Ein rechteckiges Parallelepiped (PP) ist nichts anderes als ein Prisma, dessen Grundfläche ein Rechteck ist. In PP sind alle Diagonalen gleich, was bedeutet, dass jede seiner Diagonalen nach folgender Formel berechnet wird:

• a, in Richtung der Basis des PP;

  mit seiner Höhe.

Eine andere Definition kann unter Berücksichtigung des kartesischen rechtwinkligen Koordinatensystems gegeben werden:

Die PP-Diagonale ist der Radiusvektor eines beliebigen Punktes im Raum, der durch x-, y- und z-Koordinaten im kartesischen Koordinatensystem gegeben ist. Dieser Radiusvektor zum Punkt wird vom Ursprung aus gezeichnet. Und die Koordinaten des Punktes sind die Projektionen des Radiusvektors (Diagonale PP) auf die Koordinatenachsen. Die Projektionen fallen mit den Ecken des gegebenen Parallelepipeds zusammen.



Ein Quader ist eine Art Polyeder, bestehend aus 6 Flächen, an deren Basis sich ein Rechteck befindet. Eine Diagonale ist eine Strecke, die gegenüberliegende Ecken eines Parallelogramms verbindet.

Die Formel zum Ermitteln der Länge einer Diagonale lautet, dass das Quadrat der Diagonale gleich der Summe der Quadrate der drei Dimensionen des Parallelogramms ist.



Ich habe im Internet eine gute Schematabelle gefunden, in der alles aufgelistet ist, was im Parallelepiped ist. Es gibt eine Formel, um die Diagonale zu finden, die mit d bezeichnet wird.

Es gibt ein Bild eines Gesichts, eines Scheitelpunkts und anderer Dinge, die für die Box wichtig sind.



Sind Länge, Höhe und Breite (a,b,c) eines Quaders bekannt, dann sieht die Formel zur Berechnung der Diagonale so aus:



Üblicherweise bieten Lehrende ihren Studierenden keine bloße Formel an, sondern bemühen sich, diese durch Leitfragen selbst herzuleiten:

• Was müssen wir wissen, welche Daten haben wir?
• Welche Eigenschaften hat ein rechteckiges Parallelepiped?
• Gilt hier der Satz des Pythagoras? Wie?
• Gibt es genug Daten, um den Satz des Pythagoras anzuwenden, oder brauchen wir noch mehr Berechnungen?

Normalerweise leiten die Schüler diese Formel nach Beantwortung der gestellten Fragen leicht selbst her.

Die Diagonalen eines rechteckigen Parallelepipeds sind gleich. Sowie die Diagonalen seiner gegenüberliegenden Flächen. Die Länge der Diagonalen kann berechnet werden, indem man die Länge der Kanten des Parallelogramms kennt, die von einem Scheitelpunkt ausgehen. Diese Länge ist gleich der Quadratwurzel der Summe der Quadrate der Längen seiner Rippen.



Ein Quader gehört zu den sogenannten Polyedern, die aus 6 Flächen bestehen, die jeweils ein Rechteck sind. Eine Diagonale ist eine Strecke, die gegenüberliegende Ecken eines Parallelogramms verbindet. Wenn die Länge, Breite und Höhe einer rechteckigen Box als a, b bzw. c genommen wird, dann sieht die Formel für ihre Diagonale (D) so aus: D^2=a^2+b^2+c^2 .



Diagonale eines Quaders ist ein Liniensegment, das seine gegenüberliegenden Eckpunkte verbindet. Also haben wir Quader mit Diagonale d und Seiten a, b, c. Eine der Eigenschaften eines Parallelepipeds ist, dass es ein Quadrat ist Diagonale Länge d ist gleich der Summe der Quadrate seiner drei Dimensionen a, b, c. Daher der Schluss, dass Diagonale Länge lässt sich leicht mit folgender Formel berechnen:



Ebenfalls:

Wie findet man die Höhe eines Parallelepipeds?

• Diagonales Quadrat, eines quadratischen Quaders (siehe Eigenschaften eines quadratischen Quaders) ist gleich der Summe der Quadrate seiner drei verschiedenen Seiten (Breite, Höhe, Dicke), und dementsprechend ist die Diagonale eines quadratischen Quaders gleich der Wurzel dieser Summe.

  Ich erinnere mich an den Lehrplan für Geometrie, Sie können Folgendes sagen: Die Diagonale eines Parallelepipeds ist gleich der Quadratwurzel, die aus der Summe seiner drei Seiten erhalten wird (sie werden mit kleinen Buchstaben a, b, c bezeichnet).

  Die Länge der Diagonale eines rechteckigen Prismas ist gleich der Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate seiner Seiten.

  Soweit ich aus dem Schullehrplan der 9. Klasse weiß, ist die Diagonale eines rechteckigen Parallelepipeds, wenn ich mich nicht irre und wenn ich mich recht erinnere, gleich der Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate seiner drei Seiten.

  das Quadrat der Diagonale ist gleich der Summe der Quadrate der Breite, Höhe und Länge, basierend auf dieser Formel erhalten wir die Antwort, die Diagonale ist gleich der Quadratwurzel der Summe ihrer drei verschiedenen Dimensionen, die sie mit bezeichnen Buchstaben nсz abc

Anweisung

Methode 2 Nehmen wir an, dass der Quader ein Würfel ist. Ein Würfel ist ein rechteckiges Parallelepiped, bei dem jede Fläche durch ein Quadrat dargestellt wird. Daher sind alle seine Seiten gleich. Um dann die Länge seiner Diagonale zu berechnen, wird sie wie folgt ausgedrückt:

Quellen:

• rechteckdiagonale formel

Ein Parallelepiped ist ein Sonderfall eines Prismas, bei dem alle sechs Flächen Parallelogramme oder Rechtecke sind. Ein Quader mit rechteckigen Flächen wird auch rechteckig genannt. Ein Parallelepiped hat vier sich schneidende Diagonalen. Wenn drei Kanten a, b, c gegeben sind, können Sie alle Diagonalen eines rechteckigen Parallelepipeds finden, indem Sie zusätzliche Konstruktionen durchführen.

Anweisung

Finden Sie die Diagonale des Parallelepipeds m. Finde dazu in a, n, m die unbekannte Hypotenuse: m² = n² + a². Setze die bekannten Werte ein und berechne dann die Quadratwurzel. Das erhaltene Ergebnis ist die erste Diagonale des Parallelepipeds m.

Zeichnen Sie auf ähnliche Weise nacheinander alle anderen drei Diagonalen des Parallelepipeds. Führen Sie außerdem für jede von ihnen eine zusätzliche Konstruktion der Diagonalen benachbarter Flächen durch. Finden Sie unter Berücksichtigung der gebildeten rechtwinkligen Dreiecke und Anwendung des Satzes von Pythagoras die Werte der verbleibenden Diagonalen.

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Quellen:

• Finden eines Parallelepipeds

Die Hypotenuse ist die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite. Die Beine sind die Seiten eines Dreiecks neben einem rechten Winkel. In Bezug auf die Dreiecke ABC und ACD: AB und BC, AD und DC–, AC ist die gemeinsame Hypotenuse für beide Dreiecke (die gewünschte Diagonale). Daher ist AC = AB-Quadrat + BC-Quadrat oder AC B = AD-Quadrat + DC-Quadrat. Stecken Sie die Längen der Seiten ein Rechteck in die obige Formel ein und berechne die Länge der Hypotenuse (Diagonale Rechteck).

Zum Beispiel Seiten Rechteck ABCD sind gleich den folgenden Werten: AB = 5 cm und BC = 7 cm. Das Quadrat der Diagonale AC eines gegebenen Rechteck nach dem Satz des Pythagoras: AC im Quadrat \u003d AB im Quadrat + BC im Quadrat \u003d 52 + 72 \u003d 25 + 49 \u003d 74 cm². Verwenden Sie einen Taschenrechner, um die Quadratwurzel von 74 zu berechnen. Sie sollten am Ende 8,6 cm (aufgerundet) haben. Denken Sie daran, dass eine der Eigenschaften Rechteck, ihre Diagonalen sind gleich. Also die Länge der zweiten Diagonale BD Rechteck ABCD ist gleich der Länge der Diagonale AC. Für das obige Beispiel dieser Wert

In der Geometrie werden folgende Arten von Parallelepipeds unterschieden: rechteckiges Parallelepiped (Rechtecke fungieren als Flächen des Parallelepipeds); ein gerades Parallelepiped (seine Seitenflächen wirken wie Rechtecke); geneigtes Parallelepiped (seine Seitenflächen wirken als Senkrechte); Der Würfel ist ein Parallelepiped mit genau denselben Abmessungen, und die Seiten des Würfels sind Quadrate. Parallelepipeds können entweder schräg oder gerade sein.

Die Grundelemente eines Parallelepipeds sind, dass zwei Flächen einer bestimmten geometrischen Figur, die keine gemeinsame Kante haben, gegenüberliegend sind und die, die eine haben, benachbart sind. Die Eckpunkte der Box, die nicht zu derselben Fläche gehören, liegen einander gegenüber. Das Parallelepiped hat eine Dimension - das sind drei Kanten, die einen gemeinsamen Scheitelpunkt haben.

Eine Strecke, die gegenüberliegende Eckpunkte verbindet, wird als Diagonale bezeichnet. Die vier Diagonalen des Parallelepipeds, die sich in einem Punkt schneiden, werden gleichzeitig in zwei Hälften geteilt.

Um die Diagonale eines Parallelepipeds zu bestimmen, ist es notwendig, die Seiten und Kanten zu bestimmen, die aus der Problemstellung bekannt sind. Mit bekannten drei Kanten ABER , BEI , AUS Zeichne eine Diagonale in das Parallelepiped. Gemäß der Eigenschaft eines Parallelepipeds, die besagt, dass alle seine Winkel recht sind, wird eine Diagonale bestimmt. Konstruiere eine Diagonale aus einer der Flächen des Parallelepipeds. Diagonalen müssen so gezeichnet werden, dass die Diagonale der Fläche, die gewünschte Diagonale des Quaders und die bekannte Kante ein Dreieck ergeben. Finde die Länge dieser Diagonale, nachdem das Dreieck gebildet wurde. Die Diagonale in einem anderen resultierenden Dreieck fungiert als Hypotenuse, daher kann sie mit dem Satz des Pythagoras gefunden werden, der unter der Quadratwurzel gezogen werden muss. So erfahren wir den Wert der zweiten Diagonale. Um die erste Diagonale des Parallelepipeds im gebildeten rechtwinkligen Dreieck zu finden, ist es auch notwendig, die unbekannte Hypotenuse (hinter dem Satz des Pythagoras) zu finden. Finden Sie anhand des gleichen Beispiels nacheinander die verbleibenden drei Diagonalen, die im Parallelepiped vorhanden sind, indem Sie zusätzliche Konstruktionen von Diagonalen durchführen, die rechtwinklige Dreiecke bilden, und lösen Sie sie mit dem Satz des Pythagoras.

Ein rechteckiges Parallelepiped (PP) ist nichts anderes als ein Prisma, dessen Grundfläche ein Rechteck ist. In PP sind alle Diagonalen gleich, was bedeutet, dass jede seiner Diagonalen nach folgender Formel berechnet wird:

a, c - Seiten der PP-Basis;

c ist seine Höhe.

Eine andere Definition kann unter Berücksichtigung des kartesischen rechtwinkligen Koordinatensystems gegeben werden:

Die PP-Diagonale ist der Radiusvektor eines beliebigen Punktes im Raum, der durch x-, y- und z-Koordinaten im kartesischen Koordinatensystem gegeben ist. Dieser Radiusvektor zum Punkt wird vom Ursprung aus gezeichnet. Und die Koordinaten des Punktes sind die Projektionen des Radiusvektors (Diagonale PP) auf die Koordinatenachsen. Die Projektionen fallen mit den Ecken des gegebenen Parallelepipeds zusammen.

Parallelepiped und seine Typen

Wenn wir seinen Namen wörtlich aus dem Altgriechischen übersetzen, stellt sich heraus, dass dies eine Figur ist, die aus parallelen Ebenen besteht. Es gibt solche äquivalenten Definitionen eines Parallelepipeds:

• ein Prisma mit einer Basis in Form eines Parallelogramms;
• Polyeder, dessen Seiten jeweils ein Parallelogramm sind.

Seine Typen werden danach unterschieden, welche Figur an seiner Basis liegt und wie die Seitenrippen ausgerichtet sind. Im Allgemeinen spricht man von schräges Parallelepiped dessen Basis und alle Flächen Parallelogramme sind. Wenn die Seitenflächen der vorherigen Ansicht zu Rechtecken werden, muss sie bereits aufgerufen werden Direkte. Und bei rechteckig und die Basis hat auch 90º-Winkel.

Außerdem versucht man in der Geometrie, letztere so darzustellen, dass auffällt, dass alle Kanten parallel sind. Hier wird übrigens der Hauptunterschied zwischen Mathematikern und Künstlern beobachtet. Letzterem ist es wichtig, den Körper in Übereinstimmung mit dem Gesetz der Perspektive zu vermitteln. Und in diesem Fall ist die Parallelität der Kanten völlig unsichtbar.

Über die eingeführte Notation

In den folgenden Formeln gelten die in der Tabelle angegebenen Bezeichnungen.

Formeln für einen schiefen Kasten

Die erste und zweite für Bereiche:

Der dritte dient zur Berechnung des Volumens der Box:

Da die Basis ein Parallelogramm ist, müssen Sie zur Berechnung der Fläche die entsprechenden Ausdrücke verwenden.

Formeln für einen Quader

Ähnlich wie im ersten Absatz - zwei Formeln für Flächen:

Und noch eins zur Lautstärke:

Erste Aufgabe

Bedingung. Gegeben sei ein Quader, dessen Volumen gefunden werden soll. Bekannt ist die Diagonale – 18 cm – und die Tatsache, dass sie mit der Ebene der Seitenfläche bzw. der Seitenkante Winkel von 30 bzw. 45 Grad bildet.

Lösung. Um die Frage des Problems zu beantworten, müssen Sie alle Seiten in drei rechtwinkligen Dreiecken herausfinden. Sie geben die erforderlichen Kantenwerte an, für die Sie das Volumen berechnen müssen.

Zuerst müssen Sie herausfinden, wo der 30º-Winkel ist. Dazu müssen Sie eine Diagonale der Seitenfläche von demselben Scheitelpunkt zeichnen, von dem aus die Hauptdiagonale des Parallelogramms gezeichnet wurde. Der Winkel zwischen ihnen wird das sein, was Sie brauchen.

Das erste Dreieck, das eine der Seiten der Basis ergibt, ist das folgende. Es enthält die gewünschte Seite und zwei gezeichnete Diagonalen. Es ist rechteckig. Jetzt müssen Sie das Verhältnis des gegenüberliegenden Beins (Basisseite) und der Hypotenuse (Diagonale) verwenden. Er entspricht dem Sinus von 30º. Das heißt, die unbekannte Seite der Basis wird als die Diagonale multipliziert mit dem Sinus von 30º oder ½ bestimmt. Lassen Sie es mit dem Buchstaben "a" kennzeichnen.

Das zweite ist ein Dreieck, das eine bekannte Diagonale und eine Kante enthält, mit der es 45º bildet. Es ist auch rechteckig, und Sie können wieder das Verhältnis des Beins zur Hypotenuse verwenden. Mit anderen Worten, die Seitenkante zur Diagonale. Er ist gleich dem Kosinus von 45º. Das heißt, "c" wird als Produkt der Diagonale und des Kosinus von 45º berechnet.

c = 18 * 1/√2 = 9 √2 (cm).

Im selben Dreieck müssen Sie ein weiteres Bein finden. Dies ist notwendig, um dann die dritte Unbekannte – „in“ – zu berechnen. Lassen Sie es mit dem Buchstaben "x" markieren. Es ist einfach mit dem Satz des Pythagoras zu berechnen:

x \u003d √ (18 2 - (9 √ 2) 2) \u003d 9 √ 2 (cm).

Jetzt müssen wir ein weiteres rechtwinkliges Dreieck betrachten. Sie enthält die bereits bekannten Seiten „c“, „x“ und die zu zählende „c“:

c \u003d √ ((9 √ 2) 2 - 9 2 \u003d 9 (cm).

Alle drei Größen sind bekannt. Sie können die Formel für das Volumen verwenden und es berechnen:

V \u003d 9 * 9 * 9√2 \u003d 729√2 (cm 3).

Antworten: das Volumen des Quaders beträgt 729√2 cm 3 .

Zweite Aufgabe

Bedingung. Berechne das Volumen des Parallelepipeds. Es kennt die Seiten des Parallelogramms, das an der Basis liegt, 3 und 6 cm, sowie seinen spitzen Winkel - 45º. Die seitliche Rippe hat eine Neigung zur Basis von 30º und ist gleich 4 cm.

Lösung. Um die Frage des Problems zu beantworten, müssen Sie die Formel nehmen, die für das Volumen eines geneigten Parallelepipeds geschrieben wurde. Aber beide Größen sind darin unbekannt.

Die Fläche der Basis, dh des Parallelogramms, wird durch die Formel bestimmt, in der Sie die bekannten Seiten und den Sinus des spitzen Winkels zwischen ihnen multiplizieren müssen.

S o \u003d 3 * 6 Sünde 45º \u003d 18 * (√2) / 2 \u003d 9 √2 (cm 2).

Die zweite Unbekannte ist die Höhe. Es kann von jedem der vier Eckpunkte über der Basis gezeichnet werden. Es kann aus einem rechtwinkligen Dreieck ermittelt werden, bei dem die Höhe das Bein und die Seitenkante die Hypotenuse ist. In diesem Fall liegt der unbekannten Höhe ein Winkel von 30º gegenüber. Sie können also das Verhältnis des Beins zur Hypotenuse verwenden.

n \u003d 4 * Sünde 30º \u003d 4 * 1/2 \u003d 2.

Nun sind alle Werte bekannt und Sie können das Volumen berechnen:

V \u003d 9 √2 * 2 \u003d 18 √2 (cm 3).

Antworten: das Volumen beträgt 18 √2 cm 3 .

Dritte Aufgabe

Bedingung. Finden Sie das Volumen des Parallelepipeds, wenn bekannt ist, dass es eine gerade Linie ist. Die Seiten seiner Basis bilden ein Parallelogramm und sind 2 und 3 cm lang, der spitze Winkel zwischen ihnen beträgt 60º. Die kleinere Diagonale des Parallelepipeds ist gleich der größeren Diagonale der Basis.

Lösung. Um das Volumen eines Quaders zu ermitteln, verwenden wir die Formel mit Grundfläche und Höhe. Beide Größen sind unbekannt, aber leicht zu berechnen. Die erste ist die Höhe.

Da die kleinere Diagonale des Parallelepipeds genauso groß ist wie die größere Basis, können sie mit dem gleichen Buchstaben d bezeichnet werden. Der größte Winkel eines Parallelogramms beträgt 120º, da es mit einem spitzen Winkel 180º bildet. Die zweite Diagonale der Basis sei mit dem Buchstaben „x“ bezeichnet. Nun können wir für die beiden Diagonalen der Basis die Kosinussätze schreiben:

d 2 \u003d a 2 + in 2 - 2av cos 120º,

x 2 \u003d a 2 + in 2 - 2av cos 60º.

Werte ohne Quadrate zu finden macht keinen Sinn, da sie dann wieder in die zweite Potenz erhoben werden. Nach dem Ersetzen der Daten stellt sich heraus:

d 2 \u003d 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º \u003d 4 + 9 + 12 * ½ \u003d 19,

x 2 \u003d a 2 + in 2 - 2ab cos 60º \u003d 4 + 9 - 12 * ½ \u003d 7.

Jetzt ist die Höhe, die auch die Seitenkante des Parallelepipeds ist, das Bein im Dreieck. Die Hypotenuse ist die bekannte Diagonale des Körpers, und das zweite Bein ist "x". Sie können den Satz des Pythagoras schreiben:

n 2 \u003d d 2 - x 2 \u003d 19 - 7 \u003d 12.

Also: n = √12 = 2√3 (cm).

Nun ist die zweite unbekannte Größe die Fläche der Basis. Sie kann mit der in der zweiten Aufgabe erwähnten Formel berechnet werden.

So \u003d 2 * 3 Sünde 60º \u003d 6 * √3/2 \u003d 3 √3 (cm 2).

Wenn wir alles zu einer Volumenformel kombinieren, erhalten wir:

V = 3√3 * 2√3 = 18 (cm3).

Antwort: V \u003d 18 cm 3.

Die vierte Aufgabe

Bedingung. Es ist erforderlich, das Volumen eines Parallelepipeds zu ermitteln, das die folgenden Bedingungen erfüllt: Die Grundfläche ist ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 5 cm; Seitenflächen sind Rauten; einer der Scheitelpunkte über der Basis ist von allen Scheitelpunkten, die an der Basis liegen, gleich weit entfernt.

Lösung. Zuerst müssen Sie sich mit der Bedingung befassen. Es gibt keine Fragen mit dem ersten Absatz über das Quadrat. Die zweite, über Rauten, macht deutlich, dass der Parallelepiped geneigt ist. Außerdem sind alle Kanten gleich 5 cm, da die Seiten der Raute gleich sind. Und ab dem dritten wird deutlich, dass die drei daraus gezogenen Diagonalen gleich sind. Dies sind zwei, die auf den Seitenflächen liegen, und der letzte befindet sich innerhalb des Parallelepipeds. Und diese Diagonalen sind gleich der Kante, das heißt, sie haben auch eine Länge von 5 cm.

Um das Volumen zu bestimmen, benötigen Sie eine Formel, die für ein geneigtes Parallelepiped geschrieben wurde. Auch hier sind keine Mengen bekannt. Die Fläche der Grundfläche ist jedoch leicht zu berechnen, da es sich um ein Quadrat handelt.

So \u003d 5 2 \u003d 25 (cm 2).

Etwas schwieriger ist es bei der Höhe. Es wird eine solche in drei Figuren sein: ein Parallelepiped, eine viereckige Pyramide und ein gleichschenkliges Dreieck. Der letzte Umstand sollte verwendet werden.

Da es sich um eine Höhe handelt, handelt es sich um ein Bein in einem rechtwinkligen Dreieck. Die Hypotenuse darin ist eine bekannte Kante, und das zweite Bein entspricht der Hälfte der Diagonale des Quadrats (die Höhe ist auch der Median). Und die Diagonale der Basis ist leicht zu finden:

d = √(2 * 5 2) = 5√2 (cm).

n = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √ (25 - 25/2) = √ (25/2) = 2,5 √2 (cm).

V \u003d 25 * 2,5 √2 \u003d 62,5 √2 (cm 3).

Antworten: 62,5 √2 (cm³).

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Definition

Polyeder wir nennen eine geschlossene Fläche, die aus Polygonen besteht und einen Teil des Raums begrenzt.

Die Segmente, die die Seiten dieser Polygone sind, werden aufgerufen Rippen Polyeder und die Polygone selbst - Gesichter. Die Ecken der Polygone heißen die Ecken des Polyeders.

Wir werden nur konvexe Polyeder betrachten (dies ist ein Polyeder, der sich auf einer Seite jeder Ebene befindet, die seine Fläche enthält).

Die Polygone, aus denen ein Polyeder besteht, bilden seine Oberfläche. Der Teil des Raumes, der von einem gegebenen Polyeder begrenzt wird, wird sein Inneres genannt.

Definition: Prisma

Stellen Sie sich zwei gleiche Polygone \(A_1A_2A_3...A_n\) und \(B_1B_2B_3...B_n\) vor, die sich in parallelen Ebenen befinden, sodass die Segmente \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) sind parallel. Polyeder bestehend aus Polygonen \(A_1A_2A_3...A_n\) und \(B_1B_2B_3...B_n\) sowie Parallelogrammen \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), heißt (\(n\)-Kohle) Prisma.

Die Polygone \(A_1A_2A_3...A_n\) und \(B_1B_2B_3...B_n\) heißen die Basen des Prismas, Parallelogramm \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– Seitenflächen, Segmente \(A_1B_1, \A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- Seitenrippen.
Somit sind die Seitenkanten des Prismas parallel und gleich zueinander.

Betrachten Sie ein Beispiel - ein Prisma \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), dessen Grundfläche ein konvexes Fünfeck ist.

Höhe Ein Prisma ist eine Senkrechte von jedem Punkt auf einer Basis zur Ebene einer anderen Basis.

Wenn die Seitenkanten nicht senkrecht zur Basis stehen, wird ein solches Prisma genannt schräg(Abb. 1), sonst - gerade. Bei einem geraden Prisma sind die Seitenkanten Höhen und die Seitenflächen gleiche Rechtecke.

Liegt ein regelmäßiges Vieleck an der Basis eines geraden Prismas, so heißt das Prisma Korrekt.

Definition: Begriff des Volumens

Die Volumeneinheit ist ein Einheitswürfel (Würfel mit den Abmessungen \(1\times1\times1\) units\(^3\) , wobei unit eine Maßeinheit ist).

Wir können sagen, dass das Volumen eines Polyeders die Menge an Raum ist, die dieses Polyeder begrenzt. Sonst: Es ist ein Wert, dessen Zahlenwert angibt, wie oft ein Einheitswürfel und seine Teile in einen gegebenen Polyeder passen.

Das Volumen hat die gleichen Eigenschaften wie die Fläche:

1. Die Volumina gleicher Zahlen sind gleich.

2. Wenn ein Polyeder aus mehreren sich nicht schneidenden Polyedern zusammengesetzt ist, dann ist sein Volumen gleich der Summe der Volumina dieser Polyeder.

3. Volumen ist ein nicht negativer Wert.

4. Das Volumen wird in cm\(^3\) (Kubikzentimeter), m\(^3\) (Kubikmeter) usw. gemessen.

Satz

1. Die Fläche der Seitenfläche des Prismas ist gleich dem Produkt aus dem Umfang der Basis und der Höhe des Prismas.
Die Seitenfläche ist die Summe der Flächen der Seitenflächen des Prismas.

2. Das Volumen des Prismas ist gleich dem Produkt aus Grundfläche und Prismenhöhe: \

Definition: Kiste

Parallelepiped Es ist ein Prisma, dessen Basis ein Parallelogramm ist.

Alle Flächen des Parallelepipeds (ihre \(6\) : \(4\) Seitenflächen und \(2\) Basen) sind Parallelogramme, und die gegenüberliegenden Flächen (parallel zueinander) sind gleiche Parallelogramme (Abb. 2).

Diagonale der Box ist ein Segment, das zwei Ecken eines Parallelepipeds verbindet, die nicht auf derselben Seite liegen (ihre \(8\) : \(AC_1, \A_1C, \BD_1, \B_1D\) usw.).

Quader ist ein rechtwinkliges Parallelepiped mit einem Rechteck an der Basis.
Da ein rechtwinkliges Parallelepiped ist, dann sind die Seitenflächen Rechtecke. Im Allgemeinen sind also alle Flächen eines rechteckigen Parallelepipeds Rechtecke.

Alle Diagonalen eines Quaders sind gleich (folgt aus der Gleichheit der Dreiecke \(\triangle ACC_1=\triangle AA_1C=\triangle BDD_1=\triangle BB_1D\) usw.).

Kommentar

Somit hat der Quader alle Eigenschaften eines Prismas.

Satz

Die Fläche der Seitenfläche eines rechteckigen Parallelepipeds ist gleich \

Die Gesamtfläche eines rechteckigen Parallelepipeds ist \

Satz

Das Volumen eines Quaders ist gleich dem Produkt aus drei seiner Kanten, die aus einer Ecke herauskommen (drei Dimensionen eines Quaders): \

Nachweisen

Da bei einem rechteckigen Parallelepiped stehen die Seitenkanten senkrecht zur Grundfläche, dann sind sie auch seine Höhen, also \(h=AA_1=c\) Die Basis ist ein Rechteck \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). Hier kommt die Formel her.

Satz

Die Diagonale \(d\) eines Quaders wird mit der Formel gesucht (wobei \(a,b,c\) die Abmessungen des Quaders sind)\

Nachweisen

Betrachten Sie Abb. 3. Weil die Basis ein Rechteck ist, dann ist \(\triangle ABD\) rechteckig, also nach dem Satz des Pythagoras \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

Da alle Seitenkanten stehen dann senkrecht zu den Basen \(BB_1\perp (ABC) \Rechtspfeil BB_1\) senkrecht zu irgendeiner Linie in dieser Ebene, d.h. \(BB_1\perp BD\) . Also ist \(\triangle BB_1D\) rechteckig. Dann nach dem Satz des Pythagoras \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), dt.

Definition: Würfel

Würfel ist ein rechteckiges Parallelepiped, dessen Seiten alle gleich groß sind.

Somit sind die drei Dimensionen einander gleich: \(a=b=c\) . Folgendes ist also wahr

Sätze

1. Das Volumen eines Würfels mit der Kante \(a\) ist \(V_(\text(cube))=a^3\) .

2. Die Würfeldiagonale wird mit der Formel \(d=a\sqrt3\) gesucht.

3. Gesamtoberfläche eines Würfels \(S_(\text(vollständige Würfeliterationen))=6a^2\).