Das rechtwinklige Koordinatensystem in der Ebene ist durch zwei zueinander senkrechte Linien gegeben. Gerade Linien werden als Koordinatenachsen (oder Koordinatenachsen) bezeichnet. Der Schnittpunkt dieser Linien wird Ursprung genannt und mit dem Buchstaben O bezeichnet.

Normalerweise ist eine der Linien horizontal, die andere vertikal. Die horizontale Linie wird als x- (oder Ox-) Achse bezeichnet und als Abszissenachse bezeichnet, die vertikale als y- (Oy-) Achse, wird als Ordinatenachse bezeichnet. Das gesamte Koordinatensystem wird mit xOy bezeichnet.

Der Punkt O teilt jede der Achsen in zwei Halbachsen, von denen eine als positiv angesehen wird (sie ist durch einen Pfeil gekennzeichnet), die andere als negativ angesehen wird.

Jedem Punkt F der Ebene ist ein Zahlenpaar (x;y) – seine Koordinaten – zugeordnet.

Die x-Koordinate wird als Abszisse bezeichnet. Es ist gleich Ochse mit dem entsprechenden Vorzeichen.

Die y-Koordinate heißt Ordinate und ist gleich dem Abstand vom Punkt F zur Oy-Achse (mit entsprechendem Vorzeichen).

Achsabstände werden normalerweise (aber nicht immer) in der gleichen Längeneinheit gemessen.

Punkte rechts von der y-Achse haben positive Abszissen. Für Punkte, die links von der y-Achse liegen, sind die Abszissen negativ. Für jeden Punkt, der auf der Oy-Achse liegt, ist seine x-Koordinate gleich Null.

Punkte mit positiver Ordinate liegen oberhalb der x-Achse, solche mit negativer Ordinate darunter. Wenn ein Punkt auf der x-Achse liegt, ist seine y-Koordinate Null.

Die Koordinatenachsen teilen die Ebene in vier Teile, die als Koordinatenviertel (oder Koordinatenwinkel oder Quadranten) bezeichnet werden.

1 Koordinatenviertel befindet sich in der oberen rechten Ecke der xOy-Koordinatenebene. Beide Koordinaten der im I-Viertel befindlichen Punkte sind positiv.

Der Übergang von einem Viertel zum anderen erfolgt gegen den Uhrzeigersinn.

2. Quartal befindet sich in der oberen linken Ecke. Im zweiten Viertel liegende Punkte haben eine negative Abszisse und eine positive Ordinate.

3. Quartal liegt im unteren linken Quadranten der xOy-Ebene. Beide Koordinaten der zum III-Koordinatenwinkel gehörenden Punkte sind negativ.

4. Koordinatenviertel ist die untere rechte Ecke der Koordinatenebene. Jeder Punkt aus dem IV. Viertel hat eine positive erste Koordinate und eine negative zweite.

Ein Beispiel für die Position von Punkten in einem rechtwinkligen Koordinatensystem:

Mathematik ist eine ziemlich komplexe Wissenschaft. Beim Studium muss man nicht nur Beispiele und Probleme lösen, sondern auch mit verschiedenen Figuren und sogar Flugzeugen arbeiten. Eines der am häufigsten verwendeten in der Mathematik ist das Koordinatensystem in der Ebene. Seit mehr als einem Jahr wird den Kindern der richtige Umgang damit beigebracht. Daher ist es wichtig zu wissen, was es ist und wie man richtig damit arbeitet.

Lassen Sie uns herausfinden, was dieses System ist, welche Aktionen Sie damit ausführen können, und auch seine Hauptmerkmale und -merkmale herausfinden.

Konzeptdefinition

Eine Koordinatenebene ist eine Ebene, auf der ein bestimmtes Koordinatensystem definiert ist. Eine solche Ebene wird durch zwei sich rechtwinklig schneidende Geraden definiert. Der Schnittpunkt dieser Linien ist der Koordinatenursprung. Jeder Punkt auf der Koordinatenebene wird durch ein Zahlenpaar angegeben, das als Koordinaten bezeichnet wird.

Im Schulmathematikkurs müssen die Schüler ganz eng mit dem Koordinatensystem arbeiten - Figuren und Punkte darauf bauen, bestimmen, zu welcher Ebene diese oder jene Koordinate gehört, und auch die Koordinaten des Punktes bestimmen und aufschreiben oder benennen. Lassen Sie uns daher ausführlicher auf alle Merkmale der Koordinaten eingehen. Aber lassen Sie uns zuerst auf die Schöpfungsgeschichte eingehen, und dann werden wir darüber sprechen, wie man auf der Koordinatenebene arbeitet.

Geschichtlicher Bezug

Ideen zur Schaffung eines Koordinatensystems gab es in den Tagen von Ptolemäus. Schon damals dachten Astronomen und Mathematiker darüber nach, wie man lernen könnte, wie man die Position eines Punktes auf einer Ebene festlegt. Leider war uns damals kein Koordinatensystem bekannt, und die Wissenschaftler mussten andere Systeme verwenden.

Zunächst legen sie Punkte fest, indem sie Breiten- und Längengrad angeben. Lange Zeit war es eine der am häufigsten verwendeten Methoden, um diese oder jene Informationen abzubilden. Aber 1637 schuf Rene Descartes sein eigenes Koordinatensystem, das später nach "Cartesian" benannt wurde.

Bereits Ende des 17. Jahrhunderts. Das Konzept der "Koordinatenebene" ist in der Welt der Mathematik weit verbreitet. Trotz der Tatsache, dass seit der Schaffung dieses Systems mehrere Jahrhunderte vergangen sind, wird es in der Mathematik und sogar im Leben immer noch häufig verwendet.

Beispiele für Koordinatenebenen

Bevor wir über die Theorie sprechen, geben wir einige anschauliche Beispiele für die Koordinatenebene, damit Sie sie sich vorstellen können. Das Koordinatensystem wird hauptsächlich im Schach verwendet. Auf dem Brett hat jedes Quadrat seine eigenen Koordinaten - eine Buchstabenkoordinate, die zweite - digital. Mit seiner Hilfe können Sie die Position einer bestimmten Figur auf dem Brett bestimmen.

Das zweitauffälligste Beispiel ist das beliebte Spiel „Battleship“. Denken Sie daran, wie Sie beim Spielen eine Koordinate, zum Beispiel B3, nennen und so genau angeben, wohin Sie zielen. Gleichzeitig setzen Sie beim Platzieren der Schiffe Punkte auf der Koordinatenebene.

Dieses Koordinatensystem wird nicht nur in Mathematik, Logikspielen, sondern auch in militärischen Angelegenheiten, Astronomie, Physik und vielen anderen Wissenschaften häufig verwendet.

Koordinatenachsen

Wie bereits erwähnt, werden im Koordinatensystem zwei Achsen unterschieden. Lassen Sie uns ein wenig über sie sprechen, da sie von erheblicher Bedeutung sind.

Die erste Achse – Abszisse – ist horizontal. Es wird bezeichnet als ( Ochse). Die zweite Achse ist die Ordinate, die senkrecht durch den Bezugspunkt geht und mit ( Ey). Diese beiden Achsen bilden das Koordinatensystem und teilen die Ebene in vier Viertel. Der Ursprung liegt im Schnittpunkt dieser beiden Achsen und nimmt den Wert an 0 . Nur wenn die Ebene durch zwei Achsen gebildet wird, die sich senkrecht schneiden und einen Bezugspunkt haben, ist sie eine Koordinatenebene.

Beachten Sie auch, dass jede der Achsen ihre eigene Richtung hat. Normalerweise ist es beim Aufbau eines Koordinatensystems üblich, die Richtung der Achse in Form eines Pfeils anzugeben. Zusätzlich wird beim Konstruieren der Koordinatenebene jede der Achsen vorzeichenbehaftet.

Viertel

Lassen Sie uns nun ein paar Worte über ein solches Konzept wie Viertel der Koordinatenebene sagen. Die Ebene wird durch zwei Achsen in vier Viertel geteilt. Jedes von ihnen hat seine eigene Nummer, während die Nummerierung der Flugzeuge gegen den Uhrzeigersinn erfolgt.

Jedes der Viertel hat seine eigenen Besonderheiten. Also im ersten Viertel sind die Abszisse und die Ordinate positiv, im zweiten Viertel ist die Abszisse negativ, die Ordinate ist positiv, im dritten sind sowohl die Abszisse als auch die Ordinate negativ, im vierten ist die Abszisse positiv, und die Ordinate ist negativ.

Indem Sie sich diese Merkmale merken, können Sie leicht feststellen, zu welchem ​​Viertel ein bestimmter Punkt gehört. Darüber hinaus können diese Informationen für Sie nützlich sein, wenn Sie Berechnungen mit dem kartesischen System durchführen müssen.

Arbeiten mit der Koordinatenebene

Wenn wir das Konzept eines Flugzeugs herausgefunden und über sein Quartier gesprochen haben, können wir zu einem Problem wie der Arbeit mit diesem System übergehen und auch darüber sprechen, wie man Punkte und Koordinaten von Figuren darauf setzt. Auf der Koordinatenebene ist dies nicht so schwierig, wie es auf den ersten Blick erscheinen mag.

Zunächst wird das System selbst gebaut, alle wichtigen Bezeichnungen werden darauf aufgebracht. Dann wird direkt mit Punkten oder Figuren gearbeitet. In diesem Fall werden auch beim Konstruieren von Figuren zuerst Punkte auf die Ebene aufgetragen und dann sind die Figuren bereits gezeichnet.

Regeln für den Bau eines Flugzeugs

Wenn Sie sich entscheiden, Formen und Punkte auf Papier zu markieren, benötigen Sie eine Koordinatenebene. Darauf sind die Koordinaten der Punkte aufgetragen. Um eine Koordinatenebene zu bauen, benötigen Sie nur ein Lineal und einen Kugelschreiber oder Bleistift. Zuerst wird die horizontale Abszisse gezeichnet, dann die vertikale - Ordinate. Es ist wichtig, sich daran zu erinnern, dass sich die Achsen rechtwinklig schneiden.

Der nächste obligatorische Punkt ist die Markierung. Einheitensegmente sind auf jeder der Achsen in beiden Richtungen markiert und signiert. Dies geschieht, damit Sie anschließend mit maximalem Komfort mit dem Flugzeug arbeiten können.

Punkt markieren

Lassen Sie uns nun darüber sprechen, wie die Koordinaten von Punkten auf der Koordinatenebene gezeichnet werden. Dies sind die Grundlagen, die Sie kennen müssen, um eine Vielzahl von Formen erfolgreich auf der Ebene zu platzieren und sogar Gleichungen zu markieren.

Beim Konstruieren von Punkten sollte man daran denken, wie deren Koordinaten korrekt erfasst werden. Normalerweise werden also zwei Zahlen in Klammern geschrieben, um einen Punkt zu setzen. Die erste Ziffer gibt die Koordinate des Punktes entlang der Abszissenachse an, die zweite - entlang der Ordinatenachse.

Der Punkt sollte auf diese Weise aufgebaut werden. Markieren Sie zuerst auf der Achse Ochse gegebenen Punkt, dann markieren Sie einen Punkt auf der Achse Ey. Zeichnen Sie als nächstes imaginäre Linien aus diesen Bezeichnungen und finden Sie den Ort ihres Schnittpunkts - dies ist der angegebene Punkt.

Alles, was Sie tun müssen, ist es zu markieren und zu unterschreiben. Wie Sie sehen können, ist alles ganz einfach und erfordert keine besonderen Fähigkeiten.

Platzieren einer Form

Kommen wir nun zu einer Frage wie der Konstruktion von Figuren auf der Koordinatenebene. Um eine Figur auf der Koordinatenebene zu bauen, sollten Sie wissen, wie man Punkte darauf platziert. Wenn Sie wissen, wie das geht, ist es nicht so schwierig, eine Figur in einem Flugzeug zu platzieren.

Zunächst benötigen Sie die Koordinaten der Punkte der Figur. Auf ihnen wenden wir die von Ihnen ausgewählten auf unser Koordinatensystem an. Betrachten wir das Zeichnen eines Rechtecks, Dreiecks und Kreises.

Beginnen wir mit einem Rechteck. Die Anwendung ist ziemlich einfach. Zuerst werden vier Punkte auf die Ebene angewendet, die die Ecken des Rechtecks ​​angeben. Dann werden alle Punkte nacheinander miteinander verbunden.

Das Zeichnen eines Dreiecks ist nicht anders. Die einzige Sache ist, dass es drei Ecken hat, was bedeutet, dass drei Punkte auf die Ebene angewendet werden, die ihre Scheitelpunkte bezeichnen.

Bezüglich des Kreises sollten Sie hier die Koordinaten von zwei Punkten kennen. Der erste Punkt ist der Mittelpunkt des Kreises, der zweite der Punkt, der seinen Radius bezeichnet. Diese beiden Punkte werden in einer Ebene aufgetragen. Dann wird ein Kompass genommen, der Abstand zwischen zwei Punkten wird gemessen. Die Spitze des Kompasses wird an einem Punkt platziert, der das Zentrum bezeichnet, und ein Kreis wird beschrieben.

Wie man sieht, ist auch hier nichts kompliziert, Hauptsache Lineal und Zirkel sind immer griffbereit.

Jetzt wissen Sie, wie Sie Formkoordinaten zeichnen. Auf der Koordinatenebene ist dies nicht so schwierig, wie es auf den ersten Blick erscheinen mag.

Ergebnisse

Deshalb haben wir mit Ihnen eines der interessantesten und grundlegendsten Konzepte für Mathematik betrachtet, mit dem sich jeder Schüler auseinandersetzen muss.

Wir haben herausgefunden, dass die Koordinatenebene die Ebene ist, die durch den Schnittpunkt zweier Achsen gebildet wird. Mit seiner Hilfe können Sie die Koordinaten von Punkten festlegen und Formen darauf legen. Das Flugzeug ist in Viertel unterteilt, von denen jedes seine eigenen Eigenschaften hat.

Die wichtigste Fähigkeit, die bei der Arbeit mit der Koordinatenebene entwickelt werden sollte, ist die Fähigkeit, gegebene Punkte darauf korrekt zu zeichnen. Dazu sollten Sie die korrekte Position der Achsen, die Merkmale der Viertel sowie die Regeln kennen, nach denen die Koordinaten der Punkte festgelegt werden.

Wir hoffen, dass die von uns bereitgestellten Informationen zugänglich und verständlich waren und auch für Sie nützlich waren und dazu beigetragen haben, dieses Thema besser zu verstehen.

"Funktionen Klasse 9" - Y \u003d x3. Die Funktion kann mit einer Formel angegeben werden, zum Beispiel: y=2x+5, S=at2/2, S=vt. Elementare Funktionen umfassen fast alle Funktionen, die in einem Schulbuch zu finden sind. Leiter Kryuchkova Tatyana Borisovna Lehrerin, Mathematik. Inhaltsverzeichnis: Anhang 3. Y=x2 Y=3x2. Y=x2. Anwendung4. Y \u003d 0,3 x 2. Anhang 1.

"Eigenschaften der Funktion" - 0. 1. Definition der Funktion. 3. Umfang der Werte. y=0, x=0 6. Intervalle konstanten Vorzeichens y > 0 auf (0; +). 5.Zero-Funktion. Funktionseigenschaften. 7. Intervalle der Zunahme und Abnahme. y= x, n=2 2.Umfang D(y)=. Solche Größen werden jeweils Konstanten und Variablen genannt. -p. T. y = f(x). -ein. Weiter.

"Funktionsforschung" - Lösen Sie die Aufgabe anhand des Funktionsforschungsschemas: S. 24; Nr. 296 (a; b), Nr. 299 (a; b). Verifikationsarbeit: Antwort: D (f) = R, ungerade, steigend. Mündlich ausführen: Für die Funktion f(x)=х3 bestimme D(f), Parität, Zunahme, Abnahme. Beweisen Sie, dass die Funktion f(x)=x5+4x auf der Menge R wächst. 2) Ein Beispiel für das Studium einer Funktion.

"Koordinatenebene" - Die Gleichung einer geraden Linie in. Um die Fähigkeit zu bilden, Probleme auf der Koordinatenebene zu lösen. Koordinatenlinie, Koordinatenwinkel. Aufgabe Nummer 1. Regel zum Lesen von Koordinaten. Quartiere koordinieren. Wie Punkte auf einer Ebene markiert werden. (2-Wege). Liniengleichung a. Unterrichtsplan. Koordinaten von Punkten, die sich auf den Achsen befinden.

"Erhöhung der Funktion" - Algorithmus zum Finden der Extrema der Funktion. Die Lösung der Ungleichung erfolgt analytisch oder nach der Intervallmethode. Wir finden f / (x) Wir bestimmen die kritischen Punkte der Funktion f(x), d.h. Punkte, an denen f / (x)=0 oder f / (x) nicht existiert. Derivat. Inhalt. Tg(a)=k, k-Berührungsfaktor. Ableitungstabelle.

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Wenn Sie einen Einheitsnummernkreis auf der Koordinatenebene platzieren, können Sie Koordinaten für seine Punkte finden. Der Zahlenkreis wird so positioniert, dass sein Mittelpunkt mit dem Ursprung der Ebene zusammenfällt, also mit dem Punkt O (0; 0).

Normalerweise werden auf einem Einheitsnummernkreis Punkte markiert, die dem Ursprung auf dem Kreis entsprechen

• Viertel - 0 oder 2π, π/2, π, (2π)/3,
• mittlere Viertel - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
• drittes Viertel - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.

Auf der Koordinatenebene, mit der obigen Anordnung des Einheitskreises darauf, findet man die Koordinaten, die diesen Kreispunkten entsprechen.

Es ist sehr einfach, die Koordinaten der Enden der Viertel zu finden. Am Punkt 0 des Kreises ist die x-Koordinate 1 und y ist 0. Wir können A (0) = A (1; 0) schreiben.

Das Ende des ersten Quartals befindet sich auf der positiven y-Achse. Daher ist B (π/2) = B (0; 1).

Das Ende des zweiten Quartals liegt auf der negativen Abszisse: C (π) = C (-1; 0).

Ende des dritten Viertels: D ((2π)/3) = D (0; -1).

Aber wie findet man die Koordinaten der Mittelpunkte der Viertel? Bauen Sie dazu ein rechtwinkliges Dreieck. Seine Hypotenuse ist ein Segment vom Mittelpunkt des Kreises (oder dem Ursprung) bis zum Mittelpunkt des Viertelkreises. Dies ist der Radius des Kreises. Da der Kreis eine Einheit ist, ist die Hypotenuse gleich 1. Als nächstes wird eine Senkrechte von einem Punkt auf dem Kreis zu einer beliebigen Achse gezogen. Sei es zur x-Achse. Es stellt sich ein rechtwinkliges Dreieck heraus, dessen Schenkellängen die x- und y-Koordinaten des Kreispunktes sind.

Ein Viertelkreis hat 90º. Und ein halbes Viertel ist 45º. Da die Hypotenuse bis zur Mitte des Viertels gezogen wird, beträgt der Winkel zwischen der Hypotenuse und dem Bein, das aus dem Ursprung herauskommt, 45º. Aber die Summe der Winkel jedes Dreiecks ist 180º. Daher bleibt der Winkel zwischen der Hypotenuse und dem anderen Bein ebenfalls 45º. Es stellt sich ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck heraus.

Aus dem Satz des Pythagoras erhalten wir die Gleichung x 2 + y 2 = 1 2 . Da x = y und 1 2 = 1, vereinfacht sich die Gleichung zu x 2 + x 2 = 1. Wenn wir sie lösen, erhalten wir x = √1 = 1/√2 = √2/2.

Somit sind die Koordinaten des Punktes M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2).

In den Koordinaten der Punkte der Mittelpunkte anderer Viertel ändern sich nur die Vorzeichen und die Wertemodule bleiben gleich, da sich das rechtwinklige Dreieck nur umdreht. Wir bekommen:
M2 ((3π)/4) = M2 (-√2/2; √2/2)
M3 ((5π)/4) = M3 (-√2/2; -√2/2)
M4 ((7π)/4) = M4 (√2/2; -√2/2)

Bei der Bestimmung der Koordinaten der dritten Teile der Kreisviertel wird auch ein rechtwinkliges Dreieck gebildet. Wenn wir den Punkt π/6 nehmen und eine Senkrechte auf die x-Achse ziehen, dann beträgt der Winkel zwischen der Hypotenuse und dem auf der x-Achse liegenden Bein 30º. Es ist bekannt, dass das Bein, das einem Winkel von 30º gegenüberliegt, gleich der Hälfte der Hypotenuse ist. Wir haben also die y-Koordinate gefunden, sie ist gleich ½.

Wenn wir die Längen der Hypotenuse und eines der Beine kennen, finden wir nach dem Satz des Pythagoras das andere Bein:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 \u003d 1 - ¼ \u003d ¾
x = √3/2

Also T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).

Für den Punkt des zweiten Drittels des ersten Viertels (π / 3) ist es besser, eine Senkrechte zur Achse zur y-Achse zu ziehen. Dann beträgt der Winkel am Ursprung ebenfalls 30º. Hier ist die x-Koordinate bereits gleich ½ bzw. y gleich √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).

Für andere Punkte des dritten Viertels ändern sich die Vorzeichen und die Reihenfolge der Koordinatenwerte. Alle Punkte, die näher an der x-Achse liegen, haben einen Modulo-Wert der x-Koordinate gleich √3/2. Die Punkte, die näher an der y-Achse liegen, haben einen Modulo-y-Wert gleich √3/2.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½; √3/2)
T4 ((5π)/6) = T4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T6 ((4π)/3) = T6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)