Wenn sich mehrere Wellen gleichzeitig in einem Medium ausbreiten, dann erweisen sich die Schwingungen der Teilchen des Mediums als die geometrische Summe der Schwingungen, die die Teilchen bei der Ausbreitung jeder der Wellen einzeln machen würden. Folglich überlagern sich die Wellen einfach, ohne sich gegenseitig zu stören. Diese Aussage nennt man das Prinzip der Überlagerung von Wellen. Das Überlagerungsprinzip besagt, dass die Bewegung, die durch die Ausbreitung mehrerer Wellen auf einmal entsteht, wieder ein bestimmter Wellenvorgang ist. Ein solcher Vorgang ist zum Beispiel der Klang eines Orchesters. Sie entsteht durch die gleichzeitige Anregung von Schallschwingungen der Luft durch einzelne Musikinstrumente. Bemerkenswert ist, dass bei der Überlagerung von Wellen besondere Phänomene auftreten können. Sie werden Additionseffekte oder, wie sie sagen, Überlagerung von Wellen genannt. Unter diesen Effekten sind Interferenz und Beugung die wichtigsten.

Interferenz ist ein Phänomen der zeitlich andauernden Umverteilung der Energie von Vibrationen im Raum, wodurch Vibrationen an einigen Stellen verstärkt und an anderen abgeschwächt werden. Dieses Phänomen tritt bei der Addition von Wellen mit zeitlich gleichbleibender Phasendifferenz auf, den sogenannten kohärenten Wellen. Die Interferenz einer großen Anzahl von Wellen wird allgemein als Beugung bezeichnet. Es gibt keinen grundsätzlichen Unterschied zwischen Interferenz und Beugung. Die Natur dieser Phänomene ist die gleiche. Wir beschränken uns darauf, nur einen sehr wichtigen Interferenzeffekt zu diskutieren, nämlich die Bildung stehender Wellen.

Eine notwendige Bedingung für die Bildung stehender Wellen ist das Vorhandensein von Grenzen, die die auf sie einfallenden Wellen reflektieren. Stehende Wellen entstehen durch Addition von einfallenden und reflektierten Wellen. Phänomene dieser Art sind durchaus üblich. Jeder Ton eines Musikinstruments wird also durch eine stehende Welle angeregt. Diese Welle entsteht entweder in einer Saite (Saiteninstrumente) oder in einer Luftsäule (Blasinstrumente). Die reflektierenden Grenzen sind in diesen Fällen die Befestigungspunkte der Saite und die Oberflächen der inneren Hohlräume von Blasinstrumenten.

Jede stehende Welle hat die folgenden Eigenschaften. Der gesamte Raumbereich, in dem die Welle angeregt wird, kann so in Zellen unterteilt werden, dass Schwingungen an den Grenzen der Zellen vollständig fehlen. Die Punkte, die sich auf diesen Grenzen befinden, werden als Knoten der stehenden Welle bezeichnet. Die Schwingungsphasen an den inneren Punkten jeder Zelle sind gleich. Schwingungen in benachbarten Zellen erfolgen gegeneinander, also gegenphasig. Innerhalb einer Zelle variiert die Amplitude der Schwingungen im Raum und erreicht an einigen Stellen ihren Maximalwert. Die Punkte, an denen dies beobachtet wird, werden als Wellenbäuche der stehenden Welle bezeichnet. Schließlich ist eine charakteristische Eigenschaft stehender Wellen die Diskretion ihres Frequenzspektrums. Bei einer stehenden Welle können Schwingungen nur mit genau definierten Frequenzen auftreten, und der Übergang von einer zur anderen erfolgt sprunghaft.

Betrachten Sie ein einfaches Beispiel einer stehenden Welle. Nehmen Sie an, dass eine Schnur von begrenzter Länge entlang der Achse gespannt wird; seine Enden sind starr fixiert, und das linke Ende befindet sich am Koordinatenursprung. Dann ist die Koordinate des rechten Endes . Lassen Sie uns eine Welle in einer Saite anregen

,

breitet sich von links nach rechts aus. Die Welle wird vom rechten Ende der Saite reflektiert. Nehmen wir an, dass dies ohne Energieverlust geschieht. In diesem Fall hat die reflektierte Welle dieselbe Amplitude und dieselbe Frequenz wie die einfallende Welle. Daher sollte die reflektierte Welle die Form haben:

Seine Phase enthält eine Konstante, die die Phasenänderung bei Reflexion bestimmt. Da die Reflexion an beiden Enden der Saite und ohne Energieverlust erfolgt, breiten sich Wellen gleicher Frequenz gleichzeitig in der Saite aus. Daher sollten beim Hinzufügen Interferenzen auftreten. Finden wir die resultierende Welle.

Dies ist die Stehwellengleichung. Daraus folgt, dass an jedem Punkt der Saite Schwingungen mit einer Frequenz auftreten. In diesem Fall ist die Amplitude der Schwingungen an einem Punkt gleich

.

Da die Enden der Saite fixiert sind, gibt es dort keine Vibrationen. Aus der Bedingung folgt, dass . So landen wir bei:

.

Es ist nun klar, dass an den Stellen wo überhaupt keine Schwingungen auftreten. Diese Punkte sind die Knoten der stehenden Welle. An derselben Stelle, an der die Schwingungsamplitude maximal ist, ist sie gleich dem doppelten Wert der Amplitude der addierten Schwingungen. Diese Punkte sind die Bäuche der stehenden Welle. Das Auftreten von Wellenbäuchen und Knoten ist genau die Interferenz: An einigen Stellen werden die Schwingungen verstärkt, während sie an anderen verschwinden. Der Abstand zwischen einem benachbarten Knoten und einem Schwingungsbauch ergibt sich aus der offensichtlichen Bedingung: . Weil dann . Daher ist der Abstand zwischen benachbarten Knoten .

Aus der Stehwellengleichung ist ersichtlich, dass der Faktor beim Durchgang durch Null ändert es das Vorzeichen. Dementsprechend unterscheidet sich die Phase der Schwingungen auf verschiedenen Seiten des Knotens um . Das bedeutet, dass die auf gegenüberliegenden Seiten des Knotens liegenden Punkte gegenphasig schwingen. Alle zwischen zwei benachbarten Knoten eingeschlossenen Punkte schwingen in der gleichen Phase.

Wenn man also die einfallende und die reflektierte Welle addiert, erhält man tatsächlich das zuvor charakterisierte Muster der Wellenbewegung. In diesem Fall sind die Zellen, die im eindimensionalen Fall diskutiert wurden, Segmente, die zwischen benachbarten Knoten eingeschlossen sind und eine Länge haben.

Stellen wir abschließend sicher, dass die betrachtete Welle nur bei genau definierten Schwingungsfrequenzen existieren kann. Nutzen wir die Tatsache, dass am rechten Ende der Saite, also , keine Schwingungen auftreten. Daher stellt sich heraus, dass. Diese Gleichheit ist möglich, wenn , wobei eine beliebige positive ganze Zahl ist.

6.1 Stehende Wellen in einem elastischen Medium

Wenn sich mehrere Wellen gleichzeitig in einem elastischen Medium ausbreiten, erfolgt nach dem Überlagerungsprinzip ihre Überlagerung, und die Wellen stören sich nicht gegenseitig: Die Schwingungen der Teilchen des Mediums sind die Vektorsumme der Schwingungen, die die Teilchen machen würden während der Ausbreitung jeder der Wellen separat .

Wellen, die Schwingungen des Mediums erzeugen, deren Phasenunterschiede an jedem Punkt im Raum konstant sind, werden genannt kohärent.

Beim Hinzufügen kohärenter Wellen tritt das Phänomen auf Interferenz, die darin besteht, dass sich die Wellen an einigen Stellen im Raum gegenseitig verstärken und an anderen Stellen abschwächen. Ein wichtiger Interferenzfall wird beobachtet, wenn sich zwei entgegengesetzte ebene Wellen gleicher Frequenz und Amplitude überlagern. Die resultierenden Schwingungen werden aufgerufen stehende Welle. Am häufigsten entstehen stehende Wellen, wenn eine Wanderwelle von einem Hindernis reflektiert wird. In diesem Fall ergeben die einfallende Welle und die darauf reflektierte Welle zusammengenommen eine stehende Welle.

Wir erhalten die Stehwellengleichung. Nehmen wir zwei ebene harmonische Wellen, die sich entlang der Achse aufeinander ausbreiten X und mit gleicher Frequenz und Amplitude:

wo - die Schwingungsphase der Punkte des Mediums während des Durchgangs der ersten Welle;

- die Schwingungsphase der Punkte des Mediums während des Durchgangs der zweiten Welle.

Phasendifferenz an jedem Punkt auf der Achse X das Netzwerk wird nicht von der Zeit abhängen, d.h. wird konstant sein:

Daher werden beide Wellen kohärent sein.

Die Schwingung der Teilchen des Mediums, die sich aus der Addition der betrachteten Wellen ergibt, ist wie folgt:

Wir transformieren die Summe der Kosinuswinkel nach der Regel (4.4) und erhalten:

Durch Umstellen der Faktoren erhalten wir:

Um den Ausdruck zu vereinfachen, wählen wir den Ursprung so, dass die Phasendifferenz und dem Ursprung der Zeit, sodass die Summe der Phasen gleich Null ist: .

Dann nimmt die Gleichung für die Summe der Wellen die Form an:

Gleichung (6.6) wird aufgerufen stehende wellengleichung. Daraus ist ersichtlich, dass die Frequenz der stehenden Welle gleich der Frequenz der Wanderwelle ist und die Amplitude im Gegensatz zur Wanderwelle von der Entfernung zum Ursprung abhängt:

. (6.7)

Unter Berücksichtigung von (6.7) nimmt die Stehwellengleichung die Form an:

. (6.8)

Somit schwingen die Punkte des Mediums mit einer Frequenz, die mit der Frequenz der Wanderwelle zusammenfällt, und mit einer Amplitude a, abhängig von der Position des Punktes auf der Achse X. Dementsprechend ändert sich die Amplitude nach dem Kosinusgesetz und hat eigene Maxima und Minima (Abb. 6.1).

Um die Lage der Minima und Maxima der Amplitude zu veranschaulichen, ersetzen wir gemäß (5.29) die Wellenzahl durch ihren Wert:

Dann nimmt der Ausdruck (6.7) für die Amplitude die Form an

(6.10)

Daraus wird deutlich, dass die Verschiebungsamplitude bei maximal ist , d.h. an Punkten, deren Koordinate die Bedingung erfüllt:

, (6.11)

wo

Daraus erhalten wir die Koordinaten der Punkte, an denen die Verschiebungsamplitude maximal ist:

; (6.12)

Die Punkte, an denen die Amplitude der Schwingungen des Mediums maximal ist, werden als bezeichnet Wellenbäuche.

An den Stellen wo ist die Wellenamplitude Null . Die Koordinaten solcher Punkte, genannt Wellenknoten, erfüllt die Bedingung:

, (6.13)

wo

Aus (6.13) ist ersichtlich, dass die Koordinaten der Knoten die Werte haben:

, (6.14)

Auf Abb. 6.2 zeigt eine ungefähre Ansicht einer stehenden Welle, die Lage von Knoten und Wellenbäuchen ist markiert. Es ist ersichtlich, dass die benachbarten Knoten und Bäuche der Verschiebung voneinander um den gleichen Abstand beabstandet sind.

Finden Sie den Abstand zwischen benachbarten Bäuchen und Knoten. Aus (6.12) erhalten wir den Abstand zwischen den Bäuchen:

(6.15)

Der Abstand zwischen den Knoten ergibt sich aus (6.14):

(6.16)

Aus den erhaltenen Beziehungen (6.15) und (6.16) ist ersichtlich, dass der Abstand zwischen benachbarten Knoten sowie zwischen benachbarten Bäuchen konstant und gleich ist; Knoten und Bäuche werden um relativ zueinander verschoben (Abb. 6.3).

Aus der Definition der Wellenlänge können wir einen Ausdruck für die Länge der stehenden Welle schreiben: Sie ist gleich der halben Länge der Wanderwelle:

Schreiben wir unter Berücksichtigung von (6.17) Ausdrücke für die Koordinaten von Knoten und Bäuchen:

, (6.18)

, (6.19)

Der Multiplikator , der die Amplitude der stehenden Welle bestimmt, ändert beim Durchlaufen des Nullwertes sein Vorzeichen, wodurch sich die Phase der Schwingungen auf gegenüberliegenden Seiten des Knotens um unterscheidet. Folglich schwingen alle Punkte, die auf gegenüberliegenden Seiten des Knotens liegen, gegenphasig. Alle Punkte zwischen benachbarten Knoten oszillieren in Phase.

Die Knoten unterteilen das Medium bedingt in autonome Bereiche, in denen harmonische Schwingungen unabhängig voneinander auftreten. Es findet keine Bewegungsübertragung zwischen den Regionen statt, und daher gibt es keinen Energiefluss zwischen den Regionen. Das heißt, es gibt keine Übertragung von Störungen entlang der Achse. Daher wird die Welle als Stehen bezeichnet.

Eine stehende Welle entsteht also aus zwei gegenläufigen Wanderwellen gleicher Frequenz und Amplitude. Die Umov-Vektoren jeder dieser Wellen haben den gleichen Modul und die entgegengesetzte Richtung, und wenn sie addiert werden, ergeben sie Null. Daher überträgt eine stehende Welle keine Energie.

6.2 Beispiele für stehende Wellen

6.2.1 Stehende Welle in einer Saite

Betrachten Sie eine Zeichenfolge der Länge L, an beiden Enden befestigt (Abb. 6.4).

Lassen Sie uns die Achse entlang der Schnur platzieren X so dass das linke Ende der Zeichenfolge die Koordinate hat x=0, und rechts x=L. In der Saite treten Schwingungen auf, die durch die Gleichung beschrieben werden:

Schreiben wir die Randbedingungen für die betrachtete Saite auf. Da seine Enden fixiert sind, dann an Punkten mit Koordinaten x=0 und x=L ohne Zögern:

(6.22)

Lassen Sie uns die Gleichung der Saitenschwingungen basierend auf den geschriebenen Randbedingungen finden. Wir schreiben Gleichung (6.20) für das linke Ende der Saite unter Berücksichtigung von (6.21):

Die Beziehung (6.23) gilt für alle Zeiten t in zwei Fällen:

1. . Dies ist möglich, wenn keine Vibrationen in der Saite auftreten (). Dieser Fall ist nicht von Interesse, und wir werden ihn nicht berücksichtigen.

2. . Hier ist die Phase. Dieser Fall erlaubt es uns, die Gleichung für Saitenschwingungen zu erhalten.

Setzen wir den erhaltenen Phasenwert in die Randbedingung (6.22) für das rechte Ende der Saite ein:

. (6.25)

Angesichts dessen

, (6.26)

aus (6.25) erhalten wir:

Wieder treten zwei Fälle auf, in denen die Beziehung (6.27) erfüllt ist. Der Fall, wenn es keine Vibrationen in der Saite gibt (), werden wir nicht berücksichtigen.

Im zweiten Fall muss die Gleichheit gelten:

und dies ist nur möglich, wenn das Sinusargument ein Vielfaches einer ganzen Zahl ist:

Wir verwerfen den Wert, weil in diesem Fall würde dies bedeuten, dass entweder die Zeichenfolgenlänge Null ( L=0) oder wave-new Nummer k=0. Betrachtet man den Zusammenhang (6.9) zwischen der Wellenzahl und der Wellenlänge, so ist klar, dass für eine Wellenzahl gleich Null die Wellenlänge unendlich sein müsste, was die Abwesenheit von Schwingungen bedeuten würde.

Aus (6.28) ist ersichtlich, dass die Wellenzahl bei Schwingungen einer beidseitig eingespannten Saite nur bestimmte diskrete Werte annehmen kann:

Unter Berücksichtigung von (6.9) schreiben wir (6.30) als:

woraus wir den Ausdruck für die möglichen Wellenlängen in der Zeichenfolge ableiten:

Also über die Länge der Saite L muss eine ganze Zahl sein n halbe Welle:

Die entsprechenden Schwingungsfrequenzen lassen sich aus (5.7) bestimmen:

Hier ist die Phasengeschwindigkeit der Welle, die nach (5.102) von der linearen Dichte der Saite und der Saitenzugkraft abhängt:

Durch Einsetzen von (6.34) in (6.33) erhalten wir einen Ausdruck, der die möglichen Schwingungsfrequenzen der Saite beschreibt:

, (6.36)

Frequenzen werden aufgerufen natürliche Frequenzen Saiten. Häufigkeit (wann n = 1):

(6.37)

namens fundamentale Frequenz(oder Hauptton) Saiten. Frequenzen bestimmt bei n>1 namens Obertöne oder Obertöne. Die harmonische Zahl ist n-1. Zum Beispiel Häufigkeit:

entspricht der ersten Harmonischen, und die Frequenz:

entspricht der zweiten Harmonischen und so weiter. Da eine Saite als diskretes System mit unendlich vielen Freiheitsgraden dargestellt werden kann, ist jede Harmonische Mode Saitenschwingungen. Im allgemeinen Fall sind Saitenschwingungen eine Überlagerung von Moden.

Jede Harmonische hat ihre eigene Wellenlänge. Für den Hauptton (mit n= 1) Wellenlänge:

für die erste bzw. zweite Harmonische (at n= 2 und n= 3) die Wellenlängen sind:

Abbildung 6.5 zeigt eine Ansicht mehrerer Schwingungsmoden, die von einer Saite ausgeführt werden.

Eine Saite mit festen Enden verwirklicht also einen Ausnahmefall im Rahmen der klassischen Physik - ein diskretes Spektrum von Schwingungsfrequenzen (oder Wellenlängen). Ein elastischer Stab mit einem oder beiden eingespannten Enden verhält sich ebenso wie Schwankungen der Luftsäule in Rohren, auf die in den folgenden Abschnitten eingegangen wird.

6.2.2 Einfluss der Anfangsbedingungen auf die Bewegung

fortlaufende Zeichenfolge. Fourier-Analyse

Schwingungen einer Saite mit eingespannten Enden haben neben einem diskreten Spektrum von Schwingungsfrequenzen noch eine weitere wichtige Eigenschaft: Die spezifische Schwingungsform einer Saite hängt von der Art der Schwingungsanregung ab, d.h. aus Anfangsbedingungen. Lassen Sie uns genauer betrachten.

Gleichung (6.20), die eine Mode einer stehenden Welle in einer Saite beschreibt, ist eine spezielle Lösung der Differentialwellengleichung (5.61). Da die Schwingung einer Saite aus allen möglichen Moden besteht (bei einer Saite unendlich viele), dann besteht die allgemeine Lösung der Wellengleichung (5.61) aus unendlich vielen Partikularlösungen:

, (6.43)

wo ich ist die Schwingungsmoduszahl. Ausdruck (6.43) wird geschrieben, wobei berücksichtigt wird, dass die Enden der Zeichenfolge festgelegt sind:

und auch unter Berücksichtigung der Frequenzverbindung ich Mode und seine Wellennummer:

(6.46)

Hier – Wellennummer ich te Mode;

ist die Wellenzahl des 1. Modus;

Lassen Sie uns den Wert der Anfangsphase für jeden Schwingungsmodus finden. Dafür damals t=0 Lassen Sie uns der Zeichenfolge eine Form geben, die von der Funktion beschrieben wird f 0 (x), den Ausdruck, für den wir aus (6.43) erhalten:

. (6.47)

Auf Abb. 6.6 zeigt ein Beispiel für die Form einer Zeichenfolge, die von meiner Funktion beschrieben wird f 0 (x).

Zum Zeitpunkt t=0 die Saite ist noch in Ruhe, d.h. die Geschwindigkeit aller seiner Punkte ist gleich Null. Aus (6.43) finden wir einen Ausdruck für die Geschwindigkeit der Saitenpunkte:

und durch Ersetzen darin t=0 erhalten wir einen Ausdruck für die Geschwindigkeit der Punkte der Saite zum Anfangszeitpunkt:

. (6.49)

Da zum Anfangszeitpunkt die Geschwindigkeit gleich Null ist, ist Ausdruck (6.49) für alle Punkte der Saite gleich Null, wenn . Daraus folgt, dass die Anfangsphase für alle Moden ebenfalls Null ist (). Vor diesem Hintergrund nimmt der Ausdruck (6.43), der die Bewegung der Saite beschreibt, die Form an:

, (6.50)

und der Ausdruck (6.47), der die Anfangsform der Saite beschreibt, sieht so aus:

. (6.51)

Eine stehende Welle in einer Saite wird durch eine Funktion beschrieben, die auf dem Intervall periodisch ist, wobei gleich zwei Saitenlängen ist (Abb. 6.7):

Dies ist daran zu erkennen, dass die Periodizität auf dem Intervall bedeutet:

Somit,

was uns zum Ausdruck (6.52) bringt.

Aus der mathematischen Analyse ist bekannt, dass jede periodische Funktion mit hoher Genauigkeit zu einer Fourier-Reihe entwickelt werden kann:

, (6.57)

wobei , , die Fourier-Koeffizienten sind.

Betrachten Sie das Ergebnis der Interferenz zweier sinusförmiger ebener Wellen gleicher Amplitude und Frequenz, die sich in entgegengesetzte Richtungen ausbreiten. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass die Gleichungen dieser Wellen die Form haben:

Das bedeutet, dass beide Wellen am Ursprung gleichphasige Schwingungen hervorrufen. Im Punkt A mit der Koordinate x ist der Gesamtwert der schwingenden Größe nach dem Überlagerungsprinzip (siehe § 19).

Diese Gleichung zeigt, dass durch die Interferenz von Hin- und Rückwelle an jedem Punkt des Mediums (mit fester Koordinate) eine harmonische Schwingung mit gleicher Frequenz , aber mit einer Amplitude auftritt

abhängig vom Wert der x-Koordinate. An Stellen im Medium, an denen überhaupt keine Schwingungen vorhanden sind: Diese Stellen nennt man Schwingungsknoten.

An den Stellen, an denen die Amplitude der Schwingungen den größten Wert hat, werden diese Stellen die Schwingungsbäuche genannt. Es ist leicht zu zeigen, dass der Abstand zwischen benachbarten Knoten oder benachbarten Bäuchen gleich dem Abstand zwischen dem Bäuchlein und dem nächsten Knoten ist. Wenn sich x in Formel (5.16) um den Kosinus ändert, kehrt es sein Vorzeichen um (sein Argument ändert sich zu Wenn innerhalb einer Halbwelle - von einem Knoten zum anderen - die Teilchen des Mediums in eine Richtung abgelenkt werden, dann werden die Teilchen des Mediums innerhalb der benachbarten Halbwelle in die entgegengesetzte Richtung abgelenkt.

Der durch Formel (5.16) beschriebene Wellenvorgang in einem Medium wird als stehende Welle bezeichnet. Grafisch lässt sich eine stehende Welle wie in Abb. 1.61. Nehmen wir an, y habe eine Verschiebung der Punkte des Mediums aus dem Gleichgewichtszustand; dann beschreibt Formel (5.16) eine "stehende Verschiebungswelle". Zu einem bestimmten Zeitpunkt, wenn alle Punkte des Mediums maximale Verschiebungen aufweisen, deren Richtung je nach Wert der x-Koordinate durch das Vorzeichen bestimmt wird, sind diese Verschiebungen in Abb. 1,61 mit durchgezogenen Pfeilen. Nach einem Viertel der Periode, wenn die Verschiebungen aller Punkte des Mediums gleich Null sind; Partikel des Mediums durchlaufen die Leitung mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten. Nach einem weiteren Viertel der Periode, wenn die Partikel des Mediums wieder maximale Verschiebungen haben, aber in der entgegengesetzten Richtung; diese Offsets sind in gezeigt

Reis. 1,61 gestrichelte Pfeile. Die Punkte sind die Bäuche der stehenden Verschiebungswelle; Punkte Knoten dieser Welle.

Die charakteristischen Merkmale einer stehenden Welle im Gegensatz zu einer herkömmlichen sich ausbreitenden oder wandernden Welle sind wie folgt (dh ebene Wellen ohne Dämpfung):

1) bei einer stehenden Welle sind die Schwingungsamplituden in verschiedenen Teilen des Systems unterschiedlich; das System hat Schwingungsknoten und Schwingungsbäuche. Bei einer "wandernden" Welle sind diese Amplituden überall gleich;

2) innerhalb des Bereichs des Systems von einem Knoten zum benachbarten schwingen alle Punkte des Mediums in der gleichen Phase; Beim Übergang zu einem benachbarten Abschnitt werden die Phasen der Schwingungen umgekehrt. Bei einer Wanderwelle hängen die Phasen der Schwingungen nach Formel (5.2) von den Koordinaten der Punkte ab;

3) Bei einer stehenden Welle gibt es keine Energieübertragung in eine Richtung, wie dies bei einer Wanderwelle der Fall ist.

Bei der Beschreibung von Schwingungsvorgängen in elastischen Systemen kann der Schwingungswert y nicht nur als Verschiebung oder Geschwindigkeit der Teilchen des Systems verstanden werden, sondern auch als Wert der relativen Verformung oder als Wert der Spannung bei Druck, Zug oder Scherung usw. Gleichzeitig befinden sich in einer stehenden Welle an Stellen, an denen Wellenbäuche von Partikelgeschwindigkeiten gebildet werden, Verformungsknoten, und umgekehrt fallen Geschwindigkeitsknoten mit Verformungsbäuchen zusammen. Die Energieumwandlung von kinetischer zu potentieller Energie und umgekehrt findet innerhalb des Abschnitts des Systems vom Bauch zum Nachbarknoten statt. Wir können davon ausgehen, dass jeder dieser Abschnitte keine Energie mit benachbarten Abschnitten austauscht. Beachten Sie, dass die Umwandlung der kinetischen Energie sich bewegender Teilchen in die potentielle Energie deformierter Abschnitte des Mediums zweimal in einer Periode erfolgt.

Oben haben wir uns angesichts der Interferenz von direkten und rückwärts gerichteten Wellen (siehe Ausdrücke (5.16)) nicht für den Ursprung dieser Wellen interessiert. Nehmen wir nun an, dass das Medium, in dem sich Schwingungen ausbreiten, begrenzte Abmessungen hat, zum Beispiel werden Schwingungen in einem festen Körper verursacht - in einem Stab oder einer Schnur, in einer Flüssigkeits- oder Gassäule usw. Eine Welle, die sich in einem solchen Medium ausbreitet ( Körper) , wird von den Grenzen reflektiert, daher tritt innerhalb des Volumens dieses Körpers ständig eine Interferenz von Wellen auf, die von einer externen Quelle verursacht und von den Grenzen reflektiert werden.

Betrachten Sie das einfachste Beispiel; Angenommen, an einem Punkt (Abb. 1.62) eines Stabes oder einer Saite wird mit Hilfe einer äußeren Sinusquelle eine Schwingungsbewegung mit einer Frequenz angeregt; wir wählen den Ursprung des Zeitbezugs so, dass an dieser Stelle die Verschiebung durch die Formel ausgedrückt wird

wobei die Schwingungsamplitude am Punkt Die im Stab induzierte Welle wird am zweiten Ende des Stabes um 0% reflektiert und geht in die entgegengesetzte Richtung

Richtung. Finden wir das Ergebnis der Interferenz von direkten und reflektierten Wellen an einem bestimmten Punkt des Stabes mit der Koordinate x. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass es keine Absorption von Schwingungsenergie im Stab gibt und daher die Amplituden der direkten und reflektierten Wellen gleich sind.

Zu einem bestimmten Zeitpunkt, wenn die Verschiebung schwingender Teilchen an einem Punkt gleich y ist, wird an einem anderen Punkt auf dem Stab die durch eine direkte Welle verursachte Verschiebung gemäß der Wellenformel gleich sein

Die reflektierte Welle geht auch durch denselben Punkt A. Um die Verschiebung zu finden, die an Punkt A durch die reflektierte Welle verursacht wird (gleichzeitig ist es notwendig, die Zeit zu berechnen, während der die Welle von und zurück zu dem Punkt wandert, da die Verschiebung, die an dem Punkt durch die reflektierte Welle verursacht wird, sein wird gleicht

Dabei wird davon ausgegangen, dass am reflektierenden Stabende beim Reflexionsvorgang keine sprunghafte Änderung der Schwingungsphase auftritt; In einigen Fällen tritt eine solche Phasenänderung (als Phasenverlust bezeichnet) auf und muss berücksichtigt werden.

Die Addition von Schwingungen, die an verschiedenen Stellen des Stabes durch direkte und reflektierte Wellen verursacht werden, ergibt eine stehende Welle; Ja wirklich,

wo ist eine konstante Phase, unabhängig von der x-Koordinate und der Menge

ist die Schwingungsamplitude am Punkt, sie hängt von der x-Koordinate ab, ist also an verschiedenen Stellen des Stabes unterschiedlich.

Lassen Sie uns die Koordinaten derjenigen Punkte des Stabes finden, an denen die Knoten und Bäuche der stehenden Welle gebildet werden. Der Kosinus wird zu Null oder Eins tritt bei Argumentwerten auf, die ein Vielfaches von sind

wo ist eine ganze Zahl. Für einen ungeraden Wert dieser Zahl verschwindet der Kosinus und Formel (5.19) liefert die Koordinaten der Knoten der stehenden Welle; denn auch wir bekommen die Koordinaten der Bäuche.

Oben wurden nur zwei Wellen hinzugefügt: eine direkt kommende und eine reflektierte, die sich ausbreitet.Es ist jedoch zu berücksichtigen, dass die reflektierte Welle an der Stangengrenze erneut reflektiert wird und in Richtung der direkten Welle geht. Solche Reflexionen

Es wird viel von den Enden des Stabes kommen, und deshalb ist es notwendig, das Ergebnis der Interferenz nicht von zwei, sondern von allen Wellen zu finden, die gleichzeitig im Stab vorhanden sind.

Nehmen wir an, dass eine äußere Schwingungsquelle für einige Zeit Wellen im Stab verursacht, wonach der Fluss der Schwingungsenergie von außen aufhört. Während dieser Zeit traten Reflexionen im Stab auf, wobei die Zeit ist, in der die Welle von einem Ende des Stabes zum anderen überging. Folglich gibt es in der Stange gleichzeitig Wellen, die sich in Vorwärtsrichtung bewegen, und Wellen, die sich in die entgegengesetzte Richtung bewegen.

Nehmen wir an, dass infolge der Interferenz eines Wellenpaares (direkt und reflektiert) die Verschiebung am Punkt A gleich y ist. Finden wir die Bedingung, unter der alle von jedem Wellenpaar verursachten Verschiebungen y im Stabpunkt A die gleiche Richtung haben und sich daher addieren. Dazu müssen sich die Phasen der von jedem Wellenpaar an einem Punkt verursachten Schwingungen um von der Phase der vom nächsten Wellenpaar verursachten Schwingungen unterscheiden. Aber jede Welle kehrt erst nach einer Zeit mit der gleichen Ausbreitungsrichtung wieder zum Punkt A zurück, d

d.h. eine ganzzahlige Anzahl von Halbwellen muss entlang der Länge des Stabes passen. Beachten Sie, dass sich unter dieser Bedingung die Phasen aller Wellen, die sich in Vorwärtsrichtung ausbreiten, voneinander unterscheiden durch wobei eine ganze Zahl ist; genauso unterscheiden sich die Phasen aller Wellen, die in die entgegengesetzte Richtung laufen, um . nur die Amplitude der Schwingungen wird zunehmen. Wenn die maximale Amplitude der Schwingungen bei der Interferenz zweier Wellen nach Formel (5.18) gleich ist, dann wird sie bei der Interferenz vieler Wellen größer. Bezeichnen wir es so, dass dann die Verteilung der Schwingungsamplitude entlang des Stabes anstelle des Ausdrucks (5.18) durch die Formel bestimmt wird

Die Ausdrücke (5.19) und (5.20) bestimmen die Punkte, an denen der Kosinus die Werte oder 1 hat:

wo ist eine ganze Zahl Die Koordinaten der Knoten der stehenden Welle werden aus dieser Formel für ungerade Werte dann in Abhängigkeit von der Länge des Stabes, also dem Wert, erhalten

Bauchkoordinaten werden mit geraden Werten erhalten

Auf Abb. 1.63 zeigt schematisch eine stehende Welle in einem Stab, dessen Länge; die Punkte sind die Bäuche, die Punkte sind die Knoten dieser stehenden Welle.

In Kap. Es zeigte sich, dass ohne periodische äußere Einflüsse die Art der Codierbewegungen im System und vor allem die Hauptgröße – die Schwingungsfrequenz – durch die Dimensionen und physikalischen Eigenschaften des Systems bestimmt werden. Jedes Schwingungssystem hat seine eigene, inhärente Schwingungsbewegung; Diese Schwankung kann beobachtet werden, wenn das System aus dem Gleichgewicht gebracht wird und dann äußere Einflüsse eliminiert werden.

In Kap. 4 Stunden betrachtete ich überwiegend schwingungsfähige Systeme mit konzentrierten Parametern, bei denen einige Körper (Punkt) träge Masse und andere Körper (Federn) elastische Eigenschaften besaßen. Im Gegensatz dazu werden schwingungsfähige Systeme, bei denen Masse und Elastizität jedem elementaren Volumen innewohnen, als Systeme mit verteilten Parametern bezeichnet. Dazu gehören die oben diskutierten Stäbe, Saiten sowie Flüssigkeits- oder Gassäulen (bei Blasmusikinstrumenten) usw. Für solche Systeme sind stehende Wellen natürliche Schwingungen; Das Hauptmerkmal dieser Wellen - die Wellenlänge oder die Verteilung von Knoten und Bäuchen sowie die Schwingungsfrequenz - wird nur durch die Abmessungen und Eigenschaften des Systems bestimmt. Stehende Wellen können auch ohne äußere (periodische) Einwirkung auf das System existieren; Diese Aktion ist nur erforderlich, um stehende Wellen im System zu verursachen oder aufrechtzuerhalten oder die Amplituden von Schwingungen zu ändern. Tritt insbesondere eine äußere Einwirkung auf ein System mit verteilten Parametern mit einer Frequenz auf, die gleich der Frequenz seiner Eigenschwingungen ist, also der Frequenz einer stehenden Welle, dann tritt das Resonanzphänomen auf, das in Kap. 5. für verschiedene Frequenzen ist das gleiche.

So sind in Systemen mit verteilten Parametern Eigenschwingungen – stehende Wellen – durch ein ganzes Spektrum von Frequenzen gekennzeichnet, die Vielfache voneinander sind. Die kleinste dieser Frequenzen, die der längsten Wellenlänge entspricht, wird Grundfrequenz genannt; der Rest) sind Obertöne oder Harmonische.

Jedes System ist nicht nur durch das Vorhandensein eines solchen Schwingungsspektrums gekennzeichnet, sondern auch durch eine bestimmte Energieverteilung zwischen Schwingungen unterschiedlicher Frequenzen. Bei Musikinstrumenten verleiht diese Verteilung dem Klang ein besonderes Merkmal, die sogenannte Klangfarbe, die für verschiedene Instrumente unterschiedlich ist.

Die obigen Berechnungen beziehen sich auf einen frei schwingenden "Stab der Länge". Wir haben jedoch normalerweise Stäbe, die an einem oder beiden Enden befestigt sind (z. B. schwingende Saiten), oder es gibt einen oder mehrere Punkte entlang des Stabs. Bewegungen sind erzwungene Verschiebungsknoten. Zum Beispiel,

Wenn es notwendig ist, an einem, zwei, drei Befestigungspunkten usw. stehende Wellen im Stab zu erhalten, können diese Punkte nicht willkürlich gewählt werden, sondern müssen entlang des Stabes so angeordnet werden, dass sie an den Knoten der gebildeten stehenden Welle liegen . Dies ist beispielsweise in Abb. 1.64. In der gleichen Figur zeigt die gepunktete Linie die Verschiebungen der Spitzen der Stange während der Vibrationen; an den freien Enden werden immer Verschiebungsbäuche und an den festen Enden Verschiebungsknoten gebildet. Für schwingende Luftsäulen in Rohren erhält man Verschiebungsknoten (und Geschwindigkeiten) an reflektierenden festen Wänden; an den offenen Enden der Rohre bilden sich Wellenbäuche von Verschiebungen und Geschwindigkeiten.

Wenn sich mehrere Wellen gleichzeitig im Medium ausbreiten, dann erweisen sich die Schwingungen der Teilchen des Mediums als die geometrische Summe der Schwingungen, die die Teilchen bei der Ausbreitung jeder der Wellen einzeln machen würden. Folglich überlagern sich die Wellen einfach, ohne sich gegenseitig zu stören. Diese Aussage wird als Prinzip der Überlagerung (Superposition) von Wellen bezeichnet.

Wenn die durch einzelne Wellen verursachten Schwingungen an jedem der Punkte des Mediums eine konstante Phasendifferenz aufweisen, werden die Wellen als kohärent bezeichnet. (Eine strengere Definition der Kohärenz wird in § 120 gegeben.) Wenn kohärente Wellen addiert werden, entsteht das Phänomen der Interferenz, das darin besteht, dass sich Schwingungen an einigen Stellen verstärken und an anderen Stellen gegenseitig abschwächen.

Ein sehr wichtiger Interferenzfall wird beobachtet, wenn sich zwei gegenläufige ebene Wellen mit gleicher Amplitude überlagern. Der resultierende Schwingungsvorgang wird als stehende Welle bezeichnet. Praktisch stehende Wellen entstehen, wenn Wellen von Hindernissen reflektiert werden. Die auf die Barriere fallende Welle und die darauf zulaufende reflektierte Welle ergeben überlagert eine stehende Welle.

Schreiben wir die Gleichungen zweier ebener Wellen, die sich entlang der x-Achse in entgegengesetzte Richtungen ausbreiten:

Setzen wir diese Gleichungen zusammen und transformieren das Ergebnis mit der Formel für die Summe der Kosinusse, erhalten wir

Gleichung (99.1) ist die Stehwellengleichung. Vereinfachend wählen wir den Ursprung so, dass die Differenz gleich Null wird, und den Ursprung - so, dass die Summe gleich Null wird, außerdem ersetzen wir die Wellenzahl k durch ihren Wert

Dann nimmt Gleichung (99.1) die Form an

Aus (99.2) ist ersichtlich, dass an jedem Punkt der stehenden Welle Schwingungen gleicher Frequenz wie in den Gegenwellen auftreten und die Amplitude von x abhängt:

die Schwingungsamplitude erreicht ihren Maximalwert. Diese Punkte werden die Wellenbäuche der stehenden Welle genannt. Aus (99.3) erhält man die Werte der Bauchkoordinaten:

Es ist zu beachten, dass der Bauch kein einzelner Punkt ist, sondern eine Ebene, deren Punkte die durch die Formel (99,4) bestimmten x-Koordinatenwerte haben.

An Punkten, deren Koordinaten die Bedingung erfüllen

die Schwingungsamplitude verschwindet. Diese Punkte werden die Knoten der stehenden Welle genannt. Die an den Knoten befindlichen Punkte des Mediums schwingen nicht. Knotenkoordinaten sind wichtig

Ein Knoten ist wie ein Bauch kein einzelner Punkt, sondern eine Ebene, deren Punkte x-Koordinatenwerte haben, die durch die Formel (99,5) bestimmt werden.

Aus den Formeln (99.4) und (99.5) folgt, dass der Abstand zwischen benachbarten Bäuchen sowie der Abstand zwischen benachbarten Knoten gleich ist. Die Wellenbäuche und Knoten sind um ein Viertel der Wellenlänge gegeneinander verschoben.

Wenden wir uns wieder Gleichung (99.2) zu. Der Multiplikator wechselt das Vorzeichen beim Nulldurchgang. Dementsprechend unterscheidet sich die Phase von Schwingungen auf gegenüberliegenden Seiten des Knotens um Dies bedeutet, dass die auf gegenüberliegenden Seiten des Knotens liegenden Punkte gegenphasig schwingen. Alle zwischen zwei benachbarten Knoten eingeschlossenen Punkte oszillieren in Phase (d. h. in derselben Phase). Auf Abb. 99.1 ist eine Reihe von "Schnappschüssen" von Abweichungen von Punkten von der Gleichgewichtsposition angegeben.

Das erste „Foto“ entspricht dem Moment, in dem die Abweichungen ihren größten absoluten Wert erreichen. Nachfolgende "Fotografien" wurden in Intervallen von Viertelperioden aufgenommen. Die Pfeile zeigen die Teilchengeschwindigkeiten.

Differenziert man Gleichung (99.2) einmal nach t und ein weiteres Mal nach x, so findet man Ausdrücke für die Teilchengeschwindigkeit und für die Deformation des Mediums:

Gleichung (99.6) beschreibt eine stehende Geschwindigkeitswelle und (99.7) - eine stehende Deformationswelle.

Auf Abb. 99.2 "Momentaufnahmen" von Verschiebung, Geschwindigkeit und Verformung für die Zeitmomente 0 und werden verglichen Aus den Graphen ist ersichtlich, dass die Knoten und Bäuche der Geschwindigkeit mit den Knoten und Bäuchen der Verschiebung zusammenfallen; die Knoten und Bäuche der Verformung fallen jeweils mit den Bäuchen und Knoten der Verschiebung zusammen. Beim Erreichen der Maximalwerte verschwindet es und umgekehrt.

Dementsprechend wird die Energie der stehenden Welle zweimal in einer Periode entweder vollständig in Potential umgewandelt, konzentriert hauptsächlich in der Nähe der Knoten der Welle (wo sich die Wellenbäuche der Verformung befinden), dann vollständig in kinetische Energie, konzentriert hauptsächlich in der Nähe der Wellenbäuche der Welle (wo sich die Wellenbäuche der Geschwindigkeit befinden). Als Ergebnis gibt es eine Energieübertragung von jedem Knoten zu benachbarten Bäuchen und umgekehrt. Der zeitlich gemittelte Energiefluss in jedem Abschnitt der Welle ist gleich Null.