Grundlegende Methoden zum Lösen von Gleichungen

Was ist eine Lösung einer Gleichung?

Identitätstransformation. Hauptsächlich

Arten identischer Transformationen.

fremde Wurzel. Wurzelverlust.

Gleichungslösung ist ein Prozess, der hauptsächlich darin besteht, eine gegebene Gleichung durch eine andere Gleichung zu ersetzen, die ihr entspricht . Ein solcher Ersatz wird aufgerufenIdentitätstransformation . Die wichtigsten Identitätstransformationen sind wie folgt:

1.

Einen Ausdruck durch einen anderen ersetzen, der ihm identisch ist. Zum Beispiel die Gleichung (3 x+ 2 ) 2 = 15 x+ 10 kann durch das folgende Äquivalent ersetzt werden:9 x 2 + 12 x + 4 = 15 x + 10 .

2.

Die Übertragung von Termen der Gleichung von einer Seite auf die andere mit entgegengesetzten Vorzeichen. In der vorherigen Gleichung können wir also alle ihre Mitglieder von der rechten Seite auf die linke Seite mit dem Zeichen „-“ übertragen: 9 x 2 + 12 x + 4 – 15 x- 10 = 0, danach erhalten wir:9 x 2 – 3 x- 6 = 0 .

3.

Multiplikation oder Division beider Seiten einer Gleichung mit demselben Ausdruck (Zahl) außer Null. Das ist sehr wichtig, dennDie neue Gleichung ist möglicherweise nicht äquivalent zur vorherigen, wenn der Ausdruck, mit dem wir multiplizieren oder dividieren, gleich Null sein kann.

BEISPIEL Die gleichungx- 1 = 0 hat eine einzelne Wurzelx= 1.

Beide Seiten multiplizieren mitx- 3 , erhalten wir die Gleichung

( x- 1)( x- 3) = 0, was zwei Wurzeln hat:x= 1 undx = 3.

Der letzte Wert ist nicht die Wurzel der gegebenen Gleichung

x- 1 = 0. Dies ist die sogenanntefremde Wurzel .

Umgekehrt kann eine Teilung dazu führenWurzelverlust . So

in unserem Fall, wennx- 1 )( x- 3 ) = 0 ist das Original

Gleichung, dann die Wurzelx= 3 gehen in der Division verloren

beide Seiten der Gleichungx- 3 .

In der letzten Gleichung (Punkt 2) können wir alle ihre Terme durch 3 (nicht null!) teilen und erhalten schließlich:

3 x 2 - x - 2 = 0 .

Diese Gleichung entspricht der ursprünglichen:

(3 x+ 2) 2 = 15 x + 10 .

4.

dürfenErhöhen Sie beide Seiten der Gleichung mit einer ungeraden Potenz oderZiehen Sie eine ungerade Wurzel von beiden Seiten der Gleichung . Es muss daran erinnert werden, dass:

a) Erektionsogar Grad kann verursachenzum Erwerb fremder Wurzeln ;

b)falsch Extraktionsogar root Kann führen zuVerlust von Wurzeln .

BEISPIELE. Gleichung 7x = 35 hat eine einzige Wurzelx = 5 .

Indem wir beide Seiten dieser Gleichung quadrieren, erhalten wir

Die gleichung:

49 x 2 = 1225 .

mit zwei Wurzeln:x = 5 undx = – 5. Letzter Wert

ist eine fremde Wurzel.

Falsch aus beiden die Quadratwurzel ziehen

Teile von Gleichung 49x 2 = 1225 ergibt 7x = 35,

und wir verlieren die Wurzelx = – 5.

Richtig das Ziehen der Quadratwurzel führt zu

Gleichung: | 7x | = 35, a also zwei Fälle:

1) 7 x = 35, dannx = 5 ; 2) – 7 x = 35, dannx = – 5 .

Daher beiKorrekt ein Quadrat extrahieren

Wurzel verlieren wir nicht die Wurzeln der Gleichung.

Was heißtRechts Wurzel ziehen? Hier treffen wir uns

mit einem sehr wichtigen Konzeptarithmetische Wurzel

(cm. ).

Kann zum Auftreten sogenannter Fremdwurzeln führen. In diesem Artikel werden wir zunächst im Detail analysieren, was ist fremde Wurzeln. Lassen Sie uns zweitens über die Gründe für ihr Auftreten sprechen. Und drittens werden wir anhand von Beispielen die wichtigsten Möglichkeiten zum Aussieben von Fremdwurzeln betrachten, dh die Wurzeln auf das Vorhandensein von Fremdwurzeln unter ihnen prüfen, um sie von der Antwort auszuschließen.

Fremde Wurzeln der Gleichung, Definition, Beispiele

Lehrbücher der Algebraschule definieren keine Fremdwurzel. Dort wird die Idee einer fremden Wurzel gebildet, indem die folgende Situation beschrieben wird: Mit Hilfe einiger Transformationen der Gleichung wird der Übergang von der ursprünglichen Gleichung zur Folgegleichung durchgeführt, die Wurzeln der erhaltenen Folgegleichung sind gefunden, und die gefundenen Wurzeln werden durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung überprüft, was zeigt, dass einige der gefundenen Wurzeln nicht die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung sind, diese Wurzeln werden Fremdwurzeln für die ursprüngliche Gleichung genannt.

Basierend auf dieser Basis können Sie sich die folgende Definition einer fremden Wurzel zu eigen machen:

Definition

fremde Wurzeln sind die Wurzeln der Gleichungsfolge, die als Ergebnis von Transformationen erhalten werden, die nicht die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung sind.

Nehmen wir ein Beispiel. Betrachten Sie die Gleichung und das Korollar dieser Gleichung x·(x−1)=0 , erhalten durch Ersetzen des Ausdrucks durch den Ausdruck x·(x−1), der ihm identisch ist. Die ursprüngliche Gleichung hat eine einzelne Wurzel 1 . Die als Ergebnis der Transformation erhaltene Gleichung hat zwei Wurzeln 0 und 1 . 0 ist also eine Fremdwurzel für die ursprüngliche Gleichung.

Ursachen für das mögliche Auftreten fremder Wurzeln

Wenn keine „exotischen“ Transformationen verwendet werden, um die Folgegleichung zu erhalten, sondern nur grundlegende Transformationen von Gleichungen verwendet werden, können Fremdwurzeln nur aus zwei Gründen entstehen:

• aufgrund der Erweiterung des ODZ und
• weil beide Seiten der Gleichung gleich potenziert werden.

Hier sei daran erinnert, dass die Erweiterung der ODZ hauptsächlich durch die Transformation der Gleichung erfolgt

• Bei der Kürzung von Brüchen;
• Beim Ersetzen eines Produkts mit einem oder mehreren Nullfaktoren durch Null;
• Beim Ersetzen von Null durch einen Bruch mit einem Nullzähler;
• Bei der Verwendung einiger Eigenschaften von Potenzen, Wurzeln, Logarithmen;
• Bei der Verwendung einiger trigonometrischer Formeln;
• Wenn beide Teile der Gleichung mit demselben Ausdruck multipliziert werden, verschwindet dieser auf der ODZ für diese Gleichung;
• Wenn beim Lösen der Vorzeichen von Logarithmen losgelassen wird.

Das Beispiel aus dem vorherigen Absatz des Artikels veranschaulicht das Auftreten einer Fremdwurzel aufgrund der Erweiterung der ODZ, die beim Übergang von der Gleichung zur Folgegleichung x·(x−1)=0 stattfindet. Die ODZ für die ursprüngliche Gleichung ist die Menge aller reellen Zahlen außer Null, die ODZ für die resultierende Gleichung ist die Menge R, das heißt, die ODZ wird um die Zahl Null erweitert. Diese Zahl entpuppt sich schließlich als fremde Wurzel.

Wir geben auch ein Beispiel für das Auftreten einer fremden Wurzel aufgrund der Potenzierung beider Teile der Gleichung mit der gleichen geraden Potenz. Die irrationale Gleichung hat eine einzige Wurzel 4, und die Folge dieser Gleichung, die man daraus erhält, indem man beide Teile der Gleichung, also die Gleichung, quadriert , hat zwei Wurzeln 1 und 4 . Daraus ist ersichtlich, dass das Quadrieren beider Seiten der Gleichung zum Auftreten einer fremden Wurzel für die ursprüngliche Gleichung führte.

Beachten Sie, dass die Erweiterung der ODZ und das Anheben beider Teile der Gleichung auf die gleiche gerade Potenz nicht immer zum Auftreten von Fremdwurzeln führt. Wenn Sie beispielsweise von der Gleichung zur Folgegleichung x = 2 übergehen, erweitert sich die ODZ von der Menge aller nicht negativen Zahlen auf die Menge aller reellen Zahlen, aber es treten keine fremden Wurzeln auf. 2 ist die einzige Wurzel sowohl der ersten als auch der zweiten Gleichung. Außerdem treten beim Übergang von der Gleichung zur Gleichungsfolge keine Fremdwurzeln auf. Die einzige Wurzel sowohl der ersten als auch der zweiten Gleichung ist x=16 . Deshalb sprechen wir nicht über die Ursachen für das Auftreten von Fremdwurzeln, sondern über die Gründe für das mögliche Auftreten von Fremdwurzeln.

Was ist das Aussortieren fremder Wurzeln?

Der Begriff „Eliminierung fremder Wurzeln“ kann nur als etablierter Begriff bezeichnet werden, er findet sich nicht in allen Algebra-Lehrbüchern, ist aber intuitiv, weshalb er meist verwendet wird. Was mit dem Aussieben fremder Wurzeln gemeint ist, wird aus dem folgenden Satz deutlich: „... die Überprüfung ist ein obligatorischer Schritt beim Lösen der Gleichung, der dabei helfen wird, etwaige fremde Wurzeln zu erkennen und zu verwerfen (normalerweise heißt es „aussieben “)” .

Auf diese Weise,

Definition

Fremde Wurzeln ausmerzen ist die Erkennung und Zurückweisung fremder Wurzeln.

Jetzt können Sie mit Möglichkeiten fortfahren, um fremde Wurzeln auszusortieren.

Methoden zum Aussondern von Fremdwurzeln

Substitutionsprüfung

Die Hauptmethode zum Aussortieren von Fremdwurzeln ist eine Substitutionsprüfung. Es ermöglicht Ihnen, fremde Wurzeln auszusortieren, die sowohl aufgrund der Erweiterung der ODZ als auch aufgrund der Anhebung beider Teile der Gleichung auf die gleiche gerade Potenz entstehen könnten.

Die Substitutionsprüfung läuft wie folgt ab: Die gefundenen Wurzeln der Konsequenzgleichung werden der Reihe nach in die ursprüngliche Gleichung oder in eine ihr äquivalente Gleichung eingesetzt, diejenigen, die die korrekte numerische Gleichheit ergeben, sind die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung, und diejenigen, die eine ergeben falsche numerische Gleichheit oder Ausdruck, bedeutungslos sind fremde Wurzeln für die ursprüngliche Gleichung.

Lassen Sie uns ein Beispiel verwenden, um zu zeigen, wie überflüssige Wurzeln durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung ausgesiebt werden.

In manchen Fällen ist das Jäten von Fremdwurzeln auf andere Weise besser geeignet. Dies gilt vor allem für die Fälle, in denen die Substitutionsprüfung mit erheblichen Rechenschwierigkeiten verbunden ist oder wenn die Standardmethode zur Lösung von Gleichungen eines bestimmten Typs eine andere Prüfung beinhaltet (z unter der Bedingung, dass der Nenner des Bruchs ungleich Null ist ). Lassen Sie uns alternative Wege analysieren, um fremde Wurzeln auszusieben.

Laut ODZ

Im Gegensatz zur Substitutionsprüfung ist das Aussieben von Fremdwurzeln durch ODZ nicht immer sinnvoll. Tatsache ist, dass Sie mit dieser Methode nur Fremdwurzeln herausfiltern können, die durch die Erweiterung der ODZ entstehen, und die Eliminierung von Fremdwurzeln, die aus anderen Gründen entstehen könnten, z. B. durch Anheben beider Teile, nicht garantieren die Gleichung auf die gleiche gerade Potenz. Außerdem ist es nicht immer einfach, die ODZ für die zu lösende Gleichung zu finden. Dennoch sollte das Verfahren zum Aussieben von Fremdwurzeln durch ODZ in Betrieb gehalten werden, da seine Verwendung oft weniger Rechenaufwand erfordert als die Verwendung anderer Verfahren.

Das Sichten von Fremdwurzeln nach ODZ wird wie folgt durchgeführt: Alle gefundenen Wurzeln der Folgegleichung werden auf ihre Zugehörigkeit zum Bereich zulässiger Werte der Variablen für die ursprüngliche Gleichung oder eine dazu äquivalente Gleichung überprüft die zur ODZ gehören, sind die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung, und diejenigen von ihnen, die nicht zur ODZ gehören, sind fremde Wurzeln für die ursprüngliche Gleichung.

Eine Analyse der bereitgestellten Informationen führt zu dem Schluss, dass es ratsam ist, Fremdwurzeln gemäß ODZ auszusortieren, wenn gleichzeitig:

• es ist einfach, die ODZ für die ursprüngliche Gleichung zu finden,
• Fremdwurzeln konnten nur durch den Ausbau der ODZ entstehen,
• Die Substitutionsüberprüfung ist mit erheblichen Rechenschwierigkeiten verbunden.

Wir zeigen, wie das Jäten von Fremdwurzeln in der Praxis abläuft.

Unter den Bedingungen der ODZ

Wie wir im vorherigen Absatz gesagt haben, wenn Fremdwurzeln nur aufgrund der Erweiterung der ODZ entstehen könnten, können sie gemäß der ODZ für die ursprüngliche Gleichung herausgefiltert werden. Aber es ist nicht immer einfach, ODZ in Form eines Zahlensatzes zu finden. In solchen Fällen ist es möglich, Fremdwurzeln nicht nach der ODZ, sondern nach den Bedingungen, die die ODZ bestimmen, auszusortieren. Lassen Sie sich erklären, wie das Screening von Fremdwurzeln nach den Bedingungen der ODZ durchgeführt wird.

Die gefundenen Nullstellen werden ihrerseits in die Bedingungen eingesetzt, die die ODZ für die ursprüngliche Gleichung oder jede ihr äquivalente Gleichung bestimmen. Diejenigen von ihnen, die alle Bedingungen erfüllen, sind die Wurzeln der Gleichung. Und diejenigen von ihnen, die mindestens eine Bedingung nicht erfüllen oder einen Ausdruck geben, der keinen Sinn ergibt, sind irrelevante Wurzeln für die ursprüngliche Gleichung.

Lassen Sie uns ein Beispiel für das Aussieben von Fremdwurzeln gemäß den Bedingungen der ODZ geben.

Heraussieben von überflüssigen Wurzeln, die entstehen, wenn beide Seiten der Gleichung gleich potenziert werden

Es ist klar, dass das Aussortieren von überflüssigen Wurzeln, die durch Erhöhen beider Teile der Gleichung auf die gleiche gerade Potenz entstehen, durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung oder in jede ihr äquivalente Gleichung erfolgen kann. Eine solche Überprüfung kann jedoch mit erheblichen Rechenschwierigkeiten verbunden sein. In diesem Fall lohnt es sich, einen alternativen Weg zum Aussortieren fremder Wurzeln zu kennen, über den wir jetzt sprechen werden.

Herausfiltern fremder Wurzeln, die entstehen können, wenn beide Teile irrationaler Gleichungen der Form mit der gleichen geraden Potenz erhoben werden , wobei n eine gerade Zahl ist, gemäß der Bedingung g(x)≥0 durchgeführt werden. Dies folgt aus der Definition einer geraden Wurzel: Eine gerade Wurzel n ist eine nicht negative Zahl, deren n-te Potenz gleich der Wurzelzahl ist, woher . Der stimmhafte Ansatz ist also eine Art Symbiose aus der Methode, beide Gleichungsteile in gleichem Maße anzuheben, und der Methode, irrationale Gleichungen durch Wurzelbestimmung zu lösen. Das heißt, die Gleichung , wobei n eine gerade Zahl ist, wird gelöst, indem beide Teile der Gleichung auf die gleiche gerade Potenz erhoben werden, und das Aussieben von irrelevanten Wurzeln wird gemäß der Bedingung g(x)≥0 durchgeführt, die aus dem Verfahren zum Lösen irrationaler Gleichungen zur Bestimmung entnommen wurde der Ursprung.

Verlust von Nullstellen und Fremdwurzeln beim Lösen von Gleichungen

Absichtserklärung „Sekundarschule Nr. 2 mit Vertiefung einzelner Fächer“ der Stadt Vsevolozhsk. Die Forschungsarbeit wurde von einem Schüler der Klasse 11 B vorbereitet: Vasilyev Vasily. Projektleiterin: Egorova Lyudmila Alekseevna.

Gleichung Betrachten Sie zunächst verschiedene Möglichkeiten, diese Gleichung zu lösen: sinx+cosx =- 1

Lösung #1 sinx+cosx =-1 i Y x 0 1 sin(x+)=- 1 sin(x+)=- x+ =- +2 x+ = +2 + x=- +2 x= +2 Antwort: +2

Lösung Nr. 2 sinx + cosx \u003d - 1 i Antwort: +2 y x 0 1 2sin cos + - + + \u003d 0 sin cos + \u003d 0 cos (cos + sin) \u003d 0 cos \u003d 0 cos + sin \u003d 1 \u003d + m tg =-1 = + m =- + x=- +2 x= +2

Lösung #3 i y x 0 1 sinx+cosx =- 1 2 = x= x+ x sin2x=0 2x= x= Antwort:

sinx+cosx =-1 Lösung #4 i y x 0 1 + =- 1 2tg +1- =-1- 2tg =- 2 =- + n x= - + 2 n Antwort: - + 2 n

Wir vergleichen Lösungen Richtige Lösungen Lassen Sie uns herausfinden, in welchen Fällen Fremdwurzeln auftreten können und warum #2 Antwort: +2 #3 Antwort: #4 Antwort: + 2 n #1 Antwort: +2

Überprüfung der Lösung Muss ich eine Überprüfung durchführen? Überprüfen Sie die Wurzeln für alle Fälle auf Zuverlässigkeit? Das ist natürlich nützlich, wenn es leicht zu ersetzen ist, aber Mathematiker sind rationale Menschen und machen keine unnötigen Handlungen. Betrachten Sie verschiedene Fälle und denken Sie daran, wann eine Überprüfung wirklich erforderlich ist.

1. Die einfachsten vorgefertigten Formeln c osx =a x=a =a s inx =a t gx =a Bei der Verwendung solcher Formeln sollte man sich jedoch der Bedingungen bewusst sein, unter denen sie angewendet werden können. Beispielsweise kann die Formel = unter der Bedingung a 0, -4ac 0 verwendet werden. Und der gröbste Fehler ist die Antwort x= arccos2+2 für die Gleichung cosx =2, da die Formel x= arccos a +2 nur verwendet werden kann für die Wurzeln der Gleichung cosx = a, wobei | ein | ein

2. Transformationen Beim Lösen von Gleichungen müssen Sie oft viele Transformationen durchführen. Wenn die Gleichung durch eine neue ersetzt wird, die alle Wurzeln der vorherigen hat und so transformiert wird, dass kein Verlust oder Erwerb von Wurzeln auftritt, werden solche Gleichungen als äquivalent bezeichnet. 1. Beim Übertragen der Komponenten der Gleichung von einem Teil zum anderen. 2. Durch Hinzufügen der gleichen Nummer zu beiden Teilen. 3 . Beim Multiplizieren beider Seiten der Gleichung mit derselben Zahl ungleich Null. 4 . Beim Anwenden von Identitäten, die auf der Menge aller reellen Zahlen wahr sind. Eine Verifizierung ist in diesem Fall nicht erforderlich!

Allerdings kann nicht jede Gleichung durch äquivalente Transformationen gelöst werden. Häufiger ist es notwendig, ungleiche Transformationen anzuwenden. Oft basieren solche Transformationen auf der Verwendung von Formeln, die nicht für alle realen Werte gelten. Dabei ändert sich insbesondere der Definitionsbereich der Gleichung. Dieser Fehler ist in Lösung #4. Wir werden den Fehler analysieren, aber zuerst werden wir uns noch einmal die Lösung Nummer 4 ansehen. sinx+cosx=-1 + =-1 2tg +1- =-1- 2tg =-2 =- + n x = - + 2 n Der Fehler liegt in der Formel sin2x= Diese Formel kannst du verwenden, solltest aber zusätzlich prüfen ob es Wurzelzahlen der Form + sind, für die tg nicht definiert ist. Jetzt ist klar, dass es einen Wurzelverlust in der Lösung gibt. Bringen wir es zum Ende.

Lösung Nr. 4 i y x 0 1 Überprüfen Sie die Zahlen = + n durch Substitution: x= + 2 n sin(+ 2 n)+ cos (+ 2 n)=sin + cos =0+(-1)=- 1 Also x= +2 n ist die Wurzel der Gleichung Antwort: +2 sinx+cosx =-1 + =- 1 2tg +1- =-1- 2tg =- 2 =- + n x= - + 2 n

Wir haben eine der Möglichkeiten in Betracht gezogen, Wurzeln zu verlieren, es gibt sehr viele davon in der Mathematik, also müssen Sie sorgfältig entscheiden und sich an alle Regeln erinnern. Genauso wie Sie die Wurzeln einer Gleichung verlieren können, können Sie beim Lösen zusätzliche gewinnen. Betrachten wir Lösung Nr. 3, die einen solchen Fehler gemacht hat.

Lösung Nr. 3 i y x 0 1 2 2 und zusätzliche Wurzeln! Fremde Wurzeln könnten auftreten, wenn beide Seiten der Gleichung quadriert werden. In diesem Fall müssen Sie überprüfen. Für n=2k haben wir sin k+cos k=-1; cos k=-1 for k=2m-1 , Then n=2(2m+1)=4m+2 , x= = +2 m , Antwort: +2 Für n=2k+1 haben wir sin + cos =- 1 sin(+ k)+ cos (+ k)=- 1 cos k-sin k=- 1 cos k=-1 für k=2m+1 n=2(2m+1)+ 1=2m+3 x= ( 4m+3)= +2 m=- +2 sinx+cosx =- 1 = x= x+ x sin2x=0 2x= x=

Wir haben also ein paar mögliche Fälle betrachtet, von denen es sehr viele gibt. Versuchen Sie, Ihre Zeit nicht zu verschwenden und keine dummen Fehler zu machen.

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In der letzten Lektion haben wir beim Lösen von Gleichungen drei Stufen verwendet.

Die erste Stufe ist technisch. Mit Hilfe einer Kette von Transformationen aus der ursprünglichen Gleichung kommen wir zu einer ziemlich einfachen, die wir lösen und die Wurzeln finden.

Die zweite Stufe ist die Analyse der Lösung. Wir analysieren die von uns durchgeführten Transformationen und finden heraus, ob sie gleichwertig sind.

Die dritte Stufe ist die Verifizierung. Das Überprüfen aller gefundenen Wurzeln durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung ist obligatorisch, wenn Transformationen durchgeführt werden, die zu einer Folgegleichung führen können

Muss man beim Lösen einer Gleichung immer drei Stufen unterscheiden?

Natürlich nicht. Wie zum Beispiel beim Lösen dieser Gleichung. Im Alltag sind sie meist nicht isoliert. Aber all diese Phasen müssen „im Auge behalten“ und in der einen oder anderen Form durchgeführt werden. Achten Sie darauf, die Äquivalenz von Transformationen zu analysieren. Und wenn die Analyse ergab, dass eine Überprüfung erforderlich ist, ist dies erforderlich. Andernfalls kann die Gleichung nicht als korrekt gelöst betrachtet werden.

Ist es immer möglich, die Wurzeln einer Gleichung nur durch Substitution zu überprüfen?

Wenn beim Lösen der Gleichung äquivalente Transformationen verwendet wurden, ist keine Überprüfung erforderlich. Bei der Überprüfung der Wurzeln einer Gleichung wird sehr oft ODZ (Bereich akzeptabler Werte) verwendet.Wenn es schwierig ist, auf ODZ zu überprüfen, wird dies durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung durchgeführt.

Übung 1

Lösen Sie die Gleichung Quadratwurzel aus zwei x plus drei gleich eins plus x.

Entscheidung

Die ODZ-Gleichung wird durch ein System aus zwei Ungleichungen definiert: Zwei x plus drei ist größer oder gleich Null und eins plus x ist größer oder gleich Null. Die Lösung ist x größer oder gleich minus eins.

Wir quadrieren beide Seiten der Gleichung, übertragen die Terme von einer Seite der Gleichung auf die andere, addieren gleiche Terme, wir erhalten die quadratische Gleichung x zum Quadrat gleich zwei. Seine Wurzeln sind

x first, second gleich plus oder minus der Quadratwurzel von zwei.

Untersuchung

Der x-Wert des ersten ist gleich der Quadratwurzel aus zwei ist die Wurzel der Gleichung, da sie im DPV enthalten ist.
Der x-Wert des zweiten ist minus die Quadratwurzel aus zwei ist nicht die Wurzel der Gleichung, weil es ist nicht in der ODZ enthalten.
Lassen Sie uns überprüfen, ob die x-Wurzel gleich der Quadratwurzel von zwei ist, indem wir sie in die ursprüngliche Gleichheit einsetzen, erhalten wir

wahre Gleichheit, also ist x gleich der Quadratwurzel von zwei die Wurzel der Gleichung.

Antwort: Quadratwurzel aus zwei.

Aufgabe 2

Lösen Sie die Gleichung Quadratwurzel von x minus acht gleich fünf minus x.

Entscheidung

Die ODZ einer irrationalen Gleichung wird durch ein System von zwei Ungleichungen bestimmt: x minus acht ist größer oder gleich Null und fünf minus x ist größer oder gleich Null. Wenn wir es lösen, erhalten wir, dass dieses System keine Lösungen hat. Die Wurzel der Gleichung kann keiner der Werte der Variablen x sein.

Antwort: keine Wurzeln.

Aufgabe 3

Lösen Sie die Gleichung Quadratwurzel von x hoch drei plus vier x minus eins minus acht Quadratwurzeln von x hoch vier minus x gleich Quadratwurzel von x hoch drei minus eins plus zwei Quadratwurzeln von x.

Entscheidung

Das Auffinden der ODZ in dieser Gleichung ist ziemlich schwierig.

Lassen Sie uns Transformationen durchführen: Lassen Sie uns beide Seiten dieser Gleichung quadrieren,

wir übertragen alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und bringen gleiche Terme, schreiben zwei Wurzeln unter eine, erhalten gleiche Radikale, geben gleiche, dividieren durch einen Faktor von minus 12 und zerlegen den Wurzelausdruck in Faktoren, wir erhalten ein Gleichung in Form eines Produkts zweier Faktoren, die gleich Null sind. Wenn wir es lösen, finden wir die Wurzeln:

x der erste ist gleich eins, x der zweite ist gleich null.

Da wir beide Teile der Gleichung in eine gerade Potenz erhoben haben, ist die Überprüfung der Wurzeln obligatorisch.

Untersuchung

Wenn x gleich eins ist, dann

wir erhalten die richtige Gleichheit, was bedeutet, dass x gleich eins die Wurzel der Gleichung ist.

Wenn x null ist, dann ist die Quadratwurzel von minus eins undefiniert.

Daher ist x gleich Null eine Fremdwurzel.

Antwort: eins.

Aufgabe 4

Löse die Gleichung für den Logarithmus von x zum Quadrat plus fünf x plus zwei zur Basis zwei gleich drei.

Entscheidung

Finden wir die ODZ-Gleichung. Dazu lösen wir die Ungleichung x Quadrat plus fünf x plus zwei größer Null.

Wir lösen die Ungleichung mit der Methode der Intervalle. Dazu zerlegen wir seine linke Seite in Faktoren, nachdem wir zuvor die quadratische Gleichung gelöst haben, und bestimmen unter Berücksichtigung des Ungleichheitszeichens die ODZ. ODZ ist gleich der Vereinigung offener Strahlen von minus unendlich bis minus Bruch fünf plus die Quadratwurzel aus siebzehn dividiert durch zwei, und von minus Bruch fünf minus die Quadratwurzel aus siebzehn dividiert durch zwei bis plus unendlich.

Beginnen wir nun mit der Suche nach den Wurzeln der Gleichung. Da drei gleich dem Logarithmus von acht zur Basis von zwei ist, schreiben wir die Gleichung in der folgenden Form: Der Logarithmus des Ausdrucks x zum Quadrat plus fünf x plus zwei zur Basis zwei ist gleich dem Logarithmus von acht zur Basis von zwei Basis zwei. Wir potenzieren die Gleichung, wir erhalten und lösen die quadratische Gleichung.

Die Diskriminante ist neunundvierzig.

Wir berechnen die Wurzeln:

x zuerst gleich minus sechs; X Sekunde ist gleich eins.

Untersuchung

Minus sechs gehört zur ODZ, eins gehört zur ODZ, was bedeutet, dass beide Zahlen die Wurzeln der Gleichung sind.

Antwort: minus sechs; ein.

In der letzten Lektion haben wir uns mit dem Auftreten von Fremdwurzeln befasst. Wir können sie durch Überprüfung erkennen. Kann man beim Lösen einer Gleichung Wurzeln verlieren und wie kann man das verhindern?

Wenn Sie solche Aktionen an der Gleichung ausführen, wie erstens das Teilen beider Teile der Gleichung durch denselben Ausdruck ax von x (außer in den Fällen, in denen sicher bekannt ist, dass ax von x für kein x von x gleich Null ist Definitionsbereich der Gleichung) ;

Zweitens kann die Verengung der ODZ-Gleichung beim Lösen zum Verlust der Wurzeln der Gleichung führen.

Erinnern!

Die in das Formular geschriebene Gleichung

ef von x multipliziert mit Asche von x ist gleich zhe von x multipliziert mit Asche von x wird auf diese Weise gelöst:

es ist notwendig zu faktorisieren, indem der gemeinsame Faktor aus Klammern genommen wird;

dann wird jeder Faktor mit Null gleichgesetzt, wodurch zwei Gleichungen erhalten werden.

Wir berechnen ihre Wurzeln.

Übung 1

Lösen Sie die Gleichung x Würfel gleich x.

Erster Weg

Wir dividieren beide Seiten dieser Gleichung durch x, wir erhalten x zum Quadrat gleich eins, wobei die Wurzeln x zuerst gleich eins sind,

X Sekunde ist gleich minus eins.

Zweiter Weg

x Würfel ist gleich x. Verschieben wir x auf die linke Seite der Gleichung, nehmen wir x aus den Klammern heraus, erhalten wir: x mal x zum Quadrat, minus eins ist gleich null.

Lassen Sie uns seine Wurzeln berechnen:

X zuerst ist gleich null, x zweite ist gleich eins, x dritte ist gleich minus eins.

Die Gleichung hat drei Wurzeln.

Bei der ersten Lösung haben wir eine Wurzel verloren - x ist gleich Null.

Antwort: minus eins; Null; ein.

Erinnern! Das Verkleinern beider Seiten der Gleichung um einen Faktor, der die Unbekannte enthält, kann zum Verlust von Wurzeln führen.

Aufgabe 2

Lösen Sie die Gleichung Dezimallogarithmus von x zum Quadrat ist zwei.

Entscheidung

Erster Weg

Durch die Definition des Logarithmus erhalten wir die quadratische Gleichung x zum Quadrat gleich einhundert.

Seine Wurzeln: x zuerst gleich zehn; x Sekunde gleich minus zehn.

Zweiter Weg

Aufgrund der Eigenschaft des Logarithmus haben wir zwei Dezimallogarithmen x gleich zwei.

Seine Wurzel - x ist gleich zehn

Bei der zweiten Methode gab es einen Verlust der x-Wurzel gleich minus zehn. Und der Grund dafür ist, dass sie die falsche Formel angewendet haben, wodurch der Anwendungsbereich der Gleichung eingeengt wurde. Der Ausdruck dezimaler Logarithmus von x zum Quadrat ist für alle x außer x gleich Null definiert. Der Ausdruck Dezimallogarithmus x ist für x größer als Null. Die richtige Formel lautet Dezimallogarithmus x Quadrat ist gleich zwei Dezimallogarithmen modulo x.

Erinnern! Wenden Sie beim Lösen einer Gleichung die verfügbaren Formeln korrekt an.