EIN V. Glasco

Vorlesungen über mathematische Analyse

"ELEMENTARE FUNKTIONEN UND GRENZEN"

Moskau, MSTU im. N.E. Baumann

§eines. logische Symbolik.

Beim Schreiben mathematischer Ausdrücke verwenden wir die folgenden logischen Symbole:

	Bedeutung		Bedeutung
			Für alle, für alle, für alle (ab
			Es gibt, es gibt, es gibt (existieren)
			beinhaltet, folgt (daher)
			Ebenso, wenn und nur wenn,
			notwendig und ausreichend
Wenn also A und B Sätze sind, dann

			Bedeutung
			A oder B (oder A oder B, oder sowohl A als auch B)
			Für jedes x haben wir A
			Es gibt x, für das A gilt
			Aus A folgt B (wenn A wahr ist, dann ist B wahr)
(Implikation)
			A ist äquivalent zu B, A tritt genau dann auf, wenn B vorkommt,
			A ist notwendig und ausreichend für B
	Kommentar. „A B“ bedeutet, dass A für B ausreichend ist und B für A notwendig ist.

Beispiel. (x=1) => (x2 -3x+2=0) => ((x=1) (x=2)).

Manchmal verwenden wir ein anderes Sonderzeichen: A = df B.

Es bedeutet, dass per Definition A = B ist.

§2. Sätze. Elemente und Teile eines Sets.

Das Konzept einer Menge ist ein primäres Konzept, das nicht durch einfachere definiert ist. Die Wörter: set, family, set sind seine Synonyme.

Beispiele für Sets: viele Schüler im Klassenzimmer, viele Lehrer im Fachbereich, viele Autos auf dem Parkplatz usw.

Primäre Konzepte sind auch die Konzepte Set-Element und Beziehungen

zwischen den Elementen der Menge.

Beispiel. N ist die Menge der natürlichen Zahlen, ihre Elemente sind die Zahlen 1,2,3, ... Wenn x und y Elemente von N sind, dann stehen sie in einer der folgenden Beziehungen: x = y, x j.

Wir einigen uns darauf, Mengen mit Großbuchstaben zu bezeichnen: A, B, C, X, Y, …, und ihre Elemente mit Kleinbuchstaben: a, b, c, x, y, …

Beziehungen zwischen Elementen oder Mengen werden durch zwischen Buchstaben eingefügte Symbole angezeigt. Zum Beispiel. Sei A eine Menge. Dann bedeutet die Relation a A, dass a ein Element der Menge A ist. Die Notation a A bedeutet, dass a kein Element von A ist.

Der Satz kann auf verschiedene Arten definiert werden. 1. Aufzählung seiner Elemente.

Beispiel: A=(a, b, c, d), B=(1, 7, 10)

2. Festlegen der Eigenschaften der Elemente. Sei A die Menge der Elemente a mit der Eigenschaft p. Dies kann geschrieben werden als: A=( a:p ) oder A=( ap ).

Beispielsweise bedeutet die Schreibweise А= ( x: (x R ) (x2 -1>0) ) dass A eine Menge reeller Zahlen ist, die die Ungleichung x2 -1>0 erfüllen.

Lassen Sie uns einige wichtige Definitionen einführen.

Def. Eine Menge heißt endlich, wenn sie aus einer bestimmten endlichen Anzahl von Elementen besteht. Andernfalls heißt es unendlich.

Beispielsweise ist die Menge der Schüler im Klassenzimmer endlich, aber die Menge der natürlichen Zahlen oder die Menge der Punkte innerhalb des Segments ist unendlich.

Def. Eine Menge, die kein Element enthält, heißt leer und wird bezeichnet.

Def. Zwei Mengen heißen gleich, wenn sie aus demselben bestehen

Diese. Das Konzept einer Menge impliziert keine bestimmte Reihenfolge von Elementen. Def. Eine Menge X heißt Teilmenge einer Menge Y, wenn irgendein Element der Menge X ein Element der Menge Y ist (in diesem Fall allgemein gesagt nicht jedes).

ein Element der Menge Y ist ein Element der Menge X). In diesem Fall wird die Bezeichnung verwendet: X Y.

Beispielsweise ist die Menge der Orangen O eine Teilmenge der Menge der Früchte F : O F , und die Menge der natürlichen Zahlen N ist eine Teilmenge der Menge der reellen Zahlen R : N R .

Die Zeichen „ “ und „ “ werden Inklusionszeichen genannt. Jede Menge wird als Teilmenge ihrer selbst betrachtet. Die leere Menge ist eine Teilmenge einer beliebigen Menge.

Def. Jede nicht leere Teilmenge B einer Menge A, die nicht gleich A ist, wird aufgerufen

eigene Teilmenge.

§ 3. Euler-Venn-Diagramme. Elementare Operationen auf Mengen.

Es ist zweckmäßig, Mengen graphisch als Bereiche auf einer Ebene darzustellen. Dies impliziert, dass die Punkte der Region den Elementen der Menge entsprechen. Solche grafischen Darstellungen von Mengen werden Euler-Venn-Diagramme genannt.

Beispiel. A ist die Gruppe der MSTU-Studenten, B ist die Gruppe der Studenten im Publikum. Reis. 1 zeigt deutlich, dass A B .

Euler-Venn-Diagramme sind praktisch für eine visuelle Darstellung von elementaren Operationen an Sets. Die Hauptoperationen umfassen die folgenden.

Reis. 1. Ein Beispiel für ein Euler-Venn-Diagramm.

1. Der Durchschnitt A B der Mengen A und B ist die Menge C, die aus allen Elementen besteht, die gleichzeitig zu beiden Mengen A und B gehören:

C=A B =df ( z: (z A) (z B) )

(in Fig. 2 wird die Menge C durch den schattierten Bereich dargestellt).

Reis. 2. Schnittmenge von Mengen.

2. Die Vereinigung A B der Mengen A und B ist die Menge C, die aus allen Elementen besteht, die zu mindestens einer der Mengen A oder B gehören.

C=A B =df ( z: (z A) (z B) )

(in Fig. 3 wird die Menge C durch den schattierten Bereich dargestellt).

Reis. 3. Vereinigung von Mengen.

Reis. 4. Satzunterschied.

3. Die Differenz A \ B der Mengen A und B ist die Menge C, bestehend aus allen Elementen, die zu Menge A gehören, aber nicht zu Menge B gehören:

A \ B =( z: (z A) (z B) )

(in Abb. 4 wird die Menge C durch den gelb schattierten Bereich dargestellt).

§ 4. Die Menge der reellen Zahlen.

Konstruieren wir eine Menge reeller (reeller) Zahlen R. Dazu betrachten wir zunächst Menge natürlicher Zahlen, die wir wie folgt definieren. Nehmen wir als erstes Element die Zahl n=1. Jedes nachfolgende Element wird aus dem vorherigen erhalten, indem eines hinzugefügt wird:

N = (1, 1+1, (1+1)+1, …) = ( 1, 2, 3, …, n, … ).

N = (-1, -2, -3, ..., -n, ... ).

Die Menge der ganzen Zahlen Z definieren als die Vereinigung von drei Mengen: N, -N und eine Menge, die aus einem einzigen Element besteht - Null:

Die Menge der rationalen Zahlen ist definiert als die Menge aller möglichen Verhältnisse ganzer Zahlen:

Q = ( xx = m/n; m, n Z, n 0 ).

Offensichtlich N Z Q.

Es ist bekannt, dass jede rationale Zahl als endlicher reeller oder unendlich periodischer Bruch geschrieben werden kann. Reichen rationale Zahlen aus, um alle Größen zu messen, denen wir beim Studium der Welt um uns herum begegnen können? Schon im antiken Griechenland wurde gezeigt, dass dies nicht der Fall ist: Betrachten wir ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck mit Schenkeln der Länge eins, so lässt sich die Länge der Hypotenuse nicht als rationale Zahl darstellen. Wir können uns also nicht auf die Menge der rationalen Zahlen beschränken. Es ist notwendig, den Zahlenbegriff zu erweitern. Diese Erweiterung wird durch Einführen erreicht Mengen irrationaler Zahlen J, das man sich am einfachsten als die Menge aller nichtperiodischen unendlichen Dezimalzahlen vorstellen kann.

Die Vereinigung von Mengen rationaler und irrationaler Zahlen heißt

Menge reeller (reeller) Zahlen R: R = Q Y.

Manchmal betrachten sie eine erweiterte Menge reeller Zahlen R und verstehen

Reelle Zahlen werden praktischerweise als Punkte auf dem Zahlenstrahl dargestellt.

Def. Die numerische Achse wird als gerade Linie bezeichnet, die den Ursprung, den Maßstab und die Bezugsrichtung angibt.

Zwischen reellen Zahlen und Punkten der numerischen Achse wird eine Eins-zu-eins-Beziehung hergestellt: Jede reelle Zahl entspricht einem einzelnen Punkt der numerischen Achse und umgekehrt.

Axiom der Vollständigkeit (Stetigkeit) der Menge der reellen Zahlen. Welche nichtleeren Mengen À= ( a ) R und B= (b) R so sind, dass für jedes a und b die Ungleichung a ≤ b wahr ist, es gibt eine Zahl cR so, dass a ≤ c ≤ b (Abb. 5).

Abb.5. Veranschaulichung des Axioms der Vollständigkeit der Menge der reellen Zahlen.

§5. Numerische Mengen. Gegend.

Def. Numerischer Satz jede Teilmenge der Menge R heißt Die wichtigsten Zahlenmengen: N, Z, Q, J, und auch

Segment: (x R | a x b ),

Intervall: (a ,b ) (x R |a x b ), (,)=R

Halbintervalle: ( x R| a x b),

(x R | x b ).

Die wichtigste Rolle in der mathematischen Analyse spielt das Konzept einer Nachbarschaft eines Punktes auf der numerischen Achse.

Def. -Nachbarschaft des Punktes x 0 ist ein Intervall der Länge 2, zentriert am Punkt x 0 (Abb. 6):

u (x 0 ) (x 0 , x 0 ).

Reis. 6. Nachbarschaft eines Punktes.

Def. Die punktierte Umgebung eines Punktes ist die Umgebung dieses Punktes,

wobei der Punkt x 0 selbst ausgeschlossen ist (Abb. 7):

u (x 0 ) u (x 0 )\(x 0 ) (x 0 ,x 0 ) (x 0 ,x 0 ).

Reis. 7. Punktierte Umgebung eines Punktes.

Def. Die rechte Umgebung des Punktes x0 Halbintervall genannt

u (x 0 ) , Bereich: E= [-π/2,π/2 ].

Reis. 11. Graph der Funktion y arcsin x.

Lassen Sie uns nun den Begriff einer komplexen Funktion ( Kompositionen anzeigen). Gegeben seien drei Mengen D, E, M und f: D→E, g: E→M. Offensichtlich ist es möglich, eine neue Abbildung h: D→M zu konstruieren, die als Zusammensetzung der Abbildungen f und g oder als komplexe Funktion bezeichnet wird (Abb. 12).

Eine komplexe Funktion wird wie folgt bezeichnet: z = h(x)=g(f(x)) oder h = f o g.

Reis. 12. Illustration für den Begriff einer komplexen Funktion.

Die Funktion f (x) wird aufgerufen interne Funktion, und die Funktion g ( y ) - externe Funktion.

1. Interne Funktion f (x) = x², externes g (y) sin y. Komplexe Funktion z= g(f(x))=sin(x²)

2. Jetzt umgekehrt. Innere Funktion f (x)= sinx, äußere g (y) y 2 . u=f(g(x))=sin²(x)

Lassen Sie die Variable x n nimmt eine unendliche Folge von Werten an

x 1 , x 2 , ..., x n , ..., (1)

und das Änderungsgesetz der Variablen ist bekannt x n, d.h. für jede natürliche Zahl n Sie können den entsprechenden Wert angeben x n. Es wird also davon ausgegangen, dass die Variable x n ist eine Funktion von n:

x n = f(n)

Lassen Sie uns einen der wichtigsten Begriffe der mathematischen Analyse definieren – den Grenzwert einer Folge oder, was dasselbe ist, den Grenzwert einer Variablen x n laufende Sequenz x 1 , x 2 , ..., x n , ... . .

Definition. konstante Zahl a genannt Sequenzlimit x 1 , x 2 , ..., x n , ... . oder die Grenze einer Variablen x n, falls es zu einer beliebig kleinen positiven Zahl e eine solche natürliche Zahl gibt N(also Nummer N), dass alle Werte der Variablen x n, mit ... anfangen x N, unterscheiden sich von a weniger im absoluten Wert als z. Diese Definition wird kurz wie folgt geschrieben:

| x n -a |< (2)

für alle n  N, oder, was dasselbe ist,

Definition der Cauchy-Grenze. Eine Zahl A heißt Grenzwert einer Funktion f (x) an einem Punkt a, wenn diese Funktion in irgendeiner Umgebung des Punktes a definiert ist, außer vielleicht für den Punkt a selbst, und für jedes ε > 0 ein δ > 0 existiert so dass für alle x die Bedingung |x – a| erfüllt< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Definition der Heine-Grenze. Eine Zahl A heißt Grenzwert einer Funktion f (x) an einem Punkt a, wenn diese Funktion in irgendeiner Umgebung des Punktes a definiert ist, außer vielleicht für den Punkt a selbst, und für jede solche Folge konvergiert zur Zahl a konvergiert die entsprechende Folge von Werten der Funktion zur Zahl A.

Hat die Funktion f(x) im Punkt a einen Grenzwert, so ist dieser Grenzwert eindeutig.

Die Zahl A 1 heißt der linke Grenzwert der Funktion f (x) im Punkt a, falls es zu jedem ε > 0 ein δ > gibt

Die Zahl A 2 heißt rechter Grenzwert der Funktion f (x) im Punkt a, falls es für jedes ε > 0 ein δ > 0 gibt, so dass die Ungleichung

Die linke Grenze wird als rechte Grenze bezeichnet - Diese Grenzen charakterisieren das Verhalten der Funktion links und rechts des Punktes a. Sie werden oft als Einweggrenzen bezeichnet. Bei der Notation einseitiger Grenzwerte als x → 0 wird die erste Null meist weggelassen: und . Also zur Funktion

Wenn für jedes ε > 0 eine δ-Umgebung eines Punktes a existiert, so dass für alle x die Bedingung |x – a| erfüllt< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε, dann sagen wir, dass die Funktion f (x) im Punkt a einen unendlichen Grenzwert hat:

Die Funktion hat also an der Stelle x = 0 einen unendlichen Grenzwert. Häufig werden Grenzwerte gleich +∞ und –∞ unterschieden. So,

Wenn für jedes ε > 0 ein δ > 0 existiert, so dass für jedes x > δ die Ungleichung |f (x) – A| gilt< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

Existenzsatz für die kleinste obere Schranke

Definition: AR mR, m - obere (untere) Fläche von A, wenn аА аm (аm).

Definition: Die Menge A ist von oben (von unten) beschränkt, falls es m gibt, so dass аА, dann ist аm (аm) erfüllt.

Definition: SupA=m, wenn 1) m - Obergrenze von A

2) m’: m’ m' ist keine Oberseite von A

InfA = n falls 1) n das Infimum von A ist

2) n’: n’>n => n’ ist kein Infimum von A

Definition: SupA=m ist eine Zahl, so dass: 1)  aA am

2) >0 a  A, so dass a  a-

InfA = n heißt eine Zahl, so dass:

2) >0 a  A, so dass a E a+

Satz: Jede von oben begrenzte nichtleere Menge ÀR hat eine beste obere Schranke, und zwar eine eindeutige.

Nachweisen:

Wir konstruieren eine Zahl m auf der reellen Geraden und beweisen, dass dies die kleinste obere Schranke von A ist.

[m]=max([a]:aA) [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - Oberseite von A

Segment [[m],[m]+1] - aufgeteilt in 10 Teile

m 1 =max:aA)]

m 2 =max,m 1:aA)]

m bis =max,m 1 ...m K-1:aA)]

[[m],m 1 ...m K , [m],m 1 ...m K + 1 /10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/ 10 K - Oberseite A

Beweisen wir, dass m=[m],m 1 ...m K die kleinste obere Schranke ist und dass sie eindeutig ist:

an: )