Die Funktion $z=f(x,y)$ sei definiert und stetig in einem beschränkten geschlossenen Bereich $D$. Die gegebene Funktion habe in diesem Bereich endliche partielle Ableitungen erster Ordnung (mit der möglichen Ausnahme einer endlichen Anzahl von Punkten). Um die größten und kleinsten Werte einer Funktion zweier Variablen in einem gegebenen geschlossenen Bereich zu finden, sind drei Schritte eines einfachen Algorithmus erforderlich.
Algorithmus zum Finden der größten und kleinsten Werte der Funktion $z=f(x,y)$ im geschlossenen Bereich $D$.
- Finden Sie die kritischen Punkte der Funktion $z=f(x,y)$, die zur Region $D$ gehören. Berechnen Sie Funktionswerte an kritischen Punkten.
- Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion $z=f(x,y)$ auf der Grenze der Region $D$, indem Sie die Punkte möglicher Maximal- und Minimalwerte finden. Berechnen Sie die Funktionswerte an den erhaltenen Punkten.
- Wählen Sie aus den in den beiden vorherigen Absätzen erhaltenen Funktionswerten den größten und den kleinsten aus.
Was sind kritische Punkte? Anzeigen Ausblenden
Unter kritische Punkte implizieren Punkte, an denen beide partiellen Ableitungen erster Ordnung gleich Null sind (also $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ und $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) oder mindestens eine partielle Ableitung existiert nicht.
Oft werden die Punkte genannt, an denen die partiellen Ableitungen erster Ordnung gleich Null sind stationäre Punkte. Somit sind stationäre Punkte eine Teilmenge kritischer Punkte.
Beispiel 1
Finden Sie die maximalen und minimalen Werte der Funktion $z=x^2+2xy-y^2-4x$ in der geschlossenen Region, die durch die Linien $x=3$, $y=0$ und $y=x begrenzt ist +1$.
Wir werden dem Obigen folgen, aber zuerst werden wir uns mit der Zeichnung eines bestimmten Bereichs befassen, den wir mit dem Buchstaben $D$ bezeichnen werden. Gegeben sind die Gleichungen dreier Geraden, die diesen Bereich begrenzen. Die Gerade $x=3$ geht durch den Punkt $(3;0)$ parallel zur y-Achse (Achse Oy). Die Gerade $y=0$ ist die Gleichung der Abszissenachse (Ox-Achse). Nun, um eine gerade Linie $y=x+1$ zu konstruieren, suchen wir zwei Punkte, durch die wir diese gerade Linie ziehen. Sie können natürlich ein paar beliebige Werte anstelle von $x$ ersetzen. Wenn wir zum Beispiel $x=10$ ersetzen, erhalten wir: $y=x+1=10+1=11$. Wir haben den Punkt $(10;11)$ gefunden, der auf der Geraden $y=x+1$ liegt. Es ist jedoch besser, die Punkte zu finden, an denen sich die Linie $y=x+1$ mit den Linien $x=3$ und $y=0$ schneidet. Warum ist es besser? Denn wir legen ein paar Fliegen mit einer Klappe: Wir bekommen zwei Punkte für die Konstruktion der Geraden $y=x+1$ und finden gleichzeitig heraus, an welchen Punkten diese Gerade andere Geraden schneidet, die das Gegebene begrenzen Bereich. Die Linie $y=x+1$ schneidet die Linie $x=3$ am Punkt $(3;4)$ und die Linie $y=0$ - am Punkt $(-1;0)$. Um den Ablauf der Lösung nicht mit Hilfserläuterungen zu verstopfen, werde ich die Frage nach der Gewinnung dieser beiden Punkte in einer Anmerkung festhalten.
Wie wurden die Punkte $(3;4)$ und $(-1;0)$ erzielt? Anzeigen Ausblenden
Beginnen wir am Schnittpunkt der Linien $y=x+1$ und $x=3$. Die Koordinaten des gewünschten Punktes gehören sowohl zur ersten als auch zur zweiten Zeile. Um also unbekannte Koordinaten zu finden, müssen Sie das Gleichungssystem lösen:
$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & x=3. \end(aligned) \right. $$
Die Lösung eines solchen Systems ist trivial: Durch Einsetzen von $x=3$ in die erste Gleichung erhalten wir: $y=3+1=4$. Der Punkt $(3;4)$ ist der gewünschte Schnittpunkt der Linien $y=x+1$ und $x=3$.
Suchen wir nun den Schnittpunkt der Linien $y=x+1$ und $y=0$. Wiederum stellen wir das Gleichungssystem auf und lösen es:
$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & y=0. \end(aligned) \right. $$
Setzen wir $y=0$ in die erste Gleichung ein, erhalten wir: $0=x+1$, $x=-1$. Der Punkt $(-1;0)$ ist der gewünschte Schnittpunkt der Linien $y=x+1$ und $y=0$ (Abszissenachse).
Alles ist bereit, um eine Zeichnung zu erstellen, die so aussehen wird:
Die Frage nach dem Zettel liegt auf der Hand, denn aus der Figur ist alles ersichtlich. Es sei jedoch daran erinnert, dass die Zeichnung nicht als Beweis dienen kann. Die Abbildung dient nur der Verdeutlichung.
Unser Bereich wurde unter Verwendung der Liniengleichungen festgelegt, die ihn begrenzen. Es ist offensichtlich, dass diese Linien ein Dreieck definieren, nicht wahr? Oder nicht ganz offensichtlich? Oder vielleicht bekommen wir einen anderen Bereich, der von denselben Linien begrenzt wird:
Die Bedingung besagt natürlich, dass der Bereich geschlossen ist, also ist das gezeigte Bild falsch. Aber um solche Mehrdeutigkeiten zu vermeiden, ist es besser, Regionen durch Ungleichheiten zu definieren. Uns interessiert der Teil des Flugzeugs, der sich unter der Linie $y=x+1$ befindet? Ok, also $y ≤ x+1$. Unser Bereich soll oberhalb der Linie $y=0$? Großartig, also $y ≥ 0$. Die letzten beiden Ungleichungen lassen sich übrigens ganz einfach zu einer zusammenfassen: $0 ≤ y ≤ x+1$.
$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(aligned) \right. $$
Diese Ungleichungen definieren die Domäne $D$ und definieren sie eindeutig, ohne Mehrdeutigkeiten. Aber wie hilft uns das bei der Frage am Anfang der Fußnote? Es wird auch helfen :) Wir müssen prüfen, ob der Punkt $M_1(1;1)$ zur Region $D$ gehört. Lassen Sie uns $x=1$ und $y=1$ in das Ungleichungssystem einsetzen, das diese Region definiert. Wenn beide Ungleichungen erfüllt sind, liegt der Punkt innerhalb der Region. Wenn mindestens eine der Ungleichungen nicht erfüllt ist, gehört der Punkt nicht zur Region. So:
$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right.$$
Beide Ungleichungen sind wahr. Der Punkt $M_1(1;1)$ gehört zur Region $D$.
Nun ist es an der Reihe, das Verhalten der Funktion am Rand des Definitionsbereichs zu untersuchen, d.h. gehe zu. Beginnen wir mit der Geraden $y=0$.
Die Gerade $y=0$ (Abszissenachse) begrenzt den Bereich $D$ unter der Bedingung $-1 ≤ x ≤ 3$. Setze $y=0$ in die gegebene Funktion $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$ ein. Die resultierende Substitutionsfunktion einer Variablen $x$ wird als $f_1(x)$ bezeichnet:
$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$
Nun müssen wir für die Funktion $f_1(x)$ die größten und kleinsten Werte im Intervall $-1 ≤ x ≤ 3$ finden. Finden Sie die Ableitung dieser Funktion und setzen Sie sie mit Null gleich:
$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$
Der Wert $x=2$ gehört zum Segment $-1 ≤ x ≤ 3$, also fügen wir der Punkteliste auch $M_2(2;0)$ hinzu. Außerdem berechnen wir die Werte der Funktion $z$ an den Enden der Strecke $-1 ≤ x ≤ 3$, also an den Punkten $M_3(-1;0)$ und $M_4(3;0)$. Übrigens, wenn der Punkt $M_2$ nicht zu dem betrachteten Segment gehören würde, wäre es natürlich nicht nötig, den Wert der Funktion $z$ darin zu berechnen.
Berechnen wir also die Werte der Funktion $z$ an den Punkten $M_2$, $M_3$, $M_4$. Sie können natürlich die Koordinaten dieser Punkte im ursprünglichen Ausdruck $z=x^2+2xy-y^2-4x$ ersetzen. Zum Beispiel erhalten wir für den Punkt $M_2$:
$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$
Die Berechnungen können jedoch etwas vereinfacht werden. Um dies zu tun, ist es wichtig, sich daran zu erinnern, dass wir auf dem Segment $M_3M_4$ $z(x,y)=f_1(x)$ haben. Ich buchstabiere es im Detail:
\begin(aligned) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(ausgerichtet)
Natürlich sind solche detaillierten Einträge normalerweise nicht erforderlich, und wir werden in Zukunft beginnen, alle Berechnungen in kürzerer Form aufzuschreiben:
$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$
Wenden wir uns nun der Geraden $x=3$ zu. Diese Linie begrenzt den Bereich $D$ unter der Bedingung $0 ≤ y ≤ 4$. Ersetzen Sie $x=3$ in die gegebene Funktion $z$. Als Ergebnis einer solchen Substitution erhalten wir die Funktion $f_2(y)$:
$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$
Für die Funktion $f_2(y)$ müssen Sie den größten und kleinsten Wert im Intervall $0 ≤ y ≤ 4$ finden. Finden Sie die Ableitung dieser Funktion und setzen Sie sie mit Null gleich:
$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$
Der Wert $y=3$ gehört zum Segment $0 ≤ y ≤ 4$, also fügen wir $M_5(3;3)$ zu den zuvor gefundenen Punkten hinzu. Außerdem ist es notwendig, den Wert der Funktion $z$ an den Punkten an den Enden der Strecke $0 ≤ y ≤ 4$ zu berechnen, d.h. an den Punkten $M_4(3;0)$ und $M_6(3;4)$. An der Stelle $M_4(3;0)$ haben wir bereits den Wert von $z$ berechnet. Berechnen wir den Wert der Funktion $z$ an den Punkten $M_5$ und $M_6$. Ich möchte Sie daran erinnern, dass wir auf dem Segment $M_4M_6$ $z(x,y)=f_2(y)$ haben, also:
\begin(aligned) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(ausgerichtet)
Und schließlich betrachten wir die letzte Grenze von $D$, d.h. Zeile $y=x+1$. Diese Linie begrenzt den Bereich $D$ unter der Bedingung $-1 ≤ x ≤ 3$. Setzen wir $y=x+1$ in die Funktion $z$ ein, erhalten wir:
$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$
Wieder haben wir eine Funktion einer Variablen $x$. Und wieder müssen Sie den größten und kleinsten Wert dieser Funktion auf dem Segment $-1 ≤ x ≤ 3$ finden. Finden Sie die Ableitung der Funktion $f_(3)(x)$ und setzen Sie sie mit Null gleich:
$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$
Der Wert $x=1$ gehört zum Intervall $-1 ≤ x ≤ 3$. Wenn $x=1$, dann $y=x+1=2$. Lassen Sie uns $M_7(1;2)$ zur Liste der Punkte hinzufügen und herausfinden, welchen Wert die Funktion $z$ an dieser Stelle hat. Die Punkte an den Enden des Segments $-1 ≤ x ≤ 3$, d.h. Die Punkte $M_3(-1;0)$ und $M_6(3;4)$ wurden früher betrachtet, wir haben den Wert der Funktion bereits darin gefunden.
$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$
Der zweite Schritt der Lösung ist abgeschlossen. Wir haben sieben Werte:
$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$
Wenden wir uns zu. Wenn wir die größten und kleinsten Werte aus den im dritten Absatz erhaltenen Zahlen auswählen, haben wir:
$$z_(min)=-4; \; z_(max)=6.$$
Das Problem ist gelöst, es bleibt nur die Antwort aufzuschreiben.
Antworten: $z_(min)=-4; \; z_(max)=6$.
Beispiel #2
Finde den größten und kleinsten Wert der Funktion $z=x^2+y^2-12x+16y$ im Bereich $x^2+y^2 ≤ 25$.
Lassen Sie uns zuerst eine Zeichnung erstellen. Die Gleichung $x^2+y^2=25$ (das ist die Grenzlinie der gegebenen Fläche) definiert einen Kreis mit einem Mittelpunkt im Ursprung (d.h. am Punkt $(0;0)$) und einem Radius von 5. Die Ungleichung $x^2 +y^2 ≤ 25$ erfüllt alle Punkte innerhalb und auf dem erwähnten Kreis.
Wir werden handeln. Lassen Sie uns partielle Ableitungen finden und die kritischen Punkte herausfinden.
$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$
Es gibt keine Punkte, an denen die gefundenen partiellen Ableitungen nicht existieren. Finden wir heraus, an welchen Stellen beide partiellen Ableitungen gleichzeitig gleich Null sind, d.h. stationäre Punkte finden.
$$ \left \( \begin(aligned) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & x =6;\\ & y=-8.\end(aligned) \right.$$
Wir haben einen stationären Punkt $(6;-8)$. Der gefundene Punkt gehört jedoch nicht zur Region $D$. Dies ist leicht zu zeigen, ohne auf Zeichnen zurückzugreifen. Prüfen wir, ob die Ungleichung $x^2+y^2 ≤ 25$, die unseren Definitionsbereich $D$ definiert, gilt. Wenn $x=6$, $y=-8$, dann $x^2+y^2=36+64=100$, d.h. die Ungleichung $x^2+y^2 ≤ 25$ ist nicht erfüllt. Fazit: Der Punkt $(6;-8)$ gehört nicht zur Region $D$.
Somit gibt es keine kritischen Punkte innerhalb von $D$. Lass uns weitergehen zu. Wir müssen das Verhalten der Funktion am Rand der gegebenen Fläche untersuchen, d.h. auf dem Kreis $x^2+y^2=25$. Sie können natürlich $y$ durch $x$ ausdrücken und dann den resultierenden Ausdruck in unsere Funktion $z$ einsetzen. Aus der Kreisgleichung erhalten wir: $y=\sqrt(25-x^2)$ oder $y=-\sqrt(25-x^2)$. Wenn wir beispielsweise $y=\sqrt(25-x^2)$ in die gegebene Funktion einsetzen, erhalten wir:
$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5 ≤ x ≤ 5. $$
Die weitere Lösung ist völlig identisch mit der Untersuchung des Verhaltens der Funktion am Rand der Region im vorherigen Beispiel Nr. 1. Sinnvoller erscheint mir in dieser Situation jedoch die Anwendung der Lagrange-Methode. Uns interessiert nur der erste Teil dieser Methode. Nachdem wir den ersten Teil der Lagrange-Methode angewendet haben, werden wir Punkte erhalten und die Funktion $z$ auf die minimalen und maximalen Werte untersuchen.
Wir bilden die Lagrange-Funktion:
$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$
Wir finden die partiellen Ableitungen der Lagrange-Funktion und stellen das entsprechende Gleichungssystem auf:
$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (ausgerichtet) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\end(ausgerichtet) \ rechts. \;\; \left \( \begin(aligned) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( ausgerichtet)\right.$$
Um dieses System zu lösen, lassen Sie uns sofort angeben, dass $\lambda\neq -1$. Warum $\lambda\neq -1$? Versuchen wir, $\lambda=-1$ in die erste Gleichung einzusetzen:
$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$
Der resultierende Widerspruch $0=6$ besagt, dass der Wert $\lambda=-1$ ungültig ist. Ausgabe: $\lambda\neq -1$. Lassen Sie uns $x$ und $y$ durch $\lambda$ ausdrücken:
\begin(aligned) & x+\lambda x=6;\; x(1+λ)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+λ)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(ausgerichtet)
Ich glaube, hier wird deutlich, warum wir gerade die Bedingung $\lambda\neq -1$ festgelegt haben. Dies wurde gemacht, um den Ausdruck $1+\lambda$ störungsfrei in die Nenner einzufügen. Das heißt, um sicherzugehen, dass der Nenner $1+\lambda\neq 0$ ist.
Lassen Sie uns die erhaltenen Ausdrücke für $x$ und $y$ in die dritte Gleichung des Systems einsetzen, d.h. in $x^2+y^2=25$:
$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+λ)^2)+\frac(64)((1+λ)^2)=25;\\ \frac(100)((1+λ)^2)=25 ; \; (1+λ)^2=4. $$
Aus der resultierenden Gleichheit folgt $1+\lambda=2$ bzw. $1+\lambda=-2$. Daher haben wir zwei Werte des Parameters $\lambda$, nämlich: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Dementsprechend erhalten wir zwei Wertepaare $x$ und $y$:
\begin(aligned) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(ausgerichtet)
Wir haben also zwei Punkte eines möglichen bedingten Extremums, d.h. $M_1(3;-4)$ und $M_2(-3;4)$. Finden Sie die Werte der Funktion $z$ an den Punkten $M_1$ und $M_2$:
\begin(aligned) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(ausgerichtet)
Wir sollten die größten und kleinsten Werte aus denen auswählen, die wir im ersten und zweiten Schritt erhalten haben. Aber in diesem Fall ist die Auswahl klein :) Wir haben:
$$z_(min)=-75; \; z_(max)=125. $$
Antworten: $z_(min)=-75; \; z_(max)=125$.
Der Standardalgorithmus zur Lösung solcher Aufgaben beinhaltet nach dem Auffinden der Nullstellen der Funktion die Bestimmung der Vorzeichen der Ableitung der Intervalle. Dann die Berechnung der Werte an den gefundenen maximalen (oder minimalen) Punkten und an der Grenze des Intervalls, je nachdem, welche Frage in der Bedingung steht.
Ich rate Ihnen, die Dinge ein wenig anders zu machen. Wieso den? Habe darüber geschrieben.
Ich schlage vor, solche Aufgaben wie folgt zu lösen:
1. Finden Sie die Ableitung.
2. Finde die Nullstellen der Ableitung.
3. Bestimmen Sie, welche davon zu dem gegebenen Intervall gehören.
4. Wir berechnen die Werte der Funktion an den Grenzen des Intervalls und der Punkte von Punkt 3.
5. Wir ziehen eine Schlussfolgerung (wir beantworten die gestellte Frage).
Im Zuge der Lösung der vorgestellten Beispiele wird die Lösung quadratischer Gleichungen nicht näher betrachtet, Sie sollten dazu in der Lage sein. Sie sollten es auch wissen.
Betrachten Sie Beispiele:
77422. Finde den größten Wert der Funktion y=x 3 –3x+4 auf dem Segment [–2;0].
Finden wir die Nullstellen der Ableitung:
Der Punkt x = –1 gehört zu dem in der Bedingung angegebenen Intervall.
Wir berechnen die Funktionswerte an den Punkten –2, –1 und 0:
Der größte Wert der Funktion ist 6.
Antwort: 6
77425. Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion y \u003d x 3 - 3x 2 + 2 auf dem Segment.
Finden Sie die Ableitung der gegebenen Funktion:
Finden wir die Nullstellen der Ableitung:
Der Punkt x = 2 gehört zu dem in der Bedingung angegebenen Intervall.
Wir berechnen die Funktionswerte an den Punkten 1, 2 und 4:
Der kleinste Wert der Funktion ist -2.
Antwort: -2
77426. Finden Sie den größten Wert der Funktion y \u003d x 3 - 6x 2 auf dem Segment [-3; 3].
Finden Sie die Ableitung der gegebenen Funktion:
Finden wir die Nullstellen der Ableitung:
Der Punkt x = 0 gehört zu dem in der Bedingung angegebenen Intervall.
Wir berechnen die Funktionswerte an den Punkten –3, 0 und 3:
Der kleinste Wert der Funktion ist 0.
Antwort: 0
77429. Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion y \u003d x 3 - 2x 2 + x + 3 auf dem Segment.
Finden Sie die Ableitung der gegebenen Funktion:
3x 2 - 4x + 1 = 0
Wir bekommen die Wurzeln: x 1 \u003d 1 x 1 \u003d 1/3.
Nur x = 1 gehört zu dem in der Bedingung angegebenen Intervall.
Finden Sie die Funktionswerte an den Punkten 1 und 4:
Wir haben festgestellt, dass der kleinste Wert der Funktion 3 ist.
Antwort: 3
77430. Finden Sie den größten Wert der Funktion y \u003d x 3 + 2x 2 + x + 3 auf dem Segment [- 4; -ein].
Finden Sie die Ableitung der gegebenen Funktion:
Finden Sie die Nullstellen der Ableitung, lösen Sie die quadratische Gleichung:
3x 2 + 4x + 1 = 0
Kommen wir zu den Wurzeln:
Die Wurzel х = –1 gehört zu dem in der Bedingung angegebenen Intervall.
Finden Sie die Funktionswerte an den Punkten –4, –1, –1/3 und 1:
Wir haben festgestellt, dass der größte Wert der Funktion 3 ist.
Antwort: 3
77433. Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion y \u003d x 3 - x 2 - 40x +3 auf dem Segment.
Finden Sie die Ableitung der gegebenen Funktion:
Finden Sie die Nullstellen der Ableitung, lösen Sie die quadratische Gleichung:
3x 2 - 2x - 40 = 0
Kommen wir zu den Wurzeln:
Die Wurzel x = 4 gehört zu dem in der Bedingung angegebenen Intervall.
Wir finden die Werte der Funktion an den Punkten 0 und 4:
Wir haben festgestellt, dass der kleinste Wert der Funktion -109 ist.
Antwort: -109
Betrachten Sie eine Methode zur Bestimmung der größten und kleinsten Werte von Funktionen ohne Ableitung. Dieser Ansatz kann verwendet werden, wenn Sie große Probleme mit der Definition der Ableitung haben. Das Prinzip ist einfach: Wir setzen alle ganzzahligen Werte aus dem Intervall in die Funktion ein (Tatsache ist, dass in allen solchen Prototypen die Antwort eine ganze Zahl ist).
77437. Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion y \u003d 7 + 12x - x 3 auf dem Segment [-2;2].
Wir ersetzen Punkte von -2 bis 2: Lösung anzeigen
77434. Finden Sie den größten Wert der Funktion y \u003d x 3 + 2x 2 - 4x + 4 im Segment [-2; 0].
Das ist alles. Viel Glück!
Mit freundlichen Grüßen Alexander Krutitskikh.
P.S: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie in sozialen Netzwerken über die Website berichten.
Und um es zu lösen, benötigen Sie minimale Kenntnisse des Themas. Das nächste Studienjahr geht zu Ende, alle wollen in den Urlaub, und um diesen Moment näher zu bringen, komme ich gleich zur Sache:
Beginnen wir mit dem Bereich. Der in der Bedingung genannte Bereich ist begrenzt geschlossen Menge von Punkten in der Ebene. Zum Beispiel eine Reihe von Punkten, die durch ein Dreieck begrenzt sind, einschließlich des GESAMTEN Dreiecks (wenn von Grenzen Mindestens einen Punkt „herausstechen“, dann wird der Bereich nicht mehr geschlossen). In der Praxis gibt es auch Bereiche mit rechteckigen, runden und etwas komplexeren Formen. Es sollte beachtet werden, dass in der Theorie der mathematischen Analyse strenge Definitionen gegeben werden Beschränkungen, Isolation, Grenzen usw., aber ich denke, jeder ist sich dieser Konzepte auf einer intuitiven Ebene bewusst, und mehr ist jetzt nicht erforderlich.
Der flache Bereich wird standardmäßig mit dem Buchstaben bezeichnet und in der Regel analytisch angegeben - durch mehrere Gleichungen (nicht unbedingt linear); seltener Ungleichheiten. Ein typischer Wortwechsel: „Geschlossener Bereich, begrenzt durch Linien“.
Ein wesentlicher Bestandteil der betrachteten Aufgabe ist die Konstruktion des Bereichs auf der Zeichnung. Wie kann man es machen? Es müssen alle aufgeführten Linien gezeichnet werden (in diesem Fall 3 gerade) und analysieren, was passiert ist. Der gewünschte Bereich wird normalerweise leicht schraffiert und sein Rand mit einer dicken Linie hervorgehoben: 
Derselbe Bereich kann eingestellt werden Lineare Ungleichungen: , die aus irgendeinem Grund häufiger als Aufzählungsliste geschrieben werden, und nicht System.
Da die Grenze zur Region gehört, sind natürlich alle Ungleichheiten nicht streng.
Und jetzt der springende Punkt. Stellen Sie sich vor, die Achse geht vom Koordinatenursprung direkt zu Ihnen. Betrachten Sie eine Funktion, die kontinuierlich in jedem Gebietspunkt. Der Graph dieser Funktion ist Fläche, und das kleine Glück ist, dass wir zur Lösung des heutigen Problems überhaupt nicht wissen müssen, wie diese Oberfläche aussieht. Es kann sich über, unter, über dem Flugzeug befinden - all dies ist nicht wichtig. Und folgendes ist wichtig: gem Weierstraß-Theoreme, kontinuierlich in begrenzt geschlossen Bereich erreicht die Funktion ihr Maximum (von den "Höchsten") und am wenigsten (von den "niedrigsten") Werte zu finden. Diese Werte werden erreicht oder in stationäre Punkte, Zugehörigkeit zur RegionD , oder an Punkten, die auf der Grenze dieser Region liegen. Daraus folgt ein einfacher und transparenter Lösungsalgorithmus:
Beispiel 1
In einem begrenzten geschlossenen Bereich
Entscheidung: Zunächst müssen Sie den Bereich auf der Zeichnung darstellen. Leider ist es für mich technisch schwierig, ein interaktives Modell des Problems zu erstellen, und deshalb werde ich sofort die endgültige Illustration geben, die alle "verdächtigen" Punkte zeigt, die während der Studie gefunden wurden. Normalerweise werden sie nacheinander abgelegt, wenn sie gefunden werden: 
Basierend auf der Präambel kann die Entscheidung bequem in zwei Punkte unterteilt werden:
I) Lassen Sie uns stationäre Punkte finden. Dies ist eine Standardaktion, die wir in der Lektion wiederholt durchgeführt haben. über Extrema mehrerer Variablen:
Festpunkt gefunden gehört Bereiche: (markiere es auf der Zeichnung), was bedeutet, dass wir den Wert der Funktion an einem bestimmten Punkt berechnen sollten:
- wie im Artikel Die größten und kleinsten Werte einer Funktion auf einem Segment, werde ich die wichtigen Ergebnisse fett hervorheben. In einem Notizbuch ist es praktisch, sie mit einem Bleistift einzukreisen.
Achten Sie auf unser zweites Glück - es macht keinen Sinn, es zu überprüfen hinreichende Bedingung für ein Extremum. Wieso den? Auch wenn an dem Punkt, an dem die Funktion beispielsweise erreicht, lokales Minimum, dann BEDEUTET dies NICHT, dass der resultierende Wert sein wird minimal in der ganzen Region (Siehe Anfang der Lektion über unbedingte Extreme) .
Was ist, wenn der stationäre Punkt NICHT zur Fläche gehört? Fast nichts! Es sollte beachtet werden, dass und zum nächsten Absatz gehen.
II) Wir untersuchen die Grenze der Region.
Da die Grenze aus den Seiten eines Dreiecks besteht, ist es zweckmäßig, die Studie in 3 Unterabsätze zu unterteilen. Aber es ist besser, es nicht zu tun. Aus meiner Sicht ist es zunächst vorteilhafter, Strecken parallel zu den Koordinatenachsen zu betrachten, und zwar zunächst solche, die auf den Achsen selbst liegen. Um die ganze Abfolge und Logik der Handlungen zu erfassen, versuchen Sie, das Ende „in einem Atemzug“ zu studieren:
1) Beschäftigen wir uns mit der unteren Seite des Dreiecks. Dazu setzen wir direkt in die Funktion ein:
Alternativ kannst du es auch so machen: 
Geometrisch bedeutet dies die Koordinatenebene (was auch durch die Gleichung gegeben ist)"ausgeschnitten" aus Oberflächen"räumliche" Parabel, deren Spitze sofort in Verdacht gerät. Lass es uns herausfinden wo ist sie:
- der resultierende Wert "trifft" in den Bereich, und es kann gut sein, dass an der Stelle (Markierung auf der Zeichnung) die Funktion erreicht den größten oder kleinsten Wert im gesamten Bereich. Wie auch immer, machen wir die Berechnungen:
Andere "Kandidaten" sind natürlich die Enden des Segments. Berechnen Sie die Werte der Funktion in Punkten 
(Markierung auf der Zeichnung):
Hier können Sie übrigens einen mündlichen Mini-Check der „abgespeckten“ Version durchführen: 
2) Um die rechte Seite des Dreiecks zu untersuchen, setzen wir sie in die Funktion ein und „ordnen dort die Dinge“:
Hier machen wir gleich einen groben Check, indem wir das bereits bearbeitete Ende des Segments „klingeln“ lassen:
, perfekt.
Die geometrische Situation hängt mit dem vorherigen Punkt zusammen:
- Der resultierende Wert ist auch „in den Bereich unserer Interessen eingetreten“, was bedeutet, dass wir berechnen müssen, was die Funktion an der erschienenen Stelle ist:
Untersuchen wir das zweite Ende des Segments:
Verwendung der Funktion 
, Lass uns das Prüfen: 
3) Jeder weiß wahrscheinlich, wie man die verbleibende Seite erkundet. Wir setzen in die Funktion ein und führen Vereinfachungen durch:
Zeile endet 
wurden bereits untersucht, aber auf dem Entwurf prüfen wir noch, ob wir die Funktion richtig gefunden haben 
:
– stimmte mit dem Ergebnis von Unterabsatz 1 überein;
– deckte sich mit dem Ergebnis von Unterabsatz 2.
Es bleibt abzuwarten, ob es in dem Segment etwas Interessantes gibt:
- Es gibt! Setzen wir eine Gerade in die Gleichung ein, erhalten wir die Ordinate dieser „Interessanz“:
Wir markieren einen Punkt auf der Zeichnung und finden den entsprechenden Wert der Funktion:
Kontrollieren wir die Berechnungen nach der "Budget" -Version 
:
, Befehl.
Und der letzte Schritt: SORGFÄLTIG alle "fetten" Zahlen durchsehen, ich empfehle auch Anfängern, eine einzige Liste zu machen: 
aus denen wir den größten und den kleinsten Wert auswählen. Antworten schreiben Sie im Stil des Findungsproblems die größten und kleinsten Werte der Funktion im Intervall:
Für alle Fälle werde ich noch einmal auf die geometrische Bedeutung des Ergebnisses eingehen:
– hier ist der höchste Punkt der Oberfläche in der Region;
- hier ist der tiefste Punkt der Oberfläche in der Gegend.
In dem analysierten Problem haben wir 7 „verdächtige“ Punkte gefunden, aber ihre Anzahl variiert von Aufgabe zu Aufgabe. Für eine dreieckige Region besteht der minimale "Explorationssatz" aus drei Punkten. Dies geschieht beispielsweise beim Setzen der Funktion Flugzeug- Es ist ziemlich klar, dass es keine stationären Punkte gibt und die Funktion die maximalen / minimalen Werte nur an den Eckpunkten des Dreiecks erreichen kann. Aber solche Beispiele gibt es nicht einmal, zweimal - normalerweise muss man sich mit irgendeiner Art auseinandersetzen Oberfläche 2. Ordnung.
Wenn Sie solche Aufgaben ein wenig lösen, können Dreiecke Ihnen den Kopf verdrehen, und deshalb habe ich ungewöhnliche Beispiele für Sie vorbereitet, um es quadratisch zu machen :))
Beispiel 2
Finden Sie den größten und kleinsten Wert einer Funktion 
in einem durch Linien begrenzten geschlossenen Bereich
Beispiel 3
Finden Sie die größten und kleinsten Werte einer Funktion in einem begrenzten geschlossenen Bereich.
Achten Sie besonders auf die rationelle Reihenfolge und Technik der Untersuchung der Bereichsgrenze sowie auf die Kette der Zwischenprüfungen, die Rechenfehler fast vollständig vermeiden. Im Allgemeinen können Sie es nach Belieben lösen, aber bei einigen Problemen, beispielsweise in demselben Beispiel 2, besteht jede Chance, Ihr Leben erheblich zu verkomplizieren. Ein ungefähres Beispiel für das Beenden von Aufgaben am Ende der Lektion.
Wir systematisieren den Lösungsalgorithmus, sonst ist er mit meinem Fleiß einer Spinne irgendwie in einem langen Kommentarstrang des 1. Beispiels verloren gegangen:
- Im ersten Schritt bauen wir einen Bereich, es ist wünschenswert, ihn zu schattieren und die Grenze mit einer dicken Linie hervorzuheben. Während der Lösung erscheinen Punkte, die auf die Zeichnung gesetzt werden müssen.
– Finden Sie stationäre Punkte und berechnen Sie die Werte der Funktion nur in denen, die zum Gebiet gehören . Die erhaltenen Werte werden im Text hervorgehoben (z. B. mit einem Bleistift eingekreist). Gehört der stationäre Punkt NICHT zum Bereich, dann markieren wir diese Tatsache mit einem Icon oder verbal. Wenn es überhaupt keine stationären Punkte gibt, ziehen wir eine schriftliche Schlussfolgerung, dass sie fehlen. In jedem Fall kann dieser Punkt nicht übersprungen werden!
– Erkundung des Grenzgebiets. Erstens ist es vorteilhaft, mit geraden Linien zu arbeiten, die parallel zu den Koordinatenachsen sind (falls es welche gibt). Auch die an „verdächtigen“ Stellen berechneten Funktionswerte werden hervorgehoben. Oben wurde viel über die Lösungstechnik gesagt, und unten wird noch etwas anderes gesagt - lesen, erneut lesen, vertiefen!
- Wählen Sie aus den ausgewählten Zahlen den größten und den kleinsten Wert aus und geben Sie eine Antwort. Manchmal kommt es vor, dass die Funktion an mehreren Stellen gleichzeitig solche Werte erreicht – in diesem Fall sollten sich alle diese Punkte in der Antwort widerspiegeln. Lassen Sie zum Beispiel 
und es stellte sich heraus, dass dies der kleinste Wert ist. Dann schreiben wir das
Die letzten Beispiele sind anderen nützlichen Ideen gewidmet, die sich in der Praxis als nützlich erweisen werden:
Beispiel 4
Finden Sie die größten und kleinsten Werte einer Funktion in einem geschlossenen Bereich 
.
Daran erinnere ich Sie mit nichtlinear Wir sind auf Ungleichungen gestoßen, und wenn Sie die geometrische Bedeutung des Eintrags nicht verstehen, dann zögern Sie bitte nicht und klären Sie die Situation sofort ;-)
Entscheidung beginnt wie immer mit dem Bau des Geländes, das eine Art „Sohle“ ist: 
Hmm, manchmal muss man nicht nur am Granit der Wissenschaft nagen....
I) Stationäre Punkte finden: 
Idiotentraumsystem :) 
Der stationäre Punkt gehört zum Bereich, liegt nämlich auf dessen Rand.
Und so ist es nichts ... lustige Lektion ging - das bedeutet es, den richtigen Tee zu trinken =)
II) Wir untersuchen die Grenze der Region. Beginnen wir ohne weiteres mit der x-Achse:
1) Wenn, dann
Finde heraus, wo die Spitze der Parabel ist:
- Schätzen Sie solche Momente - "schlagen" Sie genau auf den Punkt, ab dem schon alles klar ist. Aber vergessen Sie nicht zu überprüfen: 
Lassen Sie uns die Werte der Funktion an den Enden des Segments berechnen: 
2) Wir werden uns mit dem unteren Teil der „Sohle“ „in einer Sitzung“ befassen - ohne Komplexe ersetzen wir sie in die Funktion, außerdem interessieren wir uns nur für das Segment:
Die Kontrolle:
Das bringt jetzt schon etwas Schwung in die eintönige Fahrt auf einer Rändelbahn. Finden wir die kritischen Punkte:
Wir entscheiden quadratische Gleichung erinnerst du dich an diesen? ... Aber denken Sie natürlich daran, sonst hätten Sie diese Zeilen nicht gelesen =) Wenn in den beiden vorherigen Beispielen Berechnungen in Dezimalbrüchen bequem waren (was übrigens selten vorkommt), dann warten wir hier auf die üblichen gewöhnlichen Brüche. Wir finden die „x“-Wurzeln und bestimmen mithilfe der Gleichung die entsprechenden „Spiel“-Koordinaten der „Kandidaten“-Punkte: 
Lassen Sie uns die Werte der Funktion an den gefundenen Punkten berechnen: 
Prüfen Sie die Funktion selbst.
Jetzt studieren wir sorgfältig die gewonnenen Trophäen und schreiben sie auf Antworten:
Hier sind die "Kandidaten", also die "Kandidaten"!
Für eine eigenständige Lösung:
Beispiel 5
Finden Sie den kleinsten und größten Wert einer Funktion 
in einem geschlossenen Bereich 
Ein Eintrag mit geschweiften Klammern lautet so: „eine Menge von Punkten, so dass“.
Manchmal verwenden sie in solchen Beispielen Lagrange-Multiplikator-Verfahren, aber die wirkliche Notwendigkeit, es zu verwenden, wird wahrscheinlich nicht entstehen. Wenn also zum Beispiel eine Funktion mit dem gleichen Bereich "de" gegeben ist, dann nach dem Einsetzen in sie - mit einer Ableitung ohne Schwierigkeiten; außerdem ist alles in einer „Einzeile“ (mit Vorzeichen) gezeichnet, ohne dass der obere und der untere Halbkreis getrennt betrachtet werden müssen. Aber natürlich gibt es kompliziertere Fälle, wo ohne die Lagrange-Funktion (wobei zum Beispiel dieselbe Kreisgleichung ist) es ist schwer zu überstehen - wie schwer ist es, ohne eine gute Erholung auszukommen!
Alles Gute zum Bestehen der Session und bis bald in der nächsten Saison!
Lösungen und Antworten:
Beispiel 2: Entscheidung: Zeichnen Sie den Bereich auf der Zeichnung:
Problemstellung 2:
Gegeben sei eine Funktion, die in einem bestimmten Intervall definiert und stetig ist. Es ist erforderlich, den größten (kleinsten) Wert der Funktion in diesem Intervall zu finden.
Theoretische Basis.
Satz (Zweiter Satz von Weierstraß):
Wenn eine Funktion in einem geschlossenen Intervall definiert und stetig ist, dann erreicht sie in diesem Intervall ihre Maximal- und Minimalwerte.
Die Funktion kann ihre Maximal- und Minimalwerte entweder an den internen Punkten des Intervalls oder an seinen Grenzen erreichen. Lassen Sie uns alle möglichen Optionen veranschaulichen. 
Erläuterung:
1) Die Funktion erreicht ihren Maximalwert am linken Rand des Intervalls im Punkt , und ihren Minimalwert am rechten Rand des Intervalls im Punkt .
2) Die Funktion erreicht ihren Maximalwert an dem Punkt (dies ist der Maximalpunkt) und ihren Minimalwert an der rechten Grenze des Intervalls an dem Punkt.
3) Die Funktion erreicht ihren Maximalwert am linken Rand des Intervalls am Punkt , und ihren Minimalwert am Punkt (dies ist der Minimalpunkt).
4) Die Funktion ist auf dem Intervall konstant, d.h. es erreicht seine minimalen und maximalen Werte an jedem Punkt im Intervall, und die minimalen und maximalen Werte sind einander gleich.
5) Die Funktion erreicht ihren Maximalwert am Punkt und ihren Minimalwert am Punkt (trotz der Tatsache, dass die Funktion in diesem Intervall sowohl ein Maximum als auch ein Minimum hat).
6) Die Funktion erreicht ihren Maximalwert an einem Punkt (dies ist der Maximalpunkt) und ihren Minimalwert an einem Punkt (dies ist der Minimalpunkt).
Kommentar:
"Maximum" und "Maximalwert" sind verschiedene Dinge. Dies ergibt sich aus der Definition des Maximums und dem intuitiven Verständnis des Begriffs „Maximalwert“.
Algorithmus zur Lösung von Problem 2.
4) Wählen Sie aus den erhaltenen Werten den größten (kleinsten) und schreiben Sie die Antwort auf.
Beispiel 4:
Bestimme den größten und kleinsten Wert einer Funktion 
auf dem Segment.
Entscheidung:
1) Finde die Ableitung der Funktion. 
2) Finde stationäre Punkte (und extremverdächtige Punkte) durch Lösen der Gleichung . Achten Sie auf die Punkte, an denen es keine zweiseitige endliche Ableitung gibt. 
3) Berechnen Sie die Werte der Funktion an stationären Punkten und an den Grenzen des Intervalls.
4) Wählen Sie aus den erhaltenen Werten den größten (kleinsten) und schreiben Sie die Antwort auf.
Die Funktion auf diesem Segment erreicht ihren Maximalwert an dem Punkt mit den Koordinaten .
Die Funktion auf diesem Segment erreicht ihren Minimalwert an dem Punkt mit den Koordinaten .
Sie können die Richtigkeit der Berechnungen überprüfen, indem Sie sich den Graphen der untersuchten Funktion ansehen. 
Kommentar: Die Funktion erreicht ihren Maximalwert am Maximalpunkt und den Minimalwert am Rand des Segments.
Besonderer Fall.
Angenommen, Sie möchten den maximalen und minimalen Wert einer Funktion auf einem Segment finden. Nach der Ausführung des ersten Absatzes des Algorithmus, d.h. Berechnung des Derivats wird deutlich, dass es beispielsweise nur negative Werte auf dem gesamten betrachteten Segment annimmt. Denken Sie daran, dass die Funktion abnimmt, wenn die Ableitung negativ ist. Wir haben festgestellt, dass die Funktion im gesamten Intervall abnimmt. Diese Situation ist in der Tabelle Nr. 1 am Anfang des Artikels dargestellt.
Die Funktion nimmt im Intervall ab, d.h. es hat keine Extrempunkte. Aus dem Bild ist ersichtlich, dass die Funktion den kleinsten Wert am rechten Rand des Segments und den größten Wert am linken Rand annimmt. Wenn die Ableitung des Intervalls überall positiv ist, steigt die Funktion. Der kleinste Wert steht am linken Rand des Segments, der größte rechts.
