Als die Aufgaben zur Lösung eines rechtwinkligen Dreiecks betrachtet wurden, versprach ich, eine Technik zum Auswendiglernen der Definitionen von Sinus und Cosinus vorzustellen. Damit merken Sie immer schnell, welches Bein zur Hypotenuse gehört (neben oder gegenüber). Ich habe mich entschieden, es nicht auf unbestimmte Zeit zu verschieben, das notwendige Material ist unten, bitte lesen Sie es 😉

Tatsache ist, dass ich immer wieder beobachtet habe, wie Schüler in den Klassen 10-11 Schwierigkeiten haben, sich diese Definitionen zu merken. Sie erinnern sich sehr gut, dass sich das Bein auf die Hypotenuse bezieht, aber auf welche- vergessen und verwirrt. Der Preis eines Fehlers ist, wie Sie in der Prüfung wissen, eine verlorene Punktzahl.

Die Informationen, die ich direkt mit Mathematik präsentieren werde, haben nichts zu tun. Es ist mit figurativem Denken und mit den Methoden der verbal-logischen Verbindung verbunden. Das stimmt, ich selbst habe mich ein für alle Mal daran erinnertDefinitionsdaten. Wenn Sie sie dennoch vergessen, dann ist es mit Hilfe der vorgestellten Techniken immer leicht, sich daran zu erinnern.

Ich möchte Sie an die Definitionen von Sinus und Cosinus in einem rechtwinkligen Dreieck erinnern:

Kosinus Der spitze Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des angrenzenden Schenkels zur Hypotenuse:

Sinus Der spitze Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zur Hypotenuse:

Also, welche Assoziationen weckt das Wort Cosinus in Ihnen?

Wahrscheinlich hat jeder seine eigeneErinnere dich an den Link:

So haben Sie sofort einen Ausdruck im Gedächtnis -

«… Verhältnis von benachbartem Bein zu Hypotenuse».

Das Problem mit der Definition des Kosinus ist gelöst.

Wenn Sie sich an die Definition des Sinus in einem rechtwinkligen Dreieck erinnern müssen und sich an die Definition des Kosinus erinnern müssen, können Sie leicht feststellen, dass der Sinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zur Hypotenuse ist. Es gibt schließlich nur zwei Schenkel, wenn der benachbarte Schenkel mit dem Kosinus „besetzt“ ist, dann bleibt nur die gegenüberliegende Seite für den Sinus übrig.

Was ist mit Tangens und Kotangens? Gleiche Verwirrung. Die Schüler wissen, dass dies das Verhältnis der Beine ist, aber das Problem besteht darin, sich zu merken, welches sich auf welches bezieht - entweder entgegengesetzt zu benachbart oder umgekehrt.

Definitionen:

Tangente Ein spitzer Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zum benachbarten:

Kotangens Der spitze Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zum gegenüberliegenden:

Wie kann man sich erinnern? Es gibt zwei Möglichkeiten. Der eine verwendet auch eine verbal-logische Verbindung, der andere - eine mathematische.

Mathematische Methode

Es gibt eine solche Definition - der Tangens eines spitzen Winkels ist das Verhältnis des Sinus eines Winkels zu seinem Kosinus:

* Wenn Sie sich an die Formel erinnern, können Sie immer feststellen, dass die Tangente eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck das Verhältnis des gegenüberliegenden Beins zum benachbarten ist.

Ebenfalls.Der Kotangens eines spitzen Winkels ist das Verhältnis des Kosinus eines Winkels zu seinem Sinus:

So! Wenn Sie sich an diese Formeln erinnern, können Sie immer Folgendes feststellen:

- Die Tangente eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zum benachbarten

- Der Kotangens eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zum gegenüberliegenden.

VERBALOGISCHE METHODE

Über Tangente. Erinnere dich an den Link:

Das heißt, wenn Sie sich an die Definition der Tangente erinnern müssen, können Sie sich anhand dieser logischen Verbindung leicht daran erinnern, was es ist

"... das Verhältnis des gegenüberliegenden Beins zum benachbarten"

Wenn es um Kotangens geht, dann können Sie sich an die Definition von Tangens erinnern und die Definition von Kotangens leicht aussprechen -

"... das Verhältnis des angrenzenden Beins zum gegenüberliegenden"

Es gibt eine interessante Technik zum Auswendiglernen von Tangens und Kotangens auf der Website " Mathematisches Tandem " , sehen.

METHODE UNIVERSAL

Du kannst einfach schleifen.Aber wie die Praxis zeigt, erinnert sich eine Person dank verbal-logischer Verbindungen lange an Informationen und nicht nur an mathematische.

Ich hoffe, das Material war hilfreich für Sie.

Mit freundlichen Grüßen Alexander Krutitskikh

P.S: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie in sozialen Netzwerken über die Website berichten.

Anweisung

Methode 1. Mit dem Satz des Pythagoras. Der Satz sagt: das Quadrat der Hypotenuse ist gleich der Summe Quadrate der Beine. Daraus folgt, dass jede der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks berechnet werden kann, wenn man seine anderen beiden Seiten kennt (Abb. 2).

Methode 2. Daraus folgt, dass der von der Hypotenuse gezogene Median 3 ähnliche Dreiecke untereinander bildet (Abb. 3). In dieser Abbildung sind die Dreiecke ABC, BCD und ACD ähnlich.

Beispiel 6: Verwenden von Einheitskreisen zum Finden von Koordinaten

Zuerst finden wir den Referenzwinkel, der dem gegebenen Winkel entspricht. Dann nehmen wir die Sinus- und Kosinuswerte des Referenzwinkels und geben ihnen Vorzeichen, die den y- und x-Werten des Quadranten entsprechen. Als nächstes finden wir den Kosinus und den Sinus des gegebenen Winkels.

Siebwinkel, Winkeldreieck und Kubikwurzel

Zu den Polygonen, die mit Kompass und Lineal erstellt werden können, gehören:

Hinweis: Der Siebwinkel kann nicht mit Zirkel und Lineal aufgetragen werden. Die Seitenlänge eines Würfels multipliziert mit der Kubikwurzel von 2 ergibt die Seitenlänge eines Würfels mit doppeltem Volumen. Anhand der innovativen Theorie des französischen Mathematikers Évariste Galois lässt sich zeigen, dass für alle drei klassischen Probleme eine Konstruktion mit Kreis und Lineal unmöglich ist.

Die Hypotenuse ist die Seite in einem rechtwinkligen Dreieck, die dem 90-Grad-Winkel gegenüberliegt. Um seine Länge zu berechnen, reicht es aus, die Länge eines der Schenkel und den Wert eines der spitzen Winkel des Dreiecks zu kennen.

Denken Sie daran: Die Drei-Komponenten-Winkel- und Kubikwurzelkonstruktion ist mit Zirkel und Lineal nicht möglich.

Andererseits lässt sich die Lösung der Gleichung dritten Grades nach der Cardano-Formel darstellen, indem man den Winkel und die Kubikwurzel dividiert. In Zukunft bauen wir mit einem Kreis und einem Lineal einen Winkel. Nach dem Dreieck dieses Winkels und der Bestimmung der Kubikwurzel kann jedoch die Fertigstellung der Konstruktion des Siebquadrats mit Hilfe von Zirkel und Lineal erfolgen.

Bau einer Gitterdecke nach dieser Berechnung

Die algebraische Formulierung des Konstruktionsproblems führt zu einer Gleichung, deren strukturelle Analyse zusätzliche Informationen über den Aufbau der ternären Struktur liefern wird. Dabei wird das Eins-zu-Eins-Verhältnis eines Winkels zu seinem Kosinus verwendet: Ist der Betrag des Winkels bekannt, lässt sich die Länge des Kosinus des Winkels eindeutig auf dem Einheitskreis konstruieren und umgekehrt.

Anweisung

Bei einem bekannten Bein und einem spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks kann die Größe der Hypotenuse gleich dem Verhältnis des Beins zum Kosinus / Sinus dieses Winkels sein, wenn dieser Winkel ihm gegenüber / benachbart ist:

h = C1(oder C2)/sinα;

h = С1(oder С2)/cosα.

Beispiel: Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit Hypotenuse AB und rechtem Winkel C. Winkel B sei 60 Grad und Winkel A 30 Grad. Die Schenkellänge BC sei 8 cm. Ermittle die Länge der Hypotenuse AB. Dazu können Sie eine der oben vorgeschlagenen Methoden verwenden:

Diese Eins-zu-Eins-Aufgabe ermöglicht es Ihnen, von der Definition des Winkels zur Definition des Kosinus des Winkels zu gehen. Im Folgenden bezeichnet 3 φ den zu teilenden Winkel. Somit ist φ der Winkel, dessen Wert für gegebene 3 φ bestimmt werden muss. Beginnend mit aus der Trigonometrie bekannten Verbindungen.

Folgt unter einem gegebenen Winkel 3 φ. Eine algebraische Betrachtung der Lösbarkeit einer dreidimensionalen Gleichung führt direkt auf die Frage nach der Möglichkeit der Konstruktion von Lösungen und folglich auf die Frage nach der Möglichkeit oder Unmöglichkeit eines konstruktiven Winkeldreiecks eines gegebenen Winkels.

AB=BC/cos60=8 cm.

AB = BC/sin30 = 8 cm.

Die Hypotenuse ist die Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüberliegt. Es ist die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks. Sie können es mit dem Satz des Pythagoras oder mit den Formeln trigonometrischer Funktionen berechnen.

Der Wert des Austrittswinkels hat einen großen Einfluss auf die Verknüpfungsmöglichkeit des dritten Winkels, da dieser als Absolutbetrag maßgeblich die Art der Lösungen in der dreidimensionalen Gleichung bestimmt. Wenn eine Triangulationsgleichung mindestens eine reelle Lösung hat, die durch rationale Operationen oder ein Quadratwurzelmuster für einen gegebenen Anfangswinkel erhalten werden kann, ist diese Lösung konstruktiv.

Breidenbach formulierte als Kriterium, dass der Drei-Sekunden-Winkel nur in einer rationalen Lösung einer dreiteiligen Gleichung interpretiert werden kann. Steht eine solche Lösung nicht zur Verfügung, ist das Problem der Dreiteiligkeit mit Zirkel und Lineal unvereinbar. Die Clusteranalyse ist eine allgemeine Technik zum Zusammenstellen kleiner Gruppen aus einem großen Datensatz. Ähnlich wie die Diskriminanzanalyse wird auch die Clusteranalyse verwendet, um Beobachtungen in Gruppen einzuteilen. Andererseits erfordert die diskriminierende Analyse die Kenntnis der Gruppenzugehörigkeiten in den Fällen, aus denen die Klassifikationsregel abgeleitet wird.

Anweisung

Die Schenkel heißen die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks neben einem rechten Winkel. In der Figur sind die Beine mit AB und BC bezeichnet. Gegeben seien die Längen beider Beine. Lassen Sie uns sie als |AB| bezeichnen und |BC|. Um die Länge der Hypotenuse |AC| zu finden, verwenden wir den Satz des Pythagoras. Nach diesem Satz ist die Summe der Quadrate der Schenkel gleich dem Quadrat der Hypotenuse, d.h. in der Notation unserer Zeichnung |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2. Aus der Formel erhalten wir, dass die Länge der Hypotenuse AC als |AC| gefunden wird = √(|AB|^2 + |BC|^2) .

Die Clusteranalyse ist eine primitivere Methode, da sie keine Annahmen über die Anzahl der Gruppen oder die Gruppenmitgliedschaft macht. Die Klassifizierungs-Cluster-Analyse bietet eine Möglichkeit, potenzielle Beziehungen zu entdecken und eine systematische Struktur über eine große Anzahl von Variablen und Beobachtungen hinweg zu erstellen. Die hierarchische Clusteranalyse ist die wichtigste statistische Methode zum Auffinden relativ homogener Fallcluster basierend auf gemessenen Merkmalen. Es beginnt mit jedem Fall als separater Cluster.

Die Cluster werden dann nacheinander zusammengeführt, wobei die Anzahl der Cluster mit jedem Schritt abnimmt, bis nur noch ein Cluster übrig bleibt. Das Clustering-Verfahren verwendet Unterschiede zwischen Objekten, um Cluster zu bilden. Die hierarchische Clusteranalyse eignet sich am besten für kleine Stichproben.

Betrachten Sie ein Beispiel. Seien die Beinlängen |AB| = 13, |BC| = 21. Nach dem Satz des Pythagoras erhalten wir, dass |AC|^2 = 13^2 + 21^2 = 169 + 441 = 610. ab Nummer 610: |AC| = √610. Anhand der Tabelle der Quadrate ganzer Zahlen finden wir heraus, dass die Zahl 610 kein perfektes Quadrat einer ganzen Zahl ist. Um den endgültigen Wert der Länge der Hypotenuse zu erhalten, versuchen wir, ein ganzes Quadrat unter dem Zeichen der Wurzel herauszuziehen. Dazu zerlegen wir die Zahl 610 in Faktoren. 610 \u003d 2 * 5 * 61. Gemäß der Tabelle der Primzahlen sehen wir, dass 61 eine Primzahl ist. Daher ist eine weitere Reduzierung der Zahl √610 unmöglich. Wir erhalten die endgültige Antwort |AC| = √610.
Wenn das Quadrat der Hypotenuse zum Beispiel 675 wäre, dann wäre √675 = √(3 * 25 * 9) = 5 * 3 * √3 = 15 * √3. Wenn ein solcher Cast möglich ist, führen Sie eine Rückwärtsprüfung durch - quadrieren Sie das Ergebnis und vergleichen Sie es mit dem ursprünglichen Wert.

Die hierarchische Clusteranalyse ist nur eine Möglichkeit, die Bildung homogener Variablengruppen zu beobachten. Es gibt keine bestimmte Möglichkeit, die Anzahl der Cluster für Ihre Analyse festzulegen. Möglicherweise müssen Sie sich das Dendrogramm sowie die Eigenschaften der Cluster ansehen und dann die Anzahl schrittweise anpassen, um eine gute Clusterlösung zu erhalten.

Wenn Variablen auf unterschiedlichen Skalen gemessen werden, haben Sie drei Möglichkeiten, die Variablen zu standardisieren. Dadurch tragen alle Variablen mit annähernd gleichen Anteilen zur Abstandsmessung bei, auch wenn dabei eventuell Informationen über die Varianz der Variablen verloren gehen.

Teilen Sie uns eines der Beine und den angrenzenden Winkel mit. Sei es zur Eindeutigkeit das Bein |AB| und Winkel α. Dann können wir die Formel für die trigonometrische Funktion Kosinus verwenden - der Kosinus des Winkels ist gleich dem Verhältnis des benachbarten Schenkels zur Hypotenuse. Diese. in unserer Schreibweise cos α = |AB| / |AC|. Daraus ergibt sich die Länge der Hypotenuse |AC| = |AB| / cosα.
Wenn wir das Bein |BC| kennen und Winkel α, dann verwenden wir die Formel zur Berechnung des Sinus des Winkels - der Sinus des Winkels ist gleich dem Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zur Hypotenuse: sin α = |BC| / |AC|. Wir erhalten, dass die Länge der Hypotenuse als |AC| gefunden wird = |BC| / cosα.

Euklidische Distanz: Die euklidische Distanz ist die gebräuchlichste Messmethode. Quadratischer euklidischer Abstand: Der quadrierte euklidische Abstand lenkt die Aufmerksamkeit auf Objekte, die weiter voneinander entfernt sind. Stadtblockdistanz: Sowohl Stadtblöcke als auch die euklidische Distanz sind Sonderfälle der Minkowski-Metrik. Während die euklidische Entfernung der Länge des kürzesten Weges zwischen zwei Punkten entspricht, ist die Entfernung eines Stadtblocks die Summe der Entfernungen entlang jeder Dimension. Korrelationsabstand nach Pearson Die Differenz zwischen 1 und dem Kosinuskoeffizienten zweier Beobachtungen. Der Kosinuskoeffizient ist der Kosinus des Winkels zwischen den beiden Vektoren. Jaccard-Abstand Differenz zwischen 1 und dem Jacquard-Koeffizienten für zwei Beobachtungen Bei binären Daten ist der Jaccard-Koeffizient gleich dem Verhältnis des Überlappungsbetrags und der Summe der beiden Beobachtungen. Nächster Nachbar Bei dieser Methode wird davon ausgegangen, dass die Entfernung zwischen zwei Clustern der Entfernung zwischen Features in ihrer nächsten Nachbarschaft entspricht. Bester Nachbar Bei diesem Verfahren entspricht der Abstand zwischen zwei Clustern dem maximalen Abstand zwischen zwei Objekten in unterschiedlichen Clustern. Group Average: Bei dieser Methode entspricht der Abstand zwischen zwei Clustern dem durchschnittlichen Abstand zwischen allen Objektpaaren in verschiedenen Clustern. Diese Methode wird im Allgemeinen empfohlen, da sie eine höhere Menge an Informationen enthält. Median Diese Methode ist identisch mit der Schwerpunktmethode, außer dass sie ungewichtet ist. Dann wird für jeden Fall der quadratische euklidische Abstand zum Clustermittel berechnet. Der zusammenzuführende Cluster ist derjenige, der die Summe mindestens erhöht. Das heißt, dieses Verfahren minimiert die Zunahme der Gesamtsumme der quadrierten Abstände innerhalb von Clustern. Diese Methode neigt dazu, kleinere Cluster zu erzeugen.

• Dies ist eine geometrische Distanz im mehrdimensionalen Raum.
• Es ist nur für stetige Variablen geeignet.
• Kosinusabstand Der Kosinus des Winkels zwischen zwei Wertevektoren.
• Diese Methode wird beim Zeichnen gezeichneter Cluster empfohlen.
• Wenn die gezogenen Cluster eindeutige "Klumpen" bilden, ist das Verfahren geeignet.
• Ein Clusterschwerpunkt ist ein Mittelpunkt in einem mehrdimensionalen Raum.
• Es sollte nicht verwendet werden, wenn die Clustergrößen sehr unterschiedlich sind.
• Für jeden Cluster werden Ward-Mittelwerte für alle Variablen berechnet.
• Diese Abstände werden für alle Fälle summiert.

Die Idee besteht darin, den Abstand zwischen den Daten und dem entsprechenden Cluster von Clustern zu minimieren.

Betrachten Sie zur Verdeutlichung ein Beispiel. Sei die Beinlänge |AB| = 15. Und der Winkel α = 60°. Wir erhalten |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
Überlegen Sie, wie Sie Ihr Ergebnis mit dem Satz des Pythagoras überprüfen können. Dazu müssen wir die Länge des zweiten Schenkels |BC| berechnen. Mit der Formel für den Tangens des Winkels tg α = |BC| / |AC| erhalten wir |BC| = |AB| * tg α = 15 * tg 60° = 15 * √3. Als nächstes wenden wir den Satz des Pythagoras an, wir erhalten 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Die Überprüfung ist abgeschlossen.

Die Sinusfunktion wird aus dem Konzept des Sinus definiert, da der Winkel immer im Bogenmaß ausgedrückt werden muss. Wir können mehrere Eigenschaften der Sinusfunktion beobachten.

• Ihre Domain enthält alle echten.
• In diesem Fall spricht man von einer periodischen Funktion mit der Periode 2π.

Die Kosinusfunktion wird aus dem Konzept des Kosinus definiert, da der Winkel immer im Bogenmaß ausgedrückt werden muss.

Wir können mehrere Eigenschaften der Kosinusfunktion beobachten. Dies ist also eine Periode von 2π. . Die Einschränkung hebt die Allgemeingültigkeit der Formel nicht auf, da wir die Winkel des zweiten, dritten und vierten Quadranten immer auf den ersten reduzieren können. Eine Übung. - Berechnen Sie den Sinus von 15º ohne Taschenrechner.

Überprüfen Sie nach der Berechnung der Hypotenuse, ob der resultierende Wert den Satz des Pythagoras erfüllt.

Quellen:

• Tabelle der Primzahlen von 1 bis 10000

Beine Nennen Sie die beiden kurzen Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, die seine Spitze bilden, deren Wert 90 ° beträgt. Die dritte Seite in einem solchen Dreieck heißt Hypotenuse. Alle diese Seiten und Winkel des Dreiecks sind durch bestimmte Beziehungen miteinander verbunden, die es Ihnen ermöglichen, die Beinlänge zu berechnen, wenn mehrere andere Parameter bekannt sind.

Kosinus der Summe zweier Winkel

Kosinus der Differenz zweier Winkel

Um die Formel zu erhalten, können wir genauso vorgehen wie im vorherigen Abschnitt, aber wir werden eine weitere sehr einfache Demonstration sehen, die auf dem Satz des Pythagoras basiert. Vereinfachung und Änderung des Vorzeichens haben wir Tangentensumme und Differenz zweier Winkel.

Eine Übung. Im heutigen Artikel betrachten wir eine sehr spezifische Teilmenge: trigonometrische Funktionen. Um alles genießen zu können, was Mathematik zu bieten hat, müssen wir es importieren. Wir werden im nächsten Artikel andere Importstile sehen, jeder mit seinen eigenen Vor- und Nachteilen. Aber mit dieser einfachen Anweisung haben Sie bereits Zugriff auf den gesamten Namensraum des mathematischen Moduls, der mit Dutzenden von Funktionen gefüllt ist, einschließlich derjenigen, mit denen wir uns heute befassen werden.

Anweisung

Verwenden Sie den Satz des Pythagoras, um die Länge des Schenkels (A) zu berechnen, wenn Sie die Länge der beiden anderen Seiten (B und C) eines rechtwinkligen Dreiecks kennen. Dieser Satz besagt, dass die Summe der Beinlängen im Quadrat gleich dem Quadrat der Hypotenuse ist. Daraus folgt, dass die Länge jedes Schenkels gleich der Quadratwurzel der Differenz zwischen den Quadraten der Längen der Hypotenuse und des zweiten Schenkels ist: A=√(C²-B²).

Grundsätzlich müssen wir den Sinus, Cosinus und Tangens eines Winkels sowie seine Umkehrfunktionen berechnen. Außerdem möchten wir in der Lage sein, sowohl in Bogenmaß als auch in Grad zu arbeiten, damit wir auch die entsprechenden Umrechnungsfunktionen verwenden können.

Sie sollten bedenken, dass diese Funktionen erwarten, dass das Argument in Bogenmaß und nicht in Grad angegeben wird. Zu diesem Zweck wird es Sie interessieren zu wissen, dass Sie die folgende Konstante haben. Daher können wir diesen Ausdruck anstelle eines numerischen Werts verwenden.

Es gibt keine direkte Funktion für Cosecans, Secans und Cotangens, da dies nicht notwendig ist, da sie einfach die Umkehrung von Sinus, Cosinus und Tangens sind. Der zurückgegebene Winkel wird wie zuvor auch im Bogenmaß angegeben. Eine weitere nützliche Funktion der Mathematik ermöglicht es uns, den Wert der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks in Anbetracht seiner Beine zu kennen, wodurch wir die Quadratwurzel der Summe ihrer Quadrate berechnen können.

Verwenden Sie die Definition der direkten trigonometrischen Funktion "Sinus" für einen spitzen Winkel, wenn Sie den Wert des Winkels (α) gegenüber dem berechneten Bein und die Länge der Hypotenuse (C) kennen. Diese Definition besagt, dass der Sinus dieses bekannten Winkels gleich dem Verhältnis der Länge des gewünschten Schenkels zur Länge der Hypotenuse ist. Das bedeutet, dass die Länge des gewünschten Schenkels gleich dem Produkt aus der Länge der Hypotenuse und dem Sinus des bekannten Winkels ist: A=C∗sin(α). Für dieselben bekannten Werte können Sie die Definition der Kosekansfunktion verwenden und die gewünschte Länge berechnen, indem Sie die Länge der Hypotenuse durch den Kosekans des bekannten Winkels A=C/Cosec(α) dividieren.

Verwenden Sie die Definition der direkten trigonometrischen Funktion Kosinus, wenn neben der Länge der Hypotenuse (C) auch der Wert des spitzen Winkels (β) neben dem gewünschten Schenkel bekannt ist. Der Kosinus dieses Winkels ist definiert als das Verhältnis der Längen des gewünschten Beins und der Hypotenuse, und daraus können wir schließen, dass die Länge des Beins gleich dem Produkt aus der Länge der Hypotenuse und dem Kosinus des Bekannten ist Winkel: A=C∗cos(β). Sie können die Definition der Sekantenfunktion verwenden und den gewünschten Wert berechnen, indem Sie die Länge der Hypotenuse durch die Sekante des bekannten Winkels A=C/sec(β) teilen.

Leiten Sie die benötigte Formel aus einer ähnlichen Definition für die Ableitung der trigonometrischen Funktion Tangens ab, wenn neben dem Wert des spitzen Winkels (α) dem gewünschten Schenkel (A) die Länge des zweiten Schenkels (B) gegenüberliegt bekannt. Der Tangens des Winkels gegenüber dem gewünschten Schenkel ist das Verhältnis der Länge dieses Schenkels zur Länge des zweiten Schenkels. Das bedeutet, dass der gewünschte Wert gleich dem Produkt aus der Länge des bekannten Schenkels und dem Tangens des bekannten Winkels ist: A=B∗tg(α). Aus denselben bekannten Größen kann eine andere Formel unter Verwendung der Definition der Kotangensfunktion abgeleitet werden. In diesem Fall muss zur Berechnung der Beinlänge das Verhältnis der Länge des bekannten Beins zum Kotangens des bekannten Winkels ermittelt werden: A=B/ctg(α).

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Das Wort „katet“ kam aus dem Griechischen ins Russische. In exakter Übersetzung bedeutet es ein Lot, also senkrecht zur Erdoberfläche. In der Mathematik werden Beine als Seiten bezeichnet, die einen rechten Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks bilden. Die diesem Winkel gegenüberliegende Seite wird Hypotenuse genannt. Der Begriff „Bein“ wird auch in der Architektur und Schweißtechnik verwendet.

Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck ACB. Beschriften Sie seine Beine a und b und beschriften Sie seine Hypotenuse c. Alle Seiten und Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks sind durch bestimmte Beziehungen verbunden. Das Verhältnis des einem der spitzen Winkel gegenüberliegenden Schenkels zur Hypotenuse wird als Sinus dieses Winkels bezeichnet. In diesem Dreieck ist sinCAB=a/c. Der Kosinus ist das Verhältnis zur Hypotenuse des benachbarten Schenkels, d. h. cosCAB=b/c. Die inversen Beziehungen heißen Sekante und Kosekan.

Die Sekante dieses Winkels erhält man, indem man die Hypotenuse durch den angrenzenden Schenkel dividiert, also secCAB=c/b. Es stellt sich der Kehrwert des Kosinus heraus, das heißt, er kann durch die Formel secCAB=1/cosSAB ausgedrückt werden.
Der Kosekans ist gleich dem Quotienten aus der Hypotenuse durch das gegenüberliegende Bein und ist der Kehrwert des Sinus. Er kann mit der Formel cosecCAB=1/sinCAB berechnet werden

Beide Schenkel sind durch Tangente und Kotangens verbunden. BEI dieser Fall Die Tangente ist das Verhältnis von Seite a zu Seite b, dh das gegenüberliegende Bein zum benachbarten. Dieses Verhältnis kann durch die Formel tgCAB=a/b ausgedrückt werden. Dementsprechend ist das umgekehrte Verhältnis der Kotangens: ctgCAB=b/a.

Das Verhältnis zwischen den Größen der Hypotenuse und beiden Beinen wurde vom antiken griechischen Mathematiker Pythagoras bestimmt. Das nach ihm benannte Theorem wird immer noch von Menschen verwendet. Es besagt, dass das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Beine ist, dh c2 \u003d a2 + b2. Dementsprechend ist jedes Bein gleich der Quadratwurzel der Differenz zwischen den Quadraten der Hypotenuse und dem anderen Bein. Diese Formel kann als b=√(c2-a2) geschrieben werden.

Auch die Beinlänge lässt sich durch die Ihnen bekannten Beziehungen ausdrücken. Nach den Sätzen von Sinus und Cosinus ist das Bein gleich dem Produkt der Hypotenuse und einer dieser Funktionen. Es kann auch in Form von Tangens oder Kotangens ausgedrückt werden. Das Bein a kann beispielsweise durch die Formel a \u003d b * tan CAB ermittelt werden. Genauso wird je nach gegebenem Tangens bzw. Kotangens der zweite Schenkel bestimmt.

In der Architektur wird auch der Begriff „Bein“ verwendet. Es wird auf ein ionisches Kapitell angewendet und bezeichnet ein Lot durch die Mitte seines Rückens. Das heißt, in diesem Fall bezeichnet dieser Begriff eine Senkrechte zu einer gegebenen Linie.

In der Schweißtechnik gibt es den Begriff „Beinkehlnaht“. Wie in anderen Fällen ist dies die kürzeste Entfernung. Hier sprechen wir über den Spalt zwischen einem der zu schweißenden Teile und dem Rand der Naht, der sich auf der Oberfläche des anderen Teils befindet.

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Quellen:

• was ist das bein und die hypotenuse

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beachten Sie

Bei der Berechnung der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks kann die Kenntnis seiner Merkmale eine Rolle spielen:
1) Wenn das Bein eines rechten Winkels einem Winkel von 30 Grad gegenüberliegt, dann ist es gleich der halben Hypotenuse;
2) Die Hypotenuse ist immer länger als jedes der Beine;
3) Wird um ein rechtwinkliges Dreieck ein Kreis umschrieben, so muss sein Mittelpunkt in der Mitte der Hypotenuse liegen.

Als die Aufgaben zur Lösung eines rechtwinkligen Dreiecks betrachtet wurden, versprach ich, eine Technik zum Auswendiglernen der Definitionen von Sinus und Cosinus vorzustellen. Damit merken Sie immer schnell, welches Bein zur Hypotenuse gehört (neben oder gegenüber). Ich habe mich entschieden, es nicht auf unbestimmte Zeit zu verschieben, das notwendige Material ist unten, bitte lesen Sie es 😉

Tatsache ist, dass ich immer wieder beobachtet habe, wie Schüler in den Klassen 10-11 Schwierigkeiten haben, sich diese Definitionen zu merken. Sie erinnern sich sehr gut, dass sich das Bein auf die Hypotenuse bezieht, aber welche sie vergessen und verwirrt. Der Preis eines Fehlers ist, wie Sie in der Prüfung wissen, eine verlorene Punktzahl.

Die Informationen, die ich direkt mit Mathematik präsentieren werde, haben nichts zu tun. Es ist mit figurativem Denken und mit den Methoden der verbal-logischen Verbindung verbunden. Das stimmt, ich selbst habe mich ein für alle Mal daran erinnert Definitionsdaten. Wenn Sie sie dennoch vergessen, dann ist es mit Hilfe der vorgestellten Techniken immer leicht, sich daran zu erinnern.

Ich möchte Sie an die Definitionen von Sinus und Cosinus in einem rechtwinkligen Dreieck erinnern:

Kosinus Der spitze Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des angrenzenden Schenkels zur Hypotenuse:

Sinus Der spitze Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zur Hypotenuse:

Also, welche Assoziationen weckt das Wort Cosinus in Ihnen?

Wahrscheinlich hat jeder seine eigene Erinnere dich an den Link:

So haben Sie sofort einen Ausdruck im Gedächtnis -

«… Verhältnis von benachbartem Bein zu Hypotenuse».

Das Problem mit der Definition des Kosinus ist gelöst.

Wenn Sie sich an die Definition des Sinus in einem rechtwinkligen Dreieck erinnern müssen und sich an die Definition des Kosinus erinnern müssen, können Sie leicht feststellen, dass der Sinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zur Hypotenuse ist. Es gibt schließlich nur zwei Schenkel, wenn der benachbarte Schenkel mit dem Kosinus „besetzt“ ist, dann bleibt nur die gegenüberliegende Seite für den Sinus übrig.

Was ist mit Tangens und Kotangens? Gleiche Verwirrung. Die Schüler wissen, dass dies das Verhältnis der Beine ist, aber das Problem besteht darin, sich zu merken, welches sich auf welches bezieht - entweder entgegengesetzt zu benachbart oder umgekehrt.

Definitionen:

Tangente Ein spitzer Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zum benachbarten:

Kotangens Der spitze Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zum gegenüberliegenden:

Wie kann man sich erinnern? Es gibt zwei Möglichkeiten. Der eine verwendet auch eine verbal-logische Verbindung, der andere - eine mathematische.

Mathematische Methode

Es gibt eine solche Definition - der Tangens eines spitzen Winkels ist das Verhältnis des Sinus eines Winkels zu seinem Kosinus:

* Wenn Sie sich an die Formel erinnern, können Sie immer feststellen, dass die Tangente eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck das Verhältnis des gegenüberliegenden Beins zum benachbarten ist.

Ebenfalls. Der Kotangens eines spitzen Winkels ist das Verhältnis des Kosinus eines Winkels zu seinem Sinus:

So! Wenn Sie sich an diese Formeln erinnern, können Sie immer Folgendes feststellen:

Die Tangente eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zum benachbarten

Der Kotangens eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zum gegenüberliegenden Schenkel.

VERBALOGISCHE METHODE

Über Tangente. Erinnere dich an den Link:

Das heißt, wenn Sie sich an die Definition der Tangente erinnern müssen, können Sie sich anhand dieser logischen Verbindung leicht daran erinnern, was es ist

"... das Verhältnis des gegenüberliegenden Beins zum benachbarten"

Wenn es um Kotangens geht, dann können Sie sich an die Definition von Tangens erinnern und die Definition von Kotangens leicht aussprechen -

"... das Verhältnis des angrenzenden Beins zum gegenüberliegenden"

Es gibt eine interessante Technik zum Auswendiglernen von Tangens und Kotangens auf der Website " Mathematisches Tandem " , sehen.

METHODE UNIVERSAL

Du kannst einfach schleifen. Aber wie die Praxis zeigt, erinnert sich eine Person dank verbal-logischer Verbindungen lange an Informationen und nicht nur an mathematische.

Ich hoffe, das Material war hilfreich für Sie.

Mit freundlichen Grüßen Alexander Krutitskikh

P.S: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie in sozialen Netzwerken über die Website berichten.

Durchschnittsniveau

Rechtwinkliges Dreieck. Vollständige illustrierte Anleitung (2019)

RECHTWINKLIGES DREIECK. ERSTE EBENE.

Bei Problemen ist ein rechter Winkel überhaupt nicht erforderlich - der untere linke, also müssen Sie lernen, wie man ein rechtwinkliges Dreieck in dieser Form erkennt,

und in solchen

und in solchen

Was ist gut an einem rechtwinkligen Dreieck? Naja... zunächst einmal gibt es besonders schöne Namen für seine Partys.

Achtung Zeichnung!

Denken Sie daran und verwechseln Sie nicht: Beine - zwei und die Hypotenuse - nur eine(die einzige, einzigartige und längste)!

Nun, wir haben die Namen besprochen, jetzt das Wichtigste: der Satz des Pythagoras.

Satz des Pythagoras.

Dieser Satz ist der Schlüssel zur Lösung vieler Probleme mit einem rechtwinkligen Dreieck. Es wurde von Pythagoras in völlig unvordenklichen Zeiten bewiesen und seitdem hat es denen, die es kennen, viele Vorteile gebracht. Und das Beste an ihr ist, dass sie einfach ist.

So, Satz des Pythagoras:

Erinnerst du dich an den Witz: „Pythagoräische Hosen sind auf allen Seiten gleich!“?

Lassen Sie uns diese sehr pythagoreischen Hosen zeichnen und sie uns ansehen.

Sieht es wirklich aus wie Shorts? Nun, auf welchen Seiten und wo sind sie gleich? Warum und woher kam der Witz? Und dieser Witz hängt genau mit dem Satz des Pythagoras zusammen, genauer gesagt mit der Art und Weise, wie Pythagoras selbst seinen Satz formuliert hat. Und er formulierte es so:

"Summe Fläche von Quadraten, auf den Beinen gebaut, ist gleich quadratische Fläche auf der Hypotenuse aufgebaut.

Klingt das nicht etwas anders, oder? Als Pythagoras die Aussage seines Satzes zeichnete, ergab sich genau ein solches Bild.

In diesem Bild ist die Summe der Flächen der kleinen Quadrate gleich der Fläche des großen Quadrats. Und damit sich die Kinder besser daran erinnern, dass die Summe der Quadrate der Beine gleich dem Quadrat der Hypotenuse ist, hat jemand Witziges diesen Witz über die pythagoreische Hose erfunden.

Warum formulieren wir jetzt den Satz des Pythagoras

Hat Pythagoras gelitten und über Quadrate gesprochen?

Sehen Sie, in der Antike gab es keine ... Algebra! Es gab keine Anzeichen und so weiter. Es gab keine Inschriften. Können Sie sich vorstellen, wie schrecklich es für die armen alten Studenten war, alles mit Worten auswendig zu lernen??! Und wir können froh sein, dass wir eine einfache Formulierung des Satzes des Pythagoras haben. Wiederholen wir es noch einmal, um uns besser daran zu erinnern:

Jetzt sollte es einfach sein:

Das Quadrat der Hypotenuse ist gleich der Summe der Quadrate der Schenkel.

Nun, der wichtigste Satz über ein rechtwinkliges Dreieck wurde besprochen. Wenn Sie daran interessiert sind, wie es bewiesen wird, lesen Sie die nächsten Ebenen der Theorie, und jetzt gehen wir weiter ... in den dunklen Wald ... der Trigonometrie! Zu den schrecklichen Wörtern Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens.

Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens in einem rechtwinkligen Dreieck.

Eigentlich ist alles gar nicht so beängstigend. Natürlich sollte im Artikel die "echte" Definition von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens betrachtet werden. Aber das willst du wirklich nicht, oder? Wir können uns freuen: Um Probleme mit einem rechtwinkligen Dreieck zu lösen, können Sie einfach die folgenden einfachen Dinge eingeben:

Warum dreht sich alles um die Ecke? Wo ist die Ecke? Um dies zu verstehen, müssen Sie wissen, wie die Aussagen 1 - 4 in Worten geschrieben werden. Schau, verstehe und erinnere dich!

1.
Das hört sich eigentlich so an:

Was ist mit dem Winkel? Gibt es ein Bein, das der Ecke gegenüberliegt, dh das gegenüberliegende Bein (für die Ecke)? Natürlich gibt es! Das ist ein Kathet!

Aber was ist mit dem Winkel? Schau genau. Welches Bein grenzt an die Ecke? Natürlich die Katze. Für den Winkel ist das Bein also benachbart und

Und jetzt, Achtung! Schau, was wir haben:

Sehen Sie, wie großartig es ist:

Kommen wir nun zu Tangens und Kotangens.

Wie soll man das jetzt in Worte fassen? Was ist das Bein in Bezug auf die Ecke? Gegenüber natürlich - es "liegt" gegenüber der Ecke. Und der Kathet? Angrenzend an die Ecke. Was haben wir also bekommen?

Sehen Sie, wie Zähler und Nenner vertauscht sind?

Und jetzt nochmal die Ecken und den Austausch gemacht:

Zusammenfassung

Schreiben wir kurz auf, was wir gelernt haben.

Satz des Pythagoras:

Der Hauptsatz des rechtwinkligen Dreiecks ist der Satz des Pythagoras.

Satz des Pythagoras

Übrigens, erinnerst du dich gut, was die Beine und die Hypotenuse sind? Wenn nicht, dann schauen Sie sich das Bild an - frischen Sie Ihr Wissen auf

Es ist möglich, dass Sie den Satz des Pythagoras schon oft verwendet haben, aber haben Sie sich jemals gefragt, warum ein solcher Satz wahr ist? Wie würden Sie es beweisen? Machen wir es wie die alten Griechen. Lassen Sie uns ein Quadrat mit einer Seite zeichnen.

Sie sehen, wie geschickt wir seine Seiten in Längensegmente unterteilt haben und!

Verbinden wir nun die markierten Punkte

Hier haben wir jedoch etwas anderes bemerkt, aber Sie sehen sich das Bild selbst an und denken darüber nach, warum.

Welchen Flächeninhalt hat das größere Quadrat? Richtig, . Was ist mit dem kleineren Bereich? Na sicher, . Die Gesamtfläche der vier Ecken bleibt erhalten. Stellen Sie sich vor, wir hätten zwei davon genommen und mit Hypotenusen aneinander gelehnt. Was ist passiert? Zwei Rechtecke. Der Bereich der "Stecklinge" ist also gleich.

Lassen Sie uns jetzt alles zusammenfügen.

Lassen Sie uns transformieren:

Also besuchten wir Pythagoras – wir bewiesen seinen Satz auf uralte Weise.

Rechtwinkliges Dreieck und Trigonometrie

Für ein rechtwinkliges Dreieck gelten die folgenden Beziehungen:

Der Sinus eines spitzen Winkels ist gleich dem Verhältnis des gegenüberliegenden Beins zur Hypotenuse

Der Kosinus eines spitzen Winkels ist gleich dem Verhältnis des angrenzenden Schenkels zur Hypotenuse.

Die Tangente eines spitzen Winkels ist gleich dem Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zum benachbarten Schenkel.

Der Kotangens eines spitzen Winkels ist gleich dem Verhältnis des benachbarten Schenkels zum gegenüberliegenden Schenkel.

Und das alles noch einmal in Form eines Tellers:

Es ist sehr bequem!

Zeichen der Gleichheit rechtwinkliger Dreiecke

I. Auf zwei Beinen

II. Nach Bein und Hypotenuse

III. Durch Hypotenuse und spitzen Winkel

IV. Entlang des Beines und des spitzen Winkels

a)

b)

Aufmerksamkeit! Hier ist es sehr wichtig, dass die Beine "korrespondieren". Wenn es zum Beispiel so geht:

DANN SIND DIE DREIECKE NICHT GLEICH, obwohl sie einen identischen spitzen Winkel haben.

Müssen In beiden Dreiecken war das Bein benachbart oder in beiden - gegenüber.

Haben Sie bemerkt, wie sich die Gleichheitszeichen von rechtwinkligen Dreiecken von den üblichen Gleichheitszeichen von Dreiecken unterscheiden? Schauen Sie sich das Thema an und achten Sie darauf, dass Sie für die Gleichheit „gewöhnlicher“ Dreiecke die Gleichheit ihrer drei Elemente benötigen: zwei Seiten und einen Winkel dazwischen, zwei Winkel und eine Seite dazwischen oder drei Seiten. Aber für die Gleichheit rechtwinkliger Dreiecke reichen nur zwei entsprechende Elemente aus. Es ist großartig, oder?

Ungefähr die gleiche Situation mit Zeichen der Ähnlichkeit von rechtwinkligen Dreiecken.

Zeichen der Ähnlichkeit von rechtwinkligen Dreiecken

I. Akute Ecke

II. Auf zwei Beinen

III. Nach Bein und Hypotenuse

Median in einem rechtwinkligen Dreieck

Wieso ist es so?

Betrachten Sie ein ganzes Rechteck anstelle eines rechtwinkligen Dreiecks.

Zeichnen wir eine Diagonale und betrachten einen Punkt - den Schnittpunkt der Diagonalen. Was weißt du über die Diagonalen eines Rechtecks?

Und was folgt daraus?

Das ist also passiert

1. - Median:

Merken Sie sich diese Tatsache! Hilft sehr!

Noch überraschender ist, dass auch die Umkehrung gilt.

Was nützt die Tatsache, dass der zur Hypotenuse gezogene Median gleich der Hälfte der Hypotenuse ist? Schauen wir uns das Bild an

Schau genau. Wir haben: , das heißt, die Abstände vom Punkt zu allen drei Eckpunkten des Dreiecks erwiesen sich als gleich. Aber in einem Dreieck gibt es nur einen Punkt, von dem aus etwa alle drei Ecken des Dreiecks gleich weit entfernt sind, und das ist der beschriebene Mittelpunkt des Kreises. Also was ist passiert?

Beginnen wir also mit diesem "nebenbei...".

Schauen wir auf i.

Aber in ähnlichen Dreiecken sind alle Winkel gleich!

Dasselbe gilt für und

Jetzt zeichnen wir es zusammen:

Welchen Nutzen kann aus dieser "dreifachen" Ähnlichkeit gezogen werden.

Nun, zum Beispiel - zwei Formeln für die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks.

Wir schreiben die Beziehungen der entsprechenden Parteien:

Um die Höhe zu finden, lösen wir die Proportion und erhalten erste Formel "Höhe im rechtwinkligen Dreieck":

Wenden wir also die Ähnlichkeit an: .

Was wird jetzt passieren?

Wieder lösen wir die Proportion und erhalten die zweite Formel:

Diese beiden Formeln müssen Sie sich sehr gut merken und diejenige, die bequemer anzuwenden ist. Schreiben wir sie noch einmal auf.

Satz des Pythagoras:

In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Schenkel:.

Gleichheitszeichen rechtwinkliger Dreiecke:

• auf zwei Beinen:
• entlang des Beins und der Hypotenuse: oder
• entlang des Beins und des angrenzenden spitzen Winkels: oder
• entlang des Beines und dem gegenüberliegenden spitzen Winkel: oder
• durch Hypotenuse und spitzen Winkel: oder.

Zeichen der Ähnlichkeit von rechtwinkligen Dreiecken:

• eine scharfe Ecke: oder
• aus der Proportionalität der beiden Beine:
• aus der Proportionalität von Bein und Hypotenuse: oder.

Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens in einem rechtwinkligen Dreieck

• Der Sinus eines spitzen Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zur Hypotenuse:
• Der Kosinus eines spitzen Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks ist das Verhältnis des angrenzenden Schenkels zur Hypotenuse:
• Die Tangente eines spitzen Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zum benachbarten:
• Der Kotangens eines spitzen Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zum gegenüberliegenden:.

Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks: oder.

In einem rechtwinkligen Dreieck ist der vom Scheitelpunkt des rechten Winkels gezogene Median gleich der Hälfte der Hypotenuse: .

Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks:

• durch die Katheter:

Wir beginnen unser Studium der Trigonometrie mit einem rechtwinkligen Dreieck. Lassen Sie uns definieren, was der Sinus und der Kosinus sowie der Tangens und der Kotangens eines spitzen Winkels sind. Dies sind die Grundlagen der Trigonometrie.

Erinnere dich daran rechter Winkel ist ein Winkel gleich 90 Grad. Mit anderen Worten, die Hälfte der aufgeklappten Ecke.

Scharfe Ecke- weniger als 90 Grad.

Stumpfer Winkel- größer als 90 Grad. In Bezug auf einen solchen Winkel ist "stumpf" keine Beleidigung, sondern ein mathematischer Begriff :-)

Zeichnen wir ein rechtwinkliges Dreieck. Ein rechter Winkel wird normalerweise bezeichnet. Beachten Sie, dass die der Ecke gegenüberliegende Seite mit demselben Buchstaben gekennzeichnet ist, nur klein. So wird die dem Winkel A gegenüberliegende Seite bezeichnet.

Ein Winkel wird durch den entsprechenden griechischen Buchstaben gekennzeichnet.

Hypotenuse Ein rechtwinkliges Dreieck ist die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt.

Beine- Seiten gegenüber scharfen Ecken.

Das der Ecke gegenüberliegende Bein wird aufgerufen Gegenteil(relativ zum Winkel). Das andere Bein, das auf einer Seite der Ecke liegt, wird aufgerufen benachbart.

Sinus Der spitze Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zur Hypotenuse:

Kosinus spitzer Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck - das Verhältnis des angrenzenden Schenkels zur Hypotenuse:

Tangente spitzer Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck - das Verhältnis des gegenüberliegenden Beins zum benachbarten:

Eine andere (äquivalente) Definition: Der Tangens eines spitzen Winkels ist das Verhältnis des Sinus eines Winkels zu seinem Kosinus:

Kotangens spitzer Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck - das Verhältnis des benachbarten Schenkels zum gegenüberliegenden (oder äquivalent das Verhältnis von Kosinus zu Sinus):

Beachten Sie die Grundverhältnisse für Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens, die unten angegeben sind. Sie werden uns bei der Lösung von Problemen nützlich sein.

Lassen Sie uns einige davon beweisen.

Okay, wir haben Definitionen gegeben und Formeln geschrieben. Aber wozu brauchen wir Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens?

Wir wissen das die Summe der Winkel eines beliebigen Dreiecks ist.

Wir kennen den Zusammenhang zwischen Parteien rechtwinkliges Dreieck. Das ist der Satz des Pythagoras: .

Es stellt sich heraus, dass man den dritten finden kann, wenn man zwei Winkel in einem Dreieck kennt. Wenn Sie zwei Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck kennen, können Sie die dritte finden. Also für Winkel - ihr Verhältnis, für Seiten - ihre eigenen. Aber was tun, wenn in einem rechtwinkligen Dreieck ein Winkel (außer einem rechten) und eine Seite bekannt sind, Sie aber andere Seiten finden müssen?

Damit waren die Menschen in der Vergangenheit konfrontiert, als sie Karten der Gegend und des Sternenhimmels anfertigten. Schließlich ist es nicht immer möglich, alle Seiten eines Dreiecks direkt zu messen.

Sinus, Cosinus und Tangens - sie werden auch genannt trigonometrische Funktionen des Winkels- Geben Sie das Verhältnis zwischen an Parteien und Ecken Dreieck. Wenn Sie den Winkel kennen, können Sie alle trigonometrischen Funktionen mithilfe spezieller Tabellen finden. Und wenn Sie die Sinus, Cosinus und Tangenten der Winkel eines Dreiecks und einer seiner Seiten kennen, können Sie den Rest finden.

Wir werden auch eine Tabelle mit Sinus-, Kosinus-, Tangens- und Kotangenswerten für "gute" Winkel von bis zeichnen.

Beachten Sie die zwei roten Striche in der Tabelle. Für die entsprechenden Werte der Winkel existieren Tangens und Kotangens nicht.

Analysieren wir mehrere Probleme in der Trigonometrie aus den Aufgaben der Bank of FIPI.

1. In einem Dreieck ist der Winkel , . Finden .

Das Problem ist in vier Sekunden gelöst.

Weil die , .

2. In einem Dreieck ist der Winkel , , . Finden .

Lassen Sie uns nach dem Satz des Pythagoras finden.

Problem gelöst.

Bei Problemen gibt es oft Dreiecke mit Winkeln und oder mit Winkeln und . Merken Sie sich die Grundverhältnisse für sie auswendig!

Bei einem Dreieck mit Winkeln ist das dem Winkel gegenüberliegende Bein gleich Hälfte der Hypotenuse.

Ein Dreieck mit Ecken und ist gleichschenklig. Darin ist die Hypotenuse mal größer als das Bein.

Wir betrachteten Probleme zum Lösen rechtwinkliger Dreiecke – also zum Auffinden unbekannter Seiten oder Winkel. Aber das ist nicht alles! In den Varianten der Klausur in Mathematik gibt es viele Aufgaben, bei denen der Sinus, Cosinus, Tangens oder Kotangens des Außenwinkels des Dreiecks vorkommt. Mehr dazu im nächsten Artikel.

Sinus Der spitze Winkel α eines rechtwinkligen Dreiecks ist das Verhältnis Gegenteil Katheter zur Hypotenuse.
Sie wird wie folgt bezeichnet: sin α.

Kosinus Der spitze Winkel α eines rechtwinkligen Dreiecks ist das Verhältnis des angrenzenden Schenkels zur Hypotenuse.
Er wird wie folgt bezeichnet: cos α.

Tangente Der spitze Winkel α ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Beins zum benachbarten Bein.
Sie wird wie folgt bezeichnet: tg α.

Kotangens Der spitze Winkel α ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zum gegenüberliegenden.
Er wird wie folgt bezeichnet: ctg α.

Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels hängen nur von der Größe des Winkels ab.

Regeln:

Grundlegende trigonometrische Identitäten in einem rechtwinkligen Dreieck:

(α - spitzer Winkel gegenüber dem Bein b und neben dem Bein a . Seite Mit - Hypotenuse. β - der zweite spitze Winkel).

b sinα = - c	sin 2 α + cos 2 α = 1
a cosα = - c	1 1 + tg 2 α = -- cos2α
b tgα = - a	1 1 + ctg 2 α = -- sin2α
a ctgα = - b	1 1 1 + -- = -- tg 2 α sin 2 α
sinα tgα = -- cosα

Wenn der spitze Winkel zunimmtsinα undtg α erhöhen, undcos α nimmt ab.

Für jeden spitzen Winkel α:

sin (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = sin α

Erklärendes Beispiel:

Lassen Sie ein rechtwinkliges Dreieck ABC ein
AB = 6,
BC = 3,
Winkel A = 30º.

Berechne den Sinus von Winkel A und den Kosinus von Winkel B.

Lösung .

1) Zuerst finden wir den Wert des Winkels B. Hier ist alles einfach: Da in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der spitzen Winkel 90º beträgt, ist der Winkel B \u003d 60º:

B \u003d 90º - 30º \u003d 60º.

2) Berechnen Sie sin A. Wir wissen, dass der Sinus gleich dem Verhältnis des gegenüberliegenden Beins zur Hypotenuse ist. Bei Winkel A ist das gegenüberliegende Bein die Seite BC. So:

BC 3 1
Sünde A = -- = - = -
AB 6 2

3) Jetzt berechnen wir cos B. Wir wissen, dass der Cosinus gleich dem Verhältnis des benachbarten Schenkels zur Hypotenuse ist. Für Winkel B ist das benachbarte Bein die gleiche Seite BC. Das bedeutet, dass wir wieder BC durch AB teilen müssen, also die gleichen Aktionen ausführen wie bei der Berechnung des Sinus des Winkels A:

BC 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

Das Ergebnis ist:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

Daraus folgt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck der Sinus eines spitzen Winkels gleich dem Kosinus eines anderen spitzen Winkels ist – und umgekehrt. Genau das bedeuten unsere beiden Formeln:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α

Schauen wir es uns noch einmal an:

1) Sei α = 60º. Setzen wir den Wert von α in die Sinusformel ein, erhalten wir:
sin (90º - 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) Sei α = 30º. Setzen wir den Wert von α in die Kosinusformel ein, erhalten wir:
cos (90° - 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30°.

(Weitere Informationen zur Trigonometrie finden Sie im Abschnitt Algebra.)