Die sind schon ziemlich satt. Und ich fühle, dass der Moment gekommen ist, in dem es an der Zeit ist, neue Konserven aus den strategischen Reserven der Theorie zu extrahieren. Ist es möglich, die Funktion auf andere Weise zu einer Reihe zu erweitern? Zum Beispiel ein gerades Liniensegment durch Sinus und Cosinus ausdrücken? Es scheint unglaublich, aber solche scheinbar entfernten Funktionen bieten sich an
"Wiedervereinigung". Neben den bekannten Abschlüssen in Theorie und Praxis gibt es weitere Ansätze, eine Funktion zu einer Reihe zu erweitern.

In dieser Lektion werden wir uns mit der trigonometrischen Fourier-Reihe vertraut machen, das Thema ihrer Konvergenz und Summe ansprechen und natürlich zahlreiche Beispiele für die Erweiterung von Funktionen zu einer Fourier-Reihe analysieren. Ich wollte den Artikel aufrichtig „Fourierreihe für Dummies“ nennen, aber das wäre schlau, da das Lösen von Problemen Kenntnisse in anderen Bereichen der mathematischen Analyse und einige praktische Erfahrungen erfordert. Daher wird die Präambel dem Training von Astronauten ähneln =)

Erstens sollte das Studium der Seitenmaterialien in ausgezeichneter Form angegangen werden. Schläfrig, ausgeruht und nüchtern. Ohne starke Emotionen über die gebrochene Pfote eines Hamsters und obsessive Gedanken über die Strapazen des Aquarienfischlebens. Die Fourier-Reihe ist vom Verständnis her nicht schwierig, praktische Aufgaben erfordern jedoch einfach eine erhöhte Konzentration der Aufmerksamkeit – idealerweise sollte man auf äußere Reize komplett verzichten. Die Situation wird durch die Tatsache verschlimmert, dass es keine einfache Möglichkeit gibt, die Lösung und die Antwort zu überprüfen. Wenn Ihre Gesundheit also unterdurchschnittlich ist, dann ist es besser, etwas Einfacheres zu tun. Wahrheit.

Zweitens ist es vor dem Flug ins All notwendig, die Instrumententafel des Raumfahrzeugs zu studieren. Beginnen wir mit den Werten der Funktionen, die auf der Maschine angeklickt werden sollen:

Für jeden natürlichen Wert:

ein) . Und tatsächlich "blitzt" die Sinuskurve die x-Achse durch jedes "pi":
. Bei negativen Werten des Arguments ist das Ergebnis natürlich dasselbe: .

2). Aber das wussten nicht alle. Der Kosinus „pi en“ entspricht einem „Blinklicht“:

Ein negatives Argument ändert nichts am Fall: .

Vielleicht genug.

Und drittens, liebes Kosmonautenkorps, müssen Sie in der Lage sein ... integrieren.
Insbesondere sicher Bringen Sie eine Funktion unter ein Differentialzeichen, partiell integrieren und sich gut verstehen Newton-Leibniz-Formel. Beginnen wir mit den wichtigen Übungen vor dem Flug. Ich empfehle dringend, es nicht zu überspringen, damit Sie später nicht in der Schwerelosigkeit platt machen:

Beispiel 1

Bestimmte Integrale berechnen

wo nimmt natürliche Werte.

Entscheidung: Die Integration wird über die Variable "x" ausgeführt und in diesem Stadium wird die diskrete Variable "en" als Konstante betrachtet. In allen Integralen Bringen Sie die Funktion unter das Vorzeichen des Differentials:

Eine kurze Version der Lösung, die gut zum Schießen wäre, sieht so aus:

Sich an etwas gewöhnen:

Die vier verbleibenden Punkte sind für sich alleine. Versuchen Sie, die Aufgabe gewissenhaft zu bearbeiten und die Integrale kurz zu ordnen. Beispiellösungen am Ende der Lektion.

Nach einer QUALITÄTSübung ziehen wir Raumanzüge an
und startklar machen!

Erweiterung einer Funktion in einer Fourier-Reihe auf das Intervall

Betrachten wir eine Funktion, die bestimmt zumindest auf dem Intervall (und möglicherweise auf einem größeren Intervall). Wenn diese Funktion auf dem Segment integrierbar ist, kann sie in eine trigonometrische erweitert werden die Fourierreihe:
, wo sind die sog Fourier-Koeffizienten.

In diesem Fall wird die Nummer angerufen Zersetzungszeit, und die Zahl ist Halbwertszeitzerlegung.

Offensichtlich besteht die Fourier-Reihe im allgemeinen Fall aus Sinus und Cosinus:

Schreiben wir es in der Tat im Detail:

Der Nullterm der Reihe wird normalerweise als geschrieben.

Fourier-Koeffizienten werden mit den folgenden Formeln berechnet:

Ich verstehe sehr gut, dass neue Begriffe für Anfänger immer noch undurchsichtig sind, um das Thema zu studieren: Zersetzungszeit, Halbzyklus, Fourier-Koeffizienten Keine Panik, es ist nicht vergleichbar mit der Aufregung vor einem Weltraumspaziergang. Lassen Sie uns alles im nächsten Beispiel herausfinden, bevor Sie es ausführen, was logisch ist, dringende praktische Fragen zu stellen:

Was müssen Sie bei den folgenden Aufgaben tun?

Erweitern Sie die Funktion zu einer Fourier-Reihe. Außerdem ist es oft erforderlich, einen Funktionsgraphen, einen Reihensummengraphen, eine Partialsumme zu zeichnen und bei ausgefeilten Professorenphantasien noch etwas anderes zu tun.

Wie erweitert man eine Funktion in eine Fourier-Reihe?

Im Wesentlichen müssen Sie finden Fourier-Koeffizienten, das heißt, komponiere und berechne drei bestimmte Integrale.

Bitte übertrage die allgemeine Form der Fourier-Reihe und die drei Arbeitsformeln in dein Heft. Ich freue mich sehr, dass bei einigen Besuchern der Website ein Kindheitstraum, Astronaut zu werden, vor meinen Augen wahr wird =)

Beispiel 2

Erweitern Sie die Funktion in eine Fourier-Reihe auf dem Intervall . Erstellen Sie einen Graphen, einen Graphen der Summe einer Reihe und einer Teilsumme.

Entscheidung: Der erste Teil der Aufgabe besteht darin, die Funktion zu einer Fourier-Reihe zu erweitern.

Der Anfang ist Standard, notieren Sie sich Folgendes:

In diesem Problem ist die Expansionsperiode , Halbperiode .

Wir erweitern die Funktion in einer Fourier-Reihe auf das Intervall:

Unter Verwendung der entsprechenden Formeln finden wir Fourier-Koeffizienten. Jetzt müssen wir drei zusammensetzen und berechnen bestimmte Integrale. Der Einfachheit halber nummeriere ich die Punkte:

1) Das erste Integral ist das einfachste, erfordert aber schon Auge und Auge:

2) Wir verwenden die zweite Formel:

Dieses Integral ist bekannt und er nimmt es Stück für Stück:

Wenn gebraucht gefunden Methode, eine Funktion unter ein Differentialzeichen zu bringen.

Bei der betrachteten Aufgabe ist es bequemer, sie sofort zu verwenden Formel für die partielle Integration in ein bestimmtes Integral :

Ein paar technische Anmerkungen. Zuerst nach Anwendung der Formel der gesamte Ausdruck muss in große Klammern eingeschlossen werden, da vor dem ursprünglichen Integral eine Konstante steht. Lass es uns nicht verlieren! Klammern können bei jedem weiteren Schritt geöffnet werden, ich habe es in der allerletzten Runde gemacht. Im ersten "Stück" Wir zeigen extreme Genauigkeit bei der Substitution, wie Sie sehen können, ist die Konstante aus dem Geschäft und die Integrationsgrenzen werden in das Produkt eingesetzt. Diese Aktion ist mit eckigen Klammern gekennzeichnet. Nun, das Integral des zweiten "Stücks" der Formel ist Ihnen aus der Trainingsaufgabe bekannt ;-)

Und vor allem - die ultimative Aufmerksamkeitskonzentration!

3) Wir suchen den dritten Fourier-Koeffizienten:

Ein Relativer des vorherigen Integrals wird erhalten, was auch ist stückweise integriert:

Diese Instanz ist etwas komplizierter, ich werde die weiteren Schritte Schritt für Schritt auskommentieren:

(1) Der gesamte Ausdruck wird in große Klammern eingeschlossen.. Ich wollte nicht wie ein Langweiler wirken, sie verlieren zu oft die Konstante.

(2) In diesem Fall habe ich diese großen Klammern sofort erweitert. Besondere Aufmerksamkeit widmen wir uns dem ersten „Stück“: das raucht ständig am Rande und beteiligt sich nicht an der Substitution der Integrationsgrenzen ( und ) in das Produkt . Angesichts der Unordnung des Protokolls empfiehlt es sich wiederum, diese Aktion in eckigen Klammern hervorzuheben. Mit dem zweiten "Stück" alles ist einfacher: Hier erschien der Bruch nach dem Öffnen großer Klammern und die Konstante - als Ergebnis der Integration des bekannten Integrals ;-)

(3) In eckigen Klammern führen wir Transformationen durch und im rechten Integral setzen wir die Integrationsgrenzen ein.

(4) Wir entfernen den „Flasher“ aus den eckigen Klammern: , danach öffnen wir die inneren Klammern: .

(5) Wir streichen 1 und -1 in Klammern, wir machen letzte Vereinfachungen.

Endlich alle drei Fourier-Koeffizienten gefunden:

Setze sie in die Formel ein :

Vergessen Sie nicht, in zwei Hälften zu teilen. Im letzten Schritt wird die Konstante ("minus zwei"), die nicht von "en" abhängt, aus der Summe entfernt.

Damit haben wir die Entwicklung der Funktion in einer Fourier-Reihe auf das Intervall erhalten:

Betrachten wir die Frage der Konvergenz der Fourier-Reihe. Ich werde insbesondere die Theorie erläutern Satz von Dirichlet, wörtlich "an den Fingern", wenn Sie also strenge Formulierungen benötigen, schlagen Sie bitte in einem Lehrbuch über Analysis nach (zum Beispiel der 2. Band von Bohan; oder der 3. Band von Fichtenholtz, aber darin ist es schwieriger).

Im zweiten Teil der Aufgabe gilt es, einen Graphen, einen Reihensummengraphen und einen Teilsummengraphen zu zeichnen.

Der Graph der Funktion ist der übliche Gerade im Flugzeug, die mit einer schwarzen gepunkteten Linie gezeichnet ist:

Wir beschäftigen uns mit der Summe der Reihen. Wie Sie wissen, konvergieren Funktionsreihen zu Funktionen. In unserem Fall die konstruierte Fourier-Reihe für jeden Wert von "x" konvergiert gegen die rot dargestellte Funktion. Diese Funktion unterliegt Pausen der 1. Art in Punkten , sondern auch darin definiert (rote Punkte in der Zeichnung)

Auf diese Weise: . Es ist leicht zu erkennen, dass es sich deutlich von der ursprünglichen Funktion unterscheidet, weshalb in der Notation Anstelle eines Gleichheitszeichens wird eine Tilde verwendet.

Untersuchen wir einen Algorithmus, mit dem es bequem ist, die Summe einer Reihe zu bilden.

Auf dem zentralen Intervall konvergiert die Fourier-Reihe zur Funktion selbst (das zentrale rote Segment fällt mit der schwarz gepunkteten Linie der linearen Funktion zusammen).

Lassen Sie uns nun ein wenig über die Natur der betrachteten trigonometrischen Erweiterung sprechen. die Fourierreihe enthält nur periodische Funktionen (Konstante, Sinus und Cosinus), also die Summe der Reihen ist ebenfalls eine periodische Funktion.

Was bedeutet das in unserem speziellen Beispiel? Und das bedeutet, dass die Summe der Reihe –unbedingt periodisch und das rote Segment des Intervalls muss links und rechts unendlich wiederholt werden.

Ich denke, dass jetzt endlich die Bedeutung des Ausdrucks "Zeit der Zersetzung" klar geworden ist. Einfach gesagt, jedes Mal wiederholt sich die Situation immer wieder.

In der Praxis reicht es meist aus, wie in der Zeichnung drei Zersetzungsperioden darzustellen. Nun, und weitere "Stümpfe" benachbarter Perioden - um deutlich zu machen, dass das Diagramm fortgesetzt wird.

Von besonderem Interesse sind Unstetigkeitsstellen 1. Art. An solchen Stellen konvergiert die Fourier-Reihe zu isolierten Werten, die sich genau in der Mitte des Unstetigkeits-"Sprungs" befinden (rote Punkte in der Zeichnung). Wie findet man die Ordinate dieser Punkte? Suchen wir zunächst die Ordinate der „oberen Etage“: Dazu berechnen wir den Wert der Funktion am äußersten rechten Punkt der mittleren Expansionsperiode: . Um die Ordinate der „unteren Etage“ zu berechnen, nehmen Sie am einfachsten den Wert ganz links im gleichen Zeitraum: . Die Ordinate des Mittelwertes ist das arithmetische Mittel der Summe aus „oben und unten“: . Schön ist, dass man beim Erstellen einer Zeichnung sofort sieht, ob die Mitte richtig oder falsch berechnet ist.

Bilden wir eine Partialsumme der Reihe und wiederholen wir gleichzeitig die Bedeutung des Begriffs "Konvergenz". Das Motiv ist aus der Lektion über bekannt die Summe der Zahlenreihe. Lassen Sie uns unser Vermögen im Detail beschreiben:

Um eine Teilsumme zu bilden, musst du null + zwei weitere Terme der Reihe aufschreiben. Also,

In der Zeichnung ist der Graph der Funktion grün dargestellt, und wie Sie sehen können, umschließt er die Gesamtsumme ziemlich eng. Wenn wir eine Teilsumme von fünf Termen der Reihe betrachten, wird der Graph dieser Funktion die roten Linien noch genauer annähern, wenn es hundert Terme gibt, dann verschmilzt die „grüne Schlange“ tatsächlich vollständig mit den roten Segmenten, etc. Somit konvergiert die Fourier-Reihe gegen ihre Summe.

Es ist interessant festzustellen, dass jede Teilsumme ist kontinuierliche Funktion, aber die Gesamtsumme der Reihe ist immer noch unstetig.

In der Praxis ist es nicht ungewöhnlich, einen Partialsummengraphen zu erstellen. Wie kann man es machen? In unserem Fall ist es notwendig, die Funktion auf dem Segment zu berücksichtigen und ihre Werte an den Enden des Segments und an Zwischenpunkten zu berechnen (je mehr Punkte Sie berücksichtigen, desto genauer wird das Diagramm). Dann sollten Sie diese Punkte auf der Zeichnung markieren und sorgfältig ein Diagramm über die Periode zeichnen und es dann in benachbarte Intervalle „replizieren“. Wie sonst? Approximation ist schließlich auch eine periodische Funktion ... ... deren Graph erinnert mich irgendwie an einen gleichmäßigen Herzrhythmus auf dem Display eines Medizingerätes.

Natürlich ist es nicht sehr bequem, die Konstruktion durchzuführen, da Sie äußerst vorsichtig sein müssen und eine Genauigkeit von nicht weniger als einem halben Millimeter einhalten müssen. Ich werde jedoch Leser erfreuen, die mit dem Zeichnen uneins sind - bei einer "echten" Aufgabe ist es bei weitem nicht immer notwendig, eine Zeichnung durchzuführen, irgendwo in 50% der Fälle ist es erforderlich, die Funktion zu einer Fourier-Reihe zu erweitern und das ist es.

Nach Abschluss der Zeichnung erledigen wir die Aufgabe:

Antworten:

Bei vielen Aufgaben leidet die Funktion Ruptur 1. Art direkt am Zersetzungszeitraum:

Beispiel 3

Erweitern Sie in einer Fourier-Reihe die auf dem Intervall gegebene Funktion. Zeichnen Sie einen Graphen der Funktion und der Gesamtsumme der Reihe.

Die vorgeschlagene Funktion ist stückweise gegeben (und wohlgemerkt nur auf dem Segment) und aushalten Ruptur 1. Art am Punkt . Kann man die Fourier-Koeffizienten berechnen? Kein Problem. Sowohl der linke als auch der rechte Teil der Funktion sind in ihren Intervallen integrierbar, daher sollten die Integrale in jeder der drei Formeln als Summe von zwei Integralen dargestellt werden. Sehen wir uns zum Beispiel an, wie dies für einen Koeffizienten von Null gemacht wird:

Das zweite Integral stellte sich als gleich Null heraus, was die Arbeit reduzierte, aber das ist nicht immer der Fall.

Zwei andere Fourier-Koeffizienten werden ähnlich geschrieben.

Wie zeigt man die Summe einer Reihe an? Auf dem linken Intervall zeichnen wir ein gerades Liniensegment und auf dem Intervall - ein gerades Liniensegment (markieren Sie den Achsenabschnitt fett-fett). Das heißt, im Expansionsintervall stimmt die Summe der Reihe überall mit der Funktion überein, mit Ausnahme von drei "schlechten" Punkten. An der Unstetigkeitsstelle der Funktion konvergiert die Fourier-Reihe gegen einen isolierten Wert, der genau in der Mitte des „Sprungs“ der Unstetigkeit liegt. Es ist nicht schwer, es mündlich zu sehen: linke Grenze:, rechte Grenze: und offensichtlich ist die Ordinate des Mittelpunkts 0,5.

Aufgrund der Periodizität der Summe muss das Bild in benachbarte Perioden „multipliziert“ werden, insbesondere auf den Intervallen und dasselbe darstellen. In diesem Fall konvergiert die Fourier-Reihe an den Punkten gegen die Medianwerte.

Eigentlich gibt es hier nichts Neues.

Versuchen Sie, dieses Problem selbst zu lösen. Ein ungefähres Beispiel für feines Design und Zeichnen am Ende der Lektion.

Entwicklung einer Funktion in einer Fourier-Reihe auf eine beliebige Periode

Für eine beliebige Expansionsperiode, bei der "el" eine beliebige positive Zahl ist, unterscheiden sich die Formeln für die Fourier-Reihe und die Fourier-Koeffizienten in einem etwas komplizierteren Sinus- und Cosinus-Argument:

Wenn , dann erhalten wir die Formeln für das Intervall, mit dem wir begonnen haben.

Der Algorithmus und die Prinzipien zur Lösung des Problems bleiben vollständig erhalten, aber die technische Komplexität der Berechnungen nimmt zu:

Beispiel 4

Erweitern Sie die Funktion zu einer Fourier-Reihe und zeichnen Sie die Summe.

Entscheidung: in der Tat ein Analogon von Beispiel Nr. 3 mit Ruptur 1. Art am Punkt . In diesem Problem ist die Expansionsperiode , Halbperiode . Die Funktion ist nur auf dem Halbintervall definiert, aber das ändert nichts - es ist wichtig, dass beide Teile der Funktion integrierbar sind.

Erweitern wir die Funktion zu einer Fourier-Reihe:

Da die Funktion am Ursprung unstetig ist, sollte jeder Fourier-Koeffizient offensichtlich als Summe zweier Integrale geschrieben werden:

1) Ich schreibe das erste Integral so detailliert wie möglich:

2) Schauen Sie vorsichtig in die Oberfläche des Mondes:

Zweites Integral Teile aufnehmen:

Worauf sollten Sie genau achten, nachdem wir die Fortsetzung der Lösung mit einem Sternchen geöffnet haben?

Erstens verlieren wir das erste Integral nicht , wo wir sofort ausführen unter das Vorzeichen des Differentials bringen. Zweitens, vergessen Sie nicht die unglückselige Konstante vor den großen Klammern und Lassen Sie sich nicht von Zeichen verwirren bei Verwendung der Formel . Große Klammern ist es schließlich bequemer, sie gleich im nächsten Schritt zu öffnen.

Der Rest ist eine Frage der Technik, nur unzureichende Erfahrung beim Lösen von Integralen kann zu Schwierigkeiten führen.

Ja, es war nicht umsonst, dass die bedeutenden Kollegen des französischen Mathematikers Fourier empört waren - wie konnte er es wagen, Funktionen in trigonometrische Reihen zu zerlegen?! =) Wahrscheinlich interessiert sich übrigens jeder für die praktische Bedeutung der jeweiligen Aufgabe. Fourier selbst arbeitete an einem mathematischen Modell der Wärmeleitung, und in der Folge begann man mit der nach ihm benannten Reihe viele periodische Prozesse zu untersuchen, die in der Außenwelt scheinbar unsichtbar sind. Jetzt habe ich mich übrigens dabei ertappt, dass ich den Graphen des zweiten Beispiels nicht zufällig mit einem periodischen Herzrhythmus verglichen habe. Interessierte können sich mit der praktischen Anwendung vertraut machen Fourier-Transformationen aus Drittquellen. ... Obwohl es besser ist, es nicht zu tun - es wird als First Love in Erinnerung bleiben =)

3) Angesichts der immer wieder erwähnten Schwachstellen behandeln wir den dritten Koeffizienten:

Teilweise integrieren:

Wir setzen die gefundenen Fourier-Koeffizienten in die Formel ein , ohne zu vergessen, den Nullkoeffizienten zu halbieren:

Lassen Sie uns die Summe der Reihe zeichnen. Lassen Sie uns den Vorgang kurz wiederholen: Auf dem Intervall bauen wir eine Linie und auf dem Intervall - eine Linie. Bei einem Nullwert von "x" setzen wir einen Punkt in die Mitte des "Sprungs" der Lücke und "replizieren" das Diagramm für benachbarte Perioden:


An den "Verbindungspunkten" der Perioden ist die Summe auch gleich den Mittelpunkten des "Sprungs" der Lücke.

Bereit. Ich erinnere Sie daran, dass die Funktion selbst nur im Halbintervall bedingt definiert ist und offensichtlich mit der Summe der Reihen in den Intervallen übereinstimmt

Antworten:

Manchmal ist eine stückweise gegebene Funktion auch auf der Expansionsperiode stetig. Das einfachste Beispiel: . Entscheidung (Siehe Bohan Band 2) ist dasselbe wie in den beiden vorherigen Beispielen: trotz Funktionskontinuität am Punkt wird jeder Fourier-Koeffizient als Summe zweier Integrale ausgedrückt.

In der Trennungspause Unstetigkeitsstellen 1. Art und/oder "Knoten"-Punkte des Graphen können mehr sein (zwei, drei und im Allgemeinen beliebige Finale Menge). Wenn eine Funktion auf jedem Teil integrierbar ist, dann ist sie auch in einer Fourier-Reihe erweiterbar. Aber aus praktischer Erfahrung erinnere ich mich nicht an eine solche Dose. Trotzdem gibt es schwierigere Aufgaben als gerade betrachtet, und am Ende des Artikels gibt es für alle Links zu Fourier-Reihen mit erhöhter Komplexität.

In der Zwischenzeit entspannen wir uns, lehnen uns in unseren Stühlen zurück und betrachten die endlosen Weiten der Sterne:

Beispiel 5

Erweitern Sie die Funktion in eine Fourier-Reihe auf dem Intervall und zeichnen Sie die Summe der Reihen.

In dieser Aufgabe ist die Funktion kontinuierlich auf dem Zersetzungshalbintervall, was die Lösung vereinfacht. Alles ist Beispiel #2 sehr ähnlich. Aus dem Raumschiff kommst du nicht weg - du musst dich entscheiden =) Musterdesign am Ende der Stunde, der Stundenplan ist beigefügt.

Fourier-Reihenentwicklung von geraden und ungeraden Funktionen

Bei geraden und ungeraden Funktionen wird die Problemlösung spürbar vereinfacht. Und deshalb. Kehren wir zur Erweiterung der Funktion in einer Fourier-Reihe auf eine Periode von "zwei Pi" zurück und beliebiger Zeitraum "zwei Ales" .

Nehmen wir an, unsere Funktion ist gerade. Wie Sie sehen können, enthält der allgemeine Begriff der Reihe gerade Kosinusse und ungerade Sinusse. Und wenn wir eine GERADE-Funktion zerlegen, warum brauchen wir dann ungerade Sinus?! Lassen Sie uns den unnötigen Koeffizienten zurücksetzen: .

Auf diese Weise, Eine gerade Funktion wird nur in Kosinus zu einer Fourier-Reihe erweitert:

Soweit Integrale gerader Funktionenüber ein zu Null symmetrisches Integrationssegment verdoppelt werden, dann werden auch die übrigen Fourier-Koeffizienten vereinfacht.

Für Spanne:

Für ein beliebiges Intervall:

Lehrbuchbeispiele, die in fast jedem Lehrbuch für Analysis zu finden sind, beinhalten Erweiterungen von geraden Funktionen . Darüber hinaus haben sie sich in meiner persönlichen Praxis immer wieder getroffen:

Beispiel 6

Gegeben eine Funktion. Erforderlich:

1) Erweitern Sie die Funktion in eine Fourier-Reihe mit Punkt , wobei eine beliebige positive Zahl ist;

2) Schreiben Sie die Erweiterung des Intervalls auf, bauen Sie eine Funktion auf und stellen Sie die Gesamtsumme der Reihe graphisch dar.

Entscheidung: Im ersten Absatz wird vorgeschlagen, das Problem allgemein zu lösen, und das ist sehr praktisch! Es wird einen Bedarf geben - ersetzen Sie einfach Ihren Wert.

1) In diesem Problem ist die Expansionsperiode , Halbperiode . Im weiteren Verlauf, insbesondere beim Integrieren, wird "el" als Konstante betrachtet

Die Funktion ist gerade, was bedeutet, dass sie nur in Kosinus zu einer Fourier-Reihe expandiert: .

Fourier-Koeffizienten werden durch die Formeln gesucht . Achten Sie auf ihre absoluten Vorteile. Zunächst wird die Integration über das positive Segment der Erweiterung durchgeführt, was bedeutet, dass wir das Modul sicher loswerden , wobei nur "x" von zwei Stücken berücksichtigt wird. Und zweitens wird die Integration spürbar vereinfacht.

Zwei:

Teilweise integrieren:

Auf diese Weise:
, während die Konstante , die nicht von "en" abhängt, aus der Summe entfernt wird.

Antworten:

2) Wir schreiben die Erweiterung auf das Intervall, dazu setzen wir den gewünschten Wert der Halbperiode in die allgemeine Formel ein:

eine Reihe in Kosinus und Sinus mehrerer Bögen, d.h. eine Reihe der Form

oder in komplexer Form

wo ein k,b k bzw. ck namens Koeffizienten von T. r.
Zum ersten Mal T. r. treffen sich bei L. Euler (L. Euler, 1744). Er bekam Erweiterungen

Alle R. 18. Jahrhundert Im Zusammenhang mit der Untersuchung des Problems der freien Schwingung einer Saite stellte sich die Frage nach der Möglichkeit, die die Anfangslage der Saite charakterisierende Funktion als Summe von T. r darzustellen. Diese Frage löste eine hitzige Debatte aus, die mehrere Jahrzehnte dauerte, die besten Analytiker dieser Zeit - D. Bernoulli, J. D "Alembert, J. Lagrange, L. Euler ( L. Euler). Streitigkeiten über den Inhalt des Funktionsbegriffs. Funktionen wurden damals meist mit ihrer Analytik in Verbindung gebracht. Zuordnung, was dazu führte, dass nur analytische oder stückweise analytische Funktionen betrachtet wurden. Und hier wurde es für eine Funktion, deren Graph eine hinreichend willkürliche Kurve ist, notwendig, ein T. r. zu konstruieren, das diese Funktion darstellt. Aber die Bedeutung dieser Streitigkeiten ist größer. Tatsächlich diskutierten oder entstanden sie im Zusammenhang mit Fragen im Zusammenhang mit vielen grundlegend wichtigen Konzepten und Ideen der Mathematik. Analysis im Allgemeinen - die Darstellung von Funktionen durch Taylor-Reihen und analytisch. Fortsetzung von Funktionen, Verwendung divergenter Reihen, Permutation von Grenzwerten, unendliche Gleichungssysteme, Interpolation von Funktionen durch Polynome usw.
Und in der Zukunft, wie in dieser Anfangszeit, wird die Theorie von T. r. diente als Quelle neuer Ideen in der Mathematik. Die Frage, die im 18. Jahrhundert zu Kontroversen unter Mathematikern führte, wurde 1807 von J. Fourier gelöst, der Formeln zur Berechnung der Koeffizienten von T. r. (1), was muss. auf der Funktion f(x) darstellen:

und wandte sie zur Lösung von Wärmeleitungsproblemen an. Formeln (2) werden Fourier-Formeln genannt, obwohl sie schon früher von A. Clairaut (1754) entdeckt wurden und L. Euler (1777) durch Term-für-Term-Integration zu ihnen kam. T. r. (1), deren Koeffizienten durch die Formeln (2) bestimmt werden, genannt. in der Nähe der Fourier-Funktion f und die Zahlen ein k, b k- Fourier-Koeffizienten.
Die Art der erhaltenen Ergebnisse hängt davon ab, wie die Darstellung einer Funktion als Reihe verstanden wird, wie das Integral in den Formeln (2) verstanden wird. Die moderne Sicht auf die Theorie von T. River. nach dem Auftreten des Lebesgue-Integrals erworben.
Die Theorie von T. r. kann bedingt in zwei große Abschnitte unterteilt werden - die Theorie Die Fourierreihe, in der angenommen wird, dass die Reihe (1) die Fourier-Reihe einer bestimmten Funktion ist, und die Theorie der allgemeinen T. R., wo eine solche Annahme nicht gemacht wird. Nachfolgend sind die wichtigsten Ergebnisse der Theorie des allgemeinen T. r. (In diesem Fall werden das Maß von Mengen und die Messbarkeit von Funktionen nach Lebesgue verstanden).
Die erste Systematik Forschung T. r., in der nicht davon ausgegangen wurde, dass diese Reihen Fourierreihen sind, war die Dissertation von V. Riemann (V. Riemann, 1853). Daher ist die Theorie des allgemeinen T. r. namens manchmal die Riemannsche Theorie der Thermodynamik.
Um die Eigenschaften beliebiger T. r. (1) mit gegen Null strebenden Koeffizienten B. Riemann betrachtete die stetige Funktion F(x) , was die Summe einer gleichmäßig konvergenten Reihe ist

erhalten nach zweifacher Term-für-Term-Integration der Reihen (1). Wenn die Reihe (1) an einem Punkt x gegen eine Zahl s konvergiert, dann existiert an diesem Punkt die zweite Symmetrie und ist gleich s. Ableitung der Funktion F:

dann führt dies zur Summierung der von den Faktoren erzeugten Reihe (1). namens nach dem Riemannschen Summationsverfahren. Mit der Funktion F wird das Riemannsche Lokalisierungsprinzip formuliert, wonach das Verhalten der Reihe (1) am Punkt x nur vom Verhalten der Funktion F in einer beliebig kleinen Umgebung dieses Punktes abhängt.
Wenn T. r. gegen einen Satz positiver Maße konvergiert, dann tendieren seine Koeffizienten gegen Null (Theorem von Cantor-Lebesgue). Tendenz zu Null-Koeffizienten T. r. folgt auch aus seiner Konvergenz auf eine Menge der zweiten Kategorie (W. Young, W. Young, 1909).
Eines der zentralen Probleme der Theorie der allgemeinen Thermodynamik ist das Problem der Darstellung einer beliebigen Funktion T. r. Die Ergebnisse von N. N. Luzin (1915) über die Darstellung von Funktionen von T. R. durch Abel-Poisson und Riemann fast überall summierbare Methoden stärkend, bewies D. E. Men'shov (1940) den folgenden Satz, der sich auf den wichtigsten Fall bei der Darstellung von bezieht die Funktion f wird als Konvergenz von T verstanden. r. zu f(x) fast überall. Für jede messbare und endliche fast überall Funktion f gibt es ein T. R., das fast überall gegen sie konvergiert (Satz von Men'shov). Es sei darauf hingewiesen, dass selbst wenn die Funktion f integrierbar ist, man die Fourier-Reihe der Funktion f im Allgemeinen nicht als eine solche Reihe nehmen kann, da es Fourier-Reihen gibt, die überall divergieren.
Der Satz von Men'shov erlaubt folgende Verfeinerung: Wenn eine Funktion f fast überall messbar und endlich ist, dann gibt es eine stetige Funktion, so dass fast überall und die Term-für-Term differenzierte Fourier-Reihe der Funktion j konvergiert fast überall gegen f(x) (N. K. Bari, 1952).
Es ist nicht bekannt (1984), ob es möglich ist, die Endlichkeitsbedingung für die Funktion f im Satz von Men'shov fast überall wegzulassen. Insbesondere ist nicht bekannt (1984), ob T. r. fast überall zusammenlaufen
Daher wurde das Problem der Darstellung von Funktionen, die auf einer Menge positiver Maße unendliche Werte annehmen können, für den Fall betrachtet, in dem die Konvergenz fast überall durch eine schwächere Anforderung, die Konvergenz im Maß, ersetzt wird. Konvergenz im Maß zu Funktionen, die unendliche Werte annehmen können, ist wie folgt definiert: eine Folge von Partialsummen T. p. n(x) konvergiert im Maß gegen die Funktion f(x) . wenn wo f n(x) konvergieren fast überall gegen / (x), und die Folge konvergiert im Maß gegen Null. Damit ist das Problem der Darstellung von Funktionen endgültig gelöst: Für jede messbare Funktion existiert ein T. R., das im Maß gegen sie konvergiert (D. E. Men'shov, 1948).
Viel Forschung wurde dem Problem der Eindeutigkeit von T. r. gewidmet: Können zwei verschiedene T. zu derselben Funktion divergieren? in anderer Formulierung: wenn T. r. gegen Null konvergiert, folgt daraus, dass alle Koeffizienten der Reihe gleich Null sind. Hier kann man Konvergenz an allen Punkten oder an allen Punkten außerhalb einer bestimmten Menge meinen. Die Antwort auf diese Fragen hängt wesentlich von den Eigenschaften der Menge ab, außerhalb derer keine Konvergenz angenommen wird.
Die folgende Terminologie hat sich etabliert. Viele Namen. Eindeutigkeit gesetzt oder U- gesetzt, wenn aus der Konvergenz von T. r. überall auf Null, außer vielleicht für Punkte der Menge E, daraus folgt, dass alle Koeffizienten dieser Reihe gleich Null sind. Sonst Enaz. M-Satz.
Wie G. Cantor (1872) gezeigt hat, sind die leere Menge sowie jede endliche Menge U-Mengen. Auch eine beliebige abzählbare Menge ist eine U-Menge (W. Jung, 1909). Andererseits ist jede Menge positiver Maße eine M-Menge.
Die Existenz von M-Mengen mit dem Maß Null wurde von D. E. Men'shov (1916) nachgewiesen, der das erste Beispiel einer perfekten Menge mit diesen Eigenschaften konstruierte. Dieses Ergebnis ist von grundlegender Bedeutung für das Problem der Eindeutigkeit. Aus der Existenz von M Mengen des Maßes Null folgt, dass bei der Darstellung von Funktionen von T. R., die fast überall konvergieren, diese Reihen immer mehrdeutig definiert sind.
Perfekte Mengen können auch U-Mengen sein (N. K. Bari; A. Rajchman, A. Rajchman, 1921). Beim Problem der Eindeutigkeit spielen sehr subtile Eigenschaften von Maßeinheiten Null eine wesentliche Rolle. Die allgemeine Frage nach der Klassifizierung von Maßeinheiten null auf M- und U-Sets bleibt (1984) offen. Es ist nicht einmal für perfekte Mengen gelöst.
Das folgende Problem hängt mit dem Eindeutigkeitsproblem zusammen. Wenn T. r. konvergiert gegen die Funktion ob diese Reihe dann die Fourierreihe der Funktion / sein muss. P. Dubois-Reymond (P. Du Bois-Reymond, 1877) hat diese Frage positiv beantwortet, wenn f integrierbar im Sinne von Riemann ist und die Reihe an allen Stellen gegen f(x) konvergiert. Aus den Ergebnissen III. J. Vallee Poussin (Ch. J. La Vallee Poussin, 1912) impliziert, dass die Antwort positiv ist, selbst wenn die Reihe überall konvergiert, mit Ausnahme einer zählbaren Menge von Punkten, und ihre Summe endlich ist.
Wenn ein T. p an einem Punkt x 0 absolut konvergiert, dann liegen die Konvergenzpunkte dieser Reihe sowie die Punkte ihrer absoluten Konvergenz symmetrisch zum Punkt x 0 (P. Fatou, P. Fatou, 1906).
Entsprechend Denjoy-Luzin-Theorem aus der absoluten Konvergenz von T. r. (1) Bei einer Menge positiver Maße konvergiert die Reihe und folglich die absolute Konvergenz der Reihe (1) für alle X. Diese Eigenschaft besitzen auch Mengen der zweiten Kategorie sowie gewisse Mengen des Maßes Null.
Diese Übersicht umfasst nur eindimensionale T. r. (ein). Es gibt separate Ergebnisse in Bezug auf allgemeine T. p. aus mehreren Variablen. Hier ist es in vielen Fällen noch notwendig, natürliche Problemstellungen zu finden.

Zündete.: Bari N. K., Trigonometric series, M., 1961; Sigmund A., Trigonometrische Reihen, übers. aus dem Englischen, Bd. 1-2, M., 1965; Luzin N.N., Integrale und trigonometrische Reihen, M.-L., 1951; Riemann B., Werke, übers. aus Deutsch, M.-L., 1948, p. 225-61.
S. A. Teljakowski.

• - die endgültige trigonometrische Summe, - ein Ausdruck der Form mit reellen Koeffizienten a 0 und k, bk, k=l, . . ., n; Nummer n angerufen. Bestellung T. 0)...

  Mathematische Enzyklopädie

• - eine Reihe in Kosinus und Sinus mehrerer Bögen, also eine Reihe der Form oder in komplexer Form, wo ak, bk bzw. ck genannt werden. Koeffizienten von T. r. Zum ersten Mal T. r. treffen bei L. Euler ...

  Mathematische Enzyklopädie

• - Triangulationspunkt, - geodätischer Punkt, dessen Position auf der Erdoberfläche durch die Methode der Triangulation bestimmt wird ...

  Großes enzyklopädisches polytechnisches Wörterbuch

• - siehe Triangulation...

  Enzyklopädisches Wörterbuch von Brockhaus und Euphron

• - in der Geodäsie eine an trigonometrischen Punkten auf dem Boden installierte Struktur. T. h. besteht aus zwei Teilen - außen und unterirdisch...

  Große sowjetische Enzyklopädie

• - eine Funktionsreihe der Form, dh eine Reihe, die sich entlang der Sinus- und Kosinuslinien mehrerer Bögen befindet. Oft T. r. in komplexer Form geschrieben.

Gegeben sei eine trigonometrische Reihe

Um herauszufinden, ob sie konvergiert, ist es naheliegend, die Zahlenreihe zu betrachten

(2)

die majorisierende, wie sie sagen, Serie (1). Seine Mitglieder übersteigen jeweils die absoluten Werte der Mitglieder der Reihe (1):

.

Konvergiert also die Reihe (2), so konvergiert auch die Reihe (1) für alle und zwar absolut und gleichmäßig (siehe unser Buch Höhere Mathematik. Differential- und Integralrechnung, § 9.8, Satz 1). Aber Reihe (1) kann konvergieren, ohne dass Reihe (2) konvergiert. Immerhin (oszillieren) seine Terme für jeden Wechsel unendlich oft beim Wechseln, und es kann sich herausstellen, dass sie aufgrund der Kompensation positiver Terme durch negative konvergieren. In der allgemeinen Reihentheorie gibt es Anzeichen für die Konvergenz ähnlicher Reihen. Solche Tests sind die Dirichlet- und Abel-Tests (siehe § 9.9, Theoreme 3 und 4 desselben Buches), die sich gut für das Studium trigonometrischer Reihen eignen.

Wenn festgestellt wird, dass die Reihe (1) gleichmäßig konvergiert, folgt auf die eine oder andere Weise aus der Tatsache, dass ihre Terme stetige Funktionen der Periode sind, dass ihre Summe

(3)

eine stetige Periodenfunktion ist (siehe § 9.8, Theorem 2 und § 9.9, Theorem 2 desselben Buches) und die Reihe (3) kann Term für Term integriert werden.

Reihe (3) kann formal unterschieden werden durch:

(4)

und komponieren seine Majorisierungsserie

(5)

Wenn Reihe (5) konvergiert, konvergiert wiederum Reihe (4) gleichmäßig. Außerdem ist nach dem bekannten Satz aus der Theorie der gleichmäßig konvergenten Reihen die Summe der Reihe (4) die Ableitung der Summe der Reihe (3), d.h.

.

Im Allgemeinen, wenn eine Serie

für eine natürliche Zahl konvergiert, dann kann die Reihe (3) Term für Term legal differenziert werden.

Wir müssen jedoch bedenken, dass es möglich ist, dass die Reihe (3) berechtigterweise noch einmal (d. h. Zeiten) differenziert werden kann.

Beispiel. Finden Sie heraus, wie oft eine Reihe Begriff für Begriff differenziert werden kann

Zahlen ein, b n oder c n heißen die Koeffizienten von T. r.

T. r. spielen eine sehr wichtige Rolle in der Mathematik und ihren Anwendungen. Zunächst einmal T. r. stellen Mittel zur Darstellung und Untersuchung von Funktionen zur Verfügung und sind daher eines der Hauptapparate der Funktionentheorie. Außerdem tritt Wärmestrahlung natürlicherweise bei der Lösung einer Reihe von Problemen der mathematischen Physik auf, unter denen wir das Problem der Schwingung einer Saite, das Problem der Wärmeausbreitung ua hervorheben können.Schließlich die Theorie der Wärmestrahlung . trug zur Klärung der Grundbegriffe der mathematischen Analysis (Funktion, Integral) bei, erweckte eine Reihe wichtiger Abschnitte der Mathematik zum Leben (die Theorie der Fourier-Integrale, die Theorie der fast periodischen Funktionen), diente als einer der Ausgangspunkte für die Entwicklung der Mengenlehre, der Theorie der Funktionen einer reellen Variablen und der Funktionsanalyse und der Beginn der allgemeinen harmonischen Analyse.

Euler wies auf den Zusammenhang zwischen Potenzreihen und T. R. hin: if c n sind also reell

nämlich:

Zündete.: Luzin N. N., Integrale und trigonometrische Reihen, M. - L., 1951; Barin. K., Trigonometrische Reihe, Moskau, 1961; Sigmund A., Trigonometrische Reihen, übers. aus dem Englischen, 2. Aufl., Band 1-2, M., 1965.

Große sowjetische Enzyklopädie. - M.: Sowjetische Enzyklopädie. 1969-1978 .

Sehen Sie, was die "Trigonometrische Reihe" in anderen Wörterbüchern ist:

Eine Folge von Kosinus und Sinus mehrerer Bögen, also eine Folge der Form oder in komplexer Form, wobei ak, bk bzw. ck genannt werden. Koeffizienten von T. r. Zum ersten Mal T. r. treffen sich bei L. Euler (L. Euler, 1744). Er erhielt Erweiterungen in ser. 18. Jahrhundert in Verbindung mit…… Mathematische Enzyklopädie

Eine Reihe der Form, in der die Koeffizienten a0, a1, b1, a2, b2 ... nicht von der Variablen x ... abhängen. Großes enzyklopädisches Wörterbuch

In der Mathematik ist eine trigonometrische Reihe jede Reihe der Form: Eine trigonometrische Reihe heißt Fourier-Reihe einer Funktion, wenn die Koeffizienten und wie folgt definiert sind ... Wikipedia

Eine Reihe der Form wo die Koeffizienten a0, a1, b1, a2, b2, ... nicht von der Variablen x abhängen. * * * TRIGONOMETRISCHE REIHE TRIGONOMETRISCHE REIHE, eine Reihe der Form, bei der die Koeffizienten a0, a1, b1, a2, b2 ... nicht von der Variablen x abhängen ... Enzyklopädisches Wörterbuch

Die trigonometrische Fourier-Reihe ist eine Darstellung einer beliebigen Funktion mit einem Punkt in Form einer Reihe (1) oder in komplexer Schreibweise in Form einer Reihe: . Inhalt ... Wikipedia

unendliche trigonometrische Fourier-Reihen- - Telekommunikationsthemen, Grundkonzepte EN Fourierreihen ... Handbuch für technische Übersetzer

Reihen vom Typ Reihen vom Typ (1) K. Weierstrass führte 1872 eine stetige, nirgends differenzierbare Funktion ein. J. Hadamard wendete 1892 die Reihe (1) auf das Studium der Analytik an und nannte sie lückenhaft. Funktionsfortsetzung. Systematisch … Mathematische Enzyklopädie

Zu Reihen Reihen Diese Reihen sind jeweils der Real- und der Imaginärteil der Reihe bei z=eix. Die Formel für die Partialsummen der Funktion j(x) konjugiert zur trigonometrischen Fourier-Reihe. Reihe wo ist der konjugierte Dirichlet-Kernel. Wenn f(x) eine Funktion beschränkter Variation ist... ... Mathematische Enzyklopädie

Hinzufügen von Begriffen der Fourier-Reihe ... Wikipedia

I ist eine unendliche Summe, zum Beispiel von der Form u1 + u2 + u3 + ... + un + ... oder kurz: Eines der einfachsten Beispiele für R., das bereits in der Elementarmathematik zu finden ist, ist ein Unendlich abnehmende Summe ... ... Große sowjetische Enzyklopädie

Einleitende Bemerkungen

In diesem Abschnitt betrachten wir die Darstellung periodischer Signale durch eine Fourier-Reihe. Fourier-Reihen sind die Grundlage der Theorie der Spektralanalyse, weil, wie wir später sehen werden, die Fourier-Transformation eines nicht periodischen Signals als Grenzübergang der Fourier-Reihe mit unendlicher Wiederholungsperiode erhalten werden kann. Damit gelten die Eigenschaften der Fourier-Reihe auch für die Fourier-Transformation nichtperiodischer Signale.

Wir werden die Ausdrücke für die Fourier-Reihe in trigonometrischen und komplexen Formen betrachten und auch die Dirichlet-Bedingungen für die Konvergenz der Fourier-Reihe beachten. Darüber hinaus werden wir uns ausführlich mit der Erklärung eines Konzepts wie der negativen Frequenz des Signalspektrums befassen, das beim Kennenlernen der Theorie der Spektralanalyse häufig Schwierigkeiten bereitet.

Periodisches Signal. Trigonometrische Fourier-Reihe

Es gebe ein zeitkontinuierliches periodisches Signal , das sich mit einer Periode c wiederholt, d.h. , wobei eine beliebige ganze Zahl ist.

Als Beispiel zeigt Fig. 1 eine Folge von Rechteckimpulsen der Dauer c, die sich mit einer Periode von c wiederholen.

Abbildung 1. Periodische Sequenz

Rechteckige Impulse

Aus dem Verlauf der mathematischen Analyse ist bekannt, dass das System der trigonometrischen Funktionen

mit mehreren Frequenzen , wobei rad/s eine ganze Zahl ist, bildet eine orthonormale Basis für die Entwicklung periodischer Signale mit einer Periode, die die Dirichlet-Bedingungen erfüllt .

Die Dirichlet-Bedingungen für die Konvergenz der Fourier-Reihe erfordern, dass auf der Strecke ein periodisches Signal gegeben wird, wobei die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

Zum Beispiel die periodische Funktion erfüllt nicht die Dirichlet-Bedingungen, da die Funktion hat Diskontinuitäten der zweiten Art und nimmt unendliche Werte für an, wobei eine beliebige ganze Zahl ist. Also die Funktion kann nicht durch eine Fourier-Reihe dargestellt werden. Sie können auch ein Beispiel für eine Funktion geben , die beschränkt ist, aber auch die Dirichlet-Bedingungen nicht erfüllt, da sie gegen Null unendlich viele Extrempunkte hat. Funktionsgraph in Abbildung 2 gezeigt.

Abbildung 2. Graph der Funktion :

A - zwei Wiederholungsperioden; b - in der Nachbarschaft

Abbildung 2a zeigt zwei Wiederholungsperioden der Funktion , und in Abbildung 2b ist der Bereich in der Nähe von . Es ist ersichtlich, dass bei Annäherung an Null die Schwingungsfrequenz unendlich ansteigt und eine solche Funktion nicht durch eine Fourier-Reihe dargestellt werden kann, da sie nicht stückweise monoton ist.

Es ist zu beachten, dass es in der Praxis keine Signale mit unendlichen Strom- oder Spannungswerten gibt. Funktionen mit unendlich vielen Extrema des Typs finden sich auch nicht in angewandten Problemen. Alle reellen periodischen Signale erfüllen die Dirichlet-Bedingungen und können durch eine unendliche trigonometrische Fourier-Reihe der Form dargestellt werden:

In Ausdruck (2) spezifiziert der Koeffizient die konstante Komponente des periodischen Signals .

An allen Stellen, an denen das Signal kontinuierlich ist, konvergiert die Fourier-Reihe (2) gegen die Werte des gegebenen Signals und an Unstetigkeitsstellen erster Art gegen den Mittelwert, wobei und die Grenzen nach links und rechts sind der Unstetigkeitsstelle bzw.

Aus dem Verlauf der mathematischen Analyse ist auch bekannt, dass die Verwendung einer abgeschnittenen Fourier-Reihe, die nur die ersten Terme anstelle einer unendlichen Summe enthält, zu einer ungefähren Darstellung des Signals führt:

was den minimalen mittleren quadratischen Fehler sicherstellt. Fig. 3 veranschaulicht die Annäherung eines periodischen Rechteckwellenzugs und eines periodischen Sägezahnsignals unter Verwendung unterschiedlicher Anzahlen von Fourier-Reihentermen.

Abbildung 3. Approximation von Signalen durch eine abgeschnittene Fourier-Reihe:

A - Rechteckimpulse; b - Sägezahnsignal

Fourierreihen in komplexer Form

Im vorigen Absatz haben wir die trigonometrische Fourier-Reihe für die Entwicklung eines beliebigen periodischen Signals betrachtet, das die Dirichlet-Bedingungen erfüllt. Mit der Euler-Formel können wir zeigen:
Dann die trigonometrische Fourierreihe (2) unter Berücksichtigung von (4):

Somit kann ein periodisches Signal durch die Summe einer DC-Komponente und komplexer Exponenten, die bei Frequenzen rotieren, mit Koeffizienten für positive Frequenzen und für komplexe Exponenten, die bei negativen Frequenzen rotieren, dargestellt werden.

Betrachten Sie die Koeffizienten für komplexe Exponenten, die mit positiven Frequenzen rotieren:

Die Ausdrücke (6) und (7) stimmen überein, außerdem kann die konstante Komponente auch in Form des komplexen Exponentials bei der Frequenz Null geschrieben werden:

Somit kann (5) unter Berücksichtigung von (6)-(8) als einzelne Summe dargestellt werden, wenn sie von minus unendlich bis unendlich indexiert wird:

Ausdruck (9) ist eine Fourier-Reihe in komplexer Form. Die Koeffizienten der Fourier-Reihe in komplexer Form beziehen sich auf die Koeffizienten und der Reihe in trigonometrischer Form und sind sowohl für positive als auch für negative Frequenzen definiert. Der Index in der Frequenznotation gibt die Nummer der diskreten Harmonischen an, wobei negative Indizes negativen Frequenzen entsprechen.

Aus Ausdruck (2) folgt, dass für ein reelles Signal die Koeffizienten und der Reihe (2) ebenfalls reell sind. Jedoch weist (9) einem reellen Signal einen Satz konjugiert komplexer Koeffizienten zu, die sich sowohl auf positive als auch auf negative Frequenzen beziehen.

Einige Erklärungen für die Fourier-Reihe in komplexer Form

Im vorigen Abschnitt haben wir den Übergang von der trigonometrischen Fourier-Reihe (2) zur Fourier-Reihe in komplexer Form (9) gemacht. Als Ergebnis erhielten wir, anstatt periodische Signale auf der Basis echter trigonometrischer Funktionen zu erweitern, eine Erweiterung auf der Basis komplexer Exponentiale mit komplexen Koeffizienten, und sogar negative Frequenzen tauchten in der Erweiterung auf! Da dieses Thema oft missverstanden wird, ist eine Klarstellung notwendig.

Erstens ist das Arbeiten mit komplexen Exponenten in den meisten Fällen einfacher als das Arbeiten mit trigonometrischen Funktionen. Beim Multiplizieren und Dividieren komplexer Exponentiale reicht es beispielsweise aus, die Exponenten zu addieren (subtrahieren), während die Formeln zum Multiplizieren und Dividieren trigonometrischer Funktionen umständlicher sind.

Das Differenzieren und Integrieren von Exponenten, auch von komplexen, ist auch einfacher als trigonometrische Funktionen, die sich beim Differenzieren und Integrieren ständig ändern (Sinus wird Kosinus und umgekehrt).

Wenn das Signal periodisch und reell ist, erscheint die trigonometrische Fourier-Reihe (2) anschaulicher, weil alle Entwicklungskoeffizienten , und reell bleiben. Allerdings hat man es oft mit komplexen periodischen Signalen zu tun (zum Beispiel verwenden Modulation und Demodulation eine Quadraturdarstellung der komplexen Hüllkurve). In diesem Fall werden bei Verwendung der trigonometrischen Fourier-Reihe alle Koeffizienten und Entwicklungen (2) komplex, während bei Verwendung der Fourier-Reihe in komplexer Form (9) dieselben Entwicklungskoeffizienten sowohl für reelle als auch für komplexe Eingangssignale verwendet werden .

Und schließlich ist es notwendig, auf die Erklärung der negativen Frequenzen einzugehen, die in (9) erschienen sind. Diese Frage wird oft missverstanden. Im Alltag begegnen uns negative Frequenzen nicht. Zum Beispiel stimmen wir unser Radio nie auf eine negative Frequenz ab. Betrachten wir die folgende Analogie aus der Mechanik. Gegeben sei ein mechanisches Federpendel, das mit einer bestimmten Frequenz frei schwingt. Kann ein Pendel mit negativer Frequenz schwingen? Natürlich nicht. Genauso wie es keine Radiosender gibt, die mit negativen Frequenzen ausgestrahlt werden, kann die Frequenz des Pendels nicht negativ sein. Aber ein Federpendel ist ein eindimensionales Objekt (das Pendel schwingt entlang einer geraden Linie).

Wir können auch eine andere Analogie aus der Mechanik geben: ein Rad, das sich mit einer Frequenz von dreht. Das Rad dreht sich im Gegensatz zum Pendel, d.h. Ein Punkt auf der Oberfläche des Rades bewegt sich in einer Ebene und schwingt nicht nur entlang einer einzigen geraden Linie. Um die Rotation des Rades eindeutig einzustellen, reicht es daher nicht aus, die Rotationsfrequenz einzustellen, da es auch notwendig ist, die Rotationsrichtung einzustellen. Genau dafür können wir das Frequenzzeichen verwenden.

Wenn sich das Rad also mit einer Frequenz von rad / s gegen den Uhrzeigersinn dreht, gehen wir davon aus, dass sich das Rad mit einer positiven Frequenz dreht, und wenn es sich im Uhrzeigersinn dreht, ist die Rotationsfrequenz negativ. Um eine Drehung anzugeben, hört eine negative Frequenz auf, Unsinn zu sein, und gibt die Drehrichtung an.

Und jetzt das Wichtigste, was wir verstehen müssen. Die Schwingung eines eindimensionalen Objekts (z. B. eines Federpendels) kann als Summe der Drehungen der beiden in Abbildung 4 gezeigten Vektoren dargestellt werden.

Abbildung 4. Schwingung eines Federpendels

Als Summe der Drehungen zweier Vektoren

auf der komplexen Ebene

Das Pendel schwingt entlang der reellen Achse der komplexen Ebene mit einer Frequenz gemäß dem harmonischen Gesetz. Die Bewegung des Pendels wird als horizontaler Vektor dargestellt. Der obere Vektor dreht sich in der komplexen Ebene mit einer positiven Frequenz (gegen den Uhrzeigersinn), und der untere Vektor dreht sich mit einer negativen Frequenz (im Uhrzeigersinn). Abbildung 4 verdeutlicht den bekannten Zusammenhang aus dem Trigonometrie-Kurs:

Somit stellt die Fourier-Reihe in komplexer Form (9) periodische eindimensionale Signale als Summe von Vektoren auf der komplexen Ebene dar, die mit positiven und negativen Frequenzen rotieren. Gleichzeitig bemerken wir, dass im Fall eines reellen Signals gemäß (9) die Entwicklungskoeffizienten für negative Frequenzen komplex konjugiert zu den entsprechenden Koeffizienten für positive Frequenzen sind. Bei einem komplexen Signal gilt diese Eigenschaft der Koeffizienten nicht, da und ebenfalls komplex sind.

Spektrum periodischer Signale

Die Fourier-Reihe in komplexer Form ist die Zerlegung eines periodischen Signals in eine Summe komplexer Exponentiale, die mit positiven und negativen Frequenzen in Vielfachen von rad/s mit den entsprechenden komplexen Koeffizienten rotieren, die das Spektrum des Signals bestimmen. Die komplexen Koeffizienten können durch die Euler-Formel als dargestellt werden, wobei das Amplitudenspektrum und a das Phasenspektrum ist.

Da periodische Signale nur auf einem festen Frequenzraster in eine Reihe zerlegt werden, ist das Spektrum periodischer Signale linear (diskret).

Abbildung 5. Spektrum einer periodischen Sequenz

Rechteckimpulse:

A ist das Amplitudenspektrum; b - Phasenspektrum

Bild 5 zeigt beispielhaft das Amplituden- und Phasenspektrum einer periodischen Folge von Rechteckimpulsen (siehe Bild 1) für c, Impulsdauer c und Impulsamplitude B.

Das Amplitudenspektrum des ursprünglichen realen Signals ist bezüglich der Nullfrequenz symmetrisch, während das Phasenspektrum antisymmetrisch ist. Gleichzeitig stellen wir fest, dass die Werte des Phasenspektrums und entsprechen demselben Punkt in der komplexen Ebene.

Daraus kann geschlossen werden, dass alle Entwicklungskoeffizienten des reduzierten Signals rein reell sind, und das Phasenspektrum entspricht negativen Koeffizienten .

Beachten Sie, dass die Dimension des Amplitudenspektrums mit der Dimension des Signals übereinstimmt. Beschreibt man die zeitliche Änderung der Spannung, gemessen in Volt, dann haben auch die Amplituden der Harmonischen des Spektrums die Dimension Volt.

Ergebnisse

In diesem Abschnitt betrachten wir die Darstellung periodischer Signale mit Hilfe der Fourier-Reihe. Es werden Ausdrücke für die Fourier-Reihe in trigonometrischen und komplexen Formen angegeben. Wir haben uns besonders mit den Dirichlet-Bedingungen für die Konvergenz der Fourier-Reihe befasst und Beispiele für Funktionen gegeben, für die die Fourier-Reihe divergiert.

Wir haben uns ausführlich mit dem Ausdruck der Fourier-Reihe in komplexer Form beschäftigt und gezeigt, dass sowohl reelle als auch komplexe periodische Signale durch eine Reihe komplexer Exponentiale mit positiven und negativen Frequenzen dargestellt werden. Auch hier sind die Entwicklungskoeffizienten komplex und charakterisieren das Amplituden- und Phasenspektrum eines periodischen Signals.

Im nächsten Abschnitt werden wir die Eigenschaften der Spektren periodischer Signale genauer betrachten.

Softwareimplementierung in der DSPL-Bibliothek

Detsch, G. Leitfaden zur praktischen Anwendung der Laplace-Transformation. Moskau, Nauka, 1965, 288 S.