Definition.Quadratische Form, entsprechend der symmetrischen bilinearen Form auf dem linearen Raum v , heißt eine Funktion eines Vektorarguments .

Sei eine quadratische Form , eine ihr entsprechende symmetrische bilineare Form. Dann

woraus folgt, dass aus einer quadratischen Form auch die entsprechende symmetrische Bilinearform eindeutig bestimmt ist. Also zwischen symmetrischen bilinearen und quadratischen Formen auf einem linearen Raum v Es wird eine Eins-zu-Eins-Entsprechung hergestellt, sodass quadratische Formen unter Verwendung symmetrischer bilinearer Formen untersucht werden können.

Prüfen n-dimensionaler linearer Raum. Matrix quadratischer Form in einer gegebenen Basis eines linearen Raums heißt eine Matrix der entsprechenden symmetrischen bilinearen Form in derselben Basis. Eine quadratische Matrix ist immer symmetrisch.

Bezeichnen Sie die Matrix der quadratischen Form in einer Raumbasis. Wenn wir, wie üblich, bezeichnen X die Koordinatenspalte des Vektors in der gleichen Basis, dann erhalten wir aus Gleichung 5.5 die Matrixform der quadratischen Form:

.

Satz 5.4. Gegeben seien zwei Basen in einem linearen Raum

(5.10)

, (5.11)

und seien und quadratische Matrizen in den Basen (5.10) bzw. (5.11). Wo dann T ist die Übergangsmatrix von (5.10) nach (5.11).

Der Beweis folgt aus Satz 5.2 und der Definition einer Matrix quadratischer Form.

Aufgrund der Tatsache, dass die Übergangsmatrix T nicht entartet ist, dann ändert sich der Rang der Matrix der quadratischen Form beim Übergang zu einer neuen Basis nicht. Daher können wir die folgende Definition formulieren.

Definition. Rang einer quadratischen Form, die auf einem linearen Raum definiert ist, wird der Rang ihrer Matrix in einigen und daher in jeder Basis des Raums genannt (bezeichnet mit ).

Nun schreiben wir die quadratische Form in Koordinatenform. Dazu entwickeln wir den Vektor nach der Basis (5.10): . Wenn eine Matrix quadratischer Form in derselben Basis ist, dann gilt gemäß Gleichung (5.4).

– (5.12)

Koordinatenform einer quadratischen Form. Schreiben wir (5.12) ausführlich für n= 3, vorausgesetzt

Wenn also eine Basis angegeben ist, dann sieht die quadratische Form in Koordinatenschreibweise wie ein homogenes Polynom zweiten Grades aus n Variablen – Vektorkoordinaten in der gegebenen Basis. Dieses Polynom heißt Aussicht quadratische Form in einer gegebenen Basis. Aber in Anwendungen entstehen solche Polynome oft unabhängig voneinander, ohne sichtbare Verbindung mit linearen Räumen (z. B. den zweiten Differentialen von Funktionen), also formulieren wir eine weitere Definition einer quadratischen Form.

Definition. quadratische Form aus n Variablen ist ein homogenes Polynom zweiten Grades in diesen Variablen, also eine Funktion der Form (5.12). Eine Matrix quadratischer Form (5.12) ist eine symmetrische Matrix.

Beispiel Kompilieren einer Matrix quadratischer Form. Lassen

Aus (5.12) und (5.13) ist ersichtlich, dass der Koeffizient von at mit übereinstimmt, also die diagonalen Elemente der Matrix der quadratischen Form sind die Koeffizienten der Quadrate. Auf die gleiche Weise sehen wir, dass dies der halbe Koeffizient des Produkts ist. Damit sieht die quadratische Formmatrix (5.14) so ​​aus:

.

Wir wählen nun im Raum wieder zwei Basen (5.10) und (5.11) und bezeichnen wie üblich sind die Koordinatenspalten des Vektors in den Basen (5.10) bzw. (5.11). Beim Übergang von der Basis (5.10) zur Basis (5.11) ändern sich die Koordinaten des Vektors gemäß dem Gesetz:

wobei die Übergangsmatrix von (5.10) nach (5.11) ist. Beachten Sie, dass die Matrix nicht entartet ist. Wir schreiben Gleichheit (5.15) in Koordinatenform:

oder ausführlich:

(5.17)

Mit Hilfe von Gleichheit (5.17) (oder (5.16), was dasselbe ist) gehen wir von Variablen zu Variablen über.

Definition. Lineare nicht entartete Transformation von Variablen ist eine Transformation von Variablen, die durch ein Gleichheitssystem (5.16) oder (5.17) oder eine einzelne Matrixgleichung (5.15) definiert ist, vorausgesetzt, dass es sich um eine nichtsinguläre Matrix handelt. Matrix T heißt die Matrix dieser Transformation von Variablen.

Wenn wir in (5.12) anstelle von Variablen ihre Ausdrücke durch Variablen gemäß Formeln (5.17) ersetzen, Klammern öffnen und ähnliche angeben, erhalten wir ein weiteres homogenes Polynom zweiten Grades:

.

In diesem Fall soll die lineare nicht entartete Transformation von Variablen (5.17) die quadratische Form in die quadratische Form annehmen. Die Werte der Variablen werden durch Relation (5.15) (oder Relationen (5.16) oder (5.17)) aufgerufen relevant für eine gegebene lineare nicht entartete Transformation von Variablen.

Definition. Die Menge der Variablen wird aufgerufen nicht trivial , wenn der Wert mindestens einer der darin enthaltenen Variablen ungleich Null ist. Andernfalls wird der Variablensatz aufgerufen trivial .

Lemma 5.2. Bei einer linearen, nicht entarteten Transformation von Variablen entspricht ein trivialer Satz von Variablen einem trivialen Satz.

Aus Gleichheit (5.15) folgt offensichtlich: wenn , dann und . Andererseits unter Verwendung der Nichtsingularität der Matrix T, wiederum aus (5.15) erhält man , woraus klar ist, dass für , auch .◄

Folge. Bei einer linearen nicht-entarteten Transformation von Variablen entspricht ein nicht-trivialer Satz von Variablen einem nicht-trivialen Satz.

Satz 5.5. Nimmt die lineare nicht entartete Transformation (5.15) die quadratische Form an mit Matrize SONDERN in eine quadratische Form mit Matrize SONDERN", dann (eine andere Formulierung von Theorem 5.4).

Folge. Bei einer linearen nicht entarteten Transformation von Variablen ändert die Determinante einer Matrix quadratischer Form nicht das Vorzeichen.

Kommentar. Im Gegensatz zur Übergangsmatrix und der Matrix eines linearen Operators wird die Matrix einer linearen nicht ausgearteten Transformation von Variablen nicht spaltenweise, sondern zeilenweise geschrieben.

Gegeben seien zwei lineare nicht ausgeartete Transformationen von Variablen:

Wenden wir sie der Reihe nach an:

Zusammensetzung linearer nicht entarteter Transformationen von Variablen(5.18) und (5.19) ist ihre sukzessive Anwendung, d. h. Transformation von Variablen Aus (5.20) ist klar, dass die Zusammensetzung zweier linearer nicht entarteter Transformationen von Variablen auch eine lineare nicht entartete Transformation von Variablen ist.

Definition. Die quadratischen Formen werden aufgerufen gleichwertig , wenn es eine lineare nicht entartete Transformation von Variablen gibt, die eine von ihnen in eine andere transformiert.

Quadratische Formen

quadratische Form f(x 1, x 2,..., x n) von n Variablen wird die Summe genannt, deren jeder Term entweder das Quadrat einer der Variablen oder das Produkt zweier verschiedener Variablen mit einem bestimmten Koeffizienten ist: f(x 1, x 2, ..., x n) = (a ij = a ji).

Die aus diesen Koeffizienten zusammengesetzte Matrix A wird Matrix quadratischer Form genannt. Es ist immer symmetrisch Matrix (d. h. eine um die Hauptdiagonale symmetrische Matrix, a ij = a ji).

In Matrixschreibweise hat die quadratische Form die Form f(X) = X T AX, wobei

Tatsächlich

Lassen Sie uns zum Beispiel die quadratische Form in Matrixform schreiben.

Dazu finden wir eine Matrix quadratischer Form. Seine diagonalen Elemente sind gleich den Koeffizienten an den Quadraten der Variablen, und die verbleibenden Elemente sind gleich der Hälfte der entsprechenden Koeffizienten der quadratischen Form. So

Die Matrix-Spalte der Variablen X sei durch eine nicht entartete lineare Transformation der Matrix-Spalte Y erhalten, d.h. X = CY, wobei C eine nicht entartete Matrix der Ordnung n ist. Dann die quadratische Form
f(X) \u003d X T AX \u003d (CY) T EIN (CY) \u003d (Y T C T) EIN (CY) \u003d Y T (C T AC) Y.

Somit nimmt unter einer nicht entarteten linearen Transformation C die Matrix der quadratischen Form die Form an: A * = C T AC.

Lassen Sie uns zum Beispiel die quadratische Form f(y 1, y 2) finden, die aus der quadratischen Form f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 durch eine lineare Transformation erhalten wird.

Die quadratische Form heißt kanonisch(Es hat kanonische Sicht), wenn alle seine Koeffizienten a ij = 0 für i ≠ j, d.h.
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + ... + a nn x n 2 = .

Seine Matrix ist diagonal.

Satz(Der Beweis wird hier nicht geführt). Jede quadratische Form kann mit einer nicht entarteten linearen Transformation auf eine kanonische Form reduziert werden.

Reduzieren wir zum Beispiel die quadratische Form auf die kanonische Form
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Wählen Sie dazu zunächst das volle Quadrat für die Variable x 1 aus:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d 2 (x 1 + x 2 ) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

Nun wählen wir das volle Quadrat für die Variable x 2 aus:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 - 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2 ) - (5/100) x 3 2 =
\u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2.

Dann bringt die nicht entartete lineare Transformation y 1 \u003d x 1 + x 2, y 2 \u003d x 2 - (1/10) x 3 und y 3 \u003d x 3 diese quadratische Form in die kanonische Form f (y 1 , y 2, y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Beachten Sie, dass die kanonische Form einer quadratischen Form mehrdeutig definiert ist (dieselbe quadratische Form kann auf unterschiedliche Weise auf die kanonische Form reduziert werden). Kanonische Formen, die durch verschiedene Methoden erhalten werden, haben jedoch eine Reihe gemeinsamer Eigenschaften. Insbesondere hängt die Anzahl der Terme mit positiven (negativen) Koeffizienten einer quadratischen Form nicht davon ab, wie die Form auf diese Form reduziert wird (z. B. wird es im betrachteten Beispiel immer zwei negative und einen positiven Koeffizienten geben). Diese Eigenschaft wird aufgerufen das Trägheitsgesetz quadratischer Formen.

Lassen Sie uns dies überprüfen, indem wir dieselbe quadratische Form auf andere Weise auf die kanonische Form zurückführen. Beginnen wir die Transformation mit der Variablen x 2:
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 \u003d - 3 (x 2 2 -
- 2 * x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 =
\u003d -3 (x 2 - (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 \ u003d f (y 1, y 2, y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, wobei y 1 \u003d - (2/3) x 1 + x 2 - (1/6) x 3, y 2 \u003d (2/3) x 1 + (1/6 ) x 3 und y 3 = x 1 . Hier ein positiver Koeffizient 2 bei y 3 und zwei negative Koeffizienten (-3) bei y 1 und y 2 (und mit einer anderen Methode haben wir einen positiven Koeffizienten 2 bei y 1 und zwei negative Koeffizienten - (-5) bei y 2 erhalten und (-1/20) für y 3).

Es sollte auch beachtet werden, dass der Rang einer Matrix quadratischer Form, genannt der Rang der quadratischen Form, ist gleich der Anzahl der Nicht-Null-Koeffizienten der kanonischen Form und ändert sich nicht unter linearen Transformationen.

Die quadratische Form f(X) heißt positiv (Negativ) sicher, wenn es für alle Werte der Variablen, die nicht gleichzeitig gleich Null sind, positiv ist, d.h. f(X) > 0 (negativ, d.h.
f(X)< 0).

Zum Beispiel ist die quadratische Form f 1 (X) \u003d x 1 2 + x 2 2 positiv definit, weil ist die Summe der Quadrate, und die quadratische Form f 2 (X) \u003d -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 ist negativ bestimmt, weil stellt dar, dass es als f 2 (X) \u003d - (x 1 - x 2) 2 dargestellt werden kann.

Da es in den meisten praktischen Situationen etwas schwieriger ist, die Vorzeicheneindeutigkeit einer quadratischen Form festzustellen, wird dafür einer der folgenden Sätze verwendet (wir formulieren sie ohne Beweise).

Satz. Eine quadratische Form ist genau dann positiv (negativ) definit, wenn alle Eigenwerte ihrer Matrix positiv (negativ) sind.

Satz (Kriterium von Sylvester). Eine quadratische Form ist genau dann positiv definit, wenn alle Hauptminoren der Matrix dieser Form positiv sind.

Dur (Ecke) Moll Die k-te Ordnung der Matrix A der n-ten Ordnung wird als Determinante der Matrix bezeichnet, die sich aus den ersten k Zeilen und Spalten der Matrix A () zusammensetzt.

Beachten Sie, dass sich bei negativ bestimmten quadratischen Formen die Vorzeichen der Hauptminoren abwechseln und die Moll erster Ordnung negativ sein muss.

Beispielsweise untersuchen wir die quadratische Form f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 auf Vorzeicheneindeutigkeit.

= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 \u003d (6 - 2 l - 3 l + l 2) - 4 \u003d l 2 - 5 l + 2 \u003d 0; D \u003d 25 - 8 \u003d 17;
. Daher ist die quadratische Form positiv definit.

Methode 2. Das Hauptmoll erster Ordnung der Matrix A D 1 = a 11 = 2 > 0. Das Hauptmoll zweiter Ordnung D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Also nach dem Sylvester-Kriterium die quadratische Form ist positiv definit.

Wir untersuchen eine andere quadratische Form auf Zeichendefinitheit, f (x 1, x 2) \u003d -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Methode 1. Konstruieren wir eine Matrix der quadratischen Form À = . Die charakteristische Gleichung hat die Form = (-2 - l)*
*(-3 - l) - 4 \u003d (6 + 2 l + 3 l + l 2) - 4 \u003d l 2 + 5 l + 2 \u003d 0; D \u003d 25 - 8 \u003d 17;
. Daher ist die quadratische Form negativ definit.

quadratische Form f(x 1, x 2,..., x n) von n Variablen wird die Summe genannt, deren jeder Term entweder das Quadrat einer der Variablen oder das Produkt zweier verschiedener Variablen mit einem bestimmten Koeffizienten ist: f(x 1, x 2, ...,х n) = (a ij =a ji).

Die aus diesen Koeffizienten zusammengesetzte Matrix A wird Matrix quadratischer Form genannt. Es ist immer symmetrisch Matrix (d. h. eine bezüglich der Hauptdiagonale symmetrische Matrix, a ij = a ji).

In Matrixschreibweise hat die quadratische Form die Form f(X) = X T AX, wobei

Tatsächlich

Lassen Sie uns zum Beispiel die quadratische Form in Matrixform schreiben.

Dazu finden wir eine Matrix quadratischer Form. Seine diagonalen Elemente sind gleich den Koeffizienten an den Quadraten der Variablen, und die verbleibenden Elemente sind gleich der Hälfte der entsprechenden Koeffizienten der quadratischen Form. So

Die Matrix-Spalte der Variablen X erhalte man durch eine nicht entartete lineare Transformation der Matrix-Spalte Y, d.h. X = CY, wobei C eine nicht entartete Matrix der Ordnung n ist. Dann gilt die quadratische Form f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) =Y T (C T AC)Y.

Somit nimmt bei einer nicht entarteten linearen Transformation C die Matrix der quadratischen Form die Form an: A * = C T AC.

Lassen Sie uns zum Beispiel die quadratische Form f(y 1, y 2) finden, die aus der quadratischen Form f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 durch eine lineare Transformation erhalten wird.

Die quadratische Form heißt kanonisch(Es hat kanonische Sicht), wenn alle seine Koeffizienten a ij \u003d 0 bei i≠j, d.h. f (x 1, x 2, ..., x n) \u003d a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + ... + a nn x n 2 = .

Seine Matrix ist diagonal.

Satz(Der Beweis wird hier nicht geführt). Jede quadratische Form kann mit einer nicht entarteten linearen Transformation auf eine kanonische Form reduziert werden.

Lassen Sie uns zum Beispiel die quadratische Form f (x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 in die kanonische Form bringen.

Wählen Sie dazu zunächst das volle Quadrat für die Variable x 1 aus:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d 2 (x 1 + x 2 ) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

Nun wählen wir das volle Quadrat für die Variable x 2 aus:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 - 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2 ) - (5/100) x 3 2 \u003d \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2.

Dann bringt die nicht entartete lineare Transformation y 1 \u003d x 1 + x 2, y 2 \u003d x 2 - (1/10) x 3 und y 3 \u003d x 3 diese quadratische Form in die kanonische Form f (y 1 , y 2, y 3) \u003d 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Beachten Sie, dass die kanonische Form einer quadratischen Form mehrdeutig definiert ist (die gleiche quadratische Form kann auf unterschiedliche Weise auf die kanonische Form reduziert werden1). Kanonische Formen, die durch verschiedene Methoden erhalten werden, haben jedoch eine Reihe gemeinsamer Eigenschaften. Insbesondere hängt die Anzahl der Terme mit positiven (negativen) Koeffizienten einer quadratischen Form nicht davon ab, wie die Form auf diese Form reduziert wird (z. B. wird es im betrachteten Beispiel immer zwei negative und einen positiven Koeffizienten geben). Diese Eigenschaft wird aufgerufen das Trägheitsgesetz quadratischer Formen.

Lassen Sie uns dies überprüfen, indem wir dieselbe quadratische Form auf andere Weise auf die kanonische Form zurückführen. Beginnen wir die Transformation mit der Variablen x 2: f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 \u003d -3 (x 2 2 - - 2 * x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 = = -3 (x 2 - (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 \u003d f (y 1, y 2, y 3) \u003d - 3y 1 2 - -3y 2 2 + 2y 3 2, wobei y 1 = - (2/3) x 1 + x 2 - (1/6) x 3, y 2 = (2/3) x 1 + (1 /6) x 3 und y 3 = x 1 . Hier ein positiver Koeffizient 2 bei y 3 und zwei negative Koeffizienten (–3) bei y 1 und y 2 ).

Es sollte auch beachtet werden, dass der Rang einer Matrix quadratischer Form, genannt der Rang der quadratischen Form, ist gleich der Anzahl der Nicht-Null-Koeffizienten der kanonischen Form und ändert sich nicht unter linearen Transformationen.

Die quadratische Form f(X) heißt positiv(Negativ)sicher, wenn für alle Werte von Variablen, die nicht gleichzeitig gleich Null sind, positiv ist, also f(X) > 0 (negativ, also f(X)< 0).

Zum Beispiel ist die quadratische Form f 1 (X) \u003d x 1 2 + x 2 2 positiv definit, weil ist die Summe der Quadrate, und die quadratische Form f 2 (X) \u003d -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 ist negativ bestimmt, weil stellt dar, dass es als f 2 (X) \u003d - (x 1 - x 2) 2 dargestellt werden kann.

Da es in den meisten praktischen Situationen etwas schwieriger ist, die Vorzeicheneindeutigkeit einer quadratischen Form festzustellen, wird dafür einer der folgenden Sätze verwendet (wir formulieren sie ohne Beweise).

Satz. Eine quadratische Form ist genau dann positiv (negativ) definit, wenn alle Eigenwerte ihrer Matrix positiv (negativ) sind.

Satz (Kriterium von Sylvester). Eine quadratische Form ist genau dann positiv definit, wenn alle Hauptminoren der Matrix dieser Form positiv sind.

Dur (Ecke) Moll Die k-te Ordnung der Matrix An-ter Ordnung wird als Determinante der Matrix bezeichnet, die aus den ersten k Zeilen und Spalten der Matrix A () besteht.

Beachten Sie, dass sich bei negativ bestimmten quadratischen Formen die Vorzeichen der Hauptminoren abwechseln und die Moll erster Ordnung negativ sein muss.

Beispielsweise untersuchen wir die quadratische Form f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 auf Vorzeicheneindeutigkeit.

= (2 -)* *(3 -) - 4 = (6 - 2 - 3+ 2) - 4 = 2 - 5+ 2 = 0 D= 25 - 8 = 17; . Daher ist die quadratische Form positiv definit.

Methode 2. Das Hauptmoll erster Ordnung der Matrix A  1 = a 11 = 2 > 0. Das Hauptmoll zweiter Ordnung  2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Also nach dem Sylvester-Kriterium , die quadratische Form ist positiv definit.

Wir untersuchen eine andere quadratische Form auf Zeichendefinitheit, f (x 1, x 2) \u003d -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Methode 1. Konstruieren wir eine Matrix der quadratischen Form À = . Die charakteristische Gleichung hat die Form = (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+ 2) – 4 = 2 + 5+ 2 = 0; D= 25 – 8 = 17 ; . Daher ist die quadratische Form negativ definit.

Methode 2. Der Hauptminderer erster Ordnung der Matrix A  1 \u003d a 11 \u003d \u003d -2< 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 >0. Daher ist die quadratische Form nach dem Sylvester-Kriterium negativ definit (die Vorzeichen der Hauptminoren wechseln sich ab, beginnend beim Minus).

Und als weiteres Beispiel untersuchen wir die quadratische Form f (x 1, x 2) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 auf Zeichendefinitheit.

Methode 1. Konstruieren wir eine Matrix der quadratischen Form À = . Die charakteristische Gleichung hat die Form = (2 -)* *(-3 -) - 4 = (-6 - 2+ 3+ 2) - 4 = 2 +- 10 = 0 D= 1 + 40 = 41; . Eine dieser Zahlen ist negativ und die andere positiv. Die Vorzeichen der Eigenwerte sind unterschiedlich. Daher kann eine quadratische Form weder negativ noch positiv definit sein, d.h. diese quadratische Form ist nicht vorzeichenbestimmend (sie kann Werte jedes Vorzeichens annehmen).

Methode 2. Der Hauptmoll erster Ordnung der Matrix A  1 = a 11 = 2 > 0. Der Hauptmoll zweiter Ordnung  2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1Die betrachtete Methode, eine quadratische Form auf eine kanonische Form zu reduzieren, ist bequem anzuwenden, wenn Koeffizienten ungleich Null unter den Quadraten der Variablen auftreten. Wenn sie nicht da sind, ist es immer noch möglich, die Konvertierung durchzuführen, aber Sie müssen einige andere Tricks anwenden. Sei zum Beispiel f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 - x 1 2 - x 2 2 =

\u003d (x 1 + x 2) 2 - x 1 2 - x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - (x 1 2 - 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 1 x 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - - (x 1 - x 2) 2 - 2x 1 x 2; 4x 1 x 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - (x 1 - x 2) 2; f (x 1, x 2) \u003d 2x 1 x 2 \u003d (1/2) * * (x 1 + x 2 ) 2 - (1/2) * (x 1 - x 2) 2 \u003d f (y 1, y 2) \u003d (1/2) y 1 2 - (1/2) y 2 2, wo y 1 \u003d x 1 + x 2, ay 2 \u003d x 1 - x 2.

Quadratische Formen.
Bedeutung von Formularen. Sylvesters Kriterium

Das Adjektiv „Quadrat“ legt sofort nahe, dass hier etwas mit einem Quadrat (zweiter Grad) zusammenhängt, und sehr bald werden wir dieses „Etwas“ kennen und wissen, was eine Form ist. Hat sich sofort ergeben :)

Willkommen zu meiner neuen Lektion, und als sofortiges Aufwärmen werden wir uns die gestreifte Form ansehen linear. Lineare Form Variablen namens homogen Polynom 1. Grades:

- einige spezifische Zahlen * (wir nehmen an, dass mindestens einer von ihnen von Null verschieden ist), und sind Variablen, die beliebige Werte annehmen können.

* In diesem Thema werden wir nur betrachten reale Nummern .

Den Begriff „homogen“ haben wir bereits im Unterricht darüber kennengelernt homogene Systeme linearer Gleichungen , und in diesem Fall bedeutet dies , dass das Polynom keine zusätzliche Konstante hat .

Zum Beispiel: – lineare Form zweier Variablen

Jetzt ist die Form quadratisch. quadratische Form Variablen namens homogen Polynom 2. Grades, jeder Begriff davon enthält entweder das Quadrat der Variablen oder doppelt Produkt von Variablen. So hat beispielsweise die quadratische Form zweier Variablen die folgende Form:

Beachtung! Dies ist ein Standardeintrag, an dem Sie nichts ändern müssen! Trotz des „schrecklichen“ Aussehens ist hier alles einfach – doppelt tiefgestellte Konstanten signalisieren, welche Variablen in dem einen oder anderen Begriff enthalten sind:
– dieser Begriff enthält das Produkt und (Quadrat);
- hier ist die Arbeit;
- und hier ist die Arbeit.

- Ich erwarte sofort einen groben Fehler, wenn sie das "Minus" des Koeffizienten verlieren, ohne zu bemerken, dass es sich auf den Begriff bezieht:

Manchmal gibt es eine "Schul"-Version des Designs im Geiste, aber dann nur manchmal. Beachten Sie übrigens, dass uns die Konstanten hier überhaupt nichts sagen und es daher schwieriger ist, sich die „einfache Schreibweise“ zu merken. Vor allem, wenn es mehr Variablen gibt.

Und die quadratische Form von drei Variablen enthält bereits sechs Terme:

... warum werden "zwei" Multiplikatoren in die "gemischten" Terme gesteckt? Das ist praktisch, und es wird bald klar werden, warum.

Wir werden jedoch die allgemeine Formel aufschreiben, es ist bequem, sie mit einem „Blatt“ anzuordnen:

- Studieren Sie sorgfältig jede Zeile - daran ist nichts auszusetzen!

Die quadratische Form enthält Terme mit quadrierten Variablen und Terme mit ihren Paarprodukten (cm. kombinatorische Formel von Kombinationen ) . Sonst nichts - kein "einsames x" und keine angefügte Konstante (dann bekommt man keine quadratische Form, sondern heterogen Polynom 2. Grades).

Matrixnotation einer quadratischen Form

Abhängig von den Werten kann die betrachtete Form sowohl positive als auch negative Werte annehmen, und das gleiche gilt für jede lineare Form – wenn mindestens einer ihrer Koeffizienten nicht Null ist, dann kann sie sich als positiv oder negativ herausstellen (je nachdem auf Werte).

Dieses Formular heißt abwechselnd. Und wenn bei der linearen Form alles transparent ist, dann ist es bei der quadratischen Form viel interessanter:

Es ist ganz klar, dass diese Form die Werte jedes Zeichens annehmen kann, also die quadratische Form kann auch alternierend sein.

Es darf nicht sein:

– immer, es sei denn, beide sind gleich Null.

- für jeden Vektor außer null.

Und überhaupt, wenn überhaupt nicht null Vektor , , dann heißt die quadratische Form positiv bestimmt; wenn, dann negativ bestimmt.

Und alles wäre gut, aber die Bestimmtheit der quadratischen Form ist nur an einfachen Beispielen sichtbar, und diese Sichtbarkeit geht bereits mit einer kleinen Komplikation verloren:
– ?

Man könnte annehmen, dass die Form positiv definiert ist, aber ist das wirklich so? Plötzlich gibt es Werte, bei denen es kleiner Null ist?

Auf diesem Konto dort Satz: ich falle Eigenwerte Matrizen quadratischer Form sind positiv * , dann ist sie positiv definiert. Wenn alle negativ sind, dann ist es negativ.

* Es ist theoretisch bewiesen, dass alle Eigenwerte einer reellen symmetrischen Matrix sind gültig

Schreiben wir die Matrix der obigen Form:
und aus der Gleichung Lass sie uns finden Eigenwerte :

Wir lösen das gute alte quadratische Gleichung :

, also das Formular ist positiv definiert, d.h. für alle Werte ungleich Null ist es größer als Null.

Die betrachtete Methode scheint zu funktionieren, aber es gibt ein großes ABER. Bereits für die „Drei mal Drei“-Matrix ist die Suche nach Eigenwerten eine langwierige und unangenehme Aufgabe; mit hoher Wahrscheinlichkeit erhält man ein Polynom 3. Grades mit irrationalen Wurzeln.

Wie sein? Es gibt einen einfacheren Weg!

Sylvesters Kriterium

Nein, nicht Sylvester Stallone :) Zuerst möchte ich Sie daran erinnern, was eckige Minderjährige Matrizen. Das Determinanten die von ihrer oberen linken Ecke "wachsen":

und der letzte ist genau gleich der Determinante der Matrix.

Nun, tatsächlich Kriterium:

1) Quadratische Form definiert positiv genau dann, wenn ALLE seine eckigen Minoren größer als Null sind: .

2) Quadratische Form definiert Negativ genau dann, wenn seine eckigen Minoren das Vorzeichen abwechseln, während der 1. Minor kleiner als Null ist: , , wenn gerade ist oder , wenn ungerade ist.

Wenn mindestens ein eckiger Moll das entgegengesetzte Vorzeichen hat, dann die Form vorzeichenwechselnd. Wenn die eckigen Minoren „dieses“ Zeichen haben, aber Nullen darunter sind, dann ist dies ein Sonderfall, den ich etwas später analysieren werde, nachdem wir auf häufigere Beispiele geklickt haben.

Analysieren wir die eckigen Minoren der Matrix :

Und das sagt uns sofort, dass die Form nicht negativ bestimmt ist.

Fazit: Alle Nebenwinkel sind größer als Null, also die Form positiv definiert.

Gibt es einen Unterschied zur Eigenwertmethode? ;)

Wir schreiben die Formmatrix aus Beispiel 1:

sein erster eckiger Moll und der zweite , woraus folgt, dass die Form vorzeichenwechselnd ist, d.h. kann je nach Wert sowohl positive als auch negative Werte annehmen. Dies ist jedoch so offensichtlich.

Nehmen Sie das Formular und seine Matrix ab Beispiel 2:

hier überhaupt ohne Einsicht nicht zu verstehen. Aber beim Sylvester-Kriterium ist uns das egal:
, also ist die Form definitiv nicht negativ.

, und definitiv nicht positiv. (da alle Winkelminderwerte positiv sein müssen).

Fazit: Die Form wechselt.

Aufwärmbeispiele zur Selbstlösung:

Beispiel 4

Untersuchen Sie quadratische Formen auf Zeichendefinitheit

a)

In diesen Beispielen ist alles glatt (siehe Ende der Lektion), aber tatsächlich, um eine solche Aufgabe zu erledigen Das Sylvester-Kriterium ist möglicherweise nicht ausreichend.

Der Punkt ist, dass es "Grenzfälle" gibt, nämlich: wenn überhaupt nicht null vector , dann ist die Form definiert nicht negativ, wenn, dann nicht positiv. Diese Formen haben nicht null Vektoren für die .

Hier können Sie ein solches "Knopfakkordeon" mitbringen:

Hervorhebung volles Quadrat , sehen wir sofort Nicht-Negativität Form: , außerdem ist es für jeden Vektor mit gleichen Koordinaten gleich Null, zum Beispiel: .

Beispiel "Spiegel". nicht positiv bestimmte Form:

und ein noch trivialeres Beispiel:
– hier ist die Form für jeden Vektor gleich Null, wobei eine beliebige Zahl ist.

Wie lässt sich die Nicht-Negativität oder Nicht-Positivität einer Form aufdecken?

Dazu brauchen wir das Konzept große Minderjährige Matrizen. Die Haupt-Nebenrolle ist eine Nebenrolle, die aus Elementen besteht, die sich am Schnittpunkt von Zeilen und Spalten mit denselben Nummern befinden. Die Matrix hat also zwei Hauptminoren 1. Ordnung:
(das Element befindet sich am Schnittpunkt der 1. Reihe und der 1. Spalte);
(das Element befindet sich am Schnittpunkt der 2. Reihe und der 2. Spalte),

und ein Dur 2. Moll:
- bestehend aus Elementen der 1., 2. Reihe und 1., 2. Spalte.

Matrix "drei mal drei" Es gibt sieben Hauptuntertöne, und hier müssen Sie bereits mit dem Bizeps wedeln:
- drei Minderjährigen 1. Ordnung,
drei Minderjährige 2. Ordnung:
- bestehend aus Elementen der 1., 2. Reihe und 1., 2. Spalte;
- bestehend aus Elementen der 1., 3. Reihe und 1., 3. Spalte;
- zusammengesetzt aus Elementen der 2., 3. Reihe und 2., 3. Spalte,
und ein Moll 3. Ordnung:
- bestehend aus Elementen der 1., 2., 3. Reihe und 1., 2. und 3. Spalte.
Die Übung zum Verständnis: Schreiben Sie alle Hauptminoren der Matrix auf .
Wir überprüfen am Ende der Lektion und fahren fort.

Schwarzenegger-Kriterium:

1) Quadratische Form ungleich Null* definiert nicht negativ wenn und nur wenn ALLE seine wichtigsten Minderjährigen nicht negativ(größer oder gleich Null).

* Bei der quadratischen Form Null (entartet) sind alle Koeffizienten gleich Null.

2) Quadratische Form ungleich Null mit definierter Matrix nicht positiv wenn und nur wenn es:
– Hauptminderjährige 1. Ordnung nicht positiv(kleiner oder gleich Null);
sind Hauptminderjährige 2. Ordnung nicht negativ;
– Hauptminderjährige 3. Ordnung nicht positiv(Wechsel hat begonnen);
…
– Dur-Moll ter Ordnung nicht positiv, wenn ungerade ist oder nicht negativ, wenn gerade ist.

Wenn mindestens ein Moll das entgegengesetzte Vorzeichen hat, dann ist die Form vorzeichenwechselnd.

Sehen wir uns an, wie das Kriterium in den obigen Beispielen funktioniert:

Lassen Sie uns eine Formmatrix erstellen und in erster Linie Lassen Sie uns die eckigen Minderjährigen berechnen - was ist, wenn es positiv oder negativ definiert ist?

Die erhaltenen Werte erfüllen das Sylvester-Kriterium jedoch nicht, das zweite Minor nicht negativ, was die Überprüfung des 2. Kriteriums erforderlich macht (beim 2. Kriterium wird es nicht automatisch erfüllt, d.h. es wird sofort auf den Vorzeichenwechsel der Form geschlossen).

Große Untertöne 1. Ordnung:
- sind positiv
2. Ordnung Dur-Moll:
- nicht negativ.

Somit sind ALLE Dur-Moller nicht-negativ, also die Form nicht negativ.

Lassen Sie uns die Formularmatrix schreiben , für die offensichtlich das Sylvester-Kriterium nicht erfüllt ist. Aber wir haben auch keine entgegengesetzten Vorzeichen erhalten (weil beide eckige Minoren gleich Null sind). Daher prüfen wir die Erfüllung des Kriteriums Nicht-Negativität / Nicht-Positivität. Große Untertöne 1. Ordnung:
- nicht positiv
2. Ordnung Dur-Moll:
- nicht negativ.

Somit wird nach dem Schwarzenegger-Kriterium (Punkt 2) die Form kraftschlüssig bestimmt.

Jetzt werden wir, voll gerüstet, ein unterhaltsameres Problem analysieren:

Beispiel 5

Untersuchen Sie die quadratische Form auf Vorzeicheneindeutigkeit

Dieses Formular ist mit der Ordnung „Alpha“ verziert, die einer beliebigen reellen Zahl entsprechen kann. Aber es wird nur mehr Spaß machen entscheiden.

Lassen Sie uns zuerst die Formularmatrix aufschreiben, wahrscheinlich haben sich viele bereits daran gewöhnt, es mündlich zu tun: auf Hauptdiagonale Wir setzen die Koeffizienten an den Quadraten und an den symmetrischen Stellen - die halben Koeffizienten der entsprechenden "gemischten" Produkte:

Lassen Sie uns die eckigen Minoren berechnen:

Ich werde die dritte Determinante entlang der 3. Zeile erweitern: