Klassische und statistische Definition der Wahrscheinlichkeit

Für die praktische Tätigkeit ist es notwendig, Ereignisse nach dem Wahrscheinlichkeitsgrad ihres Eintretens vergleichen zu können. Betrachten wir den klassischen Fall. Eine Urne enthält 10 Kugeln, davon 8 weiße und 2 schwarze. Offensichtlich haben das Ereignis „aus der Urne wird eine weiße Kugel gezogen“ und das Ereignis „aus der Urne wird eine schwarze Kugel gezogen“ eine unterschiedliche Wahrscheinlichkeit ihres Eintretens. Um Ereignisse vergleichen zu können, ist daher ein bestimmtes quantitatives Maß erforderlich.

Ein quantitatives Maß für die Möglichkeit des Eintretens eines Ereignisses ist Wahrscheinlichkeit . Am weitesten verbreitet sind zwei Definitionen der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses: die klassische und die statistische.

Klassische Definition Wahrscheinlichkeit bezieht sich auf die Vorstellung eines günstigen Ergebnisses. Lassen Sie uns näher darauf eingehen.

Lassen Sie die Ergebnisse einiger Tests eine vollständige Gruppe von Ereignissen bilden und gleich wahrscheinlich sein, d.h. sind eindeutig möglich, widersprüchlich und gleichermaßen möglich. Solche Ergebnisse werden aufgerufen elementare Ergebnisse, oder Fälle. Es wird gesagt, dass der Test auf reduziert wird Falldiagramm oder " Urnenschema", da jedes probabilistische Problem für einen solchen Test kann durch ein äquivalentes Problem mit verschiedenfarbigen Urnen und Kugeln ersetzt werden.

Exodus heißt günstig Veranstaltung SONDERN wenn der Eintritt dieses Falls den Eintritt des Ereignisses nach sich zieht SONDERN.

Nach der klassischen Definition Ereigniswahrscheinlichkeit A ist gleich dem Verhältnis der Anzahl der Ergebnisse, die dieses Ereignis begünstigen, zur Gesamtzahl der Ergebnisse, d.h.

,

(1.1)

wo P(A)- die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses SONDERN; m- die Zahl der für das Ereignis günstigen Fälle SONDERN; n ist die Gesamtzahl der Fälle.

Beispiel 1.1. Beim Würfeln sind sechs Ergebnisse möglich - ein Verlust von 1, 2, 3, 4, 5, 6 Punkten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Punktzahl zu erhalten?

Entscheidung. Alles n= 6 Ausgänge bilden eine vollständige Gruppe von Ereignissen und sind gleich wahrscheinlich, d. h. sind eindeutig möglich, widersprüchlich und gleichermaßen möglich. Ereignis A – „das Erscheinen einer geraden Punktzahl“ – wird durch 3 Ergebnisse (Fälle) begünstigt – Verlust von 2, 4 oder 6 Punkten. Nach der klassischen Formel für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses erhalten wir

P(A) = = . ◄

Basierend auf der klassischen Definition der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses notieren wir seine Eigenschaften:

1. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses liegt zwischen null und eins, d.h.

0 ≤ R(SONDERN) ≤ 1.

2. Die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ereignis ist gleich eins.

3. Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist Null.

Wie bereits erwähnt, ist die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit nur auf solche Ereignisse anwendbar, die als Ergebnis von Versuchen auftreten können, die eine Symmetrie möglicher Ergebnisse aufweisen, d.h. auf das Fallschema reduzierbar. Es gibt jedoch eine große Klasse von Ereignissen, deren Wahrscheinlichkeiten nicht mit der klassischen Definition berechnet werden können.

Wenn wir beispielsweise davon ausgehen, dass die Münze plattgedrückt ist, dann ist es offensichtlich, dass die Ereignisse „Erscheinen eines Wappens“ und „Erscheinen von Schwänzen“ nicht als gleichermaßen möglich angesehen werden können. Daher ist die Formel zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit nach dem klassischen Schema in diesem Fall nicht anwendbar.

Es gibt jedoch einen anderen Ansatz zur Bewertung der Wahrscheinlichkeit von Ereignissen, basierend darauf, wie oft ein bestimmtes Ereignis in den durchgeführten Tests auftritt. In diesem Fall wird die statistische Definition der Wahrscheinlichkeit verwendet.

Statistische WahrscheinlichkeitEreignis A ist die relative Häufigkeit (Häufigkeit) des Auftretens dieses Ereignisses in n durchgeführten Tests, d. h.

,

(1.2)

wo R * (A) ist die statistische Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses SONDERN; w(A) ist die relative Häufigkeit des Ereignisses SONDERN; m ist die Anzahl der Versuche, in denen das Ereignis aufgetreten ist SONDERN; n ist die Gesamtzahl der Versuche.

Im Gegensatz zur mathematischen Wahrscheinlichkeit P(A) betrachtet in der klassischen Definition die statistische Wahrscheinlichkeit R * (A) ist eine Eigenschaft erfahren, Experimental-. Mit anderen Worten, die statistische Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses SONDERN die Nummer wird angerufen, relativ zu der die relative Häufigkeit stabilisiert (festgelegt) ist w(A) mit einer unbegrenzten Erhöhung der Anzahl von Tests, die unter den gleichen Bedingungen durchgeführt werden.

Wenn zum Beispiel über einen Schützen gesagt wird, dass er ein Ziel mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,95 trifft, bedeutet dies, dass von hundert von ihm abgegebenen Schüssen unter bestimmten Bedingungen (dasselbe Ziel in derselben Entfernung, dasselbe Gewehr usw. ), im Durchschnitt gibt es etwa 95 erfolgreiche. Natürlich haben nicht alle hundert 95 erfolgreiche Schüsse, manchmal weniger, manchmal mehr, aber im Durchschnitt bleibt dieser Prozentsatz der Treffer bei wiederholter Wiederholung des Schießens unter denselben Bedingungen unverändert. Die Zahl 0,95, die als Indikator für die Geschicklichkeit des Schützen dient, ist meist sehr hoch stabil, d.h. Der Prozentsatz der Treffer bei den meisten Schüssen ist für einen bestimmten Schützen nahezu gleich und weicht nur in seltenen Fällen erheblich von seinem Durchschnittswert ab.

Ein weiterer Nachteil der klassischen Wahrscheinlichkeitsdefinition ( 1.1 ), was seine Anwendung einschränkt, da er von einer endlichen Anzahl möglicher Testergebnisse ausgeht. In einigen Fällen kann dieser Mangel durch die Verwendung der geometrischen Definition der Wahrscheinlichkeit behoben werden, d.h. Ermitteln der Wahrscheinlichkeit, einen Punkt in einem bestimmten Bereich (Segment, Teil einer Ebene usw.) zu treffen.

Lassen Sie eine flache Figur g bildet einen Teil einer flachen Figur G(Abb. 1.1). Auf der Figur G ein Punkt wird zufällig geworfen. Das bedeutet, dass alle Punkte im Bereich G"gleich" in Bezug auf das Treffen mit einem zufällig geworfenen Punkt. Angenommen, die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses SONDERN- einen Wurfpunkt einer Figur treffen g- proportional zur Fläche dieser Figur und hängt nicht von ihrer relativen Position ab G, weder aus dem Formular g, finden

Wahrscheinlichkeit Ereignis ist das Verhältnis der Anzahl elementarer Ausgänge, die ein gegebenes Ereignis begünstigen, zur Anzahl aller gleich möglichen Erfahrungsausgänge, in denen dieses Ereignis eintreten kann. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A wird mit P(A) bezeichnet (hier ist P der Anfangsbuchstabe des französischen Wortes probabilite - Wahrscheinlichkeit). Laut Definition
(1.2.1)
wo ist die Anzahl der elementaren Ergebnisse zugunsten von Ereignis A; - die Anzahl aller gleichermaßen möglichen elementaren Erlebnisausgänge, die eine vollständige Gruppe von Ereignissen bilden.
Diese Definition der Wahrscheinlichkeit wird als klassisch bezeichnet. Es entstand in der Anfangsphase der Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses hat folgende Eigenschaften:
1. Die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ereignis ist gleich eins. Lassen Sie uns ein bestimmtes Ereignis mit dem Buchstaben bezeichnen. Für ein bestimmtes Ereignis also
(1.2.2)
2. Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist Null. Das unmögliche Ereignis bezeichnen wir mit dem Buchstaben . Für ein unmögliches Ereignis also
(1.2.3)
3. Die Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses wird als positive Zahl kleiner als eins ausgedrückt. Da die Ungleichungen , oder für ein zufälliges Ereignis erfüllt sind, dann
(1.2.4)
4. Die Wahrscheinlichkeit jedes Ereignisses erfüllt die Ungleichungen
(1.2.5)
Dies folgt aus den Beziehungen (1.2.2) -(1.2.4).

Beispiel 1 Eine Urne enthält 10 gleich große und gleich schwere Kugeln, davon 4 rote und 6 blaue. Aus der Urne wird eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die gezogene Kugel blau ist?

Entscheidung. Das Ereignis „die gezogene Kugel hat sich als blau herausgestellt“ wird mit dem Buchstaben A bezeichnet. Dieser Test hat 10 gleichermaßen mögliche Elementarausgänge, von denen 6 für das Ereignis A sprechen. Gemäß Formel (1.2.1) erhalten wir

Beispiel 2 Alle natürlichen Zahlen von 1 bis 30 werden auf identische Karten geschrieben und in eine Urne gelegt. Nach gründlichem Mischen der Karten wird eine Karte aus der Urne entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl auf der gezogenen Karte ein Vielfaches von 5 ist?

Entscheidung. Bezeichnen Sie mit A das Ereignis "die Zahl auf der gezogenen Karte ist ein Vielfaches von 5". Bei diesem Test gibt es 30 gleichermaßen mögliche Elementarergebnisse, von denen 6 Ergebnisse für Ereignis A sprechen (Zahlen 5, 10, 15, 20, 25, 30). Somit,

Beispiel 3 Es werden zwei Würfel geworfen, die Summe der Punkte auf den oberen Seiten wird berechnet. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis B, das darin besteht, dass die Oberseiten der Würfel insgesamt 9 Punkte haben.

Entscheidung. Es gibt 6 2 = 36 gleichermaßen mögliche elementare Ergebnisse in dieser Studie. Ereignis B wird durch 4 Ergebnisse begünstigt: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), also

Beispiel 4. Zufällig wird eine natürliche Zahl bis 10 gewählt, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl eine Primzahl ist?

Entscheidung. Bezeichnen Sie mit dem Buchstaben C das Ereignis "die gewählte Zahl ist eine Primzahl". In diesem Fall ist n = 10, m = 4 (Primzahlen 2, 3, 5, 7). Daher die gewünschte Wahrscheinlichkeit

Beispiel 5 Es werden zwei symmetrische Münzen geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Münzen oben Ziffern haben?

Entscheidung. Lassen Sie uns mit dem Buchstaben D das Ereignis „auf der Oberseite jeder Münze war eine Zahl“ bezeichnen. Bei diesem Test gibt es 4 gleichermaßen mögliche Elementarergebnisse: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Die Notation (G, C) bedeutet, dass auf der ersten Münze ein Wappen steht, auf der zweiten - eine Zahl). Ereignis D wird durch ein elementares Ergebnis begünstigt (C, C). Da m = 1 ist, ist n = 4

Beispiel 6 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Ziffern einer zufällig gewählten zweistelligen Zahl gleich sind?

Entscheidung. Zweistellige Zahlen sind Zahlen von 10 bis 99; insgesamt gibt es 90 solcher Zahlen, 9 Zahlen haben die gleichen Ziffern (das sind die Zahlen 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Da in diesem Fall m = 9, dann n = 90
,
wobei A das Ereignis "Zahl mit denselben Ziffern" ist.

Beispiel 7 Aus den Buchstaben des Wortes Differential Ein Buchstabe wird zufällig ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Buchstabe a) ein Vokal b) ein Konsonant c) ein Buchstabe ist h?

Entscheidung. Das Wort Differential besteht aus 12 Buchstaben, davon sind 5 Vokale und 7 Konsonanten. Briefe h dieses Wort nicht. Lassen Sie uns die Ereignisse bezeichnen: A - "Vokal", B - "Konsonant", C - "Buchstabe h". Die Anzahl der günstigen Elementarergebnisse: - für Ereignis A, - für Ereignis B, - für Ereignis C. Seit n \u003d 12 also
, und .

Beispiel 8 Zwei Würfel werden geworfen, die Anzahl der Punkte auf der Oberseite jedes Würfels wird notiert. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beide Würfel die gleiche Augenzahl haben.

Entscheidung. Lassen Sie uns dieses Ereignis mit dem Buchstaben A bezeichnen. Ereignis A wird durch 6 elementare Ergebnisse begünstigt: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), ( 6;6). Insgesamt gibt es gleichermaßen mögliche Elementarergebnisse, die eine vollständige Gruppe von Ereignissen bilden, in diesem Fall n=6 2 =36. Also die gesuchte Wahrscheinlichkeit

Beispiel 9 Das Buch hat 300 Seiten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig geöffnete Seite eine Sequenznummer hat, die ein Vielfaches von 5 ist?

Entscheidung. Aus den Bedingungen des Problems folgt, dass es n = 300 aller gleich möglichen Elementarausgänge geben wird, die eine vollständige Gruppe von Ereignissen bilden, von denen m = 60 für das Eintreten des angegebenen Ereignisses sprechen. Tatsächlich hat eine Zahl, die ein Vielfaches von 5 ist, die Form 5k, wobei k eine natürliche Zahl ist, und , woher . Somit,
, wobei A - das "page"-Ereignis eine Sequenznummer hat, die ein Vielfaches von 5 ist".

Beispiel 10. Es werden zwei Würfel geworfen, die Summe der Punkte auf den oberen Seiten wird berechnet. Was ist wahrscheinlicher, insgesamt 7 oder 8 zu bekommen?

Entscheidung. Benennen wir die Ereignisse: A - "7 Punkte fielen aus", B - "8 Punkte fielen aus". Ereignis A wird von 6 elementaren Ergebnissen begünstigt: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1) und Ereignis B - durch 5 Ergebnisse: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Von allen gleich möglichen Elementarausgängen gibt es n = 6 2 = 36. Also und .

Also, P(A)>P(B), d. h. das Erhalten von insgesamt 7 Punkten ist ein wahrscheinlicheres Ereignis als das Erhalten von insgesamt 8 Punkten.

Aufgaben

1. Zufällig wird eine natürliche Zahl bis 30 gewählt, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl ein Vielfaches von 3 ist?
2. In der Urne a Rot und b blaue Kugeln gleicher Größe und gleichen Gewichts. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gezogene Kugel aus dieser Urne blau ist?
3. Es wird zufällig eine Zahl ausgewählt, die nicht größer als 30 ist.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl ein Teiler von zo ist?
4. In der Urne a blau und b rote Kugeln gleicher Größe und gleichen Gewichts. Aus dieser Urne wird eine Kugel gezogen und beiseite gelegt. Dieser Ball ist rot. Dann wird eine weitere Kugel aus der Urne gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Kugel auch rot ist.
5. Zufällig wird eine natürliche Zahl bis 50 gewählt, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl eine Primzahl ist?
6. Drei Würfel werden geworfen, die Summe der Punkte auf den oberen Seiten wird berechnet. Was ist wahrscheinlicher - insgesamt 9 oder 10 Punkte zu bekommen?
7. Drei Würfel werden geworfen, die Summe der gewürfelten Punkte wird berechnet. Was ist wahrscheinlicher, insgesamt 11 (Event A) oder 12 Punkte (Event B) zu bekommen?

Antworten

1. 1/3. 2 . b/(a+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(a+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 \u003d 25/216 - die Wahrscheinlichkeit, insgesamt 9 Punkte zu erhalten; p 2 \u003d 27/216 - die Wahrscheinlichkeit, insgesamt 10 Punkte zu erhalten; p2 > p1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Fragen

1. Was nennt man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses?
2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ereignis?
3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses?
4. Was sind die Grenzen der Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses?
5. Was sind die Grenzen der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses?
6. Welche Definition von Wahrscheinlichkeit wird als klassisch bezeichnet?

Unter der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses wird ein numerisches Merkmal der Möglichkeit des Eintretens dieses Ereignisses verstanden. Es gibt mehrere Ansätze zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit.

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses SONDERN ist das Verhältnis der Anzahl der für dieses Ereignis günstigen Ergebnisse zur Gesamtzahl aller gleich möglichen unvereinbaren Elementarergebnisse, die eine vollständige Gruppe bilden. Also die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses SONDERN wird durch die Formel bestimmt

wo m ist die Anzahl der elementaren Ergebnisse, die begünstigen SONDERN, n- die Anzahl aller möglichen elementaren Ergebnisse des Tests.

Beispiel 3.1. Beim Würfelexperiment die Anzahl aller Ergebnisse n ist 6 und sie sind alle gleichermaßen möglich. Lassen Sie die Veranstaltung SONDERN bedeutet das Auftreten einer geraden Zahl. Dann sind für dieses Ereignis günstige Ergebnisse das Erscheinen der Nummern 2, 4, 6. Ihre Nummer ist 3. Daher die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses SONDERN entspricht

Beispiel 3.2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Ziffern einer zufällig gewählten zweistelligen Zahl gleich sind?

Zweistellige Zahlen sind Zahlen von 10 bis 99, insgesamt gibt es 90 solcher Zahlen, 9 Zahlen haben die gleichen Zahlen (das sind die Zahlen 11, 22, ..., 99). Denn in diesem Fall m=9, n=90 also

wo SONDERN- Ereignis, "eine Nummer mit denselben Ziffern."

Beispiel 3.3. Es gibt 7 Standardteile in einer Menge von 10 Teilen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter sechs zufällig ausgewählten Teilen 4 Standardteile befinden.

Die Gesamtzahl der möglichen elementaren Ergebnisse des Tests ist gleich der Anzahl der Möglichkeiten, wie 6 Teile aus 10 extrahiert werden können, d. h. der Anzahl der Kombinationen von 10 Elementen aus 6 Elementen. Bestimmen Sie die Anzahl der Ergebnisse, die das für uns interessante Ereignis begünstigen SONDERN(unter den sechs genommenen Teilen sind 4 Standard). Vier Normteile können in gewisser Weise aus sieben Normteilen entnommen werden; gleichzeitig müssen die verbleibenden 6-4=2 Teile Nicht-Standard sein, aber Sie können zwei Nicht-Standard-Teile von 10-7=3 Nicht-Standard-Teilen auf unterschiedliche Weise nehmen. Daher ist die Anzahl der günstigen Ergebnisse .

Dann ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit gleich

Aus der Definition der Wahrscheinlichkeit folgen folgende Eigenschaften:

1. Die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ereignis ist gleich eins.

Wenn das Ereignis zuverlässig ist, spricht tatsächlich jedes elementare Ergebnis des Tests für das Ereignis. In diesem Fall also m=n

2. Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist Null.

In der Tat, wenn das Ereignis unmöglich ist, spricht keines der elementaren Ergebnisse des Prozesses für das Ereignis. In diesem Fall bedeutet es

3. Die Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses ist eine positive Zahl zwischen null und eins.

Tatsächlich spricht nur ein Teil der Gesamtzahl der elementaren Ergebnisse des Tests für ein zufälliges Ereignis. In diesem Fall< m< n, bedeutet 0 < m/n < 1, also 0< P(A) < 1. Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

Der Aufbau einer logisch vollständigen Wahrscheinlichkeitstheorie basiert auf der axiomatischen Definition eines Zufallsereignisses und seiner Wahrscheinlichkeit. In dem von A. N. Kolmogorov vorgeschlagenen Axiomensystem sind undefinierte Konzepte ein elementares Ereignis und eine Wahrscheinlichkeit. Hier sind die Axiome, die die Wahrscheinlichkeit definieren:

1. Jedes Ereignis SONDERN eine nicht negative reelle Zahl zugewiesen P(A). Diese Zahl wird die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses genannt. SONDERN.

2. Die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ereignis ist gleich eins.

3. Die Eintrittswahrscheinlichkeit mindestens eines der paarweise inkompatiblen Ereignisse ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse.

Basierend auf diesen Axiomen werden die Eigenschaften von Wahrscheinlichkeiten und die Beziehungen zwischen ihnen als Theoreme hergeleitet.

Fragen zur Selbstprüfung

1. Wie heißt das numerische Merkmal der Möglichkeit eines Ereignisses?

2. Wie nennt man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses?

3. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ereignis?

4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses?

5. Was sind die Grenzen der Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses?

6. Was sind die Grenzen der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses?

7. Welche Definition von Wahrscheinlichkeit wird als klassisch bezeichnet?

STÄDTISCHE BILDUNGSEINRICHTUNG

GYMNASIUM Nr. 6

zum Thema "Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit".

Abgeschlossen von einem Schüler der 8. B-Klasse

Klimantova Alexandra.

Mathematiklehrerin: Videnkina V. A.

Woronesch, 2008

Viele Spiele verwenden einen Würfel. Der Würfel hat 6 Seiten, auf jeder Seite ist eine andere Anzahl von Punkten markiert - von 1 bis 6. Der Spieler wirft den Würfel und schaut, wie viele Punkte auf der abgelegten Seite (auf der Seite, die sich oben befindet) sind. Sehr oft werden die Punkte am Rand des Würfels durch die entsprechende Zahl ersetzt und sprechen dann von einem Wurf von 1, 2 oder 6. Das Werfen eines Würfels kann als Erfahrung, als Experiment, als Test und als Ergebnis angesehen werden ist das Ergebnis eines Tests oder eines elementaren Ereignisses. Menschen sind daran interessiert, den Beginn eines Ereignisses zu erraten und seinen Ausgang vorherzusagen. Welche Vorhersagen können sie treffen, wenn ein Würfel geworfen wird? Zum Beispiel diese:

1. Ereignis A - die Nummer 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 fällt aus;
2. Ereignis B - die Nummer 7, 8 oder 9 fällt aus;
3. Ereignis C - die Zahl 1 fällt heraus.

Das im ersten Fall vorhergesagte Ereignis A wird definitiv eintreten. Im Allgemeinen wird ein Ereignis genannt, das in einer bestimmten Erfahrung mit Sicherheit eintritt bestimmtes Ereignis.

Das im zweiten Fall vorhergesagte Ereignis B wird niemals eintreten, es ist einfach unmöglich. Im Allgemeinen wird ein Ereignis aufgerufen, das in einem bestimmten Experiment nicht auftreten kann unmögliches Ereignis.

Wird das im dritten Fall vorhergesagte Ereignis C eintreten oder nicht? Wir können diese Frage nicht mit absoluter Sicherheit beantworten, da 1 herausfallen kann oder nicht. Ein Ereignis, das in einer bestimmten Erfahrung eintreten kann oder nicht, wird als bezeichnet Zufälliges Ereignis.

Wenn wir an den Beginn eines bestimmten Ereignisses denken, werden wir das Wort „wahrscheinlich“ höchstwahrscheinlich nicht verwenden. Wenn heute beispielsweise Mittwoch ist, dann ist morgen Donnerstag, ist dies ein bestimmtes Ereignis. Am Mittwoch sagen wir nicht: „Morgen ist wahrscheinlich Donnerstag“, wir sagen kurz und deutlich: „Morgen ist Donnerstag.“ Richtig, wenn wir zu schönen Phrasen neigen, können wir Folgendes sagen: "Mit hundertprozentiger Wahrscheinlichkeit sage ich, dass morgen Donnerstag ist." Im Gegenteil, wenn heute Mittwoch ist, dann ist das kommende Morgen Freitag – ein unmögliches Ereignis. Wenn wir dieses Ereignis am Mittwoch bewerten, können wir Folgendes sagen: "Ich bin sicher, dass morgen nicht Freitag ist." Oder so: „Unglaublich, dass morgen Freitag ist.“ Nun, wenn wir zu schönen Phrasen neigen, dann können wir sagen: „Die Wahrscheinlichkeit, dass morgen Freitag ist, ist null.“ Ein bestimmtes Ereignis ist also ein Ereignis, das unter bestimmten Bedingungen eintritt. mit 100%iger Sicherheit(d. h. in 10 von 10 Fällen, in 100 von 100 Fällen usw.). Ein unmögliches Ereignis ist ein Ereignis, das unter gegebenen Bedingungen nie eintritt, ein Ereignis mit null wahrscheinlichkeit.

Aber leider (und vielleicht zum Glück) ist nicht alles im Leben so klar und deutlich: Es wird immer so sein (bestimmtes Ereignis), dies wird niemals eintreten (unmögliches Ereignis). Meistens sind wir mit zufälligen Ereignissen konfrontiert, von denen einige wahrscheinlicher sind, andere weniger wahrscheinlich. Normalerweise verwenden die Leute die Worte „eher wahrscheinlich“ oder „weniger wahrscheinlich“, wie sie sagen, aus einer Laune heraus und verlassen sich dabei auf den sogenannten gesunden Menschenverstand. Aber sehr oft erweisen sich solche Schätzungen als unzureichend, da es wichtig ist, es zu wissen wie viel Prozent wahrscheinlich ein zufälliges Ereignis oder wie oft ein zufälliges Ereignis ist wahrscheinlicher als ein anderes. Mit anderen Worten, wir brauchen genau quantitativ Eigenschaften, müssen Sie in der Lage sein, die Wahrscheinlichkeit durch eine Zahl zu charakterisieren.

Erste Schritte in diese Richtung haben wir bereits unternommen. Wir sagten, dass die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines bestimmten Ereignisses charakterisiert wird als einhundert Prozent, und die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines unmöglichen Ereignisses als Null. Da 100 % gleich 1 ist, haben sich die Menschen auf Folgendes geeinigt:

1. die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses wird als gleich angesehen 1;
2. die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses wird als gleich angesehen 0.

Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses? Schließlich ist es passiert zufällig, was bedeutet, dass es keinen Gesetzen, Algorithmen, Formeln gehorcht. Es stellt sich heraus, dass in der Welt des Zufalls bestimmte Gesetze gelten, die es Ihnen ermöglichen, Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Dies ist der Zweig der Mathematik, der heißt Wahrscheinlichkeitstheorie.

Mathematik befasst sich mit Modell irgendein Phänomen der Realität um uns herum. Von allen in der Wahrscheinlichkeitstheorie verwendeten Modellen beschränken wir uns auf die einfachsten.

Klassisches probabilistisches Schema

Um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A während eines Experiments zu finden, sollte man:

1) Finden Sie die Anzahl N aller möglichen Ergebnisse dieses Experiments;

2) die Annahme akzeptieren, dass all diese Ergebnisse gleich wahrscheinlich (gleich möglich) sind;

3) Finden Sie die Anzahl N(A) jener Ergebnisse der Erfahrung, in denen das Ereignis A auftritt;

4) Privat finden ; sie ist gleich der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A.

Es ist üblich, die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A mit P(A) zu bezeichnen. Die Erklärung für diese Bezeichnung ist ganz einfach: Das Wort „Wahrscheinlichkeit“ steht im Französischen Wahrscheinlichkeit, auf Englisch- Wahrscheinlichkeit.Die Bezeichnung verwendet den Anfangsbuchstaben des Wortes.

Unter Verwendung dieser Notation kann die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A nach dem klassischen Schema mit der Formel gefunden werden

P(A)=.

Oft werden alle Punkte des gegebenen klassischen Wahrscheinlichkeitsschemas in einem ziemlich langen Satz ausgedrückt.

Die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A während eines bestimmten Tests ist das Verhältnis der Anzahl der Ausgänge, in deren Folge das Ereignis A eintritt, zur Gesamtzahl aller gleich möglichen Ausgänge dieses Tests.

Beispiel 1. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Würfelwurf: a) 4; b) 5; c) eine gerade Punktzahl; d) die Anzahl der Punkte größer als 4; e) Punktzahl kein Vielfaches von drei.

Entscheidung. Insgesamt gibt es N=6 mögliche Ergebnisse: das Fallenlassen einer Seite eines Würfels mit einer Anzahl von Punkten gleich 1, 2, 3, 4, 5 oder 6. Wir glauben, dass keines von ihnen irgendwelche Vorteile gegenüber den anderen hat, d.h. wir akzeptieren die Annahme der Ähnlichkeit dieser Ergebnisse.

a) Genau in einem der Ergebnisse tritt das für uns A interessante Ereignis ein - der Verlust der Nummer 4. Daher N (A) \u003d 1 und

P(EIN)= =.

b) Die Lösung und die Antwort sind die gleichen wie im vorherigen Absatz.

c) Das uns interessierende Ereignis B tritt genau in drei Fällen ein, wenn die Punktzahl 2, 4 oder 6 ist.

N(B)=3 undP(B)==.

d) Das uns interessierende Ereignis C tritt genau in zwei Fällen ein, wenn die Punktzahl 5 oder 6 ist. Also

N(C) =2 und P(C)=.

e) Von den sechs möglichen gezogenen Zahlen sind vier (1, 2, 4 und 5) keine Vielfachen von drei, und die restlichen zwei (3 und 6) sind durch drei teilbar. Das bedeutet, dass das uns interessierende Ereignis genau in vier von sechs möglichen und untereinander gleich wahrscheinlichen und untereinander gleich wahrscheinlichen Ausgängen des Erlebnisses eintritt. Die Antwort lautet also.

Antwort: a); b) ; in) ; G) ; e).

Ein echter Spielwürfel kann sich durchaus von einem idealen (Modell-)Würfel unterscheiden, daher ist zur Beschreibung seines Verhaltens ein genaueres und detaillierteres Modell erforderlich, das die Vorteile einer Seite gegenüber einer anderen, das mögliche Vorhandensein von Magneten usw. berücksichtigt. Aber „der Teufel steckt im Detail“, und mehr Genauigkeit führt tendenziell zu mehr Komplexität, und das Erhalten einer Antwort wird zu einem Problem. Wir beschränken uns auf die Betrachtung des einfachsten probabilistischen Modells, bei dem alle möglichen Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind.

Bemerkung 1. Betrachten wir ein anderes Beispiel. Es wurde die Frage gestellt: "Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, bei einem Würfelwurf eine Drei zu bekommen?" Der Student antwortete so: "Die Wahrscheinlichkeit beträgt 0,5." Und er erklärte seine Antwort: „Die drei werden entweder herausfallen oder nicht. Das bedeutet, dass es insgesamt zwei Ausgänge gibt und in genau einem Ereignis das für uns interessante Ereignis eintritt. Nach dem klassischen Wahrscheinlichkeitsschema erhalten wir die Antwort 0,5. Gibt es einen Fehler in dieser Argumentation? Auf den ersten Blick nein. Es ist jedoch immer noch da, und zwar in einem grundlegenden Moment. Ja, in der Tat, das Tripel fällt entweder heraus oder nicht, das heißt, bei einer solchen Definition des Ergebnisses des Wurfs ist N = 2. Es gilt auch N(A)=1 und natürlich gilt =0,5, d.h. es werden drei Punkte des Wahrscheinlichkeitsschemas berücksichtigt, aber die Erfüllung von Punkt 2) ist zweifelhaft. Natürlich haben wir rein rechtlich gesehen das Recht zu glauben, dass der Verlust eines Triples ebenso wahrscheinlich scheitern wird. Aber können wir so denken, ohne unsere eigenen natürlichen Annahmen über die "Gleichheit" der Gesichter zu verletzen? Natürlich nicht! Hier haben wir es mit der korrekten Argumentation innerhalb eines Modells zu tun. Nur dieses Modell selbst ist „falsch“, entspricht nicht dem realen Phänomen.

Bemerkung 2. Verlieren Sie bei der Erörterung der Wahrscheinlichkeit den folgenden wichtigen Umstand nicht aus den Augen. Wenn wir sagen, dass beim Werfen eines Würfels die Wahrscheinlichkeit, einen Punkt zu erhalten, gleich ist, bedeutet dies keineswegs, dass Sie bei 6-maligem Würfeln genau einmal einen Punkt erhalten, bei 12-maligem Würfeln hingegen schon genau zweimal einen Punkt würfeln, 18 Mal würfeln, genau dreimal einen Punkt bekommen usw. Das Wort ist wahrscheinlich spekulativ. Wir gehen davon aus, dass dies wahrscheinlich der Fall sein wird. Wenn wir 600 Mal würfeln, wird ein Punkt wahrscheinlich 100 Mal oder ungefähr 100 Mal erscheinen.

Die Wahrscheinlichkeitstheorie entstand im 17. Jahrhundert bei der Analyse verschiedener Glücksspiele. Es ist daher nicht verwunderlich, dass die ersten Beispiele spielerischer Natur sind. Lassen Sie uns von den Würfelbeispielen zum zufälligen Ziehen von Spielkarten aus dem Stapel übergehen.

Beispiel 2. Aus einem Deck mit 36 ​​Karten werden gleichzeitig 3 Karten zufällig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass keine Pik-Dame darunter ist?

Entscheidung. Wir haben eine Menge von 36 Elementen. Wir wählen drei Elemente aus, deren Reihenfolge nicht wichtig ist. Daher ist es möglich, N=C-Ergebnisse zu erhalten. Wir gehen nach dem klassischen Wahrscheinlichkeitsschema vor, d. h. wir gehen davon aus, dass alle diese Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind.

Es bleibt die erforderliche Wahrscheinlichkeit nach der klassischen Definition zu berechnen:

Und wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den ausgewählten drei Karten eine Pik-Dame befindet? Die Anzahl all dieser Ergebnisse ist nicht schwer zu berechnen, Sie müssen nur alle Ergebnisse N von allen Ergebnissen subtrahieren, bei denen es keine Pik-Dame gibt, d.h. die in Beispiel 3 gefundene Zahl N(A) subtrahieren. Dann sollte diese Differenz N - N (A) gemäß dem klassischen Wahrscheinlichkeitsschema durch N geteilt werden. Das ist, was wir bekommen:

Wir sehen, dass es eine gewisse Beziehung zwischen den Wahrscheinlichkeiten der beiden Ereignisse gibt. Wenn Ereignis A in der Abwesenheit der Pik-Dame besteht und Ereignis B in ihrer Anwesenheit unter den ausgewählten drei Karten besteht, dann

P (B) \u003d 1 - P (A),

P(A)+P(B)=1.

Leider gibt es in der Gleichheit P(A)+P(B)=1 keine Information über die Beziehung zwischen den Ereignissen A und B; Diesen Zusammenhang müssen wir im Auge behalten. Bequemer wäre es, dem Ereignis B vorab einen Namen und eine Bezeichnung zu geben, die den Zusammenhang mit A deutlich machen.

Bestimmung 1. Ereignis B namens Gegenteil von Ereignis A und bezeichne B=Ā, wenn Ereignis B genau dann eintritt, wenn Ereignis A nicht eintritt.

TSatz 1. Um die Wahrscheinlichkeit des gegenteiligen Ereignisses zu finden, subtrahieren Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses selbst von Eins: Р(Ā)= 1 – Р(А). Tatsächlich,

In der Praxis berechnen sie, was leichter zu finden ist: entweder P(A) oder P(Ā). Danach verwenden sie die Formel aus dem Satz und finden jeweils entweder P(À)= 1-P(A) oder P(A)= 1-P(À).

Häufig wird die Methode zur Lösung eines bestimmten Problems durch "Aufzählung von Fällen" verwendet, wenn die Bedingungen des Problems in sich gegenseitig ausschließende Fälle unterteilt werden, von denen jeder separat betrachtet wird. Zum Beispiel: „Wenn du nach rechts gehst, verlierst du dein Pferd, wenn du geradeaus gehst, löst du ein Problem, wenn du nach links gehst …“. Oder betrachten Sie beim Zeichnen der Funktion y=│x+1│—│2x—5│ die Fälle von x

Beispiel 3. Von den 50 Punkten sind 17 blau schattiert und 13 orange. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Punkt schattiert wird.

Entscheidung. Insgesamt sind 30 Punkte von 50 schattiert, daher ist die Wahrscheinlichkeit = 0,6.

Antwort: 0,6.

Schauen wir uns dieses einfache Beispiel jedoch etwas genauer an. Es sei Ereignis A, dass der ausgewählte Punkt blau ist, und Ereignis B, dass der ausgewählte Punkt orange ist. Per Konvention können die Ereignisse A und B nicht gleichzeitig stattfinden.

Wir bezeichnen die für uns interessante Veranstaltung mit dem Buchstaben C. Ereignis C tritt genau dann ein, wenn es eintritt mindestens eines der Ereignisse A oder B. Es ist klar, dass N(C)= N(A)+N(B).

Teilen wir beide Seiten dieser Gleichheit durch N, die Anzahl aller möglichen Ergebnisse des gegebenen Experiments; wir bekommen

Wir haben eine wichtige und häufig vorkommende Situation anhand eines einfachen Beispiels analysiert. Für sie gibt es einen besonderen Namen.

Bestimmung 2. Die Ereignisse A und B werden aufgerufen unvereinbar wenn sie nicht gleichzeitig auftreten können.

Satz 2. Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens mindestens eines von zwei unvereinbaren Ereignissen ist gleich der Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten.

Bei der Übersetzung dieses Theorems in die mathematische Sprache wird es notwendig, ein Ereignis, das aus dem Eintreten mindestens eines der beiden gegebenen Ereignisse A und B besteht, irgendwie zu benennen und zu bezeichnen. Ein solches Ereignis wird als Summe der Ereignisse A und B bezeichnet und mit bezeichnet A+B.

Wenn A und B nicht kompatibel sind, dann ist P(A+B)= P(A)+P(B).

Tatsächlich,

Die Inkompatibilität der Ereignisse A und B lässt sich bequem durch eine Abbildung veranschaulichen. Wenn alle Ergebnisse der Erfahrung eine Reihe von Punkten in der Abbildung sind, dann sind dies auch die Ereignisse A und B Teilmengen einer gegebenen Menge. Die Inkompatibilität von A und B bedeutet, dass sich diese beiden Teilmengen nicht schneiden. Ein typisches Beispiel für inkompatible Ereignisse ist jedes Ereignis A und das entgegengesetzte Ereignis Ā.

Natürlich gilt dieser Satz für drei, vier und für jede endliche Anzahl von paarweise inkompatiblen Ereignissen. Die Wahrscheinlichkeit der Summe beliebig vieler paarweise inkompatibler Ereignisse ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse. Diese wichtige Aussage entspricht genau der Methode der Problemlösung durch „Aufzählung von Fällen“.

Zwischen den Ereignissen, die aufgrund einer Erfahrung auftreten, und zwischen den Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse können einige Beziehungen, Abhängigkeiten, Verbindungen usw. bestehen. Beispielsweise können Ereignisse „hinzugefügt“ werden und die Wahrscheinlichkeit der Summe von inkompatibel sein Ereignisse ist gleich der Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten.

Abschließend diskutieren wir die folgende grundlegende Frage: Ist es möglich beweisen, dass die Wahrscheinlichkeit, bei einem Münzwurf "Zahl" zu bekommen, gleich ist

Die Antwort ist negativ. Im Allgemeinen ist die Frage selbst nicht richtig, die genaue Bedeutung des Wortes „beweisen“ ist nicht klar. Schließlich beweisen wir immer etwas im Rahmen von einigen Modelle, in dem die Regeln, Gesetze, Axiome, Formeln, Theoreme usw. bereits bekannt sind.Wenn wir von einer imaginären, „idealen“ Münze sprechen, dann wird sie deshalb als ideal angesehen, weil a-priorat, ist die Wahrscheinlichkeit Kopf zu bekommen gleich der Wahrscheinlichkeit Kopf zu bekommen. Und im Prinzip können wir ein Modell in Betracht ziehen, bei dem die Wahrscheinlichkeit, „Zahl“ zu fallen, doppelt so hoch ist wie die Wahrscheinlichkeit, „Kopf“ zu fallen, oder dreimal geringer usw. Dann stellt sich die Frage: Aus welchem ​​Grund aus den verschiedenen möglichen Modellen für Wählen wir beim Werfen einer Münze eine, bei der beide Ergebnisse des Wurfs gleich wahrscheinlich sind?

Eine ganz frontale Antwort lautet: „Aber es ist einfacher, klarer und natürlicher für uns!“ Aber es gibt auch sachlichere Argumente. Sie kommen aus der Praxis. Die überwiegende Mehrheit der Lehrbücher zur Wahrscheinlichkeitstheorie gibt Beispiele des französischen Naturforschers J. Buffon (18. Jahrhundert) und des englischen Mathematikers und Statistikers C. Pearson (spätes 19. Jahrhundert), die eine Münze 4040 bzw. 24000 Mal geworfen und gezählt haben Anzahl der fallenden „Köpfe“ oder „Zahlen“. Ihre „Schwänze“ fielen 1992 bzw. 11998 Mal aus. Wenn Sie zählen Drop-Frequenz„Zahlen“, dann erhalten Sie = = 0,493069 ... für Buffon und = 0,4995 für Pearson. Entsteht natürlich Annahme dass mit einer unbegrenzten Erhöhung der Anzahl der Würfe einer Münze die Häufigkeit des Fallens von "Schwänzen" sowie die Häufigkeit des Fallens von "Adlern" immer mehr 0,5 erreichen wird. Diese auf praktischen Daten basierende Annahme ist die Grundlage für die Wahl eines Modells mit gleichwahrscheinlichen Ergebnissen.

Jetzt können wir zusammenfassen. Das Grundkonzept ist Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses, die im Rahmen des einfachsten Modells berechnet wird— klassisches probabilistisches Schema. Das Konzept ist sowohl in der Theorie als auch in der Praxis wichtig. entgegengesetztes Ereignis und die Formel Р(Ā)= 1 – Р(А) zum Ermitteln der Wahrscheinlichkeit eines solchen Ereignisses.

Schließlich trafen wir uns unvereinbare Ereignisse und mit Formeln.

P (A + B) \u003d P (A) + P (B),

P (A + B + C) \u003d P (A) + P (B) + P (C),

Wahrscheinlichkeiten finden lassen Beträge solche Veranstaltungen.

Referenzliste

1. Veranstaltungen. Wahrscheinlichkeiten. Statistische Datenverarbeitung: Add. Absätze zum Kurs der Algebra 7-9 Zellen. Bildungseinrichtungen / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. – 4. Aufl. – M.: Mnemozina, 2006. – 112 S.: ill.

2.Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk „Algebra. Elemente der Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie. – Moskau, Aufklärung, 2006.

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Das Grundkonzept der Wahrscheinlichkeitstheorie ist das Konzept eines zufälligen Ereignisses. Zufälliges Ereignis Ein Ereignis wird als Ereignis bezeichnet, das unter bestimmten Bedingungen eintreten kann oder nicht. Beispielsweise ist das Treffen oder Verfehlen eines Objekts beim Schießen auf dieses Objekt mit einer bestimmten Waffe ein zufälliges Ereignis.

Die Veranstaltung wird aufgerufen authentisch wenn es aufgrund der Prüfung zwangsläufig eintritt. Unmöglich Ein Ereignis wird als ein Ereignis bezeichnet, das als Ergebnis des Tests nicht eintreten kann.

Zufällige Ereignisse werden aufgerufen unvereinbar in einem bestimmten Prozess, wenn keine zwei von ihnen zusammen erscheinen können.

Zufällige Ereignisse bilden volle Gruppe, wenn bei jedem Prozess einer von ihnen auftreten kann und kein anderes Ereignis, das mit ihnen unvereinbar ist, auftreten kann.

Betrachten Sie die vollständige Gruppe gleichermaßen möglicher inkompatibler Zufallsereignisse. Solche Veranstaltungen werden aufgerufen Ergebnisse oder elementare Ereignisse. Exodus heißt günstig Eintritt des Ereignisses $A$, wenn das Eintreten dieses Ergebnisses den Eintritt des Ereignisses $A$ nach sich zieht.

Beispiel. Eine Urne enthält 8 nummerierte Kugeln (jede Kugel hat eine Nummer von 1 bis 8). Kugeln mit den Nummern 1, 2, 3 sind rot, der Rest ist schwarz. Das Erscheinen des Balls mit der Nummer 1 (oder der Nummer 2 oder der Nummer 3) ist ein für das Erscheinen des roten Balls günstiges Ereignis. Das Erscheinen einer Kugel mit der Nummer 4 (oder der Nummer 5, 6, 7, 8) ist ein Ereignis, das das Erscheinen einer schwarzen Kugel begünstigt.

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses$A$ ist das Verhältnis der Anzahl $m$ der dieses Ereignis begünstigenden Ergebnisse zur Gesamtzahl $n$ aller gleich möglichen unvereinbaren Elementarergebnisse, die die Gesamtgruppe $$P(A)=\frac(m)(n) bilden ). \quad(1)$$

Eigentum 1. Die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ereignis ist gleich eins
Eigenschaft 2. Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist null.
Eigenschaft 3. Die Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses ist eine positive Zahl zwischen null und eins.

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses erfüllt also die doppelte Ungleichung $0 \le P(A) \le 1$ .

Online-Rechner

Eine große Schicht von Problemen, die mit Formel (1) gelöst werden, bezieht sich auf das Thema der hypergeometrischen Wahrscheinlichkeit. Unter den Links finden Sie Beschreibungen beliebter Aufgaben und Online-Rechner für ihre Lösungen:

• Problem mit Kugeln (eine Urne enthält $k$ weiße und $n$ schwarze Kugeln, $m$ Kugeln werden herausgenommen...)
• Teileproblem (eine Kiste enthält $k$ Standard- und $n$ defekte Teile, $m$ Teile werden herausgenommen...)
• Problem mit Lottoscheinen ($k$ gewinnende und $n$ verlierende Lottoscheine nehmen an der Lotterie teil, $m$ Lottoscheine werden gekauft...)

Beispiele für Lösungen von Problemen zur klassischen Wahrscheinlichkeit

Beispiel. In der Urne befinden sich 10 nummerierte Kugeln mit Zahlen von 1 bis 10. Eine Kugel wird herausgenommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl der gezogenen Kugeln 10 nicht überschreitet?

Entscheidung. Lassen Sie die Veranstaltung SONDERN= (Die Zahl der gezogenen Kugeln überschreitet 10 nicht). Anzahl des Auftretens günstiger Ereignisse SONDERN gleich der Anzahl aller möglichen Fälle m=n=10. Somit, R(SONDERN)=1. Vorfall Ein zuverlässiger.

Beispiel. In einer Urne befinden sich 10 Kugeln: 6 weiße und 4 schwarze. Zwei Bälle herausgezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln weiß sind?

Entscheidung. Sie können zwei von zehn Bällen auf folgende Weise herausnehmen: .
Die Anzahl der Fälle, in denen zwei weiße Kugeln unter diesen beiden sind, ist .
Gewünschte Wahrscheinlichkeit
.

Beispiel. In einer Urne befinden sich 15 Kugeln: 5 weiße und 10 schwarze. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine blaue Kugel aus der Urne zu ziehen?

Entscheidung. Da keine blauen Kugeln in der Urne sind, m=0, n=15. Daher die gewünschte Wahrscheinlichkeit R=0. Das Ereignis, einen blauen Ball zu ziehen unmöglich.

Beispiel. Aus einem Deck mit 36 ​​Karten wird eine Karte gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Herzkarte erscheint?

Entscheidung. Anzahl der elementaren Ergebnisse (Anzahl der Karten) n=36. Vorfall SONDERN= (Erscheinen einer Herzfarbenkarte). Anzahl günstiger Zeiten für das Eintreten des Ereignisses SONDERN, m=9. Somit,
.

Beispiel. Im Büro arbeiten 6 Männer und 4 Frauen. 7 Personen wurden zufällig für den Umzug ausgewählt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ausgewählten Personen drei Frauen sind.