt wird.

Lösung: Machen wir zuerst eine Zeichnung:

Die Figur, deren Fläche wir finden müssen, ist blau schattiert.(Beachten Sie genau den Zustand - wie begrenzt die Figur ist!). In der Praxis tritt jedoch aufgrund von Unaufmerksamkeit häufig ein „Fehler“ auf, bei dem Sie den grün schattierten Bereich der Figur finden müssen!

Dieses Beispiel ist auch insofern nützlich, als darin die Fläche der Figur mit zwei bestimmten Integralen berechnet wird.

Wirklich:

1) Auf dem Segment über der Achse befindet sich ein gerader Liniengraph;

2) Auf dem Segment über der Achse befindet sich ein Hyperbeldiagramm.

Es ist ziemlich offensichtlich, dass die Bereiche hinzugefügt werden können (und sollten), daher:

Die Fläche eines krummlinigen Trapezes ist numerisch gleich einem bestimmten Integral

Jedes bestimmte Integral (das existiert) hat eine sehr gute geometrische Bedeutung. Im Unterricht habe ich gesagt, dass ein bestimmtes Integral eine Zahl ist. Und jetzt ist es an der Zeit, eine weitere nützliche Tatsache anzugeben. Aus geometrischer Sicht ist das bestimmte Integral die FLÄCHE.

Also, Das bestimmte Integral (falls vorhanden) entspricht geometrisch der Fläche einer Figur. Betrachten Sie zum Beispiel das bestimmte Integral . Der Integrand definiert eine bestimmte Kurve in der Ebene (sie kann auf Wunsch immer gezeichnet werden), und das bestimmte Integral selbst ist numerisch gleich der Fläche des entsprechenden krummlinigen Trapezes.

Beispiel 1

Dies ist eine typische Aufgabenstellung. Der erste und wichtigste Moment der Entscheidung ist die Konstruktion einer Zeichnung. Außerdem muss die Zeichnung gebaut werden RECHTS.

Beim Erstellen einer Blaupause empfehle ich die folgende Reihenfolge: Erste es ist besser, alle Linien (falls vorhanden) und nur zu konstruieren nach- Parabeln, Hyperbeln, Graphen anderer Funktionen. Funktionsgraphen sind rentabler zu erstellen Punkt für Punkt, die Technik der punktweisen Konstruktion finden Sie im Referenzmaterial.

Dort finden Sie auch Material, das in Bezug auf unsere Lektion sehr nützlich ist - wie man schnell eine Parabel baut.

Bei diesem Problem könnte die Lösung so aussehen.
Machen wir eine Zeichnung (beachten Sie, dass die Gleichung die Achse definiert):

Ich werde kein krummliniges Trapez schraffieren, es ist offensichtlich, von welchem Bereich wir hier sprechen. Die Lösung geht so weiter:

Auf dem Segment befindet sich der Graph der Funktion über Achse, deshalb:

Antworten:

Wer hat Schwierigkeiten, das bestimmte Integral zu berechnen und die Newton-Leibniz-Formel anzuwenden , siehe Vorlesung Bestimmtes Integral. Lösungsbeispiele.

Nachdem die Aufgabe erledigt ist, ist es immer hilfreich, sich die Zeichnung anzusehen und herauszufinden, ob die Antwort echt ist. In diesem Fall zählen wir „mit dem Auge“ die Anzahl der Zellen in der Zeichnung - nun, ungefähr 9 werden eingegeben, es scheint wahr zu sein. Es ist ganz klar, wenn wir die Antwort beispielsweise 20 Quadrateinheiten hätten, dann wurde offensichtlich irgendwo ein Fehler gemacht - 20 Zellen passen offensichtlich nicht in die betreffende Zahl, höchstens ein Dutzend. Fällt die Antwort negativ aus, wurde die Aufgabe auch falsch gelöst.

Beispiel 2

Berechnen Sie die Fläche der Figur, die durch die Linien , , und die Achse begrenzt wird

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Was tun, wenn sich das krummlinige Trapez befindet unter der Achse?

Beispiel 3

Berechnen Sie die durch Linien und Koordinatenachsen begrenzte Fläche der Figur.

Lösung: Machen wir eine Zeichnung:

Wenn ein krummliniges Trapez komplett unter der Achse, dann kann seine Fläche durch die Formel gefunden werden:
In diesem Fall:

Aufmerksamkeit! Die beiden Arten von Aufgaben sollten nicht verwechselt werden:

1) Wenn Sie nur ein bestimmtes Integral ohne geometrische Bedeutung lösen sollen, kann es negativ sein.

In der Praxis befindet sich die Figur meistens sowohl in der oberen als auch in der unteren Halbebene, und daher gehen wir von den einfachsten Schulproblemen zu aussagekräftigeren Beispielen über.

Beispiel 4

Finden Sie die Fläche einer flachen Figur, die durch Linien begrenzt ist.

Lösung: Zuerst müssen Sie eine Zeichnung machen. Im Allgemeinen sind wir beim Erstellen einer Zeichnung in Flächenproblemen am meisten an den Schnittpunkten von Linien interessiert. Lassen Sie uns die Schnittpunkte der Parabel und der Linie finden. Dies kann auf zwei Arten erfolgen. Der erste Weg ist der analytische. Wir lösen die Gleichung:

Daher die untere Integrationsgrenze, die obere Integrationsgrenze.
Es ist besser, diese Methode möglichst nicht zu verwenden.

Es ist viel rentabler und schneller, die Linien Punkt für Punkt zu bauen, während die Integrationsgrenzen wie „von selbst“ herausgefunden werden. Die Punkt-für-Punkt-Konstruktionstechnik für verschiedene Diagramme wird ausführlich in der Hilfe besprochen Graphen und Eigenschaften elementarer Funktionen. Trotzdem muss die analytische Methode der Grenzfindung manchmal immer noch angewendet werden, wenn beispielsweise der Graph groß genug ist oder die Thread-Konstruktion die Integrationsgrenzen nicht offenbart hat (sie können gebrochen oder irrational sein). Und wir werden auch ein solches Beispiel betrachten.

Wir kehren zu unserer Aufgabe zurück: Es ist vernünftiger, zuerst eine Gerade und dann erst eine Parabel zu konstruieren. Machen wir eine Zeichnung:

Ich wiederhole, dass bei der punktweisen Konstruktion die Integrationsgrenzen meistens „automatisch“ herausgefunden werden.

Und jetzt die Arbeitsformel: Wenn auf einem Segment eine kontinuierliche Funktion größer als oder gleich eine kontinuierliche Funktion, dann kann die Fläche der entsprechenden Figur durch die Formel gefunden werden:

In dem betrachteten Beispiel ist es offensichtlich, dass sich die Parabel auf dem Segment über der geraden Linie befindet und daher abgezogen werden muss

Die Fertigstellung der Lösung könnte so aussehen:

Die gewünschte Figur wird von oben durch eine Parabel und von unten durch eine Gerade begrenzt.
Auf dem Segment nach der entsprechenden Formel:

Antworten:

Tatsächlich ist die Schulformel für die Fläche eines krummlinigen Trapezes in der unteren Halbebene (siehe einfaches Beispiel Nr. 3) ein Sonderfall der Formel . Da die Achse durch die Gleichung gegeben ist und sich der Graph der Funktion unter der Achse befindet, dann

Und jetzt ein paar Beispiele für eine eigenständige Lösung

Beispiel 5

Beispiel 6

Finden Sie den Bereich der Figur, der von den Linien , umschlossen ist.

Bei der Lösung von Problemen zur Berechnung der Fläche mit einem bestimmten Integral passiert manchmal ein lustiger Vorfall. Die Zeichnung wurde korrekt erstellt, die Berechnungen waren korrekt, aber aufgrund von Unaufmerksamkeit ... fand den Bereich der falschen Figur, so hat es dein gehorsamer Diener mehrfach vermasselt. Hier ist ein realer Fall:

Beispiel 7

Berechnen Sie die Fläche der Figur, die durch die Linien , , , begrenzt wird.

Zeichnen wir zuerst:

Die Figur, deren Fläche wir finden müssen, ist blau schattiert.(Beachten Sie genau den Zustand - wie begrenzt die Figur ist!). In der Praxis kommt es jedoch häufig vor, dass Sie aufgrund von Unaufmerksamkeit den grün schattierten Bereich der Figur finden müssen!

Dieses Beispiel ist auch insofern nützlich, als darin die Fläche der Figur mit zwei bestimmten Integralen berechnet wird. Wirklich:

1) Auf dem Segment über der Achse befindet sich ein gerader Liniengraph;

2) Auf dem Segment über der Achse befindet sich ein Hyperbeldiagramm.

Es ist ziemlich offensichtlich, dass die Bereiche hinzugefügt werden können (und sollten), daher:

Antworten:

Beispiel 8

Berechnen Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Figur,
Lassen Sie uns die Gleichungen in einer "Schul" -Form präsentieren und eine Punkt-für-Punkt-Zeichnung durchführen:

Aus der Zeichnung ist ersichtlich, dass unsere Obergrenze „gut“ ist: .
Aber was ist die untere Grenze? Es ist klar, dass dies keine ganze Zahl ist, aber was? Kann sein ? Aber wo ist die Garantie, dass die Zeichnung mit perfekter Genauigkeit gemacht wird, das kann sich durchaus herausstellen. Oder rooten. Was wäre, wenn wir die Grafik überhaupt nicht richtig hinbekommen hätten?

In solchen Fällen muss man zusätzliche Zeit aufwenden und die Integrationsgrenzen analytisch verfeinern.

Lassen Sie uns die Schnittpunkte der Linie und der Parabel finden.
Dazu lösen wir die Gleichung:

Folglich, .

Die weitere Lösung ist trivial, Hauptsache nicht in Substitutionen und Vorzeichen verwechseln, die Berechnungen hier sind nicht die einfachsten.

Auf dem Segment , nach der entsprechenden Formel:

Antworten:

Nun, zum Abschluss der Lektion werden wir zwei Aufgaben als schwieriger betrachten.

Beispiel 9

Berechnen Sie die Fläche der durch Linien begrenzten Figur , ,

Lösung: Zeichne diese Figur in die Zeichnung ein.

Für die Punkt-für-Punkt-Konstruktion einer Zeichnung ist es notwendig, das Aussehen der Sinuskurve zu kennen (und im Allgemeinen ist es nützlich zu wissen Graphen aller elementaren Funktionen) sowie einige Sinuswerte, in denen sie zu finden sind trigonometrische Tabelle. In einigen Fällen (wie in diesem Fall) ist es erlaubt, eine schematische Zeichnung zu erstellen, auf der Graphen und Integrationsgrenzen grundsätzlich korrekt dargestellt werden müssen.

Hier gibt es keine Probleme mit den Integrationsgrenzen, sie folgen direkt aus der Bedingung: - „x“ wechselt von Null auf „pi“. Wir treffen eine weitere Entscheidung:

Auf dem Segment befindet sich der Graph der Funktion über der Achse, daher:

(1) Wie Sinus und Cosinus in ungerade Potenzen integriert werden, ist in der Lektion zu sehen Integrale trigonometrischer Funktionen. Dies ist eine typische Technik, wir klemmen einen Sinus ab.

(2) Wir verwenden die grundlegende trigonometrische Identität in der Form

(3) Ändern wir die Variable , dann:

Neue Umverteilungen der Integration:

Wer wirklich schlechte Geschäfte mit Auswechslungen macht, bitte zum Unterricht gehen Ersetzungsverfahren im unbestimmten Integral. Für diejenigen, die sich über den Ersetzungsalgorithmus in einem bestimmten Integral nicht ganz im Klaren sind, besuchen Sie die Seite Bestimmtes Integral. Lösungsbeispiele.

Wir beginnen, den eigentlichen Prozess der Berechnung des Doppelintegrals zu betrachten und uns mit seiner geometrischen Bedeutung vertraut zu machen.

Das Doppelintegral ist numerisch gleich der Fläche einer flachen Figur (Integrationsbereich). Dies ist die einfachste Form des Doppelintegrals, wenn die Funktion zweier Variablen gleich eins ist: .

Betrachten wir das Problem zunächst allgemein. Jetzt werden Sie überrascht sein, wie einfach es wirklich ist! Berechnen wir die Fläche einer durch Linien begrenzten flachen Figur. Zur Sicherheit nehmen wir an, dass auf dem Intervall . Die Fläche dieser Figur ist numerisch gleich:

Lassen Sie uns den Bereich in der Zeichnung darstellen:

Wählen wir den ersten Weg, um den Bereich zu umgehen:

Auf diese Weise:

Und gleich ein wichtiger technischer Kniff: Iterierte Integrale können separat betrachtet werden. Zuerst das innere Integral, dann das äußere Integral. Diese Methode ist für Einsteiger in das Thema Teekannen sehr zu empfehlen.

1) Berechnen Sie das interne Integral, während die Integration über die Variable „y“ erfolgt:

Das unbestimmte Integral ist hier das einfachste, und dann wird die banale Newton-Leibniz-Formel verwendet, mit dem einzigen Unterschied, dass Die Integrationsgrenzen sind keine Zahlen, sondern Funktionen. Zuerst haben wir die obere Grenze in das „y“ (Stammfunktion) eingesetzt, dann die untere Grenze

2) Das im ersten Absatz erhaltene Ergebnis muss in das externe Integral eingesetzt werden:

Eine kompaktere Notation für die Gesamtlösung sieht so aus:

Die resultierende Formel - Dies ist genau die Arbeitsformel zur Berechnung der Fläche einer flachen Figur mit dem "gewöhnlichen" bestimmten Integral! Siehe Lektion Flächenberechnung mit einem bestimmten Integral, da ist sie auf Schritt und Tritt!

Also, das Problem der Flächenberechnung mit einem Doppelintegral etwas anders aus dem Problem, die Fläche mit einem bestimmten Integral zu finden! Tatsächlich sind sie ein und dasselbe!

Dementsprechend sollten keine Schwierigkeiten auftreten! Ich werde nicht viele Beispiele berücksichtigen, da Sie tatsächlich wiederholt auf dieses Problem gestoßen sind.

Beispiel 9

Lösung: Lassen Sie uns den Bereich in der Zeichnung darstellen:

Wählen wir die folgende Reihenfolge der Durchquerung der Region:

Hier und unten werde ich nicht darauf eingehen, wie man ein Gebiet durchquert, weil der erste Absatz sehr detailliert war.

Auf diese Weise:

Wie ich bereits angemerkt habe, ist es für Anfänger besser, iterierte Integrale separat zu berechnen, ich werde mich an dieselbe Methode halten:

1) Zunächst beschäftigen wir uns mit der Newton-Leibniz-Formel mit dem internen Integral:

2) Das im ersten Schritt erhaltene Ergebnis wird in das äußere Integral eingesetzt:

Punkt 2 ist eigentlich das Finden der Fläche einer flachen Figur mit einem bestimmten Integral.

Antworten:

Hier ist so eine dumme und naive Aufgabe.

Ein kurioses Beispiel für eine unabhängige Lösung:

Beispiel 10

Berechnen Sie mit dem Doppelintegral die Fläche einer ebenen Figur, die durch die Linien begrenzt wird , ,

Ein Beispiel für eine endgültige Lösung am Ende der Lektion.

In den Beispielen 9-10 ist es viel gewinnbringender, den ersten Weg zu verwenden, um die Fläche zu umgehen, neugierige Leser können übrigens die Reihenfolge der Umgehung ändern und die Flächen auf dem zweiten Weg berechnen. Wenn Sie keinen Fehler machen, werden natürlich die gleichen Flächenwerte erhalten.

Aber in manchen Fällen ist der zweite Weg, den Bereich zu umgehen, effektiver, und zum Abschluss des Kurses des jungen Nerds schauen wir uns noch ein paar weitere Beispiele zu diesem Thema an:

Beispiel 11

Berechnen Sie mit dem Doppelintegral die Fläche einer durch Linien begrenzten ebenen Figur.

Lösung: Wir freuen uns auf zwei Parabeln mit einer Brise, die auf der Seite liegen. Kein Grund zu lächeln, ähnliche Dinge in mehreren Integralen werden oft angetroffen.

Was ist der einfachste Weg, um eine Zeichnung zu erstellen?

Stellen wir die Parabel als zwei Funktionen dar:
- oberer Ast und - unterer Ast.

Stellen Sie sich in ähnlicher Weise eine Parabel als obere und untere vor Geäst.

Als nächstes fahren Punkt-für-Punkt-Plotting-Laufwerke, was zu einer so bizarren Figur führt:

Die Fläche der Figur wird mit dem Doppelintegral nach der Formel berechnet:

Was passiert, wenn wir den ersten Weg wählen, um das Gebiet zu umgehen? Zunächst muss dieser Bereich in zwei Teile geteilt werden. Und zweitens werden wir dieses traurige Bild beobachten: . Integrale sind natürlich keine superkomplexe Ebene, aber ... es gibt ein altes mathematisches Sprichwort: Wer mit den Wurzeln befreundet ist, braucht keine Aufrechnung.

Daher drücken wir aus dem Missverständnis, das in der Bedingung gegeben ist, die Umkehrfunktionen aus:

Die Umkehrfunktionen in diesem Beispiel haben den Vorteil, dass sie sofort die gesamte Parabel ohne Blätter, Eicheln, Äste und Wurzeln setzen.

Gemäß der zweiten Methode wird die Bereichsdurchquerung wie folgt sein:

Auf diese Weise:

Spüren Sie den Unterschied, wie sie sagen.

1) Wir beschäftigen uns mit dem internen Integral:

Wir setzen das Ergebnis in das äußere Integral ein:

Die Integration über die Variable "y" sollte nicht peinlich sein, wenn es einen Buchstaben "zyu" gäbe - es wäre großartig, darüber zu integrieren. Obwohl wer den zweiten Absatz der Lektion gelesen hat Wie man das Volumen eines Rotationskörpers berechnet, erlebt er nicht mehr die geringste Verlegenheit bei der Integration über "y".

Beachten Sie auch den ersten Schritt: Der Integrand ist gerade, und das Integrationssegment ist symmetrisch um Null. Daher kann das Segment halbiert und das Ergebnis verdoppelt werden. Diese Technik wird in der Lektion ausführlich kommentiert. Effiziente Methoden zur Berechnung des bestimmten Integrals.

Was ist hinzuzufügen…. Alles!

Antworten:

Um Ihre Integrationstechnik zu testen, können Sie versuchen zu rechnen . Die Antwort sollte genau die gleiche sein.

Beispiel 12

Berechnen Sie mit dem Doppelintegral die Fläche einer durch Linien begrenzten ebenen Figur

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Es ist interessant festzustellen, dass, wenn Sie versuchen, den Bereich mit der ersten Methode zu umgehen, die Figur nicht mehr in zwei, sondern in drei Teile geteilt wird! Und dementsprechend erhalten wir drei Paare iterierter Integrale. Manchmal passiert es.

Die Meisterklasse ist zu Ende und es ist Zeit, auf die Großmeisterebene überzugehen - Wie berechnet man das Doppelintegral? Lösungsbeispiele. Ich werde versuchen, im zweiten Artikel nicht so manisch zu sein =)

Wünsche dir Erfolg!

Lösungen und Antworten:

Beispiel 2:Lösung: Zeichne einen Bereich auf der Zeichnung:

Wählen wir die folgende Reihenfolge der Durchquerung der Region:

Auf diese Weise:
Kommen wir zu den Umkehrfunktionen:

Auf diese Weise:
Antworten:

Beispiel 4:Lösung: Kommen wir zu direkten Funktionen:

Lassen Sie uns die Zeichnung ausführen:

Ändern wir die Reihenfolge der Durchquerung des Bereichs:

Antworten:

Wir wenden uns nun der Betrachtung von Anwendungen der Integralrechnung zu. In dieser Lektion analysieren wir eine typische und häufigste Aufgabe. Berechnung der Fläche einer flachen Figur mit einem bestimmten Integral. Schließlich alle, die in der höheren Mathematik nach Sinn suchen – mögen sie ihn finden. Man weiß nie. Im wirklichen Leben müssen Sie ein Sommerhaus mit elementaren Funktionen annähern und seine Fläche mit einem bestimmten Integral finden.

Um das Material erfolgreich zu beherrschen, müssen Sie:

1) Verstehen Sie das unbestimmte Integral zumindest auf einem mittleren Niveau. Daher sollten Dummies zuerst die Lektion lesen Nicht.

2) Die Newton-Leibniz-Formel anwenden und das bestimmte Integral berechnen können. Mit bestimmten Integralen auf der Seite können Sie herzliche, freundschaftliche Beziehungen aufbauen Bestimmtes Integral. Lösungsbeispiele. Die Aufgabe "Fläche mit einem bestimmten Integral berechnen" beinhaltet immer das Erstellen einer Zeichnung Daher werden auch Ihre Kenntnisse und zeichnerischen Fähigkeiten ein dringendes Thema sein. Man muss mindestens eine Gerade, eine Parabel und eine Hyperbel bauen können.

Beginnen wir mit einem krummlinigen Trapez. Ein krummliniges Trapez ist eine flache Figur, die durch den Graphen einer Funktion begrenzt ist j = f(x), Achse OCHSE und Linien x = a; x = b.

Die Fläche eines krummlinigen Trapezes ist numerisch gleich einem bestimmten Integral

Jedes bestimmte Integral (das existiert) hat eine sehr gute geometrische Bedeutung. Im Unterricht Bestimmtes Integral. Lösungsbeispiele wir sagten, dass ein bestimmtes Integral eine Zahl ist. Und jetzt ist es an der Zeit, eine weitere nützliche Tatsache anzugeben. Aus geometrischer Sicht ist das bestimmte Integral die FLÄCHE. Also, Das bestimmte Integral (falls vorhanden) entspricht geometrisch der Fläche einer Figur. Betrachten Sie das bestimmte Integral

Integriert

definiert eine Kurve in der Ebene (kann auf Wunsch gezeichnet werden), und das bestimmte Integral selbst ist numerisch gleich der Fläche des entsprechenden krummlinigen Trapezes.

Beispiel 1

, , , .

Dies ist eine typische Aufgabenstellung. Der wichtigste Punkt der Entscheidung ist die Konstruktion einer Zeichnung. Außerdem muss die Zeichnung gebaut werden RECHTS.

Beim Erstellen einer Blaupause empfehle ich die folgende Reihenfolge: Erste es ist besser, alle Linien (falls vorhanden) und nur zu konstruieren nach- Parabeln, Hyperbeln, Graphen anderer Funktionen. Die Punkt-für-Punkt-Konstruktionstechnik finden Sie im Referenzmaterial Graphen und Eigenschaften elementarer Funktionen. Dort finden Sie auch Material, das in Bezug auf unsere Lektion sehr nützlich ist - wie man schnell eine Parabel baut.

Bei diesem Problem könnte die Lösung so aussehen.

Machen wir eine Zeichnung (beachten Sie, dass die Gleichung j= 0 gibt die Achse an OCHSE):

Wir werden das krummlinige Trapez nicht schraffieren, es ist offensichtlich, von welchem Bereich wir hier sprechen. Die Lösung geht so weiter:

Im Intervall [-2; 1] Funktionsgraph j = x 2 + 2 gelegen über AchseOCHSE, deshalb:

Antworten: .

Wer hat Schwierigkeiten, das bestimmte Integral zu berechnen und die Newton-Leibniz-Formel anzuwenden

beziehen sich auf die Vorlesung Bestimmtes Integral. Lösungsbeispiele. Nachdem die Aufgabe erledigt ist, ist es immer hilfreich, sich die Zeichnung anzusehen und herauszufinden, ob die Antwort echt ist. In diesem Fall zählen wir „mit dem Auge“ die Anzahl der Zellen in der Zeichnung - nun, ungefähr 9 werden eingegeben, es scheint wahr zu sein. Es ist ganz klar, wenn wir die Antwort beispielsweise 20 Quadrateinheiten hätten, dann wurde offensichtlich irgendwo ein Fehler gemacht - 20 Zellen passen offensichtlich nicht in die betreffende Zahl, höchstens ein Dutzend. Fällt die Antwort negativ aus, wurde die Aufgabe auch falsch gelöst.

Beispiel 2

Berechnen Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Figur xy = 4, x = 2, x= 4 und Achse OCHSE.

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Was tun, wenn sich das krummlinige Trapez befindet unter AchseOCHSE?

Beispiel 3

Berechnen Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Figur j = ex, x= 1 und Koordinatenachsen.

Lösung: Machen wir eine Zeichnung:

Wenn ein krummliniges Trapez komplett unter der Achse OCHSE , dann kann seine Fläche durch die Formel gefunden werden:

In diesem Fall:

Aufmerksamkeit! Die beiden Arten von Aufgaben sollten nicht verwechselt werden:

1) Wenn Sie nur ein bestimmtes Integral ohne geometrische Bedeutung lösen sollen, kann es negativ sein.

In der Praxis befindet sich die Figur meistens sowohl in der oberen als auch in der unteren Halbebene, und daher gehen wir von den einfachsten Schulproblemen zu aussagekräftigeren Beispielen über.

Beispiel 4

Finden Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten ebenen Figur j = 2x – x 2 , j = -x.

Lösung: Zuerst müssen Sie eine Zeichnung machen. Beim Erstellen einer Zeichnung in Flächenproblemen interessieren uns vor allem die Schnittpunkte von Linien. Finde die Schnittpunkte der Parabel j = 2x – x 2 und gerade j = -x. Dies kann auf zwei Arten erfolgen. Der erste Weg ist der analytische. Wir lösen die Gleichung:

Also die untere Integrationsgrenze a= 0, obere Integrationsgrenze b= 3. Es ist oft gewinnbringender und schneller, Leitungen Punkt für Punkt zu konstruieren, während die Grenzen der Integration wie „von selbst“ herausgefunden werden. Trotzdem muss die analytische Methode der Grenzfindung manchmal immer noch angewendet werden, wenn beispielsweise der Graph groß genug ist oder die Thread-Konstruktion die Integrationsgrenzen nicht offenbart hat (sie können gebrochen oder irrational sein). Wir kehren zu unserer Aufgabe zurück: Es ist vernünftiger, zuerst eine Gerade und dann erst eine Parabel zu konstruieren. Machen wir eine Zeichnung:

Wir wiederholen, dass bei der punktweisen Konstruktion die Integrationsgrenzen meistens „automatisch“ ermittelt werden.

Und jetzt die Arbeitsformel:

Wenn im Intervall [ a; b] eine stetige Funktion f(x) größer als oder gleich eine stetige Funktion g(x), dann kann die Fläche der entsprechenden Figur durch die Formel gefunden werden:

Hier muss nicht mehr darüber nachgedacht werden, wo sich die Figur befindet - über der Achse oder unter der Achse, sondern Es ist wichtig, welches Diagramm OBEN ist(relativ zu einem anderen Diagramm), und welches ist UNTEN.

Im betrachteten Beispiel ist ersichtlich, dass auf der Strecke die Parabel oberhalb der Geraden liegt und somit von 2 x – x 2 muss abgezogen werden - x.

Die Fertigstellung der Lösung könnte so aussehen:

Die gewünschte Figur wird durch eine Parabel begrenzt j = 2x – x 2 oben und gerade j = -x von unten.

Auf Abschnitt 2 x – x 2 ≥ -x. Nach der entsprechenden Formel:

Antworten: .

Tatsächlich ist die Schulformel für die Fläche eines krummlinigen Trapezes in der unteren Halbebene (siehe Beispiel Nr. 3) ein Sonderfall der Formel

Da die Achse OCHSE ist durch die Gleichung gegeben j= 0 und der Graph der Funktion g(x) befindet sich unterhalb der Achse OCHSE, dann

Und jetzt ein paar Beispiele für eine eigenständige Lösung

Beispiel 5

Beispiel 6

Finden Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Figur

Bei der Lösung von Problemen zur Berechnung der Fläche mit einem bestimmten Integral passiert manchmal ein lustiger Vorfall. Die Zeichnung wurde korrekt erstellt, die Berechnungen waren korrekt, aber aufgrund von Unachtsamkeit ... fand den Bereich der falschen Figur.

Beispiel 7

Zeichnen wir zuerst:

Die Figur, deren Fläche wir finden müssen, ist blau schattiert.(Beachten Sie genau den Zustand - wie begrenzt die Figur ist!). In der Praxis entscheiden sie jedoch aufgrund von Unaufmerksamkeit häufig, dass sie den grün schattierten Bereich der Figur finden müssen!

Dieses Beispiel ist auch insofern nützlich, als darin die Fläche der Figur mit zwei bestimmten Integralen berechnet wird. Wirklich:

1) Auf dem Segment [-1; 1] über der Achse OCHSE der Graph ist gerade j = x+1;

2) Auf dem Segment über der Achse OCHSE der Graph der Hyperbel befindet j = (2/x).

Es ist ziemlich offensichtlich, dass die Bereiche hinzugefügt werden können (und sollten), daher:

Antworten:

Beispiel 8

Berechnen Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Figur

Stellen wir die Gleichungen in der Form "Schule" vor

und mache die Strichzeichnung:

Aus der Zeichnung ist ersichtlich, dass unsere Obergrenze „gut“ ist: b = 1.

Aber was ist die untere Grenze? Es ist klar, dass dies keine ganze Zahl ist, aber was?

Kann sein, a=(-1/3)? Aber wo ist die Garantie, dass die Zeichnung mit perfekter Genauigkeit gemacht wird, das kann sich durchaus herausstellen a= (-1/4). Was wäre, wenn wir die Grafik überhaupt nicht richtig hinbekommen hätten?

In solchen Fällen muss man zusätzliche Zeit aufwenden und die Integrationsgrenzen analytisch verfeinern.

Finde die Schnittpunkte der Graphen

Dazu lösen wir die Gleichung:

Folglich, a=(-1/3).

Die weitere Lösung ist trivial. Die Hauptsache ist, sich nicht in Substitutionen und Zeichen verwirren zu lassen. Die Berechnungen hier sind nicht die einfachsten. Auf dem Segment

, ,

nach der entsprechenden Formel:

Antworten:

Zum Abschluss der Lektion betrachten wir zwei Aufgaben als schwieriger.

Beispiel 9

Berechnen Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Figur

Lösung: Zeichne diese Figur in die Zeichnung ein.

Um eine Zeichnung Punkt für Punkt zu zeichnen, müssen Sie das Aussehen der Sinuskurve kennen. Im Allgemeinen ist es nützlich, die Graphen aller elementaren Funktionen sowie einige Werte des Sinus zu kennen. Sie sind in der Wertetabelle zu finden trigonometrische Funktionen. In einigen Fällen (z. B. in diesem Fall) ist es erlaubt, eine schematische Zeichnung zu erstellen, auf der Graphen und Integrationsgrenzen grundsätzlich korrekt dargestellt werden müssen.

Hier gibt es keine Probleme mit den Integrationsgrenzen, sie folgen direkt aus der Bedingung:

- „x“ ändert sich von Null auf „pi“. Wir treffen eine weitere Entscheidung:

Auf dem Segment der Graph der Funktion j= Sünde 3 x oberhalb der Achse angeordnet OCHSE, deshalb:

(1) Sie können in der Lektion sehen, wie Sinus und Cosinus in ungerade Potenzen integriert werden Integrale trigonometrischer Funktionen. Wir klemmen einen Sinus ab.

(2) Wir verwenden die grundlegende trigonometrische Identität in der Form

(3) Lassen Sie uns die Variable ändern t= cos x, dann: oberhalb der Achse gelegen , also:

Notiz: Beachten Sie, wie das Integral der Tangente im Würfel genommen wird, hier wird die Konsequenz der grundlegenden trigonometrischen Identität verwendet

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Die Fläche eines krummlinigen Trapezes ist numerisch gleich einem bestimmten Integral

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