Machen wir uns mit rationalen und gebrochen rationalen Gleichungen vertraut, geben ihre Definition, geben Beispiele und analysieren auch die häufigsten Arten von Problemen.

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Rationale Gleichung: Definition und Beispiele

Die Bekanntschaft mit rationalen Ausdrücken beginnt in der 8. Klasse der Schule. Zu dieser Zeit beginnen die Schüler im Algebraunterricht zunehmend, Aufgaben mit Gleichungen zu lösen, die rationale Ausdrücke in ihren Notizen enthalten. Lassen Sie uns unsere Erinnerung an das, was es ist, auffrischen.

Bestimmung 1

rationale gleichung ist eine Gleichung, in der beide Seiten rationale Ausdrücke enthalten.

In diversen Handbüchern findet man eine andere Formulierung.

Bestimmung 2

rationale gleichung- Dies ist eine Gleichung, deren Datensatz auf der linken Seite einen rationalen Ausdruck enthält und der rechte Null enthält.

Die Definitionen, die wir für rationale Gleichungen gegeben haben, sind äquivalent, da sie dasselbe bedeuten. Die Richtigkeit unserer Worte wird durch die Tatsache bestätigt, dass für alle rationalen Ausdrücke P und Q Gleichungen P=Q und P-Q = 0 werden äquivalente Ausdrücke sein.

Wenden wir uns nun den Beispielen zu.

Beispiel 1

Rationale Gleichungen:

x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

Rationale Gleichungen können, genau wie Gleichungen anderer Art, eine beliebige Anzahl von Variablen von 1 bis zu mehreren enthalten. Zunächst betrachten wir einfache Beispiele, bei denen die Gleichungen nur eine Variable enthalten. Und dann fangen wir an, die Aufgabe allmählich zu verkomplizieren.

Rationale Gleichungen werden in zwei große Gruppen unterteilt: ganzzahlig und gebrochen. Mal sehen, welche Gleichungen für jede der Gruppen gelten.

Bestimmung 3

Eine rationale Gleichung ist eine ganze Zahl, wenn der Datensatz ihres linken und rechten Teils ganze rationale Ausdrücke enthält.

Bestimmung 4

Eine rationale Gleichung ist gebrochen, wenn einer oder beide ihrer Teile einen Bruch enthalten.

Bruchrationale Gleichungen enthalten zwangsläufig eine Division durch eine Variable, oder die Variable steht im Nenner. Beim Schreiben ganzzahliger Gleichungen gibt es keine solche Unterteilung.

Beispiel 2

3 x + 2 = 0 und (x + y) (3 x 2 − 1) + x = − y + 0 , 5 sind ganze rationale Gleichungen. Hier werden beide Teile der Gleichung durch ganzzahlige Ausdrücke dargestellt.

1 x - 1 = x 3 und x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5 sind gebrochen rationale Gleichungen.

Ganze rationale Gleichungen umfassen lineare und quadratische Gleichungen.

Ganze Gleichungen lösen

Die Lösung solcher Gleichungen reduziert sich normalerweise auf ihre Transformation in äquivalente algebraische Gleichungen. Dies kann erreicht werden, indem äquivalente Transformationen der Gleichungen gemäß dem folgenden Algorithmus durchgeführt werden:

• zuerst erhalten wir Null auf der rechten Seite der Gleichung, dazu ist es notwendig, den Ausdruck, der sich auf der rechten Seite der Gleichung befindet, auf die linke Seite zu übertragen und das Vorzeichen zu ändern;
• dann wandeln wir den Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung in ein Standardpolynom um.

Wir müssen eine algebraische Gleichung erhalten. Diese Gleichung wird in Bezug auf die ursprüngliche Gleichung äquivalent sein. Einfache Fälle ermöglichen es uns, das Problem zu lösen, indem wir die gesamte Gleichung auf eine lineare oder quadratische reduzieren. Im allgemeinen Fall lösen wir eine algebraische Gradgleichung n.

Beispiel 3

Es ist notwendig, die Wurzeln der gesamten Gleichung zu finden 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.

Entscheidung

Lassen Sie uns den ursprünglichen Ausdruck umformen, um eine äquivalente algebraische Gleichung zu erhalten. Dazu übertragen wir den auf der rechten Seite der Gleichung enthaltenen Ausdruck auf die linke Seite und ändern das Vorzeichen in das Gegenteil. Als Ergebnis erhalten wir: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.

Jetzt werden wir den Ausdruck auf der linken Seite in ein Polynom der Standardform umwandeln und mit diesem Polynom die notwendigen Aktionen ausführen:

3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6

Wir haben es geschafft, die Lösung der ursprünglichen Gleichung auf die Lösung einer quadratischen Gleichung der Form zu reduzieren x 2 − 5 x − 6 = 0. Die Diskriminante dieser Gleichung ist positiv: D = (− 5) 2 − 4 1 (− 6) = 25 + 24 = 49 . Dies bedeutet, dass es zwei echte Wurzeln geben wird. Finden wir sie mit der Formel der Wurzeln der quadratischen Gleichung:

x \u003d - - 5 ± 49 2 1,

x 1 \u003d 5 + 7 2 oder x 2 \u003d 5 - 7 2,

x 1 = 6 oder x 2 = - 1

Überprüfen wir die Richtigkeit der Wurzeln der Gleichung, die wir im Zuge der Lösung gefunden haben. Für diese Zahl, die wir erhalten haben, setzen wir in die ursprüngliche Gleichung ein: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3 und 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) − 1) − 3. Im ersten Fall 63 = 63 , in dieser Sekunde 0 = 0 . Wurzeln x=6 und x = − 1 sind tatsächlich die Wurzeln der in der Beispielbedingung angegebenen Gleichung.

Antworten: 6 , − 1 .

Schauen wir uns an, was „Macht der gesamten Gleichung“ bedeutet. Wir begegnen diesem Begriff oft dann, wenn wir eine ganze Gleichung in Form einer algebraischen darstellen müssen. Lassen Sie uns das Konzept definieren.

Bestimmung 5

Grad einer ganzzahligen Gleichung ist der Grad einer algebraischen Gleichung, die der ursprünglichen ganzen Gleichung entspricht.

Wenn Sie sich die Gleichungen aus dem obigen Beispiel ansehen, können Sie feststellen: Der Grad dieser ganzen Gleichung ist der zweite.

Beschränkte sich unser Kurs auf das Lösen von Gleichungen zweiten Grades, so könnte die Betrachtung des Themas hier abgeschlossen werden. Aber alles ist nicht so einfach. Das Lösen von Gleichungen dritten Grades ist mit Schwierigkeiten verbunden. Und für Gleichungen über dem vierten Grad gibt es überhaupt keine allgemeinen Formeln für die Wurzeln. In dieser Hinsicht erfordert die Lösung ganzer Gleichungen dritten, vierten und anderen Grades, dass wir eine Reihe anderer Techniken und Methoden anwenden.

Der am häufigsten verwendete Ansatz zum Lösen ganzer rationaler Gleichungen basiert auf der Faktorisierungsmethode. Der Aktionsalgorithmus lautet in diesem Fall wie folgt:

• wir übertragen den Ausdruck von der rechten Seite auf die linke Seite, sodass Null auf der rechten Seite des Datensatzes bleibt;
• Wir stellen den Ausdruck auf der linken Seite als Produkt von Faktoren dar und gehen dann zu einer Reihe einfacherer Gleichungen über.

Beispiel 4

Finde die Lösung der Gleichung (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) = 2 x (x 2 − 10 x + 13) .

Entscheidung

Wir übertragen den Ausdruck von der rechten Seite des Datensatzes auf die linke Seite mit umgekehrtem Vorzeichen: (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) − 2 x (x 2 − 10 x + 13) = 0. Die Umwandlung der linken Seite in ein Polynom der Standardform ist unpraktisch, da wir dadurch eine algebraische Gleichung vierten Grades erhalten: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Die Leichtigkeit der Transformation rechtfertigt nicht alle Schwierigkeiten bei der Lösung einer solchen Gleichung.

Es ist viel einfacher, den anderen Weg zu gehen: Wir nehmen den gemeinsamen Faktor heraus x 2 − 10 x + 13 . So kommen wir zu einer Gleichung der Form (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Jetzt ersetzen wir die resultierende Gleichung durch einen Satz von zwei quadratischen Gleichungen x 2 − 10 x + 13 = 0 und x 2 − 2 x − 1 = 0 und finden ihre Wurzeln durch die Diskriminante: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Antworten: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

In ähnlicher Weise können wir die Methode der Einführung einer neuen Variablen verwenden. Diese Methode ermöglicht es uns, zu äquivalenten Gleichungen mit Potenzen zu gelangen, die niedriger sind als die in der ursprünglichen Gesamtgleichung.

Beispiel 5

Hat die Gleichung Wurzeln? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

Entscheidung

Wenn wir nun versuchen, eine ganze rationale Gleichung auf eine algebraische zu reduzieren, erhalten wir eine Gleichung vom Grad 4, die keine rationalen Wurzeln hat. Daher ist es für uns einfacher, den anderen Weg zu gehen: eine neue Variable y einzuführen, die den Ausdruck in der Gleichung ersetzt x 2 + 3 x.

Jetzt arbeiten wir mit der ganzen Gleichung (y + 1) 2 + 10 = − 2 (y − 4). Wir übertragen die rechte Seite der Gleichung auf die linke Seite mit entgegengesetztem Vorzeichen und führen die notwendigen Transformationen durch. Wir bekommen: y 2 + 4 y + 3 = 0. Lassen Sie uns die Wurzeln der quadratischen Gleichung finden: y = − 1 und y = − 3.

Jetzt machen wir die umgekehrte Substitution. Wir erhalten zwei Gleichungen x 2 + 3 x = − 1 und x 2 + 3 x = - 3 . Schreiben wir sie um als x 2 + 3 x + 1 = 0 und x 2 + 3 x + 3 = 0. Wir verwenden die Formel der Wurzeln der quadratischen Gleichung, um die Wurzeln der ersten erhaltenen Gleichung zu finden: - 3 ± 5 2 . Die Diskriminante der zweiten Gleichung ist negativ. Das bedeutet, dass die zweite Gleichung keine echten Wurzeln hat.

Antworten:- 3 ± 5 2

Ganzzahlige Gleichungen hohen Grades tauchen recht häufig in Problemen auf. Vor ihnen braucht man keine Angst zu haben. Sie müssen bereit sein, eine nicht standardmäßige Methode zu ihrer Lösung anzuwenden, einschließlich einer Reihe künstlicher Transformationen.

Lösung von gebrochen rationalen Gleichungen

Wir beginnen unsere Betrachtung dieses Unterthemas mit einem Algorithmus zum Lösen von gebrochen rationalen Gleichungen der Form p (x) q (x) = 0 , wobei p(x) und q(x) sind ganzzahlige rationale Ausdrücke. Die Lösung anderer gebrochen rationaler Gleichungen kann immer auf die Lösung von Gleichungen der angegebenen Form zurückgeführt werden.

Die am häufigsten verwendete Methode zum Lösen von Gleichungen p (x) q (x) = 0 basiert auf der folgenden Aussage: Zahlenbruch du v, wo v ist eine von Null verschiedene Zahl, die nur dann gleich Null ist, wenn der Zähler des Bruchs gleich Null ist. Der Logik der obigen Aussage folgend können wir behaupten, dass die Lösung der Gleichung p (x) q (x) = 0 auf die Erfüllung zweier Bedingungen reduziert werden kann: p(x)=0 und q(x) ≠ 0. Darauf aufbauend wird ein Algorithmus zur Lösung gebrochener rationaler Gleichungen der Form p (x) q (x) = 0 aufgebaut:

• wir finden die Lösung der ganzen rationalen Gleichung p(x)=0;
• wir prüfen, ob die Bedingung für die bei der Lösung gefundenen Nullstellen erfüllt ist q(x) ≠ 0.

Wenn diese Bedingung erfüllt ist, dann die gefundene Wurzel, wenn nicht, dann ist die Wurzel keine Lösung des Problems.

Beispiel 6

Finden Sie die Nullstellen der Gleichung 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 .

Entscheidung

Wir haben es mit einer gebrochenen rationalen Gleichung der Form p (x) q (x) = 0 zu tun, in der p (x) = 3 · x − 2 , q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 . Beginnen wir mit der Lösung der linearen Gleichung 3 x - 2 = 0. Die Wurzel dieser Gleichung wird sein x = 2 3.

Lassen Sie uns die gefundene Wurzel überprüfen, ob sie die Bedingung erfüllt 5 x 2 - 2 ≠ 0. Ersetzen Sie dazu einen numerischen Wert in den Ausdruck. Wir erhalten: 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 ≠ 0.

Die Bedingung ist erfüllt. Das bedeutet es x = 2 3 ist die Wurzel der ursprünglichen Gleichung.

Antworten: 2 3 .

Es gibt eine weitere Möglichkeit, gebrochene rationale Gleichungen p (x) q (x) = 0 zu lösen. Denken Sie daran, dass diese Gleichung der gesamten Gleichung entspricht p(x)=0über den Bereich der zulässigen Werte der Variablen x der ursprünglichen Gleichung. Dies erlaubt uns, den folgenden Algorithmus zum Lösen der Gleichungen p(x) q(x) = 0 zu verwenden:

• löse die Gleichung p(x)=0;
• Finden Sie den Bereich akzeptabler Werte für die Variable x ;
• Wir nehmen die Wurzeln, die im Bereich zulässiger Werte der Variablen x liegen, als gewünschte Wurzeln der ursprünglichen gebrochenen rationalen Gleichung.

Beispiel 7

Löse die Gleichung x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 .

Entscheidung

Lösen wir zuerst die quadratische Gleichung x 2 − 2 x − 11 = 0. Um seine Wurzeln zu berechnen, verwenden wir die Wurzelformel für einen geraden zweiten Koeffizienten. Wir bekommen D 1 = (− 1) 2 − 1 (− 11) = 12, und x = 1 ± 2 3 .

Jetzt können wir die ODV von x für die ursprüngliche Gleichung finden. Das sind alles Zahlen für die x 2 + 3 x ≠ 0. Es ist dasselbe wie x (x + 3) ≠ 0, womit x ≠ 0 , x ≠ − 3 .

Lassen Sie uns nun prüfen, ob die in der ersten Stufe der Lösung erhaltenen Wurzeln x = 1 ± 2 3 innerhalb des Bereichs akzeptabler Werte der Variablen x liegen. Wir sehen, was reinkommt. Das bedeutet, dass die ursprüngliche rationale Bruchgleichung zwei Wurzeln x = 1 ± 2 3 hat.

Antworten: x = 1 ± 2 3

Die zweite beschriebene Lösungsmethode ist einfacher als die erste in Fällen, in denen der Bereich der zulässigen Werte der Variablen x leicht zu finden ist, und die Wurzeln der Gleichung p(x)=0 irrational. Zum Beispiel 7 ± 4 26 9 . Wurzeln können rational sein, aber mit einem großen Zähler oder Nenner. Zum Beispiel, 127 1101 und − 31 59 . Dies spart Zeit für die Überprüfung des Zustands. q(x) ≠ 0: Laut ODZ ist es viel einfacher, Wurzeln auszuschließen, die nicht passen.

Wenn die Wurzeln der Gleichung p(x)=0 ganze Zahlen sind, ist es zweckmäßiger, den ersten der beschriebenen Algorithmen zum Lösen von Gleichungen der Form p (x) q (x) = 0 zu verwenden. Schnelleres Finden der Wurzeln einer ganzen Gleichung p(x)=0, und prüfen Sie dann, ob die Bedingung für sie erfüllt ist q(x) ≠ 0, und finden Sie nicht die ODZ, und lösen Sie dann die Gleichung p(x)=0 auf diesem ODZ. Dies liegt daran, dass es in solchen Fällen in der Regel einfacher ist, eine Überprüfung vorzunehmen, als die ODZ zu finden.

Beispiel 8

Finden Sie die Wurzeln der Gleichung (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0 .

Entscheidung

Wir beginnen mit der Betrachtung der gesamten Gleichung (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0 und seine Wurzeln zu finden. Dazu wenden wir die Methode der Lösung von Gleichungen durch Faktorisierung an. Es stellt sich heraus, dass die ursprüngliche Gleichung einem Satz von vier Gleichungen entspricht: 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, von denen drei linear sind und einer ist quadratisch. Wir finden die Wurzeln: aus der ersten Gleichung x = 1 2, ab dem zweiten x=6, ab dem dritten - x \u003d 7, x \u003d - 2, ab dem vierten - x = − 1.

Lassen Sie uns die erhaltenen Wurzeln überprüfen. In diesem Fall ist es für uns schwierig, die ODZ zu bestimmen, da wir dazu eine algebraische Gleichung fünften Grades lösen müssen. Es ist einfacher, die Bedingung zu überprüfen, nach der der Nenner des Bruchs, der auf der linken Seite der Gleichung steht, nicht verschwinden sollte.

Ersetzen Sie wiederum die Wurzeln anstelle der Variablen x im Ausdruck x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 und berechne seinen Wert:

1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠0;

6 5 − 15 6 4 + 57 6 3 − 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 − 15 7 4 + 57 7 3 − 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 − 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 − 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 .

Die durchgeführte Überprüfung ermöglicht es uns festzustellen, dass die Wurzeln der ursprünglichen gebrochenen rationalen Gleichung 1 2 , 6 und sind − 2 .

Antworten: 1 2 , 6 , - 2

Beispiel 9

Finden Sie die Wurzeln der gebrochenen rationalen Gleichung 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 .

Entscheidung

Beginnen wir mit der Gleichung (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. Finden wir seine Wurzeln. Es ist für uns einfacher, diese Gleichung als Kombination aus quadratischen und linearen Gleichungen darzustellen 5 x 2 - 7 x - 1 = 0 und x − 2 = 0.

Wir verwenden die Formel der Wurzeln einer quadratischen Gleichung, um die Wurzeln zu finden. Wir erhalten zwei Wurzeln x = 7 ± 69 10 aus der ersten Gleichung und aus der zweiten x=2.

Den Wert der Wurzeln in die ursprüngliche Gleichung einzusetzen, um die Bedingungen zu überprüfen, wird für uns ziemlich schwierig sein. Es ist einfacher, den LPV der Variablen x zu bestimmen. In diesem Fall ist der DPV der Variablen x alles Zahlen, außer denen, für die die Bedingung erfüllt ist x 2 + 5 x − 14 = 0. Wir erhalten: x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .

Lassen Sie uns nun überprüfen, ob die gefundenen Wurzeln in den Bereich akzeptabler Werte für die x-Variable gehören.

Die Wurzeln x = 7 ± 69 10 - gehören daher, sie sind die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung, und x=2- gehört nicht dazu, daher ist es eine fremde Wurzel.

Antworten: x = 7 ± 69 10 .

Untersuchen wir gesondert die Fälle, in denen der Zähler einer gebrochenen rationalen Gleichung der Form p (x) q (x) = 0 eine Zahl enthält. Wenn in solchen Fällen der Zähler eine andere Zahl als Null enthält, hat die Gleichung keine Wurzeln. Wenn diese Zahl gleich Null ist, dann ist die Wurzel der Gleichung eine beliebige Zahl aus der ODZ.

Beispiel 10

Lösen Sie die gebrochene rationale Gleichung - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 .

Entscheidung

Diese Gleichung hat keine Wurzeln, da der Zähler des Bruchs auf der linken Seite der Gleichung eine Zahl ungleich Null enthält. Dies bedeutet, dass für alle Werte von x der Wert des Bruchs, der in der Bedingung des Problems angegeben ist, nicht gleich Null ist.

Antworten: Keine Wurzeln.

Beispiel 11

Löse die Gleichung 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

Entscheidung

Da der Zähler des Bruchs Null ist, ist die Lösung der Gleichung ein beliebiger Wert von x aus der ODZ-Variablen x.

Lassen Sie uns nun die ODZ definieren. Es werden alle x-Werte für die enthalten sein x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Gleichungslösungen x 4 + 5 x 3 = 0 sind 0 und − 5 , da diese Gleichung äquivalent zur Gleichung ist x 3 (x + 5) = 0, und es ist wiederum äquivalent zu dem Satz von zwei Gleichungen x 3 = 0 und x + 5 = 0 wo diese Wurzeln sichtbar sind. Wir kommen zu dem Schluss, dass der gewünschte Bereich akzeptabler Werte alle x sind, außer x=0 und x = -5.

Es stellt sich heraus, dass die gebrochene rationale Gleichung 0 x 4 + 5 x 3 = 0 unendlich viele Lösungen hat, die beliebige Zahlen außer Null und - 5 sind.

Antworten: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Lassen Sie uns nun über gebrochene rationale Gleichungen beliebiger Form und Methoden zu ihrer Lösung sprechen. Sie können geschrieben werden als r(x) = s(x), wo r(x) und s(x) sind rationale Ausdrücke, und mindestens einer von ihnen ist gebrochen. Die Lösung solcher Gleichungen wird auf die Lösung von Gleichungen der Form p (x) q (x) = 0 reduziert.

Wir wissen bereits, dass wir eine äquivalente Gleichung erhalten können, indem wir den Ausdruck von der rechten Seite der Gleichung auf die linke Seite mit umgekehrtem Vorzeichen übertragen. Das bedeutet, dass die Gleichung r(x) = s(x) entspricht der Gleichung r(x) − s(x) = 0. Wir haben auch schon besprochen, wie man einen rationalen Ausdruck in einen rationalen Bruch umwandelt. Dank dessen können wir die Gleichung leicht umwandeln r(x) − s(x) = 0 in seinen identischen rationalen Bruch der Form p (x) q (x) .

Wir gehen also von der ursprünglichen gebrochenen rationalen Gleichung weg r(x) = s(x) zu einer Gleichung der Form p (x) q (x) = 0 , deren Lösung wir bereits gelernt haben.

Zu beachten ist, dass bei Übergängen aus r(x) − s(x) = 0 zu p (x) q (x) = 0 und dann zu p(x)=0 Wir dürfen die Erweiterung des Bereichs gültiger Werte der Variablen x nicht berücksichtigen.

Es ist ziemlich realistisch, dass die ursprüngliche Gleichung r(x) = s(x) und Gleichung p(x)=0 infolge der Transformationen werden sie nicht mehr gleichwertig sein. Dann die Lösung der Gleichung p(x)=0 kann uns Wurzeln geben, die fremd sein werden r(x) = s(x). Diesbezüglich ist in jedem Fall eine Überprüfung durch eine der oben beschriebenen Methoden durchzuführen.

Um Ihnen das Studium des Themas zu erleichtern, haben wir alle Informationen in einem Algorithmus zum Lösen einer gebrochenen rationalen Gleichung der Form verallgemeinert r(x) = s(x):

• wir übertragen den Ausdruck von der rechten Seite mit umgekehrtem Vorzeichen und erhalten rechts Null;
• wir wandeln den ursprünglichen Ausdruck in einen rationalen Bruch p (x) q (x) um, indem wir nacheinander Aktionen mit Brüchen und Polynomen ausführen;
• löse die Gleichung p(x)=0;
• wir enthüllen fremde Nullstellen, indem wir ihre Zugehörigkeit zur ODZ überprüfen oder sie in die ursprüngliche Gleichung einsetzen.

Optisch sieht die Aktionskette wie folgt aus:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → Ausfall r o n d e r o o n s

Beispiel 12

Lösen Sie die gebrochene rationale Gleichung x x + 1 = 1 x + 1 .

Entscheidung

Kommen wir zur Gleichung x x + 1 - 1 x + 1 = 0 . Lassen Sie uns den gebrochenen rationalen Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung in die Form p (x) q (x) umwandeln.

Dazu müssen wir rationale Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen und den Ausdruck vereinfachen:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x (x + 1) = - 2 x - 1 x (x + 1)

Um die Wurzeln der Gleichung zu finden - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, müssen wir die Gleichung lösen − 2 x − 1 = 0. Wir bekommen eine Wurzel x = - 1 2.

Es bleibt uns überlassen, die Überprüfung mit einer der Methoden durchzuführen. Betrachten wir sie beide.

Setzen Sie den resultierenden Wert in die ursprüngliche Gleichung ein. Wir erhalten - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 . Wir sind bei der richtigen numerischen Gleichheit angelangt − 1 = − 1 . Das bedeutet es x = − 1 2 ist die Wurzel der ursprünglichen Gleichung.

Jetzt werden wir die ODZ durchchecken. Lassen Sie uns den Bereich der akzeptablen Werte für die Variable x bestimmen. Dies ist der gesamte Satz von Zahlen, mit Ausnahme von − 1 und 0 (wenn x = − 1 und x = 0, verschwinden die Nenner von Brüchen). Die Wurzel, die wir haben x = − 1 2 gehört zur ODZ. Dies bedeutet, dass es die Wurzel der ursprünglichen Gleichung ist.

Antworten: − 1 2 .

Beispiel 13

Finden Sie die Nullstellen der Gleichung x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x .

Entscheidung

Wir haben es mit einer gebrochen rationalen Gleichung zu tun. Daher werden wir gemäß dem Algorithmus handeln.

Verschieben wir den Ausdruck von der rechten Seite auf die linke Seite mit entgegengesetztem Vorzeichen: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Führen wir die notwendigen Transformationen durch: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.

Wir kommen zur Gleichung x=0. Die Wurzel dieser Gleichung ist Null.

Prüfen wir, ob diese Wurzel für die ursprüngliche Gleichung fremd ist. Ersetzen Sie den Wert in der ursprünglichen Gleichung: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 . Wie Sie sehen können, ergibt die resultierende Gleichung keinen Sinn. Dies bedeutet, dass 0 eine irrelevante Wurzel ist und die ursprüngliche rationale Bruchgleichung keine Wurzeln hat.

Antworten: Keine Wurzeln.

Wenn wir keine anderen äquivalenten Transformationen in den Algorithmus aufgenommen haben, bedeutet dies keineswegs, dass sie nicht verwendet werden können. Der Algorithmus ist universell, aber er soll helfen, nicht einschränken.

Beispiel 14

Löse die Gleichung 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Entscheidung

Der einfachste Weg ist, die gegebene gebrochene rationale Gleichung gemäß dem Algorithmus zu lösen. Aber es gibt einen anderen Weg. Betrachten wir es.

Subtrahieren Sie vom rechten und linken Teil 7, erhalten wir: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24.

Daraus können wir schließen, dass der Ausdruck im Nenner der linken Seite gleich dem Kehrwert der Zahl von der rechten Seite sein sollte, also 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 .

Subtrahiere von beiden Teilen 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . Analog 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3, woraus 1 5 - x 2 \u003d 1 3 und weiter 5 - x 2 \u003d 3, x 2 \u003d 2, x \u003d ± 2

Lassen Sie uns überprüfen, ob die gefundenen Wurzeln die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung sind.

Antworten: x = ± 2

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Gleichungen mit Brüchen selbst sind nicht schwierig und sehr interessant. Betrachten Sie die Arten von Bruchgleichungen und Möglichkeiten, sie zu lösen.

So lösen Sie Gleichungen mit Brüchen - x im Zähler

Wenn eine Bruchgleichung gegeben ist, bei der die Unbekannte im Zähler steht, erfordert die Lösung keine zusätzlichen Bedingungen und wird ohne unnötigen Aufwand gelöst. Die allgemeine Form einer solchen Gleichung ist x/a + b = c, wobei x eine Unbekannte ist, a, b und c gewöhnliche Zahlen sind.

Finde x: x/5 + 10 = 70.

Um die Gleichung zu lösen, musst du die Brüche loswerden. Multipliziere jeden Term der Gleichung mit 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x und 5 wird reduziert, 10 und 70 werden mit 5 multipliziert und wir erhalten: x + 50 = 350 => x = 350 - 50 = 300.

Finde x: x/5 + x/10 = 90.

Dieses Beispiel ist eine etwas kompliziertere Version des ersten. Hier gibt es zwei Lösungen.

• Option 1: Beseitigen Sie Brüche, indem Sie alle Terme der Gleichung mit einem größeren Nenner multiplizieren, also mit 10: 10x/5 + 10x/10 = 90x10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x= 300.
• Option 2: Addiere die linke Seite der Gleichung. x/5 + x/10 = 90. Der gemeinsame Nenner ist 10. Teilen Sie 10 durch 5, multiplizieren Sie mit x, wir erhalten 2x. 10 geteilt durch 10, multipliziert mit x, erhalten wir x: 2x+x/10 = 90. Also 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Oft gibt es Bruchgleichungen, in denen x auf gegenüberliegenden Seiten des Gleichheitszeichens stehen. In einer solchen Situation ist es notwendig, alle Brüche mit x in eine Richtung und die Zahlen in eine andere Richtung zu übertragen.

• Finde x: 3x/5 = 130 - 2x/5.
• Bewegen Sie 2x/5 nach rechts mit entgegengesetztem Vorzeichen: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
• Wir reduzieren 5x/5 und erhalten: x = 130.

So lösen Sie eine Gleichung mit Brüchen - x im Nenner

Diese Art von Bruchgleichungen erfordert das Schreiben zusätzlicher Bedingungen. Die Angabe dieser Bedingungen ist ein obligatorischer und integraler Bestandteil der richtigen Entscheidung. Wenn Sie sie nicht zuordnen, gehen Sie das Risiko ein, dass die Antwort (auch wenn sie richtig ist) möglicherweise einfach nicht gezählt wird.

Die allgemeine Form von Bruchgleichungen, bei denen x im Nenner steht, ist: a/x + b = c, wobei x eine Unbekannte ist, a, b, c gewöhnliche Zahlen sind. Beachten Sie, dass x möglicherweise keine Zahl ist. Zum Beispiel kann x nicht Null sein, da man nicht durch 0 teilen kann. Genau diese zusätzliche Bedingung müssen wir angeben. Dies wird als Bereich akzeptabler Werte bezeichnet, abgekürzt - ODZ.

Finde x: 15/x + 18 = 21.

Wir schreiben sofort die ODZ für x: x ≠ 0. Nachdem nun die ODZ angegeben ist, lösen wir die Gleichung nach dem Standardschema und entfernen die Brüche. Wir multiplizieren alle Terme der Gleichung mit x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Oft gibt es Gleichungen, bei denen der Nenner nicht nur x enthält, sondern auch eine andere Operation damit, wie zum Beispiel Addition oder Subtraktion.

Finde x: 15/(x-3) + 18 = 21.

Wir wissen bereits, dass der Nenner nicht gleich Null sein kann, was bedeutet, dass x-3 ≠ 0 ist. Wir übertragen -3 auf die rechte Seite, während wir das „-“-Zeichen in „+“ ändern, und wir erhalten, dass x ≠ 3. ODZ ist angegeben.

Lösen Sie die Gleichung, multiplizieren Sie alles mit x-3: 15 + 18x(x - 3) = 21x(x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63.

Bewege die x nach rechts, die Zahlen nach links: 24 = 3x => x = 8.

Gleichungen mit Brüchen lösen Schauen wir uns Beispiele an. Die Beispiele sind einfach und anschaulich. Mit ihrer Hilfe können Sie auf verständlichste Weise verstehen,.
Beispielsweise müssen Sie eine einfache Gleichung x/b + c = d lösen.

Eine solche Gleichung heißt linear, weil der Nenner enthält nur Zahlen.

Die Lösung erfolgt durch Multiplikation beider Seiten der Gleichung mit b, dann nimmt die Gleichung die Form x = b*(d – c) an, d.h. der Nenner des Bruchs auf der linken Seite wird gekürzt.

Zum Beispiel, wie man eine Bruchgleichung löst:
x/5+4=9
Wir multiplizieren beide Teile mit 5. Wir erhalten:
x+20=45
x=45-20=25

Ein weiteres Beispiel, bei dem das Unbekannte im Nenner steht:

Gleichungen dieser Art werden als gebrochen rational oder einfach gebrochen bezeichnet.

Wir würden eine Bruchgleichung lösen, indem wir Brüche entfernen, woraufhin diese Gleichung meistens in eine lineare oder quadratische umgewandelt wird, die auf die übliche Weise gelöst wird. Sie sollten nur die folgenden Punkte berücksichtigen:

• der Wert einer Variablen, die den Nenner auf 0 setzt, kann keine Wurzel sein;
• Sie können die Gleichung nicht durch den Ausdruck =0 dividieren oder multiplizieren.

Hier tritt ein Konzept wie der Bereich der zulässigen Werte (ODZ) in Kraft - dies sind die Werte der Wurzeln der Gleichung, für die die Gleichung sinnvoll ist.

Um die Gleichung zu lösen, ist es daher notwendig, die Wurzeln zu finden und sie dann auf Übereinstimmung mit der ODZ zu überprüfen. Diejenigen Wurzeln, die nicht unserem DHS entsprechen, werden von der Antwort ausgeschlossen.

Zum Beispiel müssen Sie eine Bruchgleichung lösen:

Aufgrund der obigen Regel kann x nicht = 0 sein, d.h. ODZ in diesem Fall: x - beliebiger Wert außer Null.

Wir beseitigen den Nenner, indem wir alle Terme der Gleichung mit x multiplizieren

Und lösen Sie die übliche Gleichung

5x - 2x = 1
3x=1
x = 1/3

Antwort: x = 1/3

Lösen wir die Gleichung komplizierter:

ODZ ist auch hier vorhanden: x -2.

Beim Lösen dieser Gleichung werden wir nicht alles in eine Richtung übertragen und Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Wir multiplizieren sofort beide Seiten der Gleichung mit einem Ausdruck, der alle Nenner auf einmal reduziert.

Um die Nenner zu reduzieren, müssen Sie die linke Seite mit x + 2 und die rechte Seite mit 2 multiplizieren. Also müssen beide Seiten der Gleichung mit 2 (x + 2) multipliziert werden:

Dies ist die häufigste Multiplikation von Brüchen, die wir oben bereits besprochen haben.

Wir schreiben die gleiche Gleichung, aber auf eine etwas andere Weise.

Die linke Seite wird um (x + 2) reduziert und die rechte Seite um 2. Nach der Reduktion erhalten wir die übliche lineare Gleichung:

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, was unserer ODZ entspricht

Antwort: x = 2.

Gleichungen mit Brüchen lösen nicht so schwierig, wie es scheinen mag. In diesem Artikel haben wir dies anhand von Beispielen gezeigt. Wenn Sie irgendwelche Schwierigkeiten damit haben wie man Gleichungen mit Brüchen löst, dann in den Kommentaren abbestellen.

Einfach ausgedrückt sind dies Gleichungen, in denen mindestens eine eine Variable im Nenner hat.

Zum Beispiel:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Beispiel nicht Bruchrationale Gleichungen:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Wie werden gebrochene rationale Gleichungen gelöst?

Das Wichtigste, woran Sie bei gebrochenen rationalen Gleichungen denken sollten, ist, dass Sie in sie schreiben müssen. Und nachdem Sie die Wurzeln gefunden haben, überprüfen Sie diese unbedingt auf Zulässigkeit. Andernfalls können fremde Wurzeln auftreten, und die gesamte Lösung wird als falsch angesehen.

Algorithmus zum Lösen einer gebrochenen rationalen Gleichung:

Schreiben Sie die ODZ aus und "lösen" Sie sie.

Multipliziere jeden Term in der Gleichung mit einem gemeinsamen Nenner und kürze die resultierenden Brüche. Die Nenner werden verschwinden.

Schreiben Sie die Gleichung ohne öffnende Klammern.

Lösen Sie die resultierende Gleichung.

Überprüfen Sie die gefundenen Wurzeln mit ODZ.

Schreiben Sie als Antwort die Wurzeln auf, die den Test in Schritt 7 bestanden haben.

Merken Sie sich den Algorithmus nicht, 3-5 gelöste Gleichungen - und er wird sich von selbst merken.

Beispiel . Lösen Sie die gebrochene rationale Gleichung \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Entscheidung:

Antworten: \(3\).

Beispiel . Finden Sie die Wurzeln der gebrochenen rationalen Gleichung \(=0\)

Entscheidung:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		Wir schreiben ODZ auf und „lösen“ sie. Erweitern Sie \(x^2+7x+10\) in die Formel: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). Glücklicherweise haben wir \(x_1\) und \(x_2\) bereits gefunden.
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Offensichtlich der gemeinsame Nenner von Brüchen: \((x+2)(x+5)\). Wir multiplizieren die ganze Gleichung damit.
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Wir kürzen Brüche
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		Öffnen der Klammern
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Wir geben ähnliche Bedingungen
\(2x^2+9x-5=0\)		Suche nach den Wurzeln der Gleichung
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		Eine der Wurzeln passt nicht unter die ODZ, also schreiben wir als Antwort nur die zweite Wurzel auf.

Antworten: \(\frac(1)(2)\).

Wir haben bereits gelernt, wie man quadratische Gleichungen löst. Erweitern wir nun die untersuchten Methoden auf rationale Gleichungen.

Was ist ein rationaler Ausdruck? Diesem Begriff sind wir bereits begegnet. Rationale Ausdrücke sogenannte Ausdrücke, die aus Zahlen, Variablen, ihren Graden und Vorzeichen mathematischer Operationen bestehen.

Dementsprechend sind rationale Gleichungen Gleichungen der Form: , wo - rationale Ausdrücke.

Bisher haben wir nur die rationalen Gleichungen betrachtet, die sich auf lineare reduzieren lassen. Betrachten wir nun die rationalen Gleichungen, die auf quadratische Gleichungen reduziert werden können.

Beispiel 1

Löse die Gleichung: .

Entscheidung:

Ein Bruch ist genau dann 0, wenn sein Zähler 0 und sein Nenner nicht 0 ist.

Wir erhalten folgendes System:

Die erste Gleichung des Systems ist eine quadratische Gleichung. Bevor wir es lösen, teilen wir alle seine Koeffizienten durch 3. Wir erhalten:

Wir bekommen zwei Wurzeln: ; .

Da 2 niemals gleich 0 ist, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein: . Da keine der Wurzeln der oben erhaltenen Gleichung mit den ungültigen Werten der Variablen übereinstimmt, die beim Lösen der zweiten Ungleichung erhalten wurden, sind beide Lösungen dieser Gleichung.

Antworten:.

Lassen Sie uns also einen Algorithmus zum Lösen rationaler Gleichungen formulieren:

1. Verschieben Sie alle Terme auf die linke Seite, sodass auf der rechten Seite 0 erhalten wird.

2. Transformiere und vereinfache die linke Seite, bringe alle Brüche auf einen gemeinsamen Nenner.

3. Den resultierenden Bruch nach folgendem Algorithmus mit 0 gleichsetzen: .

4. Schreiben Sie die Wurzeln auf, die in der ersten Gleichung erhalten werden, und erfüllen Sie als Antwort die zweite Ungleichung.

Schauen wir uns ein anderes Beispiel an.

Beispiel 2

Löse die Gleichung: .

Entscheidung

Ganz am Anfang übertragen wir alle Terme auf die linke Seite, sodass auf der rechten Seite 0 bleibt und wir erhalten:

Nun bringen wir die linke Seite der Gleichung auf einen gemeinsamen Nenner:

Diese Gleichung entspricht dem System:

Die erste Gleichung des Systems ist eine quadratische Gleichung.

Die Koeffizienten dieser Gleichung: . Wir berechnen die Diskriminante:

Wir bekommen zwei Wurzeln: ; .

Lösen wir nun die zweite Ungleichung: Das Produkt der Faktoren ist genau dann ungleich 0, wenn keiner der Faktoren gleich 0 ist.

Zwei Bedingungen müssen erfüllt sein: . Wir erhalten, dass von den beiden Wurzeln der ersten Gleichung nur eine geeignet ist - 3.

Antworten:.

In dieser Lektion haben wir uns daran erinnert, was ein rationaler Ausdruck ist, und auch gelernt, wie man rationale Gleichungen löst, die auf quadratische Gleichungen reduziert werden.

In der nächsten Lektion werden wir rationale Gleichungen als Modelle realer Situationen betrachten und auch Bewegungsprobleme betrachten.

Referenzliste

1. Bashmakov M.I. Algebra, Klasse 8. - M.: Aufklärung, 2004.
2. Dorofeev G. V., Suvorova S. B., Bunimovich E. A. et al., Algebra, 8. 5. Aufl. -M.: Bildung, 2010.
3. Nikolsky S. M., Potapov M. A., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. Algebra, Klasse 8. Lehrbuch für Bildungseinrichtungen. -M.: Bildung, 2006.

1. Festival der pädagogischen Ideen "Open Lesson" ().
2. Schule.xvatit.com().
3. Rudocs.exdat.com().

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