Zusammengesetztes Wort „Parallelogramm“? Und dahinter verbirgt sich eine ganz einfache Figur.
Nun, das heißt, wir haben zwei parallele Linien genommen:
Von zwei weiteren gekreuzt:
Und drinnen ist ein Parallelogramm!
Welche Eigenschaften hat ein Parallelogramm?
Eigenschaften eines Parallelogramms.
Das heißt, was können Sie verwenden, wenn dem Problem ein Parallelogramm gegeben wird?
Der folgende Satz beantwortet diese Frage:
Lassen Sie uns alles im Detail zeichnen.
Was bedeutet erster Punkt des Theorems? Und Tatsache ist: Wenn Sie ein Parallelogramm haben, dann werden Sie es mit Sicherheit tun
Der zweite Punkt bedeutet, dass, wenn es ein Parallelogramm gibt, wiederum mit Sicherheit:
Nun, und schließlich bedeutet der dritte Punkt: Wenn Sie ein Parallelogramm haben, dann stellen Sie sicher, dass Sie:
Sehen Sie, wie groß die Auswahl ist? Was ist bei dem Problem zu verwenden? Versuchen Sie, sich auf die Fragestellung der Aufgabe zu konzentrieren, oder probieren Sie einfach alles einzeln aus – ein „Schlüssel“ reicht aus.
Stellen wir uns nun eine andere Frage: Wie können wir ein Parallelogramm „am Anblick“ erkennen? Was muss mit einem Viereck geschehen, damit wir ihm den „Titel“ eines Parallelogramms geben dürfen?
Mehrere Anzeichen eines Parallelogramms beantworten diese Frage.
Anzeichen eines Parallelogramms.
Aufmerksamkeit! Beginnen.
Parallelogramm.
Bitte beachten Sie: Wenn Sie in Ihrem Problem mindestens ein Zeichen gefunden haben, dann haben Sie definitiv ein Parallelogramm und können alle Eigenschaften eines Parallelogramms nutzen.
2. Rechteck
Ich denke, das wird Ihnen überhaupt nichts Neues sein
Erste Frage: Ist ein Rechteck ein Parallelogramm?
Natürlich ist es das! Immerhin hat er – erinnern Sie sich, unser Zeichen 3?
Und daraus folgt natürlich, dass in einem Rechteck, wie in jedem Parallelogramm, die Diagonalen durch den Schnittpunkt in zwei Hälften geteilt werden.
Aber das Rechteck hat auch eine besondere Eigenschaft.
Rechteckeigenschaft
Warum ist diese Immobilie einzigartig? Denn kein anderes Parallelogramm hat gleiche Diagonalen. Formulieren wir es klarer.
Bitte beachten Sie: Um ein Rechteck zu werden, muss aus einem Viereck zunächst ein Parallelogramm werden und dann die Gleichheit der Diagonalen nachgewiesen werden.
3. Diamant
Und wieder die Frage: Ist eine Raute ein Parallelogramm oder nicht?
Mit vollem Recht - ein Parallelogramm, weil es und hat (erinnern Sie sich an unsere Funktion 2).
Und da eine Raute ein Parallelogramm ist, muss sie alle Eigenschaften eines Parallelogramms haben. Das bedeutet, dass in einer Raute gegenüberliegende Winkel gleich sind, gegenüberliegende Seiten parallel sind und sich die Diagonalen im Schnittpunkt halbieren.
Eigenschaften einer Raute
Sehen Sie das Bild an:
Wie bei einem Rechteck sind diese Eigenschaften unterschiedlich, das heißt, für jede dieser Eigenschaften können wir schließen, dass es sich nicht nur um ein Parallelogramm, sondern um eine Raute handelt.
Zeichen eines Diamanten
Und noch einmal: Achtung: Es darf nicht nur ein Viereck sein, dessen Diagonalen senkrecht zueinander stehen, sondern ein Parallelogramm. Stellen Sie sicher:
Nein, natürlich, obwohl seine Diagonalen senkrecht sind und die Diagonale die Winkelhalbierende der Winkel und ist. Aber... Diagonalen werden durch den Schnittpunkt nicht in zwei Hälften geteilt, also KEIN Parallelogramm und daher KEINE Raute.
Das heißt, ein Quadrat ist gleichzeitig ein Rechteck und eine Raute. Mal sehen was passiert.
Ist klar, warum? - Raute ist die Winkelhalbierende des Winkels A, die gleich ist. Dies bedeutet, dass es sich entlang der Länge in zwei Winkel teilt (und auch).
Nun, es ist ganz klar: Die Diagonalen eines Rechtecks sind gleich; Die Diagonalen einer Raute stehen senkrecht aufeinander, und im Allgemeinen wird ein Parallelogramm von Diagonalen durch den Schnittpunkt in zwei Hälften geteilt.
DURCHSCHNITTSNIVEAU
Eigenschaften von Vierecken. Parallelogramm
Eigenschaften eines Parallelogramms
Aufmerksamkeit! Wörter " Eigenschaften eines Parallelogramms„Meine das, wenn in deiner Aufgabe Es gibt Parallelogramm, dann können alle folgenden verwendet werden.
Satz über die Eigenschaften eines Parallelogramms.
In jedem Parallelogramm:
Mit anderen Worten: Lassen Sie uns verstehen, warum das alles wahr ist WIR WERDEN BEWEISEN Satz.
Warum ist 1) wahr?
Wenn es ein Parallelogramm ist, dann:
- liegen wie kreuz und quer
- liegen wie Kreuze.
Dies bedeutet (gemäß Kriterium II: und - allgemein.)
Nun, das ist es, das ist es! - bewiesen.
Aber übrigens! Wir haben auch 2) bewiesen!
Warum? Aber (schauen Sie sich das Bild an), das ist genau so.
Nur 3 übrig).
Dazu müssen Sie noch eine zweite Diagonale zeichnen.
Und jetzt sehen wir das - gemäß der II-Charakteristik (Winkel und die Seite „zwischen“ ihnen).
Eigenschaften nachgewiesen! Kommen wir zu den Schildern.
Anzeichen eines Parallelogramms
Denken Sie daran, dass das Parallelogrammzeichen die Frage „Woher wissen Sie?“ beantwortet, dass eine Figur ein Parallelogramm ist.
Bei Icons sieht das so aus:
Warum? Es wäre schön zu verstehen, warum – das reicht. Aber schau:
Nun haben wir herausgefunden, warum Zeichen 1 wahr ist.
Nun, es ist noch einfacher! Zeichnen wir noch einmal eine Diagonale.
Was bedeutet:
UND Es ist auch einfach. Aber anders!
Bedeutet, . Wow! Aber auch - intern einseitig mit Sekante!
Deshalb bedeutet die Tatsache, dass das so ist.
Und wenn Sie von der anderen Seite schauen, dann - innen einseitig mit einer Sekante! Und deswegen.
Siehst du, wie toll es ist?!
Und wieder einfach:
Genau das Gleiche, und.
Passt auf: wenn du es gefunden hast obwohl ein Anzeichen für ein Parallelogramm in Ihrem Problem, dann haben Sie es genau Parallelogramm und Sie können verwenden alle Eigenschaften eines Parallelogramms.
Zur vollständigen Verdeutlichung sehen Sie sich das Diagramm an:
Eigenschaften von Vierecken. Rechteck.
Rechteckeigenschaften:
Punkt 1) liegt auf der Hand, schließlich ist Zeichen 3 () einfach erfüllt
Und Punkt 2) - sehr wichtig. Also, lasst uns das beweisen
Das bedeutet auf zwei Seiten (und - allgemein).
Nun, da die Dreiecke gleich sind, sind auch ihre Hypotenusen gleich.
Geprüft, dass!
Und stellen Sie sich vor, die Gleichheit der Diagonalen ist die charakteristische Eigenschaft eines Rechtecks unter allen Parallelogrammen. Das heißt, diese Aussage ist wahr^
Lassen Sie uns verstehen, warum?
Dies bedeutet (gemeint sind die Winkel eines Parallelogramms). Aber erinnern wir uns noch einmal daran, dass es sich um ein Parallelogramm handelt und daher.
Bedeutet, . Nun, daraus folgt natürlich, dass jeder von ihnen! Schließlich müssen sie in Summe geben!
Sie haben also bewiesen, dass wenn Parallelogramm plötzlich (!) sind die Diagonalen gleich, dann das genau ein Rechteck.
Aber! Passt auf! Es geht um Parallelogramme! Nicht irgendjemand ein Viereck mit gleichen Diagonalen ist ein Rechteck, und nur Parallelogramm!
Eigenschaften von Vierecken. Rhombus
Und wieder die Frage: Ist eine Raute ein Parallelogramm oder nicht?
Mit vollem Recht - ein Parallelogramm, weil es (erinnern Sie sich an unsere Funktion 2).
Und da eine Raute ein Parallelogramm ist, muss sie alle Eigenschaften eines Parallelogramms haben. Das bedeutet, dass in einer Raute gegenüberliegende Winkel gleich sind, gegenüberliegende Seiten parallel sind und sich die Diagonalen im Schnittpunkt halbieren.
Es gibt aber auch besondere Eigenschaften. Formulieren wir es.
Eigenschaften einer Raute
Warum? Da eine Raute ein Parallelogramm ist, sind ihre Diagonalen in zwei Hälften geteilt.
Warum? Ja, deshalb!
Mit anderen Worten, die Diagonalen erwiesen sich als Winkelhalbierende der Ecken der Raute.
Diese Eigenschaften gelten wie bei einem Rechteck unverwechselbar, jeder von ihnen ist auch ein Zeichen einer Raute.
Zeichen eines Diamanten.
Warum ist das? Und schau,
Das bedeutet beide Diese Dreiecke sind gleichschenklig.
Um eine Raute zu sein, muss ein Viereck zunächst ein Parallelogramm „werden“ und dann Merkmal 1 oder Merkmal 2 aufweisen.
Eigenschaften von Vierecken. Quadrat
Das heißt, ein Quadrat ist gleichzeitig ein Rechteck und eine Raute. Mal sehen was passiert.
Ist klar, warum? Ein Quadrat – eine Raute – ist die Winkelhalbierende eines Winkels, der gleich ist. Dies bedeutet, dass es sich entlang der Länge in zwei Winkel teilt (und auch).
Nun, es ist ganz klar: Die Diagonalen eines Rechtecks sind gleich; Die Diagonalen einer Raute stehen senkrecht aufeinander, und im Allgemeinen wird ein Parallelogramm von Diagonalen durch den Schnittpunkt in zwei Hälften geteilt.
Warum? Nun, wenden wir einfach den Satz des Pythagoras an...
ZUSAMMENFASSUNG UND GRUNDFORMELN
Eigenschaften eines Parallelogramms:
- Gegenüberliegende Seiten sind gleich: , .
- Entgegengesetzte Winkel sind gleich: , .
- Die Winkel auf einer Seite ergeben zusammen: , .
- Die Diagonalen werden durch den Schnittpunkt in zwei Hälften geteilt: .
Rechteckeigenschaften:
- Die Diagonalen des Rechtecks sind gleich: .
- Ein Rechteck ist ein Parallelogramm (für ein Rechteck sind alle Eigenschaften eines Parallelogramms erfüllt).
Eigenschaften einer Raute:
- Die Diagonalen einer Raute stehen senkrecht zueinander: .
- Die Diagonalen einer Raute sind die Winkelhalbierenden: ; ; ; .
- Eine Raute ist ein Parallelogramm (für eine Raute sind alle Eigenschaften eines Parallelogramms erfüllt).
Eigenschaften eines Quadrats:
Ein Quadrat ist eine Raute und ein Rechteck zugleich, daher sind für ein Quadrat alle Eigenschaften eines Rechtecks und einer Raute erfüllt. Und auch:
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Sign-ki pa-ral-le-lo-gram-ma
1. Definition und grundlegende Eigenschaften eines Parallelogramms
Erinnern wir uns zunächst an die Definition von para-ral-le-lo-gram.
Definition. Parallelogramm- what-you-rekh-gon-nick, bei dem alle zwei Pro-Ti-False-Seiten parallel sind (siehe Abb. . 1).
Reis. 1. Pa-ral-le-lo-gram
Lass uns erinnern Grundeigenschaften von pa-ral-le-lo-gram-ma:
Um alle diese Eigenschaften nutzen zu können, müssen Sie sicher sein, dass das fi-gu-ra, über jemanden -roy in Frage, - par-ral-le-lo-gram. Dazu ist es notwendig, Fakten wie Anzeichen von Paral-le-lo-gram-ma zu kennen. Die ersten beiden davon schauen wir uns dieses Jahr an.
2. Das erste Zeichen eines Parallelogramms
Satz. Das erste Anzeichen von pa-ral-le-lo-gram-ma. Wenn bei einer Vierkohle die beiden gegenüberliegenden Seiten gleich und parallel sind, dann wird dieser Vierkohle-Spitzname - Parallelogramm. 
.
Reis. 2. Das erste Anzeichen von pa-ral-le-lo-gram-ma
Nachweisen. Wir haben das Dia-Go-Nal in die Vier-Reh-Kohle-Ni-Ke gesteckt (siehe Abb. 2), sie hat es in zwei Tri-Kohle-Ni-Ka geteilt. Schreiben wir auf, was wir über diese Dreiecke wissen:
nach dem ersten Zeichen der Dreiecksgleichheit.
Aus der Gleichheit der angegebenen Dreiecke folgt, dass durch das Vorzeichen der Parallelität gerader Linien beim Überqueren von ch-nii ihre s-ku-shchi. Wir haben das:
Do-ka-za-aber.
3. Zweites Zeichen eines Parallelogramms
Satz. Das zweite Zeichen ist pa-ral-le-lo-gram-ma. Wenn in einer Vierecke alle zwei gegenüberliegenden Seiten gleich sind, dann ist diese Vierecke gleich Parallelogramm. 
.
Reis. 3. Das zweite Zeichen von pa-ral-le-lo-gram-ma
Nachweisen. Wir legen die Diagonale in die Vierecke (siehe Abb. 3), sie teilt sie in zwei Dreiecke. Schreiben wir auf, was wir über diese Dreiecke wissen, basierend auf der Form der Theorie:
nach dem dritten Zeichen der Dreiecksgleichheit.
Aus der Gleichheit der Dreiecke folgt, dass durch das Vorzeichen paralleler Linien, wenn sie sich schneiden, s-ku-shchey. Lass uns essen:
par-ral-le-lo-gram per Definition. Q.E.D.
Do-ka-za-aber.
4. Ein Beispiel für die Verwendung der ersten Parallelogrammfunktion
Schauen wir uns das Beispiel der Verwendung der Zeichen von pa-ral-le-lo-gram an.
Beispiel 1. In der Ausbuchtung gibt es keine Kohlen. Finden Sie: a) die Ecken der Kohlen; b) hundert-ro-gut.
Lösung. Abbildung Abb. 4.
pa-ral-le-lo-gram entsprechend dem ersten Zeichen von pa-ral-le-lo-gram-ma.
A. 
durch die Eigenschaft eines Par-ral-le-lo-Gramms über pro-ti-falsche Winkel, durch die Eigenschaft eines Par-ral-le-lo-Gramms über die Summe der Winkel, wenn sie auf einer Seite liegen.
B. 
durch die Natur der Gleichheit der pro-falschen Seiten.
Re-Tiy-Zeichen pa-ral-le-lo-gram-ma
5. Rezension: Definition und Eigenschaften eines Parallelogramms
Erinnern wir uns daran Parallelogramm- Dies ist ein Viereck, das paarweise Pro-Ti-Falsch-Seiten hat. Das heißt, wenn - par-ral-le-lo-gram, dann 
(siehe Abb. 1).
Das Parallel-le-lo-Gramm hat eine Reihe von Eigenschaften: pro-ti-falsche Winkel sind gleich (), pro-ti-falsche Winkel -wir sind gleich ( 
). Darüber hinaus wird das dia-go-na-li pa-ral-le-lo-gramm am Punkt re-se-che-niya entsprechend der Summe der Winkel geteilt, wobei at-le- in Richtung einer beliebigen Seite pa drückt -ral-le-lo-gram-ma, gleich usw.
Um jedoch alle diese Eigenschaften nutzen zu können, muss absolut sicher sein, dass der ri-va-e-my th-you-rekh-coal-nick - pa-ral-le-lo-gram. Zu diesem Zweck gibt es Anzeichen von Par-ral-le-lo-gram: das heißt jene Tatsachen, aus denen man eine einwertige Schlussfolgerung ziehen kann, dass was-you-rekh-coal-nick ein para-ral- le-lo-gram-mom. In der vorherigen Lektion haben wir uns bereits mit zwei Zeichen befasst. Jetzt schauen wir uns das dritte Mal an.
6. Das dritte Zeichen eines Parallelogramms und sein Beweis
Wenn es in einer Vier-Kohle an der Stelle von re-se-che-niya, die sie mit Lams machen, ein Dia-Go-On gibt, dann ist der gegebene Vier-Sie-Roh-Kohle-Nick ein Pa-Ral-Le -lo-gram-mom.
Gegeben:
Was-bist-du-Kohle-Nick; ; .
Beweisen:
Parallelogramm.
Nachweisen:
Um diese Tatsache zu beweisen, ist es notwendig, die Parallelität der Parteien des Par-le-lo-gram zu zeigen. Und die Parallelität gerader Linien wird am häufigsten durch die Gleichheit der inneren Querwinkel dieser rechten Winkel erreicht. Hier ist also die nächste Methode, um das dritte Zeichen von par-ral -le-lo-gram-ma zu erhalten: durch die Gleichheit von Dreiecken 
.
Mal sehen, wie diese Dreiecke gleich sind. Tatsächlich folgt aus der Bedingung: . Da die Winkel außerdem vertikal sind, sind sie gleich. Also:
(erstes Zeichen der Gleichheittri-coal-ni-cov- entlang zweier Seiten und der Ecke dazwischen).
Aus der Gleichheit der Dreiecke: (da die inneren Kreuzwinkel an diesen Geraden und Trennpunkten gleich sind). Darüber hinaus folgt aus der Gleichheit der Dreiecke Folgendes. Dies bedeutet, dass wir verstehen, dass in vier Kohle zweihundert gleich und parallel sind. Nach dem ersten Zeichen, pa-ral-le-lo-gram-ma: - pa-ral-le-lo-gram.
Do-ka-za-aber.
7. Beispiel für ein Problem zum dritten Vorzeichen eines Parallelogramms und zur Verallgemeinerung
Schauen wir uns das Beispiel der Verwendung des dritten Zeichens von pa-ral-le-lo-gram an.
Beispiel 1
Gegeben:
- Parallelogramm; . - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na (siehe Abb. 2).
Beweisen:- pa-ral-le-lo-gram.
Nachweisen:
Das bedeutet, dass sie in der Vier-Kohle-No-Dia-Go-On-Ob am Punkt von Re-Se-Che-Niya-By-Lam tun. Aus dem dritten Zeichen von pa-ral-le-lo-gram folgt daraus: - pa-ral-le-lo-gram.
Do-ka-za-aber.
Wenn Sie das dritte Zeichen von par-ral-le-lo-gram analysieren, können Sie feststellen, dass dieses Zeichen mit-vet- die Eigenschaft eines par-ral-le-lo-gram hat. Das heißt, die Tatsache, dass das Dia-go-na-li de-la-xia nicht nur eine Eigenschaft des Par-le-lo-Gramms ist, und sein charakteristisches, kha-rak-te-ri-sti-che- Eigenschaft, durch die es von der Menge what-you-rekh-coal-ni-cov unterschieden werden kann.
QUELLE
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/priznaki-parallelogramma
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/tretiy-priznak-parallelogramma
http://www.uchportfolio.ru/users_content/675f9820626f5bc0afb47b57890b466e/images/46TThxQ8j4Y.jpg
http://cs10002.vk.me/u31195134/116260458/x_56d40dd3.jpg
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Nachweisen
Zeichnen wir zunächst die Diagonale AC. Wir erhalten zwei Dreiecke: ABC und ADC.
Da ABCD ein Parallelogramm ist, gilt Folgendes:
ANZEIGE || BC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2 als würde man quer liegen.
AB || CD\Rightarrow\angle3 =\angle 4 als würde man quer liegen.
Daher ist \triangle ABC = \triangle ADC (gemäß dem zweiten Kriterium: und AC ist üblich).
Und daher ist \triangle ABC = \triangle ADC, dann ist AB = CD und AD = BC.
Bewährt!
2. Gegenüberliegende Winkel sind identisch.
Nachweisen
Laut Beweis Eigenschaften 1 Wir wissen das \angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4. Somit ist die Summe der entgegengesetzten Winkel: \angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4. Unter Berücksichtigung von \triangle ABC = \triangle ADC erhalten wir \angle A = \angle C, \angle B = \angle D.
Bewährt!
3. Die Diagonalen werden durch den Schnittpunkt in zwei Hälften geteilt.
Nachweisen
Zeichnen wir eine weitere Diagonale.
Von Eigentum 1 Wir wissen, dass gegenüberliegende Seiten identisch sind: AB = CD. Beachten Sie noch einmal die über Kreuz liegenden gleichen Winkel.
Somit ist klar, dass \triangle AOB = \triangle COD gemäß dem zweiten Kriterium für die Gleichheit von Dreiecken (zwei Winkel und die Seite zwischen ihnen). Das heißt, BO = OD (gegenüber den Ecken \angle 2 und \angle 1) und AO = OC (gegenüber den Ecken \angle 3 bzw. \angle 4).
Bewährt!
Anzeichen eines Parallelogramms
Wenn in Ihrem Problem nur ein Merkmal vorhanden ist, dann ist die Figur ein Parallelogramm und Sie können alle Eigenschaften dieser Figur nutzen.
Beachten Sie zum besseren Auswendiglernen, dass das Parallelogrammzeichen die folgende Frage beantwortet: „Wie finde ich das heraus?“. Das heißt, wie man herausfindet, dass eine bestimmte Figur ein Parallelogramm ist.
1. Ein Parallelogramm ist ein Viereck, dessen zwei Seiten gleich und parallel sind.
AB = CD ; AB || CD \Rightarrow ABCD ist ein Parallelogramm.
Nachweisen
Lass uns genauer hinschauen. Warum AD || BC?
\triangle ABC = \triangle ADC by Eigentum 1: AB = CD, AC - gemeinsam und \angle 1 = \angle 2 kreuzweise liegend mit Parallele AB und CD und Sekante AC.
Aber wenn \triangle ABC = \triangle ADC ist, dann ist \angle 3 = \angle 4 (liegen gegenüber AB bzw. CD). Und deshalb AD || BC (\angle 3 und \angle 4 – die über Kreuz liegenden sind ebenfalls gleich).
Das erste Zeichen ist richtig.
2. Ein Parallelogramm ist ein Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten gleich sind.
AB = CD, AD = BC \Rightarrow ABCD ist ein Parallelogramm.
Nachweisen
Betrachten wir dieses Zeichen. Zeichnen wir noch einmal die Diagonale AC.
Von Eigentum 1\triangle ABC = \triangle ACD .
Es folgt dem: \angle 1 = \angle 2 \Rightarrow AD || B.C. Und \angle 3 = \angle 4 \Rightarrow AB || CD, das heißt, ABCD ist ein Parallelogramm.
Das zweite Zeichen ist richtig.
3. Ein Parallelogramm ist ein Viereck, dessen entgegengesetzte Winkel gleich sind.
\angle A = \angle C , \angle B = \angle D \Rightarrow ABCD- Parallelogramm.
Nachweisen
2 \alpha + 2 \beta = 360^(\circ)(da ABCD ein Viereck ist und \angle A = \angle C , \angle B = \angle D gemäß der Bedingung).
Es stellt sich heraus, dass \alpha + \beta = 180^(\circ) . Aber \alpha und \beta sind an der Sekante AB intern einseitig.
Und die Tatsache, dass \alpha + \beta = 180^(\circ) bedeutet auch, dass AD || B.C.
Darüber hinaus sind \alpha und \beta an der Sekante AD intern einseitig. Und das bedeutet AB || CD.
Das dritte Zeichen ist richtig.
4. Ein Parallelogramm ist ein Viereck, dessen Diagonalen durch den Schnittpunkt in zwei Hälften geteilt werden.
AO = OC ; BO = OD\Rechtspfeil-Parallelogramm.
Nachweisen
BO = OD; AO = OC , \angle 1 = \angle 2 als Vertikale \Rightarrow \triangle AOB = \triangle COD, \Rightarrow \angle 3 = \angle 4, und \Rightarrow AB || CD.
Ebenso BO = OD; AO = OC, \angle 5 = \angle 6 \Rightarrow \triangle AOD = \triangle BOC \Rightarrow \angle 7 = \angle 8, und \Rightarrow AD || B.C.
Das vierte Zeichen ist richtig.
Städtische Haushaltsbildungseinrichtung
Savinskaya-Sekundarschule
Forschung
Parallelogramm und seine neuen Eigenschaften
Abgeschlossen von: Schüler der 8B-Klasse
MBOU Savinskaya-Sekundarschule
Kuznetsova Svetlana, 14 Jahre alt
Leiter: Mathematiklehrer
Tulchevskaya N.A.
S. Savino
Region Iwanowo, Russland
2016
ICH. Einleitung ___________________________________________________Seite 3
II. Aus der Geschichte des Parallelogramms ___________________________________Seite 4
III Zusätzliche Eigenschaften eines Parallelogramms ______________________________Seite 4
IV. Eigenschaftsnachweis _____________________________________ Seite 5
V. Probleme mit zusätzlichen Eigenschaften lösen __________Seite 8
VI. Anwendung der Eigenschaften eines Parallelogramms im Leben ___________________Seite 11
VII. Fazit _________________________________________________Seite 12
VIII. Literatur _________________________________________________Seite 13
Einführung
"Unter Gleichgesinnten
bei Gleichheit anderer Bedingungen
Wer sich mit Geometrie auskennt, ist überlegen“
(Blaise Pascal).
Beim Studium des Themas „Parallelogramm“ im Geometrieunterricht haben wir uns zwei Eigenschaften eines Parallelogramms und drei Merkmale angesehen, aber als wir mit der Lösung von Problemen begannen, stellte sich heraus, dass dies nicht ausreichte.
Ich hatte eine Frage: Hat ein Parallelogramm andere Eigenschaften und wie helfen sie bei der Lösung von Problemen?
Und ich beschloss, zusätzliche Eigenschaften eines Parallelogramms zu untersuchen und zu zeigen, wie sie zur Lösung von Problemen angewendet werden können.
Gegenstand der Studie : Parallelogramm
Studienobjekt
: Eigenschaften eines Parallelogramms
Ziel der Arbeit:
Formulierung und Nachweis zusätzlicher Eigenschaften eines Parallelogramms, die in der Schule nicht erlernt werden;
Anwendung dieser Eigenschaften zur Lösung von Problemen.
Aufgaben:
Studieren Sie die Entstehungsgeschichte des Parallelogramms und die Geschichte der Entwicklung seiner Eigenschaften;
Finden Sie zusätzliche Literatur zum untersuchten Thema.
Untersuchen Sie zusätzliche Eigenschaften eines Parallelogramms und beweisen Sie sie;
Zeigen Sie die Anwendung dieser Eigenschaften zur Lösung von Problemen;
Betrachten Sie die Anwendung der Eigenschaften eines Parallelogramms im Leben.
Forschungsmethoden:
Arbeiten mit pädagogischer und populärwissenschaftlicher Literatur, Internetressourcen;
Studium des theoretischen Materials;
Identifizierung einer Reihe von Problemen, die mithilfe zusätzlicher Eigenschaften eines Parallelogramms gelöst werden können;
Beobachtung, Vergleich, Analyse, Analogie.
Dauer der Studie Laufzeit: 3 Monate: Januar-März 2016
Aus der Geschichte des Parallelogramms
In einem Geometrielehrbuch lesen wir die folgende Definition eines Parallelogramms: Ein Parallelogramm ist ein Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten paarweise parallel sind.
Das Wort „Parallelogramm“ wird mit „parallele Linien“ übersetzt (von den griechischen Wörtern Parallelos – Parallele und Gramme – Linie), dieser Begriff wurde von Euklid eingeführt. In seinem Buch „Elemente“ bewies Euklid die folgenden Eigenschaften eines Parallelogramms: Gegenüberliegende Seiten und Winkel eines Parallelogramms sind gleich und die Diagonale halbiert es. Euklid erwähnt den Schnittpunkt eines Parallelogramms nicht. Erst gegen Ende des Mittelalters wurde eine vollständige Theorie der Parallelogramme entwickelt und erst im 17. Jahrhundert tauchten Sätze über Parallelogramme in Lehrbüchern auf, die anhand des Satzes von Euklid über die Eigenschaften eines Parallelogramms bewiesen wurden.
III Zusätzliche Eigenschaften eines Parallelogramms
Im Geometrielehrbuch werden nur 2 Eigenschaften eines Parallelogramms angegeben:
Gegenüberliegende Winkel und Seiten sind gleich
Die Diagonalen eines Parallelogramms schneiden sich und werden durch den Schnittpunkt halbiert.
In verschiedenen Quellen zur Geometrie finden Sie folgende zusätzliche Eigenschaften:
Die Summe benachbarter Winkel eines Parallelogramms beträgt 180 0
Die Winkelhalbierende eines Parallelogramms schneidet daraus ein gleichschenkliges Dreieck ab;
Die Winkelhalbierenden entgegengesetzter Winkel eines Parallelogramms liegen auf parallelen Geraden;
Die Winkelhalbierenden benachbarter Winkel eines Parallelogramms schneiden sich im rechten Winkel;
Wenn sich die Winkelhalbierenden aller Winkel eines Parallelogramms schneiden, bilden sie ein Rechteck;
Die Abstände gegenüberliegender Ecken eines Parallelogramms zur gleichen Diagonale sind gleich.
Wenn Sie gegenüberliegende Eckpunkte in einem Parallelogramm mit den Mittelpunkten gegenüberliegender Seiten verbinden, erhalten Sie ein weiteres Parallelogramm.
Die Summe der Quadrate der Diagonalen eines Parallelogramms ist gleich dem Doppelten der Summe der Quadrate seiner angrenzenden Seiten.
Wenn man Höhen aus zwei entgegengesetzten Winkeln in ein Parallelogramm einträgt, erhält man ein Rechteck.
IV Beweis der Eigenschaften eines Parallelogramms
Die Summe benachbarter Winkel eines Parallelogramms beträgt 180 0
Gegeben:
ABCD – Parallelogramm
Beweisen:
A+ B= 
Nachweisen:
A und B – innere einseitige Winkel mit parallelen Geraden BC 
AD und Sekante AB, was bedeutet A+ B=
2
Gegeben: A B C D - Parallelogramm,
AK-Halbierende 
A.
Beweisen: 
AVK – gleichschenklig
Nachweisen:
1) 1=3 (querliegend bei BC AD und Sekante AK ),
2) 2=3 weil AK eine Winkelhalbierende ist,
bedeutet 1= 2.
3) ABC – gleichschenklig, weil zwei Winkel eines Dreiecks gleich sind
3
Gegeben: ABCD ist ein Parallelogramm,
AK – Winkelhalbierende A,
CP - Winkelhalbierende C.
Beweisen: AK ║ SR
Nachweisen:
1) 1=2, weil AK eine Winkelhalbierende ist
2) 4=5 weil CP – Winkelhalbierende
3) 3=1 (kreuzweise liegende Winkel bei
BC ║ AD und AK-Sekante),
4) A =C (durch die Eigenschaft eines Parallelogramms), was 2=3=4=5 bedeutet.
4) Aus den Absätzen 3 und 4 folgt, dass 1 = 4, und diese Winkel entsprechen den Geraden AK und CP und der Sekante BC,
das bedeutet AK ║ CP (basierend auf der Parallelität von Linien)
. Winkelhalbierende entgegengesetzter Winkel eines Parallelogramms liegen auf parallelen Geraden
Winkelhalbierende benachbarter Winkel eines Parallelogramms schneiden sich im rechten Winkel
Gegeben: ABCD - Parallelogramm,
AK-Halbierende A,
DP Halbierende D
Beweisen: DP 
AK.
Nachweisen:
1) 1=2, weil AK - Winkelhalbierende
Sei 1=2=x, dann A=2x,
2) 3=4, weil D Р – Winkelhalbierende
Sei 3=4=y, dann ist D=2y
3) A + D =180 0, weil Die Summe benachbarter Winkel eines Parallelogramms beträgt 180
2) Überlegen Sie Eine OD
1+3=90 0 , dann <5=90 0 (сумма углов треугольников равна 180 0)
5. Die Winkelhalbierenden aller Winkel eines Parallelogramms bilden beim Schnitt ein Rechteck
Gegeben: ABCD - Parallelogramm, AK-Halbierende A,
DP-Halbierende D,
CM Winkelhalbierende C,
BF - Winkelhalbierende B.
Beweisen: KRNS - Rechteck
Nachweisen:
Basierend auf der vorherigen Eigenschaft 8=7=6=5=90 0 ,
bedeutet, dass KRNS ein Rechteck ist.
Die Abstände gegenüberliegender Ecken eines Parallelogramms zur gleichen Diagonale sind gleich.
Gegeben: ABCD-Parallelogramm, AC-Diagonale.
VC Wechselstrom, D.P. A.C.
Beweisen: BC=DP
Nachweisen: 1) DCP = KAB, als interne Kreuze liegend mit AB ║ CD und Sekante AC.
2) AKB= CDP (entlang der Seite und zwei angrenzenden Winkeln AB=CD CD P=AB K).
Und in gleichen Dreiecken sind die entsprechenden Seiten gleich, was DP=BK bedeutet.
Wenn Sie gegenüberliegende Eckpunkte in einem Parallelogramm mit den Mittelpunkten gegenüberliegender Seiten verbinden, erhalten Sie ein weiteres Parallelogramm.
Gegeben: ABCD-Parallelogramm.
Beweisen: VKDR ist ein Parallelogramm.
Nachweisen:
1) BP=KD (AD=BC, Punkte K und P
teilen Sie diese Seiten in zwei Hälften)
2) BP ║ KD (auf AD liegen v. Chr.)
Wenn die gegenüberliegenden Seiten eines Vierecks gleich und parallel sind, dann ist das Viereck ein Parallelogramm.
Wenn man Höhen aus zwei entgegengesetzten Winkeln in ein Parallelogramm einträgt, erhält man ein Rechteck.
Die Summe der Quadrate der Diagonalen eines Parallelogramms ist gleich dem Doppelten der Summe der Quadrate seiner angrenzenden Seiten.
Gegeben: ABCD ist ein Parallelogramm. BD und AC sind Diagonalen.
Beweisen: Wechselstrom 2 +ВD 2 =2(AB 2 + AD 2 )
Nachweisen: 1)FRAGEN:
A.C.
²=
+
2)B RD : BD 2 = B R 2 + RD 2 (nach dem Satz des Pythagoras)
3) A.C. ²+ BD ²=SK²+A K²+B Р²+РD ²
4) SC = BP = N(Höhe )
5) Wechselstrom 2 +BD 2 = H 2 + A ZU 2 + H 2 +PD 2
6)
Lassen
D
K=A
P=x, Dann C
ZUD
:
H
2
=
CD
2
- X 2
nach dem Satz des Pythagoras )
7) AC²+BD ² = CD 2 - x²+ AK 1 ²+ CD 2 -X 2 +PD 2 ,
AC²+BD ²=2СD 2 -2x 2 + A ZU 2 +PD 2
8) A ZU=AD+ X, RD=AD- X,
AC²+BD ² =2CD 2 -2x 2 +(ANZEIGE +x) 2 +(ANZEIGE -X) 2 ,
Wechselstrom²+
IND²=2
MITD²-2
X² +AD
2
+2AD
X+
X 2
+AD
2
-2AD
X+
X 2
,
Wechselstrom²+
IND²=2CD
2
+2AD
2
=2(CD
2
+AD
2
).
V . Lösen von Problemen mithilfe dieser Eigenschaften
Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden zweier an einer Seite angrenzender Winkel eines Parallelogramms gehört zur gegenüberliegenden Seite. Die kürzeste Seite eines Parallelogramms ist 5 . Finden Sie die größere Seite.
Gegeben: ABCD ist ein Parallelogramm,
AK – Winkelhalbierende A,
D K – Winkelhalbierende D, AB=5
Finden: Sonne
Entscheidung Lösung
Weil AK - Winkelhalbierende Und dann ist ABC gleichschenklig.
Weil D K – Winkelhalbierende D, dann DCK - gleichschenklig
DC =C K= 5
Dann ist BC=VC+SC=5+5 = 10
Antwort: 10
2. Ermitteln Sie den Umfang eines Parallelogramms, wenn die Winkelhalbierende eines seiner Winkel die Seite des Parallelogramms in Segmente von 7 cm und 14 cm unterteilt.
1 Fall
Gegeben: A,
VK=14 cm, KS=7 cm
Finden: P-Parallelogramm
Lösung
VS=VK+KS=14+7=21 (cm)
Weil AK – Winkelhalbierende Und dann ist ABC gleichschenklig.
AB=BK= 14 cm
Dann ist P=2 (14+21) =70 (cm)
Gegeben: ABCD ist ein Parallelogramm,
D K – Winkelhalbierende D
VK=14 cm, KS=7 cm
Finden: P Parallelogramm
Lösung
VS=VK+KS=14+7=21 (cm)
Weil D K – Winkelhalbierende D, dann DCK - gleichschenklig
DC =C K= 7
Dann ist P= 2 (21+7) = 56 (cm)
Antwort: 70cm oder 56cm
3. Die Seiten eines Parallelogramms betragen 10 cm und 3 cm. Die Winkelhalbierenden zweier an die größere Seite angrenzender Winkel teilen die gegenüberliegende Seite in drei Segmente. Finden Sie diese Segmente.
1 Fall: Winkelhalbierende schneiden sich außerhalb des Parallelogramms
Gegeben: ABCD – Parallelogramm, AK – Winkelhalbierende A,
D K – Winkelhalbierende D, AB=3 cm, BC=10 cm
Finden: VM, MN, NC
Lösung
Weil AM - Winkelhalbierende Und dann ist AVM gleichschenklig.
Weil DN – Winkelhalbierende D, dann DCN – gleichschenklig
DC=CN=3
Dann ist MN = 10 – (BM +NC) = 10 – (3+3)=4 cm
Fall 2: Winkelhalbierende schneiden sich innerhalb eines Parallelogramms
Weil AN - Winkelhalbierende Und dann ist ABN gleichschenklig.
AB=BN = 3 D
Und das Schiebegitter sollte in der Türöffnung auf den erforderlichen Abstand verschoben werden
Parallelogrammmechanismus- ein Viergelenkmechanismus, dessen Glieder ein Parallelogramm bilden. Es wird verwendet, um translatorische Bewegungen durch Scharniermechanismen umzusetzen.
Parallelogramm mit fester Verbindung- Ein Glied ist bewegungslos, das gegenüberliegende Glied macht eine schaukelnde Bewegung und bleibt parallel zum bewegungslosen Glied. Zwei hintereinander verbundene Parallelogramme verleihen dem Endglied zwei Freiheitsgrade und lassen es parallel zum stationären Glied.
Beispiele: Scheibenwischer für Busse, Gabelstapler, Stative, Kleiderbügel, Autoaufhängungen.
Parallelogramm mit festem Gelenk- Die Eigenschaft eines Parallelogramms, ein konstantes Abstandsverhältnis zwischen drei Punkten aufrechtzuerhalten, wird genutzt. Beispiel: Zeichenstromabnehmer – ein Gerät zum Skalieren von Zeichnungen.
Rhombus- Alle Glieder sind gleich lang, die Annäherung (Zusammenziehung) eines Paars gegenüberliegender Scharniere führt zum Auseinanderbewegen der beiden anderen Scharniere. Alle Links funktionieren komprimiert.
Beispiele - rautenförmiger Wagenheber, Straßenbahnstromabnehmer.
Schere oder X-förmiger Mechanismus, auch bekannt als Nürnberger Schere- Rautenversion - zwei Glieder, die in der Mitte durch ein Scharnier verbunden sind. Die Vorteile des Mechanismus sind Kompaktheit und Einfachheit, der Nachteil ist das Vorhandensein von zwei Gleitpaaren. Zwei (oder mehr) solcher in Reihe geschalteter Mechanismen bilden in der Mitte eine oder mehrere Rauten. Wird in Aufzügen und Kinderspielzeug verwendet.
VII Abschluss
Wer studiert seit seiner Kindheit Mathematik?
er entwickelt Aufmerksamkeit, trainiert sein Gehirn,
eigener Wille, kultiviert Ausdauer
und Ausdauer beim Erreichen von Zielen
A. Markuschewitsch
Während der Arbeit habe ich zusätzliche Eigenschaften des Parallelogramms nachgewiesen.
Ich war davon überzeugt, dass man durch die Nutzung dieser Eigenschaften Probleme schneller lösen kann.
Wie diese Eigenschaften angewendet werden, habe ich anhand von Beispielen zur Lösung konkreter Probleme gezeigt.
Ich habe viel über das Parallelogramm gelernt, was in unserem Geometrielehrbuch nicht vorkommt
Durch Beispiele für die Anwendung der Eigenschaften eines Parallelogramms wurde ich davon überzeugt, dass Kenntnisse der Geometrie im Leben sehr wichtig sind.
Der Zweck meiner Forschungsarbeit ist erfüllt.
Die Bedeutung mathematischer Kenntnisse wird durch die Tatsache belegt, dass ein Preis für die Person ins Leben gerufen wurde, die ein Buch über eine Person veröffentlicht, die ihr ganzes Leben ohne die Hilfe der Mathematik verbracht hat. Noch hat keine einzige Person diese Auszeichnung erhalten.
VIII Literatur
Pogorelov A.V. Geometrie 7-9: Lehrbuch für die Allgemeinbildung. Institutionen - M.: Bildung, 2014
L.S.Atanasyan und andere. Hinzufügen. Kapitel für das Lehrbuch der 8. Klasse: Lehrbuch. Handbuch für Schüler von Schulen und höheren Klassen. studierte Mathematik. – M.: Vita-Press, 2003
Internetressourcen
Wikipedia-Materialien
