Mit diesem Service ist das möglich Finden Sie den größten und kleinsten Wert einer Funktion eine Variable f(x) mit dem Entwurf der Lösung in Word. Wenn die Funktion f(x,y) gegeben ist, ist es daher notwendig, das Extremum der Funktion zweier Variablen zu finden. Sie können auch die Intervalle der Zunahme und Abnahme der Funktion finden.

Finden Sie den größten und kleinsten Wert einer Funktion

y=

auf dem Segment [ ;]

Theorie einbeziehen

Eingaberegeln für Funktionen:

Eine notwendige Bedingung für ein Extremum einer Funktion einer Variablen

Die Gleichung f "0 (x *) \u003d 0 ist eine notwendige Bedingung für das Extremum einer Funktion einer Variablen, d.h. am Punkt x * muss die erste Ableitung der Funktion verschwinden. Sie wählt stationäre Punkte x c ​​aus, an denen die Funktion nimmt nicht zu und nicht ab.

Eine hinreichende Bedingung für ein Extremum einer Funktion einer Variablen

Sei f 0 (x) zweimal differenzierbar bezüglich x, das zur Menge D gehört. Wenn am Punkt x * die Bedingung erfüllt ist:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Dann ist der Punkt x * der Punkt des lokalen (globalen) Minimums der Funktion.

Wenn am Punkt x * die Bedingung erfüllt ist:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Dieser Punkt x * ist ein lokales (globales) Maximum.

Beispiel 1. Finden Sie den größten und kleinsten Wert der Funktion: auf dem Segment .
Entscheidung.

Der kritische Punkt ist eins x 1 = 2 (f'(x)=0). Dieser Punkt gehört zum Segment . (Der Punkt x=0 ist unkritisch, da 0∉).
Wir berechnen die Werte der Funktion an den Enden des Segments und am kritischen Punkt.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Antwort: f min = 5 / 2 für x=2; f max = 9 bei x = 1

Beispiel #2. Finde unter Verwendung von Ableitungen höherer Ordnung das Extremum der Funktion y=x-2sin(x) .
Entscheidung.
Finde die Ableitung der Funktion: y’=1-2cos(x) . Finden wir die kritischen Punkte: 1-cos(x)=2, cos(x)=1, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Wir finden y''=2sin(x), berechnen , also sind x= π / 3 +2πk, k∈Z die Minimalpunkte der Funktion; , also x=- π / 3 +2πk, k∈Z sind die Maxima der Funktion.

Beispiel #3. Untersuchen Sie die Extremumfunktion in der Nähe des Punktes x=0.
Entscheidung. Hier ist es notwendig, die Extrema der Funktion zu finden. Wenn das Extremum x=0 ist, dann finde seinen Typ heraus (Minimum oder Maximum). Wenn unter den gefundenen Punkten kein x = 0 ist, dann berechne den Wert der Funktion f(x=0).
Es sei darauf hingewiesen, dass, wenn die Ableitung auf jeder Seite eines gegebenen Punktes ihr Vorzeichen nicht ändert, die möglichen Situationen auch für differenzierbare Funktionen nicht erschöpft sind: Es kann vorkommen, dass für eine beliebig kleine Nachbarschaft auf einer Seite des Punktes x 0 oder auf beiden Seiten wechselt die Ableitung das Vorzeichen. An diesen Stellen muss man andere Methoden anwenden, um Funktionen auf ein Extremum zu untersuchen.

Aus praktischer Sicht ist die Verwendung der Ableitung am interessantesten, um den größten und kleinsten Wert einer Funktion zu finden. Womit ist es verbunden? Gewinne maximieren, Kosten minimieren, die optimale Auslastung der Ausrüstung bestimmen ... Mit anderen Worten, in vielen Lebensbereichen muss man das Problem lösen, einige Parameter zu optimieren. Und das ist das Problem, den größten und kleinsten Wert der Funktion zu finden.

Es sei darauf hingewiesen, dass der größte und kleinste Wert einer Funktion normalerweise in einem bestimmten Intervall X gesucht wird, das entweder der gesamte Bereich der Funktion oder ein Teil des Bereichs ist. Das Intervall X selbst kann ein Liniensegment, ein offenes Intervall sein , ein unendliches Intervall .

In diesem Artikel werden wir darüber sprechen, den größten und kleinsten Wert einer explizit gegebenen Funktion einer Variablen y=f(x) zu finden.

Seitennavigation.

Der größte und kleinste Wert einer Funktion - Definitionen, Illustrationen.

Lassen Sie uns kurz auf die wichtigsten Definitionen eingehen.

Der größte Wert der Funktion , was für alle die Ungleichung ist wahr.

Der kleinste Wert der Funktion y=f(x) auf dem Intervall X heißt ein solcher Wert , was für alle die Ungleichung ist wahr.

Diese Definitionen sind intuitiv: Der größte (kleinste) Wert einer Funktion ist der größte (kleinste) Wert, der im betrachteten Intervall mit der Abszisse akzeptiert wird.

Stationäre Punkte sind die Werte des Arguments, bei denen die Ableitung der Funktion verschwindet.

Warum brauchen wir stationäre Punkte, um die größten und kleinsten Werte zu finden? Die Antwort auf diese Frage liefert der Satz von Fermat. Aus diesem Satz folgt: Wenn eine differenzierbare Funktion irgendwann ein Extremum (lokales Minimum oder lokales Maximum) hat, dann ist dieser Punkt stationär. Daher nimmt die Funktion oft ihren maximalen (kleinsten) Wert auf dem Intervall X an einem der stationären Punkte aus diesem Intervall an.

Auch kann eine Funktion oft die größten und kleinsten Werte an Stellen annehmen, an denen die erste Ableitung dieser Funktion nicht existiert, und die Funktion selbst definiert ist.

Lassen Sie uns gleich eine der häufigsten Fragen zu diesem Thema beantworten: "Ist es immer möglich, den größten (kleinsten) Wert einer Funktion zu bestimmen"? Nein nicht immer. Manchmal fallen die Grenzen des Intervalls X mit den Grenzen des Definitionsbereichs der Funktion zusammen, oder das Intervall X ist unendlich. Und einige Funktionen im Unendlichen und an den Grenzen des Definitionsbereichs können sowohl unendlich große als auch unendlich kleine Werte annehmen. In diesen Fällen kann nichts über den größten und kleinsten Wert der Funktion gesagt werden.

Zur Verdeutlichung geben wir eine grafische Darstellung. Schauen Sie sich die Bilder an - und vieles wird deutlich.

Auf dem Segment

In der ersten Abbildung nimmt die Funktion die größten (max y ) und kleinsten (min y ) Werte an stationären Punkten innerhalb des Segments [-6;6] an.

Betrachten Sie den in der zweiten Abbildung gezeigten Fall. Ändern Sie das Segment in . In diesem Beispiel wird der kleinste Wert der Funktion an einem stationären Punkt und der größte an einem Punkt erreicht, dessen Abszisse der rechten Grenze des Intervalls entspricht.

In Abbildung Nr. 3 sind die Randpunkte des Segments [-3; 2] die Abszissen der Punkte, die dem größten und kleinsten Wert der Funktion entsprechen.

Im offenen Bereich

In der vierten Abbildung nimmt die Funktion die größten (max y ) und kleinsten (min y ) Werte an stationären Punkten innerhalb des offenen Intervalls (-6;6) an.

Über das Intervall lassen sich keine Rückschlüsse auf den größten Wert ziehen.

Im Unendlichen

In dem in der siebten Abbildung gezeigten Beispiel nimmt die Funktion den größten Wert (max y ) an einem stationären Punkt mit der Abszisse x=1 an, und der kleinste Wert (min y ) wird am rechten Rand des Intervalls erreicht. Bei minus unendlich nähern sich die Werte der Funktion asymptotisch y=3 .

Auf dem Intervall erreicht die Funktion weder den kleinsten noch den größten Wert. Da x=2 nach rechts tendiert, tendieren die Funktionswerte gegen minus unendlich (die Gerade x=2 ist eine vertikale Asymptote), und da die Abszisse gegen plus unendlich tendiert, nähern sich die Funktionswerte asymptotisch y=3 . Eine grafische Darstellung dieses Beispiels ist in Abbildung 8 dargestellt.

Algorithmus zum Finden der größten und kleinsten Werte einer stetigen Funktion auf dem Segment.

Wir schreiben einen Algorithmus, der es uns ermöglicht, den größten und kleinsten Wert einer Funktion auf einem Segment zu finden.

1. Wir finden den Definitionsbereich der Funktion und prüfen, ob er das gesamte Segment enthält.
2. Wir finden alle Punkte, an denen die erste Ableitung nicht existiert und die im Segment enthalten sind (normalerweise kommen solche Punkte in Funktionen mit einem Argument unter dem Modulzeichen und in Potenzfunktionen mit einem gebrochen-rationalen Exponenten vor). Wenn es keine solchen Punkte gibt, fahren Sie mit dem nächsten Punkt fort.
3. Wir bestimmen alle stationären Punkte, die in das Segment fallen. Dazu setzen wir es mit Null gleich, lösen die resultierende Gleichung und wählen die passenden Wurzeln. Wenn es keine stationären Punkte gibt oder keiner von ihnen in das Segment fällt, fahren Sie mit dem nächsten Schritt fort.
4. Wir berechnen die Werte der Funktion an den ausgewählten stationären Punkten (falls vorhanden), an Punkten, an denen die erste Ableitung nicht existiert (falls vorhanden), und auch bei x=a und x=b .
5. Aus den erhaltenen Werten der Funktion wählen wir den größten und den kleinsten aus - sie sind die gewünschten maximalen bzw. kleinsten Werte der Funktion.

Lassen Sie uns den Algorithmus analysieren, wenn Sie ein Beispiel zum Auffinden der größten und kleinsten Werte einer Funktion in einem Segment lösen.

Beispiel.

Finden Sie den größten und kleinsten Wert einer Funktion

• auf dem Segment;
• im Intervall [-4;-1] .

Entscheidung.

Der Definitionsbereich der Funktion ist die gesamte Menge der reellen Zahlen mit Ausnahme von Null, also . Beide Segmente fallen in den Definitionsbereich.

Wir finden die Ableitung der Funktion nach:

Offensichtlich existiert die Ableitung der Funktion an allen Punkten der Segmente und [-4;-1] .

Stationäre Punkte werden aus der Gleichung bestimmt. Die einzige echte Wurzel ist x=2 . Dieser stationäre Punkt fällt in das erste Segment.

Für den ersten Fall berechnen wir die Werte der Funktion an den Enden des Segments und an einem stationären Punkt, also für x=1 , x=2 und x=4 :

Daher der größte Wert der Funktion wird bei x=1 erreicht und dem kleinsten Wert – bei x=2 .

Für den zweiten Fall berechnen wir die Werte der Funktion nur an den Enden des Segments [-4;-1] (da es keinen einzigen stationären Punkt enthält):

In der Praxis ist es durchaus üblich, die Ableitung zu verwenden, um den größten und kleinsten Wert einer Funktion zu berechnen. Wir führen diese Aktion durch, wenn wir herausfinden, wie wir Kosten minimieren, Gewinne steigern, die optimale Belastung der Produktion berechnen usw., dh in den Fällen, in denen es notwendig ist, den optimalen Wert eines Parameters zu bestimmen. Um solche Probleme richtig zu lösen, muss man gut verstehen, was der größte und der kleinste Wert einer Funktion sind.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Üblicherweise definieren wir diese Werte innerhalb eines gewissen Intervalls x , das wiederum dem gesamten Umfang der Funktion oder einem Teil davon entsprechen kann. Es kann entweder ein Segment [ a ; b ] , und offenes Intervall (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) , unendliches Intervall (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) oder unendliches Intervall - ∞ ; ein , (- ∞ ; ein ] , [ ein ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

In diesem Artikel beschreiben wir, wie der größte und kleinste Wert einer explizit gegebenen Funktion mit einer Variablen y=f(x) y = f(x) berechnet wird.

Grundlegende Definitionen

Wir beginnen wie immer mit der Formulierung der wichtigsten Definitionen.

Bestimmung 1

Der größte Wert der Funktion y = f (x) auf einem bestimmten Intervall x ist der Wert m a x y = f (x 0) x ∈ X , was für jeden Wert x x ∈ X , x ≠ x 0 die Ungleichung f (x ) ≤ f (x 0) .

Bestimmung 2

Der kleinste Wert der Funktion y = f (x) auf einem Intervall x ist der Wert m i n x ∈ X y = f (x 0) , was für jeden Wert x ∈ X , x ≠ x 0 die Ungleichung f(X f(x) ≥ f(x0) .

Diese Definitionen sind ziemlich offensichtlich. Es kann noch einfacher ausgedrückt werden: Der größte Wert einer Funktion ist ihr größter Wert in einem bekannten Intervall bei der Abszisse x 0, und der kleinste ist der kleinste akzeptierte Wert in demselben Intervall bei x 0.

Bestimmung 3

Stationäre Punkte sind solche Werte des Funktionsarguments, bei denen seine Ableitung 0 wird.

Warum müssen wir wissen, was stationäre Punkte sind? Um diese Frage zu beantworten, müssen wir uns an den Satz von Fermat erinnern. Daraus folgt, dass ein stationärer Punkt ein Punkt ist, an dem sich das Extremum einer differenzierbaren Funktion befindet (d. h. ihr lokales Minimum oder Maximum). Folglich nimmt die Funktion genau an einem der stationären Punkte den kleinsten oder größten Wert in einem bestimmten Intervall an.

Eine andere Funktion kann an den Stellen den größten oder kleinsten Wert annehmen, an denen die Funktion selbst bestimmt ist und ihre erste Ableitung nicht existiert.

Die erste Frage, die sich beim Studium dieses Themas stellt, lautet: Können wir in allen Fällen den maximalen oder minimalen Wert einer Funktion in einem bestimmten Intervall bestimmen? Nein, wir können dies nicht tun, wenn die Grenzen des gegebenen Intervalls mit den Grenzen des Definitionsbereichs zusammenfallen oder wenn wir es mit einem unendlichen Intervall zu tun haben. Es kommt auch vor, dass eine Funktion in einem bestimmten Intervall oder im Unendlichen unendlich kleine oder unendlich große Werte annimmt. In diesen Fällen ist es nicht möglich, den größten und/oder kleinsten Wert zu ermitteln.

Diese Momente werden nach dem Bild in den Grafiken verständlicher:

Die erste Abbildung zeigt uns eine Funktion, die an stationären Punkten im Intervall [- 6 ; 6].

Untersuchen wir den in der zweiten Grafik angegebenen Fall im Detail. Ändern wir den Wert des Segments in [ 1 ; 6] und wir erhalten, dass der größte Wert der Funktion am Punkt mit der Abszisse an der rechten Grenze des Intervalls erreicht wird und der kleinste - am stationären Punkt.

In der dritten Figur repräsentieren die Abszissen der Punkte die Grenzpunkte des Segments [-3; 2]. Sie entsprechen dem größten und kleinsten Wert der gegebenen Funktion.

Schauen wir uns nun das vierte Bild an. Darin nimmt die Funktion m a x y (den größten Wert) und m i n y (den kleinsten Wert) an stationären Punkten im offenen Intervall (– 6 ; 6) an.

Wenn wir das Intervall [ 1 ; 6) , dann können wir sagen, dass der kleinste Wert der Funktion darauf an einem stationären Punkt erreicht wird. Wir werden den Höchstwert nicht kennen. Die Funktion könnte den größten Wert bei x gleich 6 annehmen, wenn x = 6 zu dem Intervall gehört. Dieser Fall ist in Abbildung 5 dargestellt.

In Grafik 6 erhält diese Funktion den kleinsten Wert am rechten Rand des Intervalls (- 3 ; 2 ] , und wir können keine eindeutigen Schlussfolgerungen über den größten Wert ziehen.

In Abbildung 7 sehen wir, dass die Funktion m a x y am stationären Punkt haben wird, mit einer Abszisse gleich 1 . Die Funktion erreicht ihren Minimalwert an der Intervallgrenze auf der rechten Seite. Bei minus unendlich nähern sich die Werte der Funktion asymptotisch y = 3 .

Nehmen wir ein Intervall x ∈ 2 ; + ∞ , dann werden wir sehen, dass die gegebene Funktion weder den kleinsten noch den größten Wert annehmen wird. Wenn x gegen 2 tendiert, dann tendieren die Werte der Funktion gegen minus unendlich, da die Gerade x = 2 eine vertikale Asymptote ist. Wenn die Abszisse gegen unendlich geht, nähern sich die Werte der Funktion asymptotisch y = 3. Dies ist der in Abbildung 8 gezeigte Fall.

In diesem Absatz geben wir eine Abfolge von Aktionen an, die ausgeführt werden müssen, um den größten oder kleinsten Wert einer Funktion in einem bestimmten Intervall zu finden.

1. Lassen Sie uns zuerst den Definitionsbereich der Funktion finden. Prüfen wir, ob das in der Bedingung angegebene Segment darin enthalten ist.
2. Lassen Sie uns nun die in diesem Segment enthaltenen Punkte berechnen, an denen die erste Ableitung nicht existiert. Am häufigsten findet man sie in Funktionen, deren Argument unter dem Moduluszeichen steht, oder in Potenzfunktionen, deren Exponent eine gebrochen rationale Zahl ist.
3. Als nächstes finden wir heraus, welche stationären Punkte in ein bestimmtes Segment fallen. Dazu müssen Sie die Ableitung der Funktion berechnen, sie dann mit 0 gleichsetzen und die resultierende Gleichung lösen und dann die entsprechenden Wurzeln auswählen. Wenn wir keinen einzigen stationären Punkt erhalten oder sie nicht in ein bestimmtes Segment fallen, fahren wir mit dem nächsten Schritt fort.
4. Lassen Sie uns bestimmen, welche Werte die Funktion an den gegebenen stationären Punkten (falls vorhanden) oder an den Punkten, an denen die erste Ableitung nicht existiert (falls vorhanden), annehmen wird, oder wir berechnen die Werte für x = a und x = b.
5. 5. Wir haben eine Reihe von Funktionswerten, aus denen wir nun den größten und den kleinsten auswählen müssen. Dies sind die größten und kleinsten Werte der Funktion, die wir finden müssen.

Sehen wir uns an, wie dieser Algorithmus beim Lösen von Problemen richtig angewendet wird.

Beispiel 1

Zustand: die Funktion y = x 3 + 4 x 2 ist gegeben. Bestimme seinen größten und kleinsten Wert auf den Segmenten [ 1 ; 4 ] und [-4; - ein ] .

Entscheidung:

Beginnen wir damit, den Definitionsbereich dieser Funktion zu finden. In diesem Fall ist es die Menge aller reellen Zahlen außer 0 . Mit anderen Worten, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; +∞ . Beide in der Bedingung angegebenen Segmente befinden sich innerhalb des Definitionsbereichs.

Nun berechnen wir die Ableitung der Funktion nach der Ableitungsregel eines Bruchs:

y "= x 3 + 4 x 2" = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Wir haben gelernt, dass die Ableitung der Funktion an allen Punkten der Segmente existiert [ 1 ; 4 ] und [-4; - ein ] .

Jetzt müssen wir die stationären Punkte der Funktion bestimmen. Machen wir das mit der Gleichung x 3 - 8 x 3 = 0. Es hat nur eine echte Wurzel, nämlich 2. Er wird ein stationärer Punkt der Funktion und fällt in das erste Segment [1; 4 ] .

Lassen Sie uns die Werte der Funktion an den Enden des ersten Segments und an der angegebenen Stelle berechnen, d.h. für x = 1 , x = 2 und x = 4:

y(1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y(2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y(4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Wir haben festgestellt, dass der größte Wert der Funktion m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 wird bei x = 1 erreicht, und das kleinste m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – bei x = 2 .

Das zweite Segment enthält keine stationären Punkte, daher müssen wir die Funktionswerte nur an den Enden des angegebenen Segments berechnen:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Also m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m ich n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Antworten: Für das Segment [ 1 ; 4 ] - m ein x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m ich n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , für das Segment [ - 4 ; - 1 ] - m ein x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m ich n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Siehe Bild:

Bevor Sie diese Methode lernen, empfehlen wir Ihnen, sich mit der korrekten Berechnung der einseitigen Grenze und der Grenze im Unendlichen sowie mit den grundlegenden Methoden zu ihrer Bestimmung vertraut zu machen. Um den größten und / oder kleinsten Wert einer Funktion auf einem offenen oder unendlichen Intervall zu finden, führen wir die folgenden Schritte nacheinander aus.

1. Zuerst müssen Sie prüfen, ob das angegebene Intervall eine Teilmenge des Definitionsbereichs der angegebenen Funktion ist.
2. Bestimmen wir alle Punkte, die in dem gesuchten Intervall enthalten sind und an denen die erste Ableitung nicht existiert. Normalerweise treten sie in Funktionen auf, bei denen das Argument im Vorzeichen des Moduls eingeschlossen ist, und in Potenzfunktionen mit einem gebrochen rationalen Exponenten. Wenn diese Punkte fehlen, können Sie mit dem nächsten Schritt fortfahren.
3. Nun bestimmen wir, welche stationären Punkte in ein gegebenes Intervall fallen. Zuerst setzen wir die Ableitung mit 0 gleich, lösen die Gleichung und finden geeignete Wurzeln. Wenn wir keinen einzigen stationären Punkt haben oder sie nicht in das angegebene Intervall fallen, fahren wir sofort mit weiteren Aktionen fort. Sie werden durch die Art des Intervalls bestimmt.

• Wenn das Intervall so aussieht [ a ; b) , dann müssen wir den Wert der Funktion an der Stelle x = a und den einseitigen Grenzwert lim x → b - 0 f (x) berechnen.
• Wenn das Intervall die Form (a ; b ] hat, müssen wir den Wert der Funktion an der Stelle x = b und den einseitigen Grenzwert lim x → a + 0 f (x) berechnen.
• Wenn das Intervall die Form (a ; b) hat, müssen wir die einseitigen Grenzwerte lim x → b - 0 f (x) , lim x → a + 0 f (x) berechnen.
• Wenn das Intervall so aussieht [ a ; + ∞) , dann ist es notwendig, den Wert an der Stelle x = a und die Grenze nach plus unendlich lim x → + ∞ f (x) zu berechnen.
• Wenn das Intervall so aussieht (- ∞ ; b ] , berechnen wir den Wert am Punkt x = b und den Grenzwert bei minus unendlich lim x → - ∞ f (x) .
• Wenn - ∞ ; b , dann betrachten wir den einseitigen Grenzwert lim x → b - 0 f (x) und den Grenzwert bei minus unendlich lim x → - ∞ f (x)
• Wenn - ∞ ; + ∞ , dann betrachten wir die Grenzen nach minus und plus unendlich lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

1. Am Ende müssen Sie auf der Grundlage der erhaltenen Werte der Funktion und der Grenzen eine Schlussfolgerung ziehen. Hier gibt es viele Möglichkeiten. Wenn also der einseitige Grenzwert gleich minus unendlich oder plus unendlich ist, dann ist sofort klar, dass über den kleinsten und größten Wert der Funktion nichts ausgesagt werden kann. Im Folgenden betrachten wir ein typisches Beispiel. Detaillierte Beschreibungen helfen Ihnen zu verstehen, was was ist. Falls nötig, können Sie zu den Abbildungen 4 - 8 im ersten Teil des Materials zurückkehren.

Beispiel 2

Bedingung: gegeben eine Funktion y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Berechnen Sie seinen größten und kleinsten Wert in den Intervallen - ∞ ; -4, -∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; +∞) .

Entscheidung

Zunächst finden wir den Definitionsbereich der Funktion. Der Nenner des Bruchs ist ein quadratisches Trinom, das nicht gegen 0 gehen sollte:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Wir haben den Funktionsumfang erhalten, zu dem alle in der Bedingung angegebenen Intervalle gehören.

Lassen Sie uns nun die Funktion differenzieren und erhalten:

y "= 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4" = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " == 3 e 1 x 2 + x - 6 1 "x 2 + x - 6 - 1 x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 (2 x + 1) e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Folglich existieren Ableitungen einer Funktion im gesamten Definitionsbereich.

Fahren wir mit der Suche nach stationären Punkten fort. Die Ableitung der Funktion wird 0 bei x = - 1 2 . Dies ist ein stationärer Punkt, der in den Intervallen (- 3 ; 1 ] und (- 3 ; 2) liegt.

Berechnen wir den Wert der Funktion bei x = - 4 für das Intervall (- ∞ ; - 4 ] , sowie den Grenzwert bei minus unendlich:

y (- 4) \u003d 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 \u003d 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Da 3 e 1 6 - 4 > - 1 gilt, ist m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4 . Dies erlaubt uns nicht, den kleinsten Wert der Funktion eindeutig zu bestimmen. Wir können nur schließen, dass es eine Grenze unterhalb von -1 gibt, da sich die Funktion diesem Wert asymptotisch bei minus unendlich nähert.

Ein Merkmal des zweiten Intervalls ist, dass es keinen einzigen stationären Punkt und keine einzige strenge Grenze hat. Daher können wir weder den größten noch den kleinsten Wert der Funktion berechnen. Indem wir die Grenze bei minus unendlich definieren und das Argument auf der linken Seite gegen -3 tendiert, erhalten wir nur den Wertebereich:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Das bedeutet, dass sich die Funktionswerte im Intervall -1 befinden; +∞

Um den Maximalwert der Funktion im dritten Intervall zu finden, bestimmen wir ihren Wert am stationären Punkt x = - 1 2 falls x = 1 . Wir müssen auch die einseitige Grenze für den Fall kennen, wenn das Argument auf der rechten Seite gegen -3 tendiert:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Es stellte sich heraus, dass die Funktion an einem stationären Punkt m a x y x ∈ (3 ; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 den größten Wert annehmen wird. Den kleinsten Wert können wir nicht bestimmen. All das können wir wissen, ist das Vorhandensein einer unteren Grenze bis -4.

Nehmen wir für das Intervall (- 3 ; 2) die Ergebnisse der vorherigen Berechnung und berechnen wir noch einmal, was die einseitige Grenze ist, wenn wir von der linken Seite zu 2 tendieren:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Daher ist m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 , und der kleinste Wert kann nicht bestimmt werden, und die Werte der Funktion werden von unten durch die Zahl - 4 begrenzt.

Basierend auf dem, was wir in den beiden vorherigen Berechnungen gemacht haben, können wir behaupten, dass auf dem Intervall [ 1 ; 2) Die Funktion nimmt den größten Wert bei x = 1 an, und es ist unmöglich, den kleinsten zu finden.

Auf dem Intervall (2 ; + ∞) erreicht die Funktion weder den größten noch den kleinsten Wert, d.h. es werden Werte aus dem Intervall - 1 genommen; +∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Nachdem wir berechnet haben, was der Wert der Funktion bei x = 4 sein wird, finden wir heraus, dass m a x y x ∈ [4; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , und die gegebene Funktion bei plus unendlich nähert sich asymptotisch der Linie y = - 1 .

Vergleichen wir, was wir in jeder Berechnung erhalten haben, mit dem Graphen der gegebenen Funktion. In der Figur sind die Asymptoten durch gepunktete Linien dargestellt.

Das ist alles, was wir über das Finden des größten und kleinsten Werts einer Funktion sprechen wollten. Die von uns angegebenen Aktionsfolgen helfen Ihnen, die erforderlichen Berechnungen so schnell und einfach wie möglich durchzuführen. Denken Sie jedoch daran, dass es oft nützlich ist, zuerst herauszufinden, in welchen Intervallen die Funktion abnimmt und in welchen Intervallen sie zunimmt, wonach weitere Schlussfolgerungen gezogen werden können. So können Sie den größten und kleinsten Wert der Funktion genauer bestimmen und die Ergebnisse begründen.

Wenn Sie einen Fehler im Text bemerken, markieren Sie ihn bitte und drücken Sie Strg+Enter

In der Physik und Mathematik ist es oft erforderlich, den kleinsten Wert einer Funktion zu finden. Wie das geht, verraten wir jetzt.

So finden Sie den kleinsten Wert einer Funktion: Anleitung

1. Um den kleinsten Wert einer kontinuierlichen Funktion in einem bestimmten Intervall zu berechnen, müssen Sie diesem Algorithmus folgen:
2. Finden Sie die Ableitung einer Funktion.
3. Finden Sie auf einem gegebenen Segment die Punkte, an denen die Ableitung gleich Null ist, sowie alle kritischen Punkte. Finden Sie dann die Werte der Funktion an diesen Punkten heraus, dh lösen Sie die Gleichung, bei der x gleich Null ist. Finden Sie heraus, welcher der Werte der kleinste ist.
4. Finden Sie heraus, welchen Wert die Funktion an den Endpunkten hat. Bestimmen Sie an diesen Stellen den kleinsten Wert der Funktion.
5. Vergleichen Sie die empfangenen Daten mit dem kleinsten Wert. Die kleinere der empfangenen Zahlen ist der kleinste Wert der Funktion.

Beachten Sie, dass für den Fall, dass eine Funktion auf einem Segment nicht die kleinsten Punkte hat, dies bedeutet, dass sie auf diesem Segment zunimmt oder abnimmt. Daher sollte der kleinste Wert auf den endlichen Segmenten der Funktion berechnet werden.

In allen anderen Fällen wird der Wert der Funktion nach dem angegebenen Algorithmus berechnet. Bei jedem Schritt des Algorithmus müssen Sie eine einfache lineare Gleichung mit einer Wurzel lösen. Lösen Sie die Gleichung anhand der Zeichnung, um Fehler zu vermeiden.

Wie finde ich den kleinsten Wert einer Funktion auf einem halboffenen Segment? Bei einer halboffenen oder offenen Periode der Funktion sollte der kleinste Wert wie folgt gefunden werden. Berechnen Sie an den Endpunkten des Funktionswerts den einseitigen Grenzwert der Funktion. Mit anderen Worten, lösen Sie eine Gleichung, in der die Tendenzpunkte durch die Werte a+0 und b+0 gegeben sind, wobei a und b die Namen der kritischen Punkte sind.

Jetzt weißt du, wie man den kleinsten Wert einer Funktion findet. Die Hauptsache ist, alle Berechnungen korrekt, genau und fehlerfrei durchzuführen.

Lassen Sie die Funktion y=f(X) kontinuierlich auf dem Segment [ ein, b]. Bekanntermaßen erreicht eine solche Funktion auf diesem Segment die Maximal- und Minimalwerte. Die Funktion kann diese Werte entweder an einem inneren Punkt des Segments annehmen [ ein, b] oder an der Grenze des Segments.

Um die größten und kleinsten Werte einer Funktion auf dem Segment zu finden [ ein, b] notwendig:

1) Finden Sie die kritischen Punkte der Funktion im Intervall ( ein, b);

2) Berechnen Sie die Werte der Funktion an den gefundenen kritischen Punkten;

3) Berechnen Sie die Werte der Funktion an den Enden des Segments, das heißt, z x=a und x = b;

4) Wählen Sie aus allen berechneten Werten der Funktion den größten und den kleinsten aus.

Beispiel. Finden Sie den größten und kleinsten Wert einer Funktion

auf dem Segment.

Kritische Punkte finden:

Diese Punkte liegen innerhalb des Segments; j(1) = ‒ 3; j(2) = ‒ 4; j(0) = ‒ 8; j(3) = 1;

am Punkt x= 3 und an dem Punkt x= 0.

Untersuchung einer Funktion für Konvexität und Wendepunkt.

Funktion j = f (x) namens konvex zwischen (a, b) , wenn sein Graph unter einer Tangente liegt, die an irgendeinem Punkt dieses Intervalls gezogen wird, und heißt konvex nach unten (konkav) wenn sein Graph über der Tangente liegt.

Der Punkt am Übergang, durch den die Konvexität durch die Konkavität oder umgekehrt ersetzt wird, wird genannt Wendepunkt.

Algorithmus zum Studium der Konvexität und des Wendepunkts:

1. Finden Sie die kritischen Punkte zweiter Art, also die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich Null ist oder nicht existiert.

2. Setzen Sie kritische Punkte auf den Zahlenstrahl und unterteilen Sie ihn in Intervalle. Finde das Vorzeichen der zweiten Ableitung in jedem Intervall; wenn , dann ist die Funktion nach oben konvex, wenn, dann ist die Funktion nach unten konvex.

3. Ändert sie beim Durchlaufen eines kritischen Punktes zweiter Art das Vorzeichen und ist an dieser Stelle die zweite Ableitung gleich Null, so ist dieser Punkt die Abszisse des Wendepunktes. Finde seine Ordinate.

Asymptoten des Graphen einer Funktion. Untersuchung einer Funktion in Asymptoten.

Definition. Die Asymptote des Graphen einer Funktion heißt gerade, die die Eigenschaft hat, dass der Abstand von jedem Punkt des Graphen zu dieser Linie bei unbegrenzter Entfernung des Graphenpunkts vom Ursprung gegen Null geht.

Es gibt drei Arten von Asymptoten: vertikal, horizontal und geneigt.

Definition. Direkt angerufen vertikale Asymptote Funktionsgraph y = f(x), wenn mindestens einer der einseitigen Grenzwerte der Funktion an dieser Stelle gleich unendlich ist, d.h

wo ist der Unstetigkeitspunkt der Funktion, dh sie gehört nicht zum Definitionsbereich.

Beispiel.

D( j) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 - Sollbruchstelle.

Definition. Gerade y=EIN namens horizontale Asymptote Funktionsgraph y = f(x) bei , wenn

Beispiel.

x
j

Definition. Gerade y=kx +b (k≠ 0) aufgerufen schräge Asymptote Funktionsgraph y = f(x) bei , wo

Allgemeines Schema für das Studium von Funktionen und Plotten.

Funktionsforschungsalgorithmusy = f(x) :

1. Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion D (j).

2. Finde (wenn möglich) die Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen (mit x= 0 und bei j = 0).

3. Untersuche gerade und ungerade Funktionen ( j (‒ x) = j (x) ‒ Parität; j(‒ x) = ‒ j (x) ‒ seltsam).

4. Finden Sie die Asymptoten des Graphen der Funktion.

5. Finde Intervalle der Monotonie der Funktion.

6. Finden Sie die Extrema der Funktion.

7. Finden Sie die Intervalle der Konvexität (Konkavität) und Wendepunkte des Graphen der Funktion.

8. Erstellen Sie auf der Grundlage der durchgeführten Forschung einen Graphen der Funktion.

Beispiel. Untersuchen Sie die Funktion und zeichnen Sie ihren Graphen.

1) D (j) =

x= 4 - Bruchpunkt.

2) Wann x = 0,

(0; – 5) – Schnittpunkt mit oy.

Beim j = 0,

3) j(‒ x)= allgemeine Funktion (weder gerade noch ungerade).

4) Wir untersuchen nach Asymptoten.

a) vertikal

b) waagrecht

c) Finde schiefe Asymptoten wo

‒schiefe Asymptotengleichung

5) In dieser Gleichung ist es nicht erforderlich, Intervalle der Monotonie der Funktion zu finden.

6)

Diese kritischen Punkte unterteilen den gesamten Definitionsbereich der Funktion auf das Intervall (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) und (10; +∞). Es ist zweckmäßig, die erhaltenen Ergebnisse in Form der folgenden Tabelle darzustellen.