aus seiner Definition abgeleitet. Und damit der Logarithmus der Zahl b aus grund a definiert als der Exponent, zu dem eine Zahl erhöht werden muss a um die Nummer zu bekommen b(Der Logarithmus existiert nur für positive Zahlen).

Aus dieser Formulierung folgt die Berechnung x=log a b, ist äquivalent zum Lösen der Gleichung ax=b. Zum Beispiel, Protokoll 2 8 = 3 weil 8 = 2 3 . Die Formulierung des Logarithmus ermöglicht es, das zu begründen, wenn b=a c, dann der Logarithmus der Zahl b aus grund a gleich mit. Es ist auch klar, dass das Thema des Logarithmus eng mit dem Thema der Potenz einer Zahl zusammenhängt.

Mit Logarithmen kannst du, wie mit allen Zahlen, durchführen Operationen der Addition, Subtraktion und auf jede erdenkliche Weise umwandeln. Aber in Anbetracht der Tatsache, dass Logarithmen keine ganz gewöhnlichen Zahlen sind, gelten hier eigene Sonderregeln, die genannt werden Grundeigenschaften.

Addition und Subtraktion von Logarithmen.

Nimm zwei Logarithmen mit derselben Basis: Protokoll x und log a y. Dann ist es möglich, Additions- und Subtraktionsoperationen durchzuführen:

log a x+ log a y = log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = Protokoll x 1 + Protokoll x 2 + Protokoll x 3 + ... + Log a x k.

Aus Quotienten-Logarithmus-Theoreme Eine weitere Eigenschaft des Logarithmus kann erhalten werden. Es ist bekannt, dass log a 1 = 0, also

Protokoll a 1 /b= anmelden a 1 - Protokoll ein b= -log ein b.

Es gibt also eine Gleichheit:

log a 1 / b = - log a b.

Logarithmen zweier reziproker Zahlen auf der gleichen Basis unterscheiden sich nur im Vorzeichen. So:

Protokoll 3 9= - Protokoll 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

Was ist ein Logarithmus?

Beachtung!
Es gibt zusätzliche
Material in Sondersektion 555.
Für diejenigen, die stark "nicht sehr ..."
Und für diejenigen, die "sehr viel...")

Was ist ein Logarithmus? Wie löst man Logarithmen? Diese Fragen verwirren viele Absolventen. Traditionell gilt das Thema Logarithmen als komplex, unverständlich und beängstigend. Besonders - Gleichungen mit Logarithmen.

Das stimmt absolut nicht. Absolut! Glauben Sie nicht? Gut. Nun, für etwa 10 - 20 Minuten:

1. Verstehen was ist ein logarithmus.

2. Lernen Sie, eine ganze Klasse von Exponentialgleichungen zu lösen. Auch wenn Sie noch nie von ihnen gehört haben.

3. Lernen Sie einfache Logarithmen zu berechnen.

Außerdem müssen Sie dazu nur das Einmaleins kennen und wissen, wie eine Zahl potenziert wird ...

Ich spüre, dass Sie zweifeln ... Nun, halten Sie Zeit! Gehen!

Löse zuerst die folgende Gleichung in Gedanken:

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Der Schwerpunkt dieses Artikels liegt Logarithmus. Hier geben wir die Definition des Logarithmus, zeigen die akzeptierte Schreibweise, geben Beispiele für Logarithmen und sprechen über natürliche und dezimale Logarithmen. Betrachten Sie danach die grundlegende logarithmische Identität.

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Definition von Logarithmus

Das Konzept eines Logarithmus entsteht bei der Lösung eines Problems in einem bestimmten Sinne invers, wenn Sie den Exponenten aus einem bekannten Wert des Grades und einer bekannten Basis finden müssen.

Aber genug der Vorrede, es ist Zeit, die Frage „Was ist ein Logarithmus“ zu beantworten? Lassen Sie uns eine angemessene Definition geben.

Definition.

Logarithmus von b zur Basis a, wobei a>0 , a≠1 und b>0 der Exponent ist, auf den Sie die Zahl a erhöhen müssen, um als Ergebnis b zu erhalten.

An dieser Stelle stellen wir fest, dass das gesprochene Wort „Logarithmus“ sofort zwei Folgefragen aufwerfen sollte: „welche Zahl“ und „auf welcher Grundlage“. Mit anderen Worten, es gibt einfach keinen Logarithmus, sondern nur den Logarithmus einer Zahl in irgendeiner Basis.

Wir werden sofort vorstellen logarithmische Schreibweise: Der Logarithmus der Zahl b zur Basis a wird üblicherweise als log a b bezeichnet. Der Logarithmus der Zahl b zur Basis e und der Logarithmus zur Basis 10 haben ihre eigenen speziellen Bezeichnungen lnb bzw. lgb, das heißt, sie schreiben nicht log e b , sondern lnb und nicht log 10 b , sondern lgb .

Jetzt können Sie Folgendes mitbringen: .
Und die Aufzeichnungen machen keinen Sinn, da im ersten eine negative Zahl unter dem Vorzeichen des Logarithmus steht, im zweiten - eine negative Zahl in der Basis und im dritten - sowohl eine negative Zahl unter dem Vorzeichen des Logarithmus als auch eine Einheit in der Basis.

Jetzt reden wir darüber Regeln zum Lesen von Logarithmen. Der Eintrag log a b wird gelesen als "Logarithmus von b zur Basis a". Beispielsweise ist log 2 3 der Logarithmus von drei zur Basis 2 und der Logarithmus von zwei ganzen Zahlen zwei Basisdrittel der Quadratwurzel von fünf. Der Logarithmus zur Basis e wird aufgerufen natürlicher Logarithmus, und die Notation lnb wird als "der natürliche Logarithmus von b" gelesen. Zum Beispiel ist ln7 der natürliche Logarithmus von sieben, und wir werden ihn als den natürlichen Logarithmus von Pi lesen. Der Logarithmus zur Basis 10 hat auch einen besonderen Namen - dezimaler Logarithmus, und die Notation lgb wird gelesen als "dezimaler Logarithmus b". Beispielsweise ist lg1 der dezimale Logarithmus von eins und lg2,75 der dezimale Logarithmus von zwei Komma fünfundsiebzig Hundertstel.

Es lohnt sich, gesondert auf die Bedingungen a>0, a≠1 und b>0 einzugehen, unter denen die Definition des Logarithmus gegeben ist. Lassen Sie uns erklären, woher diese Einschränkungen kommen. Dabei hilft uns eine Gleichheit der Form namens , die direkt aus der oben gegebenen Definition des Logarithmus folgt.

Beginnen wir mit a≠1 . Da Eins gleich Eins zu jeder Potenz ist, kann die Gleichheit nur für b=1 wahr sein, aber log 1 1 kann jede reelle Zahl sein. Um diese Mehrdeutigkeit zu vermeiden, wird a≠1 akzeptiert.

Untermauern wir die Zweckmäßigkeit der Bedingung a>0 . Mit a=0 hätten wir nach Definition des Logarithmus Gleichheit, was nur mit b=0 möglich ist. Aber dann kann log 0 0 jede reelle Zahl ungleich Null sein, da Null hoch jede Potenz ungleich Null gleich Null ist. Diese Mehrdeutigkeit kann durch die Bedingung a≠0 vermieden werden. Und für ein<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Schließlich folgt aus der Ungleichung a>0 die Bedingung b>0, da , und der Wert des Grades mit positiver Basis a immer positiv ist.

Zum Abschluss dieses Absatzes sagen wir, dass die stimmhafte Definition des Logarithmus es Ihnen ermöglicht, den Wert des Logarithmus sofort anzugeben, wenn die Zahl unter dem Vorzeichen des Logarithmus einen bestimmten Basisgrad hat. Tatsächlich erlaubt uns die Definition des Logarithmus zu behaupten, dass wenn b=a p , der Logarithmus der Zahl b zur Basis a gleich p ist. Das heißt, das Gleichheitslog a a p = p ist wahr. Wir wissen zum Beispiel, dass 2 3 =8 , dann log 2 8=3 . Wir werden im Artikel mehr darüber sprechen.

Heute werden wir darüber sprechen logarithmische Formeln und demonstrieren Lösungsbeispiele.

Sie implizieren für sich genommen Lösungsmuster gemäß den grundlegenden Eigenschaften von Logarithmen. Bevor wir die Logarithmusformeln auf die Lösung anwenden, erinnern wir uns für Sie zunächst an alle Eigenschaften:

Basierend auf diesen Formeln (Eigenschaften) zeigen wir nun Beispiele zum Lösen von Logarithmen.

Beispiele zum Lösen von Logarithmen basierend auf Formeln.

Logarithmus Eine positive Zahl b zur Basis a (als log a b bezeichnet) ist der Exponent, auf den a erhöht werden muss, um b zu erhalten, mit b > 0, a > 0 und 1.

Nach der Definition log a b = x, was äquivalent zu a x = b ist, also log a a x = x.

Logarithmen, Beispiele:

log 2 8 = 3, weil 2 3 = 8

log 7 49 = 2 weil 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, weil 5 -1 = 1/5

Dezimaler Logarithmus ist ein gewöhnlicher Logarithmus, dessen Basis 10 ist. Bezeichnet als lg.

log 10 100 = 2 weil 10 2 = 100

natürlicher Logarithmus- auch der übliche Logarithmus-Logarithmus, aber mit der Basis e (e \u003d 2,71828 ... - eine irrationale Zahl). Wird als ln bezeichnet.

Es ist wünschenswert, sich die Formeln oder Eigenschaften von Logarithmen zu merken, da wir sie später beim Lösen von Logarithmen, logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen benötigen. Lassen Sie uns jede Formel noch einmal mit Beispielen durcharbeiten.

• Grundlegende logarithmische Identität
  ein Protokoll ein b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Der Logarithmus des Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4

• Der Logarithmus des Quotienten ist gleich der Differenz der Logarithmen
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Eigenschaften des Grades einer logarithmierbaren Zahl und der Basis des Logarithmus

  Der Exponent einer logarithmischen Zahl log a b m = mlog a b

  Exponent der Basis des Logarithmus log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  wenn m = n, erhalten wir log a n b n = log a b

  Log 4 9 = Log 2 2 3 2 = Log 2 3

• Übergang in eine neue Stiftung
  log a b = log c b / log c a,

  wenn c = b, erhalten wir log b b = 1

  dann log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Wie Sie sehen können, sind die Logarithmusformeln nicht so kompliziert, wie sie scheinen. Nachdem wir nun Beispiele zum Lösen von Logarithmen betrachtet haben, können wir zu logarithmischen Gleichungen übergehen. Wir werden Beispiele für die Lösung logarithmischer Gleichungen im Artikel genauer betrachten: "". Nicht verpassen!

Wenn Sie noch Fragen zur Lösung haben, schreiben Sie diese in die Kommentare zum Artikel.

Hinweis: entschieden, eine Ausbildung einer anderen Klasse im Ausland als Option zu absolvieren.

Wir studieren weiterhin Logarithmen. In diesem Artikel werden wir darüber sprechen Berechnung von Logarithmen, wird dieser Prozess aufgerufen Logarithmus. Zuerst werden wir uns mit der Berechnung von Logarithmen per Definition befassen. Überlegen Sie als Nächstes, wie die Werte von Logarithmen anhand ihrer Eigenschaften gefunden werden. Danach werden wir uns mit der Berechnung von Logarithmen durch die anfänglich angegebenen Werte anderer Logarithmen befassen. Lassen Sie uns schließlich lernen, wie man Logarithmentabellen verwendet. Die ganze Theorie ist mit Beispielen mit Detaillösungen versehen.

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Berechnung von Logarithmen per Definition

In den einfachsten Fällen ist es möglich, schnell und einfach durchzuführen Suche nach dem Logarithmus per Definition. Schauen wir uns genauer an, wie dieser Prozess abläuft.

Sein Wesen besteht darin, die Zahl b in der Form a c darzustellen, wobei nach der Definition des Logarithmus die Zahl c der Wert des Logarithmus ist. Das Finden des Logarithmus entspricht per Definition der folgenden Gleichheitskette: log a b=log a a c = c .

Die Berechnung des Logarithmus läuft also per Definition darauf hinaus, eine solche Zahl c zu finden, dass a c \u003d b, und die Zahl c selbst der gewünschte Wert des Logarithmus ist.

Wenn die Zahl unter dem Vorzeichen des Logarithmus durch einen gewissen Grad der Basis des Logarithmus angegeben wird, können Sie anhand der Informationen der vorherigen Absätze sofort angeben, was der Logarithmus gleich ist - er ist gleich dem Exponenten. Lassen Sie uns Beispiele zeigen.

Beispiel.

Finde log 2 2 −3 und berechne auch den natürlichen Logarithmus von e 5.3 .

Entscheidung.

Die Definition des Logarithmus lässt uns sofort sagen, dass log 2 2 −3 = −3 . Tatsächlich ist die Zahl unter dem Vorzeichen des Logarithmus gleich der Basis 2 hoch −3.

Ebenso finden wir den zweiten Logarithmus: lne 5,3 = 5,3.

Antworten:

log 2 2 −3 = −3 und Inne 5,3 =5,3 .

Wenn die Zahl b unter dem Vorzeichen des Logarithmus nicht als Potenz der Basis des Logarithmus angegeben wird, müssen Sie sorgfältig überlegen, ob es möglich ist, die Zahl b in der Form a c darzustellen. Oft ist diese Darstellung ziemlich offensichtlich, besonders wenn die Zahl unter dem Vorzeichen des Logarithmus gleich der Basis hoch 1 oder 2 oder 3 ist, ...

Beispiel.

Berechnen Sie die Logarithmen log 5 25 , und .

Entscheidung.

Es ist leicht zu sehen, dass 25=5 2 , damit können Sie den ersten Logarithmus berechnen: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

Wir fahren mit der Berechnung des zweiten Logarithmus fort. Eine Zahl kann als Potenz von 7 dargestellt werden: (siehe ggf.). Somit, .

Schreiben wir den dritten Logarithmus in der folgenden Form um. Jetzt können Sie das sehen , woraus wir schließen . Also durch die Definition des Logarithmus .

Kurz gesagt könnte die Lösung wie folgt geschrieben werden:

Antworten:

log 5 25=2 , und .

Wenn eine genügend große natürliche Zahl unter dem Vorzeichen des Logarithmus steht, dann schadet es nicht, sie in Primfaktoren zu zerlegen. Oft hilft es, eine solche Zahl als eine Potenz der Basis des Logarithmus darzustellen und diesen Logarithmus daher per Definition zu berechnen.

Beispiel.

Finde den Wert des Logarithmus.

Entscheidung.

Einige Eigenschaften von Logarithmen ermöglichen es Ihnen, den Wert von Logarithmen sofort anzugeben. Diese Eigenschaften umfassen die Eigenschaft des Logarithmus von eins und die Eigenschaft des Logarithmus einer Zahl gleich der Basis: log 1 1=log a a 0 =0 und log a a=log a a 1 =1 . Das heißt, wenn die Zahl 1 oder die Zahl a unter dem Vorzeichen des Logarithmus steht, gleich der Basis des Logarithmus, dann sind in diesen Fällen die Logarithmen 0 bzw. 1.

Beispiel.

Was sind die Logarithmen und lg10 ?

Entscheidung.

Da folgt aus der Definition des Logarithmus .

Im zweiten Beispiel stimmt die Zahl 10 unter dem Vorzeichen des Logarithmus mit ihrer Basis überein, sodass der Dezimallogarithmus von zehn gleich eins ist, d. h. lg10=lg10 1 =1 .

Antworten:

Und lg10=1 .

Beachten Sie, dass die Berechnung von Logarithmen per Definition (die wir im vorherigen Absatz besprochen haben) die Verwendung des Gleichheitslogs a a p =p impliziert, was eine der Eigenschaften von Logarithmen ist.

In der Praxis ist es sehr bequem, die Formel zu verwenden, wenn die Zahl unter dem Vorzeichen des Logarithmus und die Basis des Logarithmus leicht als Potenz einer Zahl dargestellt werden können , was einer der Eigenschaften von Logarithmen entspricht. Betrachten Sie ein Beispiel zum Ermitteln des Logarithmus, das die Verwendung dieser Formel veranschaulicht.

Beispiel.

Berechnen Sie den Logarithmus von .

Entscheidung.

Antworten:

.

Die oben nicht erwähnten Eigenschaften von Logarithmen werden ebenfalls in der Berechnung verwendet, aber wir werden in den folgenden Abschnitten darauf eingehen.

Finden von Logarithmen in Bezug auf andere bekannte Logarithmen

Die Informationen in diesem Absatz setzen das Thema der Verwendung der Eigenschaften von Logarithmen in ihrer Berechnung fort. Aber hier besteht der Hauptunterschied darin, dass die Eigenschaften von Logarithmen verwendet werden, um den ursprünglichen Logarithmus durch einen anderen Logarithmus auszudrücken, dessen Wert bekannt ist. Nehmen wir zur Verdeutlichung ein Beispiel. Nehmen wir an, wir wissen, dass log 2 3≈1.584963 , dann können wir zum Beispiel log 2 6 finden, indem wir eine kleine Transformation unter Verwendung der Eigenschaften des Logarithmus durchführen: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Im obigen Beispiel hat es uns gereicht, die Eigenschaft des Logarithmus des Produkts zu verwenden. Viel häufiger muss man jedoch auf ein breiteres Arsenal an Eigenschaften von Logarithmen zurückgreifen, um den ursprünglichen Logarithmus anhand der gegebenen zu berechnen.

Beispiel.

Berechnen Sie den Logarithmus von 27 zur Basis 60, wenn bekannt ist, dass log 60 2=a und log 60 5=b .

Entscheidung.

Also müssen wir log 60 27 finden. Es ist leicht zu sehen, dass 27 = 3 3 , und der ursprüngliche Logarithmus aufgrund der Eigenschaft des Gradlogarithmus in 3·log 60 3 umgeschrieben werden kann.

Sehen wir uns nun an, wie log 60 3 in bekannten Logarithmen ausgedrückt werden kann. Die Eigenschaft des Logarithmus einer Zahl gleich der Basis ermöglicht es Ihnen, das Gleichheitsprotokoll 60 60=1 zu schreiben. Andererseits log 60 60=log60(2 2 3 5)= Protokoll 60 2 2 +Protokoll 60 3+Protokoll 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Auf diese Weise, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Somit, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

Schließlich berechnen wir den ursprünglichen Logarithmus: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Antworten:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Unabhängig davon ist die Bedeutung der Formel für den Übergang zu einer neuen Basis des Logarithmus der Form zu erwähnen . Es ermöglicht Ihnen, von Logarithmen mit beliebiger Basis zu Logarithmen mit einer bestimmten Basis zu wechseln, deren Werte bekannt sind oder gefunden werden können. Normalerweise wechseln sie vom ursprünglichen Logarithmus gemäß der Übergangsformel zu Logarithmen in einer der Basen 2, e oder 10, da es für diese Basen Logarithmentabellen gibt, die es ermöglichen, ihre Werte mit einem bestimmten Grad zu berechnen der Genauigkeit. Wie das geht, zeigen wir im nächsten Abschnitt.

Logarithmentafeln, ihre Verwendung

Für eine ungefähre Berechnung der Werte der Logarithmen kann man verwenden Logarithmentabellen. Am häufigsten werden die Basis-2-Logarithmustabelle, die natürliche Logarithmustabelle und die Dezimallogarithmustabelle verwendet. Wenn Sie mit dem Dezimalsystem arbeiten, ist es praktisch, eine Tabelle mit Logarithmen zur Basis zehn zu verwenden. Mit seiner Hilfe lernen wir, die Werte von Logarithmen zu finden.

Die vorgestellte Tabelle ermöglicht es, mit einer Genauigkeit von einem Zehntausendstel die Werte der Dezimallogarithmen von Zahlen von 1,000 bis 9,999 (mit drei Dezimalstellen) zu finden. Wir werden das Prinzip der Ermittlung des Werts des Logarithmus anhand einer Tabelle mit Dezimallogarithmen anhand eines bestimmten Beispiels analysieren - es ist klarer. Lassen Sie uns lg1.256 finden.

In der linken Spalte der Tabelle der Dezimallogarithmen finden wir die ersten beiden Ziffern der Zahl 1,256, also 1,2 (diese Zahl ist zur Verdeutlichung blau eingekreist). Die dritte Ziffer der Zahl 1.256 (Zahl 5) befindet sich in der ersten oder letzten Zeile links vom Doppelstrich (diese Zahl ist rot eingekreist). Die vierte Ziffer der ursprünglichen Zahl 1.256 (Zahl 6) befindet sich in der ersten oder letzten Zeile rechts vom Doppelstrich (diese Zahl ist grün eingekreist). Jetzt finden wir die Zahlen in den Zellen der Logarithmentabelle am Schnittpunkt der markierten Zeile und der markierten Spalten (diese Zahlen sind orange hervorgehoben). Die Summe der markierten Zahlen ergibt den gesuchten Wert des Dezimallogarithmus bis zur vierten Dezimalstelle, also log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Ist es möglich, anhand der obigen Tabelle die Werte der Dezimallogarithmen von Zahlen zu finden, die mehr als drei Nachkommastellen haben und auch die Grenzen von 1 bis 9,999 überschreiten? Ja, du kannst. Lassen Sie uns anhand eines Beispiels zeigen, wie das geht.

Lassen Sie uns lg102.76332 berechnen. Zuerst müssen Sie schreiben Nummer in Standardform: 102,76332=1,0276332 10 2 . Danach sollte die Mantisse auf die dritte Dezimalstelle aufgerundet werden, wir haben 1,0276332 10 2 ≈ 1,028 10 2, während der ursprüngliche dezimale Logarithmus ungefähr gleich dem Logarithmus der resultierenden Zahl ist, d. h. wir nehmen lg102,76332≈lg1,028·10 2 . Wenden Sie nun die Eigenschaften des Logarithmus an: lg1,028 10 2 = lg1,028+lg10 2 = lg1,028+2. Schließlich finden wir den Wert des Logarithmus lg1.028 gemäß der Tabelle der Dezimallogarithmen lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Als Ergebnis sieht der gesamte Prozess der Berechnung des Logarithmus wie folgt aus: lg102,76332=lg1,0276332 10 2 ≈ lg1,028 10 2 = lg1,028+lg10 2 = lg1,028+2≈0,012+2=2,012.

Abschließend ist anzumerken, dass Sie mit der Tabelle der Dezimallogarithmen den ungefähren Wert jedes Logarithmus berechnen können. Dazu reicht es aus, die Übergangsformel zu verwenden, um zu Dezimallogarithmen zu gehen, ihre Werte in der Tabelle zu finden und die restlichen Berechnungen durchzuführen.

Berechnen wir zum Beispiel log 2 3 . Nach der Formel für den Übergang zu einer neuen Basis des Logarithmus haben wir . Aus der Tabelle der Dezimallogarithmen finden wir lg3≈0.4771 und lg2≈0.3010. Auf diese Weise, .

Referenzliste.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. und andere Algebra und die Anfänge der Analysis: Ein Lehrbuch für die Klassen 10-11 allgemeiner Bildungseinrichtungen.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematik (ein Handbuch für Bewerber an technischen Schulen).