Das System der Ungleichheiten.
Beispiel 1. Finden Sie den Gültigkeitsbereich eines Ausdrucks
Entscheidung. Unter dem Quadratwurzelzeichen muss eine nicht negative Zahl stehen, was bedeutet, dass zwei Ungleichungen gleichzeitig gelten müssen: In solchen Fällen wird das Problem auf die Lösung des Systems der Ungleichungen reduziert

Aber wir sind noch nicht auf ein solches mathematisches Modell (System von Ungleichungen) gestoßen. Das bedeutet, dass wir die Lösung des Beispiels noch nicht abschließen können.

Die Ungleichungen, die ein System bilden, werden mit einer geschweiften Klammer verbunden (dasselbe gilt für Gleichungssysteme). Zum Beispiel der Eintrag

bedeutet, dass die Ungleichungen 2x - 1 > 3 und 3x - 2< 11 образуют систему неравенств.

Manchmal wird das Ungleichungssystem als doppelte Ungleichung geschrieben. Zum Beispiel das System der Ungleichheiten

kann als doppelte Ungleichung 3 geschrieben werden<2х-1<11.

Im Algebrakurs der 9. Klasse werden wir nur Systeme von zwei Ungleichungen betrachten.

Betrachten Sie das System der Ungleichheiten

Sie können mehrere seiner speziellen Lösungen aufgreifen, zum Beispiel x = 3, x = 4, x = 3,5. Tatsächlich nimmt für x = 3 die erste Ungleichung die Form 5 > 3 und die zweite die Form 7 an< 11. Получились два верных числовых неравенства, значит, х = 3 - решение системы неравенств. Точно так же можно убедиться в том, что х = 4, х = 3,5 - решения системы неравенств.

Gleichzeitig ist der Wert x = 5 keine Lösung des Ungleichungssystems. Für x = 5 nimmt die erste Ungleichung die Form 9 > 3 an – die korrekte numerische Ungleichung, und die zweite – die Form 13< 11- неверное числовое неравенство .
Ein System von Ungleichungen zu lösen bedeutet, alle seine speziellen Lösungen zu finden. Es ist klar, dass ein solches Raten, wie es oben gezeigt wurde, keine Methode zum Lösen eines Systems von Ungleichungen ist. Im folgenden Beispiel zeigen wir, wie man üblicherweise argumentiert, wenn man ein System von Ungleichungen löst.

Beispiel 3 Lösen Sie das Ungleichungssystem:

Entscheidung.

a) Lösen wir die erste Ungleichung des Systems, finden wir 2x > 4, x > 2; Lösen wir die zweite Ungleichung des Systems, finden wir Zx< 13 Отметим эти промежутки на одной координатной прямой , использовав для выделения первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 22). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. В рассматриваемом примере получаем интервал
b) Lösen wir die erste Ungleichung des Systems, finden wir x > 2; Lösung der zweiten Ungleichung des Systems finden wir Wir markieren diese Lücken auf einer Koordinatenlinie, indem wir die obere Schraffur für die erste Lücke und die untere Schraffur für die zweite verwenden (Abb. 23). Die Lösung des Ungleichungssystems ist der Schnittpunkt der Lösungen der Ungleichungen des Systems, d.h. das Intervall, in dem beide Schraffuren zusammenfallen. Im betrachteten Beispiel erhalten wir einen Balken

in) Lösen wir die erste Ungleichung des Systems, finden wir x< 2; решая второе неравенство системы, находим Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 24). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Здесь такого промежутка нет, значит, система неравенств не имеет решений.

Lassen Sie uns die im betrachteten Beispiel durchgeführte Überlegung verallgemeinern. Angenommen, wir müssen ein System von Ungleichungen lösen

Sei zum Beispiel das Intervall (a, b) die Lösung der Ungleichung fx 2 > g (x) und das Intervall (c, d) die Lösung der Ungleichung f 2 (x) > s 2 (x ). Wir markieren diese Lücken auf einer Koordinatenlinie, indem wir die obere Schraffur für die erste Lücke und die untere Schraffur für die zweite verwenden (Abb. 25). Die Lösung des Ungleichungssystems ist der Schnittpunkt der Lösungen der Ungleichungen des Systems, d.h. das Intervall, in dem beide Schraffuren zusammenfallen. Auf Abb. 25 ist das Intervall (s, b).

Jetzt können wir das Ungleichungssystem, das wir oben in Beispiel 1 erhalten haben, leicht lösen:

Lösen wir die erste Ungleichung des Systems, finden wir x > 2; Wenn wir die zweite Ungleichung des Systems lösen, finden wir x< 8. Отметим эти промежутки (лучи) на одной координатной прямой, использовав для первого -верхнюю, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 26). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали, - отрезок . Это - область определения того выражения, о котором шла речь в примере 1.

Natürlich muss das Ungleichungssystem nicht wie bisher aus linearen Ungleichungen bestehen; jede rationale (und nicht nur rationale) Ungleichheit kann auftreten. Technisch gesehen ist es natürlich schwieriger, mit einem System rationaler nichtlinearer Ungleichungen zu arbeiten, aber es ist nichts grundlegend Neues (im Vergleich zu Systemen linearer Ungleichungen).

Beispiel 4 Lösen Sie das System der Ungleichungen

Entscheidung.

1) Lösen Sie die Ungleichung, die wir haben
Beachten Sie die Punkte -3 und 3 auf dem Zahlenstrahl (Abb. 27). Sie teilen die Linie in drei Intervalle, und in jedem Intervall behält der Ausdruck p (x) = (x - 3) (x + 3) ein konstantes Vorzeichen - diese Vorzeichen sind in Abb. 27. Uns interessieren die Intervalle, in denen die Ungleichung p(x) > 0 erfüllt ist (sie sind in Abb. 27 schraffiert), und die Punkte, in denen die Gleichheit p(x) = 0 erfüllt ist, d. h. Punkte x \u003d -3, x \u003d 3 (sie sind in Abb. 2 7 mit dunklen Kreisen markiert). So in Abb. 27 zeigt ein geometrisches Modell zum Lösen der ersten Ungleichung.

2) Lösen Sie die Ungleichung, die wir haben
Beachten Sie die Punkte 0 und 5 auf dem Zahlenstrahl (Abb. 28). Sie teilen die Linie in drei Intervalle und in jedem Intervall den Ausdruck<7(х) = х(5 - х) сохраняет постоянный знак - эти знаки указаны на рис. 28. Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство g(х) >O (in Fig. 28 schraffiert), und die Punkte, an denen die Gleichheit g (x) - O erfüllt ist, d. h. Punkte x = 0, x = 5 (sie sind in Abb. 28 durch dunkle Kreise markiert). So in Abb. 28 zeigt ein geometrisches Modell zum Lösen der zweiten Ungleichung des Systems.

3) Wir markieren die gefundenen Lösungen für die erste und zweite Ungleichung des Systems auf derselben Koordinatenlinie, wobei wir die obere Schraffur für die Lösungen der ersten Ungleichung und die untere Schraffur für die Lösungen der zweiten verwenden (Abb. 29). Die Lösung des Ungleichungssystems ist der Schnittpunkt der Lösungen der Ungleichungen des Systems, d.h. das Intervall, in dem beide Schraffuren zusammenfallen. Ein solches Intervall ist ein Segment.

Beispiel 5 Lösen Sie das Ungleichungssystem:

Entscheidung:

a) Aus der ersten Ungleichung finden wir x > 2. Betrachten Sie die zweite Ungleichung. Das quadratische Trinom x 2 + x + 2 hat keine reellen Wurzeln, und sein führender Koeffizient (der Koeffizient bei x 2) ist positiv. Das bedeutet, dass für alle x die Ungleichung x 2 + x + 2 > 0 erfüllt ist und daher die zweite Ungleichung des Systems keine Lösungen hat. Was bedeutet das für das System der Ungleichheiten? Das bedeutet, dass das System keine Lösungen hat.

b) Aus der ersten Ungleichung finden wir x > 2, und die zweite Ungleichung gilt für alle Werte von x. Was bedeutet das für das System der Ungleichheiten? Das bedeutet, dass seine Lösung die Form x>2 hat, d.h. fällt mit der Lösung der ersten Ungleichung zusammen.

Antworten:

a) es gibt keine Entscheidungen; b) x>2.

Dieses Beispiel ist zur Veranschaulichung für das Folgende nützlich

1. Wenn in einem System von mehreren Ungleichungen mit einer Variablen eine Ungleichung keine Lösungen hat, dann hat das System keine Lösungen.

2. Wenn in einem System aus zwei Ungleichungen mit einer Variablen eine Ungleichung für beliebige Werte der Variablen erfüllt ist, dann ist die Lösung des Systems die Lösung der zweiten Ungleichung des Systems.

Lassen Sie uns zum Abschluss dieses Abschnitts auf das Problem der zu Beginn gegebenen gedachten Zahl zurückkommen und es, wie sie sagen, nach allen Regeln lösen.

Beispiel 2(siehe S. 29). Denken Sie an eine natürliche Zahl. Es ist bekannt, dass, wenn 13 zum Quadrat der gedachten Zahl addiert wird, die Summe größer ist als das Produkt aus der gedachten Zahl und der Zahl 14. Wenn 45 zum Quadrat der gedachten Zahl addiert wird, wird die Summe kleiner sein als das Produkt aus der gedachten Zahl und der Zahl 18. Welche Zahl wird gedacht?

Entscheidung.

Erste Stufe. Erstellen eines mathematischen Modells.
Die beabsichtigte Zahl x muss, wie wir oben gesehen haben, dem Ungleichungssystem genügen

Zweite Phase. Arbeiten mit dem kompilierten mathematischen Modell Lassen Sie uns die erste Ungleichung des Systems in die Form umwandeln
x2- 14x+ 13 > 0.

Lassen Sie uns die Wurzeln des Trinoms x 2 - 14x + 13 finden: x 2 \u003d 1, x 2 \u003d 13. Unter Verwendung der Parabel y \u003d x 2 - 14x + 13 (Abb. 30) schließen wir, dass die Ungleichung von Interesse für uns ist für x erfüllt< 1 или x > 13.

Lassen Sie uns die zweite Ungleichung des Systems in die Form x2 - 18 2 + 45 umwandeln< 0. Найдем корни трехчлена х 2 - 18x + 45: = 3, х 2 = 15.

Ungleichungen und Systeme von Ungleichungen sind eines der Themen, die in der High School in Algebra gelehrt werden. In Bezug auf die Schwierigkeit ist es nicht das schwierigste, weil es einfache Regeln hat (darüber etwas später). Die Lösung von Ungleichungssystemen lernen Schulkinder in der Regel recht leicht. Das liegt auch daran, dass Lehrer ihre Schüler zu diesem Thema einfach „trainieren“. Und das können sie auch nicht lassen, denn es wird künftig mit anderen mathematischen Größen studiert und auch für die OGE und das Einheitliche Staatsexamen geprüft. In Schulbüchern wird das Thema Ungleichheiten und Ungleichheitssysteme sehr ausführlich behandelt. Wenn Sie sich also damit befassen, greifen Sie am besten darauf zurück. Dieser Artikel gibt nur umfangreiches Material wieder, und es kann einige Auslassungen darin geben.

Das Konzept eines Systems von Ungleichheiten

Wenn wir uns der wissenschaftlichen Sprache zuwenden, können wir den Begriff „System der Ungleichheiten“ definieren. Dies ist ein solches mathematisches Modell, das mehrere Ungleichungen darstellt. Dieses Modell erfordert natürlich eine Lösung, und es wird die allgemeine Antwort für alle Ungleichungen des in der Aufgabe vorgeschlagenen Systems sein (normalerweise steht es darin, zum Beispiel: "Löse das System der Ungleichungen 4 x + 1 > 2 und 30 - x > 6..."). Bevor Sie jedoch zu den Arten und Methoden von Lösungen übergehen, müssen Sie etwas anderes verstehen.

Ungleichungssysteme und Gleichungssysteme

Beim Erlernen eines neuen Themas kommt es oft zu Missverständnissen. Einerseits ist alles klar und ich würde lieber anfangen, Aufgaben zu lösen, aber andererseits bleiben einige Momente im "Schatten", sie werden nicht gut verstanden. Außerdem können einige Elemente des bereits erworbenen Wissens mit neuen verknüpft werden. Als Ergebnis dieser "Überlagerung" treten häufig Fehler auf.

Bevor wir mit der Analyse unseres Themas fortfahren, sollten wir uns daher an die Unterschiede zwischen Gleichungen und Ungleichungen und ihren Systemen erinnern. Dazu müssen Sie noch einmal erklären, was diese mathematischen Konzepte sind. Eine Gleichung ist immer eine Gleichheit, und sie ist immer gleich etwas (in der Mathematik wird dieses Wort mit dem Zeichen „=“ bezeichnet). Ungleichheit ist ein Modell, in dem ein Wert entweder größer oder kleiner als ein anderer ist oder die Behauptung enthält, dass sie nicht gleich sind. Im ersten Fall ist es also angebracht, von Gleichheit zu sprechen, und im zweiten Fall, so offensichtlich es auch der Name selbst klingen mag, von der Ungleichheit der Ausgangsdaten. Die Gleichungssysteme und Ungleichungen unterscheiden sich praktisch nicht voneinander und die Methoden zu ihrer Lösung sind die gleichen. Der einzige Unterschied besteht darin, dass Ersteres Gleichheiten verwendet, während Letzteres Ungleichheiten verwendet.

Arten von Ungleichheiten

Es gibt zwei Arten von Ungleichungen: numerisch und mit einer unbekannten Variablen. Der erste Typ sind ungleiche Werte (Zahlen), z. B. 8 > 10. Der zweite sind Ungleichungen, die eine unbekannte Variable enthalten (angezeigt durch einen Buchstaben des lateinischen Alphabets, meistens X). Diese Variable muss gefunden werden. Je nachdem, wie viele es sind, unterscheidet das mathematische Modell zwischen Ungleichungen mit einer (sie bilden ein System von Ungleichungen mit einer Variablen) oder mehreren Variablen (sie bilden ein System von Ungleichungen mit mehreren Variablen).

Die letzten beiden Typen werden je nach Konstruktionsgrad und Komplexitätsgrad der Lösung in einfache und komplexe unterteilt. Einfache werden auch als lineare Ungleichungen bezeichnet. Sie wiederum werden in strenge und nicht strenge unterteilt. Streng ausdrücklich "sagen", dass ein Wert entweder kleiner oder größer sein muss, also ist dies reine Ungleichheit. Es gibt mehrere Beispiele: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 usw. Nicht strenge beinhalten auch Gleichheit. Das heißt, ein Wert kann größer oder gleich einem anderen Wert sein (Zeichen „≥“) oder kleiner oder gleich einem anderen Wert (Zeichen „≤“). Auch bei linearen Ungleichungen steht die Variable nicht an der Wurzel, quadratisch, ist durch nichts teilbar, weshalb sie „einfach“ genannt werden. Komplexe umfassen unbekannte Variablen, deren Auffinden mehr mathematische Operationen erfordert. Sie befinden sich oft in einem Quadrat, Würfel oder unter der Wurzel, sie können modular, logarithmisch, gebrochen usw. sein. Da unsere Aufgabe jedoch darin besteht, die Lösung von Ungleichungssystemen zu verstehen, sprechen wir von einem System linearer Ungleichungen. Zuvor sollten jedoch einige Worte zu ihren Eigenschaften gesagt werden.

Eigenschaften von Ungleichungen

Die Eigenschaften von Ungleichungen umfassen die folgenden Bestimmungen:

1. Das Ungleichheitszeichen wird umgekehrt, wenn die Operation zum Ändern der Seitenfolge angewendet wird (zum Beispiel, wenn t 1 ≤ t 2, dann t 2 ≥ t 1).
2. Beide Teile der Ungleichung ermöglichen es Ihnen, dieselbe Zahl zu sich selbst zu addieren (z. B. wenn t 1 ≤ t 2, dann t 1 + Zahl ≤ t 2 + Zahl).
3. Bei zwei oder mehr Ungleichungen mit gleichem Vorzeichen können Sie ihren linken und rechten Teil addieren (z. B. wenn t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4, dann t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4 ).
4. Beide Teile der Ungleichung lassen sich mit derselben positiven Zahl multiplizieren oder dividieren (zB wenn t 1 ≤ t 2 und die Zahl ≤ 0, dann ist die Zahl t 1 ≥ die Zahl t 2).
5. Zwei oder mehr Ungleichungen, die positive Glieder und ein Vorzeichen gleicher Richtung haben, lassen sich miteinander multiplizieren (z. B. wenn t 1 ≤ t 2 , t 3 ≤ t 4 , t 1 , t 2 , t 3 , t 4 ≥ 0 dann t 1 t 3 ≤ t 2 t 4).
6. Beide Teile der Ungleichung lassen sich mit derselben negativen Zahl multiplizieren oder dividieren, jedoch ändert sich das Ungleichheitszeichen (z. B. wenn t 1 ≤ t 2 und die Zahl ≤ 0, dann ist die Zahl t 1 ≥ Zahl t 2).
7. Alle Ungleichungen haben die Eigenschaft der Transitivität (z. B. wenn t 1 ≤ t 2 und t 2 ≤ t 3, dann t 1 ≤ t 3).

Nachdem wir nun die wichtigsten Bestimmungen der Theorie in Bezug auf Ungleichungen studiert haben, können wir direkt mit der Betrachtung der Regeln zur Lösung ihrer Systeme fortfahren.

Lösung von Ungleichungssystemen. Allgemeine Information. Lösungen

Wie oben erwähnt, besteht die Lösung aus den Werten der Variablen, die zu allen Ungleichungen des gegebenen Systems passen. Die Lösung von Ungleichungssystemen ist die Durchführung mathematischer Operationen, die letztlich zur Lösung des Gesamtsystems führen oder beweisen, dass es keine Lösungen gibt. In diesem Fall soll sich die Variable auf die leere numerische Menge beziehen (wie folgt geschrieben: ein Buchstabe, der eine Variable bezeichnet∈ (Zeichen „gehört“) ø (Zeichen „leere Menge“), zum Beispiel x ∈ ø (es lautet: „Die Variable „x“ gehört zur leeren Menge“). Es gibt mehrere Möglichkeiten, Ungleichungssysteme zu lösen: graphisch, algebraisch, Substitutionsverfahren. Es ist erwähnenswert, dass sie sich auf mathematische Modelle beziehen, die mehrere unbekannte Variablen haben. In dem Fall, in dem es nur eine gibt, ist die Intervallmethode geeignet.

Grafischer Weg

Ermöglicht Ihnen, ein Ungleichungssystem mit mehreren Unbekannten (aus zwei oder mehr) zu lösen. Dank dieser Methode wird das System der linearen Ungleichungen ziemlich einfach und schnell gelöst, daher ist es die gebräuchlichste Methode. Dies liegt daran, dass das Plotten die Menge des Schreibens mathematischer Operationen reduziert. Besonders angenehm wird es, eine kleine Pause vom Stift zu machen, einen Bleistift mit Lineal in die Hand zu nehmen und mit ihrer Hilfe weitere Aktionen durchzuführen, wenn viel Arbeit geleistet wurde und man sich ein wenig Abwechslung wünscht. Einige mögen diese Methode jedoch nicht, da Sie sich von der Aufgabe lösen und Ihre geistige Aktivität auf das Zeichnen umstellen müssen. Es ist jedoch ein sehr effektiver Weg.

Um ein Ungleichungssystem graphisch zu lösen, müssen alle Glieder jeder Ungleichung auf ihre linke Seite übertragen werden. Die Vorzeichen werden vertauscht, Null sollte rechts geschrieben werden, dann sollte jede Ungleichheit separat geschrieben werden. Als Ergebnis erhält man Funktionen aus Ungleichungen. Danach können Sie einen Bleistift und ein Lineal bekommen: Jetzt müssen Sie ein Diagramm jeder erhaltenen Funktion zeichnen. Die gesamte Menge von Zahlen, die sich im Intervall ihrer Schnittmenge befinden, ist die Lösung des Ungleichungssystems.

Algebraischer Weg

Ermöglicht Ihnen, ein Ungleichungssystem mit zwei unbekannten Variablen zu lösen. Außerdem müssen Ungleichheiten dasselbe Ungleichheitszeichen haben (d. h. sie müssen entweder nur das „Größer-als“-Zeichen oder nur das „Kleiner-als“-Zeichen usw. enthalten). Trotz ihrer Einschränkungen ist diese Methode auch komplizierter. Es wird in zwei Stufen angewendet.

Die erste umfasst die Aktionen, um eine der unbekannten Variablen loszuwerden. Zuerst müssen Sie es auswählen und dann prüfen, ob Zahlen vor dieser Variablen vorhanden sind. Wenn es keine gibt (dann sieht die Variable wie ein einzelner Buchstabe aus), ändern wir nichts. Wenn dies der Fall ist (der Typ der Variablen ist beispielsweise 5y oder 12y), muss sichergestellt werden dass bei jeder Ungleichung die Zahl vor der ausgewählten Variablen gleich ist. Dazu müssen Sie jedes Element der Ungleichungen mit einem gemeinsamen Faktor multiplizieren. Wenn beispielsweise 3y in die erste Ungleichung und 5y in die zweite geschrieben wird, müssen Sie alle Elemente der ersten Ungleichung multiplizieren um 5 und die zweite um 3. Es wird 15y bzw. 15y herauskommen.

Die zweite Phase der Entscheidung. Es ist notwendig, die linke Seite jeder Ungleichung auf die rechte Seite zu übertragen, wobei sich das Vorzeichen jedes Terms in das Gegenteil ändert. Schreiben Sie rechts eine Null. Dann kommt der lustige Teil: die gewählte Variable loswerden (auch als „Reduktion“ bekannt), während die Ungleichungen addiert werden. Sie erhalten eine Ungleichung mit einer Variablen, die gelöst werden muss. Danach sollten Sie dasselbe tun, nur mit einer anderen unbekannten Variablen. Die erhaltenen Ergebnisse sind die Lösung des Systems.

Substitutionsmethode

Ermöglicht Ihnen, ein Ungleichungssystem zu lösen, wenn es möglich ist, eine neue Variable einzuführen. Normalerweise wird diese Methode verwendet, wenn die unbekannte Variable in einem Term der Ungleichung in die vierte Potenz erhoben und im anderen Term quadriert wird. Somit zielt diese Methode darauf ab, den Grad der Ungleichheiten im System zu verringern. Die Probenungleichung x 4 - x 2 - 1 ≤ 0 wird auf diese Weise wie folgt gelöst. Eine neue Variable wird eingeführt, zum Beispiel t. Sie schreiben: „Lass t = x 2“, dann wird das Modell in einer neuen Form umgeschrieben. In unserem Fall erhalten wir t 2 - t - 1 ≤ 0. Diese Ungleichung muss mit der Intervallmethode gelöst werden (dazu etwas später), dann zurück zur Variablen X, dann dasselbe mit einer anderen Ungleichung. Die erhaltenen Antworten sind die Entscheidung des Systems.

Abstandsmethode

Dies ist der einfachste Weg, um Systeme von Ungleichungen zu lösen, und gleichzeitig ist er universell und weit verbreitet. Es wird in der High School und sogar in der High School verwendet. Sein Wesen liegt in der Tatsache, dass der Schüler auf der Zahlenlinie, die in ein Notizbuch gezeichnet ist, nach Ungleichheitsintervallen sucht (dies ist kein Diagramm, sondern nur eine gewöhnliche gerade Linie mit Zahlen). Wo sich die Intervalle von Ungleichungen schneiden, wird die Lösung des Systems gefunden. Um die Abstandsmethode zu verwenden, müssen Sie die folgenden Schritte ausführen:

1. Alle Glieder jeder Ungleichung werden mit einem Vorzeichenwechsel auf die linke Seite übertragen (Null wird rechts geschrieben).
2. Die Ungleichungen werden separat ausgeschrieben, die Lösung jeder von ihnen wird bestimmt.
3. Die Schnittpunkte der Ungleichungen auf der reellen Geraden werden gefunden. Alle Zahlen an diesen Schnittpunkten sind die Lösung.

Welche Art zu verwenden?

Offensichtlich diejenige, die am einfachsten und bequemsten erscheint, aber es gibt Zeiten, in denen Aufgaben eine bestimmte Methode erfordern. Meistens sagen sie, dass Sie entweder mit einem Diagramm oder mit der Intervallmethode lösen müssen. Die algebraische Methode und die Substitution werden äußerst selten oder gar nicht verwendet, da sie ziemlich komplex und verwirrend sind und außerdem eher zum Lösen von Gleichungssystemen als zum Lösen von Ungleichungen verwendet werden, sodass Sie auf das Zeichnen von Graphen und Intervallen zurückgreifen sollten. Sie bringen Sichtbarkeit, die zur effizienten und schnellen Durchführung mathematischer Operationen beitragen muss.

Wenn etwas nicht funktioniert

Während des Studiums eines bestimmten Themas in Algebra können natürlich Probleme mit dem Verständnis auftreten. Und das ist normal, denn unser Gehirn ist so konstruiert, dass es komplexe Materie nicht auf einmal verstehen kann. Oft müssen Sie einen Absatz noch einmal lesen, die Hilfe eines Lehrers in Anspruch nehmen oder das Lösen typischer Probleme üben. In unserem Fall sehen sie beispielsweise so aus: "Löse das Ungleichungssystem 3 x + 1 ≥ 0 und 2 x - 1 > 3". Daher helfen persönliches Streben, die Hilfe Dritter und Übung beim Verständnis jedes komplexen Themas.

Reschebnik?

Und das Lösungsbuch ist auch sehr gut geeignet, aber nicht zum Schummeln bei den Hausaufgaben, sondern zur Selbsthilfe. Sie können Ungleichungssysteme mit einer Lösung darin finden, sie (als Muster) betrachten, versuchen zu verstehen, wie genau der Autor der Lösung die Aufgabe bewältigt hat, und es dann selbst versuchen.

Ergebnisse

Algebra ist eines der schwierigsten Fächer in der Schule. Nun, was kannst du tun? Mathematik war schon immer so: Manchen fällt es leicht, anderen fällt es schwer. Aber in jedem Fall ist zu bedenken, dass das allgemeinbildende Studium so konzipiert ist, dass jeder Schüler damit zurechtkommt. Darüber hinaus müssen Sie eine große Anzahl von Assistenten berücksichtigen. Einige von ihnen wurden oben erwähnt.

Das System der Ungleichheiten Es ist üblich, jede Menge von zwei oder mehr Ungleichungen zu nennen, die eine unbekannte Größe enthalten.

Anschaulich wird diese Formulierung beispielsweise durch z Systeme der Ungleichheit:

Lösen Sie das System der Ungleichungen - bedeutet, alle Werte einer unbekannten Variablen zu finden, für die jede Ungleichung des Systems realisiert ist, oder zu beweisen, dass es keine solchen gibt .

Also für jeden Einzelnen Systemungleichheiten Berechne die unbekannte Variable. Wählt ferner aus den resultierenden Werten nur diejenigen aus, die sowohl für die erste als auch für die zweite Ungleichung wahr sind. Daher werden beim Ersetzen des gewählten Werts beide Ungleichungen des Systems richtig.

Analysieren wir die Lösung mehrerer Ungleichungen:

Platzieren Sie einen unter dem anderen Zahlenstrahlpaar; Setzen Sie den Wert auf die Spitze x, unter der die erste Ungleichung o ( x> 1) wahr werden und unten der Wert X, die die Lösung der zweiten Ungleichung ( X> 4).

Durch den Vergleich der Daten auf Zahlenreihen, beachten Sie, dass die Lösung für beide Ungleichheiten Wille X> 4. Antwort, X> 4.

Beispiel 2

Berechnung der ersten Ungleichheit wir bekommen -3 X< -6, или x> 2, die zweite - X> -8, oder X < 8. Затем делаем по аналогии с предыдущим примером. На верхнюю числовую прямую наносим все те значения X, darunter die erste Systemungleichheit, und auf der unteren Zahlengeraden alle diese Werte X, unter der die zweite Ungleichung des Systems realisiert ist.

Beim Vergleich der Daten stellen wir fest, dass beides der Fall ist Ungleichheiten wird für alle Werte implementiert X Platz 2 bis 8. Sätze von Werten X bezeichnen Doppelte Ungleichheit 2 < X< 8.

Beispiel 3 Lass uns finden

Dieser Artikel hat erste Informationen über Ungleichheitssysteme gesammelt. Hier geben wir eine Definition eines Systems von Ungleichungen und eine Definition einer Lösung für ein System von Ungleichungen. Es listet auch die wichtigsten Arten von Systemen auf, mit denen Sie im Algebraunterricht in der Schule am häufigsten arbeiten müssen, und gibt Beispiele.

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Was ist ein Ungleichheitssystem?

Es ist bequem, Ungleichheitssysteme auf die gleiche Weise zu definieren, wie wir die Definition eines Gleichungssystems eingeführt haben, d. h. gemäß der Art der Aufzeichnung und der darin eingebetteten Bedeutung.

Definition.

System der Ungleichheiten ist ein Datensatz, der eine bestimmte Anzahl von Ungleichungen darstellt, die untereinander geschrieben sind, links durch eine geschweifte Klammer verbunden sind und die Menge aller Lösungen bezeichnen, die gleichzeitig Lösungen für jede Ungleichung des Systems sind.

Lassen Sie uns ein Beispiel für ein System von Ungleichheiten geben. Nimm zwei beliebige , zum Beispiel 2 x−3>0 und 5−x≥4 x−11 , schreibe sie untereinander
2x−3>0 ,
5−x≥4x−11
und vereinigen Sie sich mit dem Vorzeichen des Systems - einer geschweiften Klammer. Als Ergebnis erhalten wir ein Ungleichungssystem der folgenden Form:

Ebenso wird eine Vorstellung von Ungleichheitssystemen in Schulbüchern gegeben. Es ist erwähnenswert, dass die Definitionen in ihnen enger gefasst sind: für Ungleichungen mit einer Variablen oder mit zwei Variablen.

Die wichtigsten Arten von Ungleichheitssystemen

Es ist klar, dass es unendlich viele verschiedene Systeme von Ungleichungen gibt. Um sich in dieser Vielfalt nicht zu verlieren, empfiehlt es sich, sie in Gruppen zu betrachten, die ihre eigenen Besonderheiten haben. Alle Ungleichheitssysteme lassen sich nach folgenden Kriterien in Gruppen einteilen:

• durch die Anzahl der Ungleichheiten im System;
• durch die Anzahl der an der Aufzeichnung beteiligten Variablen;
• durch die Natur der Ungleichheiten.

Je nach Anzahl der im Datensatz enthaltenen Ungleichheiten werden Zweier-, Dreier-, Vierersysteme usw. unterschieden. Ungleichheiten. Im vorherigen Absatz haben wir ein Beispiel für ein System gegeben, das ein System aus zwei Ungleichungen ist. Lassen Sie uns ein weiteres Beispiel eines Systems von vier Ungleichungen zeigen .

Unabhängig davon sagen wir, dass es keinen Sinn macht, über ein System einer Ungleichheit zu sprechen. In diesem Fall sprechen wir tatsächlich über die Ungleichheit selbst und nicht über das System.

Schaut man sich die Anzahl der Variablen an, dann gibt es Ungleichungssysteme mit eins, zwei, drei usw. Variablen (oder, wie sie sagen, Unbekannte). Schauen Sie sich das letzte Ungleichungssystem an, das zwei Absätze weiter oben steht. Dies ist ein System mit drei Variablen x , y und z . Beachten Sie, dass ihre ersten beiden Ungleichungen nicht alle drei Variablen enthalten, sondern nur eine davon. Im Kontext dieses Systems sind sie als Ungleichungen mit drei Variablen der Form x+0 y+0 z≥−2 bzw. 0 x+y+0 z≤5 zu verstehen. Beachten Sie, dass sich die Schule auf Ungleichheiten mit einer Variablen konzentriert.

Es bleibt zu diskutieren, welche Arten von Ungleichheiten in Schreibsystemen enthalten sind. In der Schule betrachten sie hauptsächlich Systeme mit zwei Ungleichungen (seltener - drei, noch seltener - vier oder mehr) mit einer oder zwei Variablen, und die Ungleichungen selbst sind es normalerweise ganzzahlige Ungleichungen ersten oder zweiten Grades (seltener - höhere Grade oder teilweise rational). Aber wundern Sie sich nicht, wenn Sie in den Vorbereitungsmaterialien für die OGE auf Ungleichungssysteme stoßen, die irrationale, logarithmische, exponentielle und andere Ungleichungen enthalten. Als Beispiel stellen wir das System der Ungleichheiten vor , es ist entnommen aus .

Was ist die Lösung eines Systems von Ungleichungen?

Wir führen eine andere Definition ein, die sich auf Systeme von Ungleichungen bezieht – die Definition einer Lösung für ein System von Ungleichungen:

Definition.

Lösen eines Systems von Ungleichungen mit einer Variablen wird ein solcher Wert einer Variablen genannt, der jede der Ungleichungen des Systems wahr macht, mit anderen Worten, die Lösung für jede Ungleichung des Systems ist.

Lassen Sie es uns anhand eines Beispiels erklären. Nehmen wir ein System von zwei Ungleichungen mit einer Variablen . Nehmen wir den Wert der Variablen x gleich 8 , es ist per Definition eine Lösung für unser Ungleichungssystem, da seine Substitution in die Ungleichungen des Systems zwei korrekte numerische Ungleichungen 8>7 und 2−3 8≤0 ergibt. Im Gegenteil, die Einheit ist keine Lösung des Systems, denn wenn sie für die Variable x eingesetzt wird, wird die erste Ungleichung zu einer falschen numerischen Ungleichung 1>7 .

In ähnlicher Weise können wir die Definition einer Lösung für ein System von Ungleichungen mit zwei, drei oder mehr Variablen einführen:

Definition.

Lösen eines Systems von Ungleichungen mit zwei, drei usw. Variablen genannt ein Paar, Tripel usw. Werte dieser Variablen, was gleichzeitig eine Lösung für jede Ungleichung des Systems ist, das heißt, es verwandelt jede Ungleichung des Systems in eine echte numerische Ungleichung.

Beispielsweise ist ein Wertepaar x=1 , y=2 , oder in einer anderen Notation (1, 2) eine Lösung für ein Ungleichungssystem mit zwei Variablen, da 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

Systeme von Ungleichungen können keine Lösungen haben, können eine endliche Anzahl von Lösungen haben oder können unendlich viele Lösungen haben. Man spricht oft von einer Menge von Lösungen für ein System von Ungleichungen. Wenn ein System keine Lösungen hat, dann gibt es eine leere Menge seiner Lösungen. Wenn es endlich viele Lösungen gibt, dann enthält die Lösungsmenge endlich viele Elemente, und wenn es unendlich viele Lösungen gibt, dann besteht die Lösungsmenge aus unendlich vielen Elementen.

Einige Quellen führen Definitionen einer bestimmten und allgemeinen Lösung für ein System von Ungleichungen ein, wie zum Beispiel in Mordkovichs Lehrbüchern. Unter eine bestimmte Lösung für das System der Ungleichungen verstehe seine eine einzige Lösung. Wiederum allgemeine Lösung des Systems der Ungleichungen- das sind alles ihre privaten Entscheidungen. Sinnvoll sind diese Begriffe allerdings nur, wenn betont werden soll, um welche Lösung es sich handelt, was aber meist schon aus dem Kontext klar wird, daher ist es viel gebräuchlicher, einfach „Lösung eines Systems von Ungleichungen“ zu sagen.

Aus den in diesem Artikel eingeführten Definitionen eines Ungleichungssystems und seiner Lösungen folgt, dass die Lösung eines Ungleichungssystems der Schnittpunkt der Lösungsmengen aller Ungleichungen dieses Systems ist.

Referenzliste.

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2. Algebra: Klasse 9: Lehrbuch. für Allgemeinbildung Institutionen / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teljakowski. - 16. Aufl. - M. : Bildung, 2009. - 271 p. : krank. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Mordkowitsch A. G. Algebra. Klasse 9 Um 14 Uhr Teil 1. Lehrbuch für Studenten von Bildungseinrichtungen / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. Aufl., Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 S.: mit Abb. ISBN 978-5-346-01752-3.
4. Mordkowitsch A. G. Algebra und Beginn der mathematischen Analysis. Klasse 11. Um 14 Uhr Teil 1. Lehrbuch für Studenten von Bildungseinrichtungen (Profilebene) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. Aufl., gelöscht. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 S.: mit Abb. ISBN 978-5-346-01027-2.
5. BENUTZEN-2013. Mathematik: typische Prüfungsoptionen: 30 Optionen / Ed. A. L. Semenova, I. V. Yashchenko. - M .: Verlag "National Education", 2012. - 192 p. - (USE-2013. FIPI - Schule).

jede Sammlung von zwei oder mehr linearen Ungleichungen, die dieselbe unbekannte Größe enthalten, wird aufgerufen

Hier sind Beispiele für solche Systeme:

Das Schnittintervall zweier Strahlen ist unsere Lösung. Daher ist die Lösung dieser Ungleichung alles X liegt zwischen zwei und acht.

Antworten: X

Die Anwendung dieser Art der Abbildung der Lösung eines Systems von Ungleichungen wird manchmal genannt Dach Methode.

Definition: Der Schnittpunkt zweier Mengen SONDERN und BEIM wird eine solche dritte Menge genannt, die alle Elemente enthält, die in und in enthalten sind SONDERN und in BEIM. Dies ist die Bedeutung der Schnittmenge von Mengen beliebiger Natur. Wir betrachten jetzt numerische Mengen im Detail, daher sind solche Mengen beim Auffinden linearer Ungleichungen Strahlen - gleich gerichtet, gegen gerichtet und so weiter.

Lass es uns in echt herausfinden Beispiele Finden von linearen Systemen von Ungleichungen, wie man den Schnittpunkt der Mengen von Lösungen für einzelne Ungleichungen bestimmt, die im System enthalten sind.

Berechnen System der Ungleichheiten:

Legen wir zwei Kraftlinien untereinander. Ganz oben setzen wir diese Werte X, die die erste Ungleichung erfüllen x>7 , und unten - die als Lösung für die zweite Ungleichung dienen x>10 Wir korrelieren die Ergebnisse der Zahlenstrahlen, finden heraus, dass beide Ungleichungen erfüllt sein werden x>10.

Antwort: (10;+∞).

Wir tun analog zur ersten Probe. Zeichnen Sie alle diese Werte auf einer bestimmten numerischen Achse X für die das erste existiert Systemungleichheit, und auf der zweiten numerischen Achse, platziert unter der ersten, all diese Werte X, für die die zweite Ungleichung des Systems erfüllt ist. Lassen Sie uns diese beiden Ergebnisse vergleichen und feststellen, dass beide Ungleichungen gleichzeitig für alle Werte erfüllt werden X zwischen 7 und 10 gelegen, unter Berücksichtigung der Vorzeichen, erhalten wir 7<x≤10

Antwort: (7; 10).

Die folgenden werden auf die gleiche Weise gelöst. Systeme der Ungleichheit.