Bei der statistischen Methode wird zur Bestimmung des Hauptmerkmals (X ist der Satz von Koordinaten und Impulsen aller Teilchen des Systems) das eine oder andere Modell der Struktur des betrachteten Körpers verwendet.

Es stellt sich heraus, dass es möglich ist, allgemeine Eigenschaften allgemeiner statistischer Muster zu finden, die nicht von der Struktur der Materie abhängen und universell sind. Die Identifizierung solcher Gesetzmäßigkeiten ist die Hauptaufgabe der thermodynamischen Methode zur Beschreibung thermischer Prozesse. Alle grundlegenden Konzepte und Gesetze der Thermodynamik können auf der Grundlage der statistischen Theorie aufgedeckt werden.

Für ein isoliertes (geschlossenes) System oder ein System in einem konstanten äußeren Feld wird der Zustand als statistisches Gleichgewicht bezeichnet, wenn die Verteilungsfunktion nicht von der Zeit abhängt.

Die konkrete Form der Verteilungsfunktion des betrachteten Systems hängt sowohl von der Gesamtheit der äußeren Parameter als auch von der Art der Wechselwirkung mit den umgebenden Körpern ab. Unter den äußeren Parametern werden wir in diesem Fall die Größen verstehen, die durch die Position der nicht in das betrachtete System einbezogenen Körper bestimmt werden. Dies sind zum Beispiel das Volumen des Systems V, die Intensität des Kraftfeldes usw. Betrachten wir die beiden wichtigsten Fälle:

1) Das betrachtete System ist energetisch isoliert. Die Gesamtenergie der Teilchen E ist konstant. Dabei. E kann in a enthalten sein, aber die Hervorhebung betont die besondere Rolle von E. Die Bedingung für die Isolierung des Systems bei gegebenen äußeren Parametern kann durch die Gleichheit ausgedrückt werden:

2) Das System ist nicht geschlossen – Energieaustausch ist möglich. In diesem Fall kann er nicht gefunden werden, er hängt von den verallgemeinerten Koordinaten und Impulsen der Teilchen der umgebenden Körper ab. Dies ist möglich, wenn die Wechselwirkungsenergie des betrachteten Systems mit den umgebenden Körpern.

Unter dieser Bedingung hängt die Verteilungsfunktion der Mikrozustände von der mittleren Intensität der thermischen Bewegung der umgebenden Körper ab, die durch die Temperatur T der umgebenden Körper gekennzeichnet ist: .

Auch die Temperatur spielt eine besondere Rolle. Es hat (im Gegensatz zu einem) kein Analogon in der Mechanik: (hängt nicht von T ab).

In einem Zustand des statistischen Gleichgewichts hängt nicht von der Zeit ab, und alle internen Parameter sind unverändert. In der Thermodynamik wird dieser Zustand als Zustand des thermodynamischen Gleichgewichts bezeichnet. Die Konzepte des statistischen und thermodynamischen Gleichgewichts sind äquivalent.

Verteilungsfunktion eines mikroskopisch isolierten Systems - mikrokanonische Gibbs-Verteilung

Der Fall eines energetisch isolierten Systems. Finden wir die Form der Verteilungsfunktion für diesen Fall.

Eine wesentliche Rolle bei der Bestimmung der Verteilungsfunktion spielen nur die Bewegungsintegrale - Energie, - Impuls des Systems und - Drehimpuls. Nur sie werden kontrolliert.

Der Hamiltonoperator spielt in der Mechanik eine besondere Rolle, weil es ist die Hamiltonsche Funktion, die die Form der Teilchenbewegungsgleichung bestimmt. Die Erhaltung des Gesamtimpulses und des Drehimpulses des Systems ist in diesem Fall eine Folgerung aus den Bewegungsgleichungen.

Daher werden gerade solche Lösungen der Liouville-Gleichung herausgegriffen, wenn sich die Abhängigkeit nur durch den Hamiltonoperator manifestiert:

Als, .

Aus allen möglichen Werten von X (dem Satz von Koordinaten und Impulsen aller Teilchen des Systems) werden diejenigen ausgewählt, die mit der Bedingung kompatibel sind. Die Konstante C ergibt sich aus der Normierungsbedingung:

wo ist die Fläche der Hyperfläche im Phasenraum, die sich durch die Bedingung der Energiekonstanz auszeichnet.

Jene. ist die mikrokanonische Gibbs-Verteilung.

In der Quantentheorie des Gleichgewichtszustandes gibt es auch eine mikrokanonische Gibbs-Verteilung. Führen wir die Notation ein: - ein vollständiger Satz von Quantenzahlen, die den Mikrozustand eines Teilchensystems charakterisieren, - die entsprechenden zulässigen Energiewerte. Sie können gefunden werden, indem die stationäre Gleichung für die Wellenfunktion des betrachteten Systems gelöst wird.

Die Verteilungsfunktion von Mikrozuständen ist in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich das System in einem bestimmten Zustand befindet: .

Die quantenmikrokanonische Gibbs-Verteilung kann geschrieben werden als:

wo ist das Kronecker-Symbol, - aus der Normierung: ist die Anzahl der Mikrozustände mit gegebenem Energiewert (sowie). Es heißt statistisches Gewicht.

Nach der Definition haben alle Zustände, die die Bedingung erfüllen, die gleiche Wahrscheinlichkeit, gleich. Somit basiert die quantenmikrokanonische Gibbs-Verteilung auf dem Prinzip gleicher a priori Wahrscheinlichkeiten.

Die Verteilungsfunktion der Mikrozustände des Systems im Thermostaten ist die kanonische Gibbs-Verteilung.

Betrachten Sie nun ein System, das Energie mit umgebenden Körpern austauscht. Aus thermodynamischer Sicht entspricht dieser Ansatz einem System, das von einem sehr großen Thermostat mit der Temperatur T umgeben ist. Für ein großes System (unser System + Thermostat) kann die mikrokanonische Verteilung verwendet werden, da ein solches System als isoliert betrachtet werden kann. Wir nehmen an, dass das betrachtete System ein kleiner, aber makroskopischer Teil eines größeren Systems mit der Temperatur T und der Anzahl der darin enthaltenen Teilchen ist. Das heißt, Gleichheit (>>) ist erfüllt.

Wir bezeichnen die Variablen unseres Systems mit X und die Thermostatvariablen mit X1.

Dann schreiben wir die mikrokanonische Verteilung für das gesamte System:

Uns interessiert die Wahrscheinlichkeit des Zustands eines Systems von N Teilchen für alle möglichen Zustände des Thermostats. Diese Wahrscheinlichkeit kann durch Integrieren dieser Gleichung über die Thermostatzustände gefunden werden

Die Hamilton-Funktion des Systems und des Thermostats kann dargestellt werden als

Wir vernachlässigen die Wechselwirkungsenergie zwischen System und Thermostat im Vergleich sowohl zur Energie des Systems als auch zur Energie des Thermostats. Dies ist möglich, weil die Wechselwirkungsenergie für ein Makrosystem proportional zu seiner Oberfläche ist, während die Energie eines Systems proportional zu seinem Volumen ist. Die Vernachlässigung der Wechselwirkungsenergie gegenüber der Energie des Systems bedeutet jedoch nicht, dass diese gleich Null ist, da sonst die Problemstellung ihren Sinn verliert.

Somit kann die Wahrscheinlichkeitsverteilung für das betrachtete System dargestellt werden als

Wenden wir uns der Integration über die Thermostatenergie zu

Verwenden Sie daher die Eigenschaft -function

Wir gehen im Folgenden zu dem Grenzfall über, wenn der Thermostat sehr groß ist. Betrachten wir einen Spezialfall, in dem der Thermostat ein ideales Gas mit N1-Teilchen der Masse m ist.

Lassen Sie uns den Wert finden, der den Wert darstellt

wo ist das Volumen des Phasenraums, der in der Hyperfläche enthalten ist. Dann ist das Volumen der hypersphärischen Schicht (vergleiche mit dem Ausdruck für den dreidimensionalen Raum

Für ein ideales Gas ist der Integrationsbereich durch die Bedingung gegeben

Als Ergebnis der Integration innerhalb der angegebenen Grenzen erhalten wir das Volumen einer 3N1-dimensionalen Kugel mit einem Radius, der gleich ist. Somit haben wir

Wo kommen wir hin

Somit haben wir für die Wahrscheinlichkeitsverteilung

Kommen wir nun aber zur N1-Grenze, unter der Annahme, dass das Verhältnis konstant bleibt (die sogenannte thermodynamische Grenze). Dann bekommen wir

Unter Berücksichtigung dessen

Dann kann die Verteilungsfunktion des Systems im Thermostaten geschrieben werden als

wobei C aus der Normalisierungsbedingung gefunden wird:

Die Funktion heißt klassisches statistisches Integral. Somit kann die Verteilungsfunktion des Systems im Thermostaten dargestellt werden als:

Dies ist die kanonische Gibbs-Verteilung (1901).

In dieser Verteilung charakterisiert T die durchschnittliche Intensität der thermischen Bewegung - die absolute Temperatur der Partikel der Umgebung.

Eine andere Form, die Gibbs-Distribution zu schreiben

Bei der Bestimmung wurden mikroskopische Zustände als unterschiedlich betrachtet, die sich nur in der Umordnung einzelner Partikel unterschieden. Das bedeutet, dass wir in der Lage sind, jedes Teilchen im Auge zu behalten. Diese Annahme führt jedoch zu einem Paradoxon.

Der Ausdruck für die quantenkanonische Gibbs-Verteilung lässt sich in Analogie zum klassischen schreiben:

Statistische Summe: .

Es ist ein dimensionsloses Analogon des statistischen Integrals. Dann kann die freie Energie dargestellt werden als:

Betrachten wir nun ein System, das sich in einem Thermostat befindet und in der Lage ist, Energie und Teilchen mit der Umgebung auszutauschen. Die Ableitung der Gibbs-Verteilungsfunktion für diesen Fall ähnelt in vielerlei Hinsicht der Ableitung der kanonischen Verteilung. Für den Quantenfall hat die Verteilung die Form:

Diese Verteilung wird als großkanonische Gibbs-Verteilung bezeichnet. Dabei ist m das chemische Potential des Systems, das die Änderung der thermodynamischen Potentiale charakterisiert, wenn sich die Anzahl der Teilchen im System um eins ändert.

Z - aus der Normierungsbedingung:

Hier geht die Summation nicht nur über Quadratzahlen, sondern auch über alle möglichen Werte der Teilchenzahl.

Eine andere Schreibweise: Wir führen eine Funktion ein, aber wie zuvor aus der Thermodynamik erhalten, wo ein großes thermodynamisches Potential liegt. Als Ergebnis erhalten wir

Hier ist der Mittelwert der Anzahl der Partikel.

Die klassische Verteilung ist ähnlich.

Maxwell- und Boltzmann-Verteilungen

Die kanonische Gibbs-Verteilung legt (vorgegeben) die explizite Form der Verteilungsfunktion für die Werte aller Koordinaten und Impulse von Teilchen (6N-Variablen) fest. Aber eine solche Funktion ist sehr komplex. Oft reichen einfachere Funktionen aus.

Maxwell-Verteilung für ein ideales einatomiges Gas. Wir können jedes Gasmolekül als „betrachtetes System“ betrachten, das zu einem Thermostat gehört. Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Molekül in bestimmten Intervallen Impulse hat, durch die kanonische Gibbs-Verteilung gegeben: .

Wenn wir Impulse durch Geschwindigkeiten ersetzen und die Normierungsbedingungen verwenden, erhalten wir

Maxwellsche Verteilungsfunktion für Geschwindigkeitskomponenten. Es ist auch einfach, die Verteilung modulo zu erhalten.

In jedem System, dessen Energie gleich der Summe der Energien einzelner Teilchen ist, gibt es einen ähnlichen Ausdruck wie Maxwell. Dies ist die Maxwell-Boltzmann-Verteilung. Auch hier gehen wir davon aus, dass das „System“ ein beliebiges Teilchen ist, während der Rest die Rolle eines Thermostats spielt. Dann ist die Wahrscheinlichkeit des Zustands dieses ausgewählten Teilchens für jeden Zustand der anderen durch die kanonische Verteilung gegeben: , . Für den Rest der Mengen ... integriert

§4 Maxwellsches Gesetz über die Verteilung von Geschwindigkeiten und Energien

Das Gesetz der Verteilung idealer Gasmoleküle durch Geschwindigkeiten, das 1860 von Maxwell theoretisch erhalten wurde, bestimmt, welche Anzahl dN Moleküle von homogenen (p= const) eines einatomigen idealen Gases aus der GesamtzahlNseine Moleküle pro Volumeneinheit hat bei einer gegebenen Temperatur T Geschwindigkeiten im Bereich vonv Vor v+ dv.

Ableitung der Gesvon Molekülenf( v) gleich dem Verhältnis der Anzahl der Moleküle dN, deren Geschwindigkeiten im Intervall liegenv÷ v+ dvauf die Gesamtzahl der MoleküleNund die Größe des Intervallsdv

Maxwell verwendete zwei Sätze:

a) Alle Raumrichtungen sind gleich und daher jede Bewegungsrichtung eines Teilchens, d.h. jede Geschwindigkeitsrichtung ist gleich wahrscheinlich. Diese Eigenschaft wird manchmal als Eigenschaft der Isotropie der Verteilungsfunktion bezeichnet.

b) Bewegungen entlang drei zueinander senkrechter Achsen sind unabhängig, d.h. x-Komponenten der Geschwindigkeithängt nicht vom Wert seiner Bestandteile ab oder . Und dann das Fazit f ( v) zuerst für eine Komponente durchgeführt, und dann auf alle Geschwindigkeitskoordinaten verallgemeinert.

Es wird auch angenommen, dass das Gas aus einer sehr großen Anzahl bestehtN identische Moleküle in einem Zustand zufälliger thermischer Bewegung bei gleicher Temperatur. Kraftfelder wirken nicht auf Gas.

Funktionen f ( v) bestimmt die relative Anzahl der MoleküledN( v)/ Nderen Geschwindigkeiten im Intervall von liegenv Vor v+ dv(Beispiel: Gas hatN= 10 6 Moleküle, währenddN= 100

Moleküle haben Geschwindigkeiten vonv=100 zu v+ dv=101 m/s ( dv = 1 m) dann .

Mit den Methoden der Wahrscheinlichkeitstheorie fand Maxwell die Funktionf ( v) - das Gesetz der Verteilung von Molekülen eines idealen Gases in Bezug auf Geschwindigkeiten:

f ( v) hängt von der Art des Gases (von der Masse des Moleküls) und von der Zustandsgröße (von der Temperatur) ab T)

f( v) hängt vom Verhältnis der kinetischen Energie des Moleküls ab, die der betrachteten Geschwindigkeit entspricht zum Wert kTCharakterisierung der durchschnittlichen thermischen Energie von Gasmolekülen.

Bei klein v und Funktion f( v) ändert sich fast wie eine Parabel. Wenn v zunimmt, der Multiplikator schneller abnimmt als der Multiplikator zunimmt, d.h. Es gibt eine Max-Funktion f( v) . Man nennt die Geschwindigkeit, bei der die Gesidealer Gasmoleküle maximal ist höchstwahrscheinlich Geschwindigkeit aus dem Zustand finden

Daher steigt mit steigender Temperatur die wahrscheinlichste Geschwindigkeit, aber die Gegend S, begrenzt durch die Kurve der Verteilungsfunktion, bleibt unverändert, da aus der Normierungsbedingung(da die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ereignis 1 ist), so steigt mit steigender Temperatur die Verteilungskurvef ( v) wird sich erweitern und verringern.

In der statistischen Physik ist der Mittelwert einer beliebigen Größe definiert als das Integral von 0 bis unendlich des Produkts aus der Größe und der Wahrscheinlichkeitsdichte dieser Größe (statistisches Gewicht)

< X >=

Dann die arithmetische mittlere Geschwindigkeit der Moleküle

Und durch Teile integrieren, bekommen wir

Geschwindigkeiten, die den Zustand des Gases charakterisieren

§5 Experimentelle Überprüfung des Maxwellschen Verteilungsgesetzes - Sterns Experiment

Dazu wird ein mit einer Silberschicht beschichteter Platindraht entlang der Achse des Innenzylinders gespannt, der durch Strom erhitzt wird. Beim Erhitzen verdampft das Silber, die Silberatome fliegen durch den Schlitz heraus und fallen auf die Innenfläche des zweiten Zylinders. Wenn beide Zylinder stationär sind, fallen alle Atome unabhängig von ihrer Geschwindigkeit an denselben Ort B. Wenn sich die Zylinder mit einer Winkelgeschwindigkeit ω drehen, fallen die Silberatome in die Punkte B ', B '' usw. In Bezug auf ω, Entfernung? und Verschiebung X= BB', können Sie die Geschwindigkeit der Atome berechnen, die den Punkt B' treffen.

Das Schlitzbild ist verschwommen. Durch Untersuchung der Dicke der abgeschiedenen Schicht kann man die Geschwindigkeitsverteilung von Molekülen abschätzen, die der Maxwellschen Verteilung entspricht.

§6 Barometrische Formel

Boltzmann-Verteilung

Bisher wurde das Verhalten eines idealen Gases ohne äußere Kraftfelder betrachtet. Aus Erfahrung ist bekannt, dass unter Einwirkung äußerer Kräfte die gleichmäßige Verteilung von Teilchen im Raum gestört werden kann. Unter dem Einfluss der Schwerkraft neigen die Moleküle also dazu, auf den Boden des Gefäßes zu sinken. Intensive thermische Bewegung verhindert das Absetzen, und die Moleküle breiten sich aus, sodass ihre Konzentration mit zunehmender Höhe allmählich abnimmt.

Lassen Sie uns das Gesetz der Druckänderung mit der Höhe herleiten, vorausgesetzt, dass das Gravitationsfeld gleichmäßig ist, die Temperatur konstant ist und die Masse aller Moleküle gleich ist. Wenn der atmosphärische Druck hoch ist h ist gleich p, dann at height h + dh es ist gleich p + dp(beim dh > 0, dp < 0, так как pnimmt mit Zunahme abh).

Druckunterschied in der Höheh und h+ dhkönnen wir definieren als das Gewicht von Luftmolekülen, die in einem Volumen mit einer Grundfläche von 1 und einer Höhe eingeschlossen sinddh.

Dichte in der Höheh, und seit , dann = const .

Dann

Aus der Mendeleev-Clapeyron-Gleichung.

Dann

Oder

Mit Höhenänderung vonh 1 Vor h 2 Druckänderungen abp 1 Vor p 2

Wir propotenzieren diesen Ausdruck (

Die barometrische Formel zeigt, wie sich der Druck mit der Höhe ändert.

Fahrkarte

1) Kinematik eines materiellen Punktes. Bezugssystem, Radius - Vektor, Weg, Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung

Kinematik eines materiellen Punktes- ein Abschnitt der Kinematik, der die mathematische Beschreibung der Bewegung materieller Punkte untersucht. Die Hauptaufgabe der Kinematik besteht darin, die Bewegung mit Hilfe eines mathematischen Apparats zu beschreiben, ohne die Gründe herauszufinden, die diese Bewegung verursachen.
Referenzsystem- Eine Menge von Körpern, die relativ zueinander bewegungslos sind, in Bezug auf die die Bewegung betrachtet wird und die Uhr die Zeit zählt.
Radius-Vektor- Ein Vektor, der die Position eines Punkts im Raum (z. B. Hilbert oder Vektor) relativ zu einem vorangestellten Punkt angibt
ziehen um- Änderung der Position des physischen Körpers im Raum relativ zum ausgewählten Bezugsrahmen.
Weg ist die Länge der Flugbahn des Körpers.
ziehen um ist ein Segment, das die Anfangs- und Endposition des Körpers verbindet.
Geschwindigkeit- Die Bewegungsgeschwindigkeit des Körpers und die Richtung, in die sich das Teilchen zu jedem Zeitpunkt bewegt.
Beschleunigung ist eine Vektorgröße, die die Änderungsrate der Geschwindigkeit eines sich bewegenden Körpers in Größe und Richtung charakterisiert.

2) Wellen. Allgemeine Eigenschaften von Wellenprozessen. Gleichung für ebene Wellen. Phasen- und Gruppenwellengeschwindigkeiten

Wellen– Es gibt zwei Arten von Wellen: Längs- und Querwellen. Wenn der Schwingungsvorgang senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle verläuft - quer. Wenn die Schwingung längs ist - längs.

Longitudinalwellen- Schwankungen des Mediums treten entlang der Wellenausbreitungsrichtung auf, während es Bereiche der Kompression und Verdünnung des Mediums gibt.
Transversalwellen- Schwankungen des Mediums treten senkrecht zu ihrer Ausbreitungsrichtung auf, während sich die Schichten des Mediums verschieben.

Gleichung für ebene Wellen -
Wellenphasengeschwindigkeit- die Bewegungsgeschwindigkeit eines Punktes mit einer konstanten Phase der Schwingungsbewegung im Raum
entlang der angegebenen Richtung.
Gruppengeschwindigkeit - bestimmt die Geschwindigkeit und Richtung der Energieübertragung durch Wellen

Fahrkarte

1) Geradlinige und krummlinige Bewegung. Tangential- und Normalbeschleunigung

Geradlinige Bewegung- mechanische Bewegung, bei der der Verschiebungsvektor ∆r seine Richtung nicht ändert, sein Modul ist gleich der Länge des vom Körper zurückgelegten Weges
Krummlinige Bewegung- Dies ist eine Bewegung, deren Bahn eine gekrümmte Linie ist (z. B. ein Kreis, eine Ellipse, eine Hyperbel, eine Parabel). Ein Beispiel für eine krummlinige Bewegung ist die Bewegung der Planeten, das Ende des Uhrzeigers auf dem Zifferblatt usw. Im allgemeinen Fall ändert sich die Geschwindigkeit während einer krummlinigen Bewegung in Größe und Richtung.
Tangentiale (tangentiale) Beschleunigung ist die Komponente des Beschleunigungsvektors, die entlang der Tangente an die Trajektorie an einem gegebenen Punkt in der Trajektorie gerichtet ist. Die Tangentialbeschleunigung charakterisiert die Änderung des Geschwindigkeitsmoduls während einer krummlinigen Bewegung.
Normale Beschleunigung- eine Vektorgröße, die die Änderungsrate der Geschwindigkeit eines sich bewegenden Körpers in Größe und Richtung charakterisiert.

2) Relativitätsprinzipien von Galileo, Transformationen von Galileo.

Galileis Relativitätsprinzip- besagt, dass alle physikalischen Prozesse in inertialen Bezugssystemen gleich ablaufen, unabhängig davon, ob das System stationär ist oder sich in einem Zustand gleichförmiger und geradliniger Bewegung befindet.
Galileische Transformationen- Galileische Transformationen basieren auf dem Galileischen Relativitätsprinzip, das die gleiche Zeit in allen Bezugsrahmen ("absolute Zeit") impliziert

Fahrkarte

1) Kinematik der Drehbewegung

Wenn beim Bewegungsvorgang eines absolut starren Körpers seine Punkte A und B bewegungslos bleiben, dann muss auch jeder Punkt C des Körpers, der auf der Linie AB liegt, bewegungslos bleiben. Andernfalls müssten sich die Abstände AC und BC ändern, was der Annahme einer absoluten Starrheit des Körpers widersprechen würde. Daher heißt die Bewegung eines starren Körpers, bei der seine beiden Punkte A und B bewegungslos bleiben, die Drehung des Körpers um eine feste Achse, und die feste Linie AB heißt Drehachse.

Betrachten Sie einen beliebigen Punkt M des Körpers, der nicht auf der Rotationsachse AB liegt. Wenn sich ein starrer Körper dreht, sind die Abstände M A und MB und der Abstand ρ die M-Punkte bis zur Drehachse müssen unverändert bleiben. Alle Punkte eines um eine feste Achse rotierenden Körpers beschreiben also Kreise, deren Mittelpunkte auf der Rotationsachse liegen und deren Ebenen senkrecht auf dieser Achse stehen. Die Bewegung eines absolut starren Körpers, der an einem festen Punkt fixiert ist, wird als Drehung des Körpers um einen festen Punkt - das Rotationszentrum - bezeichnet. Eine solche Bewegung eines absolut starren Körpers zu jedem Zeitpunkt kann als Rotation um eine Achse betrachtet werden, die durch das Rotationszentrum verläuft und als Momentanrotationsachse des Körpers bezeichnet wird. Die Position der Momentanachse relativ zum festen Bezugssystem und zum Körper selbst kann sich im Laufe der Zeit ändern.

2) Michelsons Experiment. SRT-Postulate. Lorentz-Transformationen, Konsequenzen aus Lorentz-Transformationen

Michelsons Erfahrung- ein physikalisches Experiment, das Albert Michelson 1881 auf seinem Interferometer anstellte, um die Abhängigkeit der Lichtgeschwindigkeit von der Bewegung der Erde relativ zum Äther zu messen. Der Äther wurde dann als ein der volumetrisch verteilten Materie ähnliches Medium verstanden, in dem sich Licht wie Schallschwingungen ausbreitet. Das Ergebnis des Experiments war laut Michelson negativ - die Verschiebung der Bänder stimmte nicht phasengleich mit den theoretischen überein, aber die Schwankungen dieser Verschiebungen waren nur geringfügig geringer als die theoretischen. Die Existenz des Äthers wurde widerlegt.
1) Alle Naturphänomene laufen in allen Trägheitsbezugssystemen genau gleich ab.
2) C ist ein konstanter Wert und hängt nicht von der Geschwindigkeit der Lichtquelle und des Empfängers ab
3) Von Position 2 des Postulats aus lässt sich leicht beweisen, dass Ereignisse in einem Bezugssystem simultan und in einem anderen Bezugssystem nicht simultan sind

Fahrkarte

1) Das Konzept von Masse, Kraft, Impuls.

Impuls Das Produkt aus der Masse eines Körpers und seiner Geschwindigkeit.
Gewicht ist eine Eigenschaft eines Körpers, die seine Trägheit charakterisiert. Bei gleichem Einfluss der umgebenden Körper kann der eine Körper seine Geschwindigkeit schnell ändern, der andere unter den gleichen Bedingungen viel langsamer.
Gewalt ist ein quantitatives Maß für die Interaktion von Körpern. Kraft ist die Ursache für eine Änderung der Geschwindigkeit eines Körpers. In der Newtonschen Mechanik können Kräfte verschiedene physikalische Ursachen haben: Reibungskraft, Gewichtskraft, elastische Kraft usw. Kraft ist eine vektorielle Größe.

2) Addition von Geschwindigkeiten. Raum-Zeit-Intervall

Bei der Betrachtung einer komplexen Bewegung (d. h. wenn sich ein Punkt oder Körper in einem Bezugsrahmen bewegt und sich relativ zu einem anderen bewegt) stellt sich die Frage nach dem Verhältnis der Geschwindigkeiten in zwei Bezugsrahmen.
In der klassischen Mechanik ist die absolute Geschwindigkeit eines Punktes gleich der Vektorsumme seiner Relativ- und Translationsgeschwindigkeit:
Diese Gleichheit ist der Inhalt der Aussage des Satzes über die Addition von Geschwindigkeiten.
Die Geschwindigkeit des Körpers relativ zum festen Bezugssystem ist gleich der Vektorsumme der Geschwindigkeit dieses Körpers relativ zum beweglichen Bezugssystem und der Geschwindigkeit (relativ zum festen Bezugssystem) dieses Punktes des beweglichen Bezugssystems wo sich die Leiche derzeit befindet.

Fahrkarte

1) Newtonsche Gesetze. Trägheits- und Nicht-Trägheitsbezugsrahmen. Trägheitskräfte.

Newtonsche Gesetze- drei Gesetze, die der klassischen Mechanik zugrunde liegen und es ermöglichen, die Bewegungsgleichungen für jedes mechanische System zu schreiben, wenn die Kraftwechselwirkungen für seine konstituierenden Körper bekannt sind.

1) Wenn keine äußere Kraft auf den Körper einwirkt, dann befindet sich der Körper in Ruhe oder in gleichförmiger geradliniger Bewegung.
2) F=ma Die Beschleunigung eines Körpers ist direkt proportional zur resultierenden Kraft und umgekehrt proportional zu seiner Masse
3) Die Aktionskraft ist gleich der Reaktionskraft F1 = - F2

Trägheitsreferenzsystem (ISO)- ein Bezugsrahmen, in dem das Trägheitsgesetz gilt: Alle freien Körper (also solche, auf die äußere Kräfte nicht einwirken oder deren Wirkung kompensiert wird) bewegen sich in ihnen geradlinig und gleichförmig oder ruhen in ihnen. Nur in diesen Systemen sind die Newtonschen Gesetze erfüllt.

Nicht-Trägheitssystem Referenz - ein willkürlicher Referenzrahmen, der nicht träge ist. Jeder Bezugsrahmen, der sich mit Beschleunigung relativ zur Trägheit bewegt, ist nicht träge.

Trägheitskraft, eine Vektorgröße, die numerisch gleich dem Produkt der Masse ist t materieller Punkt auf seiner Beschleunigung w und der Beschleunigung entgegen gerichtet. Bei der krummlinigen Bewegung S. Und. kann in eine Tangente oder Tangentialkomponente zerlegt werden J t entgegen der Tangentialbeschleunigung gerichtet w t und auf der normalen oder zentrifugalen Komponente Jn, entlang der Hauptnormalen zur Bahn vom Krümmungsmittelpunkt gerichtet; numerisch J t = nw t , Jn =mv2 / r, wo v- Geschwindigkeit des Punktes, r - Krümmungsradius der Flugbahn. Beim Studium der Bewegung in Bezug auf das Trägheitsbezugssystem, S. und. eingeführt, um eine formale Möglichkeit zu haben, die Gleichungen der Dynamik in Form einfacherer Gleichungen zusammenzustellen

2) Impuls. Bewegungsgesetz in der relativistischen Dynamik. Energie, Zusammenhänge von Masse und Energie. Naturschutzgesetze in SRT.

Das relativistische Gesetz der Addition der Geschwindigkeiten eines Körpers und der Geschwindigkeit eines bewegten Systems in einem

wo u" - die Geschwindigkeit des Körpers in einem sich bewegenden Bezugssystem; v ist die Geschwindigkeit des sich bewegenden Systems K"relativ zum festen System K;
u ist die Geschwindigkeit des Körpers relativ zum festen Bezugssystem K(Abb. 1).

Relativistische Zeitdilatation Zeit t 0 , gezählt von einer Uhr, die relativ zu einem bestimmten Körper ruht, wird aufgerufen eigene Zeit. Sie ist immer kleiner als die von der beweglichen Uhr gemessene Zeit: t 0 < t.

Relativistische Längenkontraktion Die Querabmessungen des bewegten Stabes ändern sich nicht. Lineare Größe der Stange l 0 in dem Bezugssystem, in dem es ruht, wird seine eigene Länge genannt. Diese Länge ist maximal: l 0 > l.

Der Impuls des bewegten Körpers ( relativistisches Momentum):

Gesamtenergie eines Körpers oder Systems von Körpern:

6 Karten
1) Impulserhaltungssatz. Massezentrum. Die Bewegung des Massenmittelpunkts.

Impulserhaltungssatz- In einem abgeschlossenen System bleibt die Vektorsumme der Impulse aller im System enthaltenen Körper bei allen Wechselwirkungen der Körper dieses Systems untereinander konstant. Dieses fundamentale Naturgesetz wird als Erhaltungsgesetz bezeichnet.
Impuls. Es ist eine Folge des zweiten und dritten Newtonschen Gesetzes.

P ist der Impuls des Systems; F ist die Resultierende aller auf die Teilchen des Systems wirkenden Kräfte

Massezentrum- ein geometrischer Punkt, der die Bewegung eines Körpers oder eines Teilchensystems als Ganzes charakterisiert.
Satz über die Bewegung des Massenschwerpunktes(Trägheitszentrum) des Systems - ein allgemeines Problem der Dynamik. dass die Beschleunigung des Massenschwerpunkts eines mechanischen Systems nicht von den auf die Körper des Systems wirkenden inneren Kräften abhängt, und setzt diese Beschleunigung in Beziehung zu den auf das System wirkenden äußeren Kräften. Der Massenmittelpunkt bewegt sich auf die gleiche Weise wie ein materieller Punkt, dessen Masse gleich der Masse des Systems ist, sich unter der Wirkung einer Kraft bewegen würde, die gleich der Summe aller äußeren Kräfte ist, die auf das System einwirken. ma=(Summe F)

2) Thermodynamische Parameter. Ideale und reale Gase. Zustandsgleichung idealer und realer Gase.

Thermodynamische Größen Nennen Sie die physikalischen Größen, die zur Beschreibung von Zuständen und Prozessen in thermodynamischen Systemen verwendet werden.

1) Temperatur- eine physikalische Größe, die ungefähr die durchschnittliche kinetische Energie von Teilchen eines makroskopischen Systems pro Freiheitsgrad charakterisiert, das sich in einem thermodynamischen Gleichgewichtszustand befindet.
2) Druck- Dies ist eine senkrecht zur Oberfläche (senkrechte) Kraft, die pro Flächeneinheit wirkt: p \u003d F / A.
3) Volumen- ein quantitatives Merkmal des von einem Körper oder einer Substanz eingenommenen Raums. Das Volumen eines Körpers oder das Fassungsvermögen eines Gefäßes wird durch seine Form und seine linearen Abmessungen bestimmt.
4) Entropie ist der Grad der Systemstörung. Spontan gehen in der Natur alle Prozesse in eine Richtung: in Richtung Entropiewachstum. St.-va (entweder wächst oder ändert sich nicht; dies ist eine Funktion des Zustands; die Entropie eines Körpersystems ist die Summe der Entropie der im System enthaltenen Körper; innere Entropie \u003d freie Energie + gebundene Energie )

Ideales Gas ist ein Gas, bei dem die gegenseitige potentielle Energie der Moleküle und das Eigenvolumen der Moleküle vernachlässigt werden können.
In realen Gasen ist die Dichte so hoch, dass die gegenseitige potentielle Energie nicht vernachlässigt werden kann. Auch das Eigenvolumen der Moleküle spielt eine Rolle. Als Experiment können Sie Folgendes tun: Nehmen Sie einen Ballon, geben Sie ein ideales Gas hinein und komprimieren Sie ihn sehr langsam. In diesem Fall muss die Temperatur aufgrund des Wärmeaustauschs mit der Umgebung konstant sein.
Die Beziehung zwischen Druck und Volumen gehorcht dem Boyle-Mariot-Gesetz. Der Druck ist umgekehrt proportional zum Volumen.
Wenn Sie die Konzentration erhöhen, wird die gegenseitige Anziehungskraft zunehmen. Potentielle Energie darf nicht vernachlässigt werden
(Echtgas). Es gibt keine umgekehrte Beziehung zwischen Druck und Volumen.

Fahrkarte

1) Trägheitsmoment, Kraftmoment und Impulsmoment. Satz von Steiner

Trägheitsmoment des Systems relativ zur Rotationsachse ist eine physikalische Größe, die gleich der Summe des Produkts der Massen von n materiellen Punkten des Systems und den Quadraten ihrer Abstände von der betrachteten Achse ist.
Wenn das Trägheitsmoment des Körpers um die durch seinen Massenschwerpunkt verlaufende Achse bekannt ist, wird das Trägheitsmoment um jede andere Achse parallel zur gegebenen mit dem Satz von Steiner bestimmt: das Trägheitsmoment des Körpers I um die parallele Rotationsachse ist gleich dem Trägheitsmoment I c um die parallele Achse, die durch den Massenmittelpunkt des Körpers verläuft, gefaltet mit dem Produkt aus der Masse m des Körpers und dem Quadrat des Abstands a zwischen den Achsen

Kraftmoment relativ zu einem festen Punkt O wird eine Pseudovektorgröße genannt, die gleich dem Vektorprodukt des Radiusvektors ist, der durch die Kraft vom Punkt O zum Angriffspunkt der Kraft gezogen wird

Modul des Moments der Kraft:

Der Drehimpuls eines starren Körpers relativ zu einer festen Achse Z ist ein Skalarwert, der gleich der Projektion des Drehimpulsvektors auf diese Achse ist, der relativ zu einem beliebigen Punkt O dieser Achse definiert ist. Der Wert des Drehimpulses hängt nicht von der Position des Punktes O auf der Z-Achse ab.

Das Impulsmoment eines starren Körpers um die Achse ist die Summe der Impulsmomente einzelner Teilchen.

Moment des Impulses - charakterisiert die Größe der Drehbewegung. Der Drehimpuls eines materiellen Punktes relativ zu einem Bezugspunkt wird durch das Vektorprodukt seines Radiusvektors und seines Impulses bestimmt:

L=r×p,
wobei r der Radiusvektor des Teilchens in Bezug auf den ausgewählten Referenzpunkt ist, der in dem gegebenen Referenzrahmen fixiert ist, p der Impuls des Teilchens ist.

2) Innere Energie idealer und realer Gase.

Basierend auf der Definition eines idealen Gases enthält es keine potenzielle Komponente innerer Energie (es gibt keine Wechselwirkungskräfte von Molekülen außer Schock). Auf diese Weise , die innere Energie eines idealen Gases repräsentiert nur die kinetische Energie der Bewegung seiner Moleküle.

Fahrkarte

1) Die Grundgleichung der Dynamik der Rotationsbewegung. Gesetz der Erhaltung des Drehimpulses.

2) Freiheitsgrade von Molekülen. Der Satz der Gleichverteilung der Energie über die Freiheitsgrade.

Freiheitsgrade von Molekülen- die Anzahl unabhängiger Koordinaten, die eingestellt werden müssen, um die Position dieses Objekts relativ zum betrachteten Bezugssystem eindeutig zu bestimmen.

a - einatomig (3), b - zweiatomig (5), c - dreiatomig (6).

Durchschnittliche kinetische Bewegungsenergie Moleküle eines idealen Gases können durch die Formel bestimmt werden: i ist die Anzahl unabhängiger Größen, die durch die Position des Körpers im Raum bestimmt werden.

Jeder Körper in Translationsbewegung hat drei Freiheitsgrade. Jeder Freiheitsgrad eines statistischen Systems hat die gleiche Energie gleich . ΣƩ

Dies ist die Essenz des Satzes über die Gleichverteilung der thermischen Energie über die Freiheitsgrade.

Für einatomig

Für zweiatomige - 2 Freiheitsgrade. Die Schwingungen der Freiheitsgrade treten bei starker Temperaturerhöhung auf, weil interatomare Bindungen werden geschwächt und Schwingungen innerhalb von Molekülen werden verstärkt.

Für den größten Temperaturanstieg

Fahrkarte

1) Arbeit mit konstanter und variabler Kraft. Die kinetische Energie eines Körpers, der an Translations- und Rotationsbewegungen beteiligt ist.

Die Arbeit einer konstanten Kraft. Um die Wirksamkeit der Krafteinwirkung auf den Körper zu charakterisieren, wird eine Größe namens mechanische Arbeit verwendet. Lassen Sie unter der Wirkung einer konstanten Kraft F das Teilchen bewegte sich willkürlich von Position 1 zu Position 2. Die Arbeit der Kraft F unterwegs ∆r Skalargröße genannt, definiert durch die folgende Beziehung: Die Arbeit einer konstanten Kraft ist gleich dem Skalarprodukt aus Kraft und Weg.

Die Maßeinheit für Arbeit ist Joule. 1 J = 1 Nm.
Arbeit mit variabler Kraft

Arbeit mit variabler Kraft. Bei Bewegung unter Einwirkung einer variablen Kraft berechnet sich der Arbeitsaufwand wie folgt. Die gesamte Flugbahn wird gedanklich in einzelne Abschnitte von so geringer Länge |d unterteilt r| dass die auf sie wirkende Kraft als konstant angesehen werden kann (siehe Abb. 7.2). Die Projektion der Kraft auf die Richtung des elementaren Verschiebungsvektors d r ist seine Tangentialkomponente. Daher die elementare Arbeit an der Verschiebung d r kann mit dem Verhältnis berechnet werden.

2) Der erste Hauptsatz der Thermodynamik und seine Anwendung auf Isoprozesse. adiabatischer Prozess

Isoprozesse- Prozesse, die bei einem konstanten Wert eines der Parameter auftreten.

Isothermer Prozess (T = const, daher ΔU = 0).
Nach dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik: Q = A".
Das Gas verrichtet aufgrund der zugeführten Wärme Q (A" > 0, Q > 0) Arbeit A ".
Die Verrichtung von Arbeit durch äußere Kräfte A (Gaskompression) erfordert die Entnahme von Wärme Q aus dem Gas, um dessen Temperatur zu halten (A > 0, Q<0).

Isochorischer Prozess (V = const, also A = 0).
Nach dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik: ΔU = Q.
Das Erhitzen eines Gases in einem geschlossenen Gefäß führt zu einer Erhöhung seiner inneren Energie U (Temperatur) (Q>0, ΔU>0).
Das Abkühlen eines Gases in einem geschlossenen Gefäß führt zu einer Abnahme seiner inneren Energie U (Temperatur) (Q<0, ΔU<0).

Isobarer Prozess (p = const).
Nach dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik: Q = ΔU + A".
Die dem Gas zugeführte Wärme Q wird teilweise zur Erhöhung der inneren Energie U und teilweise zur Verrichtung von Arbeit mit dem Gas A" verwendet (Q>0, ΔU>0, A">0).
Die Arbeit der äußeren Kräfte A bei der isobaren Kompression des Gases erfordert die Entnahme von Wärme Q aus dem Gas, während seine innere Energie U (Q<0, ΔU<0, A>0).

Ein adiabatischer Prozess ist ein Prozess, der ohne Wärmeaustausch mit der Umgebung abläuft (Q = 0).
Nach dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik: ΔU = A.
Die gesamte Arbeit der äußeren Kräfte A dient nur der Erhöhung der inneren Energie des Gases (A>0, ΔU>0).
Die Arbeit des Gases A" wird nur durch den Verlust an innerer Energie des Gases verrichtet (A" > 0, ΔU<0).

Fahrkarte

1) Potentielle Energie. Potenzielle Energie einer komprimierten Feder, eines Körpers in einem Gravitationsfeld.

Potenzielle Energie- eine skalare physikalische Größe, die ein Teil der gesamten mechanischen Energie des Systems im Bereich der konservativen Kräfte ist. Hängt von der Position der materiellen Punkte ab, aus denen das System besteht, und charakterisiert die Arbeit, die das Feld verrichtet, wenn sie sich bewegen. Eine andere Definition: Potenzielle Energie ist eine Funktion von Koordinaten, was ein Begriff in der Lagrange-Funktion des Systems ist und die Wechselwirkung der Elemente des Systems beschreibt] . Der Begriff „potenzielle Energie“ wurde im 19. Jahrhundert von dem schottischen Ingenieur und Physiker William Rankine eingeführt.

Die Einheit der Energie im Internationalen Einheitensystem (SI) ist das Joule.

Eine korrekte Definition der potentiellen Energie kann nur im Bereich der Kräfte gegeben werden, deren Arbeit nur von der Anfangs- und Endposition des Körpers abhängt, nicht jedoch von der Bahn seiner Bewegung.

Potentielle Energie des Körpers im oberflächennahen Gravitationsfeld der Erde wird näherungsweise durch die Formel ausgedrückt:

wo ist die Masse des Körpers, ist die Beschleunigung des freien Falls, ist die Höhe der Position des Massenschwerpunkts des Körpers über einem willkürlich gewählten Nullniveau.

2) Die Arbeit der Gravitationskräfte, der Zusammenhang zwischen Kraft und potentieller Energie. Gasarbeit bei Isoprozessen.

Der Raum, in dem konservative Kräfte wirken, wird Potentialfeld genannt. Jedem Punkt des Potentialfeldes entspricht ein bestimmter Wert der auf den Körper wirkenden Kraft F und ein bestimmter Wert der potentiellen Energie U. Das bedeutet, dass zwischen der Kraft F und U andererseits ein Zusammenhang bestehen muss, dA = -dU, also Fdr = -dU, also:

Projektionen des Kraftvektors auf die Koordinatenachsen:

Der Kraftvektor kann in Form von Projektionen geschrieben werden: , F = –grad U, wobei .

BEIM isochorer Prozess (v= const) das Gas funktioniert nicht, EIN = 0.

BEIM isobaren Prozess (p= const) wird die vom Gas verrichtete Arbeit durch das Verhältnis ausgedrückt.

Wir haben eine Funktion aufgestellt, die die Verteilung von Molekülen durch Geschwindigkeiten beschreibt (Maxwell-Verteilung) und eine Abhängigkeit, die die Verteilung von Molekülen durch potentielle Energiewerte charakterisiert (Boltzmann-Verteilung). Beide Abhängigkeiten können zu einer verallgemeinerten Verteilung kombiniert werden.

Stellen Sie sich ein unendlich kleines Volumen vor dV Gas, das sich an einem Punkt mit einem Radiusvektor in einem großen System befindet, das ein ideales Gas bei konstanter Temperatur in äußeren Kraftfeldern darstellt. Die Anzahl der Moleküle im ausgewählten Volumen ist n( ) d 3 r. Da das Volumen klein ist, kann die Partikeldichte innerhalb ihrer Grenzen als konstant angesehen werden. Damit ist die Bedingung für die Gültigkeit der Maxwell-Verteilung erfüllt. Dann für die Anzahl der Moleküle dN, mit Geschwindigkeiten von v Vor v+dv und befindet sich im Volumen d 3 r, als Ergebnis der Kombination von Abhängigkeiten (3.11) und (3.27) erhalten wir die folgende Formel:

Aber die Konzentration von Molekülen n(r) hängt von der Lage dieses Volumens in äußeren Kraftfeldern ab:

wo n 0 - Konzentration von Molekülen an der Stelle, wo Ep = 0. Dann

Da der Ausdruck

die Gesamtenergie des Teilchens im äußeren potentiellen Kraftfeld ist, kommen wir auf das Verallgemeinerte Maxwell-Boltzmann-Energieverteilung Moleküle:

wo N- die Gesamtzahl der Teilchen im System, a dN - Anzahl der Teilchen mit Koordinaten dazwischen r und r + dr und (gleichzeitig) mit Geschwindigkeiten dazwischen v und v+dv.

Durchschnittliche Energie eines Quantenoszillators. Die Maxwell-Boltzmann-Verteilung wurde in der klassischen Physik erhalten, erwies sich jedoch in der Quantenmechanik als gültig, wo viele scheinbar unerschütterliche Bestimmungen überarbeitet wurden. Betrachten Sie als Beispiel das Problem einer Last mit einer Masse t, am Ende einer Feder mit Steifigkeit befestigt k. Die Bewegungsgleichung ist bekannt, und ihre Lösung sind die harmonischen Schwingungen des Körpers mit Kreisfrequenz

Die klassische Energie eines Systems, das Schwingungen von Atomen in einem Molekül simuliert, ist durch Formel (3.62) gegeben und kann je nach Schwingungsamplitude jeden Wert annehmen. Wie wir aus der Quantenmechanik wissen, ist die Schwingungsenergie quantisiert, das heißt, es wird eine diskrete Reihe von Werten benötigt, die durch die Formel bestimmt werden:

In Übereinstimmung mit den allgemeinen Prinzipien der statistischen Physik ist die Wahrscheinlichkeit Pn finden Sie einen Oszillator in einem Zustand, der durch einen bestimmten Wert gekennzeichnet ist n Schwingungsquantenzahl, wird durch die Formel bestimmt

wo SONDERN - Normalisierungskonstante. Um es zu bestimmen, ist es notwendig, die Wahrschzu verwenden

Dazu in der bekannten Formel für eine geometrische Progression

Wert ersetzen

Wir bekommen dann statt (2)

woraus der Ausdruck für die Konstante folgt SONDERN. Wenn wir es in Ausdruck (1) verwenden, gelangen wir zur Wahrscheinlichkeit

Es ist ersichtlich, dass je größer der Wert der Quantenzahl ist n, desto unwahrscheinlicher ist es, in diesem Zustand einen Oszillator zu finden. Je höher die Temperatur, desto höher die Werte n für das System praktisch bedeutsam werden. Beim

Alle Wahrscheinlichkeiten gehen gegen Null Pn mit n > 1, und nur

Mit anderen Worten, bei Nulltemperatur gibt es keine thermischen Anregungen und der Oszillator führt "Nullschwingungen" aus - er ist drin meist Zustand niedrigster Energie

Die Energieverteilung von Oszillatoren in Abhängigkeit von der Temperatur des Systems ist in Abb. dargestellt. 3.9

Reis. 3.9. Ungefähre Verteilung von N = 30 Quantenoszillatoren über Energieniveaus in Abhängigkeit von der Temperatur. Nur der Boden und die ersten fünf angeregten Energieniveaus sind gezeigt. Bei T = 0 befinden sich alle Oszillatoren im Grundzustand. Mit steigender Temperatur stehen immer höhere Energien zur Verfügung und die Verteilung der Oszillatoren über die Ebenen wird immer gleichmäßiger.

Zur Verdeutlichung haben wir das System von einem kleinen ( N = 30) die Anzahl der Oszillatoren (streng genommen gelten statistische Gesetze für Systeme mit einer viel größeren Anzahl von Teilchen).

Es stellt sich die Frage: was der Durchschnitt Bedeutung Schwingungsquantenzahl n bei irgendeiner Temperatur T? Um zu antworten, müssen wir die Summe berechnen:

Dazu differenzieren wir bzgl q beide Gleichheitsteile (3.67) für eine geometrische Folge:

wo wir hinkommen

Mit (7) für

wir erhalten aus (6) einen Ausdruck für den gesuchten Mittelwert

Jetzt ist es einfach, die durchschnittliche Energie des Oszillators zu erhalten

wo ist die funktion cth - hyperbolischer Kotangens definiert durch die Relation

Auf Abb. 3.10 zeigt die durchgezogene Linie die durchschnittliche Energie des Quantenoszillators, gemessen in Einheiten ħω ,

abhängig von "dimensionsloser Temperatur"

Reis. 3.10. Mittlere Energie eines Quantenoszillators als Funktion der Temperatur

Gepunktete Linie

entspricht dem Ergebnis der klassischen Physik. Tatsächlich die Energie

pro Freiheitsgrad ist der Durchschnitt sowohl der kinetischen als auch der potentiellen Energie eines klassischen Oszillators, so dass der Durchschnitt der Gesamtenergie gerecht ist

Es ist ersichtlich, dass Quantenkorrekturen bei niedrigen Temperaturen wichtig sind: bei q< 0,3 Die durchschnittliche Energie des Oszillators liegt nahe an der Energie des Grundzustands ħω/2. In diesem Fall spricht man von „eingefrorenen“ Schwingungsfreiheitsgraden, d. h. es ist nicht genügend thermische Energie vorhanden, um Schwingungen anzuregen. Aber schon bei q = 2 beide Energien fallen praktisch zusammen, dh die Quantenkorrekturen sind klein. Bedeutung q = 1 kann als bedingte Grenze zwischen dem Quanten- und dem klassischen Bereich genommen werden. Seine Bedeutung ist klar:

thermische Energie ist gleich der minimalen Anregungsenergie des Oszillators, dh der Differenz zwischen der Energie

erster angeregter Zustand und Energie

Grundzustand des Oszillators.

Welche Temperaturen können für einen Oszillator, der ein reales System simuliert, beispielsweise ein Wasserstoffmolekül, als niedrig angesehen werden? H2? Die charakteristischen Frequenzen von Molekülschwingungen liegen üblicherweise im Infrarotbereich und liegen in der Größenordnung n = 10 14 Hz. Dies entspricht der Energie

und Temperatur

Durchschnittliche Energie eines Quantenrotators. Damit erweisen sich die uns bekannten Raumtemperaturen im Hinblick auf die Anregung von Molekülschwingungen als ausreichend niedrig. Mal sehen, was mit Molekülen bei Temperaturen passiert T< Т К0Л. Da es keine Schwingungen gibt, kann ein zweiatomiges Molekül als „Hantel“ dargestellt werden – zwei Atome, die starr miteinander verbunden sind. Ein solches System heißt Rotator und wie wir bereits gesehen haben, hat es fünf Freiheitsgrade – drei translatorische (Bewegung des Massenmittelpunkts) und zwei rotatorische. Die Energie der Rotationsbewegung eines klassischen Rotators hat die Form (3.61). Angesichts der Verbindung

zwischen Winkelfrequenz der Rotation ω , Trägheitsmoment ich und Drehimpuls L wir schreiben die klassische Rotationsenergie des Moleküls als

In der Quantenmechanik wird das Quadrat des Drehimpulses quantisiert,

Hier J- Rotationsquantenzahl, also wird auch die Energie der Rotationsbewegung des Moleküls quantisiert

Unter Verwendung dieses Verhältnisses und der Maxwell-Boltzmann-Verteilung kann man einen Ausdruck für die durchschnittliche Energie eines Quantenrotators erhalten. In diesem Fall sind die Formeln jedoch ziemlich kompliziert, und wir beschränken uns auf qualitative Ergebnisse. Bei hohen Temperaturen tendiert die mittlere Energie zum klassischen Wert kBT, entsprechend zwei Freiheitsgraden (Rotation um zwei orthogonale Achsen). Bei tiefen Temperaturen befindet sich der Rotator im dem Wert entsprechenden Grundzustand J= 0 (keine Drehung). Der "Übergang" zwischen diesen beiden Grenzfällen erfolgt offensichtlich bei einer solchen Temperatur T BP wenn thermische Bewegung Rotationsfreiheitsgrade anregen kann. Die minimale (von Null verschiedene) Rotationsenergie ist

wie folgt aus der Formel für E BP beim j = 1. So

Für das Trägheitsmoment des Moleküls können wir die Abschätzung nehmen

wo mp = 1,67· 10-27 kg(Protonenmasse) und ein B =5 10 -11 m ist der Bohr-Radius. Wir bekommen dann

Die erhaltenen Abschätzungen werden durch Messungen der molaren Wärmekapazität bei konstantem Volumen bestätigt mit nV, die wir bereits im vorigen Kapitel besprochen haben. Bei Temperaturen darunter 100K nur die translatorischen Freiheitsgrade des Moleküls sind an der thermischen Bewegung beteiligt. Die durchschnittliche Energie eines Moleküls ist 3kW/2, und die Energie eines Mols - 3N A k B T/2=3RT/2, woraus der Ausdruck für die Wärmekapazität folgt mit nV = 3R/2. Im Temperaturbereich von 100K Vor 200K molare Wärmekapazität steigt auf den Wert mit nV = 5R/2, was das "Auftauen" von zwei zusätzlichen (Rotations-) Freiheitsgraden (d.h. der Addition) anzeigt kB T Energie pro Molekül). Im Temperaturbereich von 4 000 Kelvin Vor 5 000 Kelvin die molare Wärmekapazität steigt wieder, diesmal auf einen Wert mit nV = 7R/2. Dieser „aufgefrorene“ Schwingungsfreiheitsgrad brachte zusätzliche Energie kB T auf der Molekül.

Die Geschwindigkeit chemischer Reaktionen. Chemiker haben eine Faustregel, wenn die Temperatur vorbei steigt 10 °С die Reaktionsgeschwindigkeit verdoppelt sich. Dies ist nur eine grobe Verallgemeinerung, es gibt viele Ausnahmen, aber im Großen und Ganzen ist es mehr oder weniger wahr. Auch hier kann eine Erklärung anhand der Maxwell-Boltzmann-Verteilung gegeben werden.

Damit viele chemische Reaktionen ablaufen können, muss die Energie der an ihnen beteiligten Teilchen einen bestimmten Schwellenwert überschreiten, den wir bezeichnen werden E 0 . T 2 \u003d 310 K dieses Verhältnis ist E 0 /k B T 2 = 14,0. Die Anzahl der an der Reaktion beteiligten Teilchen wird durch die Beziehungen bestimmt

Tatsächlich eine Erhöhung der Temperatur von nur 10 Grad führte zu einer Erhöhung 60 % die Anzahl der Teilchen, deren Energie den Schwellenwert überschreitet.

Für ein ideales Gas kann die Hamilton-Funktion einfach durch Energie ersetzt werden, und dann ist gemäß Formel (6.2) die Wahrscheinlichkeit, ein System mit Energie in einem Element des Phasenraums zu finden:

Für ein System nicht wechselwirkender Teilchen lässt sich die Energie als Summe der Energien einzelner Teilchen darstellen, dann kann die Wahrscheinlichkeit (6.28) in Faktoren zerlegt werden

Durch Integrieren der Variablen aller Teilchen außer dem 1. erhalten wir den Wahrscheinlichkeitsausdruck für das Teilchen:

Hier kann als Funktion von 6 Variablen die Verteilung (6.30) betrachtet werden

betrachtet im -dimensionalen Phasenraum eines Moleküls, der als -Raum (vom Wort Molekül) bezeichnet wird.

Die Energie eines einzelnen Teilchens kann durch die Summe der kinetischen und potentiellen Energien dargestellt werden, abhängig vom Impuls bzw. den Koordinaten des Teilchens:

Setzen wir diesen Ausdruck in (6.30) ein, erhalten wir:

Dies ist die Maxwell-Boltzmann-Verteilung.

Die Tatsache, dass kinetische und potentielle Energie von unterschiedlichen Variablen abhängen, ermöglicht es, eine Verteilung (6.32) als zwei unabhängige Verteilungen im dreidimensionalen Impulsraum und im dreidimensionalen Koordinatenraum aufzufassen:

Hier sind die Konstanten, die aus der Normalisierungsbedingung der Verteilung bestimmt wurden.

Die Impulsverteilung (6.33) stimmt mit der Maxwellschen Verteilung (3.22) für ein ideales Gas überein. Es ist jedoch zu beachten, dass die hier erhaltene Impulsverteilung nicht von der Art der Wechselwirkung der Teilchen des Systems abhängt, da die Wechselwirkungsenergie immer in die potentielle Energie des Teilchens eingebracht werden kann. Mit anderen Worten, die Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung ist für Teilchen aller klassischen Systeme geeignet: Gase, Flüssigkeiten und Festkörper.

Betrachten wir die Moleküle oder Atome, aus denen die Moleküle bestehen, als die kleinsten Teilchen, dann gilt auch für sie die Maxwellsche Verteilung. Allerdings schon für Elektronen in einem Atom oder in einem Metall oder für andere Quanten

Systemen ist die Maxwellsche Verteilung nicht gültig, da sie eine Folge der klassischen Statistik ist.

Die Verteilungsfunktion über Teilchenkoordinaten (6.34) in einem Potentialfeld repräsentiert die sogenannte Boltzmann-Verteilung (1877).

Für den Fall, dass die potentielle Energie beispielsweise nur von einer Variablen abhängt, kann man (6.34) über zwei andere Variablen integrieren und erhält (unter Berücksichtigung der Normierung) den Ausdruck:

Für ein ideales Gas in einem homogenen Schwerefeld leitet sich die bekannte barometrische Formel aus (6.35) ab. Tatsächlich nimmt in diesem Fall die Höhenverteilungsfunktion von Partikeln auch die Form an:

Aufgrund der Proportionalität der Teilchenzahl zur Verteilungsfunktion (6.36) erhält man folgende Verteilung der Teilchenzahl pro Volumeneinheit in der Höhe (Abb. 30):

Da es Partikel in einer Volumeneinheit geben wird, erhalten wir für die Verteilung der Partikel in der Höhe:

Wenn wir berücksichtigen, dass der Druck in einem Gas proportional zur Dichte ist, dann erhalten wir aus (6.37) die barometrische Formel

Reis. 30. Änderung der Teilchenzahl pro Volumeneinheit bei Höhenänderung nach der Boltzmann-Verteilung

Experimentelle Untersuchungen haben gezeigt, dass in großen Höhen in der Atmosphäre Abweichungen der Teilchenanzahl von der durch Formel (6.37) beschriebenen Verteilung beobachtet werden, die mit der inhomogenen Zusammensetzung der Atmosphäre, mit dem Temperaturunterschied in verschiedenen Höhen und mit der Tatsache zusammenhängen dass sich die Atmosphäre nicht im Gleichgewicht befindet.

In den Atmosphären von Planeten tritt das Phänomen der Streuung der Atmosphäre in den Weltraum auf. Dies wird durch die Tatsache erklärt, dass jedes Teilchen, das eine Geschwindigkeit hat, die größer als die zweite Raumgeschwindigkeit für einen bestimmten Planeten ist, die Atmosphäre des Planeten verlassen kann. In einem Gas gibt es, wie aus der Mackwellschen Verteilung hervorgeht, immer einen bestimmten Anteil von Molekülen mit sehr hohen Geschwindigkeiten, deren Abfahrt die allmähliche Streuung der oberen Schichten der Atmosphäre bestimmt. Die Streuung der Atmosphäre von Planeten erfolgt umso schneller, je kleiner die Masse des Planeten und je höher seine Temperatur ist. Für die Erde erweist sich dieser Effekt als vernachlässigbar, der Planet Merkur und der Mond haben auf diese Weise bereits ihre Atmosphäre verloren.