In dem Artikel werden wir vollständig verstehen, wie es aussieht Tabelle der trigonometrischen Werte Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens. Betrachten wir die grundlegende Bedeutung trigonometrischer Funktionen aus einem Winkel von 0,30,45,60,90,...,360 Grad. Und sehen wir uns an, wie man diese Tabellen zur Berechnung der Werte trigonometrischer Funktionen verwendet.
Schauen wir uns zunächst an Tabelle von Kosinus, Sinus, Tangens und Kotangens aus einem Winkel von 0, 30, 45, 60, 90,... Grad. Die Definition dieser Größen ermöglicht es uns, den Wert der Funktionen der Winkel von 0 und 90 Grad zu bestimmen:
sin 0 0 =0, cos 0 0 = 1. tg 0 0 = 0, Kotangens von 0 0 wird undefiniert sein
sin 90 0 = 1, cos 90 0 =0, ctg90 0 = 0, Tangente von 90 0 wird unsicher sein
Nehmen wir rechtwinklige Dreiecke mit einem Winkel von 30 bis 90 Grad. Wir bekommen:
sin 30 0 = 1/2, cos 30 0 = √3/2, tan 30 0 = √3/3, cos 30 0 = √3
sin 45 0 = √2/2, cos 45 0 = √2/2, tan 45 0 = 1, cos 45 0 = 1
sin 60 0 = √3/2, cos 60 0 = 1/2, tg 60 0 =√3, cot 60 0 = √3/3
Lassen Sie uns alle erhaltenen Werte im Formular darstellen trigonometrische Tabelle:
Tabelle mit Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens!
Wenn wir die Reduktionsformel verwenden, vergrößert sich unsere Tabelle und fügt Werte für Winkel bis zu 360 Grad hinzu. Es wird so aussehen:
Basierend auf den Eigenschaften der Periodizität kann die Tabelle auch erweitert werden, wenn wir die Winkel durch 0 0 +360 0 *z .... 330 0 +360 0 *z ersetzen, wobei z eine ganze Zahl ist. In dieser Tabelle ist es möglich, den Wert aller Winkel zu berechnen, die Punkten in einem einzelnen Kreis entsprechen.
Sehen wir uns an, wie die Tabelle in einer Lösung verwendet wird.
Alles ist sehr einfach. Da der von uns benötigte Wert am Schnittpunkt der von uns benötigten Zellen liegt. Nehmen wir zum Beispiel den Cos-Wert eines Winkels von 60 Grad. In der Tabelle sieht das so aus:
In der Abschlusstabelle der Hauptwerte trigonometrischer Funktionen gehen wir genauso vor. Aber in dieser Tabelle ist es möglich, herauszufinden, wie groß die Tangente aus einem Winkel von 1020 Grad ist, nämlich = -√3. Schauen wir uns an: 1020 0 = 300 0 +360 0 *2. Finden wir es anhand der Tabelle.
Zur weiteren Suche werden minutengenaue trigonometrische Winkelwerte verwendet. Detaillierte Anweisungen zur Verwendung finden Sie auf der Seite.
Bradis-Tisch. Für Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens.
Die Bradis-Tabellen sind in mehrere Teile unterteilt, bestehend aus Tabellen für Kosinus und Sinus, Tangens und Kotangens, die in zwei Teile unterteilt sind (tg für Winkel bis zu 90 Grad und ctg für kleine Winkel).
Sinus und Cosinus
tg des Winkels beginnt bei 0 0 und endet mit 76 0, ctg des Winkels beginnt bei 14 0 und endet mit 90 0.
tg bis 90 0 und ctg von kleinen Winkeln.
Lassen Sie uns herausfinden, wie Sie Bradis-Tabellen zur Lösung von Problemen verwenden können.
Finden wir die Bezeichnung sin (Bezeichnung in der Spalte am linken Rand) 42 Minuten (Bezeichnung steht in der oberen Zeile). Durch den Schnittpunkt suchen wir nach der Bezeichnung, it = 0,3040.
Die Minutenwerte werden im Abstand von sechs Minuten angegeben, was zu tun ist, wenn der von uns benötigte Wert genau in diesem Intervall liegt. Nehmen wir uns 44 Minuten, aber es sind nur 42 in der Tabelle. Wir nehmen 42 als Basis und verwenden die zusätzlichen Spalten auf der rechten Seite, nehmen den 2. Zusatz und addieren zu 0,3040 + 0,0006, wir erhalten 0,3046.
Bei sin 47 Minuten nehmen wir 48 Minuten als Basis und ziehen davon 1 Korrektur ab, also 0,3057 – 0,0003 = 0,3054
Bei der Berechnung von cos gehen wir ähnlich wie bei sin vor, nur nehmen wir die unterste Zeile der Tabelle als Grundlage. Zum Beispiel cos 20 0 = 0,9397
Die Werte für tg-Winkel bis 90 0 und cot eines kleinen Winkels sind korrekt und enthalten keine Korrekturen. Finden Sie beispielsweise tg 78 0 37min = 4,967 
und ctg 20 0 13min = 25,83 
Nun, wir haben uns die grundlegenden trigonometrischen Tabellen angesehen. Wir hoffen, dass diese Informationen für Sie äußerst nützlich waren. Wenn Sie Fragen zu den Tabellen haben, schreiben Sie diese unbedingt in die Kommentare!
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Wertetabelle trigonometrischer Funktionen
Notiz. Diese Tabelle trigonometrischer Funktionswerte verwendet das √-Zeichen zur Darstellung der Quadratwurzel. Um einen Bruch anzugeben, verwenden Sie das Symbol „/“.
siehe auch nützliche Materialien:
Für Bestimmen des Wertes einer trigonometrischen Funktion, finden Sie es am Schnittpunkt der Linie, die die trigonometrische Funktion angibt. Zum Beispiel Sinus 30 Grad – wir suchen die Spalte mit der Überschrift sin (Sinus) und finden den Schnittpunkt dieser Tabellenspalte mit der Zeile „30 Grad“, an ihrem Schnittpunkt lesen wir das Ergebnis – eine Hälfte. Ebenso finden wir Kosinus 60 Grad, Sinus 60 Grad (wiederum finden wir am Schnittpunkt der Sin-Spalte und der 60-Grad-Linie den Wert sin 60 = √3/2) usw. Die Werte von Sinus, Cosinus und Tangens anderer „beliebter“ Winkel werden auf die gleiche Weise ermittelt.
Sinus Pi, Kosinus Pi, Tangens Pi und andere Winkel im Bogenmaß
Die folgende Tabelle mit Kosinus, Sinus und Tangens eignet sich auch zum Ermitteln des Werts trigonometrischer Funktionen, deren Argument ist angegeben im Bogenmaß. Verwenden Sie dazu die zweite Spalte mit Winkelwerten. Dadurch können Sie den Wert gängiger Winkel von Grad in Bogenmaß umrechnen. Suchen wir zum Beispiel den Winkel von 60 Grad in der ersten Zeile und lesen darunter seinen Wert im Bogenmaß ab. 60 Grad entsprechen π/3 Bogenmaß.
Die Zahl pi drückt eindeutig die Abhängigkeit des Umfangs vom Gradmaß des Winkels aus. Somit entspricht Pi im Bogenmaß 180 Grad.
Jede in Pi (Bogenmaß) ausgedrückte Zahl kann leicht in Grad umgewandelt werden, indem Pi (π) durch 180 ersetzt wird.
Beispiele:
1. Sinus pi.
Sünde π = Sünde 180 = 0
Somit ist der Sinus von Pi derselbe wie der Sinus von 180 Grad und gleich Null.
2. Kosinus pi.
cos π = cos 180 = -1
Daher ist der Kosinus von Pi derselbe wie der Kosinus von 180 Grad und ist gleich minus eins.
3. Tangente pi
tg π = tg 180 = 0
Daher ist der Tangens Pi dasselbe wie der Tangens 180 Grad und gleich Null.
Tabelle der Sinus-, Cosinus- und Tangenswerte für Winkel 0 - 360 Grad (allgemeine Werte)
|
Winkel α-Wert (Grad) |
Winkel α-Wert (über pi) |
Sünde (Sinus) |
cos (Kosinus) |
tg (Tangente) |
ctg (Kotangens) |
Sek (Sekante) |
cosec (Kosekans) |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
| 15 | π/12 | 2 - √3 | 2 + √3 | ||||
| 30 | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | √3 | 2/√3 | 2 |
| 45 | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 | √2 | √2 |
| 60 | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 | 1/√3 | 2 | 2/√3 |
| 75 | 5π/12 | 2 + √3 | 2 - √3 | ||||
| 90 | π/2 | 1 | 0 | - | 0 | - | 1 |
| 105 | 7π/12 |
- |
- 2 - √3 | √3 - 2 | |||
| 120 | 2π/3 | √3/2 | -1/2 | -√3 | -√3/3 | ||
| 135 | 3π/4 | √2/2 | -√2/2 | -1 | -1 | -√2 | √2 |
| 150 | 5π/6 | 1/2 | -√3/2 | -√3/3 | -√3 | ||
| 180 | π | 0 | -1 | 0 | - | -1 | - |
| 210 | 7π/6 | -1/2 | -√3/2 | √3/3 | √3 | ||
| 240 | 4π/3 | -√3/2 | -1/2 | √3 | √3/3 | ||
| 270 | 3π/2 | -1 | 0 | - | 0 | - | -1 |
| 360 | 2π | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
Wenn in der Wertetabelle trigonometrischer Funktionen anstelle des Funktionswerts ein Strich angegeben ist (Tangens (tg) 90 Grad, Kotangens (ctg) 180 Grad), dann ist für einen gegebenen Wert das Gradmaß des Winkels die Funktion hat keinen bestimmten Wert. Wenn kein Bindestrich vorhanden ist, ist die Zelle leer, was bedeutet, dass wir den erforderlichen Wert noch nicht eingegeben haben. Uns interessiert, welche Anfragen Nutzer an uns richten und ergänzen die Tabelle mit neuen Werten, obwohl aktuelle Daten zu den Werten von Kosinus, Sinus und Tangens der gängigsten Winkelwerte zur Lösung der meisten völlig ausreichen Probleme.
Wertetabelle der trigonometrischen Funktionen sin, cos, tg für die gängigsten Winkel
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 Grad
(Zahlenwerte „gemäß Bradis-Tabellen“)
| Winkel α-Wert (Grad) | Winkel α-Wert im Bogenmaß | Sünde (Sinus) | cos (Kosinus) | tg (Tangente) | ctg (Kotangens) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | ||||
| 15 |
0,2588 |
0,9659
|
0,2679 |
||
| 30 |
0,5000 |
0,5774 |
|||
| 45 |
0,7071 |
||||
|
0,7660 |
|||||
| 60 |
0,8660 |
0,5000
|
1,7321 |
||
|
7π/18 |
Vereinfacht gesagt handelt es sich dabei um Gemüse, das nach einem speziellen Rezept in Wasser gekocht wird. Ich betrachte zwei Ausgangskomponenten (Gemüsesalat und Wasser) und das fertige Ergebnis – Borschtsch. Geometrisch kann man es sich als Rechteck vorstellen, wobei eine Seite Salat und die andere Seite Wasser darstellt. Die Summe dieser beiden Seiten ergibt Borschtsch. Die Diagonale und die Fläche eines solchen „Borschtsch“-Rechtecks sind rein mathematische Konzepte und werden in Borschtsch-Rezepten nie verwendet.
Wie wird aus Salat und Wasser rechnerisch Borschtsch? Wie kann die Summe zweier Liniensegmente zur Trigonometrie werden? Um dies zu verstehen, benötigen wir lineare Winkelfunktionen.
In Mathematiklehrbüchern findet man nichts über lineare Winkelfunktionen. Aber ohne sie kann es keine Mathematik geben. Die Gesetze der Mathematik funktionieren wie die Naturgesetze unabhängig davon, ob wir von ihrer Existenz wissen oder nicht.
Lineare Winkelfunktionen sind Additionsgesetze. Sehen Sie, wie sich Algebra in Geometrie und Geometrie in Trigonometrie verwandelt.
Kann man auf lineare Winkelfunktionen verzichten? Das ist möglich, denn Mathematiker kommen immer noch ohne sie aus. Der Trick der Mathematiker besteht darin, dass sie uns immer nur von den Problemen erzählen, die sie selbst lösen können, und nie über die Probleme, die sie nicht lösen können. Sehen. Wenn wir das Ergebnis der Addition und eines Termes kennen, verwenden wir die Subtraktion, um den anderen Term zu finden. Alle. Wir kennen keine anderen Probleme und wissen nicht, wie wir sie lösen können. Was sollen wir tun, wenn wir nur das Ergebnis der Addition kennen und nicht beide Terme kennen? In diesem Fall muss das Ergebnis der Addition mithilfe linearer Winkelfunktionen in zwei Terme zerlegt werden. Als nächstes wählen wir selbst aus, was ein Term sein kann, und lineare Winkelfunktionen zeigen, was der zweite Term sein soll, damit das Ergebnis der Addition genau das ist, was wir brauchen. Es kann unendlich viele solcher Begriffspaare geben. Im Alltag kommen wir gut zurecht, ohne die Summe zu zerlegen; Aber bei der wissenschaftlichen Erforschung der Naturgesetze kann die Zerlegung einer Summe in ihre Bestandteile sehr nützlich sein.
Ein weiteres Additionsgesetz, über das Mathematiker nicht gerne sprechen (ein weiterer ihrer Tricks), erfordert, dass die Terme die gleichen Maßeinheiten haben. Bei Salat, Wasser und Borschtsch können dies Gewichts-, Volumen-, Wert- oder Maßeinheiten sein.
Die Abbildung zeigt zwei Differenzniveaus für mathematische . Die erste Ebene sind die Unterschiede im Zahlenbereich, die angezeigt werden A, B, C. Das ist es, was Mathematiker tun. Die zweite Ebene sind die Unterschiede im Bereich der Maßeinheiten, die in eckigen Klammern dargestellt und durch den Buchstaben gekennzeichnet sind U. Das ist es, was Physiker tun. Wir können die dritte Ebene verstehen – Unterschiede im Bereich der beschriebenen Objekte. Unterschiedliche Objekte können die gleiche Anzahl identischer Maßeinheiten haben. Wie wichtig das ist, sehen wir am Beispiel der Borschtsch-Trigonometrie. Wenn wir der gleichen Einheitenbezeichnung für verschiedene Objekte Indizes hinzufügen, können wir genau sagen, welche mathematische Größe ein bestimmtes Objekt beschreibt und wie es sich im Laufe der Zeit oder aufgrund unserer Handlungen verändert. Brief W Ich werde Wasser mit einem Buchstaben bezeichnen S Den Salat bezeichne ich mit einem Buchstaben B- Borschtsch. So sehen lineare Winkelfunktionen für Borschtsch aus.
Wenn wir einen Teil des Wassers und einen Teil des Salats nehmen, wird daraus eine Portion Borschtsch. Hier schlage ich vor, dass Sie eine kleine Pause vom Borschtsch einlegen und sich an Ihre ferne Kindheit erinnern. Erinnern Sie sich, wie uns beigebracht wurde, Hasen und Enten zusammenzusetzen? Es galt herauszufinden, wie viele Tiere es geben würde. Was wurde uns damals beigebracht? Uns wurde beigebracht, Maßeinheiten von Zahlen zu trennen und Zahlen zu addieren. Ja, eine beliebige Nummer kann zu jeder anderen Nummer hinzugefügt werden. Dies ist ein direkter Weg zum Autismus der modernen Mathematik – wir tun es unverständlich was, unverständlich warum und verstehen nur sehr schlecht, wie dies mit der Realität zusammenhängt, da Mathematiker aufgrund der drei Differenzebenen nur mit einer operieren. Es wäre richtiger zu lernen, wie man von einer Maßeinheit zur anderen wechselt.
Hasen, Enten und kleine Tiere können in Stücken gezählt werden. Eine gemeinsame Maßeinheit für verschiedene Objekte ermöglicht es uns, diese zu addieren. Dies ist eine Kinderversion des Problems. Schauen wir uns eine ähnliche Aufgabe für Erwachsene an. Was bekommt man, wenn man Hasen und Geld hinzufügt? Hier gibt es zwei mögliche Lösungen.
Erste Wahl. Wir ermitteln den Marktwert der Hasen und addieren ihn zum verfügbaren Geldbetrag. Wir haben den Gesamtwert unseres Vermögens in Geld ausgedrückt.
Zweite Option. Sie können die Anzahl der Hasen zu der Anzahl der Geldscheine hinzufügen, die wir haben. Wir erhalten den Betrag der beweglichen Sachen in Stücken.
Wie Sie sehen, können Sie mit demselben Additionsgesetz unterschiedliche Ergebnisse erzielen. Es hängt alles davon ab, was genau wir wissen wollen.
Aber kommen wir zurück zu unserem Borschtsch. Jetzt können wir sehen, was für verschiedene Winkelwerte linearer Winkelfunktionen passieren wird.
Der Winkel ist Null. Wir haben Salat, aber kein Wasser. Wir können keinen Borschtsch kochen. Die Menge an Borschtsch ist ebenfalls Null. Das bedeutet keineswegs, dass null Borschtsch gleich null Wasser ist. Selbst mit null Salat (rechter Winkel) kann es keinen Borschtsch geben.
Für mich persönlich ist dies der wichtigste mathematische Beweis dafür, dass . Null ändert die Zahl beim Hinzufügen nicht. Dies liegt daran, dass die Addition selbst unmöglich ist, wenn nur ein Term vorhanden ist und der zweite Term fehlt. Sie können darüber nachdenken, wie Sie möchten, aber denken Sie daran: Alle mathematischen Operationen mit Null wurden von Mathematikern selbst erfunden. Werfen Sie also Ihre Logik weg und stopfen Sie dummerweise die von Mathematikern erfundenen Definitionen voll: „Division durch Null ist unmöglich“, „jede Zahl multipliziert mit“. „Null ist gleich Null“, „Jenseits des Einstichpunkts Null“ und anderer Unsinn. Es reicht aus, sich einmal daran zu erinnern, dass Null keine Zahl ist, und Sie werden nie wieder die Frage haben, ob Null eine natürliche Zahl ist oder nicht, denn eine solche Frage verliert jede Bedeutung: Wie kann etwas, das keine Zahl ist, als Zahl betrachtet werden? ? Es ist, als würde man fragen, als welche Farbe eine unsichtbare Farbe klassifiziert werden sollte. Das Hinzufügen einer Null zu einer Zahl ist dasselbe wie das Malen mit Farbe, die nicht vorhanden ist. Wir schwenkten einen trockenen Pinsel und sagten allen: „Wir haben gemalt.“ Aber ich schweife ein wenig ab.
Der Winkel ist größer als Null, aber kleiner als fünfundvierzig Grad. Wir haben viel Salat, aber nicht genug Wasser. Als Ergebnis erhalten wir dicken Borschtsch.
Der Winkel beträgt fünfundvierzig Grad. Wir haben gleiche Mengen Wasser und Salat. Das ist der perfekte Borschtsch (verzeihen Sie, Köche, das ist nur Mathematik).
Der Winkel beträgt mehr als fünfundvierzig Grad, aber weniger als neunzig Grad. Wir haben viel Wasser und wenig Salat. Sie erhalten flüssigen Borschtsch.
Rechter Winkel. Wir haben Wasser. Von dem Salat bleiben nur noch Erinnerungen, während wir weiterhin den Winkel von der Linie messen, die einst den Salat markierte. Wir können keinen Borschtsch kochen. Die Menge an Borschtsch ist Null. Halten Sie in diesem Fall durch und trinken Sie Wasser, solange Sie es haben)))
Hier. Irgendwie so. Ich kann hier noch andere Geschichten erzählen, die hier mehr als angebracht wären.
Zwei Freunde hatten Anteile an einem gemeinsamen Unternehmen. Nachdem einer von ihnen getötet wurde, ging alles an den anderen.
Die Entstehung der Mathematik auf unserem Planeten.
Alle diese Geschichten werden in der Sprache der Mathematik unter Verwendung linearer Winkelfunktionen erzählt. Ein anderes Mal werde ich Ihnen den wahren Platz dieser Funktionen in der Struktur der Mathematik zeigen. Kehren wir in der Zwischenzeit zur Borschtsch-Trigonometrie zurück und betrachten Projektionen.
Samstag, 26. Oktober 2019
Mittwoch, 7. August 2019
Zum Abschluss des Gesprächs müssen wir eine unendliche Menge betrachten. Der Punkt ist, dass das Konzept der „Unendlichkeit“ auf Mathematiker wirkt wie eine Boa constrictor auf ein Kaninchen. Der zitternde Schrecken der Unendlichkeit beraubt Mathematiker des gesunden Menschenverstandes. Hier ist ein Beispiel:
Die Originalquelle befindet sich. Alpha steht für reelle Zahl. Das Gleichheitszeichen in den obigen Ausdrücken zeigt an, dass sich nichts ändert, wenn Sie eine Zahl oder Unendlichkeit zur Unendlichkeit addieren. Das Ergebnis ist dieselbe Unendlichkeit. Nehmen wir als Beispiel die unendliche Menge der natürlichen Zahlen, dann lassen sich die betrachteten Beispiele in dieser Form darstellen:
Um eindeutig zu beweisen, dass sie Recht hatten, haben sich Mathematiker viele verschiedene Methoden ausgedacht. Persönlich betrachte ich all diese Methoden als Schamanen, die mit Tamburinen tanzen. Im Wesentlichen läuft alles darauf hinaus, dass entweder einige der Zimmer unbewohnt sind und neue Gäste einziehen, oder dass ein Teil der Besucher auf den Flur geworfen wird, um Platz für Gäste zu schaffen (sehr menschlich). Meine Meinung zu solchen Entscheidungen habe ich in Form einer Fantasy-Geschichte über die Blondine dargelegt. Worauf basiert meine Argumentation? Die Umsiedlung einer unendlichen Anzahl von Besuchern nimmt unendlich viel Zeit in Anspruch. Nachdem wir das erste Zimmer für einen Gast geräumt haben, wird bis zum Ende der Zeit immer einer der Besucher den Flur entlang von seinem Zimmer zum nächsten gehen. Natürlich kann der Zeitfaktor dummerweise ignoriert werden, aber das wird in die Kategorie „Kein Gesetz ist für Dummköpfe geschrieben“ fallen. Es hängt alles davon ab, was wir tun: die Realität an mathematische Theorien anpassen oder umgekehrt.
Was ist ein „Endloshotel“? Ein unendliches Hotel ist ein Hotel, das immer beliebig viele freie Betten hat, unabhängig davon, wie viele Zimmer belegt sind. Wenn alle Räume im endlosen „Besucher“-Korridor belegt sind, gibt es einen weiteren endlosen Korridor mit „Gäste“-Zimmern. Es wird unendlich viele solcher Korridore geben. Darüber hinaus verfügt das „unendliche Hotel“ über unendlich viele Stockwerke in unendlich vielen Gebäuden auf unendlich vielen Planeten in unendlich vielen Universen, die von unendlich vielen Göttern geschaffen wurden. Von banalen Alltagsproblemen können sich Mathematiker nicht distanzieren: Es gibt immer nur einen Gott-Allah-Buddha, es gibt nur ein Hotel, es gibt nur einen Korridor. Also versuchen Mathematiker, mit den Seriennummern von Hotelzimmern zu jonglieren und uns davon zu überzeugen, dass es möglich ist, „das Unmögliche hineinzuschieben“.
Ich werde Ihnen die Logik meiner Überlegungen am Beispiel einer unendlichen Menge natürlicher Zahlen demonstrieren. Zuerst müssen Sie eine sehr einfache Frage beantworten: Wie viele Mengen natürlicher Zahlen gibt es – eine oder viele? Auf diese Frage gibt es keine richtige Antwort, da wir selbst Zahlen erfunden haben; Zahlen gibt es in der Natur nicht. Ja, die Natur kann gut zählen, aber dafür nutzt sie andere mathematische Werkzeuge, die uns nicht vertraut sind. Was die Natur denkt, erzähle ich euch ein andermal. Da wir die Zahlen erfunden haben, werden wir selbst entscheiden, wie viele Mengen natürlicher Zahlen es gibt. Betrachten wir beide Optionen, wie es sich für echte Wissenschaftler gehört.
Option eins. „Lasst uns einen einzigen Satz natürlicher Zahlen erhalten“, der ruhig im Regal liegt. Wir nehmen dieses Set aus dem Regal. Das ist alles, es sind keine anderen natürlichen Zahlen mehr auf dem Regal und man kann sie nirgendwo hinnehmen. Wir können diesem Set keinen hinzufügen, da wir ihn bereits haben. Was ist, wenn Sie es wirklich wollen? Kein Problem. Wir können eines aus dem Set, das wir bereits genommen haben, nehmen und es zurück ins Regal stellen. Danach können wir eines aus dem Regal nehmen und es zu dem hinzufügen, was wir übrig haben. Als Ergebnis erhalten wir wieder eine unendliche Menge natürlicher Zahlen. Sie können alle unsere Manipulationen wie folgt aufschreiben:
Ich habe die Aktionen in algebraischer und mengentheoretischer Notation aufgeschrieben, mit einer detaillierten Auflistung der Elemente der Menge. Der Index zeigt an, dass wir eine und einzige Menge natürlicher Zahlen haben. Es stellt sich heraus, dass die Menge der natürlichen Zahlen nur dann unverändert bleibt, wenn man von ihr eine abzieht und die gleiche Einheit hinzufügt.
Option zwei. Wir haben viele verschiedene unendliche Mengen natürlicher Zahlen in unserem Regal. Ich betone – UNTERSCHIEDLICH, obwohl sie praktisch nicht zu unterscheiden sind. Nehmen wir eines dieser Sets. Dann nehmen wir eine aus einer anderen Menge natürlicher Zahlen und fügen sie der Menge hinzu, die wir bereits genommen haben. Wir können sogar zwei Sätze natürlicher Zahlen addieren. Das bekommen wir:
Die Indizes „eins“ und „zwei“ zeigen an, dass diese Elemente zu unterschiedlichen Mengen gehörten. Ja, wenn Sie eins zu einer unendlichen Menge hinzufügen, ist das Ergebnis ebenfalls eine unendliche Menge, aber es ist nicht dasselbe wie die ursprüngliche Menge. Wenn man einer unendlichen Menge eine weitere unendliche Menge hinzufügt, entsteht eine neue unendliche Menge, die aus den Elementen der ersten beiden Mengen besteht.
Die Menge der natürlichen Zahlen wird zum Zählen genauso verwendet wie ein Lineal zum Messen. Stellen Sie sich nun vor, Sie hätten dem Lineal einen Zentimeter hinzugefügt. Dies wird eine andere Zeile sein, die nicht mit der Originalzeile übereinstimmt.
Sie können meine Argumentation akzeptieren oder nicht akzeptieren – es ist Ihre eigene Sache. Wenn Sie jedoch jemals auf mathematische Probleme stoßen, denken Sie darüber nach, ob Sie dem Weg des falschen Denkens folgen, den Generationen von Mathematikern beschritten haben. Denn das Studium der Mathematik bildet in uns zunächst ein stabiles Stereotyp des Denkens und erweitert erst dann unsere geistigen Fähigkeiten (oder beraubt uns umgekehrt des freien Denkens).
pozg.ru
Sonntag, 4. August 2019
Ich war gerade dabei, ein Nachwort zu einem Artikel darüber zu schreiben, und sah diesen wunderbaren Text auf Wikipedia:
Wir lesen: „... die reiche theoretische Grundlage der Mathematik Babylons hatte keinen ganzheitlichen Charakter und wurde auf eine Reihe unterschiedlicher Techniken reduziert, ohne ein gemeinsames System und eine gemeinsame Beweisbasis.“
Wow! Wie schlau wir sind und wie gut wir die Unzulänglichkeiten anderer erkennen können. Fällt es uns schwer, die moderne Mathematik aus der gleichen Perspektive zu betrachten? Wenn ich den obigen Text leicht paraphrasiere, habe ich persönlich Folgendes herausgefunden:
Die reichhaltige theoretische Grundlage der modernen Mathematik ist nicht ganzheitlich und reduziert sich auf eine Reihe unterschiedlicher Abschnitte, ohne ein gemeinsames System und eine gemeinsame Evidenzbasis.
Ich werde nicht weit gehen, um meine Worte zu bestätigen – es gibt eine Sprache und Konventionen, die sich von der Sprache und den Konventionen vieler anderer Zweige der Mathematik unterscheiden. Dieselben Namen können in verschiedenen Zweigen der Mathematik unterschiedliche Bedeutungen haben. Den offensichtlichsten Fehlern der modernen Mathematik möchte ich eine ganze Reihe von Veröffentlichungen widmen. Bis bald.
Samstag, 3. August 2019
Wie teilt man eine Menge in Teilmengen auf? Dazu müssen Sie eine neue Maßeinheit eingeben, die in einigen Elementen der ausgewählten Menge vorhanden ist. Schauen wir uns ein Beispiel an.
Mögen wir genug davon haben A bestehend aus vier Personen. Diese Menge wird auf der Grundlage von „Menschen“ gebildet. Bezeichnen wir die Elemente dieser Menge mit dem Buchstaben A, der Index mit einer Zahl gibt die Seriennummer jeder Person in diesem Satz an. Lassen Sie uns eine neue Maßeinheit „Geschlecht“ einführen und sie mit dem Buchstaben bezeichnen B. Da allen Menschen sexuelle Merkmale innewohnen, multiplizieren wir jedes Element der Menge A basierend auf dem Geschlecht B. Beachten Sie, dass unsere Gruppe von „Menschen“ nun zu einer Gruppe von „Menschen mit Geschlechtsmerkmalen“ geworden ist. Danach können wir die Geschlechtsmerkmale in männlich einteilen bm und Frauen bw Geschlechtsmerkmale. Jetzt können wir einen mathematischen Filter anwenden: Wir wählen eines dieser Geschlechtsmerkmale aus, egal welches – männlich oder weiblich. Wenn eine Person es hat, multiplizieren wir es mit eins, wenn es kein solches Zeichen gibt, multiplizieren wir es mit Null. Und dann nutzen wir die reguläre Schulmathematik. Schauen Sie, was passiert ist.
Nach Multiplikation, Reduktion und Neuordnung erhielten wir schließlich zwei Teilmengen: die Teilmenge der Männer Bm und eine Untergruppe von Frauen Bw. Mathematiker denken ungefähr auf die gleiche Weise, wenn sie die Mengenlehre in der Praxis anwenden. Aber sie erzählen uns nicht die Details, sondern geben uns das fertige Ergebnis: „Viele Menschen bestehen aus einer Untergruppe von Männern und einer Untergruppe von Frauen.“ Natürlich haben Sie möglicherweise eine Frage: Wie korrekt wurde die Mathematik bei den oben beschriebenen Transformationen angewendet? Ich wage Ihnen zu versichern, dass die Transformationen im Wesentlichen korrekt durchgeführt wurden; es reicht aus, die mathematischen Grundlagen der Arithmetik, der Booleschen Algebra und anderer Zweige der Mathematik zu kennen. Was ist das? Ein anderes Mal werde ich Ihnen davon erzählen.
Bei Obermengen können Sie zwei Mengen zu einer Obermenge kombinieren, indem Sie die Maßeinheit auswählen, die in den Elementen dieser beiden Mengen vorhanden ist.
Wie Sie sehen, sind Maßeinheiten und gewöhnliche Mathematik die Mengenlehre ein Relikt der Vergangenheit. Ein Zeichen dafür, dass mit der Mengenlehre nicht alles in Ordnung ist, ist, dass Mathematiker ihre eigene Sprache und Notation für die Mengenlehre entwickelt haben. Mathematiker agierten einst wie Schamanen. Nur Schamanen wissen, wie sie ihr „Wissen“ „richtig“ anwenden. Sie vermitteln uns dieses „Wissen“.
Abschließend möchte ich Ihnen zeigen, wie Mathematiker manipulieren.
Montag, 7. Januar 2019
Im fünften Jahrhundert v. Chr. formulierte der antike griechische Philosoph Zenon von Elea seine berühmten Aporien, von denen die berühmteste die Aporie „Achilles und die Schildkröte“ ist. So klingt es:
Nehmen wir an, Achilles rennt zehnmal schneller als die Schildkröte und ist tausend Schritte hinter ihr. Während Achilles diese Strecke zurücklegt, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Wenn Achilles hundert Schritte läuft, kriecht die Schildkröte weitere zehn Schritte und so weiter. Der Prozess wird bis ins Unendliche weitergehen, Achilles wird die Schildkröte nie einholen.
Diese Argumentation wurde zu einem logischen Schock für alle nachfolgenden Generationen. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert ... Sie alle betrachteten Zenos Aporie auf die eine oder andere Weise. Der Schock war so stark, dass „ ... die Diskussionen dauern bis heute an; die wissenschaftliche Gemeinschaft konnte sich noch nicht auf eine gemeinsame Meinung über das Wesen von Paradoxien einigen ... an der Untersuchung des Themas waren mathematische Analyse, Mengenlehre, neue physikalische und philosophische Ansätze beteiligt ; Keine davon wurde zu einer allgemein akzeptierten Lösung des Problems ...„[Wikipedia, „Zenos Aporia“. Jeder versteht, dass er getäuscht wird, aber niemand versteht, worin die Täuschung besteht.
Aus mathematischer Sicht hat Zenon in seiner Aporie den Übergang von der Quantität zur Quantität deutlich gemacht. Dieser Übergang impliziert eine Anwendung statt einer dauerhaften. Soweit ich weiß, wurde der mathematische Apparat zur Verwendung variabler Maßeinheiten entweder noch nicht entwickelt oder er wurde nicht auf Zenos Aporie angewendet. Die Anwendung unserer üblichen Logik führt uns in eine Falle. Aufgrund der Trägheit des Denkens wenden wir konstante Zeiteinheiten auf den Kehrwert an. Aus physikalischer Sicht sieht es so aus, als würde sich die Zeit verlangsamen, bis sie in dem Moment, in dem Achilles die Schildkröte einholt, völlig zum Stillstand kommt. Wenn die Zeit stehen bleibt, kann Achilles der Schildkröte nicht mehr entkommen.
Wenn wir unsere übliche Logik umdrehen, passt alles zusammen. Achilles läuft mit konstanter Geschwindigkeit. Jeder weitere Abschnitt seines Weges ist zehnmal kürzer als der vorherige. Dementsprechend ist der Zeitaufwand für die Überwindung zehnmal geringer als beim vorherigen. Wenn wir in dieser Situation das Konzept der „Unendlichkeit“ anwenden, wäre es richtig zu sagen: „Achilles wird die Schildkröte unendlich schnell einholen.“
Wie vermeide ich diese logische Falle? Bleiben Sie bei konstanten Zeiteinheiten und wechseln Sie nicht zu reziproken Einheiten. In Zenos Sprache sieht es so aus:
In der Zeit, die Achilles braucht, um tausend Schritte zu laufen, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Während des nächsten Zeitintervalls, das dem ersten entspricht, wird Achilles weitere tausend Schritte laufen und die Schildkröte wird hundert Schritte kriechen. Jetzt ist Achilles der Schildkröte achthundert Schritte voraus.
Dieser Ansatz beschreibt die Realität angemessen und ohne logische Paradoxien. Dies ist jedoch keine vollständige Lösung des Problems. Einsteins Aussage über die Unwiderstehlichkeit der Lichtgeschwindigkeit ähnelt stark Zenos Aporie „Achilles und die Schildkröte“. Wir müssen dieses Problem noch untersuchen, überdenken und lösen. Und die Lösung muss nicht in unendlich großen Zahlen gesucht werden, sondern in Maßeinheiten.
Eine weitere interessante Aporie von Zeno erzählt von einem fliegenden Pfeil:
Ein fliegender Pfeil ist bewegungslos, da er zu jedem Zeitpunkt in Ruhe ist, und da er zu jedem Zeitpunkt in Ruhe ist, ist er immer in Ruhe.
In dieser Aporie wird das logische Paradox ganz einfach überwunden – es genügt zu klären, dass ein fliegender Pfeil zu jedem Zeitpunkt an verschiedenen Punkten im Raum ruht, was tatsächlich eine Bewegung ist. Hier muss noch ein weiterer Punkt beachtet werden. Anhand eines einzigen Fotos eines Autos auf der Straße ist es unmöglich, die Tatsache seiner Bewegung oder die Entfernung zu ihm zu bestimmen. Um festzustellen, ob sich ein Auto bewegt, benötigt man zwei Fotos, die von demselben Punkt zu unterschiedlichen Zeitpunkten aufgenommen wurden, aus denen man jedoch nicht die Entfernung bestimmen kann. Um die Entfernung zu einem Auto zu bestimmen, benötigt man zwei Fotos, die zu einem Zeitpunkt von verschiedenen Punkten im Raum aufgenommen wurden, aus denen man aber nicht die Tatsache der Bewegung ermitteln kann (natürlich benötigt man noch zusätzliche Daten für Berechnungen, die Trigonometrie hilft einem). ). Worauf ich besonders aufmerksam machen möchte, ist, dass zwei Zeitpunkte und zwei Punkte im Raum unterschiedliche Dinge sind, die nicht verwechselt werden sollten, da sie unterschiedliche Möglichkeiten für die Forschung bieten.
Ich zeige Ihnen den Vorgang anhand eines Beispiels. Wir wählen den „roten Feststoff im Pickel“ aus – das ist unser „Ganzes“. Gleichzeitig sehen wir, dass diese Dinge mit einem Bogen sind und dass es solche ohne Bogen gibt. Danach wählen wir einen Teil des „Ganzen“ aus und bilden ein Set „mit Schleife“. Auf diese Weise erhalten Schamanen ihre Nahrung, indem sie ihre Mengenlehre mit der Realität in Verbindung bringen.
Jetzt machen wir einen kleinen Trick. Nehmen wir „fest mit einer Noppe mit einer Schleife“ und kombinieren wir diese „Ganzen“ entsprechend der Farbe, indem wir die roten Elemente auswählen. Wir haben viel „Rot“ bekommen. Nun die letzte Frage: Sind die resultierenden Sets „mit Schleife“ und „rot“ dasselbe Set oder zwei verschiedene Sets? Nur Schamanen kennen die Antwort. Genauer gesagt, sie selbst wissen nichts, aber wie sie sagen, wird es so sein.
Dieses einfache Beispiel zeigt, dass die Mengenlehre in Bezug auf die Realität völlig nutzlos ist. Was ist das Geheimnis? Wir haben ein Set aus „rotem Feststoff mit Noppe und Schleife“ zusammengestellt. Die Formation erfolgte in vier verschiedenen Maßeinheiten: Farbe (rot), Stärke (fest), Rauheit (pickelig), Verzierung (mit Schleife). Nur eine Reihe von Maßeinheiten ermöglicht es uns, reale Objekte in der Sprache der Mathematik angemessen zu beschreiben. So sieht es aus.
Der Buchstabe „a“ mit unterschiedlichen Indizes bezeichnet unterschiedliche Maßeinheiten. Die Maßeinheiten, nach denen das „Ganze“ im Vorfeld unterschieden wird, sind in Klammern hervorgehoben. In Klammern steht die Maßeinheit, nach der die Menge gebildet wird. Die letzte Zeile zeigt das Endergebnis – ein Element der Menge. Wie Sie sehen, hängt das Ergebnis nicht von der Reihenfolge unserer Aktionen ab, wenn wir Maßeinheiten verwenden, um eine Menge zu bilden. Und das ist Mathematik und nicht der Tanz von Schamanen mit Tamburinen. Schamanen können „intuitiv“ zum gleichen Ergebnis kommen und argumentieren, dass es „offensichtlich“ sei, weil Maßeinheiten nicht Teil ihres „wissenschaftlichen“ Arsenals seien.
Mithilfe von Maßeinheiten ist es sehr einfach, einen Satz aufzuteilen oder mehrere Sätze zu einem Obersatz zusammenzufassen. Schauen wir uns die Algebra dieses Prozesses genauer an.
Wertetabellen für Sinus (sin), Kosinus (cos), Tangens (tg) und Kotangens (ctg) sind ein leistungsstarkes und nützliches Werkzeug, das bei der Lösung vieler theoretischer und angewandter Probleme hilft. In diesem Artikel stellen wir eine Tabelle der grundlegenden trigonometrischen Funktionen (Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens) für Winkel von 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 Grad (0, π 6, π 3, π) bereit 2,... , 2 π Bogenmaß). Es werden auch separate Bradis-Tabellen für Sinus und Cosinus, Tangens und Kotangens gezeigt, mit einer Erklärung, wie man sie zum Ermitteln der Werte grundlegender trigonometrischer Funktionen verwendet.
Tabelle der grundlegenden trigonometrischen Funktionen für die Winkel 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 Grad
Basierend auf den Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens können Sie die Werte dieser Funktionen für Winkel von 0 und 90 Grad ermitteln
sin 0 = 0, cos 0 = 1, t g 0 = 0, Kotangens Null ist nicht definiert,
sin 90° = 1, cos 90° = 0, c t g 90° = 0, Tangens von neunzig Grad ist nicht definiert.
Die Werte von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens im Geometriekurs werden als Verhältnis der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks definiert, dessen Winkel 30, 60 und 90 Grad sowie 45, 45 und 90 Grad betragen.
Definieren trigonometrischer Funktionen für einen spitzen Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck
Sinus- das Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse.
Kosinus- das Verhältnis des angrenzenden Beins zur Hypotenuse.
Tangente- das Verhältnis der Gegenseite zur Nachbarseite.
Kotangens- das Verhältnis der Anliegerseite zur Gegenseite.
Entsprechend den Definitionen ergeben sich die Werte der Funktionen:
sin 30 ° = 1 2 , cos 30 ° = 3 2 , t g 30 ° = 3 3 , c t g 30 ° = 3 , sin 45 ° = 2 2 , cos 45 ° = 2 2 , t g 45 ° = 1 , c t g 45 ° = 1, sin 60° = 3 2, cos 45° = 1 2, tg 45° = 3, c tg 45° = 3 3.
Tragen wir diese Werte in eine Tabelle ein und nennen wir sie eine Tabelle der Grundwerte von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens.
| α ° | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 |
| Sünde α | 0 | 1 2 | 2 2 | 3 2 | 1 |
| cos α | 1 | 3 2 | 2 2 | 1 2 | 0 |
| t g α | 0 | 3 3 | 1 | 3 | unbestimmt |
| c t g α | unbestimmt | 3 | 1 | 3 3 | 0 |
| α, r a d i a n | 0 | π 6 | π 4 | π 3 | π 2 |
Eine der wichtigen Eigenschaften trigonometrischer Funktionen ist die Periodizität. Basierend auf dieser Eigenschaft kann diese Tabelle mithilfe von Reduktionsformeln erweitert werden. Nachfolgend präsentieren wir eine erweiterte Tabelle der Werte der wichtigsten trigonometrischen Funktionen für die Winkel 0, 30, 60, ... , 120, 135, 150, 180, ... , 360 Grad (0, π 6, π 3 , π 2, ... , 2 π Bogenmaß).
| α ° | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 | 120 | 135 | 150 | 180 | 210 | 225 | 240 | 270 | 300 | 315 | 330 | 360 |
| Sünde α | 0 | 1 2 | 2 2 | 3 2 | 1 | 3 2 | 2 2 | 1 2 | 0 | - 1 2 | - 2 2 | - 3 2 | - 1 | - 3 2 | - 2 2 | - 1 2 | 0 |
| cos α | 1 | 3 2 | 2 2 | 1 2 | 0 | - 1 2 | - 2 2 | - 3 2 | - 1 | - 3 2 | - 2 2 | - 1 2 | 0 | 1 2 | 2 2 | 3 2 | 1 |
| t g α | 0 | 3 3 | 1 | 3 | - | - 1 | - 3 3 | 0 | 0 | 3 3 | 1 | 3 | - | - 3 | - 1 | 0 | |
| c t g α | - | 3 | 1 | 3 3 | 0 | - 3 3 | - 1 | - 3 | - | 3 | 1 | 3 3 | 0 | - 3 3 | - 1 | - 3 | - |
| α, r a d i a n | 0 | π 6 | π 4 | π 3 | π 2 | 2 π 3 | 3 π 4 | 5 π 6 | π | 7 π 6 | 5 π 4 | 4 π 3 | 3 π 2 | 5 π 3 | 7 π 4 | 11 π 6 | 2π |
Durch die Periodizität von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens können Sie diese Tabelle auf beliebig große Winkelwerte erweitern. Die in der Tabelle gesammelten Werte werden am häufigsten bei der Lösung von Problemen verwendet, daher wird empfohlen, sie sich zu merken.
So verwenden Sie die Tabelle der Grundwerte trigonometrischer Funktionen
Das Prinzip der Verwendung einer Wertetabelle für Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens ist auf intuitiver Ebene klar. Der Schnittpunkt einer Zeile und einer Spalte gibt den Wert der Funktion für einen bestimmten Winkel an.
Beispiel. Verwendung der Sinus-, Kosinus-, Tangens- und Kotangenstabelle
Wir müssen herausfinden, was sin 7 π 6 ist
Wir finden eine Spalte in der Tabelle, deren letzter Zellenwert 7 π 6 Bogenmaß ist – das gleiche wie 210 Grad. Dann wählen wir den Term der Tabelle aus, in der die Sinuswerte dargestellt sind. Am Schnittpunkt von Zeile und Spalte finden wir den gewünschten Wert:
Sünde 7 π 6 = - 1 2
Bradis-Tische
Mit der Bradis-Tabelle können Sie den Wert von Sinus, Cosinus, Tangens oder Kotangens mit einer Genauigkeit von 4 Dezimalstellen ohne den Einsatz von Computertechnologie berechnen. Dies ist eine Art Ersatz für einen technischen Taschenrechner.
Referenz
Vladimir Modestovich Bradis (1890 - 1975) – sowjetischer Mathematiker-Lehrer, seit 1954 korrespondierendes Mitglied der Akademie der Pädagogischen Wissenschaften der UdSSR. Die von Bradis entwickelten Tabellen vierstelliger Logarithmen und natürlicher trigonometrischer Größen wurden erstmals 1921 veröffentlicht.
Zunächst stellen wir die Bradis-Tabelle für Sinus und Cosinus vor. Damit können Sie die Näherungswerte dieser Funktionen für Winkel, die eine ganze Zahl von Grad und Minuten enthalten, ziemlich genau berechnen. Die Spalte ganz links in der Tabelle stellt Grad dar, und die oberste Zeile stellt Minuten dar. Beachten Sie, dass alle Winkelwerte der Bradis-Tabelle Vielfache von sechs Minuten sind.
Bradis-Tabelle für Sinus und Cosinus
| Sünde | 0" | 6" | 12" | 18" | 24" | 30" | 36" | 42" | 48" | 54" | 60" | cos | 1" | 2" | 3" |
| 0.0000 | 90° | ||||||||||||||
| 0° | 0.0000 | 0017 | 0035 | 0052 | 0070 | 0087 | 0105 | 0122 | 0140 | 0157 | 0175 | 89° | 3 | 6 | 9 |
| 1° | 0175 | 0192 | 0209 | 0227 | 0244 | 0262 | 0279 | 0297 | 0314 | 0332 | 0349 | 88° | 3 | 6 | 9 |
| 2° | 0349 | 0366 | 0384 | 0401 | 0419 | 0436 | 0454 | 0471 | 0488 | 0506 | 0523 | 87° | 3 | 6 | 9 |
| 3° | 0523 | 0541 | 0558 | 0576 | 0593 | 0610 | 0628 | 0645 | 0663 | 0680 | 0698 | 86° | 3 | 6 | 9 |
| 4° | 0698 | 0715 | 0732 | 0750 | 0767 | 0785 | 0802 | 0819 | 0837 | 0854 | 0.0872 | 85° | 3 | 6 | 9 |
| 5° | 0.0872 | 0889 | 0906 | 0924 | 0941 | 0958 | 0976 | 0993 | 1011 | 1028 | 1045 | 84° | 3 | 6 | 9 |
| 6° | 1045 | 1063 | 1080 | 1097 | 1115 | 1132 | 1149 | 1167 | 1184 | 1201 | 1219 | 83° | 3 | 6 | 9 |
| 7° | 1219 | 1236 | 1253 | 1271 | 1288 | 1305 | 1323 | 1340 | 1357 | 1374 | 1392 | 82° | 3 | 6 | 9 |
| 8° | 1392 | 1409 | 1426 | 1444 | 1461 | 1478 | 1495 | 1513 | 1530 | 1547 | 1564 | 81° | 3 | 6 | 9 |
| 9° | 1564 | 1582 | 1599 | 1616 | 1633 | 1650 | 1668 | 1685 | 1702 | 1719 | 0.1736 | 80° | 3 | 6 | 9 |
| 10° | 0.1736 | 1754 | 1771 | 1788 | 1805 | 1822 | 1840 | 1857 | 1874 | 1891 | 1908 | 79° | 3 | 6 | 9 |
| 11° | 1908 | 1925 | 1942 | 1959 | 1977 | 1994 | 2011 | 2028 | 2045 | 2062 | 2079 | 78° | 3 | 6 | 9 |
| 12° | 2079 | 2096 | 2113 | 2130 | 2147 | 2164 | 2181 | 2198 | 2215 | 2233 | 2250 | 77° | 3 | 6 | 9 |
| 13° | 2250 | 2267 | 2284 | 2300 | 2317 | 2334 | 2351 | 2368 | 2385 | 2402 | 2419 | 76° | 3 | 6 | 8 |
| 14° | 2419 | 2436 | 2453 | 2470 | 2487 | 2504 | 2521 | 2538 | 2554 | 2571 | 0.2588 | 75° | 3 | 6 | 8 |
| 15° | 0.2588 | 2605 | 2622 | 2639 | 2656 | 2672 | 2689 | 2706 | 2723 | 2740 | 2756 | 74° | 3 | 6 | 8 |
| 16° | 2756 | 2773 | 2790 | 2807 | 2823 | 2840 | 2857 | 2874 | 2890 | 2907 | 2924 | 73° | 3 | 6 | 8 |
| 17° | 2924 | 2940 | 2957 | 2974 | 2990 | 3007 | 3024 | 3040 | 3057 | 3074 | 3090 | 72° | 3 | 6 | 8 |
| 18° | 3090 | 3107 | 3123 | 3140 | 3156 | 3173 | 3190 | 3206 | 3223 | 3239 | 3256 | 71° | 3 | 6 | 8 |
| 19° | 3256 | 3272 | 3289 | 3305 | 3322 | 3338 | 3355 | 3371 | 3387 | 3404 | 0.3420 | 70° | 3 | 5 | 8 |
| 20° | 0.3420 | 3437 | 3453 | 3469 | 3486 | 3502 | 3518 | 3535 | 3551 | 3567 | 3584 | 69° | 3 | 5 | 8 |
| 21° | 3584 | 3600 | 3616 | 3633 | 3649 | 3665 | 3681 | 3697 | 3714 | 3730 | 3746 | 68° | 3 | 5 | 8 |
| 22° | 3746 | 3762 | 3778 | 3795 | 3811 | 3827 | 3843 | 3859 | 3875 | 3891 | 3907 | 67° | 3 | 5 | 8 |
| 23° | 3907 | 3923 | 3939 | 3955 | 3971 | 3987 | 4003 | 4019 | 4035 | 4051 | 4067 | 66° | 3 | 5 | 8 |
| 24° | 4067 | 4083 | 4099 | 4115 | 4131 | 4147 | 4163 | 4179 | 4195 | 4210 | 0.4226 | 65° | 3 | 5 | 8 |
| 25° | 0.4226 | 4242 | 4258 | 4274 | 4289 | 4305 | 4321 | 4337 | 4352 | 4368 | 4384 | 64° | 3 | 5 | 8 |
| 26° | 4384 | 4399 | 4415 | 4431 | 4446 | 4462 | 4478 | 4493 | 4509 | 4524 | 4540 | 63° | 3 | 5 | 8 |
| 27° | 4540 | 4555 | 4571 | 4586 | 4602 | 4617 | 4633 | 4648 | 4664 | 4679 | 4695 | 62° | 3 | 5 | 8 |
| 28° | 4695 | 4710 | 4726 | 4741 | 4756 | 4772 | 4787 | 4802 | 4818 | 4833 | 4848 | 61° | 3 | 5 | 8 |
| 29° | 4848 | 4863 | 4879 | 4894 | 4909 | 4924 | 4939 | 4955 | 4970 | 4985 | 0.5000 | 60° | 3 | 5 | 8 |
| 30° | 0.5000 | 5015 | 5030 | 5045 | 5060 | 5075 | 5090 | 5105 | 5120 | 5135 | 5150 | 59° | 3 | 5 | 8 |
| 31° | 5150 | 5165 | 5180 | 5195 | 5210 | 5225 | 5240 | 5255 | 5270 | 5284 | 5299 | 58° | 2 | 5 | 7 |
| 32° | 5299 | 5314 | 5329 | 5344 | 5358 | 5373 | 5388 | 5402 | 5417 | 5432 | 5446 | 57° | 2 | 5 | 7 |
| 33° | 5446 | 5461 | 5476 | 5490 | 5505 | 5519 | 5534 | 5548 | 5563 | 5577 | 5592 | 56° | 2 | 5 | 7 |
| 34° | 5592 | 5606 | 5621 | 5635 | 5650 | 5664 | 5678 | 5693 | 5707 | 5721 | 0.5736 | 55° | 2 | 5 | 7 |
| 35° | 0.5736 | 5750 | 5764 | 5779 | 5793 | 5807 | 5821 | 5835 | 5850 | 5864 | 0.5878 | 54° | 2 | 5 | 7 |
| 36° | 5878 | 5892 | 5906 | 5920 | 5934 | 5948 | 5962 | 5976 | 5990 | 6004 | 6018 | 53° | 2 | 5 | 7 |
| 37° | 6018 | 6032 | 6046 | 6060 | 6074 | 6088 | 6101 | 6115 | 6129 | 6143 | 6157 | 52° | 2 | 5 | 7 |
| 38° | 6157 | 6170 | 6184 | 6198 | 6211 | 6225 | 6239 | 6252 | 6266 | 6280 | 6293 | 51° | 2 | 5 | 7 |
| 39° | 6293 | 6307 | 6320 | 6334 | 6347 | 6361 | 6374 | 6388 | 6401 | 6414 | 0.6428 | 50° | 2 | 4 | 7 |
| 40° | 0.6428 | 6441 | 6455 | 6468 | 6481 | 6494 | 6508 | 6521 | 6534 | 6547 | 6561 | 49° | 2 | 4 | 7 |
| 41° | 6561 | 6574 | 6587 | 6600 | 6613 | 6626 | 6639 | 6652 | 6665 | 6678 | 6691 | 48° | 2 | 4 | 7 |
| 42° | 6691 | 6704 | 6717 | 6730 | 6743 | 6756 | 6769 | 6782 | 6794 | 6807 | 6820 | 47° | 2 | 4 | 6 |
| 43° | 6820 | 6833 | 6845 | 6858 | 6871 | 6884 | 6896 | 8909 | 6921 | 6934 | 6947 | 46° | 2 | 4 | 6 |
| 44° | 6947 | 6959 | 6972 | 6984 | 6997 | 7009 | 7022 | 7034 | 7046 | 7059 | 0.7071 | 45° | 2 | 4 | 6 |
| 45° | 0.7071 | 7083 | 7096 | 7108 | 7120 | 7133 | 7145 | 7157 | 7169 | 7181 | 7193 | 44° | 2 | 4 | 6 |
| 46° | 7193 | 7206 | 7218 | 7230 | 7242 | 7254 | 7266 | 7278 | 7290 | 7302 | 7314 | 43° | 2 | 4 | 6 |
| 47° | 7314 | 7325 | 7337 | 7349 | 7361 | 7373 | 7385 | 7396 | 7408 | 7420 | 7431 | 42° | 2 | 4 | 6 |
| 48° | 7431 | 7443 | 7455 | 7466 | 7478 | 7490 | 7501 | 7513 | 7524 | 7536 | 7547 | 41° | 2 | 4 | 6 |
| 49° | 7547 | 7559 | 7570 | 7581 | 7593 | 7604 | 7615 | 7627 | 7638 | 7649 | 0.7660 | 40° | 2 | 4 | 6 |
| 50° | 0.7660 | 7672 | 7683 | 7694 | 7705 | 7716 | 7727 | 7738 | 7749 | 7760 | 7771 | 39° | 2 | 4 | 6 |
| 51° | 7771 | 7782 | 7793 | 7804 | 7815 | 7826 | 7837 | 7848 | 7859 | 7869 | 7880 | 38° | 2 | 4 | 5 |
| 52° | 7880 | 7891 | 7902 | 7912 | 7923 | 7934 | 7944 | 7955 | 7965 | 7976 | 7986 | 37° | 2 | 4 | 5 |
| 53° | 7986 | 7997 | 8007 | 8018 | 8028 | 8039 | 8049 | 8059 | 8070 | 8080 | 8090 | 36° | 2 | 3 | 5 |
| 54° | 8090 | 8100 | 8111 | 8121 | 8131 | 8141 | 8151 | 8161 | 8171 | 8181 | 0.8192 | 35° | 2 | 3 | 5 |
| 55° | 0.8192 | 8202 | 8211 | 8221 | 8231 | 8241 | 8251 | 8261 | 8271 | 8281 | 8290 | 34° | 2 | 3 | 5 |
| 56° | 8290 | 8300 | 8310 | 8320 | 8329 | 8339 | 8348 | 8358 | 8368 | 8377 | 8387 | 33° | 2 | 3 | 5 |
| 57° | 8387 | 8396 | 8406 | 8415 | 8425 | 8434 | 8443 | 8453 | 8462 | 8471 | 8480 | 32° | 2 | 3 | 5 |
| 58° | 8480 | 8490 | 8499 | 8508 | 8517 | 8526 | 8536 | 8545 | 8554 | 8563 | 8572 | 31° | 2 | 3 | 5 |
| 59° | 8572 | 8581 | 8590 | 8599 | 8607 | 8616 | 8625 | 8634 | 8643 | 8652 | 0.8660 | 30° | 1 | 3 | 4 |
| 60° | 0.8660 | 8669 | 8678 | 8686 | 8695 | 8704 | 8712 | 8721 | 8729 | 8738 | 8746 | 29° | 1 | 3 | 4 |
| 61° | 8746 | 8755 | 8763 | 8771 | 8780 | 8788 | 8796 | 8805 | 8813 | 8821 | 8829 | 28° | 1 | 3 | 4 |
| 62° | 8829 | 8838 | 8846 | 8854 | 8862 | 8870 | 8878 | 8886 | 8894 | 8902 | 8910 | 27° | 1 | 3 | 4 |
| 63° | 8910 | 8918 | 8926 | 8934 | 8942 | 8949 | 8957 | 8965 | 8973 | 8980 | 8988 | 26° | 1 | 3 | 4 |
| 64° | 8988 | 8996 | 9003 | 9011 | 9018 | 9026 | 9033 | 9041 | 9048 | 9056 | 0.9063 | 25° | 1 | 3 | 4 |
| 65° | 0.9063 | 9070 | 9078 | 9085 | 9092 | 9100 | 9107 | 9114 | 9121 | 9128 | 9135 | 24° | 1 | 2 | 4 |
| 66° | 9135 | 9143 | 9150 | 9157 | 9164 | 9171 | 9178 | 9184 | 9191 | 9198 | 9205 | 23° | 1 | 2 | 3 |
| 67° | 9205 | 9212 | 9219 | 9225 | 9232 | 9239 | 9245 | 9252 | 9259 | 9256 | 9272 | 22° | 1 | 2 | 3 |
| 68° | 9272 | 9278 | 9285 | 9291 | 9298 | 9304 | 9311 | 9317 | 9323 | 9330 | 9336 | 21° | 1 | 2 | 3 |
| 69° | 9336 | 9342 | 9348 | 9354 | 9361 | 9367 | 9373 | 9379 | 9383 | 9391 | 0.9397 | 20° | 1 | 2 | 3 |
| 70° | 9397 | 9403 | 9409 | 9415 | 9421 | 9426 | 9432 | 9438 | 9444 | 9449 | 0.9455 | 19° | 1 | 2 | 3 |
| 71° | 9455 | 9461 | 9466 | 9472 | 9478 | 9483 | 9489 | 9494 | 9500 | 9505 | 9511 | 18° | 1 | 2 | 3 |
| 72° | 9511 | 9516 | 9521 | 9527 | 9532 | 9537 | 9542 | 9548 | 9553 | 9558 | 9563 | 17° | 1 | 2 | 3 |
| 73° | 9563 | 9568 | 9573 | 9578 | 9583 | 9588 | 9593 | 9598 | 9603 | 9608 | 9613 | 16° | 1 | 2 | 2 |
| 74° | 9613 | 9617 | 9622 | 9627 | 9632 | 9636 | 9641 | 9646 | 9650 | 9655 | 0.9659 | 15° | 1 | 2 | 2 |
| 75° | 9659 | 9664 | 9668 | 9673 | 9677 | 9681 | 9686 | 9690 | 9694 | 9699 | 9703 | 14° | 1 | 1 | 2 |
| 76° | 9703 | 9707 | 9711 | 9715 | 9720 | 9724 | 9728 | 9732 | 9736 | 9740 | 9744 | 13° | 1 | 1 | 2 |
| 77° | 9744 | 9748 | 9751 | 9755 | 9759 | 9763 | 9767 | 9770 | 9774 | 9778 | 9781 | 12° | 1 | 1 | 2 |
| 78° | 9781 | 9785 | 9789 | 9792 | 9796 | 9799 | 9803 | 9806 | 9810 | 9813 | 9816 | 11° | 1 | 1 | 2 |
| 79° | 9816 | 9820 | 9823 | 9826 | 9829 | 9833 | 9836 | 9839 | 9842 | 9845 | 0.9848 | 10° | 1 | 1 | 2 |
| 80° | 0.9848 | 9851 | 9854 | 9857 | 9860 | 9863 | 9866 | 9869 | 9871 | 9874 | 9877 | 9° | 0 | 1 | 1 |
| 81° | 9877 | 9880 | 9882 | 9885 | 9888 | 9890 | 9893 | 9895 | 9898 | 9900 | 9903 | 8° | 0 | 1 | 1 |
| 82° | 9903 | 9905 | 9907 | 9910 | 9912 | 9914 | 9917 | 9919 | 9921 | 9923 | 9925 | 7° | 0 | 1 | 1 |
| 83° | 9925 | 9928 | 9930 | 9932 | 9934 | 9936 | 9938 | 9940 | 9942 | 9943 | 9945 | 6° | 0 | 1 | 1 |
| 84° | 9945 | 9947 | 9949 | 9951 | 9952 | 9954 | 9956 | 9957 | 9959 | 9960 | 9962 | 5° | 0 | 1 | 1 |
| 85° | 9962 | 9963 | 9965 | 9966 | 9968 | 9969 | 9971 | 9972 | 9973 | 9974 | 9976 | 4° | 0 | 0 | 1 |
| 86° | 9976 | 9977 | 9978 | 9979 | 9980 | 9981 | 9982 | 9983 | 9984 | 9985 | 9986 | 3° | 0 | 0 | 0 |
| 87° | 9986 | 9987 | 9988 | 9989 | 9990 | 9990 | 9991 | 9992 | 9993 | 9993 | 9994 | 2° | 0 | 0 | 0 |
| 88° | 9994 | 9995 | 9995 | 9996 | 9996 | 9997 | 9997 | 9997 | 9998 | 9998 | 0.9998 | 1° | 0 | 0 | 0 |
| 89° | 9998 | 9999 | 9999 | 9999 | 9999 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 0° | 0 | 0 | 0 |
| 90° | 1.0000 | ||||||||||||||
| Sünde | 60" | 54" | 48" | 42" | 36" | 30" | 24" | 18" | 12" | 6" | 0" | cos | 1" | 2" | 3" |
Um die Sinus- und Kosinuswerte von Winkeln zu ermitteln, die nicht in der Tabelle aufgeführt sind, müssen Korrekturen vorgenommen werden.
Jetzt präsentieren wir die Bradis-Tabelle für Tangenten und Kotangenten. Es enthält Werte für Tangenten von Winkeln von 0 bis 76 Grad und Kotangenten von Winkeln von 14 bis 90 Grad.
Bradis-Tabelle für Tangens und Kotangens
| tg | 0" | 6" | 12" | 18" | 24" | 30" | 36" | 42" | 48" | 54" | 60" | ctg | 1" | 2" | 3" |
| 0 | 90° | ||||||||||||||
| 0° | 0,000 | 0017 | 0035 | 0052 | 0070 | 0087 | 0105 | 0122 | 0140 | 0157 | 0175 | 89° | 3 | 6 | 9 |
| 1° | 0175 | 0192 | 0209 | 0227 | 0244 | 0262 | 0279 | 0297 | 0314 | 0332 | 0349 | 88° | 3 | 6 | 9 |
| 2° | 0349 | 0367 | 0384 | 0402 | 0419 | 0437 | 0454 | 0472 | 0489 | 0507 | 0524 | 87° | 3 | 6 | 9 |
| 3° | 0524 | 0542 | 0559 | 0577 | 0594 | 0612 | 0629 | 0647 | 0664 | 0682 | 0699 | 86° | 3 | 6 | 9 |
| 4° | 0699 | 0717 | 0734 | 0752 | 0769 | 0787 | 0805 | 0822 | 0840 | 0857 | 0,0875 | 85° | 3 | 6 | 9 |
| 5° | 0,0875 | 0892 | 0910 | 0928 | 0945 | 0963 | 0981 | 0998 | 1016 | 1033 | 1051 | 84° | 3 | 6 | 9 |
| 6° | 1051 | 1069 | 1086 | 1104 | 1122 | 1139 | 1157 | 1175 | 1192 | 1210 | 1228 | 83° | 3 | 6 | 9 |
| 7° | 1228 | 1246 | 1263 | 1281 | 1299 | 1317 | 1334 | 1352 | 1370 | 1388 | 1405 | 82° | 3 | 6 | 9 |
| 8° | 1405 | 1423 | 1441 | 1459 | 1477 | 1495 | 1512 | 1530 | 1548 | 1566 | 1584 | 81° | 3 | 6 | 9 |
| 9° | 1584 | 1602 | 1620 | 1638 | 1655 | 1673 | 1691 | 1709 | 1727 | 1745 | 0,1763 | 80° | 3 | 6 | 9 |
| 10° | 0,1763 | 1781 | 1799 | 1817 | 1835 | 1853 | 1871 | 1890 | 1908 | 1926 | 1944 | 79° | 3 | 6 | 9 |
| 11° | 1944 | 1962 | 1980 | 1998 | 2016 | 2035 | 2053 | 2071 | 2089 | 2107 | 2126 | 78° | 3 | 6 | 9 |
| 12° | 2126 | 2144 | 2162 | 2180 | 2199 | 2217 | 2235 | 2254 | 2272 | 2290 | 2309 | 77° | 3 | 6 | 9 |
| 13° | 2309 | 2327 | 2345 | 2364 | 2382 | 2401 | 2419 | 2438 | 2456 | 2475 | 2493 | 76° | 3 | 6 | 9 |
| 14° | 2493 | 2512 | 2530 | 2549 | 2568 | 2586 | 2605 | 2623 | 2642 | 2661 | 0,2679 | 75° | 3 | 6 | 9 |
| 15° | 0,2679 | 2698 | 2717 | 2736 | 2754 | 2773 | 2792 | 2811 | 2830 | 2849 | 2867 | 74° | 3 | 6 | 9 |
| 16° | 2867 | 2886 | 2905 | 2924 | 2943 | 2962 | 2981 | 3000 | 3019 | 3038 | 3057 | 73° | 3 | 6 | 9 |
| 17° | 3057 | 3076 | 3096 | 3115 | 3134 | 3153 | 3172 | 3191 | 3211 | 3230 | 3249 | 72° | 3 | 6 | 10 |
| 18° | 3249 | 3269 | 3288 | 3307 | 3327 | 3346 | 3365 | 3385 | 3404 | 3424 | 3443 | 71° | 3 | 6 | 10 |
| 19° | 3443 | 3463 | 3482 | 3502 | 3522 | 3541 | 3561 | 3581 | 3600 | 3620 | 0,3640 | 70° | 3 | 7 | 10 |
| 20° | 0,3640 | 3659 | 3679 | 3699 | 3719 | 3739 | 3759 | 3779 | 3799 | 3819 | 3839 | 69° | 3 | 7 | 10 |
| 21° | 3839 | 3859 | 3879 | 3899 | 3919 | 3939 | 3959 | 3979 | 4000 | 4020 | 4040 | 68° | 3 | 7 | 10 |
| 22° | 4040 | 4061 | 4081 | 4101 | 4122 | 4142 | 4163 | 4183 | 4204 | 4224 | 4245 | 67° | 3 | 7 | 10 |
| 23° | 4245 | 4265 | 4286 | 4307 | 4327 | 4348 | 4369 | 4390 | 4411 | 4431 | 4452 | 66° | 3 | 7 | 10 |
| 24° | 4452 | 4473 | 4494 | 4515 | 4536 | 4557 | 4578 | 4599 | 4621 | 4642 | 0,4663 | 65° | 4 | 7 | 11 |
| 25° | 0,4663 | 4684 | 4706 | 4727 | 4748 | 4770 | 4791 | 4813 | 4834 | 4856 | 4877 | 64° | 4 | 7 | 11 |
| 26° | 4877 | 4899 | 4921 | 4942 | 4964 | 4986 | 5008 | 5029 | 5051 | 5073 | 5095 | 63° | 4 | 7 | 11 |
| 27° | 5095 | 5117 | 5139 | 5161 | 5184 | 5206 | 5228 | 5250 | 5272 | 5295 | 5317 | 62° | 4 | 7 | 11 |
| 28° | 5317 | 5340 | 5362 | 5384 | 5407 | 5430 | 5452 | 5475 | 5498 | 5520 | 5543 | 61° | 4 | 8 | 11 |
| 29° | 5543 | 5566 | 5589 | 5612 | 5635 | 5658 | 5681 | 5704 | 5727 | 5750 | 0,5774 | 60° | 4 | 8 | 12 |
| 30° | 0,5774 | 5797 | 5820 | 5844 | 5867 | 5890 | 5914 | 5938 | 5961 | 5985 | 6009 | 59° | 4 | 8 | 12 |
| 31° | 6009 | 6032 | 6056 | 6080 | 6104 | 6128 | 6152 | 6176 | 6200 | 6224 | 6249 | 58° | 4 | 8 | 12 |
| 32° | 6249 | 6273 | 6297 | 6322 | 6346 | 6371 | 6395 | 6420 | 6445 | 6469 | 6494 | 57° | 4 | 8 | 12 |
| 33° | 6494 | 6519 | 6544 | 6569 | 6594 | 6619 | 6644 | 6669 | 6694 | 6720 | 6745 | 56° | 4 | 8 | 13 |
| 34° | 6745 | 6771 | 6796 | 6822 | 6847 | 6873 | 6899 | 6924 | 6950 | 6976 | 0,7002 | 55° | 4 | 9 | 13 |
| 35° | 0,7002 | 7028 | 7054 | 7080 | 7107 | 7133 | 7159 | 7186 | 7212 | 7239 | 7265 | 54° | 4 | 8 | 13 |
| 36° | 7265 | 7292 | 7319 | 7346 | 7373 | 7400 | 7427 | 7454 | 7481 | 7508 | 7536 | 53° | 5 | 9 | 14° |
| 37° | 7536 | 7563 | 7590 | 7618 | 7646 | 7673 | 7701 | 7729 | 7757 | 7785 | 7813 | 52° | 5 | 9 | 14 |
| 38° | 7813 | 7841 | 7869 | 7898 | 7926 | 7954 | 7983 | 8012 | 8040 | 8069 | 8098 | 51° | 5 | 9 | 14 |
| 39° | 8098 | 8127 | 8156 | 8185 | 8214 | 8243 | 8273 | 8302 | 8332 | 8361 | 0,8391 | 50° | 5 | 10 | 15 |
| 40° | 0,8391 | 8421 | 8451 | 8481 | 8511 | 8541 | 8571 | 8601 | 8632 | 8662 | 0,8693 | 49° | 5 | 10 | 15 |
| 41° | 8693 | 8724 | 8754 | 8785 | 8816 | 8847 | 8878 | 8910 | 8941 | 8972 | 9004 | 48° | 5 | 10 | 16 |
| 42° | 9004 | 9036 | 9067 | 9099 | 9131 | 9163 | 9195 | 9228 | 9260 | 9293 | 9325 | 47° | 6 | 11 | 16 |
| 43° | 9325 | 9358 | 9391 | 9424 | 9457 | 9490 | 9523 | 9556 | 9590 | 9623 | 0,9657 | 46° | 6 | 11 | 17 |
| 44° | 9657 | 9691 | 9725 | 9759 | 9793 | 9827 | 9861 | 9896 | 9930 | 9965 | 1,0000 | 45° | 6 | 11 | 17 |
| 45° | 1,0000 | 0035 | 0070 | 0105 | 0141 | 0176 | 0212 | 0247 | 0283 | 0319 | 0355 | 44° | 6 | 12 | 18 |
| 46° | 0355 | 0392 | 0428 | 0464 | 0501 | 0538 | 0575 | 0612 | 0649 | 0686 | 0724 | 43° | 6 | 12 | 18 |
| 47° | 0724 | 0761 | 0799 | 0837 | 0875 | 0913 | 0951 | 0990 | 1028 | 1067 | 1106 | 42° | 6 | 13 | 19 |
| 48° | 1106 | 1145 | 1184 | 1224 | 1263 | 1303 | 1343 | 1383 | 1423 | 1463 | 1504 | 41° | 7 | 13 | 20 |
| 49° | 1504 | 1544 | 1585 | 1626 | 1667 | 1708 | 1750 | 1792 | 1833 | 1875 | 1,1918 | 40° | 7 | 14 | 21 |
| 50° | 1,1918 | 1960 | 2002 | 2045 | 2088 | 2131 | 2174 | 2218 | 2261 | 2305 | 2349 | 39° | 7 | 14 | 22 |
| 51° | 2349 | 2393 | 2437 | 2482 | 2527 | 2572 | 2617 | 2662 | 2708 | 2753 | 2799 | 38° | 8 | 15 | 23 |
| 52° | 2799 | 2846 | 2892 | 2938 | 2985 | 3032 | 3079 | 3127 | 3175 | 3222 | 3270 | 37° | 8 | 16 | 24 |
| 53° | 3270 | 3319 | 3367 | 3416 | 3465 | 3514 | 3564 | 3613 | 3663 | 3713 | 3764 | 36° | 8 | 16 | 25 |
| 54° | 3764 | 3814 | 3865 | 3916 | 3968 | 4019 | 4071 | 4124 | 4176 | 4229 | 1,4281 | 35° | 9 | 17 | 26 |
| 55° | 1,4281 | 4335 | 4388 | 4442 | 4496 | 4550 | 4605 | 4659 | 4715 | 4770 | 4826 | 34° | 9 | 18 | 27 |
| 56° | 4826 | 4882 | 4938 | 4994 | 5051 | 5108 | 5166 | 5224 | 5282 | 5340 | 5399 | 33° | 10 | 19 | 29 |
| 57° | 5399 | 5458 | 5517 | 5577 | 5637 | 5697 | 5757 | 5818 | 5880 | 5941 | 6003 | 32° | 10 | 20 | 30 |
| 58° | 6003 | 6066 | 6128 | 6191 | 6255 | 6319 | 6383 | 6447 | 6512 | 6577 | 6643 | 31° | 11 | 21 | 32 |
| 59° | 6643 | 6709 | 6775 | 6842 | 6909 | 6977 | 7045 | 7113 | 7182 | 7251 | 1,7321 | 30° | 11 | 23 | 34 |
| 60° | 1,732 | 1,739 | 1,746 | 1,753 | 1,760 | 1,767 | 1,775 | 1,782 | 1,789 | 1,797 | 1,804 | 29° | 1 | 2 | 4 |
| 61° | 1,804 | 1,811 | 1,819 | 1,827 | 1,834 | 1,842 | 1,849 | 1,857 | 1,865 | 1,873 | 1,881 | 28° | 1 | 3 | 4 |
| 62° | 1,881 | 1,889 | 1,897 | 1,905 | 1,913 | 1,921 | 1,929 | 1,937 | 1,946 | 1,954 | 1,963 | 27° | 1 | 3 | 4 |
| 63° | 1,963 | 1,971 | 1,980 | 1,988 | 1,997 | 2,006 | 2,014 | 2,023 | 2,032 | 2,041 | 2,05 | 26° | 1 | 3 | 4 |
| 64° | 2,050 | 2,059 | 2,069 | 2,078 | 2,087 | 2,097 | 2,106 | 2,116 | 2,125 | 2,135 | 2,145 | 25° | 2 | 3 | 5 |
| 65° | 2,145 | 2,154 | 2,164 | 2,174 | 2,184 | 2,194 | 2,204 | 2,215 | 2,225 | 2,236 | 2,246 | 24° | 2 | 3 | 5 |
| 66° | 2,246 | 2,257 | 2,267 | 2,278 | 2,289 | 2,3 | 2,311 | 2,322 | 2,333 | 2,344 | 2,356 | 23° | 2 | 4 | 5 |
| 67° | 2,356 | 2,367 | 2,379 | 2,391 | 2,402 | 2,414 | 2,426 | 2,438 | 2,450 | 2,463 | 2,475 | 22° | 2 | 4 | 6 |
| 68° | 2,475 | 2,488 | 2,5 | 2,513 | 2,526 | 2,539 | 2,552 | 2,565 | 2,578 | 2,592 | 2,605 | 21° | 2 | 4 | 6 |
| 69° | 2,605 | 2,619 | 2,633 | 2,646 | 2,66 | 2,675 | 2,689 | 2,703 | 2,718 | 2,733 | 2,747 | 20° | 2 | 5 | 7 |
| 70° | 2,747 | 2,762 | 2,778 | 2,793 | 2,808 | 2,824 | 2,840 | 2,856 | 2,872 | 2,888 | 2,904 | 19° | 3 | 5 | 8 |
| 71° | 2,904 | 2,921 | 2,937 | 2,954 | 2,971 | 2,989 | 3,006 | 3,024 | 3,042 | 3,06 | 3,078 | 18° | 3 | 6 | 9 |
| 72° | 3,078 | 3,096 | 3,115 | 3,133 | 3,152 | 3,172 | 3,191 | 3,211 | 3,230 | 3,251 | 3,271 | 17° | 3 | 6 | 10 |
| 73° | 3,271 | 3,291 | 3,312 | 3,333 | 3,354 | 3,376 | 3 | 7 | 10 | ||||||
| 3,398 | 3,42 | 3,442 | 3,465 | 3,487 | 16° | 4 | 7 | 11 | |||||||
| 74° | 3,487 | 3,511 | 3,534 | 3,558 | 3,582 | 3,606 | 4 | 8 | 12 | ||||||
| 3,630 | 3,655 | 3,681 | 3,706 | 3,732 | 15° | 4 | 8 | 13 | |||||||
| 75° | 3,732 | 3,758 | 3,785 | 3,812 | 3,839 | 3,867 | 4 | 9 | 13 | ||||||
| 3,895 | 3,923 | 3,952 | 3,981 | 4,011 | 14° | 5 | 10 | 14 | |||||||
| tg | 60" | 54" | 48" | 42" | 36" | 30" | 24" | 18" | 12" | 6" | 0" | ctg | 1" | 2" | 3" |
So verwenden Sie Bradis-Tabellen
Betrachten Sie die Bradis-Tabelle für Sinus und Cosinus. Alles, was mit den Nebenhöhlen zu tun hat, befindet sich oben und links. Wenn wir Kosinuswerte benötigen, schauen Sie sich die rechte Seite unten in der Tabelle an.
Um die Werte des Sinus eines Winkels zu ermitteln, müssen Sie den Schnittpunkt der Zeile mit der erforderlichen Gradzahl in der Zelle ganz links und der Spalte mit der erforderlichen Minutenzahl in der oberen Zelle ermitteln.
Wenn der genaue Winkelwert nicht in der Bradis-Tabelle enthalten ist, greifen wir auf Korrekturen zurück. Korrekturen für eine, zwei und drei Minuten sind in den Tabellenspalten ganz rechts angegeben. Um den Wert des Sinus eines Winkels zu ermitteln, der nicht in der Tabelle enthalten ist, ermitteln wir den Wert, der diesem am nächsten kommt. Danach addieren oder subtrahieren wir die Korrektur, die der Differenz zwischen den Winkeln entspricht.
Wenn wir den Sinus eines Winkels suchen, der größer als 90 Grad ist, müssen wir zuerst die Reduktionsformeln und erst dann die Bradis-Tabelle verwenden.
Beispiel. So verwenden Sie den Bradis-Tisch
Nehmen wir an, wir müssen den Sinus des Winkels 17 ° 44 " ermitteln. Mithilfe der Tabelle finden wir heraus, was der Sinus von 17 ° 42 " ist, und fügen seinem Wert eine Korrektur von zwei Minuten hinzu:
17°44" - 17°42" = 2" (notwendige Korrektur) sin 17°44" = 0. 3040 + 0 . 0006 = 0 . 3046
Das Prinzip der Arbeit mit Kosinus, Tangens und Kotangens ist ähnlich. Es ist jedoch wichtig, sich das Vorzeichen der Änderungsanträge zu merken.
Wichtig!
Bei der Berechnung der Sinuswerte hat die Korrektur ein positives Vorzeichen, und bei der Berechnung der Kosinuswerte muss die Korrektur mit einem negativen Vorzeichen vorgenommen werden.
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