Es gibt vier Grundrechenarten: Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Sie sind die Grundlage der Mathematik, mit ihrer Hilfe werden alle anderen, komplexeren Berechnungen durchgeführt. Addition und Subtraktion sind die einfachsten und einander entgegengesetzt. Aber wir stoßen im Leben häufiger auf Begriffe, die zusätzlich verwendet werden.

Wir sprechen von der „Hinzufügung von Anstrengungen“, wenn wir gemeinsam versuchen, das gewünschte Ergebnis zu erzielen, von den „Komponenten des erzielten Erfolgs“ usw. Die mit der Subtraktion verbundenen Namen bleiben innerhalb der Grenzen der Mathematik und kommen in der Alltagssprache nur selten vor. Daher sind die Wörter „subtrahiert“, „reduziert“, „Differenz“ weniger verbreitet. Die Regel zum Auffinden jeder dieser Komponenten kann nur angewendet werden, wenn Sie die Bedeutung dieser Namen verstehen.

Im Gegensatz zu vielen wissenschaftlichen Begriffen, die griechischen, lateinischen oder arabischen Ursprungs sind, werden in diesem Fall Wörter mit russischen Wurzeln verwendet. Daher ist es nicht schwer, ihre Bedeutung zu verstehen und sich leicht zu merken, was mit welchem ​​Begriff gemeint ist.

Schaut man sich den Namen selbst genau an, fällt auf, dass er mit den Wörtern „anders“, „Unterschied“ zu tun hat. Daraus können wir schließen, dass es sich hierbei um einen festgestellten Mengenunterschied handelt.

Dieses Konzept bedeutet in der Mathematik:

• Differenz zwischen zwei Zahlen;
• es ist ein Maß dafür, um wie viel mehr oder weniger eine Größe gegenüber einer anderen ist;
• Dies ist das Ergebnis, das man erhält, wenn man eine Subtraktion durchführt – das ist die Definition, die im Lehrplan der Schule angeboten wird.

Beachten Sie! Wenn die Mengen einander gleich sind, gibt es keinen Unterschied zwischen ihnen. Das bedeutet, dass ihre Differenz Null ist.

Was sind Minuend und Subtrahend?

Wie der Name schon sagt, bedeutet vermindert, dass weniger getan wird. Und Sie können die Menge verkleinern, indem Sie einen Teil davon subtrahieren. Somit ist der Minuend eine Zahl, von der ein Teil subtrahiert wird.

Subtrahiert wird dementsprechend die Zahl, die davon subtrahiert wird.

Minuend		Subtrahend		Unterschied
18	—	11	=	7
14	—	5	=	9
26	—	22	=	4

Nützliches Video: Minuend, Subtrahend, Differenz

Regeln zum Auffinden eines unbekannten Elements

Nachdem man die Begriffe verstanden hat, lässt sich leicht feststellen, nach welcher Regel jedes der Subtraktionselemente gefunden wird.

Da die Differenz das Ergebnis einer bestimmten Rechenoperation ist, wird sie mit dieser Aktion ermittelt; weitere Regeln sind hier nicht erforderlich. Sie sind jedoch vorhanden, falls der andere Term des mathematischen Ausdrucks unbekannt ist.

So finden Sie einen Minuenden

Wie sich herausstellte, bezieht sich dieser Begriff auf die Menge, von der ein Teil abgezogen wurde. Wenn aber einer abgezogen wurde und der andere am Ende übrig blieb, besteht die Zahl also aus diesen beiden Teilen. Es stellt sich heraus, dass Sie ein unbekanntes Minuend finden können, indem Sie zwei bekannte Elemente hinzufügen.

Um also das Unbekannte zu finden, müssen Sie in diesem Fall den Subtrahend und die Differenz hinzufügen:

Das Gleiche gilt in allen ähnlichen Fällen:

?	–	5	=	9
9	+	5	=	14

?	–	22	=	4
4	+	22	=	26

So finden Sie den Subtrahend

Besteht ein Ganzes aus zwei Teilen (in diesem Fall Mengen), so ergibt die Subtraktion eines davon den zweiten. Auf diese Weise, Um den unbekannten Subtrahend zu finden, reicht es stattdessen aus, die Differenz vom Ganzen zu subtrahieren.

Andere ähnliche Beispiele werden nach der gleichen Regel gelöst.

14	–	?	=	9
14	–	9	=	5

Der Artikel führt den Leser in die Konzepte „Zahlendifferenz“, „Subtrahend“ und „Minuend“ ein.

In der Arithmetik gibt es nur vier Grundoperationen, die wir Addition, Multiplikation, Subtraktion und Division nennen. Solche Aktionen sind die Grundlage aller Mathematik – sie ermöglichen uns die Durchführung aller Berechnungen: sowohl der einfachen als auch der komplexesten. Die einfachsten Operationen sind Addition und Subtraktion, die einander entgegengesetzt sind. Zwar verwenden wir das Wort „Addition“ auch im Alltag.

Der Ausdruck „sich gemeinsam anstrengen“ begegnet uns möglicherweise, wenn wir gemeinsam etwas erledigen müssen. Beim Begriff „Subtraktion“ ist die Situation jedoch etwas komplizierter und im Gespräch kommt er weniger häufig vor. Wir hören selten Ausdrücke wie „ Minuend», « Subtrahend», « Unterschied" Aber im heutigen Artikel werden wir aus mathematischer Sicht ausführlich darüber sprechen.

Was bedeuten ein Minuend, ein Subtrahend und die Differenz der Zahlen?

Was bedeuten ein Minuend, ein Subtrahend und die Differenz der Zahlen? Wie Sie wissen, stammen viele wissenschaftliche Begriffe und Ausdrücke aus anderen Sprachen, am häufigsten aus dem Griechischen und Lateinischen. Aber die Wörter, die im Folgenden besprochen werden, sind russischen Ursprungs, sodass wir sie leichter analysieren können.

Was ist zum Beispiel mit dem Unterschied zwischen Zahlen? Wenn wir auf die Wurzel des Wortes „Unterschied“ achten, dann wird uns beispielsweise das verwandte Wort „Unterschied“ angezeigt. Und wenn wir über Mathematik sprechen, gibt es nichts zu bedenken – das Wort „Differenz“ bedeutet die Differenz zwischen einigen Zahlen, oder besser gesagt, zwei Zahlen. Die Differenz zeigt uns, um wie viel ein Wert größer ist als der andere oder umgekehrt, um wie viel der zweite kleiner ist als der erste. Streng in der Mathematik sieht dies wie das Ergebnis einer Subtraktion aus.

Lassen Sie uns gleich ein Beispiel geben. Nehmen wir an, die Bardame trägt acht Kuchen auf einem Tablett. Fünf davon verschenkte sie an Besucher. Wie viele Kuchen wird die Bardame noch auf ihrem Tablett haben? Wenn Sie von 8 5 subtrahieren, erhalten Sie 3. Schreiben wir es nun mathematisch auf:

• 8 – 5 = 3

Das heißt, der Unterschied zwischen acht und fünf beträgt drei. Jetzt verstehen wir, was der Begriff „Unterschied“ ist.

Aufmerksamkeit: Wenn zwei Zahlen einander gleich sind, dann gibt es keinen Unterschied zwischen ihnen, sie ist gleich Null (8 – 8 = 0).

Jetzt sollten wir herausfinden, was Subtrahend und Minuend sind. Stellen wir uns die Bedeutung von Wörtern noch einmal entsprechend ihrer Bedeutung vor. Wie hoch kann die zu reduzierende Zahl sein? Der Minuend ist die Zahl, die beim Subtrahieren abnimmt. Von dieser Zahl wird eine weitere Zahl abgezogen. Was heißt subtrahend? Der Subtrahend ist genau die Zahl, die wir vom Minuenden subtrahieren.

Kehren wir zum Beispiel der Bardame zurück. Wir erinnern uns, wie wir fünf von acht abgezogen haben und drei erhalten haben. Wir haben herausgefunden, dass drei der Unterschied zwischen diesen beiden Zahlen ist. Jetzt fällt es uns nicht mehr schwer zu verstehen, dass 8 eine Minuenda-Zahl und 5 eine Subtrahend-Zahl ist.

Wie finde ich die Minuend- und Subtrahendzahl?

Wir haben bereits herausgefunden, wie man den Unterschied zwischen Zahlen in der Mathematik findet. Es ist ziemlich einfach. Aber können wir Minuend und Subtrahend finden, wenn eine Zahl unbekannt ist? Natürlich können wir das, da wir die anderen beiden Zahlen kennen. Wie können wir zum Beispiel den Minuend finden? Wenn wir den Wert der Differenz und des Subtrahenden kennen, dann ergibt die Summe dieser beiden Zahlen den Minuenden:

• Y – 10 = 18, wobei Y die Zahl ist, die reduziert wird
• Also Y = 18 + 10
• 18 + 10 = 28
• Y=28

Genauso einfach ist es, den Subtrahend zu finden. Wenn wir die Differenz und den Minuenden kennen, erhalten wir den Subtrahend, indem wir die Differenz vom Minuenden subtrahieren:

• 28 – B = 10, wobei B die zu subtrahierende Zahl ist
• Also B = 28 – 10
• 28 – 10 = 18
• B=18

Video: Minuend, Subtrahieren, Differenz

Bestimmen der Summe von Zahlen

Summe (lat. summa- Gesamtzahl) von Zahlen ist das Ergebnis der Summierung dieser Zahlen: . Insbesondere wenn zwei Zahlen addiert werden und , dann

Übung. Finden Sie die Summe der Zahlen:

Antwort.

Eigenschaften der Zahlensumme

Assoziativität:

Basierend auf diesen Eigenschaften können wir schlussfolgern, dass eine Neuordnung der Positionen der Terme die Summe nicht verändert.

Distributivität in Bezug auf Multiplikation

Übung. Finden Sie die Summe der Zahlen auf bequeme Weise:

Lösung. Durch die Eigenschaften der Addition haben wir

Antwort. 1)

Wenn Sie große Zahlen oder Dezimalbrüche addieren, verwenden Sie die Spaltenaddition.

Lösung. Diese Zahlen fügen wir in eine Spalte ein, dazu schreiben wir sie Ziffer für Ziffer untereinander. Bei Dezimalbrüchen achten wir darauf, dass der Dezimalpunkt der ersten Zahl unter dem Dezimalpunkt der zweiten liegt. Als nächstes addieren wir die Zahlen untereinander, bewegen uns von rechts nach links und schreiben das Ergebnis unter die Bruchlinie. Wenn die Summe der Zahlen in einer Spalte mehr als zehn beträgt, wird die Zahl der Zehner zu den Zahlen in der nächsten Spalte links von dieser Spalte addiert:

Antwort. 1)

Die Addition rationaler Brüche erfolgt nach der Regel

Lösung. Berechnen wir die erste Summe mithilfe der Additionsregel rationaler Zahlen

Zähler und Nenner des resultierenden Bruchs können um 2 reduziert werden, dann lautet die Antwort

Um die zweite Summe zu berechnen, wandeln wir zunächst den zweiten Term in einen unechten Bruch um, multiplizieren dazu den ganzen Teil mit dem Nenner und addieren die resultierende Zahl zum Zähler. Als nächstes wenden wir die Regel zum Addieren rationaler Brüche an

Wählen wir den ganzen Teil des resultierenden Bruchs aus; dividieren Sie dazu den Zähler durch den Nenner mit dem Rest. Den resultierenden Quotienten schreiben wir in den ganzzahligen Teil und den Rest der Division in den Zähler.

Antwort. 1) ; 2)

So finden Sie den Unterschied zwischen Zahlen in der Mathematik

Arithmetische Operationen mit Zahlen

Der Quotient ist das Ergebnis der Division.

Menge - hinzufügen;

Produkt - multiplizieren;

Der Unterschied zwischen Zahlen gibt an, wie viel größer eine von ihnen ist als die andere.

Dies ist die Zahl, die minus zwei Mengen den Rest ergibt.

Dies ist das Ergebnis einer der vier arithmetischen Operationen, nämlich der Subtraktion.

Das passiert, wenn man den Subtrahend vom Minuend subtrahiert.

So finden Sie den Unterschied zwischen Mengen

Die Differenz ergibt sich aus der Subtraktion einer Zahl von einer anderen. Die erste dieser Zahlen, von der die Subtraktion durchgeführt wird, wird Minuend genannt, und die zweite, die von der ersten subtrahiert wird, wird Subtrahend genannt.

Wenn wir noch einmal auf den Lehrplan der Schule zurückgreifen, finden wir eine Regel, wie man den Unterschied findet:

Nun ist klar, dass die Differenz aus zwei Zahlen besteht, die bekannt sein müssen, um sie zu berechnen. Und wie man sie findet, verwenden wir auch die Definitionen:

• Beispiel 3. Finden Sie den Subtrahendwert.

Lösung: 17 - 7 = 10

Die ganzzahligen Werte sind angegeben: 56, 12, 4.

12 und 4 sind subtrahierte Werte.

Methode 1 (sequentielle Subtraktion subtrahierter Werte):

Methode 2 (Subtrahieren von zwei Subtrahenden von der zu reduzierenden Summe, die in diesem Fall Addenden genannt werden):

Antwort: 40 ist die Differenz dreier Werte.

• Beispiel 5. Finden Sie den Unterschied zwischen rationalen Brüchen.

Gegebene Brüche mit demselben Nenner, wo

4/5 ist ein zu reduzierender Bruch,

Um die Lösung zu vervollständigen, müssen Sie die Aktionen mit Brüchen wiederholen. Das heißt, Sie müssen wissen, wie man Brüche mit demselben Nenner subtrahiert. Wie man mit Brüchen umgeht, die unterschiedliche Nenner haben. Sie müssen in der Lage sein, sie auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen.

Lösung: 4/5 - 3/5 = (4 - 3)/5 = 1/5

Wie führt man ein solches Beispiel durch, wenn man die Differenz verdoppeln oder verdreifachen muss?

• Das Doppelte einer Zahl ist ein mit zwei multiplizierter Wert.
• Das Dreifache einer Zahl ist ein mit drei multiplizierter Wert.
• Die doppelte Differenz ist die Größendifferenz multipliziert mit zwei.
• Eine dreifache Differenz ist eine Größendifferenz multipliziert mit drei.

2) 2 * 3 = 6. Antwort: 6 ist die Differenz zwischen den Zahlen 7 und 5.

7 - reduzierter Wert;

• Ist der Subtrahend größer als der Minuend, ist die Differenz negativ.

Und auch wenn die Berechnungen zu Beginn Ihrer Reise auf primitive Beispiele reduziert werden, liegt noch alles vor Ihnen. Und du wirst einiges meistern müssen. Wir sehen, dass es in der Mathematik viele Operationen mit unterschiedlichen Größen gibt. Daher muss zusätzlich zur Differenz untersucht werden, wie die verbleibenden Ergebnisse arithmetischer Operationen berechnet werden:

• Produkt - durch Multiplikation von Faktoren;
• Quotient – ​​durch Division des Dividenden durch den Divisor.

Die Grundrechenarten der Mathematik sind:

Jedes Ergebnis dieser Aktionen hat auch einen eigenen Namen:

• Summe – das durch Addition von Zahlen erhaltene Ergebnis;
• Produkt ist das Ergebnis der Multiplikation von Zahlen;

Das ist interessant: Was ist der Modul einer Zahl?

• Differenz - subtrahieren;
• privat - teilen.

Definitionen betrachten, was ist der Unterschied zwischen Zahlen in der Mathematik? Dieses Konzept kann auf verschiedene Arten definiert werden:

• Dabei wird eine Zahl von einer anderen subtrahiert.

Nehmen wir als Grundlage die Notation für den Unterschied, die uns der Schullehrplan bietet:

• Der Minuend ist eine mathematische Zahl, von der er subtrahiert wird und die abnimmt (kleiner wird).
• Ein Subtrahend ist eine mathematische Zahl, die vom Minuenden subtrahiert wird.
• Um den Minuend zu finden, müssen Sie die Differenz zum Subtrahend addieren.
• Um den Subtrahend zu finden, müssen Sie die Differenz vom Minuend subtrahieren.

Mathematische Operationen mit Zahlendifferenzen

Lösung: 20 - 15 = 5

Lösung: 32 + 48 = 80

Antwort: Subtrahieren Sie den Wert 10.

Komplexere Beispiele

Die Lösung kann auf zwei Arten erfolgen.

1) 56 - 12 = 44 (hier ist 44 die resultierende Differenz der ersten beiden Größen, die in der zweiten Aktion reduziert wird);

1) 12 + 4 = 16 (wobei 16 die Summe zweier Terme ist, die in der nächsten Operation subtrahiert werden);

Alles scheint klar. Stoppen! Ist der Subtrahend größer als der Minuend?

Mathe für Blondinen

In der Schule wurde uns beigebracht, solche Operationen mit mathematischen Größen in einer Spalte und später auf einem Taschenrechner zu berechnen. Auch der Taschenrechner ist ein praktisches Hilfsmittel. Für die Entwicklung des Denkens, der Intelligenz, der Einstellung und anderer Lebensqualitäten empfehlen wir Ihnen jedoch, Rechenoperationen auf dem Papier oder sogar im Kopf durchzuführen. Die Schönheit des menschlichen Körpers ist die große Errungenschaft des modernen Fitnessplans. Aber das Gehirn ist auch ein Muskel, der manchmal gepumpt werden muss. Beginnen Sie also unverzüglich mit dem Nachdenken.

Das Wort „Unterschied“ kann viele Bedeutungen haben. Dies kann auch einen Unterschied in etwas bedeuten, zum Beispiel in Meinungen, Ansichten, Interessen. In einigen wissenschaftlichen, medizinischen und anderen Berufsfeldern bezieht sich dieser Begriff auf verschiedene Indikatoren, beispielsweise Blutzuckerspiegel, Luftdruck und Wetterbedingungen. Es gibt auch den Begriff „Differenz“ als mathematischen Begriff.

• Differenz – das Ergebnis, das durch Subtrahieren von Zahlen erhalten wird;

Um die Konzepte Summe, Differenz, Produkt und Quotient in der Mathematik in einfacherer Sprache zu erklären, können wir sie einfach nur als Phrasen aufschreiben:

Unterschied in der Mathematik

• In der Mathematik ist eine Differenz das Ergebnis, das man erhält, wenn man zwei oder mehr Zahlen voneinander subtrahiert.
• Dies ist die Größe, die sich aus der Subtraktion zweier Werte ergibt.
• Die Differenz zeigt den quantitativen Unterschied zwischen zwei Zahlen.

Und alle diese Definitionen sind wahr.

• Um die Differenz zu ermitteln, müssen Sie den Subtrahend vom Minuend subtrahieren.

Alles klar. Aber gleichzeitig erhielten wir noch einige weitere mathematische Begriffe. Was meinen sie?

Basierend auf den abgeleiteten Regeln können wir anschauliche Beispiele betrachten. Mathematik ist eine interessante Wissenschaft. Hier werden wir nur die einfachsten Zahlen zur Lösung heranziehen. Nachdem Sie gelernt haben, sie zu subtrahieren, lernen Sie, komplexere Werte zu lösen: dreistellige, vierstellige, ganze Zahlen, Brüche, Potenzen, Wurzeln usw.

Einfache Beispiele

• Beispiel 1. Finden Sie die Differenz zwischen zwei Größen.

20 - abnehmender Wert,

Antwort: 5 - Werteunterschied.

• Beispiel 2. Finden Sie den Minuend.

32 ist der subtrahierte Wert.

17 ist der Wert, der reduziert wird.

In den Beispielen 1–3 werden Aktionen mit einfachen Ganzzahlen untersucht. In der Mathematik wird die Differenz jedoch nicht nur anhand zweier, sondern auch mehrerer Zahlen sowie ganzer Zahlen, Brüche, rationaler, irrationaler usw. berechnet.

• Beispiel 4. Finden Sie die Differenz zwischen drei Werten.

56 - zu reduzierender Wert,

• Beispiel 6. Verdreifachen Sie die Zahlendifferenz.

Wenden wir die Regeln noch einmal an:

7 - reduzierter Wert,

5 - subtrahierter Wert.

• Beispiel 7. Finden Sie die Differenz zwischen den Werten 7 und 18.

Und wieder gibt es eine Regel, die für einen konkreten Fall gilt:

Antwort: - 11. Dieser negative Wert ist die Differenz zwischen zwei Größen, vorausgesetzt, dass die subtrahierte Menge größer ist als die reduzierte Menge.

Im World Wide Web finden Sie viele thematische Websites, die jede Frage beantworten. Ebenso helfen Ihnen Online-Rechner für jeden Geschmack bei allen mathematischen Berechnungen. Alle darauf durchgeführten Berechnungen sind eine hervorragende Hilfe für Eilige, Uninteressierte und Faule. Mathe für Blondinen ist eine solche Ressource. Darüber hinaus greifen wir alle darauf zurück, unabhängig von Haarfarbe, Geschlecht und Alter.

• die Summe – durch Addition der Terme;

Das ist eine interessante Arithmetik.

Mathematik der 1. Klasse. „Betrag und Wert des Betrags“

Ziele:

• Einführung und Entwicklung der Fähigkeit zur Verwendung der mathematischen Begriffe „Summe“, „Bedeutung der Summe“. Verbessern Sie Ihre Computerkenntnisse.
• Entwickeln Sie Fähigkeiten zum Vergleichen, Analysieren und Verallgemeinern. Entwickeln Sie mathematische Sprache und Interesse an Mathematik.
• Entwickeln Sie Unabhängigkeit, Disziplin und die Fähigkeit, im Team zu arbeiten.

Ausrüstung: Kreide, Tafel, Karten, Multimedia-Installation, Präsentation.

1. Die Klasse für eine Unterrichtsstunde organisieren.

2. Vermittlung des Unterrichtsthemas und der Unterrichtsziele:

Heute werden wir im Unterricht die Geheimnisse der Mathematik entdecken und enthüllen. So lass uns gehen!

3. Neues Material kennenlernen.

Leute, magt ihr Märchen? Was ist mit den Märchen von Walt Disney? Jetzt lese ich einen Auszug aus einem Märchen vor und Sie versuchen zu erraten, von wem ich spreche.

Wach auf, Freund Eule! - rief der kleine Hase Fatty fröhlich. - Ein neuer Prinz wurde geboren!

Die gute Nachricht verbreitete sich sofort im ganzen Wald und alle Waldbewohner eilten herbei, um sich das neugeborene Rehkitz anzusehen. Sie waren gerührt, als sie zusahen, wie er versuchte aufzustehen. Seine Beine waren noch zu schwach und er stürzte immer wieder.

Wer hat ihn erkannt? Dies ist tatsächlich ein Rehkitz namens Bambi. Und dann kam eines Tages die Zeit, ihm den Wald vorzustellen. Aus dem Märchen wissen wir, dass Bambi neugierig ist und sich über alles, was er um sich herum sah, freute.

Gehen wir mit dem Rehkitz in den ungewöhnlichen „Wald der Mathematik“.

Das Reh findet sich auf einer Lichtung wieder und sieht viele Blumen. Doch als er genauer hinschaut, bemerkt er, dass die Blumen ein Geheimnis bergen.

Helfen Sie ihm, dieses Rätsel zu lösen.

Schauen Sie und sagen Sie mir, was Sie sehen? Welche Arten mathematischer Notationen können wir machen?

Abgekürzte Multiplikationsformeln

Verwenden Sie bei der Berechnung algebraischer Polynome zur Vereinfachung der Berechnungen abgekürzte Multiplikationsformeln. Insgesamt gibt es sieben solcher Formeln. Sie müssen sie alle auswendig kennen.

Es sollte auch daran erinnert werden, dass anstelle von „a“ und „b“ in Formeln entweder Zahlen oder andere algebraische Polynome stehen können.

Differenz der Quadrate

Differenz der Quadrate zwei Zahlen ist gleich dem Produkt der Differenz dieser Zahlen und ihrer Summe.

a 2 − b 2 = (a − b)(a + b)

• 15 2 − 2 2 = (15 − 2)(15 + 2) = 13 17 = 221
• 9a 2 − 4b 2 mit 2 = (3a − 2bc)(3a + 2bc)

Quadrat der Summe

Das Quadrat der Summe zweier Zahlen ist gleich dem Quadrat der ersten Zahl plus dem Doppelten des Produkts aus der ersten Zahl und der zweiten Zahl plus dem Quadrat der zweiten Zahl.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Bitte beachten Sie, dass es mit dieser abgekürzten Multiplikationsformel einfach ist Finden Sie Quadrate großer Zahlen ohne einen Taschenrechner oder eine lange Multiplikation zu verwenden. Lassen Sie es uns anhand eines Beispiels erklären:

• Zerlegen wir 112 in die Summe der Zahlen, deren Quadrate wir uns gut merken.
  112 = 100 + 1
• Schreiben Sie die Summe der Zahlen in Klammern und setzen Sie ein Quadrat über die Klammern.
  112 2 = (100 + 12) 2
• Verwenden wir die Formel für das Quadrat der Summe:
  112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 100 12 + 12 2 = 10.000 + 2.400 + 144 = 12.544

Denken Sie daran, dass die Quadratsummenformel auch für alle algebraischen Polynome gilt.

• (8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Quadratischer Unterschied

Das Quadrat der Differenz zweier Zahlen ist gleich dem Quadrat der ersten Zahl minus dem doppelten Produkt aus der ersten und der zweiten Zahl plus dem Quadrat der zweiten Zahl.

(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

Es lohnt sich auch, sich an eine sehr nützliche Transformation zu erinnern:

Die obige Formel kann durch einfaches Öffnen der Klammern bewiesen werden:

(a − b) 2 = a 2 −2ab + b 2 = b 2 − 2ab + a 2 = (b − a) 2

Die Potenz der Summe zweier Zahlen ist gleich der Potenz der ersten Zahl plus dem Dreifachen des Produkts aus dem Quadrat der ersten Zahl und der zweiten plus dem Dreifachen des Produkts der ersten mit dem Quadrat der zweiten plus der Potenz der zweiten .

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Wie man sich den Würfel einer Summe merkt

Es ist ziemlich einfach, sich diese „beängstigend“ aussehende Formel zu merken.

• Erfahren Sie, dass „eine 3“ am Anfang steht.
• Die beiden Polynome in der Mitte haben den Koeffizienten 3.
• Denken Sie daran, dass jede Zahl hoch null 1 ist. (a 0 = 1, b 0 = 1) . Es ist leicht zu erkennen, dass in der Formel der Grad von „a“ abnimmt und der Grad von „b“ zunimmt. Sie können dies überprüfen:
  (a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Warnung!

Differenzwürfel

Differenzwürfel zwei Zahlen ist gleich der Potenz der ersten Zahl minus dem Dreifachen des Produkts aus dem Quadrat der ersten Zahl und der zweiten Zahl plus dem Dreifachen des Produkts aus der ersten Zahl und dem Quadrat der zweiten Zahl minus der Potenz der zweiten.

(a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

Diese Formel wird wie die vorherige gespeichert, jedoch nur unter Berücksichtigung des Wechsels der Zeichen „+“ und „−“. Dem ersten Term „a 3“ steht ein „+“ voran (nach den Regeln der Mathematik schreiben wir es nicht). Das bedeutet, dass dem nächsten Begriff ein „−“ vorangestellt wird, dann erneut ein „+“ usw.

(a − b) 3 = + a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

Summe der Würfel

Nicht zu verwechseln mit dem Summenwürfel!

Summe der Würfel ist gleich dem Produkt der Summe zweier Zahlen und dem Teilquadrat der Differenz.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2)

Die Würfelsumme ist das Produkt zweier Klammern.

• Die erste Klammer ist die Summe zweier Zahlen.
• Die zweite Klammer ist das unvollständige Quadrat der Differenz zwischen den Zahlen. Das unvollständige Quadrat der Differenz ist der Ausdruck:
  (a 2 − ab + b 2)
  Dieses Quadrat ist unvollständig, da in der Mitte statt des Doppelprodukts das übliche Zahlenprodukt steht.

Differenz der Würfel

Nicht zu verwechseln mit dem Differenzwürfel!

Differenz der Würfel ist gleich dem Produkt der Differenz zweier Zahlen und dem Teilquadrat der Summe.

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)

Seien Sie vorsichtig, wenn Sie Schilder aufschreiben.

Verwendung abgekürzter Multiplikationsformeln

Es ist zu beachten, dass alle oben angegebenen Formeln auch von rechts nach links verwendet werden.

Viele Beispiele in Lehrbüchern dienen dazu, mithilfe von Formeln ein Polynom wieder zusammenzusetzen.

• a 2 + 2a + 1 = (a + 1) 2
• (ac − 4b)(ac + 4b) = a 2 c 2 − 16b 2

Eine Tabelle mit allen abgekürzten Multiplikationsformeln können Sie im Bereich „Krippen“ herunterladen.

21. Summenwürfel und Differenzwürfel. Regeln

Für alle Werte von a und b gilt die Gleichheit

(a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 . (1)

(a + b) 3 = (a + b) (a 2 + 2 a b + b 2) =

A 3 + 2 a 2 b + a b 2 + a 2 b + 2 a b 2 + b 3 =

A 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3

Da Gleichheit (1) für alle Werte von a und b gilt,
Summenwürfelformel. Wenn in dieser Formel anstelle von a und b
dann bekommen wir wieder eine Identität.

(5 y 3 + 2 z) 3 = 125 y 9 + 150 y 6 z + 60 y 3 z 2 + 8 z 3. (2)

Daher lautet die Summenwürfelformel wie folgt:

Die Potenz der Summe zweier Ausdrücke ist gleich der Potenz des ersten Ausdrucks
plus das Dreifache des Produkts aus dem Quadrat des ersten Ausdrucks und des zweiten,
plus das Dreifache des Produkts aus dem ersten Ausdruck und dem Quadrat des zweiten,
plus die Potenz des zweiten Ausdrucks.

(a − b) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3 . (3)

(a − b) 3 = (a − b) (a 2 − 2 a b + b 2) =

A 3 − 2 a 2 b + a b 2 − a 2 b + 2 a b 2 − b 3 =

A 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3

Da Gleichheit (3) für alle Werte von a und b gilt,
dann ist es eine Identität. Diese Identität heißt
Differenzwürfelformel. Wenn in dieser Formel anstelle von a und b
Ersetzen Sie einige Ausdrücke, zum Beispiel 5 y 3 und 2 z,
dann bekommen wir wieder eine Identität.

(5 y 3 − 2 z) 3 = 125 y 9 − 150 y 6 z + 60 y 3 z 2 − 8 z 3 . (4)

Daher lautet die Differenzwürfelformel wie folgt:

Die Potenz der Differenz zweier Ausdrücke ist gleich der Potenz des ersten Ausdrucks
minus das Dreifache des Produkts aus dem Quadrat des ersten Ausdrucks und des zweiten,
plus das Dreifache des Produkts aus dem ersten Ausdruck und dem Quadrat des zweiten,
minus der dritten Potenz des zweiten Ausdrucks.

Aufgaben zum Thema „Summenwürfel und Differenzwürfel“

Transformieren Sie den Ausdruck mithilfe der Summenwürfel- oder Differenzwürfelformel
in ein Polynom der Standardform umwandeln und die richtige Antwort wählen.

1) = a 3 − 3 a 2 c + 3 a c 2 − c 3

2) = a 3 − 3 a 2 c + 3 a c 2 + c 3

3) = a 3 − 3 a c 2 + 3 a c 2 − c 3 Falsch. Klicken Sie nicht auf ein leeres Feld. (x + 2 y) 3 =

1) = x 3 + 6 x 2 y + 6 x y 2 + 4 y 3

2) = x 3 + 6 x 2 y + 12 x y 2 + 8 y 3

3) = x 3 + 6 x 2 y + 6 x y 2 + 8 y 3 Falsch. Falsch. Falsch. Klicken Sie nicht auf ein leeres Feld. Falsch. (3 a − 2 b) 3 =

1) = 27 a 3 − 27 a 2 b + 12 a b 2 − 8 b 3

2) = 27 a 3 − 54 a 2 b + 36 a b 2 − 8 b 3

3) = 27 a 3 − 18 a 2 b + 18 a b 2 − 8 b 3 Falsch. Falsch. Klicken Sie nicht auf ein leeres Feld. Falsch. (

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• Zur moralischen und psychologischen Unterstützung der operativen und offiziellen Aktivitäten der Organe für innere Angelegenheiten der Russischen Föderation. VERORDNUNG DES MINISTERIUMS FÜR INNERE ANGELEGENHEITEN DER RUSSISCHEN FÖDERATION „11“ vom Februar 2010 Nr. 80 Zur moralischen und psychologischen Unterstützung […]

Subtraktion ist eine zur Addition inverse Rechenoperation, mit der von einer Zahl so viele Einheiten subtrahiert (subtrahiert) werden, wie in einer anderen Zahl enthalten sind.

Die Zahl, von der sie subtrahiert wird, wird aufgerufen reduzierbar, die Zahl, die angibt, wie viele Einheiten von der ersten Zahl abgezogen werden, wird aufgerufen Selbstbehalt. Die Zahl, die sich durch Subtraktion ergibt, heißt Unterschied(oder der Rest).

Schauen wir uns die Subtraktion anhand eines Beispiels an. Auf dem Tisch liegen 9 Bonbons, wenn man 5 Bonbons isst, bleiben noch 4 übrig. Die Zahl 9 ist der Minuend, 5 ist der Subtrahend und 4 ist der Rest (Differenz):

Um eine Subtraktion zu schreiben, verwenden Sie das Minuszeichen. Es wird zwischen dem Minuend und dem Subtrahend platziert, wobei der Minuend links vom Minuszeichen und der Subtrahend rechts davon geschrieben wird. Der Eintrag 9 - 5 bedeutet beispielsweise, dass die Zahl 5 von der Zahl 9 subtrahiert wird. Rechts neben dem Subtraktionseintrag setzen Sie ein = (Gleichheitszeichen), danach wird das Ergebnis der Subtraktion geschrieben. Die vollständige Subtraktionsnotation sieht also so aus:

Dieser Eintrag lautet wie folgt: Die Differenz zwischen neun und fünf ist gleich vier oder neun minus fünf ist gleich vier.

Um durch Subtraktion eine natürliche Zahl oder 0 zu erhalten, muss der Minuend größer oder gleich dem Subtrahend sein.

Betrachten wir, wie Sie mithilfe der natürlichen Reihe eine Subtraktion durchführen und die Differenz zweier natürlicher Zahlen ermitteln können. Zum Beispiel müssen wir die Differenz zwischen den Zahlen 9 und 6 berechnen, die Zahl 9 in der natürlichen Reihe markieren und von dort aus 6 Zahlen nach links zählen. Wir erhalten die Nummer 3:

Die Subtraktion kann auch zum Vergleich zweier Zahlen verwendet werden. Wenn wir zwei Zahlen vergleichen wollen, fragen wir uns, um wie viele Einheiten eine Zahl größer oder kleiner als die andere ist. Um das herauszufinden, müssen Sie die kleinere Zahl von der größeren Zahl subtrahieren. Um beispielsweise herauszufinden, wie viel 10 kleiner als 25 ist (oder wie viel 25 mehr als 10 ist), müssen Sie 10 von 25 subtrahieren. Dann stellen wir fest, dass 10 um weniger als 25 ist (oder 25 mehr als 10 ist). 15 Einheiten.

Subtraktionsprüfung

Betrachten Sie den Ausdruck

Dabei ist 15 der Minuend, 7 der Subtrahend und 8 die Differenz. Um herauszufinden, ob die Subtraktion korrekt durchgeführt wurde, können Sie:

1. Addiere den Subtrahend mit der Differenz. Wenn du den Minuend erhältst, wurde die Subtraktion korrekt durchgeführt:
2. Subtrahieren Sie die Differenz vom Minuend. Wenn Sie den Subtrahend erhalten, wurde die Subtraktion korrekt durchgeführt:

In der Grundschule wird ein Kind erstmals an die Mathematik herangeführt und seine ersten Beispiele sind einfache Operationen wie Addition oder Subtraktion. Aber manchmal ist es schwierig, einem Kind selbst solche scheinbar einfachen und vertrauten Beispiele für Erwachsene zu erklären. Wie kann man lernen, die Summe und Differenz von Zahlen zu ermitteln?

Wie hoch ist die Menge und wie findet man sie?

Eine Summe ist das Ergebnis der Addition zweier Zahlen (Terme), zwischen denen ein +-Zeichen steht. Um die Summe zu erhalten, müssen Sie den zweiten Term zu einem Term addieren. Im Allgemeinen kann ein Beispiel wie folgt dargestellt werden: a + b = s, wobei a der erste Term, b der zweite Term und s das Ergebnis der Addition dieser beiden Terme ist. Gleichzeitig müssen Sie wissen, dass sich durch das Umordnen der Begriffe die Summe nicht ändert – dies ist eine der allerersten Regeln in der Mathematik, die in der Grundschule gelehrt wird.

Um Ihrem Kind visuell zu zeigen, wie man Zahlen addiert, Süßigkeiten oder andere Dinge nimmt. Zeigen Sie Ihrem Kind zwei Bonbons und fügen Sie dann zwei weitere Bonbons zu diesen Bonbons hinzu. Lassen Sie das Kind zählen und sagen Sie, dass es jetzt vier Bonbons sind. Erklären Sie ihm, dass er diese Zahlen einfach addiert hat, das heißt, er hat eine weitere Zahl zu einer Zahl addiert und am Ende die Summe erhalten.

Etwas schwieriger ist es, das Hinzufügen von Bit-Begriffen zu erklären; dieses Thema ist für ein Kind möglicherweise nicht klar. Es gibt also viele Kategorien: Einheiten, Zehner, Tausender. Nehmen Sie zum Beispiel die Zahl 2564. Wenn Sie sie in Ziffern zerlegen, erhalten Sie: 2564 = 2000 + 500 + 60 + 4. Um beispielsweise die Zahl 305 zu dieser Zahl hinzuzufügen, verwenden Sie die Spaltenaddition. Bei dieser Addition müssen Sie einige Ziffern zu anderen addieren, beginnend am Ende: Einser zu Einer, Zehner zu Zehner, Tausender zu Tausender. Das heißt, wir addieren zuerst 4 und 5, dann 6 und 0, danach 5 und 3 und schließlich 2 und 0. Letztendlich erhalten wir die Zahl 2869.

So finden Sie den Unterschied zwischen Zahlen

Die Differenz ergibt sich aus der Subtraktion einer Zahl von einer anderen. Anders als bei der Summe können wir hier nicht die Regel „Die Differenz ändert sich durch Umordnen der Terme“ nicht anwenden, da es bei der Subtraktion immer einen Minuenden und einen Subtrahenden gibt. Um den Subtrahend und den Unterschied zu finden, müssen Sie zunächst diese Konzepte verstehen. Das Verminderte ist das, wovon wir „subtrahieren“, das heißt, wir entfernen, und das Subtrahierte ist der Betrag dessen, was wir von diesem Verminderten zurückgeben.

Im Allgemeinen kann die Subtraktion wie folgt geschrieben werden: a – b = r.
Wenden wir uns den gleichen Bonbons zu, mit denen wir die Summe der Zahlen analysiert haben. Um Ihrem Kind zu helfen, den Unterschied zwischen Zahlen zu erkennen, nehmen Sie fünf Bonbons. Lassen Sie das Kind zählen und stellen Sie sicher, dass es fünf sind. Dann nimm dir drei Bonbons. Das Kind wird sagen, dass noch zwei übrig sind. Wie viel haben sie damals genommen? Drei.

Was die Bitterme betrifft, machen wir hier dasselbe wie mit der Summe, nur dass wir jetzt nicht addieren, sondern subtrahieren. Nehmen wir die Zahl 6845 und subtrahieren davon 4231. Dazu subtrahieren wir eine Ziffer von einer anderen Ziffer und subtrahieren vom Ende: 5-1 = 4, 4-3 = 1, 8-2 = 6, 6-4 = 2. Als Antwort erhalten wir 2614.