Laut den kompetentesten lebenden Mathematikern war Frau Noether das bedeutendste kreative mathematische Genie (weiblich), das jemals geboren wurde.

Albert Einstein

Amalia Emmy Noether (23. März 1882 - 14. April 1935) war eine herausragende deutsche Mathematikerin.

Emmy Noether wurde als ältestes von vier jüdischen Kindern in Erlangen geboren. Ihre Eltern, der Mathematiker Max Noether und Ida Amalia Kaufman, stammten aus wohlhabenden Kaufmannsfamilien.

Noether studierte zunächst Sprachen und plante, Englisch- und Französischlehrer zu werden. Zu diesem Zweck erwirkte sie zunächst als Volontärin (1900) die Lehrbefugnis an der Universität Erlangen, wo ihr Vater wirkte, und war seit 1904, als Frauen unterrichtet wurden, offiziell immatrikuliert. An der Universität jedoch zogen Vorlesungen in Mathematik Emmy mehr an als alle anderen. Sie wurde Schülerin des Mathematikers Paul Gordan, unter dessen Anleitung sie 1907 ihre Dissertation über die Theorie der Invarianten verteidigte.

Bereits 1915 trug Noether zur Entwicklung der Allgemeinen Relativitätstheorie bei; Einstein drückte in einem Brief an den weltweit führenden Mathematiker David Hilbert seine Bewunderung für Noethers „aufschlussreiches mathematisches Denken“ aus.

1916 zog Noether nach Göttingen, wo die berühmten Mathematiker David Hilbert und Felix Klein weiter an der Relativitätstheorie arbeiteten und Noethers Wissen auf dem Gebiet der Invariantentheorie benötigten. Hilbert hatte einen großen Einfluss auf Noether und machte sie zu einer Anhängerin der axiomatischen Methode. Er versuchte, Noether zum Privatdozenten an der Universität Göttingen zu machen, scheiterte jedoch an den Vorurteilen der Professoren, vor allem im Bereich der Geisteswissenschaften.

Emmy Noethers Karriere nach außen war paradox und wird für immer ein Beispiel für ungeheuerliche Trägheit und Unfähigkeit bleiben, Vorurteile seitens der preußischen akademischen und bürokratischen Bürokratie zu überwinden. Ihr Privatdozententitel im Jahr 1919 war nur der Beharrlichkeit von Hilbert und Klein zu verdanken, nachdem sie den äußersten Widerstand der reaktionären Universitätskreise überwunden hatte. Formale Herausforderung war vor allem das Geschlecht der Kandidatin: „Wie kann eine Frau Privatdozentin werden? Immerhin kann sie als Privatdozentin Professorin und Mitglied des Senats der Universität werden; Ist es einer Frau erlaubt, den Senat zu betreten?" Hilberts berühmter Ausspruch folgte dieser Aussage: "Meine Herren, der Senat ist kein Badehaus, warum kann eine Frau dort nicht eintreten!"

Die fruchtbarste Periode von Noethers wissenschaftlicher Tätigkeit beginnt um 1920, als sie der abstrakten Algebra eine völlig neue Richtung gibt. Seit 1922 ist sie als Professorin an der Universität Göttingen tätig und leitet eine maßgebliche und schnell wachsende wissenschaftliche Schule.

Wäre Emma Noether ein Mann, würde sie zweifellos von den besten Universitäten des Landes auf Professuren eingeladen werden. Auch mit dem Titel „außerordentlicher Professor“ der Universität Göttingen musste sie sich begnügen, den sie am 6. April 1922 erhielt, als sie bereits vierzig Jahre alt war. Zu diesem Zeitpunkt galt sie unter Fachleuten bereits zu Recht als Begründerin der modernen Algebra, ihr gelang es, die Grundsteine ​​für mehrere wichtige wissenschaftliche Bereiche zu legen. Der Erlass zur Ernennung von Emma Noether zur außerordentlichen Professorin bestimmte ausdrücklich, dass ihr keine Beamtenprivilegien zustehen.

Zeitgenossen beschreiben Noether als eine äußerst intelligente, charmante und umgängliche Frau. Ihre Weiblichkeit zeigte sich nicht äußerlich, sondern in einer rührenden Anteilnahme an ihren Schülern, ihrer ständigen Hilfsbereitschaft ihnen und ihren Kollegen. Zu ihren treuen Freunden gehörten weltberühmte Wissenschaftler: Hilbert, Hermann Weyl, Edmund Landau, der niederländische Mathematiker L. Brouwer, die sowjetischen Mathematiker P.S. Aleksandrov, P.S. Uryson und viele andere.

1924-1925 machte Emmy Noethers Schule eine ihrer glänzendsten Anschaffungen: Barthel Leendert van der Waerden, ein Absolvent aus Amsterdam, wurde ihr Schüler. Er war damals in seinem 22. Lebensjahr und damit eines der hellsten jungen mathematischen Talente in Europa. Van der Waerden beherrschte die Theorien von Emmy Noether schnell, ergänzte sie mit bedeutenden neuen Ergebnissen und trug wie kein anderer zur Verbreitung ihrer Ideen bei. Der Kurs über allgemeine Idealtheorie, den van der Waerden 1927 in Göttingen hielt, war ein großer Erfolg. Die Ideen von Emmy Noether, brillant dargelegt von van der Waerden, eroberten die mathematische öffentliche Meinung, zuerst in Göttingen und dann in anderen führenden mathematischen Zentren in Europa.

Grundsätzlich beziehen sich Noethers Arbeiten auf die Algebra, wo sie zur Schaffung einer neuen Richtung beitrugen, die als abstrakte Algebra bekannt ist. Noether hat auf diesem Gebiet (zusammen mit Emil Artin und ihrem Schüler van der Waerden) einen entscheidenden Beitrag geleistet.

Grundlegend sind nun die Begriffe „Noetherscher Ring“, „Noetherscher Modul“, Normierungssätze und der Lasker-Noether-Idealzerlegungssatz.

Noether leistete einen großen Beitrag zur mathematischen Physik, wo der fundamentale Satz der theoretischen Physik (veröffentlicht 1918) nach ihr benannt ist und Erhaltungssätze mit Systemsymmetrien verknüpft (z. B. die Homogenität der Zeit impliziert den Energieerhaltungssatz). Dieser fruchtbare Ansatz liegt der berühmten Buchreihe „Theoretische Physik“ von Landau-Lifshitz zugrunde. Der Satz von Noether ist von großer Bedeutung in der Quantenfeldtheorie, wo die Erhaltungssätze, die sich aus der Existenz einer bestimmten Symmetriegruppe ergeben, normalerweise die Hauptinformationsquelle für die Eigenschaften der untersuchten Objekte sind.

Noethers Ideen und wissenschaftliche Ansichten hatten einen großen Einfluss auf viele Naturwissenschaftler, Mathematiker und Physiker. Sie zog eine Reihe von Studenten heran, die zu Weltklasse-Wissenschaftlern wurden, und setzte die von Noether entdeckten neuen Richtungen fort.

Noether hielt an sozialdemokratischen Ansichten fest. Zehn Jahre ihres Lebens arbeitete sie mit Mathematikern der UdSSR zusammen; im Studienjahr 1928-1929 kam sie in die UdSSR und lehrte an der Moskauer Universität, wo sie L.S. Pontryagin und besonders auf P.S. Alexandrov, der Göttingen zuvor oft besucht hatte.

Seit 1927 wächst der Einfluss von Emmy Noethers Ideen auf die moderne Mathematik stetig, und parallel dazu wächst auch der wissenschaftliche Ruhm der Autorin dieser Ideen. Wenn sie 1923-1925 die Bedeutung der von ihr entwickelten Theorien beweisen musste, dann wurde sie 1932 auf dem internationalen Mathematikerkongress in Zürich mit den Lorbeeren des glänzendsten Erfolgs gekrönt. Noether erhält zusammen mit seinem Schüler Emil Artin den Ackermann-Thöbner-Preis für Leistungen in Mathematik. Der große Rezensionsbericht, den sie auf diesem Kongress las, war ein wahrer Triumph der von ihr vertretenen Richtung, und sie konnte nicht nur mit innerer Genugtuung, sondern auch mit dem Bewusstsein unbedingter und vollständiger Anerkennung auf den von ihr zurückgelegten mathematischen Weg zurückblicken. Der Zürcher Kongress war der Höhepunkt ihrer internationalen wissenschaftlichen Stellung. Wenige Monate später brach eine Katastrophe über die deutsche Kultur aus, insbesondere über das Kulturzentrum, das seit Jahrhunderten die Universität Göttingen war.

1933 kam Hitler in Deutschland an die Macht und die Bundesregierung verabschiedete das Beamtengesetz. Die Idee hinter diesem Gesetz war einfach: „Raus mit den Nicht-Ariern!“ Die Lehrer in Deutschland waren Beamte, und die Idee dahinter war einfach: "Arische Studenten sollten von arischen Professoren unterrichtet werden."

Emmy Noether gehörte zu den ersten sechs Professorinnen, die vom preußischen Ministerium mit Lehrverbot belegt und auf unbestimmte Zeit beurlaubt wurden, nach dem berüchtigten Gesetz, das die massive Säuberung des Lehrkörpers einleitete.

Noether persönlich erhielt im April 1933 ein vom Leiter des Preußischen Ministeriums für Wissenschaft, Kunst und Volksbildung unterzeichnetes amtliches Schreiben. Darin stand im Klartext: „Nach § 3 der Beamtenordnung vom 7. April 1933 entziehe ich Ihnen die Lehrbefugnis an der Universität Göttingen.“

Eine der größten Tragödien, die die menschliche Kultur seit der Renaissance erlebt hat, ereignete sich, eine Tragödie, die vor einigen Jahren im Europa des 20. Jahrhunderts unglaublich und unmöglich erschien. Eines ihrer vielen Opfer war die von Emmy Noether gegründete Göttinger Algebraschule: Ihre Leiterin wurde aus den Universitätsmauern vertrieben; Emmy Noether musste nach dem Verlust der Lehrbefugnis aus Deutschland emigrieren.

Emmys jüngerer Bruder, der begabte Mathematiker Fritz Noether, ging in die UdSSR, wo er im September 1941 wegen "antisowjetischer Gesinnung" erschossen wurde.

Auch nachdem sie Deutschland verlassen hatte, zeigte Emma Noether keine Spur von Bitterkeit oder Feindschaft gegenüber denen, die ihr Leben ruiniert haben. Sie entpuppte sich als eine der wenigen Emigranten, die schon im nächsten Jahr nach ihrer Abreise die Rückkehr wagten: Im Sommer 1934 entschloss sie sich, einige Zeit in der vertrauten Umgebung des grünen Göttingen zu verbringen, wo sie so gearbeitet hatte naja die letzten jahre.

Im Exil sah sich Emma mit den gleichen Schwierigkeiten konfrontiert wie die meisten anderen Wissenschaftler, die bereits im Erwachsenenalter ins Ausland kamen. Aber sie fand relativ schnell einen Job. Sie erhielt einen Lehrauftrag am kleinen amerikanischen College Bryn Mawr in Pennsylvania und forschte am Institute for Advanced Study in Princeton.

Nachdem sie sich selbstständig gemacht hatte, begann sie sich sofort um Kollegen zu kümmern, denen es im Exil weniger gut ging. Zusammen mit Hermann Weyl organisierte sie eine spezielle „Stiftung zur Förderung deutscher Mathematiker“, an die diejenigen Wissenschaftler, die bereits Arbeit gefunden hatten, einen kleinen Teil ihres Gehalts abführen sollten. Aus den gesammelten Mitteln wurden Stipendien an besonders hilfsbedürftige Personen ausgezahlt.

Und in Amerika verstand nicht jeder das Ausmaß ihrer Persönlichkeit als Wissenschaftlerin und Person. Die Aufzeichnungen des Daggen Emergency Committee bewahrten einen Eintrag vom 21. März 1935, drei Wochen vor dem unerwarteten Tod des brillanten Wissenschaftlers: „Gestern gab es eine Diskussion mit dem Präsidenten des Bryn Mawr College über das Schicksal von Emmy Noether. Sie sagte, Emma Noether sei zu exzentrisch und schwierig, sich an amerikanische Verhältnisse anzupassen, um einen festen Vertrag mit ihr zu bekommen, aber sie würde sie noch zwei Jahre auf dem College behalten.

Leider durfte Emma diese zwei Jahre nicht am College arbeiten: Am 14. April 1935 starb sie nach einer erfolglosen medizinischen Operation zur Entfernung eines Krebsgeschwürs.

Der Präsident der Moskauer Mathematischen Gesellschaft P.S. Alexandrov begann bei einem Treffen der Gesellschaft am 5. September 1935 mit den folgenden Worten:

Am 14. April dieses Jahres starb in der Kleinstadt Bryn Mawr (USA, Pennsylvania) nach einem chirurgischen Eingriff Emmy Noether, eine der größten Mathematikerinnen unserer Zeit, ehemalige Professorin an der Universität Göttingen, im Alter von 53 Jahren . Der Tod von Emmy Noether ist nicht nur für die Mathematik ein großer Verlust,Es ist ein tragischer Verlust im wahrsten Sinne des Wortes. Auf dem Höhepunkt ihrer Schaffenskraft starb die größte Mathematikerin, die es je gegeben hat, sie starb, vertrieben aus ihrer Heimat, abgeschnitten von ihrer Schule, die sie jahrelang aufgebaut hatte und die eine der brillantesten mathematischen Schulen Europas war, sie starb abgeschnitten von ihren Verwandten, die sich aufgrund der gleichen politischen Barbarei, aufgrund derer sie selbst aus Deutschland emigrieren musste, über verschiedene Länder verstreut herausstellten. Die Moskauer Mathematische Gesellschaft verneigt sich heute trauernd vor dem Gedenken an eines ihrer herausragendsten Mitglieder, das über zehn Jahre lang ununterbrochen enge Beziehungen durch ständigen wissenschaftlichen Austausch, aufrichtige Sympathie und herzliche Freundschaft mit der Gesellschaft, mit dem mathematischen Moskau und mit den Mathematikern der USA pflegte Sowjetunion ...

Emmy Noether ist benannt nach:

• Krater auf dem Mond
• Asteroid
• Straße in Noethers Heimatstadt Erlangen
• die Schule, an der sie in Erlangen studiert hat.
• Deutsches Programm zur Förderung herausragender Nachwuchswissenschaftler: Emmy Noether-Programm.

Die folgenden mathematischen Objekte tragen den Namen Noether:

• Noetherscher Ring
• kein weiteres Modul
• Satz von Noether
• Satz von Lasker-Noether
• Satz von Skolem-Noether
• Noetherische Räume
• Noethersches Schema
• keine probleme
• Noethers Lemma.

Basierend auf Materialien von Wikipedia und Websites: berkovich-zametki.com und turtle-t.livejournal.com sowie Artikeln von P.S. Aleksandrov, „In Erinnerung an Emmy Noether“ (Usp.

Amalia (Emmy) Noether, Königin ohne Krone

Laut den bedeutendsten lebenden Mathematikern Emmy Noether war das größte kreative mathematische Genie, das in der Welt auftauchte, seit die Hochschulbildung für Frauen geöffnet wurde.

Albert Einstein

Einstein hatte recht und Emmy Noether (1882–1935) , mit der er am Institute for Advanced Study in Princeton nie zusammenarbeiten konnte (obwohl sie es mehr als jeder andere verdient hatte), war eine erstaunliche Mathematikerin – vielleicht die größte Mathematikerin aller Zeiten. Und Einstein war mit dieser Ansicht nicht allein: Norbert Wiener stellte Noether auf eine Stufe mit der zweifachen Nobelpreisträgerin Marie Curie, die ebenfalls eine hervorragende Mathematikerin war.

Außerdem wurde Emmy Noether zum Objekt einiger schlechter Witze - erinnern wir uns zumindest an den unsterblichen Satz der maßlosen Sprache von Edmund Landau: "Ich kann an ihr mathematisches Genie glauben, aber ich kann nicht schwören, dass dies eine Frau ist." Emmy sah tatsächlich männlich aus, und außerdem dachte sie überhaupt nicht darüber nach, wie sie aussah, besonders während des Unterrichts oder bei wissenschaftlichen Debatten.

Augenzeugen zufolge vergaß sie, ihr Haar zu stylen, ihr Kleid zu putzen, ihr Essen gründlich zu kauen und zeichnete sich durch viele andere Merkmale aus, die sie in den Augen anständiger deutscher Landsleute nicht zu feminin machten. Emmy litt auch unter starker Kurzsichtigkeit, weshalb sie eine hässliche Brille mit dicken Gläsern trug und wie eine Eule aussah. Dazu kommt die Angewohnheit, (aus Bequemlichkeitsgründen) einen Männerhut und einen mit Papieren vollgestopften Lederkoffer zu tragen, wie ein Versicherungsvertreter. Hermann Weyl selbst, Emmy-Schüler und Bewunderer ihres mathematischen Talents, drückte die allgemeine Meinung über die Mentorin ziemlich ausgeglichen mit den Worten aus: „Die Grazien standen ihr nicht an der Wiege.“

Porträt Emmy Noether In der Jugend.

Verwandlung in einen wunderschönen Schwan

Emmy Noether wurde in eine Gesellschaft hineingeboren, in der Frauen sozusagen an Händen und Füßen gefesselt waren. Damals regierte in Deutschland der allmächtige Kaiser Wilhelm II., ein Liebhaber feierlicher Empfänge und Zeremonien. Er kam in die Stadt, stieg anständig aus dem Zug, und dann hielt der örtliche Bürgermeister eine Rede. Die ganze Drecksarbeit erledigte der Eiserne Kanzler Bismarck. Er war das wahre Staats- und Gesellschaftsoberhaupt, der Inspirator seiner konservativen Struktur, die die Bildung von Frauen verhinderte (allgemeine Bildung galt als Zeichen des verhassten Sozialismus). Das Modell für eine Frau war die Frau des Kaisers, Kaiserin Augusta Victoria. Ihr Lebenscredo war vier K: Kaiser, freundlicher(Kinder), Kirche(Kirche), Küche(Küche) - eine erweiterte Version der drei K aus der Volkstrilogie " Kinder, Kirche, Küche". In einem solchen Umfeld wurde Frauen eine klar definierte Rolle zugewiesen: Auf der sozialen Leiter standen sie unter den Männern und eine Stufe über den Haustieren. Frauen konnten also keine Bildung erhalten. Eigentlich war die Bildung von Frauen nicht ganz verboten – für die Heimat von Goethe und Beethoven wäre das zu viel. Unter Überwindung vieler Hindernisse konnten Frauen studieren, waren aber nicht berechtigt, Positionen zu bekleiden. Das Ergebnis war das gleiche, aber das Spiel war subtiler. Einige Lehrer, die einen besonderen ideologischen Eifer demonstrierten, weigerten sich, den Unterricht zu beginnen, wenn mindestens eine Frau im Publikum anwesend war. Ganz anders war die Situation beispielsweise in Frankreich, wo Freiheit und Liberalismus dominierten.

Emmy wurde in der Kleinstadt Erlangen in eine großbürgerliche Lehrerfamilie geboren. Erlangen nahm einen ungewöhnlichen Platz in der Geschichte der Mathematik ein – es war der kleine Geburtsort des Schöpfers der sogenannten Synthetischen Geometrie Christian von Staudt (1798–1867) außerdem veröffentlichte das junge Genie Felix Klein (1849–1925) in Erlangen sein berühmtes Erlanger Programm, in dem er Geometrien unter gruppentheoretischen Gesichtspunkten klassifizierte.

Emmys Vater, Max Noether, lehrte Mathematik an der Universität Erlangen. Seinen Intellekt erbten sein Sohn Fritz, der sein Leben der angewandten Mathematik widmete, und seine Tochter Emmy, die dem hässlichen Entlein aus Andersens Märchen ähnelte – niemand konnte sich vorstellen, welche wissenschaftlichen Höhen sie erreichen würde. In ihrer Kindheit und Jugend unterschied sich Emmy nicht von ihren Altersgenossen: Sie tanzte sehr gerne und nahm bereitwillig an allen Feierlichkeiten teil. Gleichzeitig zeigte das Mädchen kein großes Interesse an Musik, was sie von anderen Mathematikern unterscheidet, die oft Musik lieben und sogar verschiedene Instrumente spielen. Emmy bekennt sich zum Judentum – dieser Umstand war damals unbedeutend, beeinflusste aber ihr weiteres Schicksal. Abgesehen von gelegentlichen Geistesblitzen unterschied sich Emmys Ausbildung nicht von der ihrer Altersgenossen: Sie konnte kochen und einen Haushalt führen, zeigte Erfolg beim Französisch- und Englischlernen, und ihr wurde eine Karriere als Sprachlehrerin prophezeit. Zur Überraschung aller entschied sich Emmy für Mathe.

Fassade des Kollegienhauses - eines der ältesten Gebäude der Universität Erlangen.

Endloses Rennen

Emmy hatte alles, was sie brauchte, um sich ihrem erlernten Beruf zu widmen: Sie kannte sich mit Mathematik aus, ihre Familie konnte ihr (wenn auch sehr mageres) Lebensgeld zukommen lassen, und durch die persönliche Bekanntschaft mit den Kollegen ihres Vaters konnte sie sich darauf verlassen, dass ihr Studium an der Universität würde nicht unerträglich werden. Um ihr Studium fortzusetzen, musste Emmy Studentin werden – es war ihr verboten, als Vollstudentin am Unterricht teilzunehmen. Sie hat ihr Studium erfolgreich abgeschlossen und die Promotionsprüfung bestanden. Als Thema ihrer Dissertation wählte Emmy algebraische Invarianten ternärer quadratischer Formen. Der Lehrer dieser Disziplin war Paul Gordon (1837–1912) , den Zeitgenossen den König der Invariantentheorie nannten; er war ein langjähriger Freund von Noethers Vater und ein Anhänger der konstruktiven Mathematik. Bei seiner Suche nach algebraischen Invarianten verwandelte sich Gordan in eine echte Bulldogge: Er klammerte sich an eine Invariante und öffnete seine Kiefer nicht, bis er sie unter den Feinheiten von Berechnungen herausgegriffen hatte, die manchmal endlos schienen. Es ist nicht allzu schwierig zu erklären, was eine algebraische Invariante und eine Form sind, aber diese Konzepte sind für die moderne Algebra nicht von Interesse, daher werden wir nicht näher darauf eingehen.

In seiner Doktorarbeit mit dem Titel "Zur Definition formaler Systeme ternärer biquadratischer Formen" werden 331 von Emmy gefundene Invarianten ternärer biquadratischer Formen angegeben. Die Arbeit brachte ihr einen Doktortitel ein und gab ihr viel Übung in mathematischer Gymnastik. Emmy selbst nannte diese harte Arbeit später in einem Anfall von Selbstkritik Unsinn. Sie wurde nach Sofia Kovalevskaya die zweite promovierte Naturwissenschaftlerin in Deutschland.

Emmy bekam einen Lehrauftrag in Erlangen, wo sie acht lange Jahre ohne Gehalt arbeitete. Manchmal hatte sie die Ehre, ihren eigenen Vater zu ersetzen - sein Gesundheitszustand hatte sich zu dieser Zeit verschlechtert. Paul Gordan zog sich zurück und wurde durch Ernst Fischer ersetzt, der moderner war und sich gut mit Emmy verstand. Es war Fischer, der sie mit den Werken von Hilbert bekannt machte.

Glücklicherweise wurden Noethers Einsicht, ihr Verstand und ihr Wissen von zwei Koryphäen der Universität Göttingen, "der mathematischsten Universität der Welt", wahrgenommen. Diese Koryphäen waren Felix Klein und David Gilbert (1862–1943) . Es war 1915, der Erste Weltkrieg war in vollem Gange. Sowohl Klein als auch Hilbert waren äußerst liberal in der Ausbildung von Frauen (und ihrer Teilnahme an Forschungsarbeiten) und Spezialisten auf höchstem Niveau. Sie überredeten Emmy, Erlangen zu verlassen und zu ihnen nach Göttingen zu ziehen, um zusammenzuarbeiten. Zu dieser Zeit boomten Albert Einsteins revolutionäre Physikideen, und Emmy war eine Expertin für algebraische und andere Invarianten, die einen äußerst nützlichen mathematischen Apparat für Einsteins Theorie darstellten (wir werden etwas später auf die Diskussion von Invarianten zurückkommen).

All dies wäre lustig, wenn es nicht so traurig wäre – auch die Unterstützung solcher Autoritäten half Emmy nicht, den Widerstand des Akademischen Rates der Universität Göttingen zu überwinden, von dessen Mitgliedern man Aussagen im Geiste hören konnte: „Was wird unser sagen heldenhafte Soldaten, wenn sie in ihre Heimat zurückkehren, und in den Hörsälen, müssen sie vor einer Frau sitzen, die sie von der Kanzel aus ansprechen wird?“ Hilbert, der bei einem solchen Gespräch dabei war, widersprach empört: „Ich verstehe nicht, wie das Geschlecht der Kandidatin sie daran hindert, zur Privatdozentin gewählt zu werden. Schließlich ist dies eine Universität, kein Männerbad!

Aber Emmy wurde nie zur Privatdozentin gewählt. Der Akademische Rat erklärte ihr einen wahren Krieg. Der Konflikt endete bald, die Weimarer Republik wurde ausgerufen, und die Situation der Frauen verbesserte sich: Sie bekamen das Wahlrecht, Emmy konnte die Stelle einer Professorin (aber ohne Gehalt) annehmen, aber erst 1922, mit großen Anstrengungen, sie bekam endlich Geld für ihre Arbeit. Emmy ärgerte sich darüber, dass ihre zeitraubende Arbeit als Herausgeberin der Annals of Mathematics nicht gewürdigt wurde.

1918 wurde Noethers sensationeller Satz veröffentlicht. Viele nannten es so, obwohl Emmy viele andere Theoreme bewies, einschließlich sehr wichtiger. Noether hätte Unsterblichkeit verdient, selbst wenn sie am Tag nach der Veröffentlichung des Theorems im Jahr 1918 gestorben wäre, obwohl sie den Beweis drei Jahre zuvor tatsächlich gefunden hatte. Dieser Satz gehört nicht zur abstrakten Algebra und ist an der Schnittstelle zwischen Physik und Mathematik angesiedelt, genauer gesagt gehört er zur Mechanik. Um es in einer für den Leser verständlichen Sprache zu erklären, wenn auch in vereinfachter Form, können wir leider nicht auf höhere Mathematik und Physik verzichten.

Einfach gesprochen, ohne Symbole und Gleichungen, sagt Noethers Theorem in der allgemeinsten Formulierung: „Wenn ein physikalisches System kontinuierliche Symmetrie hat, dann gibt es entsprechende Größen darin, die ihre Werte über die Zeit behalten.“

Das Konzept der kontinuierlichen Symmetrie in der höheren Physik wird mit Hilfe von Lie-Gruppen erklärt. Wir werden nicht ins Detail gehen und sagen, dass in der Physik unter Symmetrie jede Änderung in einem physikalischen System verstanden wird, in Bezug auf die die physikalischen Größen in dem System invariant sind. Diese Änderung muss sich durch eine mathematisch kontinuierliche Transformation auf die Koordinaten des Systems auswirken, und die betrachtete Größe muss vor und nach der Transformation unverändert bleiben.

Woher kommt der Begriff „Symmetrie“? Es gehört zu einer rein physikalischen Sprache und wird verwendet, weil es eine ähnliche Bedeutung wie der Begriff „Symmetrie“ in der Mathematik hat. Stellen Sie sich Rotationen des Raums vor, die eine Symmetriegruppe bilden. Wenden wir eine dieser Drehungen auf ein Koordinatensystem an, erhalten wir ein anderes Koordinatensystem. Koordinatenänderungen werden durch kontinuierliche Gleichungen beschrieben. Wenn ein System in Bezug auf eine solche kontinuierliche Symmetrie (in diesem Fall Rotation) invariant ist, dann hat es nach dem Satz von Noether automatisch ein Erhaltungsgesetz für die eine oder andere physikalische Größe. In unserem Fall können wir nach Durchführung der erforderlichen Berechnungen sicherstellen, dass dieser Wert der Drehimpuls ist.

Wir werden uns nicht mit diesem Thema befassen und einige Arten von Symmetrie, Symmetriegruppen und die entsprechenden physikalischen Größen angeben, die erhalten bleiben.

Dieser Satz hat viele Auszeichnungen erhalten, unter anderem von Einstein, der an Hilbert schrieb:

« Gestern erreichte mich ein sehr interessanter Artikel von Frau Noether über die Konstruktion von Invarianten. Ich bin beeindruckt, dass solche Dinge von einem so allgemeinen Standpunkt aus betrachtet werden können. Der alten Garde in Göttingen würde es nicht schaden, wenn sie von Madame Noether zur Ausbildung geschickt würden. Sieht aus, als verstünde sie ihr Handwerk gut».

Das Lob war wohlverdient: Der Satz von Noether spielte eine nicht triviale Rolle bei der Lösung von Problemen in der allgemeinen Relativitätstheorie. Dieser Satz ist nach Ansicht vieler Experten grundlegend und wird von einigen sogar mit dem bekannten Satz des Pythagoras gleichgesetzt.

Schneller Vorlauf zu einer einfachen und verständlichen Welt der Experimente, beschrieben Karl Popper (1902–1994) , und nehmen wir an, wir hätten eine neue Theorie entwickelt, die ein physikalisches Phänomen beschreibt. Wenn es in unserer Theorie eine Art Symmetrie gibt (es ist durchaus vernünftig, so etwas anzunehmen), verbleibt nach dem Satz von Noether eine messbare Größe im System. Auf diese Weise können wir feststellen, ob unsere Theorie richtig ist oder nicht.

SATZ NICHTS

Ein physikalisches System in der Mechanik wird mit ziemlich komplexen Begriffen definiert, einschließlich eines Konzepts wie einer Aktion, die als Produkt der freigesetzten Energie und der für ihre Absorption aufgewendeten Zeit betrachtet werden kann. Das Verhalten eines physikalischen Systems in der Sprache der Mathematik wird durch seine Lagrange-Funktion beschrieben L, die eine Funktion (Funktion von Funktionen) der Form ist

wo q- Stellung, q?- Geschwindigkeit (der Punkt ganz oben in Newtons Notation bezeichnet die Ableitung von q), t- Zeit. beachten Sie, dass q- Position in einem allgemeinen Koordinatensystem, das nicht notwendigerweise kartesisch ist.

Handlung SONDERN wird in der Sprache der Mathematik durch ein Integral entlang des vom System gewählten Pfads ausgedrückt:

Das Prinzip der kleinsten Wirkung, das in der Physik des 19. Jahrhunderts eine so wichtige Rolle spielte, besagt, dass sich ein physikalisches System nach dem Gesetz der geringsten Anstrengung bewegt, daher muss, wenn wir die Sprache der mathematischen Analyse verwenden, die Wirkung A ein Extremwert sein , also ein Minimum oder Maximum, also muss seine erste Ableitung gleich Null sein.

Eine gute Illustration sagt mehr als tausend Worte, deshalb hier ein Beispiel, das in vielen Büchern und im Internet perfekt erklärt wird. Noethers Theorem in diesem Beispiel wird wie folgt ausgedrückt: „Nehmen wir an, dass das Teilchensystem eine gewisse Symmetrie hat, d. h. seine Lagrange-Funktion L invariant unter Änderungen einer Variablen s so dass dl/DS= 0. Dann gibt es eine Eigenschaft des Systems Mit, die gespeichert werden: Gleichstrom/dt = 0

Stellen Sie sich ein physikalisches System vor, das aus zwei Federn mit Elastizitätskoeffizienten besteht bis 12 und bis 23 Wir führen die Notation ein:

Betrachten Sie nun die Symmetrie (in der Formulierung des Satzes wird sie mit bezeichnet s). Da das Elastizitätsgesetz immer erfüllt ist, können wir das wohl annehmen s = t, also Zeit, und die Symmetrie der Lagrangefunktion, die in der ursprünglichen Formulierung erwähnt wird, äußert sich wie folgt:

Führen wir einige algebraische Transformationen durch:

Ändern wir die Reihenfolge der Mitglieder:

Wir haben die Erhaltungsgröße erhalten Mit- es ist in Klammern angegeben. Als q? = X?, wir haben

Die Summe (mit Minuszeichen) aus kinetischer und potentieller Energie, also die Gesamtenergie des Systems, ist konstant. Wir haben den Energieerhaltungssatz erhalten.

Algebra und noch mehr Algebra. Und welche Algebra!

Wir haben unsere Geschichte über Emmy damit unterbrochen, dass sie sich in Göttingen niedergelassen hat, neben Klein und Hilbert, zwei weltberühmten Mathematikern. Der witzige Gilbert fand einen Weg, um die Hindernisse der trägesten und konservativsten Lehrer zu überwinden: Er organisierte Kurse unter seinem eigenen Namen, aber Emmy ersetzte ihn jedes Mal im Klassenzimmer, und Unglückliche konnten nur mit den Zähnen knirschen.

Emmy zeichnete sich durch ihre unglaubliche Leistung aus - sie könnte mit einem Auto verglichen werden, dessen Bremsen versagten. 1920 beschloss sie, einen neuen Weg einzuschlagen. Allmählich, aber stetig, widmete sich Emmy immer mehr Fragen der reinen Algebra: zunächst Ringe und Ideale auf Ringen, dann komplexere Strukturen, insbesondere verschiedene Algebren. Sie beherrschte das Thema so sehr, dass sie den Titel "Herr der Ringe" voll und ganz verdient hatte. In diese Zeit gehören so wichtige Ergebnisse für die Entwicklung der Algebra wie der Satz von Lasker-Noether (1921) und das Normierungslemma (1926). Bis 1927 stammen ihre Isomorphismussätze zurück.

Dann ging Emmy fast sofort zu komplexeren Themen über, insbesondere Algebra. 1931 wurde der Satz von Albert-Brauer-Hasse-Noether über Algebren endlicher Dimension formuliert. 1933 erzielte Emmy Noether erneut ein wichtiges Ergebnis in Bezug auf Algebren, das sogenannte Skolem-Noether-Theorem. Wir liefern keine detaillierten Formulierungen dieser Theoreme, da sie sehr abstrakte mathematische Begriffe und Objekte erwähnen, die nur Spezialisten zugänglich sind.

Emmy wurde überall hin von einer wahren Schar Studenten verfolgt – laut, widerspenstig, aber sehr schlau. Dies waren die „Kinder Noethers“, die ihren Worten lauschten. Sie begleiteten sie auf langen Spaziergängen und häufigen Schwimmrunden im städtischen Schwimmbad, wo Emmy wie ein Delfin schwamm und tauchte. Viele „Noether-Kinder“ wurden später dank der Ideen ihrer Mentorin zu großen Mathematikern, obwohl ihre pädagogische Begabung sozusagen ungewöhnlich war: Sie behandelte ihre Schüler wie eine Glucke zu Hühnern – sie war ausnahmslos streng und anspruchsvoll und nicht sie trat nicht beiseite von ihnen. Für viele sah sie eher wie ein Hahn als wie ein Huhn aus, und sie nannten sie mit Respekt vor ihrem Verstand und etwas Schüchternheit im männlichen Geschlecht - Der Nöther.

"Kinder Noether».

Um zu verstehen, wie neugierig das Gefolge der „Kinder von Noether“ war, hilft ein anekdotischer Fall aus der Zeit des Nationalsozialismus. Natascha Artin-Braunschweig, Ehefrau Emil Artine (1898–1962) , erzählte, wie sie einst zur Hamburger U-Bahn hinuntergingen: Die Schüler blieben nicht hinter Noether zurück und folgten ihr wie Kinder hinter dem Rattenfänger von Hameln. Sobald sie in den Zug eingestiegen waren, begann Emmy mit Emil Artin über mathematische Themen zu diskutieren, wobei sie immer lauter wurde und die anderen Fahrgäste nicht beachtete. In Noethers Rede waren ständig die Worte „Führer“ und „Ideal“ zu hören – zum großen Entsetzen von Natascha, die befürchtete, von der Gestapo festgenommen zu werden.

Allerdings konnte jedes der „Kinder“ der fürchterlichen Gestapo leicht erklären, dass diese Worte nur unschuldige algebraische Begriffe aus der Theorie der Ringe waren. Damals installierten die Nazis eine zügellose Überwachung, sie mischten sich in das Privatleben der Menschen ein und belagerten buchstäblich Universitäten. Einer von Emmys Schülern, der jüdisch war und daher keine Universität besuchen konnte, kam in Form eines Mitglieds des Angriffskommandos zum Lernen zu ihr nach Hause, um Verdacht zu vermeiden. Die Pazifistin Emmy nahm das Geschehen mit Demut wahr.

Sie beschäftigte sich mit den modernsten Bereichen der Algebra. Von Zeit zu Zeit wandte sich Emmy der Topologie zu, insbesondere in Zusammenarbeit mit Pawel Sergejewitsch Alexandrow (1896–1982) . Noethers Spezialgebiet war die detaillierte Untersuchung algebraischer Strukturen, deren Zweck darin bestand, ihre besonderen Eigenschaften zu verwerfen und sie möglichst allgemein zu betrachten. Emmy genoss uneingeschränkte Autorität, und aus ganz Europa kamen Studenten zu ihr. Einer von ihnen, Barthel van der Waerden (1903–1996) , der später als Autor von "Modern Algebra" berühmt wurde, einem Buch, das für mehrere Generationen zum Kanon wurde (aus diesem Buch, dessen Seiten mit unverständlichen Symbolen der gotischen Art übersät waren, habe ich auch studiert), schrieb ein Emmy Noethers Nachruf:

« Für Emmy Noether wurden die Zusammenhänge zwischen Zahlen, Funktionen und Operationen erst klar, verallgemeinerbar und brauchbar, nachdem sie von konkreten Objekten getrennt und auf allgemeine begriffliche Zusammenhänge reduziert worden waren.».

Hier ist, was Einstein schrieb:

« Theoretische Mathematik ist eine Art Poesie logischer Ideen. Ihr Ziel ist es, nach den allgemeinsten Ideen zu suchen, die die größtmögliche Bandbreite formaler Beziehungen auf einfache, logische und allgemeine Weise beschreiben. Auf diesem Weg zur logischen Schönheit entdecken wir Formeln, die uns die Naturgesetze besser verstehen lassen.».

Grundlegende algebraische Strukturen

Lesen Sie diesen Abschnitt über die Grundlagen der abstrakten Algebra sorgfältig durch, sonst werden Sie nichts von dem verstehen, was in den folgenden Abschnitten gesagt wird. Dieser Abschnitt ist umfangreich, aber einfach, da er nur Definitionen enthält.

Es gibt viele grundlegende algebraische Strukturen, die als Mengen mit einer oder mehreren Operationen betrachtet werden. Wir beschränken uns auf die Betrachtung von Strukturen, auf denen zwei Operationen definiert sind, Ö und . Diese Operationen sind oft + und . Manchmal ist das sogenannte dritte Gesetz der äußeren Zusammensetzung erforderlich ( a manchmal mehr), aber wir werden nur die einfachsten Fälle betrachten. Anstatt ständig die Worte „ist ein Element“ zu verwenden, werden wir sie durch das Symbol ersetzen

.

Eine Gruppe ist eine Menge von Elementen SONDERN mit einer darauf definierten Operation o, die die folgenden drei Bedingungen erfüllt:

1) Es gibt ein neutrales Element n so dass nÜber a = aÜber n = a für jeden a

2) für jeden a

SONDERN Es gibt ein inverses Element a-1 so dass aÜber a -1 = a-1 ungefähr a = n;

3) für alle a, b, c

SONDERN gilt die Assoziativitätseigenschaft, wonach ( aÜber b) Über mit= aÜber ( bÜber mit).

Eine Gruppe heißt kommutativ oder abelsch (zu Ehren des norwegischen Mathematikers Niels Henrik Abel), wenn überhaupt ein, b

SONDERN Die Operation, die wir definiert haben, ist kommutativ, dh die Relation aÜber b = bÜber a.

Wenn die Additionsoperation (+) auf der Gruppe definiert ist, dann ist das Element invers a, bezeichnet - a und heißt gegenüber. Das neutrale Element wird in diesem Fall mit 0 bezeichnet.

Wenn die Operation der Multiplikation () auf der Gruppe definiert ist, dann das Element invers a, bezeichnet mit 1/ a. Das neutrale Element wird in diesem Fall mit 1 bezeichnet.

4) für alle a, b, c

Und es ist gerecht ( ein b) mit = a (b c).

Die Operationen o und sind durch die Distributivitätseigenschaft miteinander verbunden in Bezug auf:

5) a (bÜber mit) = (ein b) Über ( ein c).

Ein Ring ist eine kommutative Gruppe, auf der eine weitere Operation definiert ist, die die Assoziativitätseigenschaft hat:

Beispiele für Ringe sind natürliche Zahlen

Ganze Zahlen

Rationale Zahlen

Reale Nummern

Und komplexe Zahlen

(unabhängig von der für sie definierten modalen Arithmetik). Auch Polynome bilden Ringe.

Betrieb in der Welt der Ringe Über hat eine ähnliche Kommutativität wie die Additionsoperation, daher wird sie mit dem Zeichen + bezeichnet. Die Operation (der Einfachheit halber nehmen wir an, dass sie auch Kommutativität hat) wird durch das Symbol bezeichnet · , wie Multiplikation.

Untergruppe oder Unterring SONDERN jede Teilmenge, die eine Gruppe oder ein Ring bleibt, wenn der Betrieb eingeschränkt ist Über oder diese Teilmenge. Das Ideal ist ein besonderer Subring: dieser Subring BEIM

SONDERN so dass jede Arbeit b BEIM und jedes andere Element, das dazugehört BEIM oder nicht, gehören BEIM. Ideale können addiert und multipliziert werden. Die Ergebnisse der Addition und Multiplikation von Idealen werden auch Ideale sein. Der Idealbegriff entstand als Verallgemeinerung des Zahlbegriffs. Für zwei gegebene Ideale ich und J wir haben:

Definiere das Ideal IJ etwas schwieriger. Dies ist das Ideal, das von allen Werken erzeugt wird hu, wo X

ich, y J. Der Schnittpunkt aller Ideale, die ähnliche Produkte enthalten, wird als generiertes Ideal bezeichnet.

Der Bereich der Integrität wird als Ring bezeichnet SONDERN, auf dem für die Operation · es gibt keine sogenannten Nullteiler. Mit anderen Worten, es gibt keine Elemente auf diesem Ring a und b so dass ab = ba= 0.

In diesem Fall der Ring SONDERN ist kommutativ und enthält ein Identitätselement, d. h. es wird ein neutrales Element für die Operation definiert, das die Rolle einer Einheit spielt:

a 1 = a.

Betrachten Sie nun den Bereich der Integrität SONDERN ohne 0. Bezeichnen Sie es mit SONDERN* = SONDERN|(0). Wenn die Operation · bestimmt weiter SONDERN* also kommutative Gruppe SONDERN Feld genannt. Wenn ein SONDERN* ist also nicht kommutativ SONDERN Körper genannt. Haben Sie keine Angst vor solchen Schwierigkeiten: Wenn der Ring SONDERN natürlich ist es dann nach dem berühmten Satz von Wedderburn kommutativ. Wenn der Ring SONDERN unendlich, dann gibt es Freiheit für Algebraiker.

Betrachten wir A-Moduln - die seltenste Art der modernen algebraischen Welt. Um einen linken A-Modul zu definieren, benötigen wir einen Ring mit Identität SONDERN und die kommutative Gruppe M. Aktionen mit Elementen ein, b

SONDERN und Elemente M (m, n M) sind wie folgt definiert:

1. (ab)m= a(bm)

2. (a + b) n = bin + bm

3. a(m + n) = bin + ein

4. 1m = m.

Der rechte A-Modul ist ähnlich definiert; Ein kommutativer Modul (oder einfach ein A-Modul) ist ein Modul, das gleichzeitig rechts und links ist. Wenn A ein Körper ist, dann heißt der A-Modul Vektorraum. Wenn die Operation der Multiplikation für die Vektoren eines Vektorraums definiert ist, haben wir eine "Algebra". Hier werden wir aufhören. Obwohl die von uns gegebenen Definitionen elementar sind, ist es durchaus möglich, dass der Leser diesen Abschnitt nicht elementar nennen wird.

Ein paar Worte über Algebra, Ideale und Noethersche Ringe

Der größte Teil von Emmy Noethers wissenschaftlicher Arbeit war Ringen und Idealen gewidmet – algebraischen Strukturen, an denen sie viele Jahre gearbeitet hat. Warum schenkte Noether ihnen so viel Aufmerksamkeit?

Viele Objekte, mit denen Mathematiker arbeiten, sind Ringe: Zum Beispiel sind Ringe die Menge der ganzen Zahlen

Und seine aufeinanderfolgenden Erweiterungen sind ,

Ringe sind auch Polynome einer Variablen mit Koeffizienten aus den obigen Ringen

[X]. In ähnlicher Weise sind Ringe Polynome mehrerer Variablen

Sowie konvergente Reihen - kurz gesagt, viel mehr.

Aber was sind Ideale und warum haben sie einen so romantischen Namen bekommen? Machen wir einen kleinen Exkurs in die Geschichte der Mathematik. Betrachten Sie als Beispiel die quadratische ganze Zahl

[?-5] oder

Was ähnlich ist. Dies ist eine Reihe von Zahlen wie a + b?-5, wo a und b- ganze Zahlen. Mit anderen Worten,

[?-5] ist ein Ring (sehen Sie es sich an), aber hier betreten wir mathematisch gesehen eine verbotene Zone. Wir sind an die Standardeigenschaften der Teilbarkeit gewöhnt und daran, dass die Zerlegung einer Zahl in Primfaktoren immer eindeutig ist. Betrachten Sie zum Beispiel die Zahl 21. Wir haben 21 = 3 7 und hier endet die Faktorisierung: 21 kann auf eindeutige Weise in Primfaktoren zerlegt werden, und diese Faktoren werden 3 und 7 sein. Diese Aussage folgt aus dem Hauptsatz der Arithmetik: am Set

Die Zerlegung einer beliebigen Zahl in Primfaktoren ist einzigartig. Am Set

[?-5] gilt diese Aussage nicht mehr: Hier können wir 21 auf zwei Arten in Primfaktoren zerlegen:

3 7 \u003d (4 + ?-5) (4 - ?-5) \u003d 21.

An diesem Set wird die Zerlegung in Primfaktoren nicht mehr die einzige sein, die ihm zu seinem größten Missfallen aufgefallen ist Ernst Kummer (1810–1893) . Diese Aussage, die nicht sehr wichtig erscheint und nur in einer Zeile geschrieben ist, hat die Algebraiker des 19. Jahrhunderts daran gehindert, den Satz von Fermat zu beweisen, und ihnen viel Ärger bereitet.

Um die Situation irgendwie zu korrigieren und das Problem zu umgehen, führte Kummer selbst Idealzahlen ein. Sie waren nicht sehr nützlich, da sie nicht mehr dazu gehörten

[?-5], aber zu einem anderen, größeren Ring. Das waren keine geraden Zahlen – heute würden wir sie Zahlenmengen nennen, die zueinander äquivalent sind. Mathematiker dieser Zeit waren sich der derzeit allgemein akzeptierten Konzepte von Mengenfaktor und Homomorphismus nicht bewusst, und es war nur so Richard Dedekind (1831–1916) . Ihm folgten andere Algebraiker, die das Gebiet räumten und mit Ausgrabungen begannen. Unter ihnen nahm Emmy Noether einen wichtigen Platz ein.

Ideale haben noch eine weitere bemerkenswerte Eigenschaft – wir sprechen von einer Kette von Idealen. Wir werden Noether nicht folgen und versuchen, ein abstraktes Konzept zu erklären, sondern uns darauf beschränken, ein sehr einfaches Beispiel zu geben – die Ideale des Rings der ganzen Zahlen

.

In dieser Welt (es ist ein Bereich der Integrität, dh ein „guter“ Ring) regiert der Hauptsatz der Arithmetik die Show: Für alle Zahlen ist die Zerlegung in Primfaktoren einzigartig, und nichts stört die Harmonie. Die Ideale in dieser Welt werden eine Vielzahl sein n

Bestehend aus ganzzahligen Vielfachen n. Die Zahl solcher Ideale sowie die Zahlen selbst werden unendlich groß sein. Die Summe und das Produkt von Idealen sind sehr einfach definiert:

Ideale, die Zahlenmengen sind, und gewöhnliche Zahlen verhalten sich gleich, werden gleich faktorisiert und sind arithmetisch äquivalent. Sie sind sogar in einem so schwierigen Aspekt wie der Teilbarkeit gleichwertig. Tatsächlich, " b geteilt durch a» für Ideale kann ausgedrückt werden als b

Noethers Genialität liegt in der Tatsache, dass sie eine Kette von Idealen aufgebaut hat, die durch eine Zugehörigkeitsfunktion vereint sind

Was ihre Teilbarkeit zueinander widerspiegelt.

Da jede Teilbarkeitsrelation früher oder später mit einer bestimmten Zahl endet, endet früher oder später auch jede Kette von Idealen. „Gute“ Idealketten enden zwangsläufig, das heißt, sie sind endlich. Ringe, auf denen es keine unendlichen Idealketten gibt, nennt man noethersche Ringe. Diesen Ringen widmete Emmy bei ihrer Recherche besondere Aufmerksamkeit.

Später bewiesen Algebraiker die Äquivalenz der folgenden Aussagen.

1. Klingeln SONDERN ist noetherisch (mit anderen Worten, zunehmende Ketten von Idealen darauf sind endlich).

2. Irgendein Ideal an SONDERN endlich erzeugt wird.

3. Jede Reihe von Idealen an SONDERN enthält das größte Ideal.

1999 produzierte die Australian Mathematical Foundation T-Shirts mit immer größer werdenden Ketten für die ideale 18

Am Set

Die begrenzte Größe von T-Shirts hat uns daran gehindert, ein weiteres Beispiel zu verwenden. Auf den T-Shirts wurden folgende Idealketten abgebildet:

Wie erwartet sind diese Ketten endlich und der Ring

ist Noetherianisch. Übrigens hat Hilbert bewiesen, dass, wenn der Ring A noethersch ist, der Polynomring auch noethersch sein wird. SONDERN[X].

SATZ EMMI UND SCHACHSPIELER

Algebraist Emmanuel Lasker (1868–1941) war ein herausragender Mathematiker und Schachweltmeister. Er betrachtete im Detail die gewöhnlichen, einfachen und primären Ideale. Wir werden nicht zu tief in die abstrakte Algebra eintauchen und die Ringe betrachten SONDERN, die ebenfalls Integritätsregionen sind. Ein ungefähres Ideal auf diesen Ringen wird als Ideal bezeichnet ich, anders als der ursprüngliche Ring SONDERN, auf welche ab

ich und a ich existieren n so dass b n ich. (Beim n= 1 nennt man dieses Ideal einfach.) Lasker beschrieb eine sehr breite Klasse von Ringen (heute werden sie als Lasker-Ringe bezeichnet), die auf einer interessanten Eigenschaft ihrer Ideale basiert. Jedes Ideal kann als Schnittpunkt einer endlichen Anzahl von Primäridealen dargestellt werden.

Emmy Noether hat ein Theorem bewiesen, das heute als Noether-Lasker-Theorem bekannt ist und wie folgt lautet:

"Jede noetherianische Integritätsdomäne ist ein Lasker-Ring."

Dieser Satz, der mit der abstrakten Algebra verwandt ist, verbindet zwei scheinbar sehr weit entfernte Konzepte - endliche Ketten von Idealen und Schnittmengen von primären Idealen. Sie haben vielleicht nicht bemerkt (und eigentlich sollten Sie sich dafür überhaupt nicht entschuldigen), dass wir das Lasker-Noether-Theorem auf den Ring anwenden

Dann erhalten wir den Grundsatz der Arithmetik: Jede ganze Zahl kann auf eindeutige Weise als Produkt von Primfaktoren dargestellt werden. Der heute überall verwendete Begriff „Noetherscher Ring“ wurde von dem großen französischen Mathematiker eingeführt Claude Chevalley (1909–1984) , einer der Gründer der Bourbaki-Gruppe.

Ende der Geschichte

Unnötig zu sagen, dass Emmy Noether bereits in den 1930er Jahren unter Mathematikern einen unglaublichen Respekt genoss. Ein Beispiel dafür ist ihre Teilnahme am Internationalen Kongress von 1932. Im folgenden Jahr kamen die Nazis in Deutschland an die Macht und begannen mit einer Entschlossenheit, die nur mit ihrer eigenen Dummheit zu vergleichen war, alle jüdischen Lehrer von den Universitäten zu vertreiben. Emmy litt auch unter Antisemitismus. Ihre Freunde und Bekannten protestierten vergeblich – sie und viele ihrer Kollegen (Thomas Mann, Albert Einstein, Stefan Zweig, Sigmund Freud, Max Born und andere) mussten ihre Lehrtätigkeit in Deutschland aufgeben und das Land verlassen (wie sich später herausstellte, nicht jeder hatte eine solche Gelegenheit ), ihre bösen Ideen unter Angehörigen anderer, nicht-arischer Rassen zu verbreiten. Was genau die Nazis an der modernen Algebra als schädlich ansahen, werden wir nie erfahren. Höchstwahrscheinlich kannten die Nazis selbst die Antwort auf diese Frage nicht.

Emmys Bruder Fritz zog nach Tomsk, und Emmy selbst, die einige Zeit entweder nach Oxford oder Moskau tendierte (sie hatte eine gewisse Sympathie für die sozialistische Revolution in der UdSSR), landete durch die Bemühungen der Rockefeller in den Vereinigten Staaten Stiftung.

Über Antisemitismus und seine Verbreitung sind viele Bücher geschrieben worden. Es wäre nützlich zu sagen, dass vor dem Eintritt der Vereinigten Staaten in den Zweiten Weltkrieg der Antisemitismus an einigen Universitäten an Dynamik gewann, die als Tempel des Wissens und Hochburgen des Liberalismus galten, insbesondere an der Princeton University in New Jersey. Aus diesem Grund hat die jüdische Millionärs- und Philanthropenfamilie Bamberger mehrere Millionen Dollar an das Institute for Advanced Study in Princeton gespendet, eine absolut neutrale Institution, die frei von solchen Vorurteilen ist. Diese Spende verhalf dem Institut schließlich zu einer vorbildlichen Forschungseinrichtung. In Princeton brüteten Wissenschaftler Ideen aus, wurden ausschließlich für wissenschaftliche Arbeit bezahlt und von der Lehre befreit. Das Institut wurde zu einem Zufluchtsort für viele europäische Emigranten, die ganz oder halb jüdisch waren. Unter ihnen waren Einstein, Weyl, von Neumann und Gödel. Obwohl Emmy Noether am Institut lehrte und Seminare leitete und ihre Leistungen in Mathematik mehr als ausreichend waren, wurde sie nie eine vollwertige Mitarbeiterin von Princeton – nur weil sie eine Frau war. Noethers Hauptarbeitsplatz war das Bryn Mawr College in der Nähe von New Jersey in Pennsylvania – das beste Frauen-College der Welt. Emmy vergaß manchmal, dass sie in Amerika war, und mitten in einem Streit über Mathematik brach sie auf Deutsch in Schimpftirade aus.

Nur zwei Jahre nach ihrer Ankunft in Amerika entdeckten die Ärzte, dass Emmy Gebärmutterkrebs hatte. Sie wurde hervorragend operiert, starb aber an einer Embolie. Interessanterweise wurde unter der Lawine von Nachrufen einer, signiert von van der Waerden, ohne große Probleme in Deutschland veröffentlicht – die Nazi-Zensoren müssen nicht sehr gut in Algebra gewesen sein.

Ein Krater auf der anderen Seite des Mondes und der Asteroid 7001 sind ebenfalls nach Emmy Noether benannt.

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Prominenter deutscher Mathematiker, „die größte Mathematikerin, die es je gab“.

Geboren in der Familie des Mathematikers Max Noether in Erlangen. Sie studierte an der Universität Erlangen, wo ihr Vater arbeitete, zunächst als Volontärin, seit 1904, als die Frauenerziehung erlaubt war, wurde sie offiziell immatrikuliert. Sie war Schülerin des Mathematikers Paul Gordan, unter dessen Anleitung sie 1907 ihre Dissertation über die Theorie der Invarianten verteidigte.

Bereits 1915 trug Noether zur Entwicklung der Allgemeinen Relativitätstheorie bei; Einstein drückte in einem Brief an den weltweit führenden Mathematiker David Hilbert seine Bewunderung für Noethers „aufschlussreiches mathematisches Denken“ aus.

1916 zog Noether nach Göttingen, wo die berühmten Mathematiker David Hilbert und Felix Klein weiter an der Relativitätstheorie arbeiteten und Noethers Wissen auf dem Gebiet der Invariantentheorie benötigten. Hilbert hatte einen großen Einfluss auf Noether und machte sie zu einer Anhängerin der axiomatischen Methode. Er versuchte, Noether zum Privatdozenten an der Universität Göttingen zu machen, scheiterten jedoch alle an den Vorurteilen der Professoren, meist Humanisten. Hilberts Satz wurde bekannt:

Ich verstehe nicht, warum das Geschlecht der Kandidatin als Argument gegen ihre Wahl zur Privatdozentin dient. Schließlich ist dies eine Universität, kein Männerbad!

Noether jedoch, ohne ein Amt zu bekleiden, hielt oft Vorträge für Hilbert. Erst nach Ende des Ersten Weltkriegs konnte sie 1919 Privatdozentin, dann (1922) außerplanmäßige Professorin werden.

Die fruchtbarste Periode von Noethers wissenschaftlicher Tätigkeit beginnt um 1920, als sie der abstrakten Algebra eine völlig neue Richtung gibt. Seit 1922 ist sie als Professorin an der Universität Göttingen tätig und leitet eine maßgebliche und schnell wachsende wissenschaftliche Schule.

Zeitgenossen beschreiben Noether als nicht sehr schöne, aber äußerst intelligente, charmante und freundliche Frau. Ihre Weiblichkeit zeigte sich nicht äußerlich, sondern in einer rührenden Anteilnahme an ihren Schülern, ihrer ständigen Hilfsbereitschaft ihnen und ihren Kollegen. Zu ihren treuen Freunden gehörten weltberühmte Wissenschaftler: Hilbert, Hermann Weyl, Edmund Landau, der niederländische Mathematiker L. Brouwer, die sowjetischen Mathematiker P. S. Aleksandrov, P. S. Uryson und viele andere.

Noether hielt an sozialdemokratischen Ansichten fest. Zehn Jahre ihres Lebens arbeitete sie mit Mathematikern der UdSSR zusammen; im Studienjahr 1928/29 lehrte sie an der Moskauer Universität, wo sie L. S. Pontryagin und insbesondere P. S. Aleksandrov beeinflusste, der Göttingen zuvor oft besucht hatte. P. S. Alexandrov erinnerte sich:

Emmy Noethers Vorlesungen über die allgemeine Idealtheorie waren der Höhepunkt von allem, was ich in jenem Sommer in Göttingen hörte... Natürlich legte Dedekind den allerersten Anfang der Theorie hin, aber nur den allerersten Anfang: die Idealtheorie in ihrer ganzen Fülle seine Ideen und Fakten, eine Theorie, die einen so großen Einfluss auf die moderne Mathematik hatte, ist die Schöpfung von Emmy Noether. Ich kann das beurteilen, weil ich sowohl Dedekinds Arbeiten als auch Noethers Hauptwerke zur Idealtheorie kenne.

Noethers Vorlesungen fesselten sowohl mich als auch Urysohn. Sie waren nicht brillant in der Form, aber sie eroberten uns mit dem Reichtum ihres Inhalts. Wir haben Emmy Noether immer wieder in entspannter Atmosphäre gesehen und viel mit ihr gesprochen, sowohl über Themen der Idealtheorie als auch über Themen unserer Arbeit, die sie sofort interessierten.

Unsere Bekanntschaft, die in diesem Sommer lebhaft begann, vertiefte sich im darauffolgenden Sommer sehr und verwandelte sich dann nach Urysohns Tod in jene tiefe mathematische und persönliche Freundschaft, die zwischen Emmy Noether und mir bis zu ihrem Lebensende bestand. Die letzte Bekundung dieser Freundschaft meinerseits war eine Rede zum Gedenken an Emmy Noether auf einer Tagung der Moskauer Internationalen Topologischen Konferenz im August 1935.

1932: Noether erhält zusammen mit Emil Artin den Ackermann-Töbner-Preis für Leistungen in Mathematik.

Nach der Machtübernahme der Nazis 1933 musste Noether als Jüdin in die USA emigrieren, wo sie Lehrerin am Women's College in Bryn Mawr (Pennsylvania) und Gastprofessorin am Institute for Advanced Studies in Princeton wurde . Emmys jüngerer Bruder, der begabte Mathematiker Fritz Noether, ging in die UdSSR, wo er im September 1941 wegen "antisowjetischer Gesinnung" erschossen wurde.

Trotz brillanter mathematischer Leistungen funktionierte Noethers persönliches Leben nicht. Als hässliche Frau hat sie nie geheiratet. Nichtanerkennung, Exil, Einsamkeit in einem fremden Land, so scheint es, hätten ihren Charakter verderben sollen. Sie wirkte jedoch fast immer ruhig und wohlwollend. Hermann Weil schrieb das sogar gerne.

Emmy Noether starb 1935 nach einer erfolglosen Operation zur Entfernung eines Krebsgeschwürs.

Akademiker P. S. Alexandrov schrieb:

Wenn die Entwicklung der heutigen Mathematik unzweifelhaft im Zeichen der Algebraisierung steht, dem Eindringen algebraischer Konzepte und algebraischer Methoden in die unterschiedlichsten mathematischen Theorien, dann wurde dies erst nach den Arbeiten von Emmy Noether möglich.

Einstein zählte Noether in einer Notiz zu ihrem Tod zu den größten kreativen Genies der Mathematik.

Wissenschaftliche Tätigkeit

Grundsätzlich beziehen sich Noethers Arbeiten auf die Algebra, wo sie zur Schaffung einer neuen Richtung beitrugen, die als abstrakte Algebra bekannt ist. Auf diesem Gebiet spielte Noether (zusammen mit Emil Artin und ihrem Schüler B. L. van der Waerden) eine entscheidende Rolle. Hermann Weil schrieb:

Vieles, was den Inhalt des zweiten Bandes von van der Waerdens Modern Algebra (jetzt einfach Algebra) ausmacht, muss Emmy Noethers sein.

Grundlegend sind nun die Begriffe „Noetherscher Ring“, „Noetherscher Modul“, Normierungssätze und der Lasker-Noether-Idealzerlegungssatz.

Noether hatte großen Einfluss auf die Algebraisierung der Topologie und zeigte, dass die sog. die "Betty-Zahlen" sind nur die Ränge der Homologiegruppen.

Noether leistete einen großen Beitrag zur mathematischen Physik, wo der fundamentale Satz der theoretischen Physik (veröffentlicht 1918) nach ihr benannt ist und Erhaltungssätze mit Systemsymmetrien verknüpft (z. B. die Homogenität der Zeit impliziert den Energieerhaltungssatz). Dieser fruchtbare Ansatz liegt der berühmten Buchreihe „Theoretische Physik“ von Landau-Lifshitz zugrunde. Der Satz von Noether ist besonders wichtig in der Quantenfeldtheorie, wo die Erhaltungssätze, die sich aus der Existenz einer bestimmten Symmetriegruppe ergeben, normalerweise die Hauptinformationsquelle über die Eigenschaften der untersuchten Objekte sind.

Noethers Ideen und wissenschaftliche Ansichten hatten einen großen Einfluss auf viele Mathematiker und Physiker. Sie zog eine Reihe von Studenten heran, die zu Weltklasse-Wissenschaftlern wurden, und setzte die von Noether entdeckten neuen Richtungen fort.

Die Mathematikerin Emmy Noether war ein Genie, das einen neuen Ansatz in der Physik initiierte

Noethers Theorem ist in der theoretischen Physik das, was natürliche Selektion in der Biologie ist. Wenn Sie eine Gleichung schreiben würden, die alles zusammenfasst, was wir über theoretische Physik wissen, würde sie an einem Ende die Namen von Feynman, Schrödinger, Maxwell und Dirac haben. Aber wenn Sie den Namen Noether auf die andere Seite der Gleichung schreiben, würde das alles entschädigen.

Emmy Noether wurde 1882 in Bayern geboren. Sie besuchte ein Internat und erhielt ein Diplom, das ihnen das Recht gab, Sprachen zu unterrichten - Französisch und Englisch. Das Mädchen merkte jedoch schnell, dass Mathematik, die ihr Vater und ihr Bruder an der Universität Erlangen studierten, sie viel mehr interessierte. Frauen durften die höheren Bildungseinrichtungen nicht betreten, aber Emmy bestand die Aufnahmeprüfung mit einem Plus von 1 und besuchte nur noch ehrenamtlich Vorlesungen, bis die Universität anfing, Mädchen zum Studium aufzunehmen. Und Noether konnte promovieren.

Das Mädchen begann sich mit Forschungsarbeiten zu beschäftigen und erfand sozusagen die allgemeine Algebra. Diese Disziplin untersucht algebraische Systeme (algebraische Strukturen) und reduziert sie auf die abstraktesten Formen. Noethers Ziel war es, zu verstehen, wie mathematische Ideen miteinander korrelieren und allgemeine mathematische Strukturen aufzubauen. Sie behauptete nie, etwas Revolutionäres entdeckt zu haben, aber ihre Arbeit war ein neuer Ansatz in der Mathematik.

Während Noether an der Universität Erlangen an ihrer bahnbrechenden Arbeit schrieb, hatte sie weder eine Anstellung noch ein Gehalt. Das einzige, was sie tun konnte, war, ihren Vater ab und zu in Mathematikvorlesungen zu vertreten, wenn er krank war.

Sieben Jahre später luden die Mathematiker David Hilbert und Felix Klein Noether ein, mit ihnen an der Universität Göttingen zu arbeiten. Sie wollten, dass eine Frau das Problem der Energieerhaltung in Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie löst. In einem Versuch, dies zu tun, formulierte Emmy den Satz von Noether und leistete damit einen der bedeutendsten Beiträge zur theoretischen Physik.

Einstein sprach vom Theorem als Beispiel für „klares mathematisches Denken“. Außerdem hat der Satz eine einfache Formulierung: Jeder kontinuierlichen Symmetrie eines physikalischen Systems entspricht ein bestimmter Erhaltungssatz. Mit Symmetrie ist gemeint, dass der physikalische Prozess – oder seine mathematische Beschreibung – gleich bleibt, wenn sich irgendein Aspekt der Installation ändert.

Zum Beispiel ist ein ideales Pendel, das unendlich hin und her schwingt, zeitsymmetrisch. Basierend auf dem Satz von Noether spart alles, was Zeitsymmetrie hat, Energie. Somit verliert das Pendel keine Energie. Wenn das System rotationssymmetrisch ist, also unabhängig von der räumlichen Ausrichtung auf die gleiche Weise funktioniert, bleibt der Drehimpuls darin erhalten. Das heißt, wenn sich das Objekt anfänglich dreht, dreht es sich unendlich weiter. Die Stabilität, die wir in den Umlaufbahnen der Planeten sehen, ist eine Folge von Symmetrien, die zusammenwirken - die Erhaltung sowohl der Energie als auch des Drehimpulses von Körpern.

Das Noethersche Theorem ermöglicht es uns, tiefe Verbindungen zwischen den Ergebnissen von Experimenten und der grundlegenden mathematischen Beschreibung ihrer Physik herzustellen. Das Nachdenken über Physik bildet in diesem Fall die Grundlage für die Art von theoretischem Sprung, der Physiker dazu veranlasste, das Higgs-Boson theoretisch vorherzusagen, lange bevor das Teilchen von der LHC-Forschung entdeckt werden konnte. Symmetrie ist so grundlegend für die Physik, dass das Standardmodell der Teilchenphysik oft nach seinen Symmetriegruppen benannt wird: U(1)×SU(2)×SU(3).

Es ist natürlich großartig, dass Noether eine radikale Revolution in der Physik vollbracht hat – aber gleichzeitig arbeitete sie weiterhin ohne Bezahlung, oft als Dozentin für Hilbert und als seine Assistentin. 1922, 4 Jahre nach der Veröffentlichung ihres Theorems, erhielt die Frau den Status einer freiberuflichen Assistenzprofessorin und begann, ihr ein kleines Gehalt zu zahlen. Emmy hielt Vorträge in ganz Europa.

Als die Nazis an die Macht kamen, war Noether arbeitslos, weil sie Jüdin war. Sie musste nach Amerika emigrieren, wo sie Gastprofessorin am Women’s College in Bryn Mawr wurde. Darüber hinaus hielt Emmy Noether wöchentliche Vorträge in Princeton. In Bryn Mawr begann Noether zunächst mit Mathematikerinnen zu arbeiten. Es ist tragisch, dass ihr nur 2 Jahre gegeben wurden, um es zu genießen. Noether starb 1935 im Alter von 53 Jahren nach einer erfolglosen Operation zur Entfernung eines Krebsgeschwürs.

Viele der großen Physiker und Mathematiker der damaligen Zeit, einschließlich Einstein, lobten Emmy. Zu ihrer Zeit arbeiteten Experten hart daran, Frauen aus der Wissenschaft herauszuhalten. Aber Noether überwand diese Regel (möglicherweise mit Unterstützung von Einstein).

Auch heute noch ist in Mathematik und Physik eine Asymmetrie in der Einstellung gegenüber Wissenschaftlerinnen und Wissenschaftlern zu beobachten (dies wird als „Matilda-Effekt in der Wissenschaft“ bezeichnet). Wie Noether sagte, sobald die Symmetrie gebrochen ist, geht etwas verloren.

Katie Mack
Die Frau, die die abstrakte Algebra erfunden hat // Cosmos Magazine
Übersetzung: Katyusha Shutova

Kommentare: 0

Alexey Levin

Vor genau hundert Jahren wurde auf einem Seminar der Göttinger Mathematischen Gesellschaft ein Satz vorgestellt, der schließlich zum wichtigsten Werkzeug der mathematischen und theoretischen Physik wurde. Sie verbindet jede kontinuierliche Symmetrie eines physikalischen Systems mit einem bestimmten Erhaltungssatz (wenn beispielsweise Prozesse in einem isolierten Teilchensystem invariant bezüglich der Zeitverschiebung sind, dann ist der Energieerhaltungssatz in diesem System erfüllt). Emmy Noether bewies dieses Theorem – und dieses Ergebnis, zusammen mit den wichtigsten Arbeiten zur abstrakten Algebra, die darauf folgten, erlaubt vielen zu Recht, Noether als die größte Frau in der Geschichte der Mathematik zu betrachten.

Alexey Levin

Im Juli 1918 erfuhren die wissenschaftlichen Kreise Göttingens vom Beweis eines mathematischen Theorems, das dazu bestimmt war, das vielseitigste und effektivste Werkzeug der Grundlagenphysik der Neuzeit zu werden. Der Vortrag widmet sich sowohl dem Theorem selbst und seiner Rolle im Fortschritt der theoretischen Physik als auch der sehr ungewöhnlichen Persönlichkeit und dem Leben seiner Autorin, der großen Mathematikerin Emmy Noether. Besonderes Augenmerk wird auf Noethers Verbindungen sowohl zum zeitgenössischen Russland als auch zur russischen Geschichte des 19. Jahrhunderts gelegt.

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Der allgemein akzeptierte Formalismus der klassischen (Hamiltonschen) Mechanik impliziert, dass die Observablen eine Poisson-Algebra bilden und die Entwicklung des Systems durch die Hamilton-Gleichung gegeben ist. Im herkömmlichen quantenmechanischen Formalismus sind die Observablen selbstadjungierte Operatoren in einem Hilbert-Raum, und die Evolution ist durch die Heisenberg-Gleichung gegeben. Die beiden Gleichungen sind ähnlich, aber die Natur der Observablen ist völlig unterschiedlich. Dies erschwert den Übergang sowohl von der Klassik zum Quantum als auch umgekehrt. Aus diesem Grund wurde ein einfacherer (und algebraischerer) Formalismus für die Quantenmechanik vorgeschlagen, in dem die Quantenalgebra der Observablen zu einer Deformation der klassischen wird. Ich erkläre zunächst die Entstehung der Poisson-Klammer und der Hamilton-Gleichung am Beispiel eines Potentialsystems. Dann werde ich über Deformationen von Algebren sprechen und erklären, warum der Deformationsformalismus leicht einen Übergang zum semiklassischen Limes liefert.