Stoppen! Versuchen wir trotzdem, diese umständliche Formel zu verstehen.

An erster Stelle sollte die erste Variable im Grad mit einem gewissen Koeffizienten stehen. In unserem Fall diese

In unserem Fall ist es so. Wie wir herausgefunden haben, bedeutet dies, dass hier der Grad für die erste Variable konvergiert. Und die zweite Variable ersten Grades ist vorhanden. Koeffizient.

Wir haben es.

Die erste Variable ist exponentiell und die zweite Variable quadriert mit einem Koeffizienten. Dies ist der letzte Term in der Gleichung.

Wie Sie sehen können, entspricht unsere Gleichung der Definition in Form einer Formel.

Schauen wir uns den zweiten (verbalen) Teil der Definition an.

Wir haben zwei Unbekannte und. Hier läuft es zusammen.

Betrachten wir alle Begriffe. In ihnen muss die Summe der Grade der Unbekannten gleich sein.

Die Summe der Kräfte ist gleich.

Die Summe der Potenzen ist gleich (at und at).

Die Summe der Kräfte ist gleich.

Wie man sieht, passt alles!

Lassen Sie uns nun üben, homogene Gleichungen zu definieren.

Bestimmen Sie, welche der Gleichungen homogen sind:

Homogene Gleichungen - Gleichungen mit Zahlen:

Betrachten wir die Gleichung separat.

Wenn wir jeden Term teilen, indem wir jeden Term erweitern, erhalten wir

Und diese Gleichung fällt vollständig unter die Definition homogener Gleichungen.

Wie löst man homogene Gleichungen?

Beispiel 2

Teilen wir die Gleichung durch.

Gemäß unserer Bedingung kann y nicht gleich sein. Daher können wir sicher durch dividieren

Durch Einsetzen erhalten wir eine einfache quadratische Gleichung:

Da dies eine reduzierte quadratische Gleichung ist, verwenden wir das Vieta-Theorem:

Durch die umgekehrte Substitution erhalten wir die Antwort

Antworten:

Beispiel 3

Teilen Sie die Gleichung durch (durch Bedingung).

Antworten:

Beispiel 4

Finde wenn.

Hier muss nicht dividiert, sondern multipliziert werden. Multipliziere die ganze Gleichung mit:

Lassen Sie uns eine Ersetzung vornehmen und die quadratische Gleichung lösen:

Durch die umgekehrte Substitution erhalten wir die Antwort:

Antworten:

Lösung homogener trigonometrischer Gleichungen.

Die Lösung homogener trigonometrischer Gleichungen unterscheidet sich nicht von den oben beschriebenen Lösungsverfahren. Nur hier müssen Sie unter anderem ein wenig Trigonometrie beherrschen. Und in der Lage sein, trigonometrische Gleichungen zu lösen (dazu können Sie den Abschnitt lesen).

Betrachten wir solche Gleichungen an Beispielen.

Beispiel 5

Löse die Gleichung.

Wir sehen eine typische homogene Gleichung: und sind Unbekannte, und die Summe ihrer Potenzen in jedem Term ist gleich.

Ähnliche homogene Gleichungen sind nicht schwer zu lösen, aber bevor Sie die Gleichungen unterteilen, betrachten Sie den Fall, wann

In diesem Fall nimmt die Gleichung die Form an: Aber Sinus und Cosinus können nicht gleichzeitig gleich sein, weil gemäß der trigonometrischen Grundidentität. Daher können wir es sicher unterteilen in:

Da die Gleichung reduziert ist, gilt nach dem Vieta-Theorem:

Antworten:

Beispiel 6

Löse die Gleichung.

Wie im Beispiel müssen Sie die Gleichung durch dividieren. Betrachten Sie den Fall, wenn:

Aber Sinus und Cosinus können nicht gleichzeitig gleich sein, weil gemäß der trigonometrischen Grundidentität. So.

Machen wir eine Substitution und lösen die quadratische Gleichung:

Machen wir die umgekehrte Substitution und finden und:

Antworten:

Lösung homogener Exponentialgleichungen.

Homogene Gleichungen werden auf die gleiche Weise wie die oben betrachteten gelöst. Wenn Sie vergessen haben, wie man Exponentialgleichungen löst, sehen Sie sich den entsprechenden Abschnitt () an!

Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Beispiel 7

Löse die Gleichung

Stellen Sie sich vor, wie:

Wir sehen eine typische homogene Gleichung mit zwei Variablen und einer Potenzsumme. Teilen wir die Gleichung auf in:

Wie Sie sehen können, erhalten wir nach dem Ersetzen die reduzierte quadratische Gleichung (in diesem Fall müssen Sie keine Angst vor der Division durch Null haben - sie ist immer strikt größer als Null):

Nach dem Satz von Vieta:

Antworten: .

Beispiel 8

Löse die Gleichung

Stellen Sie sich vor, wie:

Teilen wir die Gleichung auf in:

Lassen Sie uns eine Ersetzung vornehmen und die quadratische Gleichung lösen:

Die Wurzel erfüllt die Bedingung nicht. Wir führen die umgekehrte Substitution durch und finden:

Antworten:

HOMOGENE GLEICHUNGEN. MITTELSTUFE

Lassen Sie mich zunächst anhand eines Beispiels für ein Problem daran erinnern Was sind homogene Gleichungen und was ist die Lösung homogener Gleichungen?

Das Problem lösen:

Finde wenn.

Hier können Sie eine merkwürdige Sache bemerken: Wenn wir jeden Term durch dividieren, erhalten wir:

Das heißt, jetzt gibt es kein separates und, - jetzt ist der gewünschte Wert die Variable in der Gleichung. Und dies ist eine gewöhnliche quadratische Gleichung, die mit dem Satz von Vieta leicht zu lösen ist: Das Produkt der Wurzeln ist gleich und die Summe sind die Zahlen und.

Antworten:

Gleichungen der Form

homogen genannt. Das heißt, dies ist eine Gleichung mit zwei Unbekannten, in deren jedem Term die gleiche Summe der Potenzen dieser Unbekannten steht. Im obigen Beispiel ist dieser Betrag beispielsweise gleich. Die Lösung homogener Gleichungen erfolgt durch Division durch eine der Unbekannten in diesem Grad:

Und die anschließende Variablenänderung: . Damit erhalten wir eine Gradgleichung mit einer Unbekannten:

Am häufigsten werden wir auf Gleichungen zweiten Grades (d. h. quadratisch) stoßen, und wir können sie lösen:

Beachten Sie, dass das Teilen (und Multiplizieren) der gesamten Gleichung durch eine Variable nur möglich ist, wenn wir überzeugt sind, dass diese Variable nicht gleich Null sein kann! Wenn wir zum Beispiel gebeten werden, zu finden, verstehen wir das sofort, da es unmöglich ist, zu teilen. In Fällen, in denen dies nicht so offensichtlich ist, muss der Fall gesondert geprüft werden, wenn diese Variable gleich Null ist. Zum Beispiel:

Löse die Gleichung.

Entscheidung:

Wir sehen hier eine typische homogene Gleichung: und sind Unbekannte, und die Summe ihrer Potenzen in jedem Term ist gleich.

Aber bevor wir durch dividieren und die quadratische Gleichung mit Respekt erhalten, müssen wir den Fall betrachten, wann. In diesem Fall nimmt die Gleichung die Form an: , also . Aber Sinus und Cosinus können nicht gleichzeitig Null sein, denn nach der trigonometrischen Grundidentität:. Daher können wir es sicher unterteilen in:

Ich hoffe, diese Lösung ist völlig klar? Wenn nicht, lesen Sie den Abschnitt. Wenn nicht klar ist, woher es kommt, müssen Sie noch früher zurückkehren - zum Abschnitt.

Entscheide dich selbst:

1. Finde wenn.
2. Finde wenn.
3. Löse die Gleichung.

Hier schreibe ich kurz direkt die Lösung homogener Gleichungen:

Lösungen:

Antworten: .

Und hier ist es notwendig, nicht zu dividieren, sondern zu multiplizieren:

Antworten:

Wenn Sie trigonometrische Gleichungen noch nicht durchgearbeitet haben, können Sie dieses Beispiel überspringen.

Da hier dividiert werden muss, stellen wir zunächst sicher, dass Hundert nicht gleich Null ist:

Und das ist unmöglich.

Antworten: .

HOMOGENE GLEICHUNGEN. KURZ ÜBER DAS WESENTLICHE

Die Lösung aller homogenen Gleichungen reduziert sich auf Division durch eine der Unbekannten im Grad und weitere Veränderung der Variablen.

Algorithmus:

Unterrichtsthema: "Homogene trigonometrische Gleichungen"

(10. Klasse)

Ziel: das Konzept homogener trigonometrischer Gleichungen I. und II. Grades einführen; einen Algorithmus zur Lösung homogener trigonometrischer Gleichungen I. und II. Grades formulieren und erarbeiten; den Schülern beibringen, homogene trigonometrische Gleichungen I. und II. Grades zu lösen; die Fähigkeit entwickeln, Muster zu erkennen, zu verallgemeinern; das Interesse an dem Thema wecken, ein Gefühl der Solidarität und eine gesunde Rivalität entwickeln.

Unterrichtstyp: eine Lektion in der Bildung von neuem Wissen.

Verhaltensformular: in Gruppen arbeiten.

Ausrüstung: Computer, Multimediainstallation

Während des Unterrichts

Zeit organisieren

Schüler begrüßen, Aufmerksamkeit mobilisieren.

Im Unterricht ein Bewertungssystem zur Wissensbewertung (der Lehrer erklärt das System zur Wissensbewertung und füllt den Bewertungsbogen durch einen unabhängigen Experten aus, der vom Lehrer aus den Schülern ausgewählt wird). Der Unterricht wird von einer Präsentation begleitet. .

Aktualisierung des Grundwissens.

Die Hausaufgaben werden vor dem Unterricht von einem unabhängigen Gutachter und Beratern geprüft und bewertet und ein Bewertungsbogen ausgefüllt.

Der Lehrer fasst die Hausaufgaben zusammen.

Lehrer: Wir setzen unsere Beschäftigung mit dem Thema „Trigonometrische Gleichungen“ fort. Heute lernen wir Sie in der Lektion mit einer anderen Art von trigonometrischen Gleichungen und Methoden zu ihrer Lösung kennen und wiederholen daher das Gelernte. Alle Arten von trigonometrischen Gleichungen werden beim Lösen auf das Lösen der einfachsten trigonometrischen Gleichungen reduziert.

In Gruppen erledigte individuelle Hausaufgaben werden kontrolliert. Verteidigung der Präsentation „Lösungen der einfachsten trigonometrischen Gleichungen“

(Die Arbeit der Gruppe wird von einem unabhängigen Gutachter evaluiert)

Motivation zum Lernen.

Lehrer: Wir müssen an der Lösung eines Kreuzworträtsels arbeiten. Nachdem wir es gelöst haben, werden wir den Namen einer neuen Art von Gleichungen lernen, die wir heute in der Lektion lösen werden.

Fragen werden auf die Tafel projiziert. Die Schüler raten, ein unabhängiger Experte trägt Punkte auf dem Bewertungsbogen für die antwortenden Schüler ein.

Nachdem die Jungs das Kreuzworträtsel gelöst haben, lesen sie das Wort „homogen“.

Assimilation von neuem Wissen.

Lehrer: Das Thema der Lektion ist „Homogene trigonometrische Gleichungen“.

Lassen Sie uns das Thema der Lektion in ein Notizbuch schreiben. Homogene trigonometrische Gleichungen sind ersten und zweiten Grades.

Schreiben wir die Definition einer homogenen Gleichung ersten Grades auf. Ich verwende ein Beispiel, um die Lösung einer solchen Gleichung zu zeigen, Sie erstellen einen Algorithmus zur Lösung einer homogenen trigonometrischen Gleichung ersten Grades.

Gleichung eingeben a sinx + b cosx = 0 heißt homogene trigonometrische Gleichung ersten Grades.

Betrachten Sie die Lösung der Gleichung, wenn die Koeffizienten a und in anders als 0.

Beispiel: sinx + cosx = 0

R indem wir beide Teile der Gleichung Term für Term durch cosx dividieren, erhalten wir

Beachtung! Eine Division durch 0 ist nur möglich, wenn dieser Ausdruck nirgendwo zu 0 wird. Wenn der Kosinus 0 ist, dann ist der Sinus auch 0, da die Koeffizienten von 0 verschieden sind, aber wir wissen, dass der Sinus und der Kosinus an verschiedenen Punkten verschwinden. Daher kann diese Operation durchgeführt werden, wenn diese Art von Gleichung gelöst wird.

Algorithmus zum Lösen einer homogenen trigonometrischen Gleichung ersten Grades: Dividieren beider Teile der Gleichung durch cosx, cosx 0

Gleichung eingeben a Sünde mx +b cos mx = 0 sie nennen auch eine homogene trigonometrische Gleichung ersten Grades und lösen auch die Division beider Gleichungsteile durch den Kosinus mx.

Gleichung eingeben a Sünde 2 x +b sinxcox +c cos2x = 0 heißt homogene trigonometrische Gleichung zweiten Grades.

Beispiel : Sünde 2 x + 2sinx cosx - 3cos 2 x=0

Der Koeffizient a ist von 0 verschieden und daher ist cosx wie in der vorherigen Gleichung nicht gleich 0, und daher können Sie die Methode verwenden, beide Teile der Gleichung durch cos 2 x zu teilen.

Wir erhalten tg 2 x + 2tgx - 3 = 0

Wir lösen, indem wir eine neue Variable einführen, sei tgx = a, dann erhalten wir die Gleichung

a 2 + 2a - 3 = 0

D \u003d 4 - 4 (-3) \u003d 16

ein 1 = 1 ein 2 = -3

Zurück zum Ersatz

Antworten:

Wenn der Koeffizient a \u003d 0 ist, hat die Gleichung die Form 2sinx cosx - 3cos2x \u003d 0. Wir lösen sie, indem wir den gemeinsamen Faktor cosx aus Klammern nehmen. Wenn der Koeffizient c \u003d 0 ist, hat die Gleichung die Form sin2x + 2sinx cosx \u003d 0. Wir lösen sie, indem wir den gemeinsamen Faktor sinx aus Klammern nehmen. Algorithmus zur Lösung einer homogenen trigonometrischen Gleichung ersten Grades:

Prüfen Sie, ob der Term asin2 x in der Gleichung enthalten ist.

Wenn der Term asin2 x in der Gleichung enthalten ist (also eine 0), dann wird die Gleichung gelöst, indem beide Seiten der Gleichung durch cos2x geteilt werden und dann eine neue Variable eingeführt wird.

Wenn der Term asin2 x nicht in der Gleichung enthalten ist (d. h. a = 0), dann wird die Gleichung durch die Faktorisierungsmethode gelöst: cosx wird aus Klammern genommen. Homogene Gleichungen der Form a sin2m x + b sin mx cos mx + c cos2mx = 0 werden auf die gleiche Weise gelöst

Der Algorithmus zum Lösen homogener trigonometrischer Gleichungen ist im Lehrbuch auf Seite 102 beschrieben.

Sportunterricht Minute

Bildung von Fähigkeiten zum Lösen homogener trigonometrischer Gleichungen

Problembücher öffnen Seite 53

1. und 2. Gruppe entscheiden Nr. 361-c

3. und 4. Gruppe entscheiden Nr. 363-v

Lösung an der Tafel zeigen, erklären, ergänzen. Ein unabhängiger Sachverständiger bewertet.

Lösungsbeispiele aus Problembuch Nr. 361-c
sinx - 3cosx = 0
wir dividieren beide Seiten der Gleichung durch cosx 0, erhalten wir

Nr. 363-v
sin2x + sinxcosx - 2cos2x = 0
Teilen wir beide Seiten der Gleichung durch cos2x, erhalten wir tg2x + tgx – 2 = 0

durch Einführung einer neuen Variablen lösen
sei tgx = a, dann erhalten wir die Gleichung
a2 + a - 2 = 0
D = 9
a1 = 1 a2 = -2
zurück zum Ersatz

Selbstständige Arbeit.

Gleichungen lösen.

2 cos - 2 = 0

2cos2x – 3cosx +1 = 0

3 sin2x + sinx cosx – 2 cos2x = 0

Am Ende der selbstständigen Arbeit wechseln sich Arbeit und gegenseitige Überprüfung ab. Richtige Antworten werden an der Tafel angezeigt.

Anschließend werden sie einem unabhängigen Gutachter übergeben.

Do-It-Yourself-Lösung

Zusammenfassung der Lektion.

Welche trigonometrischen Gleichungen sind uns im Unterricht begegnet?

Algorithmus zum Lösen trigonometrischer Gleichungen ersten und zweiten Grades.

Hausaufgaben: § 20.3 gelesen. Nr. 361 (d), 363 (b), erhöhter Schwierigkeitsgrad zusätzlich Nr. 380 (a).

Kreuzworträtsel.

Wenn Sie die richtigen Wörter eingeben, erhalten Sie den Namen einer der Arten von trigonometrischen Gleichungen.

Der Wert der Variablen, die die Gleichung in eine echte Gleichheit verwandelt? (Wurzel)

Winkeleinheit? (Bogenmaß)

Numerischer Multiplikator im Produkt? (Koeffizient)

Zweig der Mathematik, der trigonometrische Funktionen untersucht? (Trigonometrie)

Welches mathematische Modell wird benötigt, um trigonometrische Funktionen einzuführen? (Kreis)

Welche der trigonometrischen Funktionen ist gerade? (Kosinus)

Wie nennt man wahre Gleichheit? (Identität)

Gleichheit mit einer Variablen? (Die gleichung)

Gleichungen mit gleichen Wurzeln? (äquivalent)

Die Menge der Wurzeln der Gleichung ? (Entscheidung)

Bewertungspapier

№
n\n

Nachname, Name des Lehrers

Hausaufgaben

Präsentation

kognitive Aktivität
lernen

Gleichungen lösen

Unabhängig
Arbeit

Hausaufgaben - 12 Punkte (3 Gleichungen 4 x 3 = 12 wurden für Hausaufgaben gegeben)

Präsentation - 1 Punkt

Studentische Aktivität - 1 Antwort - 1 Punkt (maximal 4 Punkte)

Gleichungen lösen 1 Punkt

Selbständige Arbeit - 4 Punkte

Gruppenwertung:

"5" - 22 Punkte oder mehr
„4“ - 18 - 21 Punkte
„3“ - 12 - 17 Punkte

Nichtlineare Gleichungen in zwei Unbekannten

Bestimmung 1 . Sei A etwas Satz von Zahlenpaaren (x; j) . Man sagt, die Menge A sei gegeben numerische Funktion z aus zwei Variablen x und y , wenn eine Regel angegeben ist, mit deren Hilfe jedem Zahlenpaar aus der Menge A eine bestimmte Zahl zugeordnet wird.

Häufig ist die Angabe einer numerischen Funktion z zweier Variablen x und y benennen So:

wo f (x , j) - jede andere Funktion als die Funktion

f (x , j) = axt+by+c ,

wobei a, b, c Zahlen sind.

Bestimmung 3 . Gleichung (2) Lösung Nennen Sie ein Zahlenpaar x; j) , für die Formel (2) eine echte Gleichheit ist.

Beispiel 1 . löse die Gleichung

Da das Quadrat einer beliebigen Zahl nicht negativ ist, folgt aus Formel (4), dass die Unbekannten x und y das Gleichungssystem erfüllen

dessen Lösung ein Zahlenpaar (6 ; 3) ist .

Antwort: (6; 3)

Beispiel 2 . löse die Gleichung

Daher lautet die Lösung von Gleichung (6). unendlich viele Zahlenpaare nett

(1 + j ; j) ,

wobei y eine beliebige Zahl ist.

linear

Bestimmung 4 . Lösen des Gleichungssystems

Nennen Sie ein Zahlenpaar x; j) , indem wir sie in jede der Gleichungen dieses Systems einsetzen, erhalten wir die richtige Gleichheit.

Systeme aus zwei Gleichungen, von denen eine linear ist, haben die Form

g(x , j)

Beispiel 4 . Lösen Sie ein Gleichungssystem

Entscheidung . Lassen Sie uns die Unbekannte y durch die Unbekannte x aus der ersten Gleichung des Systems (7) ausdrücken und den resultierenden Ausdruck in die zweite Gleichung des Systems einsetzen:

Lösen der Gleichung

x 1 = - 1 , x 2 = 9 .

Somit,

j 1 = 8 - x 1 = 9 ,
j 2 = 8 - x 2 = - 1 .

Systeme aus zwei Gleichungen, von denen eine homogen ist

Systeme aus zwei Gleichungen, von denen eine homogen ist, haben die Form

wobei a , b , c gegebene Zahlen sind, und g(x , j) ist eine Funktion zweier Variablen x und y .

Beispiel 6 . Lösen Sie ein Gleichungssystem

Entscheidung . Lösen wir die homogene Gleichung

3x 2 + 2xy - j 2 = 0 ,

3x 2 + 17xy + 10j 2 = 0 ,

Behandlung als quadratische Gleichung in Bezug auf die Unbekannte x:

.

Für den Fall wann x = - 5j, aus der zweiten Gleichung des Systems (11) erhalten wir die Gleichung

5j 2 = - 20 ,

der keine Wurzeln hat.

Für den Fall wann

aus der zweiten Gleichung des Systems (11) erhalten wir die Gleichung

,

deren Wurzeln Zahlen sind j 1 = 3 , j 2 = - 3 . Wenn wir für jeden dieser Werte y den entsprechenden Wert x finden, erhalten wir zwei Lösungen des Systems: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .

Antwort: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3)

Beispiele für das Lösen von Gleichungssystemen anderer Art

Beispiel 8 . Lösen Sie das Gleichungssystem (MIPT)

Entscheidung . Wir führen neue Unbekannte u und v ein, die in Bezug auf x und y durch die Formeln ausgedrückt werden:

Um System (12) in Bezug auf neue Unbekannte umzuschreiben, drücken wir zuerst die Unbekannten x und y in Bezug auf u und v aus. Aus System (13) folgt, dass

Wir lösen das lineare System (14), indem wir die Variable x aus der zweiten Gleichung dieses Systems ausschließen. Dazu führen wir auf System (14) folgende Transformationen durch:

• wir lassen die erste Gleichung des Systems unverändert;
• subtrahiere die erste Gleichung von der zweiten Gleichung und ersetze die zweite Gleichung des Systems durch die resultierende Differenz.

Dadurch wird System (14) in ein äquivalentes System umgewandelt

woraus wir finden

Unter Verwendung der Formeln (13) und (15) schreiben wir das ursprüngliche System (12) um als

Die erste Gleichung des Systems (16) ist linear, also können wir die Unbekannte u daraus durch die Unbekannte v ausdrücken und diesen Ausdruck in die zweite Gleichung des Systems einsetzen.

In diesem Artikel betrachten wir eine Methode zum Lösen homogener trigonometrischer Gleichungen.

Homogene trigonometrische Gleichungen haben die gleiche Struktur wie homogene Gleichungen jeder anderen Art. Ich möchte Sie daran erinnern, wie man homogene Gleichungen zweiten Grades löst:

Betrachten Sie homogene Gleichungen der Form

Besonderheiten homogener Gleichungen:

a) alle Monome haben denselben Grad,

b) die freie Laufzeit gleich Null ist,

c) die Gleichung enthält Potenzen mit zwei verschiedenen Basen.

Homogene Gleichungen werden durch einen ähnlichen Algorithmus gelöst.

Um diese Art von Gleichung zu lösen, teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch (kann durch oder durch geteilt werden)

Beachtung! Wenn Sie die rechte und die linke Seite der Gleichung durch einen Ausdruck dividieren, der eine Unbekannte enthält, können Sie die Wurzeln verlieren. Daher muss überprüft werden, ob die Wurzeln des Ausdrucks, durch den wir beide Teile der Gleichung dividieren, die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung sind.

Wenn ja, schreiben wir diese Wurzel aus, damit wir sie später nicht vergessen, und dividieren dann durch diesen Ausdruck.

Im Allgemeinen ist das erste, was Sie tun müssen, wenn Sie eine Gleichung mit einer Null auf der rechten Seite lösen, zu versuchen, die linke Seite der Gleichung auf jede mögliche Weise zu faktorisieren. Und dann jeden Faktor auf Null setzen. In diesem Fall werden wir definitiv nicht die Wurzeln verlieren.

Teilen Sie also die linke Seite der Gleichung vorsichtig Term für Term in einen Ausdruck auf. Wir bekommen:

Kürzen Sie Zähler und Nenner des zweiten und dritten Bruchs:

Lassen Sie uns einen Ersatz einführen:

Wir erhalten eine quadratische Gleichung:

Wir lösen die quadratische Gleichung, finden die Werte und kehren dann zur ursprünglichen Unbekannten zurück.

Beim Lösen homogener trigonometrischer Gleichungen sind einige wichtige Dinge zu beachten:

1. Der freie Term kann unter Verwendung der grundlegenden trigonometrischen Identität in das Quadrat von Sinus und Cosinus umgewandelt werden:

2. Sinus und Kosinus eines doppelten Arguments sind Monome zweiten Grades – der Sinus eines doppelten Arguments kann leicht in das Produkt von Sinus und Kosinus umgewandelt werden, und der Kosinus eines doppelten Arguments in das Quadrat eines Sinus oder Kosinus :

Betrachten Sie einige Beispiele zum Lösen homogener trigonometrischer Gleichungen.

ein . Lösen wir die Gleichung:

Dies ist ein klassisches Beispiel für eine homogene trigonometrische Gleichung ersten Grades: Der Grad jedes Monoms ist gleich eins, der freie Term ist gleich null.

Bevor beide Seiten der Gleichung durch dividiert werden, muss überprüft werden, ob die Wurzeln der Gleichung nicht die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung sind. Prüfung: if , then title="(!LANG:sin(x)0">, следовательно их сумма не равна нулю.!}

Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch .

Wir bekommen:

, wo

, wo

Antworten: , wo

2. Lösen wir die Gleichung:

Dies ist ein Beispiel für eine homogene trigonometrische Gleichung zweiten Grades. Wir erinnern uns, dass es wünschenswert ist, wenn wir die linke Seite der Gleichung faktorisieren können. In dieser Gleichung können wir die Klammern entfernen. Machen wir das:

Lösung der ersten Gleichung: , wobei

Die zweite Gleichung ist eine homogene trigonometrische Gleichung ersten Grades. Um sie zu lösen, teilen wir beide Seiten der Gleichung durch . Wir bekommen:

Antwort: wo

3 . Lösen wir die Gleichung:

Damit diese Gleichung homogen "wird", transformieren wir sie in ein Produkt und stellen die Zahl 3 als Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus dar:

Wir verschieben alle Terme nach links, öffnen die Klammern und geben gleiche Terme an. Wir bekommen:

Lassen Sie uns die linke Seite faktorisieren und jeden Faktor mit Null gleichsetzen:

Antwort: wo

4 . Lösen wir die Gleichung:

Wir sehen, was wir einklammern können. Machen wir das:

Setzen Sie jeden Faktor gleich Null:

Lösung der ersten Gleichung:

Die zweite Mengengleichung ist eine klassische homogene Gleichung zweiten Grades. Die Wurzeln der Gleichung sind nicht die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung, also dividieren wir beide Seiten der Gleichung durch:

Lösung der ersten Gleichung:

Lösung der zweiten Gleichung.

"Die Größe eines Mannes liegt in seiner Fähigkeit zu denken."
Blaise Paskal.

Unterrichtsziele:

1) Lehrreich- die Schüler in homogene Gleichungen einzuführen, Methoden zu ihrer Lösung zu erwägen, die Bildung von Fähigkeiten zur Lösung zuvor untersuchter Arten trigonometrischer Gleichungen zu fördern.

2) Lehrreich- Entwicklung der kreativen Aktivität der Schüler, ihrer kognitiven Aktivität, des logischen Denkens, des Gedächtnisses, der Fähigkeit, in einer Problemsituation zu arbeiten, die Fähigkeit zu erreichen, ihre Gedanken korrekt, konsequent und rational auszudrücken, den Horizont der Schüler zu erweitern, zu heben das Niveau ihrer mathematischen Kultur.

3) Lehrreich- den Wunsch nach Selbstverbesserung, harter Arbeit zu kultivieren, die Fähigkeit zu bilden, mathematische Aufzeichnungen kompetent und genau durchzuführen, Aktivität zu kultivieren, Interesse an Mathematik zu fördern.

Unterrichtstyp: kombiniert.

Ausrüstung:

1. Lochkarten für sechs Schüler.
2. Karten für selbstständiges und individuelles Arbeiten von Studierenden.
3. Steht "Lösung trigonometrischer Gleichungen", "Numerischer Einheitskreis".
4. Elektrifizierte Tische zur Trigonometrie.
5. Präsentation für den Unterricht (Anhang 1).

Während des Unterrichts

1. Organisationsphase (2 Minuten)

Gegenseitige Begrüßung; Überprüfung der Unterrichtsbereitschaft der Schüler (Arbeitsplatz, Erscheinungsbild); Organisation der Aufmerksamkeit.

Der Lehrer teilt den Schülern das Thema der Stunde mit (Folie 2) und erklärt, dass das Handout, das auf den Tischen liegt, während des Unterrichts verwendet wird.

2. Wiederholung des theoretischen Stoffs (15 Minuten)

Aufgaben auf Lochkarten(6 Leute) . Arbeitszeit auf Lochkarten - 10 min (Anhang 2)

Durch das Lösen von Aufgaben lernen die Schüler, wo trigonometrische Berechnungen angewendet werden. Die folgenden Antworten werden erhalten: Triangulation (eine Technik, die es ermöglicht, Entfernungen zu nahen Sternen in der Astronomie zu messen), Akustik, Ultraschall, Tomographie, Geodäsie, Kryptographie.

(Folie 5)

vordere Umfrage.

1. Welche Gleichungen nennt man trigonometrisch?
2. Welche Arten von trigonometrischen Gleichungen kennst du?
3. Welche Gleichungen werden als die einfachsten trigonometrischen Gleichungen bezeichnet?
4. Welche Gleichungen nennt man quadratisch trigonometrisch?
5. Formulieren Sie die Definition des Arcussinus von a.
6. Formulieren Sie die Definition des Arkuskosinus von a.
7. Formulieren Sie die Definition des Arkustangens von a.
8. Formulieren Sie die Definition des inversen Tangens von a.

Spiel "Rate das Chiffrewort"

Blaise Pascal hat einmal gesagt, Mathematik sei eine so ernsthafte Wissenschaft, dass man sich keine Gelegenheit entgehen lassen sollte, sie etwas unterhaltsamer zu gestalten. Also schlage ich vor, dass Sie spielen. Bestimmen Sie nach dem Lösen der Beispiele die Ziffernfolge, aus der sich das verschlüsselte Wort zusammensetzt. Im Lateinischen bedeutet dieses Wort „Sinus“. (Folie 3)

2) Arctan (-√3)

4) tg(Arkus cos(1/2))

5) tg (Bogen ctg √3)

Antwort: „Biegen“

Das Spiel „Verstreuter Mathematiker»

Aufgaben für die mündliche Arbeit werden auf den Bildschirm projiziert:

Überprüfen Sie die Richtigkeit der Lösung der Gleichungen.(Die richtige Antwort erscheint auf der Folie nach der Antwort des Schülers). (Folie 4)

	Antworten mit Fehlern	Richtige Antworten
	x = ± π/6+2πn	x = ± π/3+2πn
	x= π/3+πn	X = (-1) nπ/3+πn
tg x = π/4	x= 1 +πn	tg x \u003d 1, x \u003d π / 4 + πn
	x = ±π/6+ π n	x = ± π/6+2πn
	x \u003d (-1) n arcsin1 / 3 + 2πn	x \u003d (-1) n arcsin1 / 3 + Pn
	x = ± π/6+2πn	x = ± 5π/6+2πn
cos x = π/3	x = ± 1/2 +2πn	cos x = 1/2, x = ± π/3+2πn

Überprüfung der Hausaufgaben.

Der Lehrer stellt die Korrektheit und das Bewusstsein der Hausaufgaben bei allen Schülern fest; identifiziert Wissenslücken; verbessert die Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten der Schüler im Bereich der Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen.

1 Gleichung. Der Schüler kommentiert die Lösung der Gleichung, deren Zeilen auf der Folie in der Reihenfolge des Kommentars erscheinen). (Folie 6)

√3tg2x = 1;

tg2x=1/√3;

2х= arctg 1/√3 +πn, n ∈Z.

2x \u003d π / 6 + πn, n ∈Z.

x \u003d π / 12 + π/2 n, n ∈Z.

2 Gleichung. Entscheidung h an die Schüler an der Tafel geschrieben.

2 sin 2 x + 3 cosx = 0.

3. Aktualisierung des neuen Wissens (3 Minuten)

Die Schüler erinnern sich auf Wunsch des Lehrers an Wege zur Lösung trigonometrischer Gleichungen. Sie wählen die Gleichungen aus, deren Lösung sie bereits kennen, nennen die Methode zur Lösung der Gleichung und das Ergebnis . Die Antworten erscheinen auf der Folie. (Folie 7) .

Einführung einer neuen Variablen:

Nr. 1. 2sin 2x - 7sinx + 3 = 0.

Sei sinx = t, dann:

2t 2 – 7t + 3 = 0.

Faktorisierung:

№2. 3sinx cos4x – cos4x = 0;

cos4x(3sinx - 1) = 0;

cos4x = 0 oder 3 sinx - 1 = 0; …

Nr. 3. 2 sinx - 3 cosx = 0,

Nummer 4. 3 sin 2 x - 4 sinx cosx + cos 2 x \u003d 0.

Lehrer: Sie wissen noch nicht, wie Sie die letzten beiden Arten von Gleichungen lösen können. Beide sind vom gleichen Typ. Sie können nicht auf eine Gleichung für die Funktionen sinx oder cosx reduziert werden. Werden genannt homogene trigonometrische Gleichungen. Aber nur die erste ist eine homogene Gleichung ersten Grades und die zweite eine homogene Gleichung zweiten Grades. Heute lernen Sie in der Lektion solche Gleichungen kennen und lernen, wie man sie löst.

4. Neues Material erklären (25 Minuten)

Der Lehrer gibt den Schülern die Definitionen homogener trigonometrischer Gleichungen und stellt die Möglichkeiten vor, sie zu lösen.

Definition. Eine Gleichung der Form a sinx + b cosx =0, wobei a ≠ 0, b ≠ 0 genannt wird homogene trigonometrische Gleichung ersten Grades.(Folie 8)

Ein Beispiel einer solchen Gleichung ist Gleichung #3. Schreiben wir die allgemeine Form der Gleichung auf und analysieren sie.

und sinx + b cosx = 0.

Wenn cosx = 0, dann sinx = 0.

– Könnte eine solche Situation eintreten?

- Nein. Wir haben einen Widerspruch zur trigonometrischen Grundidentität erhalten.

Daher ist cosx ≠ 0. Führen wir eine Term-für-Term-Division durch cosx durch:

ein tgx + b = 0

tgx = -b / a ist die einfachste trigonometrische Gleichung.

Fazit: Homogene trigonometrische Gleichungen ersten Grades werden gelöst, indem beide Seiten der Gleichung durch cosx (sinx) dividiert werden.

Zum Beispiel: 2 sinx - 3 cosx = 0,

weil cosx ≠ 0, dann

tx = 3/2 ;

x = arctg (3/2) + πn, n ∈Z.

Definition. Eine Gleichung der Form a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0 , wobei a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 genannt wird trigonometrische Gleichung zweiten Grades. (Folie 8)

Ein Beispiel einer solchen Gleichung ist Gleichung #4. Schreiben wir die allgemeine Form der Gleichung auf und analysieren sie.

a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0.

Wenn cosx = 0, dann sinx = 0.

Wieder haben wir einen Widerspruch zur trigonometrischen Grundidentität.

Daher ist cosx ≠ 0. Führen wir eine Term-für-Term-Division durch cos 2 x durch:

und tg 2 x + b tgx + c = 0 ist eine quadratische Gleichung.

Fazit: Ach homogene trigonometrische Gleichungen zweiten Grades werden gelöst, indem beide Seiten der Gleichung durch cos 2 x (sin 2 x) dividiert werden.

Zum Beispiel: 3 sin 2 x - 4 sinx cosx + cos 2 x \u003d 0.

weil cos 2 x ≠ 0, dann

3tg 2 x - 4 tgx + 1 = 0 (Bitten Sie den Schüler, zur Tafel zu gehen und die Gleichung selbst zu vervollständigen).

Ersatz: tgx = y. 3 Jahre 2 - 4 Jahre + 1 = 0

D = 16 - 12 = 4

y 1 = 1 oder y 2 = 1/3

tgx=1 oder tgx=1/3

x = arctg (1/3) + πn, n ∈Z.

x = arctg1 + πn, n ∈Z.

x = π/4 + πn, n ∈Z.

5. Phase der Überprüfung des Verständnisses der Schüler für neuen Stoff (1 Min.)

Wählen Sie die zusätzliche Gleichung:

sinx=2cosx; 2sinx + cosx = 2;

√3sinx + cosx = 0; sin 2 x - 2 sinx cosx + 4cos 2 x \u003d 0;

4cosx + 5sinx = 0; √3sinx – cosx = 0.

(Folie 9)

6. Konsolidierung von neuem Material (24 min).

Die Schüler lösen zusammen mit denen, die an der Tafel antworten, Gleichungen für neues Material. Aufgaben werden in Form einer Tabelle auf die Folie geschrieben. Beim Lösen der Gleichung öffnet sich der entsprechende Teil des Bildes auf der Folie. Als Ergebnis der Ausführung von 4 Gleichungen eröffnet sich den Schülern das Porträt eines Mathematikers, der die Entwicklung der Trigonometrie maßgeblich beeinflusst hat. (Die Schüler werden das Porträt von Francois Vieta erkennen - dem großen Mathematiker, der einen großen Beitrag zur Trigonometrie geleistet, die Eigenschaft der Wurzeln der reduzierten quadratischen Gleichung entdeckt und sich mit Kryptographie beschäftigt hat) . (Folie 10)

1) √3sinx + cosx = 0,

weil cosx ≠ 0, dann

√3tgx + 1 = 0;

tgx = –1/√3;

х = arctg (–1/√3) + πn, n ∈Z.

x = –π/6 + πn, n ∈Z.

2) sin 2 x - 10 sinx cosx + 21cos 2 x \u003d 0.

weil cos 2 x ≠ 0, dann tg 2 x – 10 tgx + 21 = 0

Ersatz: tgx = y.

y 2 - 10 y + 21 = 0

y1 = 7 oder y2 = 3

tgx=7 oder tgx=3

x = arctg7 + πn, n ∈Z

x = arctg3 + πn, n ∈Z

3) sin 2 2x - 6 sin2x cos2x + 5cos 2 2x = 0.

weil cos 2 2x ≠ 0, dann 3tg 2 2x – 6tg2x +5 = 0

Ersatz: tg2x = y.

3 Jahre 2 - 6 Jahre + 5 = 0

D \u003d 36 - 20 \u003d 16

y 1 = 5 oder y 2 = 1

tg2x=5 oder tg2x=1

2x = arctg5 + πn, n ∈Z

x = 1/2 arctg5 + π/2 n, n ∈Z

2x = arctg1 + πn, n ∈Z

x = π/8 + π/2 n, n ∈Z

4) 6sin 2 x + 4 sin(π-x) cos(2π-x) = 1.

6sin 2 x + 4 sinx cosx = 1.

6sin 2 x + 4 sinx cosx - sin 2 x - cos 2 x \u003d 0.

5sin 2 x + 4 sinx cosx - cos 2 x \u003d 0.

weil cos 2 x ≠ 0, dann 5tg 2 x + 4 tgx –1 = 0

Ersatz: tg x = y.

5 Jahre 2 + 4 Jahre - 1 = 0

D=16+20=36

y 1 = 1/5 oder y 2 = –1

tgx = 1/5 oder tgx = -1

x = arctg1/5 + πn, n ∈Z

x = arctg(–1) + πn, n ∈Z

x = –π/4 + πn, n ∈Z

Extras (auf der Karte):

Lösen Sie die Gleichung und wählen Sie eine der vier vorgeschlagenen Optionen aus und erraten Sie den Namen des Mathematikers, der die Reduktionsformeln abgeleitet hat:

2sin 2 x - 3 sinx cosx - 5cos 2 x = 0.

Antwortmöglichkeiten:

х = arctg2 + 2πn, n ∈Z х = –π/2 + πn, n ∈Z – P. Chebyshev

x = arctan 12,5 + 2πn, n ∈Z x = –3π/4 + πn, n ∈Z – Euklid

х = arctg 5 + πn, n ∈Z х = –π/3 + πn, n ∈Z – Sofia Kovalevskaya

x = arctg2.5 + πn, n ∈Z x = –π/4 + πn, n ∈Z – Leonard Euler

Richtige Antwort: Leonhard Euler.

7. Differenziertes selbstständiges Arbeiten (8 Min.)

Der große Mathematiker und Philosoph schlug vor mehr als 2500 Jahren einen Weg vor, geistige Fähigkeiten zu entwickeln. „Denken beginnt mit Staunen“, sagte er. Von der Richtigkeit dieser Worte sind wir heute immer wieder überzeugt worden. Nach Abschluss der unabhängigen Arbeit an 2 Optionen können Sie zeigen, wie Sie den Stoff gelernt haben, und den Namen dieses Mathematikers herausfinden. Verwenden Sie für selbstständiges Arbeiten das Handout, das auf Ihren Schreibtischen liegt. Sie können selbst eine der drei vorgeschlagenen Gleichungen auswählen. Aber denken Sie daran, dass Sie durch Lösen der Gleichung, die Gelb entspricht, nur "3" erhalten können, indem Sie die Gleichung lösen, die Grün - "4", Rot - "5" entspricht. (Anhang 3)

Welchen Schwierigkeitsgrad auch immer die Schüler wählen, nach der richtigen Lösung der Gleichung erhält die erste Option das Wort "ARIST", die zweite - "HOTEL". Auf der Folie erhält man das Wort: „ARIST-HOTEL“. (Folie 11)

Blätter mit selbstständiger Tätigkeit werden zur Überprüfung übergeben. (Anhang 4)

8. Hausaufgaben aufnehmen (1 min)

D/z: §7.17. Stellen Sie 2 homogene Gleichungen ersten Grades und 1 homogene Gleichung zweiten Grades auf und lösen Sie sie (unter Verwendung des Satzes von Vieta zum Kompilieren). (Folie 12)

9. Zusammenfassung der Lektion, Benotung (2 Minuten)

Der Lehrer macht noch einmal auf diese Arten von Gleichungen und theoretischen Fakten aufmerksam, an die er sich im Unterricht erinnert hat, und spricht von der Notwendigkeit, sie zu lernen.

Die Schüler beantworten die Fragen:

1. Welche trigonometrischen Gleichungen kennen wir?
2. Wie werden diese Gleichungen gelöst?

Der Lehrer notiert die erfolgreichste Arbeit im Unterricht einzelner Schüler, setzt Noten.