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Anweisung

Schreiben Sie den gegebenen logarithmischen Ausdruck auf. Wenn der Ausdruck den Logarithmus von 10 verwendet, wird seine Notation verkürzt und sieht so aus: lg b ist der Dezimallogarithmus. Wenn der Logarithmus die Zahl e zur Basis hat, dann wird der Ausdruck geschrieben: ln b ist der natürliche Logarithmus. Es versteht sich, dass das Ergebnis von any die Potenz ist, mit der die Basiszahl potenziert werden muss, um die Zahl b zu erhalten.

Wenn Sie die Summe zweier Funktionen finden, müssen Sie sie nur einzeln differenzieren und die Ergebnisse addieren: (u+v)" = u"+v";

Um die Ableitung des Produkts zweier Funktionen zu finden, ist es notwendig, die Ableitung der ersten Funktion mit der zweiten zu multiplizieren und die Ableitung der zweiten Funktion multipliziert mit der ersten Funktion zu addieren: (u*v)" = u"* v+v"*u;

Um die Ableitung des Quotienten zweier Funktionen zu finden, ist es notwendig, vom Produkt der Ableitung des Dividenden multipliziert mit der Divisorfunktion das Produkt der Ableitung des Divisors multipliziert mit der Divisorfunktion zu subtrahieren und zu dividieren all dies durch die Divisorfunktion im Quadrat. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Wenn eine komplexe Funktion gegeben ist, muss die Ableitung der inneren Funktion mit der Ableitung der äußeren multipliziert werden. Sei y=u(v(x)), dann y"(x)=y"(u)*v"(x).

Mit dem oben Erhaltenen können Sie fast jede Funktion unterscheiden. Schauen wir uns also ein paar Beispiele an:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Es gibt auch Aufgaben zur Berechnung der Ableitung an einem Punkt. Sei die Funktion y=e^(x^2+6x+5) gegeben, du musst den Wert der Funktion am Punkt x=1 finden.
1) Finde die Ableitung der Funktion: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Berechnen Sie den Wert der Funktion am gegebenen Punkt y"(1)=8*e^0=8

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Hilfreicher Rat

Lernen Sie die Tabelle der elementaren Ableitungen. Dies wird viel Zeit sparen.

Quellen:

• konstante Ableitung

Was ist also der Unterschied zwischen einer irrationalen Gleichung und einer rationalen? Wenn die unbekannte Variable unter dem Quadratwurzelzeichen liegt, gilt die Gleichung als irrational.

Anweisung

Die Hauptmethode zum Lösen solcher Gleichungen ist die Methode, beide Seiten anzuheben Gleichungen in ein Quadrat. Jedoch. Das ist natürlich, der erste Schritt ist, das Zeichen loszuwerden. Technisch ist diese Methode nicht schwierig, kann aber manchmal zu Problemen führen. Zum Beispiel die Gleichung v(2x-5)=v(4x-7). Wenn Sie beide Seiten quadrieren, erhalten Sie 2x-5=4x-7. Eine solche Gleichung ist nicht schwer zu lösen; x=1. Aber die Nummer 1 wird nicht vergeben Gleichungen. Wieso den? Ersetzen Sie die Einheit in der Gleichung anstelle des x-Werts, und die rechte und die linke Seite enthalten Ausdrücke, die keinen Sinn ergeben, das heißt. Ein solcher Wert gilt nicht für eine Quadratwurzel. Daher ist 1 eine fremde Wurzel, und daher hat diese Gleichung keine Wurzeln.

Die irrationale Gleichung wird also mit der Methode des Quadrierens ihrer beiden Teile gelöst. Und nachdem die Gleichung gelöst wurde, müssen fremde Wurzeln abgeschnitten werden. Setzen Sie dazu die gefundenen Wurzeln in die ursprüngliche Gleichung ein.

Betrachten Sie einen anderen.
2x+vx-3=0
Natürlich kann diese Gleichung mit der gleichen Gleichung wie die vorherige gelöst werden. Transferverbindungen Gleichungen, die keine Quadratwurzel haben, auf die rechte Seite und verwenden Sie dann die Quadrierungsmethode. Lösen Sie die resultierende rationale Gleichung und Wurzeln. Aber eine andere, elegantere. Geben Sie eine neue Variable ein; vx=y. Dementsprechend erhalten Sie eine Gleichung wie 2y2+y-3=0. Das ist die übliche quadratische Gleichung. Finden Sie seine Wurzeln; y1=1 und y2=-3/2. Als nächstes lösen Sie zwei Gleichungen vx=1; vx \u003d -3/2. Die zweite Gleichung hat keine Nullstellen, aus der ersten finden wir x=1. Vergessen Sie nicht die Notwendigkeit, die Wurzeln zu überprüfen.

Das Lösen von Identitäten ist ganz einfach. Dies erfordert identische Transformationen, bis das Ziel erreicht ist. So wird mit Hilfe einfachster Rechenoperationen die Aufgabe gelöst.

Du wirst brauchen

• - Papier;
• - Griff.

Anweisung

Die einfachsten Transformationen dieser Art sind algebraisch abgekürzte Multiplikationen (wie das Quadrat der Summe (Differenz), die Differenz der Quadrate, die Summe (Differenz), der Kubik der Summe (Differenz)). Darüber hinaus gibt es viele trigonometrische Formeln, die im Wesentlichen die gleichen Identitäten sind.

Tatsächlich ist das Quadrat der Summe zweier Terme gleich dem Quadrat des ersten plus zweimal dem Produkt aus dem ersten und dem zweiten plus dem Quadrat des zweiten, d. h. (a+b)^2= (a+b )(a+b)=a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2.

Vereinfachen Sie beides

Allgemeine Lösungsprinzipien

Wiederholen Sie aus einem Lehrbuch über mathematische Analyse oder höhere Mathematik, das ein bestimmtes Integral ist. Wie Sie wissen, ist die Lösung eines bestimmten Integrals eine Funktion, deren Ableitung einen Integranden ergibt. Diese Funktion heißt Stammfunktion. Nach diesem Prinzip werden die Basisintegrale konstruiert.
Bestimmen Sie anhand der Form des Integranden, welches der Tabellenintegrale in diesem Fall geeignet ist. Dies lässt sich nicht immer sofort feststellen. Oft macht sich die tabellarische Form erst nach mehreren Umformungen zur Vereinfachung des Integranden bemerkbar.

Variable Substitutionsmethode

Wenn der Integrand eine trigonometrische Funktion ist, deren Argument ein Polynom ist, versuchen Sie es mit der Methode der Variablenänderung. Ersetzen Sie dazu das Polynom im Argument des Integranden durch eine neue Variable. Bestimmen Sie anhand des Verhältnisses zwischen neuer und alter Variable die neuen Integrationsgrenzen. Finden Sie durch Differenzieren dieses Ausdrucks ein neues Differential in . So erhalten Sie eine neue Form des alten Integrals, die einem tabellarischen Integral nahe kommt oder sogar diesem entspricht.

Lösung von Integralen zweiter Art

Wenn das Integral ein Integral der zweiten Art ist, der Vektorform des Integranden, müssen Sie die Regeln für den Übergang von diesen Integralen zu skalaren Integralen anwenden. Eine solche Regel ist das Ostrogradsky-Gauß-Verhältnis. Dieses Gesetz ermöglicht es, von der Rotorströmung einer Vektorfunktion zu einem dreifachen Integral über die Divergenz eines gegebenen Vektorfeldes zu gelangen.

Substitution von Integrationsgrenzen

Nachdem die Stammfunktion gefunden wurde, müssen die Integrationsgrenzen ersetzt werden. Setzen Sie zuerst den Wert der Obergrenze in den Ausdruck für die Stammfunktion ein. Sie erhalten eine Nummer. Als nächstes subtrahieren Sie von der resultierenden Zahl eine weitere Zahl, die resultierende untere Grenze für die Stammfunktion. Wenn eine der Integrationsgrenzen unendlich ist, dann ist es beim Einsetzen in die Stammfunktion notwendig, bis zur Grenze zu gehen und herauszufinden, wozu der Ausdruck tendiert.
Wenn das Integral zweidimensional oder dreidimensional ist, müssen Sie die geometrischen Grenzen der Integration darstellen, um zu verstehen, wie man das Integral berechnet. Schließlich können beispielsweise bei einem dreidimensionalen Integral die Integrationsgrenzen ganze Ebenen sein, die das zu integrierende Volumen begrenzen.

Wir haben also Zweierpotenzen. Wenn Sie die Zahl aus der unteren Zeile nehmen, können Sie leicht die Potenz finden, mit der Sie eine Zwei erhöhen müssen, um diese Zahl zu erhalten. Um beispielsweise 16 zu erhalten, müssen Sie zwei in die vierte Potenz erheben. Und um 64 zu bekommen, musst du zwei hoch sechs potenzieren. Dies ist aus der Tabelle ersichtlich.

Und jetzt - tatsächlich die Definition des Logarithmus:

Der Logarithmus zur Basis a des Arguments x ist die Potenz, mit der die Zahl a potenziert werden muss, um die Zahl x zu erhalten.

Notation: log a x \u003d b, wobei a die Basis ist, x das Argument ist, b eigentlich gleich dem Logarithmus ist.

Zum Beispiel 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (der Logarithmus zur Basis 2 von 8 ist drei, weil 2 3 = 8). Könnte auch 2 64 = 6 protokollieren, weil 2 6 = 64 .

Die Operation, den Logarithmus einer Zahl zu einer gegebenen Basis zu finden, wird Logarithmus genannt. Also fügen wir unserer Tabelle eine neue Zeile hinzu:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	Protokoll 2 4 = 2	Protokoll 2 8 = 3	Protokoll 2 16 = 4	Protokoll 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Leider werden nicht alle Logarithmen so einfach berücksichtigt. Versuchen Sie beispielsweise, log 2 5 zu finden. Die Zahl 5 ist nicht in der Tabelle, aber die Logik diktiert, dass der Logarithmus irgendwo auf dem Segment liegen wird. Denn 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Solche Zahlen nennt man irrational: Die Zahlen nach dem Komma können unbegrenzt geschrieben werden, und sie wiederholen sich nie. Wenn sich herausstellt, dass der Logarithmus irrational ist, belassen Sie ihn besser so: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .

Es ist wichtig zu verstehen, dass der Logarithmus ein Ausdruck mit zwei Variablen ist (Basis und Argument). Zuerst verwechseln viele Leute, wo die Basis und wo das Argument ist. Um ärgerliche Missverständnisse zu vermeiden, werfen Sie einfach einen Blick auf das Bild:

Vor uns liegt nichts weiter als die Definition des Logarithmus. Erinnern: Der Logarithmus ist die Potenz, auf die Sie die Basis erhöhen müssen, um das Argument zu erhalten. Es ist die Basis, die potenziert wird – im Bild rot hervorgehoben. Es stellt sich heraus, dass die Basis immer unten ist! Diese wunderbare Regel sage ich meinen Schülern in der allerersten Stunde – und es gibt keine Verwirrung.

Wir haben die Definition herausgefunden - es bleibt zu lernen, wie man Logarithmen zählt, d.h. das "log"-Zeichen loswerden. Zunächst stellen wir fest, dass sich aus der Definition zwei wichtige Tatsachen ergeben:

1. Das Argument und die Basis müssen immer größer als Null sein. Dies folgt aus der Definition des Grades durch einen rationalen Exponenten, auf den sich die Definition des Logarithmus reduziert.
2. Die Basis muss sich von der Einheit unterscheiden, da eine Einheit für jede Macht immer noch eine Einheit ist. Aus diesem Grund ist die Frage „Zu welcher Potenz muss man erhoben werden, um eine Zwei zu erhalten“ bedeutungslos. Einen solchen Abschluss gibt es nicht!

Solche Einschränkungen werden genannt gültiger Bereich(ODZ). Es stellt sich heraus, dass die ODZ des Logarithmus so aussieht: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .

Beachten Sie, dass der Zahl b (dem Wert des Logarithmus) keine Beschränkungen auferlegt werden. Beispielsweise kann der Logarithmus durchaus negativ sein: log 2 0,5 \u003d -1, weil 0,5 = 2 −1 .

Allerdings betrachten wir jetzt nur numerische Ausdrücke, bei denen es nicht erforderlich ist, die ODZ des Logarithmus zu kennen. Alle Einschränkungen wurden bereits von den Compilern der Probleme berücksichtigt. Aber wenn logarithmische Gleichungen und Ungleichungen ins Spiel kommen, werden die DHS-Anforderungen obligatorisch. Tatsächlich kann es in der Grundlage und Argumentation sehr starke Konstruktionen geben, die nicht unbedingt den obigen Einschränkungen entsprechen.

Betrachten Sie nun das allgemeine Schema zur Berechnung von Logarithmen. Es besteht aus drei Schritten:

1. Drücken Sie die Basis a und das Argument x als Potenz aus, wobei die kleinstmögliche Basis größer als eins ist. Unterwegs ist es besser, Dezimalbrüche loszuwerden;
2. Lösen Sie die Gleichung für die Variable b: x = a b ;
3. Die resultierende Zahl b ist die Antwort.

Das ist alles! Erweist sich der Logarithmus als irrational, wird dies bereits im ersten Schritt sichtbar. Die Anforderung, dass die Basis größer als eins sein muss, ist sehr relevant: Dies verringert die Fehlerwahrscheinlichkeit und vereinfacht die Berechnungen erheblich. Ähnlich verhält es sich mit Dezimalbrüchen: Wenn Sie sie sofort in gewöhnliche Brüche umwandeln, treten um ein Vielfaches weniger Fehler auf.

Sehen wir uns anhand konkreter Beispiele an, wie dieses Schema funktioniert:

Aufgabe. Berechne den Logarithmus: log 5 25

1. Stellen wir die Basis und das Argument als Fünferpotenz dar: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Lassen Sie uns die Gleichung aufstellen und lösen:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Antwort erhalten: 2.

Aufgabe. Berechnen Sie den Logarithmus:

Aufgabe. Berechne den Logarithmus: log 4 64

1. Stellen wir die Basis und das Argument als Zweierpotenz dar: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Lassen Sie uns die Gleichung aufstellen und lösen:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Antwort erhalten: 3.

Aufgabe. Berechnen Sie den Logarithmus: log 16 1

1. Stellen wir die Basis und das Argument als Zweierpotenz dar: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Lassen Sie uns die Gleichung aufstellen und lösen:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Antwort erhalten: 0.

Aufgabe. Berechne den Logarithmus: log 7 14

1. Stellen wir die Basis und das Argument als Potenz von sieben dar: 7 = 7 1 ; 14 wird nicht als Siebenerpotenz dargestellt, weil 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Aus dem vorigen Absatz folgt, dass der Logarithmus nicht berücksichtigt wird;
3. Die Antwort ist keine Änderung: log 7 14.

Eine kleine Anmerkung zum letzten Beispiel. Wie kann man sicherstellen, dass eine Zahl keine exakte Potenz einer anderen Zahl ist? Ganz einfach - einfach in Primfaktoren zerlegen. Wenn es mindestens zwei unterschiedliche Faktoren in der Erweiterung gibt, ist die Zahl keine exakte Potenz.

Aufgabe. Finden Sie heraus, ob die genauen Potenzen der Zahl sind: 8; 48; 81; 35; vierzehn .

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - der genaue Grad, weil es gibt nur einen Multiplikator;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 ist keine exakte Potenz, da es zwei Faktoren gibt: 3 und 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - genauer Grad;
35 = 7 5 - wieder kein exakter Grad;
14 \u003d 7 2 - wieder kein genauer Grad;

Beachten Sie auch, dass die Primzahlen selbst immer exakte Potenzen ihrer selbst sind.

Dezimaler Logarithmus

Einige Logarithmen sind so verbreitet, dass sie einen besonderen Namen und eine besondere Bezeichnung haben.

Der dezimale Logarithmus des x-Arguments ist der Basis-10-Logarithmus, d.h. die Potenz, mit der Sie die Zahl 10 erhöhen müssen, um die Zahl x zu erhalten. Bezeichnung: lg x .

Zum Beispiel log 10 = 1; Protokoll 100 = 2; lg 1000 = 3 - usw.

Wenn von nun an ein Satz wie „Finde lg 0,01“ im Lehrbuch erscheint, wissen Sie, dass dies kein Tippfehler ist. Das ist der dezimale Logarithmus. Wenn Sie eine solche Bezeichnung jedoch nicht gewohnt sind, können Sie sie jederzeit umschreiben:
log x = log 10 x

Alles, was für gewöhnliche Logarithmen gilt, gilt auch für Dezimalzahlen.

natürlicher Logarithmus

Es gibt einen weiteren Logarithmus mit eigener Notation. In gewisser Weise ist es sogar noch wichtiger als die Dezimalzahl. Das ist der natürliche Logarithmus.

Der natürliche Logarithmus von x ist der Basis-e-Logarithmus, d.h. die Potenz, mit der die Zahl e potenziert werden muss, um die Zahl x zu erhalten. Bezeichnung: ln x .

Viele werden fragen: Was ist die Zahl e noch? Dies ist eine irrationale Zahl, ihr genauer Wert kann nicht gefunden und aufgeschrieben werden. Hier nur die ersten Zahlen:
e = 2,718281828459...

Wir werden nicht näher darauf eingehen, was diese Nummer ist und warum sie benötigt wird. Denken Sie daran, dass e die Basis des natürlichen Logarithmus ist:
ln x = log e x

Also ln e = 1 ; log e 2 = 2 ; ln e 16 = 16 - usw. Andererseits ist ln 2 eine irrationale Zahl. Im Allgemeinen ist der natürliche Logarithmus jeder rationalen Zahl irrational. Außer natürlich Eins: ln 1 = 0.

Für natürliche Logarithmen gelten alle Regeln, die für gewöhnliche Logarithmen gelten.

Logarithmen können wie jede Zahl auf jede erdenkliche Weise addiert, subtrahiert und umgerechnet werden. Da Logarithmen aber keine ganz gewöhnlichen Zahlen sind, gibt es hier Regeln, die heißen Grundeigenschaften.

Diese Regeln müssen bekannt sein - ohne sie kann kein ernsthaftes logarithmisches Problem gelöst werden. Außerdem gibt es davon nur sehr wenige - alles kann an einem Tag gelernt werden. Also lasst uns anfangen.

Addition und Subtraktion von Logarithmen

Betrachten Sie zwei Logarithmen mit derselben Basis: log a x und protokollieren a j. Dann können sie addiert und subtrahiert werden, und:

1. Protokoll a x+log a j= anmelden a (x · j);
2. Protokoll a x−log a j= anmelden a (x : j).

Die Summe der Logarithmen ist also gleich dem Logarithmus des Produkts, und die Differenz ist der Logarithmus des Quotienten. Bitte beachten Sie: Der entscheidende Punkt hier ist - gleiche Gründe. Wenn die Basen unterschiedlich sind, funktionieren diese Regeln nicht!

Diese Formeln helfen Ihnen, den logarithmischen Ausdruck zu berechnen, auch wenn seine einzelnen Teile nicht berücksichtigt werden (siehe Lektion "Was ist ein Logarithmus"). Schauen Sie sich die Beispiele an und sehen Sie:

Protokoll 6 4 + Protokoll 6 9.

Da die Basen von Logarithmen gleich sind, verwenden wir die Summenformel:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log 2 48 − log 2 3.

Die Basen sind gleich, wir verwenden die Differenzformel:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log 3 135 − log 3 5.

Auch hier sind die Grundlagen dieselben, also haben wir:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Wie Sie sehen, bestehen die ursprünglichen Ausdrücke aus "schlechten" Logarithmen, die nicht gesondert betrachtet werden. Aber nach Transformationen ergeben sich ganz normale Zahlen. Viele Tests basieren auf dieser Tatsache. Ja, Kontrolle - ähnliche Ausdrücke in aller Ernsthaftigkeit (manchmal - praktisch ohne Änderungen) werden bei der Prüfung angeboten.

Entfernen des Exponenten vom Logarithmus

Jetzt komplizieren wir die Aufgabe ein wenig. Was ist, wenn in der Basis oder im Argument des Logarithmus ein Grad steht? Dann kann der Exponent dieses Grades nach folgenden Regeln aus dem Vorzeichen des Logarithmus herausgenommen werden:

Es ist leicht zu sehen, dass die letzte Regel ihren ersten beiden folgt. Aber es ist trotzdem besser, sich daran zu erinnern - in einigen Fällen wird die Anzahl der Berechnungen erheblich reduziert.

All diese Regeln machen natürlich Sinn, wenn man den ODZ-Logarithmus beachtet: a > 0, a ≠ 1, x> 0. Und noch etwas: Lernen Sie, alle Formeln nicht nur von links nach rechts anzuwenden, sondern auch umgekehrt, d.h. Sie können die Zahlen vor dem Vorzeichen des Logarithmus in den Logarithmus selbst eingeben. Das wird am häufigsten verlangt.

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log 7 49 6 .

Lassen Sie uns den Grad im Argument nach der ersten Formel los:
Log 7 49 6 = 6 Log 7 49 = 6 2 = 12

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

[Bilderüberschrift]

Beachten Sie, dass der Nenner ein Logarithmus ist, dessen Basis und Argument exakte Potenzen sind: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Wir haben:

[Bilderüberschrift]

Ich denke, das letzte Beispiel muss geklärt werden. Wo sind die Logarithmen geblieben? Bis zum allerletzten Moment arbeiten wir nur mit dem Nenner. Sie stellten die Basis und das Argument des dort stehenden Logarithmus in Form von Graden dar und nahmen die Indikatoren heraus - sie erhielten einen „dreistöckigen“ Bruch.

Betrachten wir nun den Hauptteil. Zähler und Nenner haben dieselbe Zahl: log 2 7. Da log 2 7 ≠ 0 ist, können wir den Bruch kürzen – 2/4 bleiben im Nenner. Nach den Regeln der Arithmetik kann die Vier auf den Zähler übertragen werden, was auch geschehen ist. Das Ergebnis ist die Antwort: 2.

Übergang in eine neue Stiftung

In Bezug auf die Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Logarithmen habe ich ausdrücklich betont, dass sie nur mit denselben Basen funktionieren. Was ist, wenn die Basen unterschiedlich sind? Was ist, wenn es sich nicht um exakte Potenzen derselben Zahl handelt?

Formeln für den Übergang zu einer neuen Basis kommen zur Rettung. Wir formulieren sie in Form eines Satzes:

Lass den Logarithmus loggen a x. Dann für eine beliebige Zahl c so dass c> 0 und c≠ 1 gilt die Gleichheit:

[Bilderüberschrift]

Insbesondere, wenn wir setzen c = x, wir bekommen:

[Bilderüberschrift]

Aus der zweiten Formel folgt, dass die Basis und das Argument des Logarithmus vertauscht werden können, aber der gesamte Ausdruck „umgedreht“ wird, d.h. Der Logarithmus steht im Nenner.

Diese Formeln sind selten in gewöhnlichen numerischen Ausdrücken zu finden. Wie praktisch sie sind, kann nur beim Lösen von logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen bewertet werden.

Allerdings gibt es Aufgaben, die nur durch den Umzug in eine neue Stiftung zu lösen sind. Betrachten wir ein paar davon:

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log 5 16 log 2 25.

Beachten Sie, dass die Argumente beider Logarithmen exakte Exponenten sind. Nehmen wir die Indikatoren heraus: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Nun drehen wir den zweiten Logarithmus um:

[Bilderüberschrift]

Da sich das Produkt durch Permutation von Faktoren nicht ändert, haben wir ruhig vier und zwei multipliziert und dann die Logarithmen herausgefunden.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log 9 100 lg 3.

Basis und Argument des ersten Logarithmus sind exakte Potenzen. Schreiben wir es auf und beseitigen die Indikatoren:

[Bilderüberschrift]

Lassen Sie uns nun den Dezimallogarithmus loswerden, indem wir zu einer neuen Basis wechseln:

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Grundlegende logarithmische Identität

Beim Lösen ist es oft erforderlich, eine Zahl als Logarithmus zu einer gegebenen Basis darzustellen. In diesem Fall helfen uns die Formeln:

Im ersten Fall die Nummer n wird zum Exponenten des Arguments. Anzahl n kann absolut alles sein, weil es nur der Wert des Logarithmus ist.

Die zweite Formel ist eigentlich eine paraphrasierte Definition. Es wird die grundlegende logarithmische Identität genannt.

In der Tat, was wird passieren, wenn die Nummer b damit an die Macht erheben b insofern ergibt sich eine Zahl a? Das ist richtig: Dies ist die gleiche Nummer a. Lesen Sie diesen Absatz noch einmal genau durch - viele Menschen „hängen“ daran.

Wie die neuen Basisumrechnungsformeln ist die grundlegende logarithmische Identität manchmal die einzig mögliche Lösung.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

[Bilderüberschrift]

Beachten Sie, dass log 25 64 = log 5 8 - nur das Quadrat aus der Basis und dem Argument des Logarithmus herausgenommen hat. Angesichts der Regeln für die Multiplikation von Potenzen mit derselben Basis erhalten wir:

[Bilderüberschrift]

Falls sich jemand nicht auskennt, das war eine echte Prüfungsaufgabe :)

Logarithmische Einheit und logarithmische Null

Abschließend gebe ich zwei Identitäten an, die schwer Eigenschaften zu nennen sind – vielmehr sind dies Konsequenzen aus der Definition des Logarithmus. Sie sind ständig in Problemen zu finden und bereiten überraschenderweise selbst "fortgeschrittenen" Schülern Probleme.

1. Protokoll a a= 1 ist die logarithmische Einheit. Denken Sie ein für alle Mal daran: der Logarithmus zu jeder Basis a von dieser Basis selbst ist gleich eins.
2. Protokoll a 1 = 0 ist logarithmisch Null. Base a kann alles sein, aber wenn das Argument eins ist, ist der Logarithmus null! Weil a 0 = 1 ist eine direkte Folge der Definition.

Das sind alle Eigenschaften. Üben Sie unbedingt, sie in die Praxis umzusetzen! Laden Sie den Spickzettel zu Beginn der Lektion herunter, drucken Sie ihn aus und lösen Sie die Aufgaben.

Lass uns beginnen mit Eigenschaften des Logarithmus der Einheit. Seine Formulierung lautet wie folgt: Der Logarithmus der Einheit ist gleich Null, das heißt, log eine 1=0 für jedes a>0 , a≠1 . Der Beweis ist einfach: Da a 0 =1 für jedes a, das die obigen Bedingungen a>0 und a≠1 erfüllt, folgt aus der Definition des Logarithmus sofort die bewiesene Gleichheit log a 1=0.

Lassen Sie uns Beispiele für die Anwendung der betrachteten Eigenschaft geben: log 3 1=0 , lg1=0 und .

Kommen wir zur nächsten Eigenschaft: Der Logarithmus einer Zahl gleich der Basis ist gleich eins, also, log a a = 1 für a>0 , a≠1 . In der Tat, da a 1 = a für jedes a , dann ist nach der Definition des Logarithmus log a a = 1 .

Beispiele für die Verwendung dieser Eigenschaft von Logarithmen sind log 5 5=1 , log 5.6 5.6 und lne=1 .

Zum Beispiel log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 und .

Logarithmus des Produkts zweier positiver Zahlen x und y ist gleich dem Produkt der Logarithmen dieser Zahlen: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Beweisen wir die Eigenschaft des Logarithmus des Produkts. Aufgrund der Eigenschaften des Abschlusses a log a x+log a y =a log a x a log a y, und da nach der logarithmischen Hauptidentität a log a x =x und a log a y =y , dann a log a x a log a y =x y . Also a log a x+log a y = x y , woraus die geforderte Gleichheit durch die Definition des Logarithmus folgt.

Lassen Sie uns Beispiele für die Verwendung der Eigenschaft des Logarithmus des Produkts zeigen: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 und .

Die Eigenschaft des Produktlogarithmus lässt sich verallgemeinern auf das Produkt einer endlichen Zahl n positiver Zahlen x 1 , x 2 , …, x n as log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Diese Gleichheit ist leicht zu beweisen.

Beispielsweise kann der natürliche Logarithmus eines Produkts durch die Summe dreier natürlicher Logarithmen der Zahlen 4 , e , und ersetzt werden.

Logarithmus des Quotienten zweier positiver Zahlen x und y sind gleich der Differenz zwischen den Logarithmen dieser Zahlen. Die Quotienten-Logarithmus-Eigenschaft entspricht einer Formel der Form , wobei a>0 , a≠1 , x und y einige positive Zahlen sind. Die Gültigkeit dieser Formel wird wie die Formel für den Logarithmus des Produkts bewiesen: seit , dann durch die Definition des Logarithmus .

Hier ist ein Beispiel für die Verwendung dieser Eigenschaft des Logarithmus: .

Lass uns weitergehen zu Eigenschaft des Gradlogarithmus. Der Logarithmus eines Grades ist gleich dem Produkt aus dem Exponenten und dem Logarithmus des Basismoduls dieses Grades. Wir schreiben diese Eigenschaft des Gradlogarithmus in Form einer Formel: log a b p = p log a |b|, wobei a > 0 , a ≠ 1 , b und p solche Zahlen sind, dass der Grad von b p sinnvoll und b p > 0 ist.

Wir beweisen diese Eigenschaft zunächst für positives b . Die grundlegende logarithmische Identität erlaubt es uns, die Zahl b als a log a b darzustellen, dann b p =(a log a b) p , und der resultierende Ausdruck ist aufgrund der Potenzeigenschaft gleich a p log a b . So gelangen wir zur Gleichung b p = a p log a b , woraus wir durch die Definition des Logarithmus schließen, dass log a b p = p log a b .

Es bleibt diese Eigenschaft für negatives b zu beweisen. Hier bemerken wir, dass der Ausdruck log a b p für negatives b nur für gerade Exponenten p sinnvoll ist (da der Wert des Grads b p größer als Null sein muss, sonst macht der Logarithmus keinen Sinn), und in diesem Fall b p = |b| p . Dann bp = |b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, woher log a b p = p log a |b| .

Zum Beispiel, und ln(–3) 4 =4 ln|–3|=4 ln3 .

Es folgt aus der vorherigen Eigenschaft Eigenschaft des Logarithmus von der Wurzel: Der Logarithmus der Wurzel n-ten Grades ist gleich dem Produkt aus dem Bruch 1/n und dem Logarithmus des Wurzelausdrucks, d. h. , wobei a>0 , a≠1 , n eine natürliche Zahl größer als eins ist, b>0 .

Der Beweis basiert auf der Gleichheit (siehe ), die für jedes positive b gilt, und der Eigenschaft des Logarithmus des Grades: .

Hier ist ein Beispiel für die Verwendung dieser Eigenschaft: .

Jetzt beweisen wir es Umrechnungsformel zur neuen Basis des Logarithmus nett . Dazu genügt es, die Gültigkeit der Gleichheit log c b=log a b log c a zu beweisen. Die grundlegende logarithmische Identität erlaubt es uns, die Zahl b als log a b darzustellen, dann log c b=log c a log a b . Es bleibt die Eigenschaft des Logarithmus des Grads zu verwenden: log c a log a b = log a b log c a. Damit ist die Gleichheit log c b=log a b log c a bewiesen, womit auch die Formel für den Übergang auf eine neue Basis des Logarithmus bewiesen ist.

Lassen Sie uns ein paar Beispiele für die Anwendung dieser Eigenschaft von Logarithmen zeigen: und .

Die Formel für den Wechsel zu einer neuen Basis ermöglicht es Ihnen, mit Logarithmen zu arbeiten, die eine „bequeme“ Basis haben. Zum Beispiel kann es verwendet werden, um zu natürlichen oder dezimalen Logarithmen zu wechseln, damit Sie den Wert des Logarithmus aus der Logarithmentabelle berechnen können. Die Formel für den Übergang zu einer neuen Basis des Logarithmus ermöglicht es in einigen Fällen auch, den Wert eines bestimmten Logarithmus zu finden, wenn die Werte einiger Logarithmen mit anderen Basen bekannt sind.

Häufig verwendet wird als Sonderfall die Übergangsformel zu einer neuen Basis des Logarithmus für c=b der Form . Dies zeigt, dass log a b und log b a – . Z.B, .

Ebenfalls häufig verwendet wird die Formel , was nützlich ist, um Logarithmuswerte zu finden. Um unsere Worte zu bestätigen, zeigen wir, wie der Wert des Logarithmus des Formulars damit berechnet wird. Wir haben . Um die Formel zu beweisen es genügt, die Übergangsformel zur neuen Basis des Logarithmus a zu verwenden: .

Es bleibt noch, die Vergleichseigenschaften von Logarithmen zu beweisen.

Beweisen wir das für alle positiven Zahlen b 1 und b 2 , b 1 log a b 2 , und für a>1 die Ungleichung log a b 1

Schließlich bleibt noch die letzte der aufgeführten Eigenschaften von Logarithmen zu beweisen. Wir beschränken uns auf den Beweis des ersten Teils, d.h. wir beweisen, dass wenn a 1 > 1 , a 2 > 1 und a 1 1 ist wahr log a 1 b>log a 2 b . Die übrigen Aussagen dieser Logarithmeneigenschaft werden nach einem ähnlichen Prinzip bewiesen.

Wenden wir die umgekehrte Methode an. Angenommen, für a 1 >1 , a 2 >1 und a 1 1 log a 1 b≤log a 2 b ist wahr. Durch die Eigenschaften von Logarithmen können diese Ungleichungen umgeschrieben werden als und und daraus folgt, dass log b a 1 ≤ log b a 2 bzw. log b a 1 ≥ log b a 2 ist. Dann müssen aufgrund der Eigenschaften von Potenzen mit gleichen Basen die Gleichungen b log b a 1 ≥ b log b a 2 und b log b a 1 ≥ b log b a 2 erfüllt sein, dh a 1 ≥ a 2 . Damit sind wir bei einem Widerspruch zur Bedingung a 1 angelangt

Referenzliste.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. und andere Algebra und die Anfänge der Analysis: Ein Lehrbuch für die Klassen 10-11 allgemeiner Bildungseinrichtungen.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematik (ein Handbuch für Bewerber an technischen Schulen).