Matrix der Größen m mal n.

Matrix Größe m mal n ist eine Sammlung von mn reellen Zahlen oder Elementen einer anderen Struktur (Polynome, Funktionen usw.), geschrieben in Form einer rechteckigen Tabelle, die aus m Zeilen und n Spalten besteht und in runder, rechteckiger oder doppelter Form vorliegt gerade Klammern. In diesem Fall werden die Zahlen selbst als Matrixelemente bezeichnet und jedes Element ist mit zwei Zahlen verknüpft – der Zeilennummer und der Spaltennummer. Eine Matrix der Größe n mal n wird aufgerufen Quadrat Matrix n-ter Ordnung, d.h. die Anzahl der Zeilen ist gleich der Anzahl der Spalten. Dreieckig - eine quadratische Matrix, in der alle Elemente unterhalb oder oberhalb der Hauptdiagonale gleich Null sind. Eine quadratische Matrix heißt Diagonale , wenn alle seine außerdiagonalen Elemente gleich Null sind. Skalar Matrix – eine Diagonalmatrix, deren Hauptdiagonalelemente gleich sind. Ein Sonderfall einer Skalarmatrix ist die Identitätsmatrix. Diagonale eine Matrix, in der alle Diagonalelemente gleich 1 sind, heißt einzel Matrix und wird mit dem Symbol I oder E bezeichnet. Eine Matrix, deren Elemente alle Null sind, wird aufgerufen Null Matrix und wird mit dem Symbol O bezeichnet.

Matrix A mit einer Zahl multiplizieren λ (Symbol: λ A) besteht in der Konstruktion einer Matrix B, deren Elemente durch Multiplikation jedes Elements der Matrix erhalten werden A durch diese Zahl, also jedes Element der Matrix B gleicht

Eigenschaften der Multiplikation von Matrizen mit einer Zahl

1. 1*A = A; 2. (Λβ)A = Λ(βA) 3. (Λ+β)A = ΛA + βA

4. Λ(A+B) = ΛA + ΛB

Matrixaddition A + B ist die Operation, eine Matrix zu finden C, deren Elemente alle gleich der paarweisen Summe aller entsprechenden Matrixelemente sind A Und B, also jedes Element der Matrix C gleicht

Eigenschaften der Matrixaddition

5.Kommutativität) a+b=b+a

6.Assoziativität.

7.Addition mit Nullmatrix;

8. Existenz einer Gegenmatrix (das Gleiche, aber vor jeder Zahl stehen überall Minuspunkte)

Matrix-Multiplikation - Es gibt eine Matrixberechnungsoperation C, deren Elemente gleich der Summe der Produkte der Elemente in der entsprechenden Zeile des ersten Faktors und der Spalte des zweiten sind.

Anzahl der Spalten in der Matrix A muss mit der Anzahl der Zeilen in der Matrix übereinstimmen B. Wenn Matrix A hat Dimension, B- , dann die Dimension ihres Produkts AB = C Es gibt .

Eigenschaften der Matrixmultiplikation

1.Assoziativität; (siehe oben)

2. das Produkt ist nicht kommutativ;

3.das Produkt ist bei Multiplikation mit der Identitätsmatrix kommutativ;

4.Gerechtigkeit des Verteilungsgesetzes; A*(B+C)=A*B+A*C.

5.(ΛA)B = Λ(AB) = A(ΛB);

2. Determinante einer quadratischen Matrix erster und n-ter Ordnung

Die Determinante einer Matrix ist ein Polynom der Elemente einer quadratischen Matrix (d. h. einer Matrix, bei der die Anzahl der Zeilen und Spalten gleich ist).

Bestimmung durch Erweiterung in der ersten Reihe

Für eine Matrix erster Ordnung bestimmend ist das einzige Element dieser Matrix selbst:

Denn eine Determinantenmatrix ist definiert als

Für eine Matrix wird die Determinante rekursiv angegeben:

, wobei es sich um ein zusätzliches Nebenelement des Elements handelt A 1J. Diese Formel heißt Linienerweiterung.

Insbesondere lautet die Formel zur Berechnung der Determinante einer Matrix:

= A 11 A 22 A 33 − A 11 A 23 A 32 − A 12 A 21 A 33 + A 12 A 23 A 31 + A 13 A 21 A 32 − A 13 A 22 A 31

Eigenschaften von Determinanten

Beim Hinzufügen einer Linearkombination anderer Zeilen (Spalten) zu einer beliebigen Zeile (Spalte) ändert sich die Determinante nicht.

§ Wenn zwei Zeilen (Spalten) einer Matrix zusammenfallen, ist ihre Determinante gleich Null.

§ Wenn zwei (oder mehrere) Zeilen (Spalten) einer Matrix linear abhängig sind, dann ist ihre Determinante gleich Null.

§ Wenn Sie zwei Zeilen (Spalten) einer Matrix neu anordnen, wird ihre Determinante mit (-1) multipliziert.

§ Der gemeinsame Faktor der Elemente einer beliebigen Reihe einer Determinante kann aus dem Vorzeichen der Determinante entnommen werden.

§ Wenn mindestens eine Zeile (Spalte) der Matrix Null ist, ist die Determinante gleich Null.

§ Die Summe der Produkte aller Elemente einer Zeile mit ihren algebraischen Komplementen ist gleich der Determinante.

§ Die Summe der Produkte aller Elemente einer beliebigen Reihe mit den algebraischen Komplementen der entsprechenden Elemente einer parallelen Reihe ist gleich Null.

§ Die Determinante des Produkts quadratischer Matrizen gleicher Ordnung ist gleich dem Produkt ihrer Determinanten (siehe auch die Binet-Cauchy-Formel).

§ Mithilfe der Indexnotation kann die Determinante einer 3x3-Matrix mithilfe des Levi-Civita-Symbols aus der folgenden Beziehung definiert werden:

Inverse Matrix.

Inverse Matrix - so eine Matrix A−1, wenn mit der ursprünglichen Matrix multipliziert A ergibt die Identitätsmatrix E:

Bedingt Existenz:

Eine quadratische Matrix ist genau dann invertierbar, wenn sie nicht singulär ist, d. h. ihre Determinante ungleich Null ist. Für nichtquadratische Matrizen und singuläre Matrizen gibt es keine inversen Matrizen.

Formel zum Finden

Wenn die Matrix invertierbar ist, können Sie zum Ermitteln der inversen Matrix eine der folgenden Methoden verwenden:

a) Verwendung einer Matrix algebraischer Additionen

C T- transponierte Matrix algebraischer Additionen;

Die resultierende Matrix A−1 und wird die Umkehrung sein. Die Komplexität des Algorithmus hängt von der Komplexität des Algorithmus zur Berechnung der Determinante O det ab und ist gleich O(n²)·O det.

Mit anderen Worten, die inverse Matrix ist gleich eins geteilt durch die Determinante der ursprünglichen Matrix und multipliziert mit der transponierten Matrix algebraischer Additionen (die Minor wird mit (-1) hoch multipliziert mit der Potenz des von ihr eingenommenen Raums). die Elemente der ursprünglichen Matrix.

4. System linearer Gleichungen. Systemlösung. Kompatibilität und Inkompatibilität des Systems. Matrixverfahren zur Lösung eines Systems aus n linearen Gleichungen mit n Variablen. Krammers Theorem.

System M lineare Gleichungen mit N Unbekannt(oder, lineares System) ist in der linearen Algebra ein Gleichungssystem der Form

(1)

Hier X 1 , X 2 , …, x n- Unbekannte, die ermittelt werden müssen. A 11 , A 12 , …, eine Minute- Systemkoeffizienten - und B 1 , B 2 , … b m- freie Mitglieder - werden als bekannt vorausgesetzt. Koeffizientenindizes ( ein ij) Systeme bezeichnen Gleichungsnummern ( ich) und unbekannt ( J), bei dem dieser Koeffizient jeweils steht.

System (1) wird aufgerufen homogen, wenn alle seine freien Terme gleich Null sind ( B 1 = B 2 = … = b m= 0), sonst - heterogen.

System (1) wird aufgerufen Quadrat, wenn Zahl M Gleichungen gleich der Zahl N Unbekannt.

Lösung Systeme (1) - eingestellt N Zahlen C 1 , C 2 , …, c n, so dass die Substitution von jedem c i anstatt x i in System (1) verwandelt alle seine Gleichungen in Identitäten.

System (1) wird aufgerufen gemeinsam, wenn es mindestens eine Lösung hat, und nicht gelenkig, wenn sie keine einheitliche Lösung hat.

Ein gemeinsames System vom Typ (1) kann eine oder mehrere Lösungen haben.

Lösungen C 1 (1) , C 2 (1) , …, c n(1) und C 1 (2) , C 2 (2) , …, c n(2) werden Gelenksysteme der Form (1) genannt verschieden, wenn mindestens eine der Gleichungen verletzt ist:

C 1 (1) = C 1 (2) , C 2 (1) = C 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) .

Matrixform

Ein System linearer Gleichungen kann in Matrixform dargestellt werden als:

AX = B.

Wenn der Matrix A rechts eine Spalte mit freien Termen hinzugefügt wird, wird die resultierende Matrix als erweitert bezeichnet.

Direkte Methoden

Cramer-Methode (Cramer-Regel)- eine Methode zum Lösen quadratischer Systeme linearer algebraischer Gleichungen mit einer Determinante der Hauptmatrix ungleich Null (und für solche Gleichungen gibt es eine eindeutige Lösung). Benannt nach Gabriel Cramer (1704–1752), dem Erfinder der Methode.

Beschreibung der Methode

Für System N lineare Gleichungen mit N unbekannt (über ein beliebiges Feld)

mit der Determinante der Systemmatrix Δ ungleich Null wird die Lösung in der Form geschrieben

(Die i-te Spalte der Systemmatrix wird durch eine Spalte mit freien Termen ersetzt).
In einer anderen Form wird die Cramer-Regel wie folgt formuliert: Für alle Koeffizienten c 1, c 2, ..., c n gilt die folgende Gleichheit:

In dieser Form gilt die Cramer-Formel ohne die Annahme, dass Δ von Null verschieden ist; es ist nicht einmal notwendig, dass die Koeffizienten des Systems Elemente eines Integralrings sind (die Determinante des Systems kann sogar ein Teiler von Null sein). Koeffizientenring). Wir können auch davon ausgehen, dass entweder die Mengen B 1 ,B 2 ,...,b n Und X 1 ,X 2 ,...,x n, oder ein Satz C 1 ,C 2 ,...,c n bestehen nicht aus Elementen des Koeffizientenrings des Systems, sondern aus einem Modul über diesem Ring.

5. Moll k-ter Ordnung. Matrixrang. Elementare Transformationen von Matrizen. Das Kronecker-Capelli-Theorem über die Kompatibilitätsbedingungen für ein System linearer Gleichungen. Methode zur Variableneliminierung (Gauß) für ein System linearer Gleichungen.

Unerheblich Matrizen A ist die Determinante der quadratischen Ordnungsmatrix k(die auch als Reihenfolge dieses Nebenfachs bezeichnet wird), deren Elemente in der Matrix erscheinen A am Schnittpunkt von Zeilen mit Zahlen und Spalten mit Zahlen.

Rang Matrixzeilen-(Spalten-)System A Mit M Linien und N Spalten ist die maximale Anzahl von Zeilen (Spalten) ungleich Null.

Mehrere Zeilen (Spalten) heißen linear unabhängig, wenn keine von ihnen durch die anderen linear ausgedrückt werden kann. Der Rang des Zeilensystems ist immer gleich dem Rang des Spaltensystems, und diese Zahl wird Rang der Matrix genannt.

Kronecker-Capelli-Theorem (Konsistenzkriterium für ein System linearer algebraischer Gleichungen) -

Ein System linearer algebraischer Gleichungen ist genau dann konsistent, wenn der Rang seiner Hauptmatrix gleich dem Rang seiner erweiterten Matrix (mit freien Termen) ist, und das System hat eine eindeutige Lösung, wenn der Rang gleich der Zahl ist von Unbekannten und einer unendlichen Anzahl von Lösungen, wenn der Rang kleiner als die Anzahl der Unbekannten ist.

Gauß-Methode - eine klassische Methode zur Lösung eines Systems linearer algebraischer Gleichungen (SLAE). Dies ist eine Methode zur sequentiellen Eliminierung von Variablen, bei der ein Gleichungssystem mithilfe elementarer Transformationen auf ein äquivalentes System in Stufenform (oder Dreiecksform) reduziert wird, aus dem alle anderen Variablen nacheinander ermittelt werden, beginnend mit der letzten (durch Anzahl) Variablen.

6. Gerichtetes Segment und Vektor. Grundbegriffe der Vektoralgebra. Die Summe von Vektoren und das Produkt eines Vektors und einer Zahl. Bedingung für die Koordination von Vektoren. Eigenschaften linearer Operationen an Vektoren.

Operationen auf Vektoren

Zusatz

Der Vorgang des Hinzufügens geometrischer Vektoren kann je nach Situation und Art der betrachteten Vektoren auf unterschiedliche Weise definiert werden:

Zwei Vektoren u, v und der Vektor ihrer Summe

Dreiecksregel. Um zwei Vektoren zu addieren, werden nach der Dreiecksregel beide Vektoren parallel zueinander verschoben, sodass der Anfang des einen mit dem Ende des anderen zusammenfällt. Dann ist der Summenvektor durch die dritte Seite des resultierenden Dreiecks gegeben, und sein Anfang fällt mit dem Anfang des ersten Vektors und sein Ende mit dem Ende des zweiten Vektors zusammen.

Parallelogrammregel. Um zwei Vektoren zu addieren, werden nach der Parallelogrammregel beide Vektoren parallel zu sich selbst übertragen, sodass ihre Ursprünge zusammenfallen. Dann ergibt sich der Summenvektor durch die Diagonale des auf ihnen aufgebauten Parallelogramms, ausgehend von ihrem gemeinsamen Ursprung.

Und der Modul (Länge) des Summenvektors bestimmt durch den Kosinussatz, wobei der Winkel zwischen Vektoren ist, wenn der Anfang des einen mit dem Ende des anderen zusammenfällt. Die Formel wird jetzt auch verwendet – der Winkel zwischen Vektoren, die von einem Punkt ausgehen.

Vektorgrafiken

Vektorgrafiken Vektor für Vektor ist ein Vektor, der die folgenden Anforderungen erfüllt:

Eigenschaften des Vektors C

§ Die Länge eines Vektors ist gleich dem Produkt der Längen der Vektoren und dem Sinus des Winkels φ zwischen ihnen

§ der Vektor ist orthogonal zu jedem der Vektoren und

§ Die Richtung des Vektors C wird durch die Buravchik-Regel bestimmt

Eigenschaften eines Vektorprodukts:

1. Bei der Umordnung der Faktoren ändert das Vektorprodukt das Vorzeichen (Antikommutativität), d.h.

2. Das Vektorprodukt hat die Kombinationseigenschaft in Bezug auf den Skalarfaktor, d. h

3. Das Vektorprodukt hat die Verteilungseigenschaft:

Basis und Koordinatensystem in der Ebene und im Raum. Zerlegung eines Vektors nach Basis. Orthonormalbasis und rechtwinkliges kartesisches Koordinatensystem in der Ebene und im Raum. Koordinaten eines Vektors und eines Punktes in einer Ebene und im Raum. Projektionen eines Vektors auf die Koordinatenachsen.

Basis (altgriechisch βασις, Basis) – eine Menge von Vektoren in einem Vektorraum, sodass jeder Vektor in diesem Raum eindeutig als lineare Kombination von Vektoren aus dieser Menge dargestellt werden kann – Basisvektoren.

Es ist oft zweckmäßig, die Länge (Norm) jedes Basisvektors als Einheit zu wählen, eine solche Basis wird aufgerufen normalisiert.

Darstellung eines bestimmten (beliebigen) Raumvektors beispielsweise als lineare Kombination von Basisvektoren (die Summe von Basisvektoren durch numerische Koeffizienten).

oder mit dem Summenzeichen Σ:

angerufen Entwicklung dieses Vektors über diese Basis.

Koordinaten eines Vektors und eines Punktes in einer Ebene und im Raum.

Die x-Achsen-Koordinate von Punkt A ist eine Zahl, deren absoluter Wert der Länge des Segments OAx entspricht: positiv, wenn Punkt A auf der positiven x-Achse liegt, und negativ, wenn er auf der negativen Halbachse liegt.

Ein Einheitsvektor oder Einheitsvektor ist ein Vektor, dessen Länge gleich eins ist und der entlang einer beliebigen Koordinatenachse gerichtet ist.

Dann Vektorprojektion AB auf der l-Achse ist die Differenz x1 – x2 zwischen den Koordinaten der Projektionen des Endes und des Anfangs des Vektors auf diese Achse.

8.Längen- und Richtungskosinus eines Vektors, Beziehung zwischen Richtungskosinus. Orth-Vektor. Koordinaten sind die Summe von Vektoren, das Produkt eines Vektors und einer Zahl.

Die Vektorlänge wird durch die Formel bestimmt

Die Richtung des Vektors wird durch die Winkel α, β, γ bestimmt, die er mit den Koordinatenachsen Ox, Oy, Oz bildet. Die Kosinuswerte dieser Winkel (die sogenannten Richtungskosinusvektor ) werden nach den Formeln berechnet:

Einheitsvektor oder ort (Einheitsvektor eines normalisierten Vektorraums) ist ein Vektor, dessen Norm (Länge) gleich eins ist.

Der Einheitsvektor, kollinear mit einem gegebenen (normalisierten Vektor), wird durch die Formel bestimmt

Als Basisvektoren werden häufig Einheitsvektoren gewählt, da dies die Berechnungen vereinfacht. Solche Basen werden aufgerufen normalisiert. Sind diese Vektoren ebenfalls orthogonal, nennt man eine solche Basis Orthonormalbasis.

Koordinaten kollinear

Koordinaten gleich

Koordinaten Summenvektor zwei Vektoren erfüllen die Beziehungen:

Koordinaten kollinear Vektoren erfüllen die Beziehung:

Koordinaten gleich Vektoren erfüllen die Beziehungen:

Summenvektor zwei Vektoren:

Summe mehrerer Vektoren:

Produkt eines Vektors und einer Zahl:

Kreuzprodukt von Vektoren. Geometrische Anwendungen des Kreuzprodukts. Bedingung für Kollinearität von Vektoren. Algebraische Eigenschaften eines gemischten Produkts. Ausdrücken des Vektorprodukts durch die Koordinaten der Faktoren.

Kreuzprodukt eines Vektors und Vektor b heißt Vektor c, der:

1. Senkrecht zu den Vektoren a und b, d. h. c^a und c^b;

2. Hat eine Länge, die numerisch der Fläche eines Parallelogramms entspricht, das auf den Vektoren a und b als Seiten aufgebaut ist (siehe Abb. 17), d.h.

3. Die Vektoren a, b und c bilden ein rechtshändiges Tripel.

Geometrische Anwendungen:

Feststellung der Kollinearität von Vektoren

Ermitteln der Fläche eines Parallelogramms und eines Dreiecks

Gemäß der Definition des Vektorprodukts von Vektoren A und B |a xb | =|a| * |b |sing, d. h. S Paare = |a x b |. Und daher ist DS =1/2|a x b |.

Bestimmung des Kraftmoments um einen Punkt

Aus der Physik ist das bekannt Moment der Kraft F relativ zum Punkt UM wird als Vektor bezeichnet M, die durch den Punkt geht UM Und:

1) senkrecht zur Ebene, die durch die Punkte verläuft O, A, B;

2) numerisch gleich dem Produkt der Kraft pro Arm

3) bildet ein Rechtstripel mit den Vektoren OA und A B.

Daher ist M = OA x F.

Ermitteln der linearen Rotationsgeschwindigkeit

Die Geschwindigkeit v eines Punktes M eines starren Körpers, der sich mit einer Winkelgeschwindigkeit w um eine feste Achse dreht, wird durch die Euler-Formel v =w xr bestimmt, wobei r =OM ist, wobei O ein fester Punkt der Achse ist (siehe Abb. 21).

Bedingung für Kollinearität von Vektoren - Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Kollinearität eines Vektors ungleich Null und eines Vektors ist die Existenz einer Zahl, die die Gleichheit erfüllt.

Algebraische Eigenschaften eines gemischten Produkts

Das gemischte Vektorprodukt ändert sich nicht, wenn die Faktoren zirkulär neu angeordnet werden, und ändert das Vorzeichen in das Gegenteil, wenn zwei Faktoren vertauscht werden, während sein Modul erhalten bleibt.

Das Vektormultiplikationszeichen „ “ innerhalb eines gemischten Produkts kann zwischen jedem seiner Faktoren platziert werden.

Ein gemischtes Produkt ist in Bezug auf jeden seiner Faktoren distributiv: (zum Beispiel) if , then

Das Kreuzprodukt in Koordinaten ausdrücken

rechtes Koordinatensystem

linkes Koordinatensystem

12.Gemischtes Produkt von Vektoren. Die geometrische Bedeutung eines gemischten Produkts, die Bedingung der Koplanarität von Vektoren. Algebraische Eigenschaften eines gemischten Produkts. Ein gemischtes Produkt durch die Koordinaten der Faktoren ausdrücken.

Gemischt Das Produkt eines geordneten Vektortripels (a,b,c) ist das Skalarprodukt des ersten Vektors und das Vektorprodukt des zweiten Vektors und des dritten.

Algebraische Eigenschaften eines Vektorprodukts

Antikommutativität

Assoziativität bezüglich der Multiplikation mit einem Skalar

Distributivität durch Addition

Jacobi-Identität. Läuft in R3 und bremst in R7

Die Vektorprodukte der Basisvektoren werden per Definition gefunden

Abschluss

Dabei sind die Koordinaten sowohl des Richtungsvektors der Linie als auch die Koordinaten eines zur Linie gehörenden Punktes.

Normalenvektor einer Geraden in einer Ebene. Die Gleichung einer Geraden, die senkrecht zu einem gegebenen Vektor durch einen gegebenen Punkt verläuft. Allgemeine Gleichung einer Geraden. Gleichungen einer Geraden mit einem Winkelkoeffizienten. Die relative Position zweier Geraden in einer Ebene

Normal Ein Vektor einer Linie ist jeder Nicht-Null-Vektor senkrecht zu dieser Linie.

- Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt senkrecht zu einem gegebenen Vektor verläuft

Axt + Wu + C = 0- allgemeine Gleichung einer Geraden.

Liniengleichung der Form y=kx+b

angerufen Gleichung einer Geraden mit Steigung, und der Koeffizient k wird als Steigung dieser Geraden bezeichnet.

Satz. In der Gleichung einer Geraden mit Steigung y=kx+b

der Winkelkoeffizient k ist gleich dem Tangens des Neigungswinkels der Geraden zur Abszissenachse:

Gegenseitige Übereinkunft:

– allgemeine Gleichungen zweier Geraden auf der Oxy-Koordinatenebene. Dann

1) wenn , dann fallen die Linien zusammen;

2) wenn , dann gerade und parallel;

3) wenn , dann schneiden sich die Geraden.

Nachweisen . Die Bedingung entspricht der Kollinearität der Normalenvektoren gegebener Geraden:

Wenn also, dann die Geraden schneiden.

Wenn , dann , , und die Geradengleichung hat die Form:

Oder , d.h. gerade übereinstimmen. Beachten Sie, dass der Proportionalitätskoeffizient ist, da sonst alle Koeffizienten der allgemeinen Gleichung gleich Null wären, was unmöglich ist.

Wenn die Geraden nicht zusammenfallen und sich nicht schneiden, bleibt der Fall bestehen, d.h. gerade parallel.

Gleichung einer Geraden in Segmenten

Wenn in der allgemeinen Gleichung der Geraden Ах + Ву + С = 0 С≠0, dann erhalten wir durch Division durch –С: oder , wo

Die geometrische Bedeutung der Koeffizienten ist der Koeffizient A ist die Koordinate des Schnittpunkts der Linie mit der Ox-Achse und B– die Koordinate des Schnittpunkts der Geraden mit der Oy-Achse.

Normalgleichung einer Geraden

Wenn beide Seiten der Gleichung Ax + By + C = 0 sind, werden sie durch eine Zahl namens geteilt Normalisierungsfaktor, dann bekommen wir

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

Normalgleichung einer Geraden.

Das Vorzeichen ± des Normierungsfaktors muss so gewählt werden, dass μ ? MIT< 0.

p ist die Länge der Senkrechten, die vom Ursprung zur Geraden abgesenkt wird, und φ ist der Winkel, den diese Senkrechte mit der positiven Richtung der Ox-Achse bildet.

C Es ist zu beachten, dass nicht jede Linie durch eine Gleichung in Segmenten dargestellt werden kann, beispielsweise durch Linien parallel zu Achsen oder durch den Ursprung.

17. Ellipse. Kanonische Gleichung einer Ellipse. Geometrische Eigenschaften und Konstruktion einer Ellipse. Besondere Bedingungen.

Ellipse - Ort der Punkte M Euklidische Ebene, für die die Summe der Abstände zu zwei gegebenen Punkten gilt F 1 und F 2 (genannt Brennpunkte) ist konstant und größer als der Abstand zwischen den Brennpunkten, also | F 1 M | + | F 2 M | = 2A, und | F 1 F 2 | < 2A.

Kanonische Gleichung

Für jede Ellipse können Sie ein kartesisches Koordinatensystem finden, sodass die Ellipse durch die Gleichung (die kanonische Gleichung der Ellipse) beschrieben wird:

Es beschreibt eine im Ursprung zentrierte Ellipse, deren Achsen mit den Koordinatenachsen zusammenfallen.

Konstruktion: 1) Mit einem Kompass

2) Zwei Tricks und ein gedehnter Faden

3) Ellipsograph (Ellipsograph besteht aus zwei Schiebern, die sich entlang zweier senkrechter Nuten oder Führungen bewegen können. Die Schieber sind mit Scharnieren an der Stange befestigt und befinden sich in einem festen Abstand voneinander entlang der Stange. Die Schieber bewegen sich vorwärts und rückwärts - jeweils entlang einer eigenen Rille - und das Ende der Stange beschreibt eine Ellipse auf der Ebene. Die Halbachsen der Ellipse a und b stellen die Abstände vom Ende der Stange bis zu den Scharnieren an den Schiebern dar. Normalerweise sind die Abstände a und b können variiert werden und dadurch Form und Abmessungen der beschriebenen Ellipse verändern)

Exzentrizität charakterisiert die Dehnung der Ellipse. Je näher die Exzentrizität bei Null liegt, desto mehr ähnelt die Ellipse einem Kreis, und umgekehrt: Je näher die Exzentrizität bei Eins liegt, desto länglicher ist sie.

Fokusparameter

Kanonische Gleichung

18.Hyperbel. Kanonische Gleichungen von Hyperbeln. Geometrische Eigenschaften und Konstruktion einer Hyperbel. Besondere Bedingungen

Hyperbel(altgriechisch ὑπερβολή, aus dem Altgriechischen βαλειν – „werfen“, ὑπερ – „über“) – Ort der Punkte M Euklidische Ebene, für die der Absolutwert der Abstandsdifferenz gilt M bis zu zwei ausgewählte Punkte F 1 und F 2 (Fokus genannt) ständig. Etwas präziser,

Darüber hinaus | F 1 F 2 | > 2A > 0.

Verhältnisse

Für die oben definierten Eigenschaften der Hyperbeln gelten die folgenden Beziehungen

2. Die Leitlinien der Hyperbel werden durch Linien doppelter Dicke angedeutet und angedeutet D 1 und D 2. Exzentrizität ε gleich dem Verhältnis der Punktabstände P auf der Hyperbel zum Fokus und zur entsprechenden Leitlinie (grün dargestellt). Die Eckpunkte der Hyperbel werden mit ± bezeichnet A. Die Hyperbelparameter bedeuten Folgendes:

A- Abstand vom Zentrum C zu jedem der Eckpunkte
B- die Länge der Senkrechten, die von jedem Scheitelpunkt zu den Asymptoten verläuft
C- Abstand vom Zentrum C zu einem der Schwerpunkte, F 1 und F 2 ,
θ ist der Winkel, den jede der Asymptoten und die zwischen den Eckpunkten gezogene Achse bilden.

Eigenschaften

§ Für jeden Punkt, der auf einer Hyperbel liegt, ist das Verhältnis der Abstände von diesem Punkt zum Fokus zum Abstand von demselben Punkt zur Leitlinie ein konstanter Wert.

§ Eine Hyperbel hat Spiegelsymmetrie um die reale und imaginäre Achse sowie Rotationssymmetrie, wenn sie um einen Winkel von 180° um den Mittelpunkt der Hyperbel gedreht wird.

§ Jede Hyperbel hat konjugierte Hyperbel, bei dem die realen und imaginären Achsen ihre Plätze tauschen, die Asymptoten jedoch gleich bleiben. Dies entspricht dem Ersatz A Und Bübereinander in einer Formel, die eine Hyperbel beschreibt. Die konjugierte Hyperbel ist nicht das Ergebnis einer Drehung der ursprünglichen Hyperbel um einen Winkel von 90°; beide Hyperbeln unterscheiden sich in ihrer Form.

19. Parabel. Kanonische Gleichung einer Parabel. Geometrische Eigenschaften und Aufbau einer Parabel. Besondere Bedingungen.

Parabel - der geometrische Ort von Punkten, die von einer gegebenen Linie (genannt die Leitlinie einer Parabel) und einem gegebenen Punkt (genannt der Brennpunkt der Parabel) gleich weit entfernt sind.

Die kanonische Gleichung einer Parabel in einem rechtwinkligen Koordinatensystem:

(oder wenn Sie die Achsen vertauschen).

Eigenschaften

§ 1 Eine Parabel ist eine Kurve zweiter Ordnung.

§ 2Es hat eine Symmetrieachse namens die Achse der Parabel. Die Achse geht durch den Fokus und steht senkrecht zur Leitlinie.

§ 3Optische Eigenschaft. In ihrem Brennpunkt wird ein Strahlenbündel parallel zur Parabelachse gesammelt, das in der Parabel reflektiert wird. Und umgekehrt wird Licht einer im Fokus stehenden Quelle von einer Parabel in ein Strahlenbündel parallel zu ihrer Achse reflektiert.

§ 4Bei einer Parabel liegt der Schwerpunkt im Punkt (0,25; 0).

Bei einer Parabel liegt der Fokus im Punkt (0; f).

§ 5 Wenn der Brennpunkt einer Parabel relativ zur Tangente gespiegelt wird, liegt ihr Bild auf der Leitlinie.

§ 6 Eine Parabel ist der Antipode einer Geraden.

§ Alle Parabeln sind ähnlich. Der Abstand zwischen Fokus und Leitlinie bestimmt den Maßstab.

§ 7 Wenn sich eine Parabel um die Symmetrieachse dreht, entsteht ein elliptisches Paraboloid.

Leitlinie einer Parabel

Fokusradius

20.Normaler Ebenenvektor. Die Gleichung einer Ebene, die durch einen gegebenen Punkt verläuft, steht senkrecht auf einem gegebenen Vektor. Allgemeine Ebenengleichung, ein Sonderfall der allgemeinen Ebenengleichung. Vektorgleichung einer Ebene. Die relative Position zweier Ebenen.

Flugzeug- eines der Grundkonzepte der Geometrie. In einer systematischen Darstellung der Geometrie wird meist der Begriff der Ebene als einer der Ausgangsbegriffe genommen, der nur indirekt durch die Axiome der Geometrie bestimmt wird.

Gleichung einer Ebene durch Punkt und Normalenvektor
In Vektorform

In Koordinaten

Winkel zwischen Ebenen

Sonderfälle der allgemeinen Ebenengleichung.

Um die Naturgesetze in der Physik richtig darzustellen, bedarf es entsprechender mathematischer Hilfsmittel.

In der Geometrie und Physik gibt es Größen, die sowohl durch ihren Zahlenwert als auch durch ihre Richtung gekennzeichnet sind.

Es empfiehlt sich, sie als gerichtete Segmente bzw. darzustellen Vektoren.

In Kontakt mit

Solche Größen haben einen Anfang (angezeigt durch einen Punkt) und ein Ende, angedeutet durch einen Pfeil. Die Länge eines Segments wird als (Länge) bezeichnet.

• Geschwindigkeit;
• Beschleunigung;
• Impuls;
• Gewalt;
• Moment;
• Stärke;
• ziehen um;
• Feldstärke usw.

Flugzeugkoordinaten

Definieren wir ein Segment auf der Ebene, die vom Punkt A (x1,y1) zum Punkt B (x2,y2) gerichtet ist. Seine Koordinaten a (a1, a2) sind die Zahlen a1=x2-x1, a2=y2-y1.

Das Modul wird nach dem Satz des Pythagoras berechnet:

Der Anfang des Nullvektors fällt mit dem Ende zusammen. Die Koordinaten und die Länge sind 0.

Vektorsumme

Existieren mehrere Regeln zur Berechnung des Betrags

• Dreiecksregel;
• Polygonregel;
• Parallelogrammregel.

Die Regel zur Addition von Vektoren lässt sich anhand von Problemen aus der Dynamik und Mechanik erklären. Betrachten wir die Addition von Vektoren nach der Dreiecksregel am Beispiel der auf einen Punktkörper wirkenden Kräfte und aufeinanderfolgenden Bewegungen des Körpers im Raum.

Nehmen wir an, ein Körper bewegt sich zuerst von Punkt A nach Punkt B und dann von Punkt B nach Punkt C. Die endgültige Verschiebung ist ein Segment, das vom Startpunkt A zum Endpunkt C verläuft.

Das Ergebnis zweier Bewegungen oder deren Summe s = s1+ s2. Diese Methode heißt Dreiecksregel.

Die Pfeile werden in einer Kette hintereinander aufgereiht, bei Bedarf erfolgt eine Parallelübertragung. Das Gesamtsegment schließt die Sequenz ab. Sein Anfang fällt mit dem Anfang des ersten zusammen, sein Ende mit dem Ende des letzten. In ausländischen Lehrbüchern wird diese Methode aufgerufen „Schwanz an Kopf“.

Die Koordinaten des Ergebnisses c = a + b sind gleich der Summe der entsprechenden Koordinaten der Terme c (a1+ b1, a2+ b2).

Die Summe paralleler (kollinearer) Vektoren wird ebenfalls durch die Dreiecksregel bestimmt.

Stehen zwei ursprüngliche Segmente senkrecht zueinander, so ist das Ergebnis ihrer Addition die Hypotenuse des darauf aufgebauten rechtwinkligen Dreiecks. Die Länge der Summe wird mit dem Satz des Pythagoras berechnet.

Beispiele:

• Die Geschwindigkeit eines horizontal geworfenen Körpers beträgt aufrecht Beschleunigung des freien Falls.
• Bei einer gleichmäßigen Rotationsbewegung steht die lineare Geschwindigkeit des Körpers senkrecht zur Zentripetalbeschleunigung.

Addition von drei oder mehr Vektoren produzieren nach Polygonregel, „Schwanz an Kopf“

Nehmen wir an, dass auf einen Punktkörper die Kräfte F1 und F2 wirken.

Die Erfahrung zeigt, dass die kombinierte Wirkung dieser Kräfte der Wirkung einer Kraft entspricht, die entlang der Diagonale des auf ihnen aufgebauten Parallelogramms gerichtet ist. Diese resultierende Kraft ist gleich ihrer Summe F = F1 + F 2. Die obige Additionsmethode wird aufgerufen Parallelogrammregel.

Die Länge wird in diesem Fall nach der Formel berechnet

Wobei θ der Winkel zwischen den Seiten ist.

Die Regeln des Dreiecks und des Parallelogramms sind austauschbar. In der Physik wird häufiger die Parallelogrammregel verwendet, da die Richtungsgrößen von Kräften, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen meist auf einen Punktkörper angewendet werden. In einem dreidimensionalen Koordinatensystem gilt die Parallelepiped-Regel.

Elemente der Algebra

1. Addition ist eine binäre Operation: Es kann jeweils nur ein Paar hinzugefügt werden.
2. Kommutativität: Die Summe aus der Umordnung der Terme ändert sich nicht a + b = b + a. Dies geht aus der Parallelogrammregel hervor: Die Diagonale ist immer gleich.
3. Assoziativität: Die Summe einer beliebigen Anzahl von Vektoren hängt nicht von der Reihenfolge ihrer Addition ab (a + b) + c = a + (b + c).
4. Die Summation mit einem Nullvektor ändert weder Richtung noch Länge: a +0= a .
5. Für jeden Vektor gibt es Gegenteil. Ihre Summe ist gleich Null a +(-a)=0 und die Längen sind gleich.

Multiplikation mit einem Skalar

Das Ergebnis der Multiplikation mit einem Skalar ist ein Vektor.

Die Koordinaten des Produkts erhält man durch Multiplikation der entsprechenden Koordinaten des Originals mit einem Skalar.

Ein Skalar ist ein numerischer Wert mit einem Plus- oder Minuszeichen, der größer oder kleiner als eins ist.

Beispiele für skalare Größen in der Physik:

• Gewicht;
• Zeit;
• Aufladung;
• Länge;
• Quadrat;
• Volumen;
• Dichte;
• Temperatur;
• Energie.

Beispiel:

Arbeit ist das Skalarprodukt aus Kraft und Weg A = Fs.

Beim Studium verschiedener Teilgebiete der Physik, der Mechanik und der technischen Wissenschaften stößt man auf Größen, die durch die Angabe ihrer Zahlenwerte vollständig bestimmt werden. Solche Größen heißen Skalar oder, kurz gesagt, Skalare.

Skalare Größen sind Länge, Fläche, Volumen, Masse, Körpertemperatur usw. Neben skalaren Größen gibt es bei verschiedenen Problemen Größen, für die neben ihrem Zahlenwert auch die Richtung bekannt sein muss. Solche Größen heißen Vektor. Physikalische Beispiele für Vektorgrößen können die Verschiebung eines im Raum bewegten materiellen Punktes, die Geschwindigkeit und Beschleunigung dieses Punktes sowie die auf ihn wirkende Kraft sein.

Vektorgrößen werden durch Vektoren dargestellt.

Vektordefinition. Ein Vektor ist ein gerichteter Abschnitt einer Geraden, der eine bestimmte Länge hat.

Ein Vektor wird durch zwei Punkte charakterisiert. Ein Punkt ist der Anfangspunkt des Vektors, der andere Punkt ist der Endpunkt des Vektors. Wenn wir den Anfang des Vektors mit einem Punkt bezeichnen A , und das Ende des Vektors ist ein Punkt IN , dann wird der Vektor selbst bezeichnet. Ein Vektor kann auch durch einen kleinen lateinischen Buchstaben mit einem Balken darüber gekennzeichnet werden (z. B. ).

Grafisch wird ein Vektor durch ein Segment mit einem Pfeil am Ende dargestellt.

Der Anfang des Vektors wird aufgerufen seinen Anwendungspunkt. Wenn der Punkt A ist der Anfang des Vektors , dann sagen wir, dass der Vektor an dem Punkt angewendet wird A.

Ein Vektor wird durch zwei Größen charakterisiert: Länge und Richtung.

Vektorlänge – der Abstand zwischen dem Startpunkt A und dem Endpunkt B. Ein anderer Name für die Länge eines Vektors ist der Modul des Vektors und wird durch das Symbol angezeigt . Bezeichnet wird der Vektormodul Vektor , dessen Länge 1 ist, heißt Einheitsvektor. Das ist die Bedingung für den Einheitsvektor

Ein Vektor mit der Länge Null wird Nullvektor genannt (gekennzeichnet mit). Offensichtlich hat der Nullvektor den gleichen Anfangs- und Endpunkt. Der Nullvektor hat keine bestimmte Richtung.

Definition kollinearer Vektoren. Vektoren, die auf derselben Geraden oder auf parallelen Geraden liegen, werden als kollinear bezeichnet .

Beachten Sie, dass kollineare Vektoren unterschiedliche Längen und unterschiedliche Richtungen haben können.

Bestimmung gleicher Vektoren. Zwei Vektoren heißen gleich, wenn sie kollinear sind, die gleiche Länge und die gleiche Richtung haben.

In diesem Fall schreiben sie:

Kommentar. Aus der Definition der Vektorgleichheit folgt, dass ein Vektor parallel übertragen werden kann, indem sein Ursprung an einem beliebigen Punkt im Raum (insbesondere einer Ebene) platziert wird.

Alle Nullvektoren gelten als gleich.

Bestimmung entgegengesetzter Vektoren. Zwei Vektoren heißen entgegengesetzt, wenn sie kollinear sind, die gleiche Länge, aber die entgegengesetzte Richtung haben.

In diesem Fall schreiben sie:

Mit anderen Worten, der dem Vektor entgegengesetzte Vektor wird als bezeichnet.