Stammfunktion und unbestimmtes Integral

Fakt 1. Integration ist die umgekehrte Aktion der Differentiation, nämlich die Wiederherstellung einer Funktion aus der bekannten Ableitung dieser Funktion. Die Funktion ist somit wiederhergestellt F(X) wird genannt Stammfunktion für Funktion F(X).

Definition 1. Funktion F(X F(X) in einem bestimmten Intervall X, wenn für alle Werte X ab diesem Intervall gilt die Gleichheit F "(X)=F(X), also diese Funktion F(X) ist die Ableitung der Stammfunktion F(X). .

Zum Beispiel die Funktion F(X) = Sünde X ist eine Stammfunktion der Funktion F(X) = cos X auf dem gesamten Zahlenstrahl, da für jeden Wert von x (Sünde X)" = (cos X) .

Definition 2. Unbestimmtes Integral einer Funktion F(X) ist die Menge aller seiner Stammfunktionen. In diesem Fall wird die Notation verwendet

∫

F(X)dx

,

Wo ist das Schild? ∫ nennt man das Integralzeichen, die Funktion F(X) – Integrandenfunktion und F(X)dx – Integrandenausdruck.

Also, wenn F(X) – eine Stammfunktion für F(X) , Das

∫

F(X)dx = F(X) +C

Wo C - beliebige Konstante (Konstante).

Um die Bedeutung der Menge der Stammfunktionen einer Funktion als unbestimmtes Integral zu verstehen, ist die folgende Analogie angemessen. Es soll eine Tür geben (traditionelle Holztür). Seine Funktion besteht darin, „eine Tür zu sein“. Woraus besteht die Tür? Aus Holz gemacht. Das bedeutet, dass die Menge der Stammfunktionen des Integranden der Funktion „eine Tür sein“, also ihr unbestimmtes Integral, die Funktion „ein Baum sein + C“ ist, wobei C eine Konstante ist, was in diesem Zusammenhang möglich ist bezeichnen beispielsweise die Baumart. So wie eine Tür mit einigen Werkzeugen aus Holz hergestellt wird, wird mit Hilfe einer Stammfunktion eine Ableitung einer Funktion „erstellt“. Formeln, die wir beim Studium der Ableitung gelernt haben .

Dann ähnelt die Funktionstabelle allgemeiner Objekte und ihrer entsprechenden Stammfunktionen („eine Tür sein“ – „ein Baum sein“, „ein Löffel sein“ – „metall sein“ usw.) der Tabelle der Grundfunktionen unbestimmte Integrale, die weiter unten angegeben werden. Die Tabelle der unbestimmten Integrale listet häufig vorkommende Funktionen mit Angabe der Stammfunktionen auf, aus denen diese Funktionen „erstellt“ sind. In einem Teil der Probleme zur Bestimmung des unbestimmten Integrals werden Integranden angegeben, die ohne großen Aufwand direkt, also über die Tabelle der unbestimmten Integrale, integriert werden können. Bei komplexeren Problemen muss zunächst der Integrand transformiert werden, damit Tabellenintegrale verwendet werden können.

Fakt 2. Bei der Wiederherstellung einer Funktion als Stammfunktion müssen wir eine beliebige Konstante (Konstante) berücksichtigen. C, und um keine Liste von Stammfunktionen mit verschiedenen Konstanten von 1 bis unendlich zu schreiben, müssen Sie eine Menge von Stammfunktionen mit einer beliebigen Konstante schreiben C, zum Beispiel so: 5 X³+C. Im Ausdruck der Stammfunktion ist also eine beliebige Konstante (Konstante) enthalten, da die Stammfunktion eine Funktion sein kann, zum Beispiel 5 X³+4 oder 5 X³+3 und bei der Differenzierung gehen 4 oder 3 oder jede andere Konstante auf Null.

Stellen wir das Integrationsproblem: für diese Funktion F(X) Finde eine solche Funktion F(X), deren Ableitung gleich F(X).

Beispiel 1. Finden Sie die Menge der Stammfunktionen einer Funktion

Lösung. Für diese Funktion ist die Stammfunktion die Funktion

Funktion F(X) heißt Stammfunktion der Funktion F(X), wenn die Ableitung F(X) ist gleich F(X) oder, was dasselbe ist, Differential F(X) ist gleich F(X) dx, d.h.

(2)

Daher ist die Funktion eine Stammfunktion der Funktion. Es ist jedoch nicht die einzige Stammfunktion für . Sie dienen auch als Funktionen

Wo MIT- Willkürliche Konstante. Dies kann durch Differenzierung überprüft werden.

Wenn es also eine Stammfunktion für eine Funktion gibt, dann gibt es für sie unendlich viele Stammfunktionen, die sich um einen konstanten Term unterscheiden. Alle Stammfunktionen einer Funktion werden in der obigen Form geschrieben. Dies folgt aus dem folgenden Satz.

Satz (formale Tatsachenfeststellung 2). Wenn F(X) – Stammfunktion für die Funktion F(X) in einem bestimmten Intervall X, dann jede andere Stammfunktion für F(X) im gleichen Intervall können in der Form dargestellt werden F(X) + C, Wo MIT- Willkürliche Konstante.

Im nächsten Beispiel wenden wir uns der Tabelle der Integrale zu, die in Absatz 3 nach den Eigenschaften des unbestimmten Integrals angegeben wird. Wir tun dies, bevor wir die gesamte Tabelle lesen, damit das Wesentliche des oben Gesagten klar wird. Und nach der Tabelle und den Eigenschaften werden wir sie bei der Integration vollständig verwenden.

Beispiel 2. Finden Sie Mengen von Stammfunktionen:

Lösung. Wir finden Mengen von Stammfunktionen, aus denen diese Funktionen „gemacht“ werden. Wenn wir Formeln aus der Tabelle der Integrale erwähnen, akzeptieren wir vorerst einfach, dass es dort solche Formeln gibt, und wir werden die Tabelle der unbestimmten Integrale selbst etwas genauer studieren.

1) Anwendung der Formel (7) aus der Integraltabelle für N= 3, wir bekommen

2) Verwendung der Formel (10) aus der Integraltabelle für N= 1/3, wir haben

3) Seitdem

dann nach Formel (7) mit N= -1/4 finden wir

Unter dem Integralzeichen wird nicht die Funktion selbst geschrieben F und sein Produkt durch das Differential dx. Dies geschieht in erster Linie, um anzugeben, nach welcher Variablen die Stammfunktion gesucht wird. Zum Beispiel,

, ;

hier ist in beiden Fällen der Integrand gleich , aber seine unbestimmten Integrale in den betrachteten Fällen erweisen sich als unterschiedlich. Im ersten Fall wird diese Funktion als Funktion der Variablen betrachtet X und im zweiten - als Funktion von z .

Der Prozess, das unbestimmte Integral einer Funktion zu finden, wird als Integrieren dieser Funktion bezeichnet.

Geometrische Bedeutung des unbestimmten Integrals

Angenommen, wir müssen eine Kurve finden y=F(x) und wir wissen bereits, dass der Tangens des Tangentenwinkels an jedem seiner Punkte eine gegebene Funktion ist f(x) Abszisse dieses Punktes.

Gemäß der geometrischen Bedeutung der Ableitung ist der Tangens der Neigungswinkel der Tangente an einem bestimmten Punkt der Kurve y=F(x) gleich dem Wert der Ableitung F"(x). Wir müssen also eine solche Funktion finden F(x), wofür F"(x)=f(x). In der Aufgabe erforderliche Funktion F(x) ist eine Stammfunktion von f(x). Die Bedingungen des Problems werden nicht von einer Kurve, sondern von einer Kurvenschar erfüllt. y=F(x)- eine dieser Kurven, und jede andere Kurve kann daraus durch Parallelverschiebung entlang der Achse erhalten werden Oy.

Nennen wir den Graphen der Stammfunktion von f(x) Integralkurve. Wenn F"(x)=f(x), dann der Graph der Funktion y=F(x) Es gibt eine Integralkurve.

Fakt 3. Das unbestimmte Integral wird geometrisch durch die Familie aller Integralkurven dargestellt , wie im Bild unten. Der Abstand jeder Kurve vom Koordinatenursprung wird durch eine beliebige Integrationskonstante bestimmt C.

Eigenschaften des unbestimmten Integrals

Fakt 4. Satz 1. Die Ableitung eines unbestimmten Integrals ist gleich dem Integranden und sein Differential ist gleich dem Integranden.

Fakt 5. Satz 2. Unbestimmtes Integral des Differentials einer Funktion F(X) ist gleich der Funktion F(X) bis zu einem konstanten Begriff , d.h.

(3)

Die Sätze 1 und 2 zeigen, dass Differenzierung und Integration zueinander inverse Operationen sind.

Fakt 6. Satz 3. Der konstante Faktor im Integranden kann aus dem Vorzeichen des unbestimmten Integrals entnommen werden , d.h.

Lektion 2. Integralrechnung

Das unbestimmte Integral und seine geometrische Bedeutung. Grundlegende Eigenschaften des unbestimmten Integrals.

Grundlegende Methoden zur Integration des unbestimmten Integrals.

Bestimmtes Integral und seine geometrische Bedeutung.

Newton-Leibniz-Formel. Methoden zur Berechnung des bestimmten Integrals.

Wenn Sie die Ableitung oder das Differential einer Funktion kennen, können Sie die Funktion selbst finden (die Funktion wiederherstellen). Diese Aktion, die Umkehrung der Differenzierung, wird Integration genannt.

Stammfunktion In Bezug auf eine gegebene Funktion wird die folgende Funktion aufgerufen
, deren Ableitung gleich der gegebenen Funktion ist, d.h.

Für diese Funktion Es gibt unendlich viele Stammfunktionen, weil eine der Funktionen
ist auch eine Stammfunktion von .

Die Menge aller Stammfunktionen für eine gegebene Funktion wird als ihre bezeichnet unbestimmtes Integral wird durch das Symbol angezeigt:

, Wo

nennt man den Integranden, die Funktion
- Integrandenfunktion.

Geometrische Bedeutung des unbestimmten Integrals. Geometrisch gesehen ist ein unbestimmtes Integral eine Familie von Integralkurven auf einer Ebene, die durch parallele Übertragung des Graphen einer Funktion erhalten wird
entlang der Ordinatenachse (Abb. 3).

Grundlegende Eigenschaften des unbestimmten Integrals

Eigenschaft 1. Die Ableitung des unbestimmten Integrals ist gleich dem Integranden:

Eigenschaft 2. Das Differential eines unbestimmten Integrals ist gleich dem Integranden:

Eigenschaft 3. Das Integral des Differentials einer Funktion ist gleich dieser Funktion plus const:

Eigenschaft 4. Linearität des Integrals.

Tabelle der Grundintegrale

	Integral
Leistung
indikativ
trigonometrisch
umkehren trigonometrisch

Grundlegende Integrationsmethoden

Methode der partiellen Integration ist eine Methode, die die Verwendung der Formel beinhaltet:

.

Diese Methode wird verwendet, wenn das Integral
ist einfacher zu lösen als
. In der Regel löst diese Methode Integrale der Form
, Wo
ist ein Polynom und eine der folgenden Funktionen:
,
,
, , ,
,
.

Betrachten wir eine Funktion
, definiert auf dem Intervall
, Reis. 4. Lassen Sie uns 5 Operationen durchführen.

1. Teilen wir das Intervall mit Punkten auf beliebige Weise in Teile. Bezeichnen wir
, und die größte der Längen dieser Teilabschnitte wird mit bezeichnet , wir werden es den vernichtenden Rang nennen.

2. Auf jedem Teilgrundstück
Nehmen wir einen beliebigen Punkt und berechnen Sie den Wert der darin enthaltenen Funktion
.

3. Lassen Sie uns ein Werk verfassen

4. Machen wir eine Summe
. Diese Summe wird Integralsumme oder Riemann-Summe genannt.

5. Durch Reduzierung der Zerkleinerung (durch Erhöhung der Anzahl der Zerkleinerungspunkte) und gleichzeitiges Richten der Zerkleinerungsstufe auf Null (
) d.h. (Durch die Erhöhung der Anzahl der Quetschstellen sorgen wir dafür, dass die Länge aller Teilabschnitte abnimmt und gegen Null geht
) finden wir den Grenzwert der Folge ganzzahliger Summen

Wenn diese Grenze existiert und nicht von der Teilungsmethode und der Wahl der Punkte abhängt, wird sie aufgerufen bestimmtes Integral aus einer Funktion über ein Intervall und wird wie folgt bezeichnet:
.

Geometrische Bedeutung eines bestimmten Integrals. Nehmen wir an, dass die Funktion im Intervall stetig und positiv ist. Betrachten Sie ein gebogenes Trapez A B C D(Abb. 4). Kumulierte Summe
gibt uns die Summe der Flächen von Rechtecken mit Grundflächen
und Höhen
. Sie kann als Näherungswert für die Fläche eines gekrümmten Trapezes angenommen werden A B C D , d.h.

,

Darüber hinaus wird diese Gleichheit umso genauer sein, je feiner die Zerkleinerung ist und im Grenzbereich liegt N→+∞ Und λ → 0 wir bekommen:

.

Dies ist die geometrische Bedeutung des bestimmten Integrals.

Grundlegende Eigenschaften des bestimmten Integrals

Eigenschaft 1. Ein bestimmtes Integral mit gleichen Grenzen ist gleich Null.

Eigenschaft 2. Wenn die Integrationsgrenzen vertauscht werden, ändert das bestimmte Integral das Vorzeichen in das entgegengesetzte.

Eigenschaft 3. Linearität des Integrals.

Eigenschaft 4. Was auch immer die Zahlen sind, wenn die Funktion
in jedem Intervall integrierbar
,
,
(Abb. 5), dann:

Satz. Wenn eine Funktion im Intervall stetig ist, dann ist das bestimmte Integral dieser Funktion über das Intervall gleich der Differenz der Werte einer Stammfunktion dieser Funktion an der oberen und unteren Integrationsgrenze, d.h.

(Newton-Leibniz-Formel) .

Diese Formel reduziert die Suche nach bestimmten Integralen auf die Suche nach unbestimmten Integralen. Unterschied
heißt das Inkrement der Stammfunktion und wird bezeichnet
.

Betrachten wir die wichtigsten Methoden zur Berechnung eines bestimmten Integrals: Änderung von Variablen (Substitution) und partielle Integration.

Substitution (Variablenänderung) in einem bestimmten Integral - Sie müssen Folgendes tun:

Und
;

Kommentar. Bei der Auswertung bestimmter Integrale mittels Substitution besteht keine Notwendigkeit, zum ursprünglichen Argument zurückzukehren.

2. Teilweise Integration in ein bestimmtes Integral kommt es darauf an, die Formel zu verwenden:

.

Beispiele für Problemlösungen

Übung 1. Finden Sie das unbestimmte Integral durch direkte Integration.

1.
. Unter Verwendung der Eigenschaft des unbestimmten Integrals nehmen wir einen konstanten Faktor jenseits des Vorzeichens des Integrals. Dann führen wir elementare mathematische Transformationen durch und reduzieren die Integrandenfunktion auf die Potenzform:

.

Aufgabe 2. Finden Sie das unbestimmte Integral mit der Methode der Variablenänderung.

1.
. Nehmen wir eine Variablenänderung vor
, Dann . Das ursprüngliche Integral hat die Form:

Somit haben wir ein unbestimmtes Integral in Tabellenform erhalten: eine Potenzfunktion. Unter Verwendung der Regel zum Ermitteln des unbestimmten Integrals einer Potenzfunktion finden wir:

Nachdem wir die umgekehrte Substitution durchgeführt haben, erhalten wir die endgültige Antwort:

Aufgabe 3. Finden Sie das unbestimmte Integral mit der Methode der partiellen Integration.

1.
. Führen wir die folgende Notation ein: Bedeutung ... Basic Konzept Integral Infinitesimalrechnung- Konzept unsicher Integral ... unsicher Integral Basic Eigenschaften unsicher Integral Tisch verwenden hauptsächlich unsicher ...

Arbeitsprogramm der akademischen Disziplin „Höhere Mathematik“-Zyklus

Arbeitsprogramm

... Basic Gesetze... Integral Infinitesimalrechnung Funktionen einer Variablen Stammfunktion. Unsicher Integral Und sein Eigenschaften ... Integral Und sein geometrisch Bedeutung. Integral... Koordinaten. Unsicher Integral und... und praktisch Klassen". Petruschko I.M., ...

Eine Funktion, die aus ihrer Ableitung oder ihrem Differential wiederhergestellt werden kann, wird aufgerufen Stammfunktion.

Definition. Funktion F(x) angerufen Stammfunktion für Funktion

f(x) in einem bestimmten Intervall, wenn an jedem Punkt dieses Intervalls

F"(x) = f(x)

oder, was auch ist,

dF(x) = f(x)dx

Zum Beispiel, F(x) = sin x ist eine Stammfunktion für f(x) = cos x auf dem gesamten Zahlenstrahl ÖX, als

(sin x)“ = cos x

Wenn die Funktion F(X) Es gibt eine Stammfunktion für die Funktion F(X) An [ A; B], dann die Funktion F(X) + C, Wo C Jede reelle Zahl ist auch eine Stammfunktion für F(X) um jeden Wert C. Wirklich ( F(X) + C)" = F"(X) + C" = F(X).

Beispiel.

Definition. Wenn F(x) eine der Stammfunktionen der Funktion f(x) An [ A; B], dann der Ausdruck F(x) + C, Wo C eine beliebige Konstante namens unbestimmtes Integral aus der Funktion f(x) und wird mit dem Symbol ʃ bezeichnet F(X)dx(sprich: unbestimmtes Integral von f(x) An dx). Also,

ʃ F (X ) dx = F (X ) +C ,

Wo f(x) sogenannte Integrandenfunktion, f(x)dx- Integrandenausdruck, X ist die Variable der Integration und das Symbol ʃ ist das Vorzeichen des unbestimmten Integrals.

Eigenschaften des unbestimmten Integrals und seiner geometrischen Eigenschaften.

Aus der Definition des unbestimmten Integrals folgt:

1. Die Ableitung des unbestimmten Integrals ist gleich dem Integranden:

Wirklich, F"(X) = F(X) und ʃ F(X)dx = F(X)+C. Dann

2. Das Differential des unbestimmten Integrals ist gleich dem Integranden

Wirklich,

3. Das unbestimmte Integral der Ableitung ist gleich der Funktion selbst plus einer beliebigen Konstante:

Wirklich, F"(X) = F(X). Dann,

4. Das unbestimmte Integral des Differentials ist gleich der differenzierbaren Funktion plus einer beliebigen Konstante:

Wirklich, . Dann,

5. Konstanter Multiplikator k(k≠ 0) kann als Vorzeichen des unbestimmten Integrals entnommen werden:

6. Das unbestimmte Integral der algebraischen Summe einer endlichen Zahl einer Funktion ist gleich der algebraischen Summe der Integrale dieser Funktionen:

Nennen wir den Graphen Stammfunktion F(x) der Integralkurve. Diagramm einer anderen Stammfunktion F(x) + C erhalten durch Parallelübertragung der Integralkurve F(x) entlang der Achse OY.

Beispiel.

Tabelle der Grundintegrale

Grundlegende Integrationstechniken

1. Direkte (tabellarische) Integration.

Direkte (tabellarische) Integration ist die Reduktion des Integrals auf tabellarische Form unter Verwendung der grundlegenden Eigenschaften und Formeln der Elementarmathematik.

Beispiel 1.

Lösung:

Beispiel2 .

Lösung:

Beispiel3 .

Lösung:

2. Methode zum Unterbringen des Differentials.

Beispiel 1.

Lösung:

Beispiel2 .

Lösung:

Beispiel3 .

Lösung:

Beispiel4 .

Lösung:

Beispiel5 .

Lösung:

Beispiel6 .

Lösung:

Beispiel7 .

Lösung:

Beispiel8 .

Lösung:

Beispiel9 .

Lösung:

Beispiel10 .

Lösung:

3. Die zweite Methode zum Anschluss an das Differential.

Beispiel 1.

Lösung:

Beispiel2 .

Lösung:

4. Methode zum Ersetzen von Variablen (Substitution).

Beispiel.

Lösung:

5. Methode der partiellen Integration.

Mit dieser Formel werden die folgenden Arten von Integralen gebildet:

1 Typ

, Es gilt die Formel N- einmal, der Rest dv.

2 Typ.

, Die Formel wird einmal angewendet.

Beispiel1 .

Lösung:

Beispiel 2.

Lösung:

Beispiel3 .

Lösung:

Beispiel4 .

Lösung:

INTEGRATION RATIONALER FRAKTIONEN.

Ein rationaler Bruch ist das Verhältnis zweier Polynome – Grade M und - Grad N,

Folgende Fälle sind möglich:

1. Wenn , dann verwenden Sie die Winkelteilungsmethode, um das gesamte Teil zu eliminieren.

2. Wenn der Nenner auch ein quadratisches Trinom hat, wird die Methode der Addition zum perfekten Quadrat verwendet.

Beispiel 1.

Lösung:

Beispiel2 .

Lösung:

3. Die Methode der unbestimmten Koeffizienten bei der Zerlegung eines echten rationalen Bruchs in eine Summe einfacher Brüche.

Jeder echte rationale Bruch kann als Summe einfacher Brüche dargestellt werden:

Wo A, B, C, D, E, F, M, N,…‒ unsichere Koeffizienten.

Um die unbestimmten Koeffizienten zu finden, muss die rechte Seite auf einen gemeinsamen Nenner reduziert werden. Da der Nenner mit dem Nenner des Bruchs auf der rechten Seite übereinstimmt, können diese verworfen und die Zähler gleichgesetzt werden. Dann werden die Koeffizienten mit den gleichen Graden gleichgesetzt X auf der linken und rechten Seite erhalten wir ein System linearer Gleichungen mit N- Unbekannt. Nachdem wir dieses System gelöst haben, finden wir die erforderlichen Koeffizienten A, B, C, D usw. Und deshalb werden wir einen echten rationalen Bruch in einfachere Brüche zerlegen.

Schauen wir uns mögliche Optionen anhand von Beispielen an:

1. Wenn die Nennerfaktoren linear und unterschiedlich sind:

2. Wenn es unter den Nennerfaktoren Kurzfaktoren gibt:

3. Wenn es unter den Faktoren des Nenners ein quadratisches Trinom gibt, das nicht faktorisiert werden kann:

Beispiele: Zerlegen Sie einen rationalen Bruch in die Summe der einfachsten. Integrieren.

Beispiel 1.

Da die Nenner der Brüche gleich sind, müssen auch die Zähler gleich sein, d. h.

Beispiel 2.

Beispiel3 .

Das Konzept eines unbestimmten Integrals. Differenzierung ist die Aktion, durch die für eine gegebene Funktion deren Ableitung oder Differential ermittelt wird. Wenn beispielsweise F(x) = x 10, dann ist F" (x) = 10x 9, dF (x) = 10x 9 dx.

Integration - Dies ist das Gegenteil von Differenzierung. Durch die Integration über eine gegebene Ableitung oder ein gegebenes Differential einer Funktion wird die Funktion selbst gefunden. Wenn zum Beispiel F" (x) = 7x 6, dann ist F (x) == x 7, da (x 7)" = 7x 6.

Differenzierbare Funktion F(x), xЄ]a; b[ heißt Stammfunktion für die Funktion f (x) auf dem Intervall ]à; b[, wenn F" (x) = f (x) für jedes xЄ]a; b[.

Somit ist für die Funktion f(x) = 1/cos 3 x die Stammfunktion die Funktion F(x)= tan x, da (tg x)"= 1/cos 2 x.

Die Menge aller Stammfunktionen f(x) auf dem Intervall ]a; b[ heißt unbestimmtes Integral aus der Funktion f(x) auf diesem Intervall und schreiben Sie f (x)dx = F(x) + C. Hier ist f(x)dx der Integrand;

F(x)-Integralfunktion; x-Variable der Integration: C ist eine beliebige Konstante.

Zum Beispiel: 5x 4 dx = x 5 + C, da (x 3 + C)" = 5x 4.

Geben wir Grundeigenschaften des unbestimmten Integrals. 1. Das Differential des unbestimmten Integrals ist gleich dem Integranden:

D f(x)dx=f(x)dx.

2. Das unbestimmte Integral des Differentials einer Funktion ist gleich dieser Funktion addiert zu einer beliebigen Konstante, d.h.

3. Der konstante Faktor lässt sich aus dem Vorzeichen des unbestimmten Integrals entnehmen:

af(x)dx = a f(x)dx

4. Das unbestimmte Integral der algebraischen Summe der Funktionen ist gleich der algebraischen Summe der unbestimmten Integrale jeder Funktion:

(f 1 (x) ±f 2 (x))dx = f 1 (x)dx ± f 2 (x)dx.

Grundlegende Integrationsformeln

(tabellarische Integrale).

6.

Beispiel 1. Finden

Lösung. Machen wir die Substitution 2 - 3x 2 = t, dann -6xdx =dt, xdx = -(1/6)dt. Als nächstes bekommen wir

Beispiel 3. Finden

Lösung. Setzen wir 10x = t; dann ist 10dx = dt, woraus dx=(1/10)dt.

3.

Wenn Sie also sinl0xdx finden, können Sie die Formel sinkxdx = - (1/k) cos kx+C verwenden, wobei k=10.

Dann ist sinl0xdx = -(1/10) сos10х+С.

Fragen und Übungen zum Selbsttest

1. Welche Aktion nennt man Integration?

2. Welche Funktion heißt Stammfunktion der Funktion f(x)?

3. Definieren Sie ein unbestimmtes Integral.

4. Listen Sie die Haupteigenschaften des unbestimmten Integrals auf.

5. Wie können Sie die Integration überprüfen?

6. Schreiben Sie die grundlegenden Integrationsformeln (tabellarische Integrale).

7. Finden Sie die Integrale: a) b) c)

wobei a die Untergrenze, b die Obergrenze und F (x) eine Stammfunktion der Funktion f (x) ist.

Aus dieser Formel kann man das Verfahren zur Berechnung eines bestimmten Integrals ersehen: 1) Finden Sie eine der Stammfunktionen F (x) einer gegebenen Funktion; 2) Finden Sie den Wert von F (x) für x = a und x = b; 3) Berechnen Sie die Differenz F (b) – F (a).

Beispiel 1. Integral berechnen

Lösung. Lassen Sie uns die Definition einer Potenz mit gebrochenem und negativem Exponenten verwenden und das bestimmte Integral berechnen:

2. Das Integrationssegment kann in Teile unterteilt werden:

3. Der konstante Faktor kann aus dem Integralzeichen entnommen werden:

4. Das Integral der Summe der Funktionen ist gleich der Summe der Integrale aller Terme:

2) Bestimmen wir die Integrationsgrenzen für die Variable t. Für x=1 erhalten wir tn =1 3 +2=3, für x=2 erhalten wir tb =2 3 +2=10.

Beispiel 3. Integral berechnen

Lösung. 1) setze cos x=t; dann – sinxdx =dt und

sinxdx = -dt. 2) Bestimmen wir die Integrationsgrenzen für die Variable t: t n =cos0=1:t in =cos (π/2)=0.

3) Wenn wir den Integranden durch t und dt ausdrücken und uns neuen Grenzen zuwenden, erhalten wir:

Berechnen wir jedes Integral einzeln:

Beispiel 5. Berechnen Sie die Fläche der Figur, die durch die Parabel y = x 2, die Geraden x = - 1, x = 2 und die Abszissenachse begrenzt wird (Abb. 47).

Lösung. Wenn wir Formel (1) anwenden, erhalten wir

diese. S=3 qm. Einheiten

Die Fläche der ABCD-Figur (Abb. 48), begrenzt durch die Graphen der stetigen Funktionen y = f 1 (x) und y f 2 = (x), wobei x Є[a, b], Liniensegmente x = a und x = b, wird nach der Formel berechnet

		Das Volumen eines Körpers, der durch Drehung um die Oy-Achse eines krummlinigen Trapezes aAB gebildet wird, begrenzt durch eine kontinuierliche Kurve x=f(y), wobei Є [a, b], Segment [a, b] der Oy-Achse, Linie Segmente y = a und y = b ( Abb. 53), berechnet nach der Formel Von einem Punkt genommener Weg. Wenn sich ein Punkt geradlinig bewegt und seine Geschwindigkeit v=f(t) eine bekannte Funktion der Zeit t ist, dann wird der vom Punkt in einem bestimmten Zeitraum zurückgelegte Weg mit der Formel berechnet Fragen zum Selbsttest 1. Geben Sie die Definition eines bestimmten Integrals an. 2. Listen Sie die Haupteigenschaften des bestimmten Integrals auf. 3. Was ist die geometrische Bedeutung eines bestimmten Integrals? 4. Schreiben Sie Formeln, um die Fläche einer ebenen Figur mithilfe eines bestimmten Integrals zu bestimmen. 5. Welche Formeln werden verwendet, um das Volumen eines Rotationskörpers zu ermitteln? 6. Schreiben Sie eine Formel zur Berechnung der vom Körper zurückgelegten Strecke. 7. Schreiben Sie eine Formel zur Berechnung der von einer variablen Kraft geleisteten Arbeit. 8. Welche Formel wird verwendet, um die Kraft des Flüssigkeitsdrucks auf eine Platte zu berechnen?

Integralrechnung.

Stammfunktion.

Definition: Die Funktion F(x) wird aufgerufen Stammfunktion Funktion f(x) auf dem Segment, wenn die Gleichheit an irgendeinem Punkt dieses Segments wahr ist:

Es ist zu beachten, dass es unendlich viele Stammfunktionen für dieselbe Funktion geben kann. Sie werden sich durch eine konstante Zahl voneinander unterscheiden.

F 1 (x) = F 2 (x) + C.

Unbestimmtes Integral.

Definition: Unbestimmtes Integral Funktion f(x) ist eine Menge von Stammfunktionen, die durch die Beziehung definiert sind:

Aufschreiben:

Die Bedingung für die Existenz eines unbestimmten Integrals auf einem bestimmten Segment ist die Stetigkeit der Funktion auf diesem Segment.

Eigenschaften:

1.

2.

3.

4.

Beispiel:

Das Ermitteln des Wertes des unbestimmten Integrals hängt hauptsächlich mit dem Ermitteln der Stammfunktion der Funktion zusammen. Für einige Funktionen ist dies eine ziemlich schwierige Aufgabe. Im Folgenden betrachten wir Methoden zum Finden unbestimmter Integrale für die Hauptklassen von Funktionen – rational, irrational, trigonometrisch, exponentiell usw.

Der Einfachheit halber werden die Werte unbestimmter Integrale der meisten Elementarfunktionen in speziellen Integraltabellen gesammelt, die manchmal recht umfangreich sind. Sie umfassen verschiedene häufig verwendete Funktionskombinationen. Da die meisten in diesen Tabellen dargestellten Formeln jedoch Konsequenzen voneinander sind, präsentieren wir im Folgenden eine Tabelle mit Grundintegralen, mit deren Hilfe Sie die Werte unbestimmter Integrale verschiedener Funktionen ermitteln können.

Integral		Bedeutung	Integral		Bedeutung
		lnsinx+ C
		ln

Integrationsmethoden.

Betrachten wir drei Hauptmethoden der Integration.

Direkte Integration.

Die direkte Integrationsmethode basiert auf der Annahme des möglichen Wertes der Stammfunktion mit weiterer Überprüfung dieses Wertes durch Differenzierung. Generell stellen wir fest, dass die Differenzierung ein leistungsfähiges Werkzeug zur Überprüfung der Integrationsergebnisse ist.

Schauen wir uns die Anwendung dieser Methode anhand eines Beispiels an:

Wir müssen den Wert des Integrals ermitteln . Basierend auf der bekannten Differenzierungsformel
Wir können daraus schließen, dass das gesuchte Integral gleich ist
, wobei C eine konstante Zahl ist. Allerdings auf der anderen Seite
. Somit können wir abschließend schlussfolgern:

Beachten Sie, dass im Gegensatz zur Differenzierung, bei der klare Techniken und Methoden zum Ermitteln der Ableitung, Regeln zum Ermitteln der Ableitung und schließlich die Definition der Ableitung verwendet wurden, solche Methoden für die Integration nicht verfügbar sind. Wenn wir bei der Ermittlung der Ableitung sozusagen konstruktive Methoden angewendet haben, die auf der Grundlage bestimmter Regeln zum Ergebnis führten, müssen wir uns bei der Ermittlung der Stammfunktion vor allem auf die Kenntnis der Tabellen der Ableitungen und Stammfunktionen verlassen.

Die direkte Integrationsmethode ist nur für einige sehr begrenzte Funktionsklassen anwendbar. Es gibt nur sehr wenige Funktionen, für die man sofort eine Stammfunktion finden kann. Daher kommen in den meisten Fällen die nachfolgend beschriebenen Methoden zum Einsatz.

Methode der Substitution (Variablen ersetzen).

Satz: Wenn Sie das Integral finden müssen
, aber es ist schwierig, die Stammfunktion zu finden, dann erhalten wir mit der Ersetzung x = (t) und dx = (t)dt:

Nachweisen : Lassen Sie uns die vorgeschlagene Gleichheit differenzieren:

Gemäß Eigenschaft Nr. 2 des oben diskutierten unbestimmten Integrals:

F(X) dx = F[  (T)]  (T) dt

was unter Berücksichtigung der eingeführten Notation die Ausgangsannahme ist. Der Satz ist bewiesen.

Beispiel. Finden Sie das unbestimmte Integral
.

Machen wir einen Ersatz T = sinx, dt = cosxdt.

Beispiel.

Ersatz
Wir bekommen:

Im Folgenden betrachten wir weitere Beispiele für die Verwendung der Substitutionsmethode für verschiedene Arten von Funktionen.

Integration in Teilstücken.

Die Methode basiert auf der bekannten Formel für die Ableitung eines Produkts:

(uv) = uv + vu

wobei u und v einige Funktionen von x sind.

In Differentialform: d(uv) = udv + vdu

Durch Integrieren erhalten wir:
, und in Übereinstimmung mit den oben genannten Eigenschaften des unbestimmten Integrals:

oder
;

Wir haben eine Formel für die partielle Integration erhalten, die es uns ermöglicht, die Integrale vieler Elementarfunktionen zu finden.

Beispiel.

Wie Sie sehen, ermöglicht Ihnen die konsequente Anwendung der partiellen Integrationsformel, die Funktion schrittweise zu vereinfachen und das Integral in eine tabellarische Form zu bringen.

Beispiel.

Es ist ersichtlich, dass die Funktion aufgrund der wiederholten Anwendung der partiellen Integration nicht in tabellarischer Form vereinfacht werden konnte. Das zuletzt erhaltene Integral unterscheidet sich jedoch nicht vom Original. Deshalb verschieben wir es auf die linke Seite der Gleichheit.

Somit wurde das Integral gefunden, ohne überhaupt Integraltabellen zu verwenden.

Bevor wir die Methoden zur Integration verschiedener Funktionsklassen im Detail betrachten, geben wir einige weitere Beispiele für die Suche nach unbestimmten Integralen durch deren Reduzierung auf tabellarische Integrale.

Beispiel.

Beispiel.

Beispiel.

Beispiel.

Beispiel.

Beispiel.

Beispiel.

Beispiel.

Beispiel.

Beispiel.

Integration elementarer Brüche.

Definition: Grundschule Die folgenden vier Arten von Brüchen heißen:

ICH.
III.

II.
IV.

m, n – natürliche Zahlen (m  2, n  2) und b 2 – 4ac<0.

Die ersten beiden Arten von Integralen elementarer Brüche können ganz einfach durch Substitution t = ax + b in die Tabelle aufgenommen werden.

Betrachten wir die Methode zur Integration von Elementarbrüchen vom Typ III.

Das Bruchintegral vom Typ III kann wie folgt dargestellt werden:

Hier wird in allgemeiner Form die Reduktion eines Bruchintegrals vom Typ III auf zwei tabellarische Integrale gezeigt.

Schauen wir uns die Anwendung der obigen Formel anhand von Beispielen an.

Beispiel.

Wenn das Trinom ax 2 + bx + c den Ausdruck b 2 – 4ac >0 hat, dann ist der Bruch im Allgemeinen per Definition nicht elementar, kann jedoch dennoch auf die oben angegebene Weise integriert werden.

Beispiel.

Beispiel.

Betrachten wir nun Methoden zur Integration einfacher Brüche vom Typ IV.

Betrachten wir zunächst einen Sonderfall mit M = 0, N = 1.

Dann das Integral der Form
kann in der Form dargestellt werden, indem das vollständige Quadrat im Nenner ausgewählt wird
. Machen wir die folgende Transformation:

Wir werden das zweite Integral, das in dieser Gleichung enthalten ist, nach Teilen nehmen.

Bezeichnen wir:

Für das ursprüngliche Integral erhalten wir:

Die resultierende Formel heißt wiederkehrend. Wenn man es n-1 Mal anwendet, erhält man ein Tabellenintegral
.

Kehren wir nun zum Integral eines Elementarbruchs vom Typ IV im allgemeinen Fall zurück.

In der resultierenden Gleichheit verwendet das erste Integral die Substitution T = u 2 + S auf tabellarisch reduziert , und die oben diskutierte Wiederholungsformel wird auf das zweite Integral angewendet.

Trotz der scheinbaren Komplexität der Integration eines Elementarbruchs vom Typ IV ist es in der Praxis recht einfach, sie für Brüche mit kleinem Grad anzuwenden N, und die Universalität und Allgemeingültigkeit des Ansatzes ermöglicht eine sehr einfache Implementierung dieser Methode auf einem Computer.

Beispiel:

Integration rationaler Funktionen.

Rationale Brüche integrieren.

Um einen rationalen Bruch zu integrieren, ist es notwendig, ihn in Elementarbrüche zu zerlegen.

Satz: Wenn
- ein echter rationaler Bruch, dessen Nenner P(x) als Produkt linearer und quadratischer Faktoren dargestellt wird (beachten Sie, dass jedes Polynom mit reellen Koeffizienten in dieser Form dargestellt werden kann: P(X) = (X - A)  …(X - B)  (X 2 + px + Q)  …(X 2 + rx + S)  ), dann kann dieser Bruch nach folgendem Schema in elementare zerlegt werden:

wobei A i, B i, M i, N i, R i, S i einige konstante Größen sind.

Bei der Integration rationaler Brüche greifen sie auf die Zerlegung des ursprünglichen Bruchs in elementare Brüche zurück. Um die Größen A i, B i, M i, N i, R i, S i zu finden, werden die sogenannten Methode der unsicheren Koeffizienten, dessen Kern darin besteht, dass es notwendig und ausreichend ist, dass die Koeffizienten bei denselben Potenzen von x gleich sind, damit zwei Polynome identisch gleich sind.

Betrachten wir die Verwendung dieser Methode anhand eines konkreten Beispiels.

Beispiel.

Wenn wir auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren und die entsprechenden Zähler gleichsetzen, erhalten wir:

Beispiel.

Weil Wenn der Bruch unechten ist, müssen Sie zunächst seinen ganzen Teil auswählen:

6x 5 – 8x 4 – 25x 3 + 20x 2 – 76x – 7 3x 3 – 4x 2 – 17x + 6

6x 5 – 8x 4 – 34x 3 + 12x 2 2x 2 + 3

9x 3 + 8x 2 – 76x - 7

9x 3 – 12x 2 – 51x +18

20x 2 – 25x – 25

Lassen Sie uns den Nenner des resultierenden Bruchs faktorisieren. Es ist ersichtlich, dass bei x = 3 der Nenner des Bruchs zu Null wird. Dann:

3x 3 – 4x 2 – 17x + 6 x - 3

3x 3 – 9x 2 3x 2 + 5x - 2

Also 3x 3 – 4x 2 – 17x + 6 = (x – 3)(3x 2 + 5x – 2) = (x – 3)(x + 2)(3x – 1). Dann:

Um das Öffnen von Klammern, das Gruppieren und Lösen eines Gleichungssystems (das in manchen Fällen recht groß ausfallen kann) bei der Suche nach unsicheren Koeffizienten zu vermeiden, wird das sogenannte Methode mit willkürlichen Werten. Der Kern der Methode besteht darin, dass mehrere (entsprechend der Anzahl der unbestimmten Koeffizienten) beliebige Werte von x in den obigen Ausdruck eingesetzt werden. Um Berechnungen zu vereinfachen, ist es üblich, Punkte als willkürliche Werte zu nehmen, bei denen der Nenner des Bruchs gleich Null ist, d.h. in unserem Fall – 3, -2, 1/3. Wir bekommen:

Schließlich erhalten wir:

=

Beispiel.

Finden wir die unbestimmten Koeffizienten:

Dann ist der Wert des gegebenen Integrals:

Integration einiger Trigonometrie

Funktionen.

Es kann unendlich viele Integrale aus trigonometrischen Funktionen geben. Die meisten dieser Integrale können überhaupt nicht analytisch berechnet werden, daher betrachten wir einige der wichtigsten Arten von Funktionen, die immer integriert werden können.

Integral der Form
.

Hier ist R die Bezeichnung einer rationalen Funktion der Variablen sinx und cosx.

Integrale dieser Art werden durch Substitution berechnet
. Mit dieser Substitution können Sie eine trigonometrische Funktion in eine rationale umwandeln.

,

Dann

Auf diese Weise:

Die oben beschriebene Transformation heißt universelle trigonometrische Substitution.

Beispiel.

Der unbestrittene Vorteil dieser Substitution besteht darin, dass Sie mit ihrer Hilfe jederzeit eine trigonometrische Funktion in eine rationale umwandeln und das entsprechende Integral berechnen können. Zu den Nachteilen gehört die Tatsache, dass die Transformation zu einer recht komplexen rationalen Funktion führen kann, deren Integration viel Zeit und Mühe erfordert.

Wenn es jedoch unmöglich ist, eine rationellere Ersetzung der Variablen anzuwenden, ist diese Methode die einzig wirksame.

Beispiel.

Integral der Form
Wenn

FunktionRcosx.

Trotz der Möglichkeit, ein solches Integral mithilfe der universellen trigonometrischen Substitution zu berechnen, ist es rationaler, die Substitution zu verwenden T = sinx.

Funktion
kann cosx nur in geraden Potenzen enthalten und kann daher in eine rationale Funktion bezüglich sinx umgewandelt werden.

Beispiel.

Im Allgemeinen ist für die Anwendung dieser Methode nur die Ungeradheit der Funktion relativ zum Kosinus erforderlich, und der in der Funktion enthaltene Grad des Sinus kann beliebig sein, sowohl ganzzahlig als auch gebrochen.

Integral der Form
Wenn

FunktionRist seltsam relativ zusinx.

Die Substitution erfolgt analog zum oben betrachteten Fall T = cosx.

Beispiel.

Integral der Form

FunktionRsogar relativsinxUndcosx.

Um die Funktion R in eine rationale Funktion umzuwandeln, verwenden Sie die Substitution

t = tgx.

Beispiel.

Integral des Produkts aus Sinus und Cosinus

verschiedene Argumente.

Je nach Art der Arbeit kommt eine von drei Formeln zur Anwendung:

Beispiel.

Beispiel.

Bei der Integration trigonometrischer Funktionen ist es manchmal zweckmäßig, bekannte trigonometrische Formeln zu verwenden, um die Reihenfolge der Funktionen zu reduzieren.

Beispiel.

Beispiel.

Manchmal werden einige nicht standardmäßige Techniken verwendet.

Beispiel.

Integration einiger irrationaler Funktionen.

Nicht jede irrationale Funktion kann ein durch Elementarfunktionen ausgedrücktes Integral haben. Um das Integral einer irrationalen Funktion zu finden, sollten Sie eine Substitution verwenden, die es Ihnen ermöglicht, die Funktion in eine rationale Funktion umzuwandeln, deren Integral bekanntlich immer gefunden werden kann.

Schauen wir uns einige Techniken zur Integration verschiedener Arten irrationaler Funktionen an.

Integral der Form
WoN- natürliche Zahl.

Substitution verwenden
Die Funktion ist rationalisiert.

Beispiel.

Wenn die irrationale Funktion Wurzeln unterschiedlichen Grades enthält, ist es rational, als neue Variable die Wurzel eines Grades zu nehmen, der dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Grade der im Ausdruck enthaltenen Wurzeln entspricht.

Lassen Sie uns dies anhand eines Beispiels veranschaulichen.

Beispiel.

Integration binomialer Differentiale.