Mit dem Unterschied, dass wir anstelle von „flachen“ Diagrammen die gängigsten räumlichen Flächen betrachten und auch lernen, wie man sie kompetent von Hand erstellt. Ich habe ziemlich lange mit der Auswahl von Softwaretools zum Erstellen dreidimensionaler Zeichnungen verbracht und einige gute Anwendungen gefunden, aber trotz aller Benutzerfreundlichkeit lösen diese Programme ein wichtiges praktisches Problem nicht gut. Tatsache ist, dass die Schüler in absehbarer historischer Zukunft immer noch mit einem Lineal und einem Bleistift bewaffnet sein werden und viele viele nicht in der Lage sein werden, sie selbst mit einer hochwertigen „Maschinenzeichnung“ korrekt auf kariertes Papier zu übertragen. Daher wird im Handbuch besonderes Augenmerk auf die Technik der manuellen Konstruktion gelegt und ein erheblicher Teil der Seitenillustrationen ist ein handgefertigtes Produkt.

Wie unterscheidet sich dieses Referenzmaterial von Analoga?

Aufgrund meiner guten Praxiserfahrung weiß ich sehr gut, mit welchen Oberflächen wir uns bei realen Problemen der höheren Mathematik am häufigsten befassen müssen, und hoffe, dass dieser Artikel Ihnen dabei hilft, Ihr Gepäck schnell mit den entsprechenden Kenntnissen und angewandten Fähigkeiten aufzufüllen, die 90 ausmachen -95% es sollten genügend Fälle vorhanden sein.

Was müssen Sie im Moment können?

Das einfachste:

Erstens müssen Sie dazu in der Lage sein richtig bauen räumliches kartesisches Koordinatensystem (siehe Anfang des Artikels Graphen und Eigenschaften von Funktionen) .

Was werden Sie nach der Lektüre dieses Artikels gewinnen?

Flasche Nachdem Sie die Unterrichtsmaterialien bewältigt haben, lernen Sie, schnell den Typ einer Oberfläche anhand ihrer Funktion und/oder Gleichung zu bestimmen, sich vorzustellen, wie sie sich im Raum befindet, und natürlich Zeichnungen anzufertigen. Es ist in Ordnung, wenn Sie nach der ersten Lektüre nicht alles im Kopf haben – Sie können bei Bedarf später jederzeit zu jedem Absatz zurückkehren.

Informationen liegen in der Macht eines jeden – um sie zu meistern, braucht es kein Superwissen, kein besonderes künstlerisches Talent oder räumliches Vorstellungsvermögen.

Beginnen!

In der Praxis wird meist die räumliche Fläche angegeben Funktion zweier Variablen oder eine Gleichung der Form (Die Konstante auf der rechten Seite ist meistens gleich Null oder Eins). Die erste Bezeichnung ist eher typisch für die mathematische Analyse, die zweite für analytische Geometrie. Die Gleichung lautet im Wesentlichen implizit gegeben eine Funktion von 2 Variablen, die in typischen Fällen leicht auf die Form reduziert werden kann. Ich möchte Sie an das einfachste Beispiel c erinnern:

–Ebenengleichung Art .

– Ebenenfunktion in ausdrücklich .

Fangen wir damit an:

Gemeinsame Ebenengleichungen

Typische Möglichkeiten zur Anordnung von Ebenen in einem rechtwinkligen Koordinatensystem werden gleich zu Beginn des Artikels ausführlich besprochen. Ebenengleichung. Lassen Sie uns jedoch noch einmal auf die Gleichungen eingehen, die für die Praxis von großer Bedeutung sind.

Zunächst müssen Sie die Gleichungen von Ebenen, die parallel zu Koordinatenebenen liegen, vollautomatisch erkennen. Fragmente von Ebenen werden normalerweise als Rechtecke dargestellt, die in den letzten beiden Fällen wie Parallelogramme aussehen. Standardmäßig können Sie beliebige Abmessungen auswählen (natürlich innerhalb angemessener Grenzen), aber es ist wünschenswert, dass der Punkt, an dem die Koordinatenachse die Ebene „durchdringt“, das Symmetriezentrum ist:


Streng genommen müssten die Koordinatenachsen an manchen Stellen mit gestrichelten Linien dargestellt werden, aber um Verwirrung zu vermeiden, vernachlässigen wir diese Nuance.

– (linke Zeichnung) die Ungleichung gibt den Halbraum an, der am weitesten von uns entfernt ist, ohne die Ebene selbst;

– (mittlere Zeichnung) die Ungleichung gibt den rechten Halbraum einschließlich der Ebene an;

– (rechte Zeichnung) Die doppelte Ungleichung definiert eine „Schicht“, die zwischen den Ebenen liegt, einschließlich beider Ebenen.

Zum Selbstaufwärmen:

Beispiel 1

Zeichnen Sie einen durch Ebenen begrenzten Körper
Erstellen Sie ein System von Ungleichungen, die einen bestimmten Körper definieren.

Ein alter Bekannter sollte unter der Mine Ihres Bleistifts hervortreten. Quader. Vergessen Sie nicht, dass unsichtbare Kanten und Flächen mit einer gepunkteten Linie gezeichnet werden müssen. Fertiges Zeichnen am Ende der Lektion.

Bitte, Nicht vernachlässigen Lernaufgaben, auch wenn sie zu einfach erscheinen. Andernfalls könnte es passieren, dass Sie es einmal verpasst haben, es zweimal verpasst haben und dann eine ganze Stunde damit verbracht haben, eine dreidimensionale Zeichnung in einem realen Beispiel herauszufinden. Darüber hinaus hilft Ihnen die mechanische Arbeit dabei, den Stoff viel effektiver zu erlernen und Ihre Intelligenz zu entwickeln! Es ist kein Zufall, dass Kinder im Kindergarten und in der Grundschule mit Zeichen-, Modellier-, Konstruktionsspielzeugen und anderen Aufgaben für die Feinmotorik der Finger überhäuft werden. Entschuldigung für den Exkurs, aber meine beiden Notizbücher zur Entwicklungspsychologie sollten nicht verloren gehen =)

Wir nennen die nächste Gruppe von Ebenen bedingt „direkte Proportionalität“ – dies sind Ebenen, die durch die Koordinatenachsen verlaufen:

2) eine Gleichung der Form gibt eine Ebene an, die durch die Achse verläuft;

3) Eine Gleichung der Form gibt eine Ebene an, die durch die Achse verläuft.

Obwohl das formale Zeichen offensichtlich ist (welche Variable fehlt in der Gleichung – die Ebene verläuft durch diese Achse), ist es immer nützlich, die Essenz der stattfindenden Ereignisse zu verstehen:

Beispiel 2

Flugzeug konstruieren

Wie baut man am besten? Ich schlage folgenden Algorithmus vor:

Lassen Sie uns zunächst die Gleichung in der Form umschreiben, aus der deutlich hervorgeht, dass das „y“ annehmen kann beliebig Bedeutungen. Lassen Sie uns den Wert festlegen, das heißt, wir betrachten die Koordinatenebene. Gleichungen festgelegt räumliche Linie, in einer gegebenen Koordinatenebene liegend. Lassen Sie uns diese Linie in der Zeichnung darstellen. Die Gerade verläuft durch den Koordinatenursprung. Um sie zu konstruieren, genügt es, einen Punkt zu finden. Lassen . Legen Sie einen Punkt beiseite und zeichnen Sie eine gerade Linie.

Nun kehren wir zur Gleichung der Ebene zurück. Da akzeptiert das „Y“. beliebig Werte, dann wird die in der Ebene konstruierte Gerade nach links und rechts kontinuierlich „repliziert“. Genau so entsteht unsere Ebene, die durch die Achse verläuft. Um die Zeichnung zu vervollständigen, legen wir links und rechts der Geraden zwei parallele Linien an und „schließen“ das symbolische Parallelogramm mit quer verlaufenden horizontalen Segmenten:

Da die Bedingung keine zusätzlichen Einschränkungen vorsah, konnte ein Fragment des Flugzeugs in etwas kleinerer oder etwas größerer Größe dargestellt werden.

Lassen Sie uns am Beispiel noch einmal die Bedeutung der räumlichen linearen Ungleichung wiederholen. Wie bestimmt man den Halbraum, den es definiert? Nehmen wir einen Punkt nicht dazugehörend Ebene, zum Beispiel einen Punkt aus dem Halbraum, der uns am nächsten liegt, und setzen seine Koordinaten in die Ungleichung ein:

Erhalten wahre Ungleichheit, was bedeutet, dass die Ungleichung den unteren (relativ zur Ebene) Halbraum angibt, während die Ebene selbst nicht in die Lösung einbezogen wird.

Beispiel 3

Flugzeuge konstruieren
A) ;
B) .

Dies sind Aufgaben zur Selbstkonstruktion; bei Schwierigkeiten verwenden Sie eine ähnliche Argumentation. Kurze Anweisungen und Zeichnungen am Ende der Lektion.

In der Praxis kommen vor allem achsparallele Ebenen vor. Der Sonderfall, wenn die Ebene durch die Achse verläuft, wurde gerade im Abschnitt „be“ besprochen, und nun analysieren wir ein allgemeineres Problem:

Beispiel 4

Flugzeug konstruieren

Lösung: Die Variable „z“ ist nicht explizit in der Gleichung enthalten, was bedeutet, dass die Ebene parallel zur Anwendungsachse verläuft. Wir verwenden die gleiche Technik wie in den vorherigen Beispielen.

Schreiben wir die Gleichung der Ebene in der Form um Daraus geht hervor, dass „zet“ dauern kann beliebig Bedeutungen. Lassen Sie uns das Problem beheben und eine regelmäßige „flache“ gerade Linie in der „nativen“ Ebene zeichnen. Um es zu konstruieren, ist es zweckmäßig, Referenzpunkte zu nehmen.

Da „Z“ akzeptiert Alle Werte, dann „multipliziert“ sich die konstruierte Gerade kontinuierlich nach oben und unten und bildet so die gewünschte Ebene . Wir erstellen sorgfältig ein Parallelogramm angemessener Größe:

Bereit.

Gleichung einer Ebene in Segmenten

Die wichtigste angewandte Sorte. Wenn Alle Chancen allgemeine Gleichung der Ebene ungleich Null, dann kann es in der Form dargestellt werden Was heisst Gleichung der Ebene in Segmenten. Es ist offensichtlich, dass die Ebene die Koordinatenachsen in Punkten schneidet, und der große Vorteil einer solchen Gleichung ist die einfache Erstellung einer Zeichnung:

Beispiel 5

Flugzeug konstruieren

Lösung: Zuerst erstellen wir eine Gleichung der Ebene in Segmenten. Werfen wir den freien Term nach rechts und dividieren beide Seiten durch 12:

Nein, hier gibt es keinen Tippfehler und alle Dinge passieren im Weltraum! Wir untersuchen die vorgeschlagene Oberfläche mit der gleichen Methode, die kürzlich für Flugzeuge verwendet wurde. Schreiben wir die Gleichung im Formular um , woraus folgt, dass „zet“ dauert beliebig Bedeutungen. Lassen Sie uns eine Ellipse in der Ebene festlegen und konstruieren. Da „zet“ akzeptiert Alle Werte, dann wird die konstruierte Ellipse kontinuierlich nach oben und unten „repliziert“. Es ist leicht zu verstehen, dass die Oberfläche unendlich:

Diese Fläche heißt elliptischer Zylinder. Eine Ellipse (in beliebiger Höhe) heißt Führung Zylinder und parallele Linien, die durch jeden Punkt der Ellipse verlaufen, werden genannt Bildung Zylinder (die ihn buchstäblich bilden). Die Achse ist Symmetrieachse Oberfläche (aber nicht Teil davon!).

Die Koordinaten eines beliebigen Punktes, der zu einer bestimmten Oberfläche gehört, erfüllen notwendigerweise die Gleichung .

Räumlich Die Ungleichung definiert das „Innere“ des unendlichen „Rohrs“, einschließlich der zylindrischen Oberfläche selbst, und dementsprechend definiert die entgegengesetzte Ungleichung die Menge der Punkte außerhalb des Zylinders.

Bei praktischen Problemen ist when der beliebteste Sonderfall Führung Zylinder ist Kreis:

Beispiel 8

Konstruieren Sie die durch die Gleichung gegebene Fläche

Es ist unmöglich, ein endloses „Rohr“ darzustellen, daher beschränkt sich die Kunst normalerweise auf das „Beschneiden“.

Zunächst ist es zweckmäßig, einen Kreis mit Radius in der Ebene zu konstruieren und dann ein paar weitere Kreise darüber und darunter. Die resultierenden Kreise ( Führer Zylinder) sorgfältig mit vier parallelen geraden Linien verbinden ( Bildung Zylinder):

Vergessen Sie nicht, gepunktete Linien für Linien zu verwenden, die für uns unsichtbar sind.

Die Koordinaten eines beliebigen Punktes, der zu einem bestimmten Zylinder gehört, erfüllen die Gleichung . Die Koordinaten jedes Punkts, der genau innerhalb des „Rohrs“ liegt, erfüllen die Ungleichung und die Ungleichheit definiert eine Menge von Punkten des externen Teils. Zum besseren Verständnis empfehle ich, mehrere konkrete Punkte im Raum zu betrachten und sich selbst ein Bild zu machen.

Beispiel 9

Konstruieren Sie eine Fläche und finden Sie ihre Projektion auf die Ebene

Schreiben wir die Gleichung im Formular um woraus folgt, dass „x“ dauert beliebig Bedeutungen. Lassen Sie uns im Flugzeug fixieren und darstellen Kreis– mit Mittelpunkt im Ursprung, Einheitsradius. Da „x“ kontinuierlich akzeptiert Alle Werte, dann erzeugt der konstruierte Kreis einen Kreiszylinder mit einer Symmetrieachse. Zeichne einen weiteren Kreis ( Führung Zylinder) und verbinden Sie diese vorsichtig mit geraden Leitungen ( Bildung Zylinder). An manchen Stellen gab es Überschneidungen, aber was soll man machen, da ist so ein Gefälle:

Dieses Mal habe ich mich auf ein Stück eines Zylinders in der Lücke beschränkt, und das ist kein Zufall. In der Praxis ist es oft erforderlich, nur einen kleinen Ausschnitt der Oberfläche abzubilden.

Hier gibt es übrigens 6 Erzeugende – zwei zusätzliche Geraden „bedecken“ die Fläche von der oberen linken und unteren rechten Ecke.

Schauen wir uns nun die Projektion eines Zylinders auf eine Ebene an. Viele Leser verstehen, was Projektion ist, aber lassen Sie uns dennoch eine weitere fünfminütige körperliche Übung durchführen. Bitte stellen Sie sich auf die Zeichnung und neigen Sie Ihren Kopf so, dass die Achsenspitze senkrecht zu Ihrer Stirn zeigt. Was ein Zylinder aus diesem Blickwinkel aussieht, ist seine Projektion auf eine Ebene. Aber es scheint ein endloser Streifen zu sein, der von geraden Linien eingeschlossen ist, einschließlich der geraden Linien selbst. Diese Projektion ist genau Domain Funktionen (obere „Rinne“ des Zylinders), (untere „Rinne“).

Lassen Sie uns die Situation übrigens mit Projektionen auf andere Koordinatenebenen klären. Lassen Sie die Sonnenstrahlen von der Spitze und entlang der Achse auf den Zylinder scheinen. Der Schatten (Projektion) eines Zylinders auf eine Ebene ist ein ähnlicher unendlicher Streifen – ein Teil der Ebene, der durch gerade Linien (- beliebig) begrenzt wird, einschließlich der geraden Linien selbst.

Die Projektion auf die Ebene ist jedoch etwas anders. Wenn Sie den Zylinder von der Achsenspitze aus betrachten, wird er in einen Kreis mit einem Einheitsradius projiziert , mit dem wir den Bau begonnen haben.

Beispiel 10

Konstruieren Sie eine Oberfläche und finden Sie ihre Projektionen auf Koordinatenebenen

Dies ist eine Aufgabe, die Sie selbst lösen müssen. Wenn die Bedingung nicht ganz klar ist, quadrieren Sie beide Seiten und analysieren Sie das Ergebnis. Finden Sie heraus, welcher Teil des Zylinders von der Funktion angegeben wird. Verwenden Sie die oben wiederholt verwendete Bautechnik. Eine kurze Lösung, Zeichnung und Kommentare am Ende der Lektion.

Elliptische und andere zylindrische Flächen können relativ zu den Koordinatenachsen versetzt werden, zum Beispiel:

(basierend auf bekannten Motiven des Artikels über Linien 2. Ordnung) – ein Zylinder mit Einheitsradius und einer Symmetrielinie, die durch einen Punkt parallel zur Achse verläuft. In der Praxis trifft man jedoch eher selten auf solche Zylinder, und es ist absolut unglaublich, auf eine zylindrische Oberfläche zu stoßen, die relativ zu den Koordinatenachsen „schräg“ ist.

Parabolische Zylinder

Wie der Name schon sagt, Führung so ein Zylinder ist Parabel.

Beispiel 11

Konstruieren Sie eine Oberfläche und finden Sie ihre Projektionen auf Koordinatenebenen.

Ich konnte diesem Beispiel nicht widerstehen =)

Lösung: Gehen wir den ausgetretenen Pfaden entlang. Schreiben wir die Gleichung in der Form um, aus der folgt, dass „zet“ jeden Wert annehmen kann. Lassen Sie uns eine gewöhnliche Parabel in der Ebene fixieren und konstruieren, nachdem wir zuvor die trivialen Stützpunkte markiert haben. Da „Z“ akzeptiert Alle Werte, dann wird die konstruierte Parabel kontinuierlich nach oben und unten bis ins Unendliche „repliziert“. Wir legen die gleiche Parabel beispielsweise in einer Höhe (in der Ebene) und verbinden sie sorgfältig mit parallelen Geraden ( den Zylinder bilden):

Ich erinnere dich nützliche Technik Hinweis: Wenn Sie sich über die Qualität der Zeichnung zunächst nicht sicher sind, zeichnen Sie die Linien lieber zunächst sehr dünn mit einem Bleistift auf. Anschließend bewerten wir die Qualität der Skizze, ermitteln die Bereiche, in denen die Oberfläche vor unseren Augen verborgen ist, und üben erst dann Druck auf den Stift aus.

Projektionen.

1) Die Projektion eines Zylinders auf eine Ebene ist eine Parabel. Es ist zu beachten, dass es in diesem Fall unmöglich ist, darüber zu sprechen Definitionsbereich einer Funktion zweier Variablen– aus dem Grund, dass die Zylindergleichung nicht auf eine funktionale Form reduzierbar ist.

2) Die Projektion eines Zylinders auf eine Ebene ist eine Halbebene, einschließlich der Achse

3) Und schließlich ist die Projektion des Zylinders auf die Ebene die gesamte Ebene.

Beispiel 12

Parabelzylinder konstruieren:

a) Beschränken Sie sich auf ein Fragment der Oberfläche im nahen Halbraum;

b) im Intervall

Im Falle von Schwierigkeiten beeilen wir uns nicht, analog zu früheren Beispielen zu argumentieren; die Technologie ist glücklicherweise ausgereift. Es ist nicht schlimm, wenn die Oberflächen etwas holprig ausfallen – wichtig ist die korrekte Darstellung des Grundbildes. Ich selbst kümmere mich nicht wirklich um die Schönheit der Linien; wenn ich eine passable Zeichnung mit der Note „C“ bekomme, überarbeite ich sie normalerweise nicht. Die Beispiellösung verwendet übrigens eine andere Technik, um die Qualität der Zeichnung zu verbessern ;-)

Hyperbolische Zylinder

Führer Solche Zylinder sind Hyperbeln. Nach meinen Beobachtungen kommt diese Art von Oberfläche viel seltener vor als frühere Typen, daher beschränke ich mich auf eine einzige schematische Zeichnung eines hyperbolischen Zylinders:

Das Argumentationsprinzip ist hier genau das gleiche – das Übliche Schulübertreibung Von der Ebene aus „multipliziert“ er sich kontinuierlich auf und ab bis ins Unendliche.

Die betrachteten Zylinder gehören zu den sogenannten Oberflächen 2. Ordnung, und jetzt werden wir weiterhin andere Vertreter dieser Gruppe kennenlernen:

Ellipsoid. Kugel und Kugel

Die kanonische Gleichung eines Ellipsoids in einem rechteckigen Koordinatensystem hat die Form , wo sind positive Zahlen ( Achswellen Ellipsoid), was im allgemeinen Fall anders. Ein Ellipsoid heißt Oberfläche, so und Körper, begrenzt durch eine gegebene Oberfläche. Der Körper wird, wie viele vermutet haben, durch Ungleichheit bestimmt und die Koordinaten jedes inneren Punktes (sowie jedes Oberflächenpunkts) erfüllen notwendigerweise diese Ungleichung. Der Aufbau ist symmetrisch bezüglich Koordinatenachsen und Koordinatenebenen:

Der Ursprung des Begriffs „Ellipsoid“ ist ebenfalls offensichtlich: Wenn die Oberfläche durch Koordinatenebenen „geschnitten“ wird, dann ergeben sich aus den Schnitten drei verschiedene (im allgemeinen Fall)

1.7.1. Flugzeug.

Betrachten Sie auf kartesischer Basis eine beliebige Ebene P und einen Normalenvektor (senkrecht) dazu `n (A, B, C). Nehmen wir einen beliebigen Fixpunkt M0(x0, y0, z0) und einen aktuellen Punkt M(x, y, z) in dieser Ebene.

Es ist offensichtlich, dass ?`n = 0 (1.53)

(siehe (1.20) für j = p /2). Dies ist die Gleichung einer Ebene in Vektorform. Wenn wir zu den Koordinaten übergehen, erhalten wir die allgemeine Gleichung der Ebene

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 ?Ах + Ву + Сz + D = 0 (1.54).

(D = –Ах0– Ву0 – Сz0; А2 + В2 + С2 ? 0).

Es kann gezeigt werden, dass in kartesischen Koordinaten jede Ebene durch eine Gleichung ersten Grades bestimmt wird und umgekehrt jede Gleichung ersten Grades eine Ebene bestimmt (d. h. eine Ebene ist eine Fläche erster Ordnung und eine Fläche der erste Ordnung ist ein Flugzeug).

Betrachten wir einige Sonderfälle der Lage der durch die allgemeine Gleichung angegebenen Ebene:

A = 0 – parallel zur Ox-Achse; B = 0 – parallel zur Oy-Achse; C = 0 – parallel zur Oz-Achse. (Solche Ebenen senkrecht zu einer der Koordinatenebenen werden Projektionsebenen genannt); D = 0 – geht durch den Ursprung; A = B = 0 – senkrecht zur Oz-Achse (parallel zur xOy-Ebene); A = B = D = 0 – fällt mit der xOy-Ebene zusammen (z = 0). Alle anderen Fälle werden ähnlich analysiert.

Wenn D? 0, dann können wir durch Division beider Seiten von (1.54) durch -D die Gleichung der Ebene auf die Form bringen: (1.55),

a = –D /A, b = –D/ B, c = –D /C. Die Beziehung (1.55) wird als Gleichung der Ebene in Segmenten bezeichnet; a, b, c – Abszisse, Ordinate und Applikate der Schnittpunkte der Ebene mit den Achsen Ox, Oy, Oz und |a|, |b|, |c| – die Längen der Segmente, die von der Ebene auf den entsprechenden Achsen vom Koordinatenursprung abgeschnitten werden.

Multiplikation beider Seiten (1,54) mit einem Normalisierungsfaktor (mD xcosa + ycosb + zcosg – p = 0 (1,56)

Dabei sind cosa = Am, cosb = Bm, cosg = Cm die Richtungskosinuswerte der Normalen zur Ebene, p ist der Abstand der Ebene vom Ursprung.

Betrachten wir die grundlegenden Beziehungen, die in den Berechnungen verwendet werden. Der Winkel zwischen den Ebenen A1x + B1y + C1z + D1 = 0 und A2x + B2y + C2z + D2 = 0 lässt sich leicht als Winkel zwischen den Normalen dieser Ebenen `n1 (A1, B1, C1) und definieren

`n2 (A2, B2, C2): (1.57)

Aus (1.57) lässt sich leicht die Rechtwinkligkeitsbedingung ermitteln

A1A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0 (1,58)

und Parallelität (1.59) Ebenen und ihre Normalen.

Abstand von einem beliebigen Punkt M0(x0, y0, z0) zur Ebene (1.54)

wird durch den Ausdruck bestimmt: (1.60)

Die Gleichung einer Ebene, die durch drei gegebene Punkte M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) verläuft, lässt sich am einfachsten unter Verwendung der Koplanaritätsbedingung (1.25) der Vektoren schreiben wobei M(x, y , z) – aktueller Punkt der Ebene.

(1.61)

Stellen wir die Gleichung eines Ebenenbündels dar (d. h.

Sätze von Ebenen, die durch eine gerade Linie verlaufen) – ist für eine Reihe von Aufgaben praktisch zu verwenden.

(A1x + B1y + C1z + D1) + l(A2x + B2y + C2z + D2) = 0 (1,62)

Wobei l О R und in Klammern die Gleichungen zweier beliebiger Ebenen des Balkens sind.

Kontrollfragen.

1) Wie kann man überprüfen, ob ein gegebener Punkt auf der durch diese Gleichung angegebenen Oberfläche liegt?

2) Was ist das charakteristische Merkmal, das die Gleichung einer Ebene im kartesischen Koordinatensystem von der Gleichung anderer Flächen unterscheidet?

3) Wie liegt die Ebene relativ zum Koordinatensystem, wenn ihre Gleichung nicht enthält: a) einen freien Term; b) eine der Koordinaten; c) zwei Koordinaten; d) eine der Koordinaten und ein freier Term; d) zwei Koordinaten und ein freier Term?

1) Gegeben sind die Punkte M1(0,-1,3) und M2(1,3,5). Schreiben Sie die Gleichung einer Ebene, die durch den Punkt M1 verläuft und senkrecht zum Vektor steht Wähle die richtige Antwort:

A) ; B) .

2) Finden Sie den Winkel zwischen den Ebenen und . Wähle die richtige Antwort:

a) 135o, b) 45o

1.7.2. Gerade. Ebenen, deren Normalen nicht kollinear sind oder sich schneiden, wobei die Gerade eindeutig als die Linie ihres Schnittpunkts definiert wird, die wie folgt geschrieben wird:

Durch diese Linie (das Ebenenbündel (1.62)) lassen sich unendlich viele Ebenen zeichnen, auch solche, die sie auf Koordinatenebenen projizieren. Um ihre Gleichungen zu erhalten, reicht es aus, (1.63) zu transformieren, eine Unbekannte aus jeder Gleichung zu eliminieren und sie beispielsweise auf die Form zu reduzieren (1.63`).

Stellen wir uns die Aufgabe, durch den Punkt M0(x0,y0,z0) eine gerade Linie parallel zum Vektor `S (l, m, n) zu zeichnen (dies wird als Richtlinie bezeichnet). Nehmen wir einen beliebigen Punkt M(x,y,z) auf der gewünschten Geraden. Vektoren und muss kollinear sein, woraus wir die kanonischen Gleichungen der Geraden erhalten.

(1.64) bzw (1.64`)

wobei cosa, cosb, cosg die Richtungskosinusse des Vektors „S“ sind. Aus (1.64) lässt sich leicht die Gleichung einer Geraden erhalten, die durch die gegebenen Punkte M1(x1, y1, z1) und M2(x2, y2, z2) verläuft (sie ist parallel). )

Oder (1,64``)

(Die Werte der Brüche in (1.64) sind für jeden Punkt auf der Geraden gleich und können mit t bezeichnet werden, wobei t R. Damit können Sie die parametrischen Gleichungen der Linie eingeben

Jeder Wert des Parameters t entspricht einem Satz von Koordinaten x, y, z eines Punktes auf einer Linie oder (ansonsten) - Werten von Unbekannten, die die Gleichungen einer Linie erfüllen.

Unter Verwendung der bereits bekannten Eigenschaften von Vektoren und deren Operationen sowie der kanonischen Gleichungen der Geraden lassen sich leicht die folgenden Formeln erhalten:

Winkel zwischen Geraden: (1.65)

Parallelitätsbedingung (1.66).

Rechtwinkligkeit l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0 (1,67) Geraden.

Der Winkel zwischen der geraden Linie und der Ebene (leicht zu ermitteln, indem man den Winkel zwischen der geraden Linie und der Normalen zur Ebene ermittelt, der sich zum gewünschten p/2 addiert)

(1.68)

Aus (1.66) erhalten wir die Parallelitätsbedingung Al + Bm + Cn = 0 (1.69)

und Rechtwinkligkeit (1.70) einer Geraden und einer Ebene. Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass zwei Linien in derselben Ebene liegen, lässt sich leicht aus der Koplanaritätsbedingung (1.25) ermitteln.

(1.71)

Kontrollfragen.

1) Wie kann man eine gerade Linie im Raum definieren?

1) Schreiben Sie die Gleichungen einer Geraden, die durch den Punkt A(4,3,0) verläuft und parallel zum Vektor verläuft Geben Sie die richtige Antwort an:

A) ; B) .

2) Schreiben Sie die Gleichungen einer Geraden, die durch die Punkte A(2,-1,3) und B(2,3,3) verläuft. Geben Sie die richtige Antwort an.

A) ; B) .

3) Finden Sie den Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene: , . Geben Sie die richtige Antwort an:

a) (6,4,5); b) (6,-4,5).

1.7.3. Flächen zweiter Ordnung. Wenn eine lineare Gleichung auf einer dreidimensionalen kartesischen Basis eine Ebene eindeutig definiert, beschreibt jede nichtlineare Gleichung, die x, y, z enthält, eine andere Oberfläche. Wenn die Gleichung die Form hat

Ax2 + Ву2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0, dann beschreibt es eine Fläche zweiter Ordnung (allgemeine Gleichung einer Fläche zweiter Ordnung). Durch Wahl oder Transformation kartesischer Koordinaten kann die Gleichung so weit wie möglich vereinfacht werden, was zu einer der folgenden Formen führt, die die entsprechende Oberfläche beschreibt.

1. Als Leitfaden dienen kanonische Gleichungen von Zylindern zweiter Ordnung, deren Generatoren parallel zur Oz-Achse liegen, und die entsprechenden Kurven zweiter Ordnung, die in der xOy-Ebene liegen:

(1.72), (1,73), y2 = 2px (1,74)

elliptische, hyperbolische und parabolische Zylinder.

(Denken Sie daran, dass eine zylindrische Oberfläche eine Oberfläche ist, die durch Verschieben einer geraden Linie, einer sogenannten Erzeugenden, parallel zu sich selbst erhalten wird. Die Schnittlinie dieser Oberfläche mit einer Ebene senkrecht zur Erzeugenden wird als Führung bezeichnet – sie bestimmt die Form von die Oberfläche).

Analog können wir die Gleichungen derselben Zylinderflächen mit Erzeugenden parallel zur Oy-Achse und zur Ox-Achse aufschreiben. Die Führung kann als Schnittlinie der Zylinderoberfläche und der entsprechenden Koordinatenebene definiert werden, d.h. Gleichungssystem der Form:

2. Gleichungen eines Kegels zweiter Ordnung mit einem Scheitelpunkt im Ursprung:

(1.75)

(Die Achsen des Kegels sind die Oz-, Oy- und Ox-Achsen)

3. Kanonische Gleichung des Ellipsoids: (1.76);

Sonderfälle sind beispielsweise Rotationsellipsoide – Oberfläche, die durch Drehen einer Ellipse entsteht um die Oz-Achse (At

a > c wird das Ellipsoid komprimiert, mit a x2 + y2+ z2 + = r2 – die Gleichung einer Kugel mit dem Radius r und dem Mittelpunkt im Ursprung).

4. Kanonische Gleichung eines einblättrigen Hyperboloids

(Das „–“-Zeichen kann vor jedem der drei Begriffe auf der linken Seite stehen – dadurch ändert sich nur die Position der Fläche im Raum). Sonderfälle sind beispielsweise einblattige Rotationshyperboloide – Fläche, die man durch Rotation einer Hyperbel erhält um die Oz-Achse (die imaginäre Achse der Hyperbel).

5. Kanonische Gleichung eines zweiblättrigen Hyperboloids

(Das „–“-Zeichen kann vor jedem der drei Begriffe auf der linken Seite stehen).

Sonderfälle sind zweischichtige Rotationshyperboloide, beispielsweise eine Oberfläche, die durch Drehen einer Hyperbel um die Oz-Achse (die reale Achse der Hyperbel) erhalten wird.

6. Kanonische Gleichung eines elliptischen Paraboloids

(p >0, q >0) (1,79)

7. Kanonische Gleichung eines hyperbolischen Paraboloids

(p >0, q >0) (1,80)

(Die Variable z kann mit jeder der Variablen x und y ihren Platz tauschen – die Position der Oberfläche im Raum ändert sich).

Beachten Sie, dass eine Vorstellung von den Merkmalen (Form) dieser Oberflächen leicht gewonnen werden kann, indem Schnitte dieser Oberflächen durch Ebenen senkrecht zu den Koordinatenachsen betrachtet werden.

Kontrollfragen.

1) Welche Punktmenge im Raum bestimmt die Gleichung?

2) Was sind die kanonischen Gleichungen von Zylindern zweiter Ordnung? Kegel zweiter Ordnung; Ellipsoid; einblättriges Hyperboloid; zweiblättriges Hyperboloid; elliptisches Paraboloid; hyperbolisches Paraboloid?

1) Finden Sie den Mittelpunkt und den Radius der Kugel und geben Sie die richtige Antwort an:

a) C(1,5;-2,5;2), ; b) C(1,5;2,5;2), ;

2) Bestimmen Sie den durch die Gleichungen gegebenen Oberflächentyp: . Geben Sie die richtige Antwort an:

a) einblättriges Hyperboloid; hyperbolisches Paraboloid; elliptisches Paraboloid; Kegel.

b) zweiblättriges Hyperboloid; hyperbolisches Paraboloid; elliptisches Paraboloid; Kegel.

Im Raum untersucht die analytische Geometrie Flächen, die in rechtwinkligen kartesischen Koordinaten erstens, zweitens usw. durch algebraische Gleichungen bestimmt werden. Grad relativ zu X,Y,Z:

Ax+By+Cz+D=0 (1)

Ax²+By²+Cz²+2Dxy+2Exz+2Fyz+2Mx+2Ny+2Lz+K=0 (2)

usw. Die Ordnung einer Gleichung wird als Ordnung der Oberfläche bezeichnet, die sie definiert. Wir haben die Gleichung bereits gesehen erste Bestellung(linear) (1) gibt immer an Flugzeug ist die einzige Oberfläche erster Ordnung. Es gibt bereits viele Oberflächen zweiter Ordnung. Schauen wir uns die wichtigsten davon an.

§2. Zylindrische Flächen mit Erzeugenden parallel zu einer der Koordinatenachsen.

Sei beispielsweise eine bestimmte Gerade L in der XY-Ebene gegeben, deren Gleichung F(x,y)=0 (1) lautet. Dann bildet die Menge der geraden Linien parallel zur oz-Achse (Generatoren) und die durch Punkte auf L verlaufen, eine Fläche namens S zylindrische Oberfläche.

Zeigen wir, dass Gleichung (1), die die Variable z nicht enthält, die Gleichung dieser Zylinderfläche S ist. Nehmen Sie einen beliebigen Punkt M(x,y,z), der zu S gehört. Lassen Sie den Generator, der durch M geht, L im Punkt N schneiden. Punkt N hat die Koordinaten N(x,y,0), sie erfüllen Gleichung (1), weil (·)N gehört zu L. Dann erfüllen aber auch die Koordinaten (x,y,z,) (1), weil es enthält nicht z. Das bedeutet, dass die Koordinaten eines beliebigen Punktes der Zylinderfläche S Gleichung (1) erfüllen. Das bedeutet, dass F(x,y)=0 die Gleichung dieser Zylinderfläche ist. Kurve L heißt Führung (Kurve) zylindrische Oberfläche. Beachten Sie, dass L im Raumsystem im Allgemeinen durch zwei Gleichungen F(x,y)=0, z=0 als Schnittlinie gegeben sein sollte.

Beispiele:

Die Orientierungshilfen in der Howe-Ebene sind Ellipse, Parabel, Hyperbel. Offensichtlich definieren die Gleichungen F=(y,z)=0 und F(x,z)=0 jeweils zylindrische Flächen mit Generatoren parallel zu den OX- und OY-Achsen. Ihre Führungen liegen in der YOZ- bzw. XOZ-Ebene.

Kommentar. Eine Zylinderfläche ist nicht unbedingt eine Fläche zweiter Ordnung. Beispielsweise gibt es eine Zylinderfläche 3. Ordnung, und die Gleichung y=sin(x) gibt einen Sinuszylinder an, dem keine Ordnung zugeordnet ist. Dies ist überhaupt keine algebraische Fläche.

§3. Gleichung einer Rotationsfläche.

Einige Flächen 2. Ordnung sind Rotationsflächen. Lassen Sie eine Kurve L F(y,z)=0(1) in der YOZ-Ebene liegen. Lassen Sie uns herausfinden, wie die Gleichung der Oberfläche S aussehen wird, die durch Drehen der Kurve (1) um die oz-Achse gebildet wird.

Nehmen wir einen beliebigen Punkt M(x,y,z) auf der Fläche S. Es kann davon ausgegangen werden, dass (.) N zu L gehört, dann sind die Anwendungen der Punkte M und N gleich (=z). Die Ordinate des Punktes N ist hier der Rotationsradius, weil .Aber C(0,0,z) und weil . Aber Punkt N liegt auf der Kurve und daher erfüllen seine Koordinaten ihn. Bedeutet (2) . Gleichung (2) wird durch die Koordinaten der Rotationsfläche S erfüllt. Dies bedeutet, dass (2) die Gleichung der Rotationsfläche ist. Die Vorzeichen „+“ oder „-“ werden abhängig davon verwendet, in welchem ​​Teil der YOZ-Ebenenkurve (1) sich befindet, wobei y>0 oder .

Also die Regel: Um die Gleichung der Oberfläche zu finden, die durch Drehen der Kurve L um die OZ-Achse entsteht, müssen Sie die Variable y in der Kurvengleichung ersetzen

Die Gleichungen für Rotationsflächen um die OX- und OY-Achsen sind auf ähnliche Weise aufgebaut.

Vorlesung 2. Die Ebene als Fläche erster Ordnung. Ebenengleichungen und ihre Untersuchung. Eine Gerade im Raum, die relative Lage von Geraden im Raum, eine Ebene und eine Gerade im Raum. Eine gerade Linie auf einer Ebene, Gleichungen einer geraden Linie auf einer Ebene, der Abstand von einem Punkt zu einer geraden Linie auf einer Ebene. Kurven zweiter Ordnung; Ableitung kanonischer Gleichungen, Studium von Gleichungen und Konstruktion von Kurven. Flächen zweiter Ordnung, Studium kanonischer Flächengleichungen. Abschnittsmethode. 1

Elemente der analytischen Geometrie § 1. Ebene. Wir haben OXYZ und eine Oberfläche S F(x, y, z) = 0 z x (S) О y Definition 1: Eine Gleichung mit drei Variablen heißt Gleichung der Oberfläche S im Raum, wenn diese Gleichung durch die Koordinaten jeder Variablen erfüllt wird Punkt, der auf der Oberfläche liegt und durch die Koordinaten nicht erfüllt wird, kein einziger Punkt, der darauf liegt. 2

Beispiel. Gleichung (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R 2 (R > 0) Wir definieren eine Kugel mit Mittelpunkt im Punkt C(a, b, c) und Radius R. M M (x , y, z) – variabler Punkt M ϵ (S) |CM| = R C 3

Definition 2: Eine Fläche S heißt Fläche n-ter Ordnung, wenn sie in einem kartesischen Koordinatensystem durch eine algebraische Gleichung n-ten Grades F(x, y, z) = 0 (1) gegeben ist. Im Beispiel (S) - ein Kreis, eine Fläche zweiter Ordnung. Wenn S eine Fläche n-ter Ordnung ist, dann ist F(x, y, z) ein Polynom n-ten Grades bezüglich (x, y, z). Betrachten Sie die einzige Fläche 1. Ordnung – eine Ebene. Erstellen wir eine Gleichung für eine Ebene, die durch den Punkt M (x, y, z) mit einem Normalenvektor 4 verläuft

Sei M(x, y, z) ein beliebiger (aktueller) Punkt der Ebene. M M 0 O α oder in Koordinatenform: (2) Gleichung (2) ist die Gleichung der Ebene, die mit einem gegebenen Normalenvektor durch den Punkt M verläuft. 5

D (*) (3) - vollständige Gleichung der Ebene Unvollständige Gleichung der Ebene. Wenn in Gleichung (3) mehrere Koeffizienten (aber nicht A, B, C gleichzeitig) = 0 sind, dann heißt die Gleichung unvollständig und die Ebene α weist an ihrer Stelle Merkmale auf. Wenn beispielsweise D = 0, dann verläuft α durch den Ursprung. 6

Der Abstand vom Punkt M 1 zur Ebene α M 1(x 1, y 1, z 1) α: M 1 d α M 0 wird auf den Punkt M 0 K 7 angewendet

- Abstand vom Punkt M 1 zur Ebene α Gleichung der Ebene „in Segmenten“ Erstellen wir eine Gleichung der Ebene, die Nicht-Null-Segmente auf den Koordinatenachsen mit C(0, 0, c)-Werten a, b, abschneidet, C. Nehmen wir B(0, b, 0) als Wert. Erstellen wir eine Gleichung für Punkt A mit A(a, 0, 0) 8

-Gleichung der Ebene α "in Segmenten" -Gleichung der Ebene, die durch Punkt A verläuft, senkrecht zum Normalenvektor 9

§ 2. Allgemeine Gleichung einer Geraden. Eine Gerade im Raum kann durch den Schnittpunkt zweier Ebenen definiert werden. (1) Gleichung einer Geraden Ein System vom Typ (1) definiert eine Gerade im Raum, wenn die Koeffizienten A 1, B 1, C 1 gleichzeitig disproportional zu A 2, B 2, C 2 sind. 10

Parametrische und kanonische Gleichungen einer Geraden - beliebiger Punkt einer Geraden Punkt M M 0 Parametrische Gleichung t - Parameter 11

Wenn wir t eliminieren, erhalten wir: - Das kanonische Gleichungssystem (3) bestimmt die Bewegung eines materiellen Punktes, geradlinig und gleichmäßig von der Anfangsposition M 0 (x 0, y 0, z 0) mit Geschwindigkeit in Richtung des Vektors. 12

Der Winkel zwischen geraden Linien im Raum. Bedingungen der Parallelität und Rechtwinkligkeit. Es gebe zwei Linien L 1, L 2 im Raum, die durch ihre kanonischen Gleichungen gegeben sind: Dann reduziert sich die Aufgabe, den Winkel zwischen diesen Linien zu bestimmen, auf die Bestimmung des Winkels

ihre Richtungsvektoren: Unter Verwendung der Definition des Skalarprodukts und des Ausdrucks in Koordinaten des angegebenen Skalarprodukts und der Längen der Vektoren q 1 und q 2 erhalten wir: 15

Die Bedingung für die Parallelität der Geraden l 1 und l 2 entspricht der Kollinearität von q 1 und q 2, liegt in der Proportionalität der Koordinaten dieser Vektoren, hat also die Form: Die Bedingung der Rechtwinkligkeit ergibt sich aus der Definition von das Skalarprodukt und seine Gleichheit mit Null (bei cos = 0) und hat die Form: l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0. 16

Winkel zwischen einer geraden Linie und einer Ebene: Bedingungen für Parallelität und Rechtwinkligkeit einer geraden Linie und einer Ebene Betrachten Sie die Ebene P, definiert durch die allgemeine Gleichung: Ax + By + Cz + D = 0, und die gerade Linie L, definiert durch die kanonische Gleichung: 17

Da der Winkel zwischen der Geraden L und der Ebene P komplementär zum Winkel zwischen dem Richtungsvektor der Geraden q = (l, m, n) und dem Normalenvektor der Ebene n = (A, B, C) ist , dann erhalten wir aus der Definition des Skalarprodukts q n = q n cos und der Gleichheit cos = sin (= 90 -): 18

Die Bedingung der Parallelität der Geraden L und der Ebene П (einschließlich der Tatsache, dass L zu П gehört) entspricht der Bedingung der Rechtwinkligkeit der Vektoren q und n und wird ausgedrückt durch = 0 Skalarprodukt dieser Vektoren: q n = 0: Аl + Bm + Cn = 0. Die Bedingung der Rechtwinkligkeit der Geraden L und der Ebene P entspricht der Bedingung der Parallelität der Vektoren n und q und wird durch die Proportionalität der Koordinaten dieser Vektoren ausgedrückt: 19

Bedingungen dafür, dass zwei Linien zur gleichen Ebene gehören: Zwei Linien im Raum L 1 und L 2 können: 1) sich schneiden; 2) parallel sein; 3) Kreuzung. In den ersten beiden Fällen liegen die Linien L 1 und L 2 in derselben Ebene. Stellen wir die Bedingung auf, dass zwei durch kanonische Gleichungen definierte Geraden zur gleichen Ebene gehören: 20

Damit die beiden angegebenen Linien zur gleichen Ebene gehören, ist es offensichtlich notwendig und ausreichend, dass drei Vektoren = (x2 – x1, y2 – y1, z 2 – z 1); q 1 = (l 1, m 1, n 1) und q 2 = (l 2, m 2, n 2), waren koplanar, wofür wiederum notwendig und ausreichend ist, dass das gemischte Produkt dieser drei Vektoren = 0,21

Wenn wir die gemischten Produkte der angegebenen Vektoren in Koordinaten schreiben, erhalten wir eine notwendige und ausreichende Bedingung dafür, dass zwei Geraden L 1 und L 2 zur gleichen Ebene gehören: 22

Bedingung dafür, dass eine Gerade zu einer Ebene gehört Es gebe eine Gerade und eine Ebene Ax + Bi + Cz + D = 0. Diese Bedingungen haben die Form: Ax1 + Bi1 + Cz 1 + D = 0 und Al + Bm + Cn = 0, wobei das erste bedeutet, dass der Punkt M 1(x1, y1, z 1), durch den die Gerade verläuft, zur Ebene gehört, und das zweite die Bedingung der Parallelität der Geraden und der Ebene ist. 23

Kurven zweiter Ordnung. § 1. Das Konzept der Gleichung einer Geraden auf einer Ebene. Die Gleichung f (x, y) = 0 heißt Gleichung der Geraden L im gewählten Koordinatensystem, wenn sie durch die Koordinaten eines auf der Geraden liegenden Punktes erfüllt wird und nicht durch die Koordinaten eines nicht darauf liegenden Punktes. 24

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-25.jpg" alt="Beispiel: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0)"> Пример: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0) – уравнение окружности радиуса R и центром в точке С(a, b). Если 1.) 25!}

Eine Linie L heißt Linie n-ter Ordnung, wenn sie in einem kartesischen Koordinatensystem durch eine algebraische Gleichung n-ten Grades in Bezug auf x und y gegeben ist. Wir kennen die einzige Gerade 1. Ordnung – eine Gerade: Ax + By + D = 0 Wir betrachten Kurven 2. Ordnung: Ellipse, Hyperbel, Parabel. Die allgemeine Gleichung von Geraden 2. Ordnung lautet: Ax 2 + By 2 + Cxy + Dy + Ex + F = 0 26

Ellipse (E) Definition. Ellipse ist die Menge aller Punkte der Ebene, die Summe der Abstände zu zwei Fixpunkten der Ebene F 1 und F 2, Brennpunkte genannt, ist ein konstanter Wert und ein großer Abstand zwischen den Brennpunkten. Bezeichnen wir die Konstante als 2 a, den Abstand zwischen den Brennpunkten als 2 c. Zeichnen wir die X-Achse durch die Brennpunkte (a > c, a > 0, c > 0). Y-Achse durch die Mitte der Brennweite. Sei M ein beliebiger Punkt der Ellipse, t M ϵ E r 1 + r 2 = 2 a (1), wobei r 1, r 2 die Brennradien von E sind.

Schreiben wir (1) in Koordinatenform: (2) Dies ist die Gleichung einer Ellipse im gewählten Koordinatensystem. Wenn wir (2) vereinfachen, erhalten wir: b 2 = a 2 - c 2 (3) – die kanonische Gleichung der Ellipse. Es kann gezeigt werden, dass (2) und (3) äquivalent sind: 28

Untersuchung der Form einer Ellipse mit der kanonischen Gleichung 1) Ellipse ist eine Kurve 2. Ordnung 2) Symmetrie der Ellipse. Da x und y in (3) nur in geraden Potenzen enthalten sind, hat die Ellipse 2 Achsen und 1 Symmetriezentrum, die im gewählten Koordinatensystem mit den gewählten Koordinatenachsen und dem Punkt O zusammenfallen. 29

3) Lage der Ellipse Das heißt, das gesamte E befindet sich innerhalb eines Rechtecks, dessen Seiten x = ± a und y = ± b sind. 4) Schnittpunkt mit Achsen. A 1(-a; 0); A 2(a; 0); C OX: Eckpunkte der Ellipse C OU: B 1(0; b); B 2(0; -b); Aufgrund der Symmetrie der Ellipse betrachten wir ihr Verhalten (↓) nur im ersten Viertel. dreißig

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-31.jpg" alt=" Durch Auflösen von (3) nach y erhalten wir: im ersten Viertel x > 0 und die Ellipse nimmt ab."> Разрешив (3) относительно y получим: в I четверти x > 0 и эллипс убывает. Вывод: Э – замкнутая кривая, овальная, имеющая четыре вершины. План построения Э. 1) Строим прямоугольник со сторонами 2 a, 2 b 2) Вписываем выпуклую овальную линию 31!}

Hyperbel (Г) Definition: Г ist die Menge aller Punkte der Ebene, der Modul der Abstandsdifferenz zu 2 Fixpunkten der Ebene F 1, F 2 ist ein konstanter Wert und

Vereinfacht man (1): (2) ist die kanonische Gleichung von G. (1) und (2) sind äquivalent. Untersuchung einer Hyperbel mit der kanonischen Gleichung 1) Г ist eine Gerade 2. Ordnung 2) Г hat zwei Achsen und ein Symmetriezentrum, die in unserem Fall mit den Koordinatenachsen und dem Ursprung zusammenfallen. 3) Lage der Hyperbel. 34

Die Hyperbel liegt außerhalb des Streifens zwischen den Geraden x = a, x = -a. 4) Schnittpunkte mit Achsen. OX: OY: hat keine Lösungen A 1(-a; 0); A 2(a; 0) – reelle Eckpunkte Г B 1(0; b); B 2(0; -b) – imaginäre Eckpunkte Г 2 a – reale Achse Г 2 b – imaginäre Achse Г 35

5) Asymptoten einer Hyperbel. Aufgrund der Symmetrie von Г betrachten wir seinen Anteil im ersten Viertel. Nachdem wir (2) nach y aufgelöst haben, erhalten wir: Gleichung Г im ersten Viertel x ≥ 0 Betrachten Sie die Gerade: Da im ersten Viertel x>0, also im ersten Viertel mit der gleichen Abszisse, die Ordinate der Geraden > Ordinate der entsprechende Punkt Г, d. h. im ersten Viertel liegt Г unterhalb dieser Geraden. Das gesamte G liegt in einem vertikalen Winkel mit den Seiten 36

6) Es kann gezeigt werden, dass im ersten Teil G zunimmt. 7) Plan zum Konstruieren von G a) ein Rechteck 2 a, 2 b bauen b) seine Diagonalen zeichnen c) A 1, A 2 markieren – die realen Eckpunkte von G und 38 schreiben diese Zweige

Parabel (P) Betrachten Sie d (Leitlinie) und F (Fokus) in der Ebene. Definition. П – Menge aller Punkte der Ebene mit gleichem Abstand von der Linie d und dem Punkt F (Fokus) 39

d-Leitlinie F-Fokus XOY-Punkt М П dann |MF| = |MN| (1) Gleichung von P, gewählt im Koordinatensystem. Vereinfacht man (1), erhält man y 2 = 2 px (2) – kanonische Gleichung von P. (1) und (2) sind äquivalent 40

Untersuchung von P unter Verwendung der kanonischen Gleichung x 2=2 py x 2=-2 py y 2=2 px y 2=-2 px 41

§ 4. Zylinder. Zylinderflächen mit Erzeugenden parallel zu den Koordinatenachsen Durch den Punkt x der Linie L zeichnen wir eine Gerade parallel zur OZ-Achse. Die durch diese Geraden gebildete Fläche wird Zylinderfläche oder Zylinder (C) genannt. Jede zur OZ-Achse parallele Gerade wird Generatrix genannt. l ist die Führung der Zylinderfläche der XOY-Ebene. Z(x, y) = 0 (1) 42

Sei M(x, y, z) ein beliebiger Punkt einer Zylinderfläche. Projizieren wir es auf L. M 0 ϵ L => Z(x 0, y 0) = 0 (2) x = x 0 => Z(x, y) = 0 Mϵ Ц y = y 0 M ϵL 0 das heißt , die Koordinaten M (1) erfüllen, ist es offensichtlich, dass, wenn M C, es nicht auf den Punkt M 0 ϵ L projiziert wird und daher die Koordinaten von M Gleichung (1) nicht erfüllen, die C mit einer Generatrix parallel definiert zur OZ-Achse im Raum. Ebenso kann gezeigt werden, dass: Ф(x, z) = 0 im Raum Г || OY 43 (y, z) = 0 definiert im Raum C || OCHSE

Projektion einer Raumlinie auf eine Koordinatenebene Eine Linie im Raum kann parametrisch und durch den Schnitt von Flächen definiert werden. Die gleiche Linie kann als ∩ verschiedener Flächen definiert werden. Gegeben sei die Raumlinie L ∩ zweier Flächen α: S 1: Ф 1(x, y, z) = 0 S 2: Ф 2(x, y, z) = 0 Gleichung L Ф 1(x, y, z) = 0 (1) Ф 2(x, y, z) = 0 Finden wir die Projektion von L auf die Ebene XOY aus Gleichung (1) und schließen wir Z aus. Wir erhalten die Gleichung: Z(x, y) = 0 – im Raum ist dies die Gleichung Ε mit dem Generator || OZ und Führer L. 46

Projektion: L xy Z(x, y) = 0 Z=0 Flächen zweiter Ordnung Ellipsoid – die kanonische Gleichung einer Fläche hat die Form: 1) Ellipsoid – eine Fläche zweiter Ordnung. 2) X, Y, Z gehen nur in geraden Potenzen in die Gleichung ein => die Oberfläche hat 3 Ebenen und 1 Symmetriezentrum, die im gewählten Koordinatensystem mit den Koordinatenebenen und dem Ursprung zusammenfallen. 47

3) Lage des Ellipsoids Die Fläche ist zwischen || eingeschlossen Ebenen mit Gleichungen x = a, x = -a. Ebenso ist die gesamte Oberfläche in einem rechteckigen Parallelepiped enthalten. x = ± a, y = ± b, z = ± c. Wir werden die Oberfläche mit der Methode der Schnitte untersuchen – indem wir die Oberfläche mit Koordinatenebenen || schneiden Koordinate. In diesem Abschnitt erhalten wir Linien, anhand derer wir die Form der Oberfläche beurteilen. 48

Lassen Sie uns die Oberfläche mit der XOY-Ebene schneiden. Im Abschnitt erhalten wir eine Zeile. - Ellipse a und b – Halbachsen Ähnlich der YOZ-Ebene – Ellipse mit Halbachsen b und c Ebene || XOY Wenn h(0, c), dann nehmen die Ellipsenachsen von a und b auf 0 ab. 49

a = b = c - Kugelparaboloide a) Hyperbolisches Paraboloid - eine Fläche mit einer kanonischen Gleichung: 1) Fläche zweiter Ordnung 2) Da x, y nur in geraden Potenzen in die Gleichung eingehen, hat die Fläche Symmetrieebenen, die zusammenfallen für eine gegebene Koordinatenauswahl mit 50 Ebenen XOZ, YOZ.

3) Wir untersuchen die Oberfläche mit der Sattelschnittmethode. XOZ Im Querschnitt ist die Parabel symmetrisch zur OZ-Achse, aufsteigend. pl. YOZ 51

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-53.jpg" alt=" Fläche ||XOY für h > 0 Hyperbeln, mit reeller Halbachse entlang OX, für h"> пл. ||XOY при h > 0 гиперболы, с действительной полуосью вдоль OX, при h z ≥ 0, то есть, вся поверхность расположена над XOY. 4) исследуем поверхность методом сечения 53!}

b) Zweischichtiges Hyperboloid 1) Oberfläche zweiter Ordnung 2) hat 3 Ebenen und 1 Symmetriezentrum 3) Oberflächenort x 2 ≥ a 2; |x| ≥ ein ; (a, b, c > 0) Die Oberfläche besteht aus zwei Teilen, die außerhalb des Streifens zwischen den Ebenen mit den Gleichungen x = a, x = -a liegen. 4) Wir studieren die Schnittmethode (auf eigene Faust!) 57

Kegel zweiter Ordnung Ein Kegel zweiter Ordnung ist eine Fläche, deren kanonische Gleichung die Form hat: 1) eine Fläche zweiter Ordnung 2) hat 3 Ebenen und 1 Symmetriezentrum 3) wir studieren die Methode der Quadratschnitte. XOY 58

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-59.jpg" alt=" Quadrat ||XOY |h| –>∞ von 0 bis ∞ Quadrat YOZ Paar gerader Linien, durchgehen"> пл. ||XOY |h| –>∞ от 0 до ∞ пл. YOZ пара прямых, проходящих через начало координат пл. XOZ пара прямых, проходящих через начало координат 59!}

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§7. Ebene als Fläche erster Ordnung. Allgemeine Gleichung der Ebene. Gleichung einer Ebene, die durch einen gegebenen Punkt senkrecht zu einem gegebenen Vektor verläuft. Wir führen ein rechtwinkliges kartesisches Koordinatensystem Oxyz im Raum ein und betrachten eine Gleichung ersten Grades (oder eine lineare Gleichung) für x, y, z: (7.1) Ax  By  Cz  D  0, A2  B2  C 2  0 . Satz 7.1. Jede Ebene kann in einem beliebigen rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystem durch eine Gleichung der Form (7.1) angegeben werden. Genauso wie im Fall einer Geraden in einer Ebene gilt auch die Umkehrung von Satz 7.1. Satz 7.2. Jede Gleichung der Form (7.1) definiert eine Ebene im Raum. Der Beweis der Sätze 7.1 und 7.2 kann analog zum Beweis der Sätze 2.1, 2.2 durchgeführt werden. Aus den Sätzen 7.1 und 7.2 folgt, dass die Ebene und nur sie eine Fläche erster Ordnung ist. Gleichung (7.1) wird als allgemeine Ebenengleichung bezeichnet. Seine -Koeffizienten A, B, C werden geometrisch als Koordinaten des Vektors n senkrecht zur durch diese Gleichung definierten Ebene interpretiert. Dieser Vektor  n(A, B, C) wird Normalenvektor zur gegebenen Ebene genannt. Gleichung (7.2) A(x  x0)  B(y  y0)  C (z  z0)  0 für alle möglichen Werte der Koeffizienten A, B, C definiert alle Ebenen, die durch den Punkt M 0 verlaufen ( x0, y0, z0). Man nennt es die Gleichung einer Reihe von Ebenen. Die Wahl spezifischer Werte von A, B, C in (7.2) bedeutet die Wahl der Ebene P aus der Verbindung, die durch den Punkt M 0 senkrecht zum gegebenen Vektor verläuft n(A, B, C) (Abb. 7.1 ). Beispiel 7.1. Schreiben Sie die Gleichung der Ebene P, die durch den Punkt   A(1, 2, 0) parallel zu den Vektoren a  (1, 2,–1), b  (2, 0, 1) verläuft.    Der Normalenvektor n zu P ist orthogonal zu den gegebenen Vektoren a und b (Abb. 7.2),   daher können wir für n ihr Vektor-n-Produkt nehmen: A    P i j k    2 1  1 1   2 n  a  b  1 2  1  i  j 2 1  k 12 0  0 1 2 0 1 n   a    b 2i  3 j 4k . Ersetzen wir die Koordinaten von Abb. 7.2. Zum Beispiel 7.1 P M0  Punkt M 0 und Vektor n in Gleichung (7.2), wir erhalten Abb. 7.1. Zur Gleichung der Ebene eines Ebenenbündels P: 2(x  1)  3(y  2)  4z  0 oder P: 2x  3y  4z  4  0 .◄ 1 Wenn zwei der Koeffizienten A, B, C der Gleichung (7.1) gleich Null sind, gibt sie eine Ebene parallel zu einer der Koordinatenebenen an. Zum Beispiel, wenn A  B  0, C  0 – Ebene P1: Cz  D  0 oder P1: z   D / C (Abb. 7.3). Es ist parallel zur Oxy-Ebene, weil sein Normalenvektor  n1(0, 0, C) senkrecht zu dieser Ebene steht. Für A  C  0, B  0 oder B  C  0, A  0 gilt Gleichung (7. 1) definiert die Ebenen P2: Durch  D  0 und P3: Ax  D  0, parallel zu den Koordinatenebenen Oxz und Oyz, da   ihre Normalenvektoren n2(0, B, 0) und n3(A, 0 , 0 ) stehen senkrecht auf ihnen (Abb. 7.3). Wenn nur einer der Koeffizienten A, B, C von Gleichung (7.1) gleich Null ist, dann gibt er eine Ebene an, die parallel zu einer der Koordinatenachsen verläuft (oder diese enthält, wenn D  0). Somit ist die Ebene P: Ax  By  D  0 parallel zur Oz-Achse, z z  n1  n  n2 P1 L P O  n3 x y O P2 y P3 x Abb. 7.4. Ebene P: Ax  B y  D  0, parallel zur Oz-Achse Abb. 7.3. Die Ebenen sind parallel zu den Koordinatenebenen , da ihr Normalenvektor n(A, B, 0) senkrecht zur Oz-Achse steht. Beachten Sie, dass es durch die Gerade L: Ax  By  D  0 verläuft, die in der Oxy-Ebene liegt (Abb. 7.4). Für D  0 gibt Gleichung (7.1) eine Ebene an, die durch den Ursprung verläuft. Beispiel 7.2. Finden Sie die Werte des Parameters , für den die Gleichung x  (2  2) y  (2    2)z    3  0 die Ebene P: a) parallel zu eins definiert der Koordinatenebenen; b) parallel zu einer der Koordinatenachsen; c) Durchgang durch den Koordinatenursprung. Schreiben wir diese Gleichung in der Form x  (  2) y  (  2)(  1) z    3  0 . (7.3) Für jeden Wert  definiert Gleichung (7.3) eine bestimmte Ebene, da die Koeffizienten von x, y, z in (7.3) nicht gleichzeitig verschwinden. a) Für   0 definiert Gleichung (7.3) eine Ebene P parallel zur Ebene Oxy, P: z  3 / 2, und für   2 definiert sie eine Ebene P 2 parallel zur Ebene Oyz, P: x  5/ 2. Für keine Werte von  ist die durch Gleichung (7.3) definierte Ebene P parallel zur Ebene Oxz, da die Koeffizienten von x, z in (7.3) nicht gleichzeitig verschwinden. b) Für   1 definiert Gleichung (7.3) eine Ebene P parallel zur Oz-Achse, P: x  3y  2  0. Für andere Werte des Parameters  definiert er keine Ebene parallel zu nur einer der Koordinatenachsen. c) Für   3 definiert Gleichung (7.3) die Ebene P, die durch den Ursprung verläuft, P: 3x  15 y  10 z  0 . ◄ Beispiel 7.3. Schreiben Sie die Gleichung der Ebene P, die durch Folgendes verläuft: a) Punkt M (1,  3, 2) parallel zur Ebenenachse Oxy; b) die Ox-Achse und Punkt M (2, – 1, 3).   a) Für den Normalenvektor n zu P können wir hier den Vektor k (0, 0,1) nehmen – den Einheitsvektor der Oz-Achse, da er senkrecht zur Oxy-Ebene steht. Setzen wir die Koordinaten des Punktes  M (1,  3, 2) und den Vektor n in Gleichung (7.2) ein, erhalten wir die Gleichung der Ebene P: z 3  0.   b) Der Normalenvektor n zu P ist orthogonal zu den Vektoren i (1, 0, 0) und OM (2,  1, 3) ,  daher können wir ihr Vektorprodukt als n annehmen:    i j k       n  i  OM  1 0 0   j 12 03  k 12 01   3 j  k . 2 1 3  Setzt man die Koordinaten von Punkt O und Vektor n in Gleichung (7.2) ein, erhält man die Gleichung der Ebene P:  3(y  0)  (z  0)  0 oder P: 3 y  z  0 .◄ 3