Und Savelyeva.

Während der Vorwärtsbewegung eines Körpers (§ 60 im Lehrbuch von E. M. Nikitin) bewegen sich alle seine Punkte auf identischen Bahnen und haben zu jedem Zeitpunkt die gleiche Geschwindigkeit und gleiche Beschleunigung.

Daher wird die Translationsbewegung eines Körpers durch die Bewegung eines beliebigen Punktes bestimmt, normalerweise durch die Bewegung des Schwerpunkts.

Wenn wir in einem beliebigen Problem die Bewegung eines Autos (Aufgabe 147) oder einer Diesellokomotive (Aufgabe 141) betrachten, berücksichtigen wir tatsächlich die Bewegung ihrer Schwerpunkte.

Die Rotationsbewegung eines Körpers (E.M. Nikitin, § 61) kann nicht mit der Bewegung eines seiner Punkte identifiziert werden. Die Achse jedes rotierenden Körpers (Dieselschwungrad, Elektromotorrotor, Maschinenspindel, Lüfterflügel usw.) nimmt während der Bewegung relativ zu den umgebenden stationären Körpern den gleichen Platz im Raum ein.

Bewegung eines materiellen Punktes bzw Vorwärtsbewegung Körper werden in Abhängigkeit von der Zeit charakterisiert lineare Größen s (Weg, Distanz), v (Geschwindigkeit) und a (Beschleunigung) mit seinen Komponenten a t und a n.

Rotationsbewegung Körper je nach Zeit t charakterisieren Winkelwerte: φ (Drehwinkel im Bogenmaß), ω (Winkelgeschwindigkeit in rad/s) und ε (Winkelbeschleunigung in rad/s 2).

Das Gesetz der Rotationsbewegung eines Körpers wird durch die Gleichung ausgedrückt
φ = f(t).

Winkelgeschwindigkeit- Eine Größe, die die Rotationsgeschwindigkeit eines Körpers charakterisiert, wird im allgemeinen Fall als Ableitung des Rotationswinkels nach der Zeit definiert
ω = dφ/dt = f" (t).

Winkelbeschleunigung- Eine Größe, die die Änderungsrate der Winkelgeschwindigkeit charakterisiert, wird als Ableitung der Winkelgeschwindigkeit definiert
ε = dω/dt = f"" (t).

Wenn man mit der Lösung von Problemen zur Rotationsbewegung eines Körpers beginnt, muss man bedenken, dass in technischen Berechnungen und Problemen die Winkelverschiebung in der Regel nicht im Bogenmaß φ, sondern in Umdrehungen φ ausgedrückt wird.

Daher ist es notwendig, von der Anzahl der Umdrehungen zur Messung der Winkelverschiebung im Bogenmaß übergehen zu können und umgekehrt.

Da eine volle Umdrehung 2π rad entspricht
φ = 2πφ ungefähr und φ ungefähr = φ/(2π).

Die Winkelgeschwindigkeit wird in technischen Berechnungen sehr oft in erzeugten Umdrehungen pro Minute (U/min) gemessen, daher ist es notwendig, klar zu verstehen, dass ω rad/s und n U/min dasselbe Konzept ausdrücken – die Rotationsgeschwindigkeit eines Körpers (Winkelgeschwindigkeit). allerdings in unterschiedlichen Einheiten – in rad/sec oder in rpm.

Der Übergang von einer Winkelgeschwindigkeitseinheit zur anderen erfolgt nach den Formeln
ω = πn/30 und n = 30ω/π.

Bei der Rotationsbewegung eines Körpers bewegen sich alle seine Punkte auf Kreisen, deren Mittelpunkte auf einer festen Geraden (der Achse des rotierenden Körpers) liegen. Bei der Lösung der in diesem Kapitel gestellten Probleme ist es sehr wichtig, den Zusammenhang zwischen den Winkelgrößen φ, ω und ε, die die Rotationsbewegung des Körpers charakterisieren, und den linearen Größen s, v, a t und an, die charakterisieren, klar zu verstehen die Bewegung verschiedener Punkte dieses Körpers (Abb. 205).

Wenn R der Abstand von der geometrischen Achse eines rotierenden Körpers zu einem beliebigen Punkt A ist (in Abb. 205 R = OA), dann ist die Beziehung zwischen φ – dem Drehwinkel des Körpers und s – der von einem Punkt zurückgelegten Strecke Der Körper drückt sich gleichzeitig wie folgt aus:
s = φR.

Die Beziehung zwischen der Winkelgeschwindigkeit eines Körpers und der Geschwindigkeit eines Punktes zu jedem gegebenen Zeitpunkt wird durch die Gleichheit ausgedrückt
v = ωR.

Die Tangentialbeschleunigung eines Punktes hängt von der Winkelbeschleunigung ab und wird durch die Formel bestimmt
a t = εR.

Die Normalbeschleunigung eines Punktes hängt von der Winkelgeschwindigkeit des Körpers ab und wird durch die Beziehung bestimmt
a n = ω 2 R.

Bei der Lösung des in diesem Kapitel gestellten Problems muss man sich klar darüber im Klaren sein, dass Rotation die Bewegung eines starren Körpers und nicht eines Punktes ist. Ein einzelner materieller Punkt dreht sich nicht, sondern bewegt sich im Kreis – er macht eine krummlinige Bewegung.

§ 33. Gleichmäßige Rotationsbewegung

Ist die Winkelgeschwindigkeit ω=const, dann heißt die Rotationsbewegung gleichförmig.

Die gleichförmige Rotationsgleichung hat die Form
φ = φ 0 + ωt.

Im besonderen Fall, wenn der anfängliche Drehwinkel φ 0 =0 ist,
φ = ωt.

Winkelgeschwindigkeit eines gleichmäßig rotierenden Körpers
ω = φ/t
lässt sich so ausdrücken:
ω = 2π/T,
wobei T die Rotationsperiode des Körpers ist; φ=2π – Drehwinkel für eine Periode.

§ 34. Gleichmäßig alternierende Drehbewegung

Eine Rotationsbewegung mit variabler Winkelgeschwindigkeit wird als ungleichmäßig bezeichnet (siehe unten § 35). Ist die Winkelbeschleunigung ε=const, so spricht man von einer Drehbewegung gleichermaßen variabel. Somit ist die gleichmäßige Rotation eines Körpers ein Sonderfall einer ungleichmäßigen Rotationsbewegung.

Gleichung der gleichmäßigen Rotation
(1) φ = φ 0 + ω 0 t + εt 2 /2
und die Gleichung, die die Winkelgeschwindigkeit eines Körpers zu jedem Zeitpunkt ausdrückt,
(2) ω = ω 0 + εt
stellen eine Reihe grundlegender Formeln für die gleichförmige Rotationsbewegung eines Körpers dar.

Diese Formeln umfassen nur sechs Größen: drei Konstanten für ein gegebenes Problem φ 0, ω 0 und ε und drei Variablen φ, ω und t. Folglich muss die Bedingung jedes Problems für gleichmäßige Rotation mindestens vier spezifizierte Größen enthalten.

Um die Lösung einiger Probleme zu erleichtern, können aus den Gleichungen (1) und (2) zwei weitere Hilfsformeln erhalten werden.

Lassen Sie uns die Winkelbeschleunigung ε aus (1) und (2) ausschließen:
(3) φ = φ 0 + (ω + ω 0)t/2.

Lassen Sie uns die Zeit t aus (1) und (2) ausschließen:
(4) φ = φ 0 + (ω 2 - ω 0 2)/(2ε).

Im besonderen Fall einer gleichmäßig beschleunigten Rotation ausgehend vom Ruhezustand gilt φ 0 =0 und ω 0 =0. Daher haben die oben genannten Grund- und Hilfsformeln die folgende Form:
(5) φ = εt 2 /2;
(6) ω = εt;
(7) φ = ωt/2;
(8) φ = ω 2 /(2ε).

§ 35. Ungleichmäßige Drehbewegung

Betrachten wir ein Beispiel für die Lösung eines Problems, bei dem eine ungleichmäßige Rotationsbewegung eines Körpers angegeben wird.

Die Rotationsbewegung eines starren Körpers um eine feste Achse ist eine solche Bewegung, bei der zwei beliebige Punkte, die zum Körper gehören (oder immer mit ihm verbunden sind), während der gesamten Bewegung bewegungslos bleiben(Abb. 2.2) .

Abbildung 2.2

Durchfahren von Fixpunkten A Und IN die Gerade heißt Drehachse. Da der Abstand zwischen den Punkten eines starren Körpers unverändert bleiben muss, ist es offensichtlich, dass während der Rotationsbewegung alle zur Achse gehörenden Punkte bewegungslos sind und alle anderen Kreise beschreiben, deren Ebenen senkrecht zur Rotationsachse stehen. und die Zentren liegen auf dieser Achse. Um die Position eines rotierenden Körpers zu bestimmen, zeichnen wir durch die Rotationsachse, entlang derer die Achse gerichtet ist Az, Halbebene І – fest und halbflächig ІІ eingebettet in den Körper selbst und rotiert mit ihm. Dann wird die Position des Körpers zu jedem Zeitpunkt eindeutig durch den Winkel bestimmt, der mit dem entsprechenden Vorzeichen eingenommen wird φ zwischen diesen Ebenen, die wir nennen Körperdrehwinkel. Wir werden den Winkel betrachten φ positiv, wenn es verzögert ist von einer festen Ebene gegen den Uhrzeigersinn (für einen Beobachter, der vom positiven Ende der Achse aus blickt). Az), und negativ, wenn im Uhrzeigersinn. Winkel messen φ Wir werden im Bogenmaß sein. Um die Position des Körpers zu jedem Zeitpunkt zu kennen, muss man die Winkelabhängigkeit kennen φ von Zeit T, d.h.

.

Diese Gleichung drückt aus das Gesetz der Rotationsbewegung eines starren Körpers um eine feste Achse.

Die wichtigsten kinematischen Merkmale der Rotationsbewegung eines starren Körpers sind seine Winkelgeschwindigkeit ω und Winkelbeschleunigung ε.

9.2.1. Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung eines Körpers

Die Größe, die die zeitliche Änderungsrate des Drehwinkels φ charakterisiert, wird Winkelgeschwindigkeit genannt.

Wenn während eines bestimmten Zeitraums
Der Körper dreht sich um einen Winkel
, dann beträgt die numerisch durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit des Körpers während dieser Zeitspanne
. Im Limit bei
wir bekommen

Auf diese Weise, Der Zahlenwert der Winkelgeschwindigkeit eines Körpers zu einem bestimmten Zeitpunkt ist gleich der ersten Ableitung des Drehwinkels nach der Zeit.

Vorzeichenregel: Wenn die Drehung gegen den Uhrzeigersinn erfolgt, ω> 0, und wenn dann im Uhrzeigersinn ω< 0.

oder, da das Bogenmaß eine dimensionslose Größe ist,
.

Bei theoretischen Berechnungen ist es bequemer, den Winkelgeschwindigkeitsvektor zu verwenden , dessen Modul gleich ist und die entlang der Rotationsachse des Körpers in die Richtung gerichtet ist, aus der die Drehung entgegen dem Uhrzeigersinn sichtbar ist. Dieser Vektor bestimmt unmittelbar den Betrag der Winkelgeschwindigkeit, die Drehachse und die Drehrichtung um diese Achse.

Die Größe, die die Änderungsrate der Winkelgeschwindigkeit über die Zeit charakterisiert, wird Winkelbeschleunigung des Körpers genannt.

Wenn während eines bestimmten Zeitraums
der Zuwachs der Winkelgeschwindigkeit ist gleich
, dann die Beziehung
, d.h. bestimmt den Wert der durchschnittlichen Beschleunigung eines rotierenden Körpers über die Zeit
.

Beim Streben
wir erhalten den Betrag der Winkelbeschleunigung im Moment T:

Auf diese Weise, Der Zahlenwert der Winkelbeschleunigung eines Körpers zu einem bestimmten Zeitpunkt ist gleich der ersten Ableitung der Winkelgeschwindigkeit oder der zweiten Ableitung des Drehwinkels des Körpers in der Zeit.

Üblicherweise wird die Maßeinheit verwendet oder, was auch ist,
.

Wenn der Modul der Winkelgeschwindigkeit mit der Zeit zunimmt, spricht man von einer Drehung des Körpers beschleunigt, und wenn es abnimmt, - langsam. Wenn die Werte ω Und ε gleiche Vorzeichen haben, wird die Rotation beschleunigt, sind sie unterschiedlich, wird sie verlangsamt. Analog zur Winkelgeschwindigkeit lässt sich auch die Winkelbeschleunigung als Vektor darstellen , entlang der Rotationsachse gerichtet. Dabei

.

Wenn sich ein Körper in einer beschleunigten Richtung dreht fällt zusammen mit , und gegenüber mit langsamer Rotation.

Bleibt die Winkelgeschwindigkeit eines Körpers während der Bewegung konstant ( ω= const), dann nennt man die Drehung des Körpers Uniform.

Aus
wir haben
. Wenn man also dies im ersten Moment bedenkt
Ecke
und die Integrale links davon nehmen Vor , und rechts von 0 bis T, werden wir endlich bekommen

.

Mit gleichmäßiger Drehung, wenn =0,
Und
.

Die Geschwindigkeit einer gleichförmigen Rotation wird häufig durch die Anzahl der Umdrehungen pro Minute bestimmt und bezeichnet diesen Wert mit N U/min Finden wir die Beziehung zwischen N U/min und ω 1/s. Bei einer Umdrehung dreht sich der Körper um 2π und mit N U/min bei 2π N; Dieser Zug ist in 1 Minute erledigt, d.h. T= 1 Minute = 60 Sekunden. Es folgt dem

.

Wenn die Winkelbeschleunigung eines Körpers während seiner gesamten Bewegung konstant bleibt (ε = const), dann heißt die Rotation gleichermaßen variabel.

Im ersten Moment der Zeit T=0 Winkel
und die Winkelgeschwindigkeit
(- anfängliche Winkelgeschwindigkeit).
;
=ε
. Integration der linken Seite von Vor , und der rechte von 0 bis T, wir werden finden

Winkelgeschwindigkeit ω dieser Drehung
. Wenn ω und ε das gleiche Vorzeichen haben, erfolgt die Drehung gleichmäßig beschleunigt, und wenn anders - ebenso langsam.

Die Bewegung eines starren Körpers wird als Rotation bezeichnet, wenn während der Bewegung alle Punkte des Körpers, die auf einer bestimmten Geraden, der sogenannten Rotationsachse, liegen, bewegungslos bleiben(Abb. 2.15).

Üblicherweise wird die Position des Körpers während der Rotationsbewegung bestimmt Drehwinkel Körper , Dieser wird als Diederwinkel zwischen der festen und der beweglichen Ebene gemessen, die durch die Rotationsachse verläuft. Darüber hinaus ist die bewegliche Ebene mit einem rotierenden Körper verbunden.

Betrachten wir bewegliche und feste Koordinatensysteme, deren Ursprung an einem beliebigen Punkt O auf der Rotationsachse liegt. Die Oz-Achse, die dem beweglichen und dem festen Koordinatensystem gemeinsam ist, wird entlang der Rotationsachse, der Achse, ausgerichtet Oh des festen Koordinatensystems richten wir es senkrecht zur Oz-Achse aus, sodass es in der festen Ebene, der Achse, liegt Ach 1 Richten wir das sich bewegende Koordinatensystem senkrecht zur Oz-Achse aus, sodass es in der Bewegungsebene liegt (Abb. 2.15).

Betrachten wir einen Schnitt eines Körpers durch eine Ebene senkrecht zur Drehachse, dann ist der Drehwinkel φ kann als der Winkel zwischen der festen Achse definiert werden Oh und beweglicher Achse Ach 1, immer mit einem rotierenden Körper verbunden (Abb. 2.16).

Als Bezugsrichtung wird der Drehwinkel des Körpers übernommen φ gegen den Uhrzeigersinn gilt als positiv, wenn man sie aus der positiven Richtung der Oz-Achse betrachtet.

Gleichwertigkeit φ = φ(t), beschreibt die Winkeländerung φ in der Zeit wird das Gesetz oder die Gleichung der Rotationsbewegung eines starren Körpers genannt.

Die Geschwindigkeit und Richtung der Änderung des Drehwinkels eines starren Körpers werden charakterisiert durch Winkelgeschwindigkeit. Der absolute Wert der Winkelgeschwindigkeit wird üblicherweise durch einen Buchstaben des griechischen Alphabets angegeben ω (Omega). Der algebraische Wert der Winkelgeschwindigkeit wird üblicherweise mit bezeichnet. Der algebraische Wert der Winkelgeschwindigkeit ist gleich der ersten Ableitung des Drehwinkels nach der Zeit:

. (2.33)

Die Einheiten der Winkelgeschwindigkeit entsprechen den Einheiten des Winkels dividiert durch die Zeiteinheit, zum Beispiel Grad/Minute, Rad/Std. Im SI-System ist die Maßeinheit für die Winkelgeschwindigkeit rad/s, häufiger wird diese Maßeinheit jedoch als 1/s geschrieben.

Wenn > 0, dann dreht sich der Körper entgegen dem Uhrzeigersinn, wenn man ihn vom Ende der Koordinatenachse aus betrachtet, die mit der Rotationsachse ausgerichtet ist.

Wenn< 0, то тело вращается по ходу часовой стрелки, если смотреть с конца оси координат, совмещенной с осью вращения.

Die Geschwindigkeit und Richtung der Änderung der Winkelgeschwindigkeit werden durch die Winkelbeschleunigung charakterisiert. Der Absolutwert der Winkelbeschleunigung wird üblicherweise mit dem Buchstaben e (Epsilon) des griechischen Alphabets angegeben. Der algebraische Wert der Winkelbeschleunigung wird üblicherweise mit angegeben. Der algebraische Wert der Winkelbeschleunigung ist gleich der ersten zeitlichen Ableitung des algebraischen Werts der Winkelgeschwindigkeit bzw. der zweiten Ableitung des Drehwinkels:

Die Einheiten der Winkelbeschleunigung entsprechen den Winkeleinheiten dividiert durch die Zeiteinheit im Quadrat. Beispiel: Grad/s 2, rad/h 2. Im SI-System ist die Maßeinheit für die Winkelbeschleunigung rad/s 2, häufiger wird diese Maßeinheit jedoch als 1/s 2 geschrieben.

Wenn die algebraischen Werte von Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung das gleiche Vorzeichen haben, nimmt die Winkelgeschwindigkeit mit der Zeit betragsmäßig zu, und wenn sie unterschiedlich ist, nimmt sie ab.

Wenn die Winkelgeschwindigkeit konstant ist ( ω = const), dann ist es üblich zu sagen, dass die Rotation des Körpers gleichmäßig ist. In diesem Fall:

φ = t + φ 0, (2.35)

Wo φ 0 - anfänglicher Drehwinkel.

Ist die Winkelbeschleunigung konstant (e = const), so spricht man üblicherweise von einer gleichmäßig beschleunigten (gleichmäßig langsamen) Rotation des Körpers. In diesem Fall:

Wo 0 - anfängliche Winkelgeschwindigkeit.

In anderen Fällen, um die Abhängigkeit zu bestimmen φ aus Und Es ist notwendig, die Ausdrücke (2.33), (2.34) unter gegebenen Anfangsbedingungen zu integrieren.

In Zeichnungen wird die Drehrichtung eines Körpers manchmal mit einem gebogenen Pfeil dargestellt (Abb. 2.17).

In der Mechanik werden Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung häufig als Vektorgrößen betrachtet Und . Beide Vektoren sind entlang der Rotationsachse des Körpers gerichtet. Darüber hinaus der Vektor in eine Richtung gerichtet mit dem Einheitsvektor, der die Richtung der Koordinatenachse bestimmt, die mit der Rotationsachse zusammenfällt, wenn >0, und umgekehrt, wenn
Die Richtung des Vektors wird auf die gleiche Weise gewählt (Abb. 2.18).

Während der Rotationsbewegung eines Körpers bewegt sich jeder seiner Punkte (mit Ausnahme der Punkte, die auf der Rotationsachse liegen) entlang einer Trajektorie, die ein Kreis mit einem Radius ist, der dem kürzesten Abstand vom Punkt zur Rotationsachse entspricht (Abb . 2.19).

Da die Tangente eines Kreises an jedem Punkt einen Winkel von 90° mit dem Radius bildet, ist der Geschwindigkeitsvektor eines Punkts eines Körpers, der eine Rotationsbewegung durchführt, senkrecht zum Radius gerichtet und liegt in der Ebene des Kreises, der die ist Flugbahn der Punktbewegung. Die Tangentialkomponente der Beschleunigung liegt auf derselben Linie wie die Geschwindigkeit und die Normalkomponente ist radial zum Kreismittelpunkt gerichtet. Daher werden manchmal die Tangential- und Normalkomponenten der Beschleunigung während der Rotationsbewegung bezeichnet rotatorisch und zentripetal (axial) Komponenten (Abb. 2.19)

Der algebraische Wert der Geschwindigkeit eines Punktes wird durch den Ausdruck bestimmt:

, (2.37)

wobei R = OM der kürzeste Abstand vom Punkt zur Rotationsachse ist.

Der algebraische Wert der tangentialen Beschleunigungskomponente wird durch den Ausdruck bestimmt:

. (2.38)

Der Modul der Normalkomponente der Beschleunigung wird durch den Ausdruck bestimmt:

. (2.39)

Der Beschleunigungsvektor eines Punktes während der Rotationsbewegung wird durch die Parallelogrammregel als geometrische Summe der Tangenten- und Normalkomponenten bestimmt. Dementsprechend kann der Beschleunigungsmodul mit dem Satz des Pythagoras bestimmt werden:

Wenn Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung als Vektorgrößen definiert werden , , dann können die Vektoren der Geschwindigkeit, Tangential- und Normalkomponenten der Beschleunigung durch die Formeln bestimmt werden:

wo ist der Radiusvektor, der von einem beliebigen Punkt auf der Rotationsachse zum Punkt M gezogen wird (Abb. 2.20).

Die Lösung von Problemen, bei denen es um die Rotationsbewegung eines Körpers geht, bereitet in der Regel keine Schwierigkeiten. Mit den Formeln (2.33)-(2.40) können Sie jeden unbekannten Parameter leicht bestimmen.

Bei der Lösung von Problemen im Zusammenhang mit der Untersuchung von Mechanismen, die aus mehreren miteinander verbundenen Körpern bestehen, die sowohl Rotations- als auch Translationsbewegungen ausführen, treten bestimmte Schwierigkeiten auf.

Der allgemeine Ansatz zur Lösung solcher Probleme besteht darin, dass die Bewegung von einem Körper auf einen anderen über einen Punkt übertragen wird – den Kontaktpunkt. Darüber hinaus weisen die sich berührenden Körper am Berührungspunkt gleiche Geschwindigkeiten und Tangauf. Die Normalkomponenten der Beschleunigung für Körper, die sich am Kontaktpunkt berühren, sind unterschiedlich; sie hängen von der Flugbahn der Körperpunkte ab.

Bei der Lösung von Problemen dieser Art ist es je nach den konkreten Umständen zweckmäßig, sowohl die in Abschnitt 2.3 angegebenen Formeln als auch die Formeln zur Bestimmung der Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Punktes zu verwenden, wenn seine Bewegung als natürlich angegeben wird (2.7), (2.14). ) (2.16) oder Koordinatenmethoden (2.3), (2.4), (2.10), (2.11). Wenn die Bewegung des Körpers, zu dem der Punkt gehört, eine Rotationsbewegung ist, ist die Flugbahn des Punktes außerdem ein Kreis. Wenn die Bewegung des Körpers linear und translatorisch ist, ist die Flugbahn des Punktes eine gerade Linie.

Beispiel 2.4. Der Körper dreht sich um eine feste Achse. Der Drehwinkel des Körpers ändert sich gesetzesgemäß φ = π t 3 froh. Bestimmen Sie für einen Punkt im Abstand OM = R = 0,5 m von der Rotationsachse Geschwindigkeit, Tangente, Normalkomponenten der Beschleunigung und Beschleunigung zum jeweiligen Zeitpunkt t 1= 0,5 s. Zeigen Sie die Richtung dieser Vektoren in der Zeichnung an.

Betrachten wir einen Schnitt eines Körpers durch eine Ebene, die durch den Punkt O senkrecht zur Rotationsachse verläuft (Abb. 2.21). In dieser Abbildung ist Punkt O der Schnittpunkt der Rotationsachse und der Schnittebene, Punkt Mo Und M 1- bzw. die anfängliche und aktuelle Position von Punkt M. Durch die Punkte O und Mo Zeichnen Sie eine feste Achse Oh, und durch die Punkte O und M 1 - bewegliche Achse Ach 1. Der Winkel zwischen diesen Achsen ist gleich

Das Gesetz der Änderung der Winkelgeschwindigkeit des Körpers finden wir, indem wir das Gesetz der Änderung des Drehwinkels differenzieren:

In dem Moment t 1 die Winkelgeschwindigkeit wird gleich sein

Wir finden das Gesetz der Änderung der Winkelbeschleunigung des Körpers, indem wir das Gesetz der Änderung der Winkelgeschwindigkeit differenzieren:

In dem Moment t 1 Die Winkelbeschleunigung ist gleich:

1/s 2,

Wir ermitteln die algebraischen Werte der Geschwindigkeitsvektoren, der Tangentialkomponente der Beschleunigung, des Moduls der Normalkomponente der Beschleunigung und des Beschleunigungsmoduls mithilfe der Formeln (2.37), (2.38), (2.39), (2.40):

M/s 2 ;

m/s 2 .

Da der Winkel φ 1>0, dann verschieben wir es von der Ox-Achse gegen den Uhrzeigersinn. Und da > 0, dann Vektoren wird senkrecht zum Radius gerichtet OM 1 so dass wir sehen, wie sie sich gegen den Uhrzeigersinn drehen. Vektor wird entlang des Radius gerichtet OM 1 zur Drehachse. Vektor Bauen wir nach der Parallelogrammregel für Vektoren τ Und .

Beispiel 2.5. Gemäß der gegebenen Gleichung der geradlinigen Translationsbewegung der Last 1 x = 0,6T 2 - 0,18 (m) bestimmen die Geschwindigkeit sowie die tangentiale Normalkomponente der Beschleunigung und die Beschleunigung des Punktes M des Mechanismus zum jeweiligen Zeitpunkt t 1, wenn der von Last 1 zurückgelegte Weg s = 0,2 m beträgt. Bei der Lösung des Problems gehen wir davon aus, dass am Berührungspunkt der Körper 2 und 3 kein Schlupf auftritt. R 2= 1,0 m, r 2 = 0,6 m, R 3 = 0,5 m (Abb. 2.22).

Das Gesetz der geradlinigen Translationsbewegung der Last 1 wird in Koordinatenform angegeben. Lassen Sie uns den Zeitpunkt bestimmen t 1, wobei der von Last 1 zurückgelegte Weg gleich s ist

s = x(t·l)-x(0),

Woher bekommen wir:

0,2 = 0,18 + 0,6t 1 2 - 0,18.

Somit,

Nachdem wir die Bewegungsgleichung nach der Zeit differenziert haben, finden wir die Projektionen der Geschwindigkeit und Beschleunigung der Last 1 auf die Ox-Achse:

MS 2 ;

Im Moment t = t 1 Die Projektion der Geschwindigkeit von Last 1 ist gleich:

das heißt, er wird größer als Null sein, ebenso wie die Projektion der Beschleunigung von Last 1. Daher befindet sich Last 1 im Moment t 1 Bewegen Sie sich gleichmäßig beschleunigt nach unten, bzw. drehen Sie Körper 2 gleichmäßig beschleunigt gegen den Uhrzeigersinn und Körper 3 im Uhrzeigersinn.

Körper 2 wird von Körper 1 über einen auf einer Schnarrtrommel aufgewickelten Faden in Rotation versetzt. Daher sind die Module der Geschwindigkeiten der Punkte des Körpers 1, des Fadens und der Oberfläche der kleinen Trommel von Körper 2 gleich und die Module der Beschleunigung der Punkte des Körpers 1, des Fadens und der Tangentialkomponente der Beschleunigung der Punkte der Oberfläche der kleinen Trommel von Körper 2 sind ebenfalls gleich. Folglich kann der Modul der Winkelgeschwindigkeit von Körper 2 definiert werden als

Der Modul der Winkelbeschleunigung von Körper 2 ist gleich:

1/s 2 .

Bestimmen wir die Module der Geschwindigkeit und der Tangentialkomponente der Beschleunigung für Punkt K von Körper 2 – den Berührungspunkt der Körper 2 und 3:

MS, MS 2

Da sich die Körper 2 und 3 ohne gegenseitiges Gleiten drehen, sind die Beträge der Geschwindigkeit und der Tangentialkomponente der Beschleunigung des Punktes K – des Berührungspunktes für diese Körper – gleich.

Richten wir es senkrecht zum Radius in Drehrichtung des Körpers, da sich Körper 3 gleichmäßig beschleunigt dreht

DEFINITION: Rotationsbewegung eines starren Körpers Wir nennen eine solche Bewegung, bei der sich alle Punkte des Körpers auf Kreisen bewegen, deren Mittelpunkte auf derselben Geraden liegen, die Rotationsachse genannt wird.

Um die Dynamik der Rotation zu untersuchen, addieren wir zu den bekannten kinematischen Größen zwei Mengen: Moment der Macht(M) und Trägheitsmoment(J).

1. Aus Erfahrung ist bekannt: Die Beschleunigung der Rotationsbewegung hängt nicht nur von der Größe der auf den Körper einwirkenden Kraft ab, sondern auch vom Abstand der Rotationsachse zur Linie, entlang derer die Kraft wirkt. Um diesen Umstand zu charakterisieren, wird eine physikalische Größe genannt Moment der Kraft.

Betrachten wir den einfachsten Fall.

DEFINITION: Das Moment einer Kraft um einen bestimmten Punkt „O“ ist eine Vektorgröße, die durch den Ausdruck definiert wird, wobei es sich um den Radiusvektor handelt, der vom Punkt „O“ zum Angriffspunkt der Kraft gezogen wird.

Aus der Definition folgt, dass es sich um einen Axialvektor handelt. Seine Richtung ist so gewählt, dass die Drehung des Vektors um den Punkt „O“ in Kraftrichtung und der Vektor ein rechtsdrehendes System bilden. Der Modul des Kraftmoments ist gleich, wobei a der Winkel zwischen den Richtungen der Vektoren und und ist l= r Sünde a ist die Länge der Senkrechten, die vom Punkt „O“ zur Geraden fällt, entlang derer die Kraft wirkt (genannt Schulter der Stärke relativ zum Punkt „O“) (Abb. 4.2).

2. Experimentelle Daten zeigen, dass die Größe der Winkelbeschleunigung nicht nur von der Masse des rotierenden Körpers, sondern auch von der Massenverteilung relativ zur Rotationsachse beeinflusst wird. Die Größe, die diesen Umstand berücksichtigt, heißt Trägheitsmoment relativ zur Drehachse.

DEFINITION: Streng genommen, Trägheitsmoment Körper relativ zu einer bestimmten Rotationsachse wird als Wert J bezeichnet, gleich der Summe der Produkte der Elementarmassen mit den Quadraten ihrer Abstände von einer bestimmten Achse.

Die Summation erfolgt über alle Elementarmassen, in die der Körper aufgeteilt wurde. Es ist zu beachten, dass diese Größe (J) unabhängig von der Rotation existiert (obwohl das Konzept des Trägheitsmoments bei der Betrachtung der Rotation eines starren Körpers eingeführt wurde).

Jeder Körper, unabhängig davon, ob er ruht oder rotiert, hat ein bestimmtes Trägheitsmoment relativ zu jeder Achse, so wie ein Körper Masse hat, unabhängig davon, ob er sich bewegt oder ruht.

In Anbetracht dessen kann das Trägheitsmoment wie folgt dargestellt werden: Diese Beziehung ist ungefähr und je kleiner die Elementarvolumina und die entsprechenden Massenelemente sind, desto genauer wird sie sein. Folglich läuft die Aufgabe, Trägheitsmomente zu finden, auf die Integration hinaus: . Dabei erfolgt die Integration über das gesamte Körpervolumen.

Schreiben wir die Trägheitsmomente einiger Körper mit regelmäßiger geometrischer Form auf.

1. Einheitlicher langer Stab.
Reis. 4.3	Das Trägheitsmoment um die Achse senkrecht zum Stab, die durch dessen Mitte verläuft, ist gleich
2. Vollzylinder oder Scheibe.
Reis. 4.4	Das Trägheitsmoment um die Achse, die mit der geometrischen Achse zusammenfällt, ist gleich.
3. Dünnwandiger Zylinder mit Radius R.
Reis. 4.5
4. Trägheitsmoment einer Kugel mit Radius R relativ zu einer Achse, die durch ihren Mittelpunkt verläuft
Reis. 4.6
5. Trägheitsmoment einer dünnen Scheibe (Dicke b<
Reis. 4.7
6. Trägheitsmoment des Blocks
Reis. 4.8
7. Trägheitsmoment des Rings
Reis. 4.9

Die Berechnung des Trägheitsmoments ist hier recht einfach, weil Der Körper wird als homogen und symmetrisch angenommen und das Trägheitsmoment relativ zur Symmetrieachse bestimmt.

Um das Trägheitsmoment eines Körpers relativ zu einer beliebigen Achse zu bestimmen, muss der Satz von Steiner verwendet werden.

DEFINITION: Trägheitsmoment J um eine beliebige Achse ist gleich der Summe des Trägheitsmoments J c relativ zu einer Achse, die parallel zu dieser verläuft und durch den Trägheitsschwerpunkt des Körpers verläuft, und dem Produkt der Körpermasse mit dem Quadrat des Abstands zwischen den Achsen (Abb . 4.10).

Die Drehung eines starren Körpers um eine feste Achse ist eine solche Bewegung, bei der zwei Punkte des Körpers während der gesamten Bewegungszeit bewegungslos bleiben. In diesem Fall bleiben auch alle Punkte des Körpers, die auf einer Geraden liegen, die durch seine Fixpunkte verläuft, bewegungslos. Diese Zeile heißt Körperrotationsachse .

Die Punkte A und B seien stationär. Richten wir die Achse entlang der Rotationsachse. Durch die Rotationsachse zeichnen wir eine stationäre und eine bewegliche Ebene, die an einem rotierenden Körper (bei ) befestigt ist.

Die Lage der Ebene und des Körpers selbst wird durch den Diederwinkel zwischen den Ebenen und bestimmt. Bezeichnen wir es. Der Winkel heißt Körperdrehwinkel .

Die Position des Körpers relativ zum gewählten Bezugssystem ist zu jedem Zeitpunkt eindeutig bestimmt, wenn die Gleichung gegeben ist, bei der es sich um eine beliebige zweimal differenzierbare Funktion der Zeit handelt. Diese Gleichung heißt Rotationsgleichung eines starren Körpers um eine feste Achse .

Ein Körper, der sich um eine feste Achse dreht, hat einen Freiheitsgrad, da seine Position durch die Angabe nur eines Parameters bestimmt wird – des Winkels.

Ein Winkel gilt als positiv, wenn er gegen den Uhrzeigersinn gelegt wird, und als negativ, wenn er in die entgegengesetzte Richtung gelegt wird. Die Flugbahnen von Punkten eines Körpers während seiner Drehung um eine feste Achse sind Kreise, die in Ebenen senkrecht zur Drehachse liegen.

Um die Rotationsbewegung eines starren Körpers um eine feste Achse zu charakterisieren, führen wir die Konzepte Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung ein.

Algebraische Winkelgeschwindigkeit eines Körpers zu einem beliebigen Zeitpunkt wird die erste zeitliche Ableitung des Drehwinkels zu diesem Zeitpunkt genannt, d. h.

Die Winkelgeschwindigkeit ist positiv, wenn sich der Körper gegen den Uhrzeigersinn dreht, da der Drehwinkel mit der Zeit zunimmt, und negativ, wenn sich der Körper im Uhrzeigersinn dreht, da der Drehwinkel kleiner wird.

Die Dimension der Winkelgeschwindigkeit per Definition:

In der Technik ist die Winkelgeschwindigkeit die Rotationsgeschwindigkeit, ausgedrückt in Umdrehungen pro Minute. In einer Minute dreht sich der Körper um einen Winkel, wobei n die Anzahl der Umdrehungen pro Minute ist. Teilen wir diesen Winkel durch die Anzahl der Sekunden pro Minute, erhalten wir

Algebraische Winkelbeschleunigung des Körpers heißt die erste zeitliche Ableitung der Winkelgeschwindigkeit, also die zweite Ableitung des Drehwinkels, also

Die Dimension der Winkelbeschleunigung per Definition:

Lassen Sie uns die Konzepte der Vektoren der Winkelgeschwindigkeit und der Winkelbeschleunigung eines Körpers einführen.

Und wo ist der Einheitsvektor der Rotationsachse? Vektoren und können an jedem Punkt der Rotationsachse dargestellt werden; sie sind gleitende Vektoren.

Die algebraische Winkelgeschwindigkeit ist die Projektion des Winkelgeschwindigkeitsvektors auf die Rotationsachse. Die algebraische Winkelbeschleunigung ist die Projektion des Winkelbeschleunigungsvektors der Geschwindigkeit auf die Rotationsachse.

Wenn bei , dann nimmt die algebraische Winkelgeschwindigkeit mit der Zeit zu und daher dreht sich der Körper im Moment beschleunigt in die positive Richtung. Die Richtungen der Vektoren und fallen zusammen, sie sind beide in die positive Richtung der Rotationsachse gerichtet.

Bei und dreht sich der Körper schnell in die negative Richtung. Die Richtungen der Vektoren und fallen zusammen, sie sind beide in die negative Richtung der Rotationsachse gerichtet.