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Brüche mit gleichem Nenner addieren

Es gibt zwei Arten von Brüchen:

1. Brüche mit gleichem Nenner addieren
2. Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren

Beginnen wir mit der Addition von Brüchen mit gleichem Nenner. Hier ist alles einfach. Um Brüche mit demselben Nenner zu addieren, musst du ihre Zähler addieren und den Nenner unverändert lassen. Lassen Sie uns zum Beispiel die Brüche und addieren. Wir addieren die Zähler und lassen den Nenner unverändert:

Dieses Beispiel lässt sich leicht nachvollziehen, wenn wir an eine Pizza denken, die in vier Teile geteilt ist. Wenn Sie Pizza zu Pizza hinzufügen, erhalten Sie Pizza:

Beispiel 2 Addiere Brüche und .

Die Antwort ist ein unechter Bruch. Wenn das Ende der Aufgabe kommt, ist es üblich, unechte Brüche loszuwerden. Um einen unechten Bruch loszuwerden, müssen Sie den ganzen Teil darin auswählen. In unserem Fall ist der ganzzahlige Teil einfach zuzuordnen - zwei geteilt durch zwei ist gleich eins:

Dieses Beispiel lässt sich leicht nachvollziehen, wenn wir an eine zweigeteilte Pizza denken. Wenn Sie der Pizza weitere Pizzen hinzufügen, erhalten Sie eine ganze Pizza:

Beispiel 3. Addiere Brüche und .

Addieren Sie wieder die Zähler und lassen Sie den Nenner unverändert:

Dieses Beispiel lässt sich leicht nachvollziehen, wenn wir an eine dreigeteilte Pizza denken. Wenn Sie mehr Pizzen zu Pizza hinzufügen, erhalten Sie Pizzen:

Beispiel 4 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Dieses Beispiel wird genauso gelöst wie die vorherigen. Die Zähler müssen addiert und der Nenner unverändert gelassen werden:

Versuchen wir, unsere Lösung anhand eines Bildes darzustellen. Wenn Sie einer Pizza Pizzen hinzufügen und weitere Pizzen hinzufügen, erhalten Sie 1 ganze Pizza und mehr Pizzen.

Wie du siehst, ist das Addieren von Brüchen mit gleichem Nenner nicht schwierig. Es reicht aus, die folgenden Regeln zu verstehen:

1. Um Brüche mit demselben Nenner zu addieren, müssen Sie ihre Zähler addieren und den Nenner unverändert lassen;

Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren

Jetzt lernen wir, wie man Brüche mit unterschiedlichen Nennern addiert. Beim Addieren von Brüchen müssen die Nenner dieser Brüche gleich sein. Aber sie sind nicht immer gleich.

Zum Beispiel können Brüche addiert werden, weil sie den gleichen Nenner haben.

Brüche können jedoch nicht auf einmal addiert werden, da diese Brüche unterschiedliche Nenner haben. In solchen Fällen müssen Brüche auf den gleichen (gemeinsamen) Nenner gekürzt werden.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Brüche auf denselben Nenner zu bringen. Heute werden wir nur eine davon betrachten, da die restlichen Methoden für einen Anfänger kompliziert erscheinen mögen.

Das Wesen dieser Methode liegt darin, dass zuerst (LCM) der Nenner beider Brüche gesucht wird. Dann wird das LCM durch den Nenner des ersten Bruchs geteilt und der erste zusätzliche Faktor wird erhalten. Dasselbe machen sie mit dem zweiten Bruch – das LCM wird durch den Nenner des zweiten Bruchs geteilt und der zweite zusätzliche Faktor wird erhalten.

Dann werden die Zähler und Nenner der Brüche mit ihren zusätzlichen Faktoren multipliziert. Als Ergebnis dieser Aktionen werden Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit demselben Nenner. Und wir wissen bereits, wie man solche Brüche addiert.

Beispiel 1. Brüche addieren und

Zunächst finden wir das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner beider Brüche. Der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 3 und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 2. Das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen ist 6

LCM (2 und 3) = 6

Nun zurück zu den Brüchen und . Zuerst dividieren wir das LCM durch den Nenner des ersten Bruchs und erhalten den ersten zusätzlichen Faktor. LCM ist die Zahl 6, und der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 3. Teilen Sie 6 durch 3, wir erhalten 2.

Die resultierende Zahl 2 ist der erste zusätzliche Faktor. Wir schreiben es bis zum ersten Bruch auf. Dazu ziehen wir einen kleinen Schrägstrich über den Bruch und schreiben den gefundenen Zusatzfaktor darüber:

Dasselbe machen wir mit der zweiten Fraktion. Wir dividieren das LCM durch den Nenner des zweiten Bruchs und erhalten den zweiten zusätzlichen Faktor. LCM ist die Zahl 6, und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 2. Teilen Sie 6 durch 2, wir erhalten 3.

Die resultierende Zahl 3 ist der zweite zusätzliche Faktor. Wir schreiben es in den zweiten Bruch. Auch hier machen wir einen kleinen Schrägstrich über dem zweiten Bruch und schreiben den gefundenen Zusatzfaktor darüber:

Jetzt können wir alles hinzufügen. Es bleibt, die Zähler und Nenner von Brüchen mit ihren zusätzlichen Faktoren zu multiplizieren:

Schauen Sie sich genau an, was wir erreicht haben. Wir kamen zu dem Schluss, dass Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit gleichem Nenner wurden. Und wir wissen bereits, wie man solche Brüche addiert. Lassen Sie uns dieses Beispiel zu Ende führen:

Damit endet das Beispiel. Um es hinzuzufügen, stellt sich heraus.

Versuchen wir, unsere Lösung anhand eines Bildes darzustellen. Wenn Sie einer Pizza Pizzen hinzufügen, erhalten Sie eine ganze Pizza und ein weiteres Sechstel einer Pizza:

Das Kürzen von Brüchen auf den gleichen (gemeinsamen) Nenner kann auch mit einem Bild dargestellt werden. Wenn wir die Brüche und auf einen gemeinsamen Nenner bringen, erhalten wir die Brüche und . Diese beiden Fraktionen werden durch die gleichen Pizzastücke dargestellt. Der einzige Unterschied besteht darin, dass sie diesmal in gleiche Anteile geteilt (auf denselben Nenner gebracht) werden.

Die erste Zeichnung zeigt einen Bruch (vier Teile von sechs) und das zweite Bild zeigt einen Bruch (drei Teile von sechs). Wenn wir diese Teile zusammenfügen, erhalten wir (sieben von sechs Teilen). Dieser Bruch ist falsch, deshalb haben wir den ganzzahligen Teil darin hervorgehoben. Das Ergebnis war (eine ganze Pizza und eine weitere sechste Pizza).

Beachten Sie, dass wir dieses Beispiel zu detailliert gemalt haben. In Bildungseinrichtungen ist es nicht üblich, so ausführlich zu schreiben. Sie müssen in der Lage sein, das LCM beider Nenner und zusätzlicher Faktoren schnell zu finden und die zusätzlichen Faktoren, die von Ihren Zählern und Nennern gefunden wurden, schnell zu multiplizieren. In der Schule müssten wir dieses Beispiel wie folgt schreiben:

Aber es gibt auch die andere Seite der Medaille. Wenn in den ersten Phasen des Mathematikstudiums keine detaillierten Notizen gemacht werden, dann solche Fragen „Woher kommt diese Zahl?“, „Warum werden aus Brüchen plötzlich ganz andere Brüche? «.

Um das Addieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern zu vereinfachen, können Sie die folgende Schritt-für-Schritt-Anleitung verwenden:

1. Finden Sie das LCM der Nenner von Brüchen;
2. Teilen Sie das LCM durch den Nenner jedes Bruchs und erhalten Sie einen zusätzlichen Multiplikator für jeden Bruch;
3. Multiplizieren Sie die Zähler und Nenner von Brüchen mit ihren zusätzlichen Faktoren;
4. Brüche mit gleichem Nenner addieren;
5. Wenn sich herausstellt, dass die Antwort ein unechter Bruch ist, wählen Sie den ganzen Teil aus;

Beispiel 2 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks .

Lassen Sie uns die Anweisungen oben verwenden.

Schritt 1. Finden Sie das LCM der Nenner von Brüchen

Finde das LCM der Nenner beider Brüche. Die Nenner der Brüche sind die Zahlen 2, 3 und 4

Schritt 2. Teilen Sie das LCM durch den Nenner jedes Bruchs und erhalten Sie einen zusätzlichen Multiplikator für jeden Bruch

Teilen Sie das LCM durch den Nenner des ersten Bruchs. LCM ist die Zahl 12, und der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 2. Teilen Sie 12 durch 2, erhalten wir 6. Wir erhalten den ersten zusätzlichen Faktor 6. Wir schreiben ihn über den ersten Bruch:

Jetzt dividieren wir das LCM durch den Nenner des zweiten Bruchs. LCM ist die Zahl 12, und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 3. Wir teilen 12 durch 3, wir erhalten 4. Wir erhalten den zweiten zusätzlichen Faktor 4. Wir schreiben ihn über den zweiten Bruch:

Jetzt dividieren wir das LCM durch den Nenner des dritten Bruchs. LCM ist die Zahl 12, und der Nenner des dritten Bruchs ist die Zahl 4. Teilen Sie 12 durch 4, wir erhalten 3. Wir erhalten den dritten zusätzlichen Faktor 3. Wir schreiben ihn über den dritten Bruch:

Schritt 3. Multiplizieren Sie die Zähler und Nenner von Brüchen mit Ihren zusätzlichen Faktoren

Wir multiplizieren die Zähler und Nenner mit unseren zusätzlichen Faktoren:

Schritt 4. Addiere Brüche mit gleichem Nenner

Wir kamen zu dem Schluss, dass Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit demselben (gemeinsamen) Nenner werden. Es bleibt, diese Brüche zu addieren. Addieren:

Die Addition passte nicht in eine Zeile, also haben wir den verbleibenden Ausdruck in die nächste Zeile verschoben. In Mathematik ist dies erlaubt. Wenn ein Ausdruck nicht in eine Zeile passt, wird er in die nächste Zeile übernommen, und am Ende der ersten Zeile und am Anfang einer neuen Zeile muss ein Gleichheitszeichen (=) gesetzt werden. Das Gleichheitszeichen in der zweiten Zeile zeigt an, dass dies eine Fortsetzung des Ausdrucks in der ersten Zeile ist.

Schritt 5. Wenn sich herausstellt, dass die Antwort ein unechter Bruch ist, wählen Sie den ganzen Teil darin aus

Unsere Antwort ist ein unechter Bruch. Wir müssen den ganzen Teil davon herausgreifen. Wir heben hervor:

Habe eine Antwort bekommen

Subtraktion von Brüchen mit gleichem Nenner

Es gibt zwei Arten der Bruchsubtraktion:

1. Subtraktion von Brüchen mit gleichem Nenner
2. Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern

Lass uns zuerst lernen, wie man Brüche mit demselben Nenner subtrahiert. Hier ist alles einfach. Um einen weiteren von einem Bruch zu subtrahieren, musst du den Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten Bruchs subtrahieren und den Nenner gleich lassen.

Lassen Sie uns zum Beispiel den Wert des Ausdrucks finden. Um dieses Beispiel zu lösen, ist es notwendig, den Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten Bruchs zu subtrahieren und den Nenner unverändert zu lassen. Lass uns das machen:

Dieses Beispiel lässt sich leicht nachvollziehen, wenn wir an eine Pizza denken, die in vier Teile geteilt ist. Schneidet man Pizzen aus einer Pizza, erhält man Pizzen:

Beispiel 2 Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks .

Subtrahieren Sie erneut vom Zähler des ersten Bruchs den Zähler des zweiten Bruchs und lassen Sie den Nenner unverändert:

Dieses Beispiel lässt sich leicht nachvollziehen, wenn wir an eine dreigeteilte Pizza denken. Schneidet man Pizzen aus einer Pizza, erhält man Pizzen:

Beispiel 3 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Dieses Beispiel wird genauso gelöst wie die vorherigen. Vom Zähler des ersten Bruchs müssen Sie die Zähler der restlichen Brüche subtrahieren:

Wie du siehst, ist es nicht kompliziert, Brüche mit demselben Nenner zu subtrahieren. Es reicht aus, die folgenden Regeln zu verstehen:

1. Um einen weiteren von einem Bruch zu subtrahieren, müssen Sie den Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten Bruchs subtrahieren und den Nenner unverändert lassen;
2. Wenn sich herausstellt, dass die Antwort ein unechter Bruch ist, müssen Sie den gesamten Teil darin auswählen.

Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern

Beispielsweise kann ein Bruch von einem Bruch subtrahiert werden, da diese Brüche denselben Nenner haben. Aber ein Bruch kann nicht von einem Bruch subtrahiert werden, weil diese Brüche unterschiedliche Nenner haben. In solchen Fällen müssen Brüche auf den gleichen (gemeinsamen) Nenner gekürzt werden.

Der gemeinsame Nenner wird nach dem gleichen Prinzip gefunden, das wir beim Addieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern verwendet haben. Bestimmen Sie zunächst das kgV der Nenner beider Brüche. Dann wird das LCM durch den Nenner des ersten Bruchs dividiert und man erhält den ersten zusätzlichen Faktor, der über den ersten Bruch geschrieben wird. In ähnlicher Weise wird das LCM durch den Nenner des zweiten Bruchs dividiert und man erhält einen zweiten zusätzlichen Faktor, der über den zweiten Bruch geschrieben wird.

Die Brüche werden dann mit ihren zusätzlichen Faktoren multipliziert. Als Ergebnis dieser Operationen werden Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit demselben Nenner. Und wir wissen bereits, wie man solche Brüche subtrahiert.

Beispiel 1 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks:

Diese Brüche haben unterschiedliche Nenner, also musst du sie auf denselben (gemeinsamen) Nenner bringen.

Zuerst finden wir das LCM der Nenner beider Brüche. Der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 3 und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 4. Das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen ist 12

LCM (3 und 4) = 12

Nun zurück zu Brüchen und

Lassen Sie uns einen zusätzlichen Faktor für den ersten Bruch finden. Dazu dividieren wir das LCM durch den Nenner des ersten Bruchs. LCM ist die Zahl 12, und der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 3. Teilen Sie 12 durch 3, erhalten wir 4. Wir schreiben die Vier über den ersten Bruch:

Dasselbe machen wir mit der zweiten Fraktion. Wir dividieren das LCM durch den Nenner des zweiten Bruchs. LCM ist die Zahl 12, und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 4. Teilen Sie 12 durch 4, wir erhalten 3. Schreiben Sie ein Tripel über den zweiten Bruch:

Jetzt sind wir bereit für die Subtraktion. Es bleibt, die Brüche mit ihren zusätzlichen Faktoren zu multiplizieren:

Wir kamen zu dem Schluss, dass Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit gleichem Nenner wurden. Und wir wissen bereits, wie man solche Brüche subtrahiert. Lassen Sie uns dieses Beispiel zu Ende führen:

Habe eine Antwort bekommen

Versuchen wir, unsere Lösung anhand eines Bildes darzustellen. Wenn Sie Pizzen aus einer Pizza schneiden, erhalten Sie Pizzen.

Dies ist die ausführliche Version der Lösung. In der Schule müssten wir dieses Beispiel kürzer lösen. Eine solche Lösung würde wie folgt aussehen:

Das Kürzen von Brüchen und auf einen gemeinsamen Nenner kann auch mit einem Bild dargestellt werden. Wenn wir diese Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen, erhalten wir die Brüche und . Diese Brüche werden durch dieselben Pizzastücke dargestellt, aber dieses Mal werden sie in dieselben Brüche geteilt (auf denselben Nenner gekürzt):

Die erste Zeichnung zeigt einen Bruchteil (acht Teile von zwölf), und das zweite Bild zeigt einen Bruchteil (drei Teile von zwölf). Indem wir drei von acht Stücken abschneiden, erhalten wir fünf von zwölf Stücken. Der Bruch beschreibt diese fünf Stücke.

Beispiel 2 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Diese Brüche haben unterschiedliche Nenner, also musst du sie zuerst auf den gleichen (gemeinsamen) Nenner bringen.

Finden Sie das LCM der Nenner dieser Brüche.

Die Nenner der Brüche sind die Zahlen 10, 3 und 5. Das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen ist 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Jetzt finden wir zusätzliche Faktoren für jeden Bruch. Dazu dividieren wir das LCM durch den Nenner jedes Bruchs.

Lassen Sie uns einen zusätzlichen Faktor für den ersten Bruch finden. LCM ist die Zahl 30, und der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 10. Teilen Sie 30 durch 10, erhalten wir den ersten zusätzlichen Faktor 3. Wir schreiben ihn über den ersten Bruch:

Jetzt finden wir einen zusätzlichen Faktor für den zweiten Bruch. Teilen Sie das LCM durch den Nenner des zweiten Bruchs. LCM ist die Zahl 30, und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 3. Teilen Sie 30 durch 3, wir erhalten den zweiten zusätzlichen Faktor 10. Wir schreiben ihn über den zweiten Bruch:

Jetzt finden wir einen zusätzlichen Faktor für den dritten Bruch. Teilen Sie das LCM durch den Nenner des dritten Bruchs. LCM ist die Zahl 30, und der Nenner des dritten Bruchs ist die Zahl 5. Teilen Sie 30 durch 5, wir erhalten den dritten zusätzlichen Faktor 6. Wir schreiben ihn über den dritten Bruch:

Jetzt ist alles bereit für die Subtraktion. Es bleibt, die Brüche mit ihren zusätzlichen Faktoren zu multiplizieren:

Wir kamen zu dem Schluss, dass Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit demselben (gemeinsamen) Nenner werden. Und wir wissen bereits, wie man solche Brüche subtrahiert. Lassen Sie uns dieses Beispiel beenden.

Die Fortsetzung des Beispiels passt nicht in eine Zeile, also verschieben wir die Fortsetzung in die nächste Zeile. Vergessen Sie nicht das Gleichheitszeichen (=) in der neuen Zeile:

Die Antwort stellte sich als richtiger Bruch heraus, und alles scheint zu uns zu passen, aber es ist zu umständlich und hässlich. Wir sollten es einfacher machen. Was kann getan werden? Sie können diesen Anteil reduzieren.

Um einen Bruch zu kürzen, musst du seinen Zähler und Nenner durch (gcd) die Zahlen 20 und 30 dividieren.

Wir finden also den ggT der Zahlen 20 und 30:

Nun kehren wir zu unserem Beispiel zurück und dividieren Zähler und Nenner des Bruchs durch den gefundenen ggT, ​​also durch 10

Habe eine Antwort bekommen

Einen Bruch mit einer Zahl multiplizieren

Um einen Bruch mit einer Zahl zu multiplizieren, musst du den Zähler des gegebenen Bruchs mit dieser Zahl multiplizieren und den Nenner gleich lassen.

Beispiel 1. Multipliziere den Bruch mit der Zahl 1.

Multipliziere den Zähler des Bruchs mit der Zahl 1

Der Eintrag kann so verstanden werden, dass er die Hälfte der 1-Zeit in Anspruch nimmt. Wenn Sie zum Beispiel 1 Mal Pizza nehmen, erhalten Sie Pizza

Aus den Gesetzen der Multiplikation wissen wir, dass sich das Produkt nicht ändert, wenn der Multiplikand und der Multiplikator vertauscht werden. Wenn der Ausdruck als geschrieben wird, ist das Produkt immer noch gleich . Auch hier funktioniert die Regel zum Multiplizieren einer ganzen Zahl und eines Bruchs:

Dieser Eintrag kann als Übernahme der Hälfte der Einheit verstanden werden. Wenn es zum Beispiel 1 ganze Pizza gibt und wir die Hälfte davon nehmen, dann haben wir Pizza:

Beispiel 2. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Multipliziere den Zähler des Bruchs mit 4

Die Antwort ist ein unechter Bruch. Nehmen wir einen ganzen Teil davon:

Der Ausdruck kann so verstanden werden, dass man 4 mal zwei Viertel nimmt. Wenn Sie beispielsweise viermal Pizza nehmen, erhalten Sie zwei ganze Pizzen.

Und wenn wir den Multiplikanden und den Multiplikator stellenweise vertauschen, erhalten wir den Ausdruck. Es ist auch gleich 2. Dieser Ausdruck kann so verstanden werden, dass zwei Pizzen von vier ganzen Pizzen genommen werden:

Multiplikation von Brüchen

Um Brüche zu multiplizieren, musst du ihre Zähler und Nenner multiplizieren. Wenn die Antwort ein unechter Bruch ist, müssen Sie den ganzen Teil darin auswählen.

Beispiel 1 Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks .

Habe eine Antwort bekommen. Es ist wünschenswert, diesen Anteil zu reduzieren. Der Bruch kann um 2 gekürzt werden. Dann hat die endgültige Lösung folgende Form:

Der Ausdruck kann so verstanden werden, dass man eine Pizza von einer halben Pizza nimmt. Sagen wir, wir haben eine halbe Pizza:

Wie nehme ich zwei Drittel von dieser Hälfte? Zuerst müssen Sie diese Hälfte in drei gleiche Teile teilen:

Und nimm zwei von diesen drei Stücken:

Wir holen Pizza. Denken Sie daran, wie eine Pizza aussieht, die in drei Teile geteilt ist:

Ein Stück dieser Pizza und die beiden Stücke, die wir genommen haben, haben die gleichen Abmessungen:

Mit anderen Worten, wir sprechen von der gleichen Pizzagröße. Daher ist der Wert des Ausdrucks

Beispiel 2. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Multipliziere den Zähler des ersten Bruchs mit dem Zähler des zweiten Bruchs und den Nenner des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs:

Die Antwort ist ein unechter Bruch. Nehmen wir einen ganzen Teil davon:

Beispiel 3 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Multipliziere den Zähler des ersten Bruchs mit dem Zähler des zweiten Bruchs und den Nenner des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs:

Die Antwort stellte sich als richtiger Bruch heraus, aber es wird gut sein, wenn es reduziert wird. Um diesen Bruch zu kürzen, musst du Zähler und Nenner dieses Bruchs durch den größten gemeinsamen Teiler (ggT) der Zahlen 105 und 450 dividieren.

Finden wir also den ggT der Zahlen 105 und 450:

Nun dividieren wir Zähler und Nenner unserer Antwort auf den nun gefundenen ggT, ​​also durch 15

Eine ganze Zahl als Bruch darstellen

Jede ganze Zahl kann als Bruch dargestellt werden. Beispielsweise kann die Zahl 5 als dargestellt werden. Daraus wird fünf seine Bedeutung nicht ändern, da der Ausdruck „die Zahl fünf geteilt durch eins“ bedeutet und dies, wie Sie wissen, gleich fünf ist:

Zahlen umkehren

Jetzt werden wir uns mit einem sehr interessanten Thema in der Mathematik vertraut machen. Es heißt "umgekehrte Zahlen".

Definition. Umgekehrt zur Zahla ist die Zahl, die, wenn multipliziert mita gibt eine Einheit.

Lassen Sie uns in dieser Definition eine Variable ersetzen a Nummer 5 und versuchen Sie, die Definition zu lesen:

Umgekehrt zur Zahl 5 ist die Zahl, die, wenn multipliziert mit 5 gibt eine Einheit.

Ist es möglich, eine Zahl zu finden, die, wenn sie mit 5 multipliziert wird, eins ergibt? Es stellt sich heraus, dass Sie es können. Stellen wir fünf als Bruch dar:

Dann multipliziere diesen Bruch mit sich selbst, vertausche einfach Zähler und Nenner. Mit anderen Worten, multiplizieren wir den Bruch mit sich selbst, nur umgekehrt:

Was wird daraus resultieren? Wenn wir dieses Beispiel weiter lösen, erhalten wir eins:

Das bedeutet, dass die Umkehrung der Zahl 5 die Zahl ist, denn wenn 5 mit eins multipliziert wird, erhält man eins.

Der Kehrwert kann auch für jede andere ganze Zahl gefunden werden.

Du kannst auch den Kehrwert für jeden anderen Bruch finden. Dazu reicht es aus, es umzudrehen.

Division eines Bruchs durch eine Zahl

Sagen wir, wir haben eine halbe Pizza:

Teilen wir es gleichmäßig auf zwei auf. Wie viele Pizzen bekommt jeder?

Es ist ersichtlich, dass nach dem Teilen der Hälfte der Pizza zwei gleiche Stücke erhalten wurden, die jeweils eine Pizza bilden. Also bekommt jeder eine Pizza.

Die Division von Brüchen erfolgt mit Kehrwerten. Mit Kehrwerten können Sie die Division durch Multiplikation ersetzen.

Um einen Bruch durch eine Zahl zu dividieren, musst du diesen Bruch mit dem Kehrwert des Divisors multiplizieren.

Mit dieser Regel schreiben wir die Teilung unserer Hälfte der Pizza in zwei Teile auf.

Also musst du den Bruch durch die Zahl 2 teilen. Hier ist der Dividende ein Bruch und der Divisor 2.

Um einen Bruch durch die Zahl 2 zu dividieren, musst du diesen Bruch mit dem Kehrwert des Divisors 2 multiplizieren. Der Kehrwert des Divisors 2 ist ein Bruch. Also musst du mit multiplizieren

Eine der wichtigsten Wissenschaften, deren Anwendung in Disziplinen wie Chemie, Physik und sogar Biologie zu sehen ist, ist die Mathematik. Das Studium dieser Wissenschaft ermöglicht es Ihnen, einige geistige Qualitäten zu entwickeln und die Konzentrationsfähigkeit zu verbessern. Eines der Themen, die im Kurs "Mathematik" besondere Aufmerksamkeit verdienen, ist die Addition und Subtraktion von Brüchen. Vielen Studenten fällt das Lernen schwer. Vielleicht hilft unser Artikel, dieses Thema besser zu verstehen.

Wie man Brüche subtrahiert, deren Nenner gleich sind

Brüche sind die gleichen Zahlen, mit denen Sie verschiedene Aktionen ausführen können. Ihr Unterschied zu ganzen Zahlen liegt im Vorhandensein eines Nenners. Aus diesem Grund müssen Sie beim Ausführen von Aktionen mit Brüchen einige ihrer Funktionen und Regeln studieren. Der einfachste Fall ist die Subtraktion gewöhnlicher Brüche, deren Nenner als gleiche Zahl dargestellt werden. Es wird nicht schwierig sein, diese Aktion auszuführen, wenn Sie eine einfache Regel kennen:

• Um die Sekunde von einem Bruch zu subtrahieren, muss der Zähler des zu subtrahierenden Bruchs vom Zähler des gekürzten Bruchs subtrahiert werden. Wir schreiben diese Zahl in den Zähler der Differenz und lassen den Nenner gleich: k / m - b / m = (k-b) / m.

Beispiele für das Subtrahieren von Brüchen, deren Nenner gleich sind

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Subtrahieren Sie vom Zähler des reduzierten Bruchs "7" den Zähler des subtrahierten Bruchs "3", wir erhalten "4". Wir schreiben diese Zahl in den Zähler der Antwort und setzen in den Nenner dieselbe Zahl, die in den Nennern des ersten und zweiten Bruchs stand - "19".

Das Bild unten zeigt einige weitere solcher Beispiele.

Betrachten Sie ein komplexeres Beispiel, bei dem Brüche mit demselben Nenner subtrahiert werden:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Vom Zähler des reduzierten Bruchs "29" durch Subtrahieren der Zähler aller nachfolgenden Brüche - "3", "8", "2", "7". Als Ergebnis erhalten wir das Ergebnis "9", das wir in den Zähler der Antwort schreiben, und in den Nenner schreiben wir die Zahl, die sich in den Nennern all dieser Brüche befindet - "47".

Brüche mit gleichem Nenner addieren

Die Addition und Subtraktion gewöhnlicher Brüche erfolgt nach dem gleichen Prinzip.

• Um Brüche mit gleichem Nenner zu addieren, musst du die Zähler addieren. Die resultierende Zahl ist der Zähler der Summe, und der Nenner bleibt gleich: k/m + b/m = (k + b)/m.

Mal sehen, wie es in einem Beispiel aussieht:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Zum Zähler des ersten Bruchteils - "1" - addieren wir den Zähler des zweiten Bruchteils - "2". Das Ergebnis - "3" - wird in den Zähler des Betrags geschrieben, und der Nenner bleibt der gleiche wie in den Brüchen - "4".

Brüche mit verschiedenen Nennern und ihre Subtraktion

Wir haben bereits die Wirkungsweise mit Brüchen betrachtet, die den gleichen Nenner haben. Wie Sie sehen können, ist das Lösen solcher Beispiele mit einfachen Regeln recht einfach. Aber was ist, wenn Sie eine Aktion mit Brüchen ausführen müssen, die unterschiedliche Nenner haben? Viele Gymnasiasten sind durch solche Beispiele verwirrt. Aber auch hier, wenn Sie das Prinzip der Lösung kennen, werden Ihnen die Beispiele nicht mehr schwer fallen. Auch hier gibt es eine Regel, ohne die das Lösen solcher Brüche einfach unmöglich ist.

Um Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu subtrahieren, müssen sie auf denselben kleinsten Nenner gekürzt werden.



Wir werden ausführlicher darüber sprechen, wie dies zu tun ist.

Brucheigenschaft

Um mehrere Brüche auf denselben Nenner zu bringen, müssen Sie die Haupteigenschaft des Bruchs in der Lösung verwenden: Nachdem Sie Zähler und Nenner mit derselben Zahl dividiert oder multipliziert haben, erhalten Sie einen Bruch, der dem angegebenen entspricht.

So kann zum Beispiel der Bruch 2/3 Nenner wie „6“, „9“, „12“ usw. haben, das heißt, er kann wie eine beliebige Zahl aussehen, die ein Vielfaches von „3“ ist. Nachdem wir Zähler und Nenner mit „2“ multipliziert haben, erhalten wir einen Bruch von 4/6. Nachdem wir Zähler und Nenner des ursprünglichen Bruchs mit "3" multipliziert haben, erhalten wir 6/9, und wenn wir eine ähnliche Aktion mit der Zahl "4" ausführen, erhalten wir 8/12. In einer Gleichung kann dies geschrieben werden als:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Wie man mehrere Brüche auf den gleichen Nenner bringt

Überlegen Sie, wie Sie mehrere Brüche auf denselben Nenner kürzen können. Nehmen Sie zum Beispiel die im Bild unten gezeigten Brüche. Zuerst müssen Sie bestimmen, welche Zahl der Nenner für alle werden kann. Um es einfacher zu machen, zerlegen wir die verfügbaren Nenner in Faktoren.

Der Nenner des Bruchs 1/2 und des Bruchs 2/3 kann nicht faktorisiert werden. Der Nenner von 7/9 hat zwei Teiler 7/9 = 7/(3 x 3), der Nenner des Bruchs 5/6 = 5/(2 x 3). Jetzt müssen Sie bestimmen, welche Faktoren für alle diese vier Brüche die kleinsten sein werden. Da der erste Bruch die Zahl „2“ im Nenner hat, bedeutet dies, dass er in allen Nennern vorhanden sein muss, im Bruch 7/9 gibt es zwei Tripel, was bedeutet, dass sie auch im Nenner vorhanden sein müssen. Angesichts des Obigen bestimmen wir, dass der Nenner aus drei Faktoren besteht: 3, 2, 3 und gleich 3 x 2 x 3 = 18 ist.



Betrachten Sie den ersten Bruchteil - 1/2. Sein Nenner enthält "2", aber es gibt keine einzelne "3", sondern es sollten zwei sein. Dazu multiplizieren wir den Nenner mit zwei Tripel, aber gemäß der Brucheigenschaft müssen wir den Zähler mit zwei Tripel multiplizieren:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

In ähnlicher Weise führen wir Aktionen mit den verbleibenden Fraktionen durch.

• 2/3 - im Nenner fehlen eins drei und eins zwei:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 oder 7/(3 x 3) - dem Nenner fehlen zwei:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 oder 5/(2 x 3) - dem Nenner fehlt ein Tripel:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Alles zusammen sieht so aus:



Brüche mit unterschiedlichen Nennern subtrahieren und addieren

Wie oben erwähnt, müssen zum Addieren oder Subtrahieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern diese auf denselben Nenner gekürzt werden und dann die bereits beschriebenen Regeln zum Subtrahieren von Brüchen mit demselben Nenner angewendet werden.

Betrachten Sie dies anhand eines Beispiels: 4/18 - 3/15.

Vielfache von 18 und 15 finden:

• Die Zahl 18 besteht aus 3 x 2 x 3.
• Die Zahl 15 besteht aus 5 x 3.
• Das gemeinsame Vielfache besteht aus den folgenden Faktoren 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Nachdem der Nenner gefunden wurde, muss ein Faktor berechnet werden, der für jeden Bruch unterschiedlich ist, dh die Zahl, mit der nicht nur der Nenner, sondern auch der Zähler multipliziert werden muss. Dazu dividieren wir die gefundene Zahl (gemeinsames Vielfaches) durch den Nenner des Bruches, für den weitere Faktoren bestimmt werden müssen.

• 90 geteilt durch 15. Die resultierende Zahl „6“ ist ein Multiplikator für 3/15.
• 90 geteilt durch 18. Die resultierende Zahl "5" ist ein Multiplikator für 4/18.

Der nächste Schritt in unserer Lösung besteht darin, jeden Bruch auf den Nenner „90“ zu bringen.

Wie das geht, haben wir bereits besprochen. Mal sehen, wie dies in einem Beispiel geschrieben wird:

(4 x 5) / (18 x 5) - (3 x 6) / (15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Handelt es sich um Brüche mit kleinen Zahlen, dann kannst du den gemeinsamen Nenner bestimmen, wie im Beispiel im Bild unten gezeigt.



Ähnlich produziert und mit unterschiedlichen Nennern.

Subtraktion und mit ganzzahligen Teilen

Die Subtraktion von Brüchen und deren Addition haben wir bereits ausführlich analysiert. Aber wie subtrahiert man, wenn der Bruch einen ganzzahligen Teil hat? Lassen Sie uns wieder ein paar Regeln verwenden:

• Wandeln Sie alle Brüche, die einen ganzzahligen Teil haben, in unechte Brüche um. In einfachen Worten, entfernen Sie das gesamte Teil. Dazu wird die Zahl des ganzzahligen Teils mit dem Nenner des Bruchs multipliziert, das resultierende Produkt zum Zähler addiert. Die Zahl, die nach diesen Aktionen erhalten wird, ist der Zähler eines unechten Bruchs. Der Nenner bleibt unverändert.
• Wenn Brüche unterschiedliche Nenner haben, sollten sie auf denselben gekürzt werden.
• Führe Addition oder Subtraktion mit denselben Nennern durch.
• Wenn Sie einen unechten Bruch erhalten, wählen Sie den ganzen Teil aus.



Es gibt eine andere Möglichkeit, Brüche mit ganzzahligen Teilen zu addieren und zu subtrahieren. Dazu werden Aktionen getrennt mit ganzzahligen Teilen und getrennt mit Brüchen ausgeführt und die Ergebnisse zusammen aufgezeichnet.



Das obige Beispiel besteht aus Brüchen, die den gleichen Nenner haben. Falls die Nenner unterschiedlich sind, müssen sie auf den gleichen reduziert werden, und dann folgen Sie den Schritten, wie im Beispiel gezeigt.

Brüche von einer ganzen Zahl subtrahieren

Eine andere Art von Aktionen mit Brüchen ist der Fall, wenn der Bruch subtrahiert werden muss. Auf den ersten Blick scheint ein solches Beispiel schwierig zu lösen. Hier ist jedoch alles ganz einfach. Um es zu lösen, ist es notwendig, eine ganze Zahl in einen Bruch umzuwandeln, und zwar mit einem solchen Nenner, der sich in dem zu subtrahierenden Bruch befindet. Als nächstes führen wir eine Subtraktion ähnlich der Subtraktion mit denselben Nennern durch. Das sieht zum Beispiel so aus:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Die in diesem Artikel gegebene Subtraktion von Brüchen (Klasse 6) ist die Grundlage für die Lösung komplexerer Beispiele, die in nachfolgenden Klassen behandelt werden. Das Wissen zu diesem Thema wird anschließend verwendet, um Funktionen, Ableitungen usw. zu lösen. Daher ist es sehr wichtig, die oben besprochenen Aktionen mit Brüchen zu verstehen und zu verstehen.

Hier werden wir verstehen, wie Subtraktion gemeinsamer Brüche. Zuerst erhalten wir die Regel zum Subtrahieren von Brüchen mit gleichem Nenner. Betrachten Sie als Nächstes die Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern und geben Sie Beispiele für die Subtraktion mit detaillierten Lösungen an. Danach konzentrieren wir uns darauf, einen Bruch von einer natürlichen Zahl zu subtrahieren und eine Zahl von einem Bruch zu subtrahieren. Abschließend zeigen wir, wie die Subtraktion gewöhnlicher Brüche unter Verwendung der Eigenschaften dieser Aktion durchgeführt wird.

Wir stellen sofort fest, dass wir in diesem Artikel nur über das Subtrahieren eines kleineren Bruchs von einem größeren Bruch sprechen werden. Andere Fälle werden im Artikel Subtraktion rationaler Zahlen behandelt.

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Subtraktion von Brüchen mit gleichem Nenner

Lassen Sie uns zunächst ein Beispiel geben, das es uns ermöglicht zu verstehen, wie die Subtraktion von Brüchen mit gleichem Nenner.

Angenommen, es lägen fünf Achtel eines Apfels auf dem Teller, also 5/8 des Apfels, wonach zwei Achtel weggenommen würden. Entsprechend der Bedeutung der Subtraktion (siehe allgemeine Idee der Subtraktion) wird die angegebene Aktion wie folgt beschrieben: . Es ist klar, dass in diesem Fall 5−2=3 Achtel eines Apfels auf dem Teller bleiben. Also, .

Das betrachtete Beispiel verdeutlicht Regel zum Subtrahieren von Brüchen mit gleichem Nenner: Bei der Subtraktion von Brüchen mit gleichem Nenner wird der Zähler des Subtrahends vom Zähler des Minuends subtrahiert und der Nenner bleibt gleich.

Die stimmhafte Regel mit Hilfe von Buchstaben lautet wie folgt: . Wir werden diese Formel verwenden, wenn wir Brüche mit demselben Nenner subtrahieren.

Prüfen Beispiele für das Subtrahieren von Brüchen mit gleichem Nenner.

Beispiel.

Subtrahiere den gemeinsamen Bruch 17/15 vom gemeinsamen Bruch 24/15.

Entscheidung.

Die Nenner der subtrahierten Brüche sind gleich. Der Zähler des Minuends ist 24 und der Zähler des Subtrahends ist 17 , ihre Differenz ist 7 (24−17=7 falls nötig, siehe Subtraktion natürlicher Zahlen). Daher ergibt das Subtrahieren von Brüchen mit denselben Nennern 24/15 und 17/15 einen Bruch 7/15.

Eine Kurzfassung der Lösung sieht so aus: .

Antworten:

.

Wenn möglich, ist es notwendig, den Bruch zu kürzen und (oder) den ganzen Teil von einem unechten Bruch zu isolieren, der durch Subtrahieren von Brüchen mit demselben Nenner erhalten wird.

Beispiel.

Berechnen Sie die Differenz.

Entscheidung.

Wir verwenden die Formel zum Subtrahieren von Brüchen mit gleichem Nenner: .

Offensichtlich sind Zähler und Nenner des resultierenden Bruchs durch 2 teilbar (siehe), das heißt, 22/12 ist ein gekürzter Bruch. Indem wir diesen Bruch um 2 kürzen, erhalten wir den Bruch 11/6.

Fraktion 11/6 ist falsch (siehe echte und unechte Brüche). Daher ist es notwendig, den gesamten Teil daraus auszuwählen: .

Die berechnete Differenz von Brüchen mit gleichem Nenner ist also .

Hier ist die ganze Lösung: .

Antworten:

.

Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern

Die Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern wird auf die Subtraktion von Brüchen mit demselben Nenner reduziert. Dazu reicht es, Brüche mit unterschiedlichen Nennern auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen.

Also ausgeben Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern, notwendig:

• Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen (normalerweise führen Brüche zum kleinsten gemeinsamen Nenner);
• Subtrahiere die resultierenden Brüche mit denselben Nennern.

Prüfen Beispiele für das Subtrahieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern.

Beispiel.

Subtrahiere vom gemeinsamen Bruch 2/9 den gemeinsamen Bruch 1/15.

Entscheidung.

Da die Nenner der zu subtrahierenden Brüche unterschiedlich sind, führen wir zunächst die Kürzung der Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner durch: Da LCM(9, 15)=45, dann ist der zusätzliche Faktor des Bruchs 2/9 die Zahl 45: 9=5, und der zusätzliche Faktor des Bruchs ist 1/15 ist die Zahl 45:15=3 , dann und .

Es bleibt, den Bruch 3/45 vom Bruch 10/45 abzuziehen, wir erhalten , was uns die erforderliche Differenz von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern liefert.

Die Lösung wird kurz wie folgt geschrieben: .

Antworten:

Wir sollten die Kürzung des nach der Subtraktion erhaltenen Bruches sowie die Auswahl des ganzen Teils nicht vergessen.

Beispiel.

Subtrahiere den Bruch 7/36 vom Bruch 19/9.

Entscheidung.

Nachdem wir Brüche mit unterschiedlichen Nennern auf den kleinsten gemeinsamen Nenner 36 gekürzt haben, haben wir die Brüche 76/9 und 7/36. Wir berechnen ihre Differenz: .

Der resultierende Bruch ist reduzierbar, nach seiner Reduzierung um 3 erhalten wir 23/12. Und dieser Bruch ist falsch, nachdem wir den ganzzahligen Teil davon getrennt haben, haben wir .

Fassen wir alle Aktionen zusammen, die beim Subtrahieren der ursprünglichen Brüche mit unterschiedlichen Nennern durchgeführt werden:.

Antworten:

.

Subtraktion einer natürlichen Zahl von einem gewöhnlichen Bruch

Subtrahieren einer natürlichen Zahl von einem Bruch kann auf die Subtraktion gewöhnlicher Brüche reduziert werden. Dazu reicht es, eine natürliche Zahl als Bruch mit dem Nenner 1 darzustellen. Schauen wir uns eine Beispiellösung an.

Beispiel.

Subtrahiere die Zahl 3 vom Bruch 83/21.

Entscheidung.

Da die Zahl 3 gleich dem Bruch 3/1 ist, dann.

Antworten:

Es ist jedoch bequemer, eine natürliche Zahl von einem unechten Bruch zu subtrahieren, indem man den Bruch als gemischte Zahl darstellt. Lassen Sie uns die Lösung des vorherigen Beispiels auf diese Weise zeigen.

Einen Bruch von einer natürlichen Zahl subtrahieren

Einen Bruch von einer natürlichen Zahl subtrahieren lässt sich auf die Subtraktion gewöhnlicher Brüche reduzieren, indem man eine natürliche Zahl als Bruch darstellt. Analysieren wir die Lösung eines Beispiels, das diesen Ansatz veranschaulicht.

Beispiel.

Subtrahiere den gemeinsamen Bruch 5/3 von der natürlichen Zahl 7.

Entscheidung.

Wir stellen die Zahl 7 als Bruch 7/1 dar, danach führen wir die Subtraktion durch: .

Nachdem wir den ganzzahligen Teil aus dem resultierenden Bruch ausgewählt haben, erhalten wir die endgültige Antwort.

Antworten:

Es gibt jedoch einen rationaleren Weg, einen Bruch von einer natürlichen Zahl zu subtrahieren. Ihre Vorteile kommen vor allem dann zum Tragen, wenn die zu kürzende natürliche Zahl und der Nenner des zu subtrahierenden Bruchs große Zahlen sind. All dies wird aus den folgenden Beispielen ersichtlich.

Wenn der subtrahierte Bruch korrekt ist, kann die reduzierte natürliche Zahl durch die Summe zweier Zahlen ersetzt werden, von denen eine gleich eins ist, den richtigen Bruch von eins subtrahieren und dann die Berechnung abschließen.

Beispiel.

Subtrahiere den gemeinsamen Bruch 13/62 von der natürlichen Zahl 1065.

Entscheidung.

Der subtrahierte gewöhnliche Bruch ist richtig. Lassen Sie uns die Zahl 1065 durch die Summe 1064+1 ersetzen und erhalten . Es bleibt, den Wert des resultierenden Ausdrucks zu berechnen (wir werden mehr über die Berechnung solcher Ausdrücke in sprechen).

Aufgrund der Eigenschaften der Subtraktion kann der resultierende Ausdruck umgeschrieben werden als . Berechnen Sie den Wert der Differenz in Klammern, indem Sie die Einheit durch einen Bruch 1/1 ersetzen, haben wir . Auf diese Weise, . Damit ist die Subtraktion des Bruchs 13/62 von der natürlichen Zahl 1065 abgeschlossen.

Hier ist die ganze Lösung:

Und jetzt zeigen wir zum Vergleich, mit welchen Zahlen wir arbeiten müssten, wenn wir uns entschließen würden, die Subtraktion der ursprünglichen Zahlen auf die Subtraktion von Brüchen zu reduzieren:

Antworten:

.

Wenn der zu subtrahierende Bruch falsch ist, dann kann man ihn durch eine gemischte Zahl ersetzen und dann die gemischte Zahl von einer natürlichen Zahl subtrahieren.

Beachten Sie! Bevor Sie eine endgültige Antwort schreiben, prüfen Sie, ob Sie den Bruchteil, den Sie erhalten haben, reduzieren können.

Subtraktion von Brüchen mit gleichem Nenner Beispiele:

,

,

Einen echten Bruch von eins subtrahieren.

Wenn von der Einheit ein korrekter Bruch subtrahiert werden muss, wird die Einheit in die Form eines unechten Bruchs umgewandelt, dessen Nenner gleich dem Nenner des subtrahierten Bruchs ist.

Ein Beispiel für das Subtrahieren eines echten Bruchs von einem:

Der Nenner des zu subtrahierenden Bruchs = 7 , d.h. wir stellen die Einheit als unechten Bruch 7/7 dar und subtrahieren nach der Subtraktionsregel für Brüche mit gleichem Nenner.

Einen echten Bruch von einer ganzen Zahl subtrahieren.

Regeln zum Subtrahieren von Brüchen - Korrigieren von Integer (natürliche Zahl):

• Wir übersetzen die gegebenen Brüche, die einen ganzzahligen Teil enthalten, in unechte Brüche. Wir erhalten normale Terme (es spielt keine Rolle, ob sie verschiedene Nenner haben), die wir nach den oben angegebenen Regeln betrachten;
• Als nächstes berechnen wir die Differenz der Brüche, die wir erhalten haben. Als Ergebnis werden wir fast die Antwort finden;
• Wir führen die umgekehrte Transformation durch, dh wir entfernen den unechten Bruch - wir wählen den ganzzahligen Teil im Bruch aus.

Einen echten Bruch von einer ganzen Zahl subtrahieren: Wir stellen eine natürliche Zahl als gemischte Zahl dar. Jene. Wir nehmen eine Einheit in einer natürlichen Zahl und übersetzen sie in die Form eines unechten Bruchs, der Nenner ist derselbe wie der des subtrahierten Bruchs.

Beispiel für die Subtraktion von Brüchen:

Im Beispiel haben wir die Einheit durch einen unechten Bruch 7/7 ersetzt und statt 3 eine gemischte Zahl notiert und vom Bruchteil einen Bruch abgezogen.

Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern.

Oder anders ausgedrückt, Subtraktion verschiedener Brüche.

Regel zum Subtrahieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern. Um Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu subtrahieren, müssen diese Brüche zunächst auf den kleinsten gemeinsamen Nenner (LCD) gebracht und erst danach wie bei Brüchen mit gleichem Nenner subtrahiert werden.

Der gemeinsame Nenner mehrerer Brüche ist LCM (kleinstes gemeinsames Vielfaches) natürliche Zahlen, die die Nenner der gegebenen Brüche sind.

Beachtung! Wenn im letzten Bruch Zähler und Nenner gemeinsame Teiler haben, dann muss der Bruch gekürzt werden. Einen unechten Bruch stellt man am besten als gemischten Bruch dar. Das Ergebnis der Subtraktion zu belassen, ohne den Bruch möglichst zu kürzen, ist eine unfertige Lösung des Beispiels!

Verfahren zum Subtrahieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern.

• finde das LCM für alle Nenner;
• setzen Sie zusätzliche Multiplikatoren für alle Brüche ein;
• alle Zähler mit einem zusätzlichen Faktor multiplizieren;
• wir schreiben die resultierenden Produkte in den Zähler und unterzeichnen einen gemeinsamen Nenner unter allen Brüchen;
• subtrahiere die Zähler von Brüchen und unterschreibe den gemeinsamen Nenner unter der Differenz.

Auf die gleiche Weise wird die Addition und Subtraktion von Brüchen bei Vorhandensein von Buchstaben im Zähler durchgeführt.

Subtraktion von Brüchen, Beispiele:

Subtraktion gemischter Brüche.

Beim Subtraktion gemischter Brüche (Zahlen) separat wird der ganzzahlige Teil von dem ganzzahligen Teil subtrahiert, und der Bruchteil wird von dem Bruchteil subtrahiert.

Die erste Möglichkeit besteht darin, gemischte Brüche zu subtrahieren.

Wenn die Bruchteile das gleiche Nenner und Zähler des Bruchteils des Minuends (wir subtrahieren davon) ≥ Zähler des Bruchteils des Subtrahends (wir subtrahieren ihn).

Zum Beispiel:

Die zweite Möglichkeit besteht darin, gemischte Brüche abzuziehen.

Wenn die Bruchteile verschieden Nenner. Zunächst bringen wir die Bruchteile auf einen gemeinsamen Nenner und subtrahieren dann den ganzzahligen Teil von der ganzen Zahl und den Bruchteil von dem Bruchteil.

Zum Beispiel:

Die dritte Möglichkeit besteht darin, gemischte Brüche zu subtrahieren.

Der Bruchteil des Minuends ist kleiner als der Bruchteil des Subtrahends.

Beispiel:

weil Bruchteile haben unterschiedliche Nenner, was bedeutet, dass wir wie bei der zweiten Möglichkeit zuerst gewöhnliche Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen.

Der Zähler des Bruchteils des Minuends ist kleiner als der Zähler des Bruchteils des Subtrahends.3 < 14. Wir nehmen also eine Einheit aus dem ganzzahligen Teil und bringen diese Einheit in die Form eines unechten Bruchs mit gleichem Nenner und Zähler = 18.

In den Zähler von rechts schreiben wir die Summe der Zähler, dann öffnen wir die Klammern im Zähler von rechts, das heißt, wir multiplizieren alles und geben ähnliche an. Wir öffnen keine Klammern im Nenner. Es ist üblich, das Produkt in den Nennern zu belassen. Wir bekommen:

Aktionen mit Brüchen.

Beachtung!
Es gibt zusätzliche
Material in Sondersektion 555.
Für diejenigen, die stark "nicht sehr ..."
Und für diejenigen, die "sehr viel...")

Also, was sind Brüche, Arten von Brüchen, Transformationen - wir haben uns erinnert. Kommen wir zur Hauptfrage.

Was kann man mit Brüchen machen? Ja, alles ist wie bei gewöhnlichen Nummern. Addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren.

Alle diese Aktionen mit Dezimal Operationen mit Brüchen unterscheiden sich nicht von Operationen mit ganzen Zahlen. Eigentlich sind sie dafür gut, dezimal. Die einzige Sache ist, dass Sie das Komma richtig setzen müssen.

gemischte Zahlen, wie gesagt, sind für die meisten Aktionen von geringem Nutzen. Sie müssen noch in gewöhnliche Brüche umgewandelt werden.

Und hier sind die Aktionen mit gewöhnliche Brüche wird schlauer. Und viel wichtiger! Lass mich dich errinnern: alle Aktionen mit Bruchausdrücken mit Buchstaben, Sinus, Unbekannten usw. unterscheiden sich nicht von Aktionen mit gewöhnlichen Brüchen! Operationen mit gewöhnlichen Brüchen sind die Grundlage aller Algebra. Aus diesem Grund werden wir all diese Arithmetik hier sehr detailliert analysieren.

Addition und Subtraktion von Brüchen.

Jeder kann Brüche mit gleichem Nenner addieren (subtrahieren) (hoffe ich wirklich!). Nun, lassen Sie mich Sie daran erinnern, dass ich völlig vergesslich bin: Beim Addieren (Subtrahieren) ändert sich der Nenner nicht. Die Zähler werden addiert (subtrahiert), um den Zähler des Ergebnisses zu erhalten. Typ:

Kurz und ganz allgemein:

Was ist, wenn die Nenner unterschiedlich sind? Dann verwenden wir die Haupteigenschaft des Bruchs (hier war es wieder praktisch!), Wir machen die Nenner gleich! Zum Beispiel:

Hier mussten wir aus dem Bruch 2/5 den Bruch 4/10 machen. Nur um die Nenner gleich zu machen. Ich stelle fest, nur für den Fall, dass 2/5 und 4/10 sind der gleiche Bruchteil! Nur 2/5 ist uns unangenehm, und 4/10 ist gar nichts.

Übrigens ist dies die Essenz beim Lösen von Aufgaben in der Mathematik. Wenn wir draußen sind unbequem Ausdrücke tun das gleiche, aber bequemer zu lösen.

Ein anderes Beispiel:

Die Situation ist ähnlich. Hier machen wir aus 16 48. Durch einfache Multiplikation mit 3. Das ist alles klar. Aber hier stoßen wir auf etwas wie:

Wie sein?! Es ist schwer, aus einer Sieben eine Neun zu machen! Aber wir sind schlau, wir kennen die Regeln! Verwandeln wir uns jeder Bruch, so dass die Nenner gleich sind. Dies nennt man „auf einen gemeinsamen Nenner bringen“:

Wie! Woher wusste ich von 63? Sehr einfach! 63 ist eine Zahl, die gleichzeitig durch 7 und 9 teilbar ist. Eine solche Zahl erhält man immer durch Multiplikation der Nenner. Wenn wir zum Beispiel eine Zahl mit 7 multiplizieren, dann wird das Ergebnis sicherlich durch 7 geteilt!

Wenn Sie mehrere Brüche addieren (subtrahieren) müssen, müssen Sie dies nicht paarweise Schritt für Schritt tun. Du musst nur den Nenner finden, der allen Brüchen gemeinsam ist, und jeden Bruch auf denselben Nenner bringen. Zum Beispiel:

Und was wird der gemeinsame Nenner sein? Sie können natürlich 2, 4, 8 und 16 multiplizieren. Wir erhalten 1024. Albtraum. Es ist einfacher abzuschätzen, dass die Zahl 16 perfekt durch 2, 4 und 8 teilbar ist, daher ist es einfach, aus diesen Zahlen 16 zu erhalten, die der gemeinsame Nenner sein wird. Verwandeln wir 1/2 in 8/16, 3/4 in 12/16 und so weiter.

Übrigens, wenn wir 1024 als gemeinsamen Nenner nehmen, wird auch alles klappen, am Ende wird alles gekürzt. Nur wegen der Berechnungen wird nicht jeder an dieses Ende kommen ...

Lösen Sie das Beispiel selbst. Kein Logarithmus ... Es sollte 29/16 sein.

Also, mit der Addition (Subtraktion) von Brüchen ist das klar, hoffe ich? Natürlich ist es einfacher, in einer verkürzten Version mit zusätzlichen Multiplikatoren zu arbeiten. Aber dieses Vergnügen steht denen zur Verfügung, die ehrlich in den unteren Klassen gearbeitet haben ... Und nichts vergessen haben.

Und jetzt machen wir die gleichen Aktionen, aber nicht mit Brüchen, sondern mit Bruchausdrücke. Hier werden neue Rechen zu finden sein, ja ...

Also müssen wir zwei Bruchausdrücke hinzufügen:

Wir müssen die Nenner gleich machen. Und nur mit Hilfe Multiplikation! So sagt die Haupteigenschaft des Bruchs. Daher kann ich im ersten Bruch im Nenner nicht eins zu x addieren. (Aber das wäre schön!). Aber wenn Sie die Nenner multiplizieren, sehen Sie, alles wächst zusammen! Also schreiben wir den Strich des Bruchs auf, lassen oben ein Leerzeichen, fügen ihn dann hinzu und schreiben das Produkt der Nenner darunter, um es nicht zu vergessen:

Und natürlich multiplizieren wir nichts auf der rechten Seite, wir öffnen keine Klammern! Und jetzt, wenn wir uns den gemeinsamen Nenner der rechten Seite ansehen, denken wir: Um den Nenner x (x + 1) im ersten Bruch zu erhalten, müssen wir Zähler und Nenner dieses Bruchs mit (x + 1) multiplizieren. . Und im zweiten Bruchteil - x. Du bekommst das:

Beachten Sie! Klammern sind da! Dies ist der Rechen, auf den viele treten. Natürlich keine Klammern, aber ihre Abwesenheit. Klammern erscheinen, weil wir multiplizieren das Ganze Zähler u das Ganze Nenner! Und nicht ihre Einzelstücke ...

In den Zähler der rechten Seite schreiben wir die Summe der Zähler, alles ist wie in numerischen Brüchen, dann öffnen wir die Klammern im Zähler der rechten Seite, d.h. alles multiplizieren und liken. Sie müssen die Klammern in den Nennern nicht öffnen, Sie müssen nichts multiplizieren! Im Allgemeinen ist das Produkt in Nennern (beliebig) immer angenehmer! Wir bekommen:

Hier haben wir die Antwort bekommen. Der Prozess scheint lang und schwierig zu sein, aber er hängt von der Übung ab. Lösen Sie Beispiele, gewöhnen Sie sich daran, alles wird einfach. Diejenigen, die die Brüche in der vorgegebenen Zeit beherrschen, erledigen alle diese Operationen mit einer Hand an der Maschine!

Und noch eine Anmerkung. Viele beschäftigen sich bekanntlich mit Brüchen, hängen aber an Beispielen mit ganz Zahlen. Typ: 2 + 1/2 + 3/4= ? Wo kann man eine Zwei befestigen? Sie müssen nirgendwo befestigen, Sie müssen aus einer Zwei einen Bruchteil machen. Es ist nicht einfach, es ist sehr einfach! 2=2/1. So. Jede ganze Zahl kann als Bruch geschrieben werden. Der Zähler ist die Zahl selbst, der Nenner ist eins. 7 ist 7/1, 3 ist 3/1 und so weiter. Genauso ist es mit Buchstaben. (a + b) \u003d (a + b) / 1, x \u003d x / 1 usw. Und dann arbeiten wir mit diesen Brüchen nach allen Regeln.

Nun, bei Addition - Subtraktion von Brüchen wurde das Wissen aufgefrischt. Transformationen von Brüchen von einem Typ zum anderen - wiederholt. Sie können auch überprüfen. Sollen wir uns ein wenig beruhigen?)

Berechnung:

Antworten (durcheinander):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Multiplikation / Division von Brüchen - in der nächsten Lektion. Es gibt auch Aufgaben für alle Aktionen mit Brüchen.

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