Einige Probleme lassen sich bequem und übersichtlich mit Euler-Venn-Diagrammen lösen. Zum Beispiel Probleme mit Mengen. Wenn Sie nicht wissen, was Euler-Venn-Diagramme sind und wie man sie erstellt, dann lesen Sie zuerst.

Schauen wir uns nun typische Probleme mit Mengen an.

Aufgabe 1.

Es wurde eine Umfrage unter 100 Schülern einer Schule mit vertieftem Fremdsprachenunterricht durchgeführt. Den Studierenden wurde die Frage gestellt: „Welche Fremdsprachen lernen Sie?“ Es stellte sich heraus, dass 48 Studenten Englisch, 26 Französisch und 28 Deutsch lernen. 8 Schüler lernen Englisch und Deutsch, 8 - Englisch und Französisch, 13 - Französisch und Deutsch. 24 Schüler lernen kein Englisch, Französisch oder Deutsch. Wie viele Schüler, die an der Umfrage teilgenommen haben, lernen drei Sprachen gleichzeitig: Englisch, Französisch und Deutsch?

Antwort: 3.

Lösung:

• viele Schulkinder lernen Englisch („A“);
• viele Schüler lernen Französisch („F“);
• viele Schüler lernen Deutsch („N“).

Stellen wir anhand des Euler-Venn-Diagramms dar, was uns je nach Bedingung gegeben wird.

Bezeichnen wir den gewünschten Bereich A=1, Ф=1, Н=1 als „x“ (in der Tabelle unten Bereich Nr. 7). Lassen Sie uns die verbleibenden Flächen durch x ausdrücken.

0) Region A=0, Ф=0, Н=0: 24 Schüler – gegeben entsprechend den Problembedingungen.

1) Bereich A=0, F=0, H=1: 28-(8-x+x+13-x)=7+x Schulkinder.

2) Fläche A=0, F=1, H=0: 26-(8-x+x+13-x)=5+x Schulkinder.

3) Bereich A=0, F=1, N=1: 13 Schulkinder.

4) Fläche A=1, F=0, H=0: 48-(8-x+x+8-x)=32+x Schulkinder.

5) Bereich A=1, F=0, H=1: 8 Schulkinder.

6) Bereich A=1, F=1, H=0: 8 Schulkinder.

№ Region	A	F	N	Menge Schulkinder
0	0	0	0	24
1	0	0	1	7+x
2	0	1	0	5+x
3	0	1	1	13
4	1	0	0	32+x
5	1	0	1	8
6	1	1	0	8
7	1	1	1	X

Definieren wir x:

24+7+(x+5)+x+(13-x)+(32+x)+(8-x)+(8-x)+x=100.

x=100-(24+7+5+13+32+8+8)=100-97=3.

Wir haben festgestellt, dass 3 Schüler gleichzeitig drei Sprachen lernen: Englisch, Französisch und Deutsch.

So sieht das Euler-Venn-Diagramm für bekanntes x aus:

Aufgabe 2.

Bei der Mathematikolympiade mussten Schüler drei Aufgaben lösen: eine in Algebra, eine in Geometrie und eine in Trigonometrie. An der Olympiade nahmen 1000 Schüler teil. Die Ergebnisse der Olympiade waren wie folgt: 800 Teilnehmer lösten die Aufgabe in Algebra, 700 in Geometrie, 600 Schüler lösten Probleme in Algebra und Geometrie, 500 in Algebra und Trigonometrie, 400 in Geometrie und Trigonometrie. 300 Personen lösten Probleme in Algebra, Geometrie und Trigonometrie. Wie viele Schulkinder haben kein einziges Problem gelöst?

Antwort: 100.

Lösung:

Zuerst definieren wir Mengen und führen die Notation ein. Es gibt drei davon:

• viele Probleme in Algebra ("A");
• viele Probleme in der Geometrie („G“);
• viele Probleme in der Trigonometrie („T“).

Lassen Sie uns darstellen, was wir finden müssen:

Lassen Sie uns die Schülerzahlen für alle möglichen Bereiche ermitteln.

Bezeichnen wir den gewünschten Bereich A=0, G=0, T=0 als „x“ (in der Tabelle unten Bereich Nr. 0).

Lassen Sie uns die verbleibenden Bereiche finden:

1) Bereich A=0, G=0, T=1: keine Schulkinder.

2) Bereich A=0, G=1, T=0: keine Schulkinder.

3) Bereich A=0, G=1, T=1: 100 Schulkinder.

4) Bereich A=1, G=0, T=0: keine Schulkinder.

5) Region A=1, G=0, T=1: 200 Schulkinder.

6) Bereich A=1, D=1, T=0: 300 Schulkinder.

7) Region A=1, G=1, T=1: 300 Schulkinder.

Schreiben wir die Werte der Flächen in die Tabelle:

№ Region	A	G	T	Menge Schulkinder
0	0	0	0	X
1	0	0	1	0
2	0	1	0	0
3	0	1	1	100
4	1	0	0	0
5	1	0	1	200
6	1	1	0	300
7	1	1	1	300

Lassen Sie uns die Werte für alle Bereiche anhand eines Diagramms darstellen:

Definieren wir x:

x=U-(A V Г V Т), wobei U das Universum ist.

A V G V T=0+0+0+300+300+200+100=900.

Wir haben festgestellt, dass 100 Schulkinder kein einziges Problem gelöst haben.

Aufgabe 3.

Bei der Physikolympiade mussten Schüler drei Aufgaben lösen: eine zur Kinematik, eine zur Thermodynamik und eine zur Optik. Die Ergebnisse der Olympiade waren wie folgt: 400 Teilnehmer lösten das Problem in Kinematik, 350 in Thermodynamik und 300 in Optik. 300 Schüler lösten Probleme in Kinematik und Thermodynamik, 200 in Kinematik und Optik, 150 in Thermodynamik und Optik. 100 Personen lösten Probleme in Kinematik, Thermodynamik und Optik. Wie viele Schulkinder haben zwei Aufgaben gelöst?

Antwort: 350.

Lösung:

Zuerst definieren wir Mengen und führen die Notation ein. Es gibt drei davon:

• viele Probleme in der Kinematik („K“);
• viele Probleme in der Thermodynamik („T“);
• viele Probleme in der Optik („O“).

Stellen wir anhand des Euler-Venn-Diagramms dar, was uns gemäß der Bedingung gegeben wird:

Lassen Sie uns darstellen, was wir finden müssen:

Lassen Sie uns die Anzahl der Schüler für alle möglichen Bereiche ermitteln:

0) Region K=0, T=0, O=0: nicht definiert.

1) Region K=0, T=0, O=1: 50 Schulkinder.

2) Region K=0, T=1, O=0: keine Schulkinder.

3) Region K=0, T=1, O=1: 50 Schulkinder.

4) Bereich K=1, T=0, O=0: keine Schulkinder.

5) Region K=1, T=0, O=1: 100 Schulkinder.

6) Region K=1, T=1, O=0: 200 Schulkinder.

7) Region K=1, T=1, O=1: 100 Schulkinder.

Schreiben wir die Werte der Flächen in die Tabelle:

№ Region	ZU	T	UM	Menge Schulkinder
0	0	0	0	-
1	0	0	1	50
2	0	1	0	0
3	0	1	1	50
4	1	0	0	0
5	1	0	1	100
6	1	1	0	200
7	1	1	1	100

Lassen Sie uns die Werte für alle Bereiche anhand eines Diagramms darstellen:

Definieren wir x.

x=200+100+50=350.

Wir haben es verstanden, 350 Schüler haben zwei Aufgaben gelöst.

Aufgabe 4.

Es wurde eine Umfrage unter Passanten durchgeführt. Die Frage wurde gestellt: „Welches Haustier hast du?“ Den Umfrageergebnissen zufolge haben 150 Menschen eine Katze, 130 einen Hund und 50 einen Vogel. 60 Menschen haben eine Katze und einen Hund, 20 haben eine Katze und einen Vogel, 30 haben einen Hund und einen Vogel. 70 Menschen haben überhaupt kein Haustier. 10 Personen haben eine Katze, einen Hund und einen Vogel. Wie viele Passanten haben an der Umfrage teilgenommen?

Antwort: 300.

Lösung:

Zuerst definieren wir Mengen und führen die Notation ein. Es gibt drei davon:

• viele Menschen, die eine Katze haben („K“);
• viele Menschen, die einen Hund haben („C“);
• viele Leute, die einen Vogel haben („P“).

Stellen wir anhand des Euler-Venn-Diagramms dar, was uns gemäß der Bedingung gegeben wird:

Lassen Sie uns darstellen, was wir finden müssen:

Lassen Sie uns die Anzahl der Personen für alle möglichen Bereiche ermitteln:

0) Region K=0, S=0, P=0: 70 Personen.

1) Bereich K=0, S=0, P=1: 10 Personen.

2) Region K=0, S=1, P=0: 50 Personen.

3) Bereich K=0, S=1, P=1: 20 Personen.

4) Region K=1, S=0, P=0: 80 Personen.

5) Bereich K=1, T=0, O=1: 10 Personen.

6) Bereich K=1, T=1, O=0: 50 Personen.

7) Bereich K=1, T=1, O=1: 10 Personen.

Schreiben wir die Werte der Flächen in die Tabelle:

№ Region	ZU	C	P	Menge Menschlich
0	0	0	0	70
1	0	0	1	10
2	0	1	0	50
3	0	1	1	20
4	1	0	0	80
5	1	0	1	10
6	1	1	0	50
7	1	1	1	10

Lassen Sie uns die Werte für alle Bereiche anhand eines Diagramms darstellen:

Definieren wir x:

x=U (Universum)

U=70+10+50+20+80+10+50+10=300.

Wir haben festgestellt, dass 300 Personen an der Umfrage teilgenommen haben.

Aufgabe 5.

120 Personen haben sich an einer der Universitäten für ein Fachgebiet eingeschrieben. Die Bewerber legten drei Prüfungen ab: in Mathematik, Informatik und Russisch. 60 Personen bestanden Mathematik, 40 - Informatik, 30 Bewerber bestanden Mathematik und Informatik, 30 - Mathematik und Russische Sprache, 25 - Informatik und Russische Sprache. 20 Personen haben alle drei Prüfungen bestanden und 50 Personen sind durchgefallen. Wie viele Bewerber haben den Russisch-Sprachtest bestanden?

Euler-Venn-Diagramme sind geometrische Darstellungen von Mengen. Die Konstruktion des Diagramms besteht darin, ein großes Rechteck zu zeichnen, das die universelle Menge U darstellt, und darin Kreise (oder andere geschlossene Figuren), die die Mengen darstellen.

Die Formen müssen sich auf die allgemeinste Art und Weise schneiden, die das Problem erfordert, und müssen entsprechend beschriftet sein. Punkte, die innerhalb verschiedener Bereiche des Diagramms liegen, können als Elemente der entsprechenden Mengen betrachtet werden. Nachdem das Diagramm erstellt wurde, können Sie bestimmte Bereiche schattieren, um neu gebildete Mengen anzuzeigen.

Mengenoperationen werden in Betracht gezogen, um neue Mengen aus bestehenden zu erhalten.

Definition. Die Vereinigung der Mengen A und B ist eine Menge, die aus allen Elementen besteht, die zu mindestens einer der Mengen A, B gehören (Abb. 1):

Definition. Der Schnittpunkt der Mengen A und B ist eine Menge, die aus all jenen und nur solchen Elementen besteht, die gleichzeitig sowohl zu Menge A als auch zu Menge B gehören (Abb. 2):

Definition. Der Unterschied zwischen den Mengen A und B ist die Menge aller und nur derjenigen Elemente von A, die nicht in B enthalten sind (Abb. 3):

Definition. Die symmetrische Differenz der Mengen A und B ist die Menge der Elemente dieser Mengen, die entweder nur zur Menge A oder nur zur Menge B gehören (Abb. 4):

Definition. Das absolute Komplement der Menge A ist die Menge aller Elemente, die nicht zur Menge A gehören (Abb. 5):

Reis. 6.

Wir haben darauf geachtet, dass wir in beiden Fällen gleiche Mengen erhalten. Daher ist die ursprüngliche Beziehung gültig.

VENN-DIAGRAMME sind eine grafische Möglichkeit zur Spezifizierung und Analyse logisch-mathematischer Theorien und ihrer Formeln. Sie werden konstruiert, indem ein Teil der Ebene in Zellen (Teilmengen) mit geschlossenen Konturen (Jordan-Kurven) unterteilt wird. Die Zellen stellen Informationen dar, die die betrachtete Theorie oder Formel charakterisieren. Der Zweck der Erstellung von Diagrammen ist nicht nur illustrativ, sondern auch operativ – die algorithmische Verarbeitung von Informationen. Das Venn-Diagrammgerät wird normalerweise in Verbindung mit dem analytischen Gerät verwendet.

Die Art der Partitionierung, die Anzahl der Zellen sowie die Probleme bei der Aufzeichnung von Informationen in ihnen hängen von der betrachteten Theorie ab, die auch grafisch eingeführt (beschrieben) werden kann – durch einige Venn-Diagramme, die zunächst insbesondere zusammen mit angegeben wurden Algorithmen für ihre Transformationen, wenn einige Diagramme als Operatoren fungieren und auf andere Diagramme einwirken können. Zum Beispiel im Fall der Klassik Aussagelogik Bei Formeln, die aus n verschiedenen Satzvariablen bestehen, wird ein Teil der Ebene (Universum) in 2"-Zellen unterteilt, die den Konstituenten entsprechen (in konjunktiver oder disjunktiver Form). Das Venn-Diagramm jeder Formel wird als eine solche Ebene in den Zellen betrachtet Davon ist ein Sternchen gesetzt (oder auch nicht) * Also die Formel

(¬ a& ¬ b&c) V (a&¬ b&c) V (¬ a&b&¬ c)

mit drei Aussagenvariablen a, b und c wird durch das in der Abbildung gezeigte Diagramm bestimmt, wobei die Sternchen in den Zellen den konjunktiven Komponenten dieser perfekten normalen disjunktiven Formel entsprechen. Wenn keine mit Sternchen markierten Zellen vorhanden sind, ist das Venn-Diagramm beispielsweise mit einer identisch falschen Formel verknüpft, beispielsweise (a&¬a).

Die induktive Methode zur Aufteilung einer Ebene in 2"-Zellen geht auf die Arbeiten des englischen Logikers J. Venn zurück, wird Venn-Methode genannt und besteht aus Folgendem:

1. Für n = 1, 2, 3 werden auf offensichtliche Weise Kreise verwendet. (In der gezeigten Abbildung ist n = 3.)

2. Angenommen, für n = k (k ≥ 3) ist die Anordnung von k Figuren so angegeben, dass die Ebene in 2k Zellen unterteilt ist.

Um dann k+1 Figuren auf dieser Ebene zu lokalisieren, reicht es zunächst aus, eine offene Kurve (vgl. ohne Selbstschnittpunkte) zu wählen, d. h. eine offene Jordan-Kurve, die zu den Grenzen aller 2k Zellen gehört und nur eine gemeinsame hat Stück mit jeder dieser Grenzen φ geschlossene Jordankurve Ψ k+1, so dass die Kurve Ψ k+1 durchlief alle 2k Zellen und überquerte die Grenze jeder Zelle nur zweimal. Auf diese Weise erhalten wir eine Anordnung von n=k+1 Figuren, sodass die Ebene in 2k+1 Zellen unterteilt ist.

Die Venn-Diagramm-Methode wird zur Darstellung anderer logisch-mathematischer Theorien erweitert. Die Theorie selbst ist so geschrieben, dass sie die Elemente ihrer Sprache in einer für die grafische Darstellung geeigneten Form hervorhebt. Atomformeln der klassischen Prädikatenlogik werden beispielsweise als Wörter der Form P(Y1..Yr) geschrieben, wobei P ein Prädikat ist und Y1,..., Yr Subjektvariablen sind, die nicht unbedingt unterschiedlich sind; Das Wort Y1,..., Yr ist ein Subjektinfix. Der offensichtliche mengentheoretische Charakter von Venn-Diagrammen ermöglicht es, mit ihrer Hilfe insbesondere mengentheoretische Kalküle darzustellen und zu studieren, beispielsweise den ZF-Kalkül der Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie. Grafische Methoden in Logik und Mathematik entwickeln sich seit langem. Dies sind insbesondere das logische Quadrat, Eulerkreise und die Originaldiagramme von L. Carroll. Allerdings unterscheidet sich die Venn-Diagramm-Methode deutlich von der bekannten Euler-Kreis-Methode der traditionellen Syllogistik. Venn-Diagramme basieren auf der Idee, eine boolesche Funktion in Konstituenten zu zerlegen – von zentraler Bedeutung für die Algebra der Logik, die ihre operative Natur bestimmt. Venn nutzte seine Diagramme hauptsächlich zur Lösung von Klassenlogikproblemen. Seine Diagramme können auch effektiv zur Lösung von Problemen der Aussagen- und Prädikatenlogik, zur Überprüfung von Konsequenzen aus Prämissen, zur Lösung logischer Gleichungen sowie für andere Probleme bis hin zum Problem der Lösbarkeit eingesetzt werden. Der Venn-Diagrammapparat wird in Anwendungen der mathematischen Logik und der Automatentheorie verwendet, insbesondere bei der Lösung von Problemen im Zusammenhang mit neuronalen Schaltkreisen und dem Problem der Synthese zuverlässiger Schaltkreise aus relativ schwach zuverlässigen Elementen.

A. S. Kuzichev

Neue philosophische Enzyklopädie. In vier Bänden. / Institut für Philosophie RAS. Wissenschaftliche Hrsg. Tipp: V.S. Stepin, A.A. Guseinov, G. Yu. Semigin. M., Mysl, 2010, Bd. I, A - D, S. 645.

Literatur:

Venn J. Symbolische Logik. L., 1881. Ed. 2, rev. L., 1894;

Kuzichev A. S. Venn-Diagramme. Geschichte und Anwendungen. M., 1968;

Es ist er. Lösen einiger mathematischer Logikprobleme mithilfe von Venn-Diagrammen. - Im Buch: Studium logischer Systeme. M., 1970.

Wenn Sie denken, dass Sie nichts über Euler-Kreise wissen, liegen Sie falsch. Tatsächlich sind Sie ihnen wahrscheinlich schon mehr als einmal begegnet, Sie wussten nur nicht, wie sie heißen. Wo genau? Schemata in Form von Euler-Kreisen bildeten die Grundlage vieler beliebter Internet-Memes (online verbreitete Bilder zu einem bestimmten Thema).

Lassen Sie uns gemeinsam herausfinden, was das für Kreise sind, warum sie so heißen und warum sie so praktisch sind, um viele Probleme zu lösen.

Ursprung des Begriffs

ist ein geometrisches Diagramm, das hilft, logische Zusammenhänge zwischen Phänomenen und Konzepten zu finden und/oder klarer zu machen. Es hilft auch, die Beziehung zwischen einer Menge und ihrem Teil darzustellen.

Es ist noch nicht ganz klar, oder? Guck auf dieses Bild:

Das Bild zeigt eine Vielzahl aller möglichen Spielzeuge. Bei einigen Spielzeugen handelt es sich um Baukästen – sie sind in einem separaten Oval hervorgehoben. Dies ist Teil einer großen Reihe von „Spielzeugen“ und gleichzeitig ein separates Set (schließlich kann es sich bei einem Baukasten um „Lego“ oder primitive Baukästen aus Bausteinen für Kinder handeln). Ein Teil der großen Vielfalt an „Spielzeugen“ kann Aufziehspielzeug sein. Sie sind keine Konstrukteure, deshalb zeichnen wir für sie ein separates Oval. Das gelbe ovale „Aufziehauto“ bezieht sich sowohl auf das Set „Spielzeug“ als auch auf das kleinere Set „Aufziehauto“. Daher ist es in beiden Ovalen gleichzeitig abgebildet.

Nun, ist es klarer geworden? Deshalb sind Euler-Kreise eine Methode, die klar zeigt: Es ist besser, einmal zu sehen, als hundertmal zu hören. Sein Vorteil besteht darin, dass Klarheit das Denken vereinfacht und dazu beiträgt, schneller und einfacher eine Antwort zu erhalten.

Der Autor der Methode ist der Wissenschaftler Leonhard Euler (1707-1783). Über die nach ihm benannten Diagramme sagte er: „Kreise sind geeignet, unser Denken zu erleichtern.“ Euler gilt als deutscher, schweizerischer und sogar russischer Mathematiker, Mechaniker und Physiker. Tatsache ist, dass er viele Jahre an der St. Petersburger Akademie der Wissenschaften arbeitete und einen wesentlichen Beitrag zur Entwicklung der russischen Wissenschaft leistete.

Vor ihm ließ sich der deutsche Mathematiker und Philosoph Gottfried Leibniz bei der Konstruktion seiner Schlussfolgerungen von einem ähnlichen Prinzip leiten.

Eulers Methode hat wohlverdiente Anerkennung und Popularität erhalten. Und nach ihm verwendeten viele Wissenschaftler es in ihrer Arbeit und modifizierten es auch auf ihre eigene Weise. Beispielsweise verwendete der tschechische Mathematiker Bernard Bolzano die gleiche Methode, allerdings mit Rechteckkreisen.

Auch der deutsche Mathematiker Ernest Schroeder leistete seinen Beitrag. Aber die Hauptverdienste gehören dem Engländer John Venn. Er war ein Spezialist für Logik und veröffentlichte das Buch „Symbolische Logik“, in dem er seine Version der Methode ausführlich darlegte (er verwendete hauptsächlich Bilder von Schnittpunkten von Mengen).

Dank Venns Beitrag wird die Methode sogar Venn-Diagramme oder auch Euler-Venn-Diagramme genannt.

Warum werden Eulerkreise benötigt?

Eulerkreise haben einen angewandten Zweck, das heißt, mit ihrer Hilfe werden Probleme im Zusammenhang mit der Vereinigung oder Schnittmenge von Mengen in Mathematik, Logik, Management und mehr in der Praxis gelöst.

Wenn wir über die Arten von Euler-Kreisen sprechen, können wir sie in solche einteilen, die die Vereinheitlichung einiger Konzepte beschreiben (zum Beispiel die Beziehung zwischen Gattung und Art) – wir haben sie anhand eines Beispiels am Anfang des Artikels betrachtet.

Und auch solche, die den Schnittpunkt von Mengen nach einem Merkmal beschreiben. John Venn ließ sich bei seinen Plänen von diesem Prinzip leiten. Und genau das liegt vielen beliebten Memes im Internet zugrunde. Hier ist ein Beispiel für solche Euler-Kreise:

Es ist lustig, nicht wahr? Und das Wichtigste: Alles wird sofort klar. Sie können viele Worte aufwenden, um Ihren Standpunkt zu erläutern, oder Sie können einfach ein einfaches Diagramm zeichnen, das sofort alles an seinen Platz bringt.

Wenn Sie sich übrigens nicht für einen Beruf entscheiden können, zeichnen Sie ein Diagramm in Form von Eulerkreisen. Vielleicht hilft Ihnen eine Zeichnung wie diese bei Ihrer Wahl:

Die Optionen, die am Schnittpunkt aller drei Kreise liegen, sind der Beruf, der Sie nicht nur ernähren, sondern auch erfreuen wird.

Lösen von Problemen mit Euler-Kreisen

Schauen wir uns einige Beispiele für Probleme an, die mit Euler-Kreisen gelöst werden können.

Hier auf dieser Seite - http://logika.vobrazovanie.ru/index.php?link=kr_e.html Elena Sergeevna Sazhenina bietet interessante und einfache Probleme, deren Lösung die Euler-Methode erfordert. Mit Hilfe von Logik und Mathematik werden wir einen von ihnen analysieren.

Problem mit Lieblingscartoons

Sechstklässler füllten einen Fragebogen aus und fragten nach ihren Lieblingscartoons. Es stellte sich heraus, dass die meisten von ihnen „Schneewittchen und die sieben Zwerge“, „SpongeBob Schwammkopf“ und „Der Wolf und das Kalb“ mochten. Die Klasse besteht aus 38 Schülern. 21 Schüler mögen Schneewittchen und die sieben Zwerge. Darüber hinaus mögen drei von ihnen auch „Der Wolf und das Kalb“, sechs mögen „SpongeBob Schwammkopf“ und ein Kind mag alle drei Zeichentrickfilme gleichermaßen. „Der Wolf und das Kalb“ hat 13 Fans, von denen fünf im Fragebogen zwei Cartoons nannten. Wir müssen herausfinden, wie viele Sechstklässler SpongeBob Schwammkopf mögen.

Lösung:

Da wir gemäß den Bedingungen des Problems drei Mengen erhalten, zeichnen wir drei Kreise. Und da die Antworten der Jungs zeigen, dass sich die Mengen überschneiden, sieht die Zeichnung so aus:

Wir erinnern uns, dass gemäß den Bedingungen der Aufgabe unter den Fans des Cartoons „Der Wolf und das Kalb“ fünf Jungs zwei Cartoons gleichzeitig ausgewählt haben:

Es stellt sich heraus, dass:

21 – 3 – 6 – 1 = 11 – die Jungs wählten nur „Schneewittchen und die sieben Zwerge“.

13 – 3 – 1 – 2 = 7 – die Jungs schauen sich nur „Der Wolf und das Kalb“ an.

Es bleibt nur herauszufinden, wie viele Sechstklässler den Zeichentrickfilm „SpongeBob Schwammkopf“ den beiden anderen Optionen vorziehen. Von der Gesamtzahl der Schüler ziehen wir alle ab, die die beiden anderen Cartoons lieben oder mehrere Optionen gewählt haben:

38 – (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 – die Leute schauen sich nur „SpongeBob Schwammkopf“ an.

Jetzt können wir alle resultierenden Zahlen sicher addieren und Folgendes herausfinden:

Der Zeichentrickfilm „SpongeBob Schwammkopf“ wurde von 8 + 2 + 1 + 6 = 17 Personen ausgewählt. Dies ist die Antwort auf die im Problem gestellte Frage.

Schauen wir uns auch an Aufgabe, das 2011 dem Demonstrationstest des Einheitlichen Staatsexamens in Informatik und IKT unterzogen wurde (Quelle - http://eileracrugi.narod.ru/index/0-6).

Bedingungen des Problems:

In der Suchsprache der Suchmaschinen wird das Symbol „|“ für die logische „ODER“-Verknüpfung und das Symbol „&“ für die logische „UND“-Verknüpfung verwendet.

Die Tabelle zeigt die Suchanfragen und die Anzahl der gefundenen Seiten für ein bestimmtes Segment des Internets.

Anfrage	Gefundene Seiten (in Tausend)
Kreuzer | Schlachtschiff	7000
Kreuzer	4800
Schlachtschiff	4500

Wie viele Seiten (in Tausend) werden für die Suchanfrage gefunden? Kreuzer und Schlachtschiff?

Es wird davon ausgegangen, dass alle Fragen nahezu gleichzeitig ausgeführt werden, sodass sich die Seitenmenge, die alle gesuchten Wörter enthält, während der Ausführung der Abfragen nicht ändert.

Lösung:

Mithilfe von Eulerkreisen stellen wir die Bedingungen des Problems dar. In diesem Fall verwenden wir die Zahlen 1, 2 und 3, um die resultierenden Bereiche zu bezeichnen.

Basierend auf den Bedingungen des Problems erstellen wir die Gleichungen:

1. Kreuzer | Schlachtschiff: 1 + 2 + 3 = 7000
2. Kreuzer: 1 + 2 = 4800
3. Schlachtschiff: 2 + 3 = 4500

Finden Kreuzer und Schlachtschiff(in der Zeichnung als Fläche 2 angegeben), setzen Sie Gleichung (2) in Gleichung (1) ein und finden Sie heraus, dass:

4800 + 3 = 7000, woraus wir 3 = 2200 erhalten.

Jetzt können wir dieses Ergebnis in Gleichung (3) einsetzen und herausfinden, dass:

2 + 2200 = 4500, woraus 2 = 2300.

Antwort: 2300 – die Anzahl der bei der Anfrage gefundenen Seiten Kreuzer und Schlachtschiff.

Wie Sie sehen, helfen Euler-Kreise dabei, auch recht komplexe oder auf den ersten Blick einfach verwirrende Probleme schnell und einfach zu lösen.

Abschluss

Ich denke, es ist uns gelungen, Sie davon zu überzeugen, dass Euler-Kreise nicht nur eine unterhaltsame und interessante Sache sind, sondern auch eine sehr nützliche Methode zur Lösung von Problemen. Und zwar nicht nur abstrakte Probleme im Schulunterricht, sondern auch ganz alltägliche Probleme. Zum Beispiel bei der Berufswahl.

Sie werden wahrscheinlich auch neugierig sein zu erfahren, dass sich Eulers Kreise in der modernen Populärkultur nicht nur in Form von Memes, sondern auch in beliebten Fernsehserien widerspiegeln. Wie „The Big Bang Theory“ und „4Isla“.

Nutzen Sie diese nützliche und visuelle Methode, um Probleme zu lösen. Und erzählen Sie unbedingt Ihren Freunden und Klassenkameraden davon. Hierfür gibt es unter dem Artikel spezielle Buttons.

Wenn Sie Material ganz oder teilweise kopieren, ist ein Link zur Quelle erforderlich.

Abschnitte: Informatik

1. Einleitung

Im Studiengang Informatik und IKT der Grund- und Oberstufe werden so wichtige Themen wie „Grundlagen der Logik“ und „Informationssuche im Internet“ besprochen. Bei der Lösung bestimmter Arten von Problemen ist es praktisch, Euler-Kreise (Euler-Venn-Diagramme) zu verwenden.

Mathematische Referenz. Euler-Venn-Diagramme werden vor allem in der Mengenlehre als schematische Darstellung aller möglichen Schnittpunkte mehrerer Mengen verwendet. Im Allgemeinen repräsentieren sie alle 2 n Kombinationen von n Eigenschaften. Beispielsweise wird das Euler-Venn-Diagramm mit n=3 normalerweise als drei Kreise dargestellt, deren Mittelpunkte an den Eckpunkten eines gleichseitigen Dreiecks liegen und den gleichen Radius haben, der ungefähr der Länge der Seite des Dreiecks entspricht.

2. Darstellung logischer Verknüpfungen in Suchanfragen

Beim Studium des Themas „Suche nach Informationen im Internet“ werden Beispiele für Suchanfragen mit logischen Konnektiven betrachtet, deren Bedeutung den Konjunktionen „und“, „oder“ der russischen Sprache ähnelt. Die Bedeutung logischer Verknüpfungen wird deutlicher, wenn man sie anhand eines grafischen Diagramms – Euler-Kreise (Euler-Venn-Diagramme) – veranschaulicht.

3. Verbindung logischer Operationen mit der Mengenlehre

Euler-Venn-Diagramme können verwendet werden, um den Zusammenhang zwischen logischen Operationen und Mengenlehre zu visualisieren. Zur Demonstration können Sie die Folien in verwenden Anhang 1.

Logische Operationen werden durch ihre Wahrheitstabellen spezifiziert. IN Anlage 2 Grafische Darstellungen logischer Operationen zusammen mit ihren Wahrheitstabellen werden ausführlich besprochen. Lassen Sie uns das Prinzip der Diagrammerstellung im allgemeinen Fall erklären. Im Diagramm zeigt die Fläche des Kreises mit dem Namen A die Wahrheit der Aussage A an (in der Mengenlehre ist Kreis A die Bezeichnung aller in einer gegebenen Menge enthaltenen Elemente). Dementsprechend zeigt der Bereich außerhalb des Kreises den „falschen“ Wert der entsprechenden Aussage an. Um zu verstehen, in welchem ​​Bereich des Diagramms eine logische Operation angezeigt wird, müssen Sie nur die Bereiche schattieren, in denen die Werte der logischen Operation für die Mengen A und B gleich „wahr“ sind.

Beispielsweise ist der Implikationswert in drei Fällen wahr (00, 01 und 11). Lassen Sie uns nacheinander schattieren: 1) den Bereich außerhalb der beiden sich schneidenden Kreise, der den Werten A=0, B=0 entspricht; 2) eine Fläche, die sich nur auf den Kreis B (Halbmond) bezieht, der den Werten A=0, B=1 entspricht; 3) die Fläche, die sich sowohl auf Kreis A als auch auf Kreis B (Schnittpunkt) bezieht – entspricht den Werten A=1, B=1. Die Kombination dieser drei Bereiche wird eine grafische Darstellung der logischen Operation der Implikation sein.

4. Verwendung von Euler-Kreisen zum Beweis logischer Gleichheiten (Gesetze)

Um logische Gleichheiten zu beweisen, können Sie die Euler-Venn-Diagramm-Methode verwenden. Beweisen wir die folgende Gleichheit ¬(АvВ) = ¬А&¬В (Gesetz von de Morgan).

Um die linke Seite der Gleichheit visuell darzustellen, gehen wir der Reihe nach vor: Schattieren Sie beide Kreise (verwenden Sie die Disjunktion) mit grauer Farbe. Um die Umkehrung anzuzeigen, schattieren Sie dann den Bereich außerhalb der Kreise mit schwarzer Farbe:

Abb. 3 Abb.4

Um die rechte Seite der Gleichheit visuell darzustellen, gehen wir der Reihe nach vor: Schattieren Sie den Bereich zur Anzeige der Umkehrung (¬A) in Grau und ebenso den Bereich ¬B ebenfalls in Grau; Um die Konjunktion anzuzeigen, müssen Sie dann den Schnittpunkt dieser grauen Bereiche ermitteln (das Ergebnis der Überlagerung wird in Schwarz dargestellt):

Abb.5 Abb.6 Abb.7

Wir sehen, dass die Bereiche zur Anzeige des linken und rechten Teils gleich sind. Q.E.D.

5. Probleme im Format Staatsexamen und Einheitliches Staatsexamen zum Thema: „Informationssuche im Internet“

Problem Nr. 18 aus der Demoversion von GIA 2013.

Die Tabelle zeigt Anfragen an den Suchserver. Für jede Anfrage wird ihr Code angegeben – der entsprechende Buchstabe von A bis G. Ordnen Sie die Anfragecodes der Reihe nach von links nach rechts an absteigend die Anzahl der Seiten, die die Suchmaschine für jede Anfrage findet.

Code	Anfrage
A	(Fliege & Geld) | Samowar
B	Fliege & Geld & Basar & Samowar
IN	Fliegen | Geld | Samowar
G	Fliege & Geld & Samowar

Für jede Abfrage erstellen wir ein Euler-Venn-Diagramm:

Anfrage A

Anfrage B

Anfrage B

Anfrage G

Antwort: VAGB.

Aufgabe B12 aus der Demoversion des Unified State Exam 2013.

Die Tabelle zeigt die Suchanfragen und die Anzahl der gefundenen Seiten für ein bestimmtes Segment des Internets.

Anfrage	Gefundene Seiten (in Tausend)
Fregatte | Zerstörer	3400
Fregatte und Zerstörer	900
Fregatte	2100

Wie viele Seiten (in Tausend) werden für die Suchanfrage gefunden? Zerstörer?

Es wird angenommen, dass alle Abfragen fast gleichzeitig ausgeführt wurden, sodass sich die Seitengruppe, die alle gesuchten Wörter enthielt, während der Ausführung der Abfragen nicht änderte.

Ф – Anzahl der Seiten (in Tausend) auf Anfrage Fregatte;

E – Seitenanzahl (in Tausend) auf Anfrage Zerstörer;

X – Anzahl der Seiten (in Tausend) für eine Abfrage, die Folgendes erwähnt Fregatte Und Nicht erwähnt Zerstörer;

Y – Anzahl der Seiten (in Tausend) für eine Abfrage, die Folgendes erwähnt Zerstörer Und Nicht erwähnt Fregatte.

Lassen Sie uns für jede Abfrage Euler-Venn-Diagramme erstellen:

Anfrage	Euler-Venn-Diagramm	Seitenzahl
Fregatte | Zerstörer	Abb.12	3400
Fregatte und Zerstörer	Abb.13	900
Fregatte	Abb.14	2100
Zerstörer	Abb.15	?

Den Diagrammen zufolge haben wir:

1. X + 900 + Y = F + Y = 2100 + Y = 3400. Von hier aus finden wir Y = 3400-2100 = 1300.
2. E = 900+U = 900+1300= 2200.

Antwort: 2200.

6. Lösen logisch sinnvoller Probleme mithilfe der Euler-Venn-Diagrammmethode

Die Klasse besteht aus 36 Personen. Schüler dieser Klasse besuchen mathematische, physikalische und chemische Zirkel, wobei 18 Personen den mathematischen Zirkel, 14 Personen den physikalischen Zirkel und 10 Personen den chemischen Zirkel besuchen. Darüber hinaus ist bekannt, dass 2 Personen alle drei Zirkel besuchen, also 8 Personen Besuchen Sie sowohl mathematisch als auch physikalisch, 5 und mathematisch und chemisch, 3 - sowohl physikalisch als auch chemisch.

Wie viele Schüler der Klasse besuchen keinen Verein?

Um dieses Problem zu lösen, ist es sehr praktisch und intuitiv, Euler-Kreise zu verwenden.

Der größte Kreis ist die Menge aller Schüler der Klasse. Innerhalb des Kreises gibt es drei sich überschneidende Mengen: Mitglieder der mathematischen ( M), physisch ( F), chemisch ( X) Kreise.

Lassen MFC- viele Leute, von denen jeder alle drei Clubs besucht. MF¬X- viele Kinder, von denen jedes Mathematik- und Physikclubs besucht und Nicht besucht Chemie. ¬M¬FH- viele Leute, von denen jeder den Chemieclub besucht und nicht den Physik- und Mathematikclub.

Ebenso führen wir Mengen ein: ¬МФХ, М¬ФХ, М¬Ф¬Х, ¬МФ¬Х, ¬М¬Ф¬Х.

Es ist bekannt, dass alle drei Kreise von 2 Personen besucht werden, daher in der Region MFC Geben wir die Zahl 2 ein. Denn 8 Personen besuchen sowohl mathematische als auch physikalische Zirkel, und darunter sind bereits 2 Personen, die alle drei Zirkel besuchen, damals in der Region MF¬X Geben wir 6 Personen ein (8-2). Bestimmen wir auf ähnliche Weise die Anzahl der Schüler in den verbleibenden Sätzen:

Fassen wir die Anzahl der Menschen in allen Regionen zusammen: 7+6+3+2+4+1+5=28. Folglich besuchen 28 Personen aus der Klasse Vereine.

Das bedeutet, dass 36-28 = 8 Schüler keinen Verein besuchen.

Nach den Winterferien fragte der Klassenlehrer, welches der Kinder ins Theater, ins Kino oder in den Zirkus ginge. Es stellte sich heraus, dass von 36 Schülern der Klasse zwei noch nie im Kino waren. weder im Theater noch im Zirkus. 25 Personen gingen ins Kino, 11 ins Theater, 17 in den Zirkus; sowohl im Kino als auch im Theater - 6; sowohl im Kino als auch im Zirkus - 10; und im Theater und Zirkus - 4.

Wie viele Menschen waren im Kino, im Theater und im Zirkus?

Sei x die Anzahl der Kinder, die im Kino, im Theater und im Zirkus waren.

Dann können Sie das folgende Diagramm erstellen und die Anzahl der Männer in jedem Bereich zählen:

6 Personen besuchten das Kino und Theater, das heißt, nur 6 Personen besuchten das Kino und Theater. Ebenso nur im Kino und Zirkus (10.) Menschen. Nur im Theater und Zirkus (4) Personen. 25 Personen gingen ins Kino, das heißt, 25 davon gingen nur ins Kino - (10er) - (6er) - x = (9+x). Ebenso gab es nur im Theater (1+x) Personen. Es waren nur (3+x) Leute im Zirkus. Waren nicht im Theater, Kino oder Zirkus – 2 Personen. Also 36-2=34 Leute. besuchte Veranstaltungen. Andererseits können wir die Anzahl der Menschen, die im Theater, Kino und Zirkus waren, zusammenfassen: (9+x)+(1+x)+(3+x)+(10er)+(6er)+(4er)+x = 34 Daraus folgt, dass an allen drei Veranstaltungen nur eine Person teilgenommen hat.

Somit finden Euler-Kreise (Euler-Venn-Diagramme) praktische Anwendung bei der Lösung von Problemen im Unified State Exam- und State Examination-Format sowie bei der Lösung sinnvoller logischer Probleme.

Literatur

1. V. Yu. Lyskova, E.A. Rakitina. Logik in der Informatik.
2. M.: Informatik und Bildung, 2006. 155 S.
3. LL. Bosova. Arithmetische und logische Grundlagen von Computern. M.: Informatik und Bildung, 2000. 207 S.
4. LL. Bosova, A. Yu. Bosova. Lehrbuch. Informatik und IKT für Klasse 8: BINOM. Wissenslabor, 2012. 220 S.
5. LL. Bosova, A. Yu. Bosova. Lehrbuch. Informatik und IKT für Klasse 9: BINOM. Wissenslabor, 2012. 244 S.