Ein wichtiges Konzept in der Mathematik ist eine Funktion. Mit seiner Hilfe können Sie viele in der Natur ablaufende Prozesse visualisieren und den Zusammenhang zwischen bestimmten Größen mithilfe von Formeln, Tabellen und Bildern in einem Diagramm widerspiegeln. Ein Beispiel ist die Abhängigkeit des Drucks einer Flüssigkeitsschicht auf einen Körper von der Eintauchtiefe, der Beschleunigung – von der Einwirkung einer bestimmten Kraft auf ein Objekt, der Temperaturerhöhung – von der übertragenen Energie und vielen anderen Prozessen. Das Studium einer Funktion umfasst das Zeichnen eines Diagramms, das Ermitteln seiner Eigenschaften, des Definitionsbereichs und der Werte sowie der Anstiegs- und Abfallintervalle. Ein wichtiger Punkt in diesem Prozess ist das Finden der Extrempunkte. Darüber, wie man es richtig macht, und das Gespräch wird weitergehen.

Über das Konzept selbst an einem konkreten Beispiel

In der Medizin kann die Konstruktion eines Funktionsgraphen Aufschluss über den Verlauf der Krankheitsentwicklung im Körper des Patienten geben und seinen Zustand deutlich widerspiegeln. Nehmen wir an, dass auf der OX-Achse die Zeit in Tagen und auf der OY-Achse die Temperatur des menschlichen Körpers aufgetragen ist. Die Abbildung zeigt deutlich, wie dieser Indikator stark ansteigt und dann abfällt. Es sind auch leicht singuläre Punkte zu erkennen, die die Momente widerspiegeln, in denen die Funktion, nachdem sie zuvor zugenommen hat, abzunehmen beginnt und umgekehrt. Dies sind die Extrempunkte, also in diesem Fall die kritischen Werte (Maximum und Minimum) der Temperatur des Patienten, nach denen Veränderungen in seinem Zustand auftreten.

Neigungswinkel

Anhand der Abbildung lässt sich leicht erkennen, wie sich die Ableitung der Funktion ändert. Wenn die Geraden des Diagramms mit der Zeit ansteigen, ist es positiv. Und je steiler sie sind, desto größer ist der Wert der Ableitung, da der Neigungswinkel zunimmt. In Phasen der Abnahme nimmt dieser Wert negative Werte an und geht an Extrempunkten auf Null zurück, und der Graph der Ableitung wird im letzteren Fall parallel zur OX-Achse gezeichnet.

Jeder andere Prozess sollte auf die gleiche Weise behandelt werden. Der beste Weg, dieses Konzept zu veranschaulichen, ist jedoch die Bewegung verschiedener Körper, die in den Grafiken deutlich dargestellt wird.

Bewegung

Angenommen, ein Objekt bewegt sich geradlinig und nimmt gleichmäßig an Geschwindigkeit zu. Während dieser Zeit stellt die Änderung der Koordinaten des Körpers grafisch eine bestimmte Kurve dar, die ein Mathematiker als Parabelast bezeichnen würde. Gleichzeitig erhöht sich die Funktion stetig, da sich die Koordinatenindikatoren mit jeder Sekunde immer schneller ändern. Das Geschwindigkeitsdiagramm zeigt das Verhalten der Ableitung, deren Wert ebenfalls zunimmt. Dies bedeutet, dass die Bewegung keine kritischen Punkte aufweist.

Dies würde auf unbestimmte Zeit so weitergehen. Was aber, wenn der Körper plötzlich beschließt, langsamer zu werden, anzuhalten und sich in eine andere Richtung zu bewegen? In diesem Fall beginnen die Koordinatenindikatoren zu sinken. Und die Funktion überschreitet einen kritischen Wert und wechselt von steigender zu fallender Funktion.

In diesem Beispiel können Sie erneut verstehen, dass die Extrempunkte im Diagramm der Funktion in den Momenten erscheinen, in denen sie aufhört, monoton zu sein.

Die physikalische Bedeutung der Ableitung

Was zuvor beschrieben wurde, zeigte deutlich, dass die Ableitung im Wesentlichen die Änderungsrate der Funktion ist. Diese Verfeinerung enthält ihre physikalische Bedeutung. Extrempunkte sind kritische Bereiche im Diagramm. Sie können sie herausfinden und erkennen, indem Sie den Wert der Ableitung berechnen, der sich als gleich Null herausstellt.

Es gibt noch ein weiteres Zeichen, das eine hinreichende Bedingung für ein Extremum darstellt. Die Ableitung an solchen Wendestellen ändert ihr Vorzeichen: von „+“ nach „-“ im Bereich des Maximums und von „-“ nach „+“ im Bereich des Minimums.

Bewegung unter dem Einfluss der Schwerkraft

Stellen wir uns eine andere Situation vor. Die Kinder warfen den Ball beim Ballspielen so, dass er sich schräg zum Horizont zu bewegen begann. Im ersten Moment war die Geschwindigkeit dieses Objekts am größten, aber unter dem Einfluss der Schwerkraft begann sie abzunehmen, und zwar mit jeder Sekunde um den gleichen Wert, der etwa 9,8 m/s 2 entspricht. Dies ist der Wert der Beschleunigung, die unter dem Einfluss der Erdschwerkraft beim freien Fall auftritt. Auf dem Mond wäre es etwa sechsmal kleiner.

Der Graph, der die Bewegung des Körpers beschreibt, ist eine Parabel mit nach unten gerichteten Ästen. Wie finde ich Extrempunkte? In diesem Fall ist dies der Scheitelpunkt der Funktion, an dem die Geschwindigkeit des Körpers (Ball) den Wert Null annimmt. Die Ableitung der Funktion wird Null. In diesem Fall ändert sich die Richtung und damit der Wert der Geschwindigkeit in die entgegengesetzte Richtung. Der Körper fliegt mit jeder Sekunde schneller und schneller nach unten und beschleunigt um den gleichen Betrag – 9,8 m/s 2 .

Zweite Ableitung

Im vorherigen Fall wird der Verlauf des Geschwindigkeitsmoduls als Gerade gezeichnet. Diese Linie ist zunächst nach unten gerichtet, da der Wert dieser Größe ständig abnimmt. Nachdem zu einem der Zeitpunkte Null erreicht wurde, beginnen die Indikatoren dieses Werts anzusteigen und die Richtung der grafischen Darstellung des Geschwindigkeitsmoduls ändert sich dramatisch. Jetzt zeigt die Linie nach oben.

Auch die Geschwindigkeit hat als Ableitung der Koordinate nach der Zeit einen kritischen Punkt. In diesem Bereich beginnt die zunächst abnehmende Funktion zuzunehmen. Dies ist der Ort des Extremums der Ableitung der Funktion. In diesem Fall wird die Steigung der Tangente Null. Und die Beschleunigung, die zweite Ableitung der Koordinate nach der Zeit, ändert das Vorzeichen von „-“ zu „+“. Und die Bewegung wird von gleichmäßig langsam zu gleichmäßig beschleunigt.

Beschleunigungsdiagramm

Betrachten Sie nun vier Zahlen. Jeder von ihnen zeigt ein Diagramm der zeitlichen Änderung einer physikalischen Größe wie der Beschleunigung. Im Fall von „A“ bleibt sein Wert positiv und konstant. Das bedeutet, dass die Geschwindigkeit des Körpers, ebenso wie seine Koordinate, ständig zunimmt. Wenn wir uns vorstellen, dass sich das Objekt unendlich lange auf diese Weise bewegt, wird sich herausstellen, dass die Funktion, die die Abhängigkeit der Koordinate von der Zeit widerspiegelt, ständig zunimmt. Daraus folgt, dass es keine kritischen Regionen gibt. Es gibt auch keine Extrempunkte im Diagramm der Ableitung, also eine sich linear ändernde Geschwindigkeit.

Gleiches gilt für den Fall „B“ mit positiver und stetig steigender Beschleunigung. Zwar werden die Diagramme für Koordinaten und Geschwindigkeit hier etwas komplizierter.

Wenn die Beschleunigung auf Null geht

Betrachtet man Abbildung „B“, erkennt man ein völlig anderes Bild, das die Bewegung des Körpers charakterisiert. Seine Geschwindigkeit wird grafisch als Parabel dargestellt, deren Äste nach unten zeigen. Wenn wir die Linie, die die Beschleunigungsänderung beschreibt, fortsetzen, bis sie die OX-Achse schneidet, und weiter, dann können wir uns vorstellen, dass bis zu diesem kritischen Wert, bei dem sich herausstellt, dass die Beschleunigung gleich Null ist, die Geschwindigkeit des Objekts zunimmt immer langsamer. Der Extrempunkt der Ableitung der Koordinatenfunktion liegt genau an der Spitze der Parabel, woraufhin der Körper die Art der Bewegung radikal ändert und beginnt, sich in eine andere Richtung zu bewegen.

Im letzteren Fall „G“ lässt sich die Art der Bewegung nicht genau bestimmen. Hier wissen wir nur, dass es für einen bestimmten Zeitraum keine Beschleunigung gibt. Das bedeutet, dass das Objekt an Ort und Stelle bleiben kann oder die Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit erfolgt.

Additionsaufgabe koordinieren

Kommen wir zu Aufgaben, die beim Algebralernen in der Schule häufig vorkommen und zur Prüfungsvorbereitung angeboten werden. Die folgende Abbildung zeigt den Graphen der Funktion. Es ist erforderlich, die Summe der Extrempunkte zu berechnen.

Wir werden dies für die y-Achse tun, indem wir die Koordinaten der kritischen Bereiche bestimmen, in denen eine Änderung der Eigenschaften der Funktion beobachtet wird. Einfach ausgedrückt ermitteln wir die Werte entlang der x-Achse für die Wendepunkte und fahren dann mit der Addition der resultierenden Terme fort. Aus der Grafik geht hervor, dass sie folgende Werte annehmen: -8; -7; -5; -3; -2; 1; 3. Dies ergibt -21, was die Antwort ist.

Optimale Lösung

Wie wichtig die Wahl der optimalen Lösung für die Lösung praktischer Aufgaben sein kann, muss nicht erläutert werden. Schließlich gibt es viele Wege, um das Ziel zu erreichen, und der beste Ausweg ist in der Regel nur einer. Dies ist beispielsweise beim Entwurf von Schiffen, Raumfahrzeugen und Flugzeugen sowie architektonischen Strukturen äußerst notwendig, um die optimale Form dieser von Menschenhand geschaffenen Objekte zu finden.

Die Geschwindigkeit von Fahrzeugen hängt maßgeblich von der kompetenten Minimierung des Widerstands, den sie bei der Bewegung durch Wasser und Luft erfahren, von Überlastungen unter dem Einfluss von Schwerkraftkräften und vielen anderen Indikatoren ab. Ein Schiff auf See benötigt Eigenschaften wie Stabilität während eines Sturms; ein Mindesttiefgang ist für ein Flussschiff wichtig. Bei der Berechnung des optimalen Designs können die Extrempunkte im Diagramm visuell eine Vorstellung von der besten Lösung für ein komplexes Problem vermitteln. Die Aufgaben eines solchen Plans werden oft in der Wirtschaft, in Wirtschaftsbereichen, in vielen anderen Lebenssituationen gelöst.

Aus der antiken Geschichte

Selbst die alten Weisen beschäftigten extreme Aufgaben. Griechischen Wissenschaftlern ist es gelungen, das Geheimnis von Flächen und Volumina durch mathematische Berechnungen zu entschlüsseln. Sie waren die ersten, die verstanden haben, dass auf einer Ebene aus verschiedenen Figuren mit gleichem Umfang der Kreis immer die größte Fläche hat. Ebenso hat die Kugel das größte Volumen unter anderen Objekten im Raum mit der gleichen Oberfläche. Berühmte Persönlichkeiten wie Archimedes, Euklid, Aristoteles und Apollonius widmeten sich der Lösung solcher Probleme. Heron gelang es sehr gut, Extrempunkte zu finden, der, indem er auf Berechnungen zurückgriff, geniale Geräte baute. Dazu gehörten automatische Maschinen, die sich mittels Dampf bewegten, Pumpen und Turbinen, die nach dem gleichen Prinzip arbeiteten.

Aufbau von Karthago

Es gibt eine Legende, deren Handlung auf der Lösung einer der extremsten Aufgaben basiert. Das Ergebnis des Geschäftsansatzes der phönizischen Prinzessin, die sich hilfesuchend an die Weisen wandte, war der Bau Karthagos. Das Grundstück für diese alte und berühmte Stadt wurde Dido (so hieß der Herrscher) vom Anführer eines der afrikanischen Stämme geschenkt. Die Fläche des Schrebergartens erschien ihm zunächst nicht sehr groß, da diese laut Vertrag mit einer Ochsenhaut abgedeckt werden musste. Doch die Prinzessin befahl ihren Soldaten, es in dünne Streifen zu schneiden und daraus einen Gürtel zu machen. Es stellte sich heraus, dass es so lang war, dass es eine Fläche abdeckte, in die die ganze Stadt passte.

Ursprünge der Infinitesimalrechnung

Und nun gehen wir von der Antike zu einer späteren Ära über. Interessanterweise wurde Kepler im 17. Jahrhundert durch ein Treffen mit einem Weinverkäufer dazu gebracht, die Grundlagen der mathematischen Analyse zu verstehen. Der Kaufmann war in seinem Beruf so versiert, dass er das Volumen des Getränks im Fass leicht bestimmen konnte, indem er einfach eine eiserne Aderpresse hineinsenkte. Als er über eine solche Neugier nachdachte, gelang es dem berühmten Wissenschaftler, dieses Dilemma für sich selbst zu lösen. Es stellte sich heraus, dass geschickte Böttcher jener Zeit es verstanden, Gefäße so herzustellen, dass sie bei einer bestimmten Höhe und einem bestimmten Radius des Umfangs der Befestigungsringe ein maximales Fassungsvermögen hatten.

Dies wurde für Kepler zum Anlass für weitere Überlegungen. Bochars kamen durch lange Suche, Fehler und neue Versuche zur optimalen Lösung und gaben ihre Erfahrungen von Generation zu Generation weiter. Aber Kepler wollte den Prozess beschleunigen und durch mathematische Berechnungen lernen, dasselbe in kurzer Zeit zu erreichen. Alle seine Entwicklungen, die von Kollegen aufgegriffen wurden, führten zu den heute bekannten Theoremen von Fermat und Newton – Leibniz.

Das Problem, die maximale Fläche zu finden

Stellen Sie sich vor, wir haben einen Draht mit einer Länge von 50 cm. Wie macht man daraus ein Rechteck mit der größten Fläche?

Wenn man eine Entscheidung trifft, sollte man von einfachen und bekannten Wahrheiten ausgehen. Es ist klar, dass der Umfang unserer Figur 50 cm betragen wird und auch aus der doppelten Länge beider Seiten besteht. Das bedeutet, dass, nachdem einer von ihnen als „X“ bezeichnet wurde, der andere als (25 – X) ausgedrückt werden kann.

Von hier aus erhalten wir eine Fläche gleich X (25 - X). Dieser Ausdruck kann als Funktion dargestellt werden, die viele Werte annimmt. Die Lösung des Problems erfordert das Finden des Maximums davon, was bedeutet, dass Sie die Extrempunkte ermitteln sollten.

Dazu ermitteln wir die erste Ableitung und setzen sie mit Null gleich. Das Ergebnis ist eine einfache Gleichung: 25 - 2X = 0.

Daraus erfahren wir, dass eine der Seiten X = 12,5 ist.

Daher ein anderer: 25 - 12,5 \u003d 12,5.

Es stellt sich heraus, dass die Lösung des Problems ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 12,5 cm sein wird.

So ermitteln Sie die Höchstgeschwindigkeit

Betrachten wir noch ein Beispiel. Stellen Sie sich vor, dass es einen Körper gibt, dessen geradlinige Bewegung durch die Gleichung S = - t 3 + 9t 2 - 24t - 8 beschrieben wird, wobei die zurückgelegte Strecke in Metern und die Zeit in Sekunden ausgedrückt wird. Es ist erforderlich, die Höchstgeschwindigkeit zu ermitteln. Wie kann man das machen? Heruntergeladen finden Sie die Geschwindigkeit, also die erste Ableitung.

Wir erhalten die Gleichung: V = - 3t 2 + 18t - 24. Um das Problem zu lösen, müssen wir nun erneut die Extrempunkte finden. Dies muss auf die gleiche Weise wie in der vorherigen Aufgabe erfolgen. Wir finden die erste Ableitung der Geschwindigkeit und setzen sie mit Null gleich.

Wir erhalten: - 6t + 18 = 0. Daher ist t = 3 s. Dies ist der Zeitpunkt, an dem die Geschwindigkeit des Körpers einen kritischen Wert erreicht. Wir setzen die erhaltenen Daten in die Geschwindigkeitsgleichung ein und erhalten: V = 3 m/s.

Aber wie kann man verstehen, dass dies genau die maximale Geschwindigkeit ist, da die kritischen Punkte der Funktion ihre größten oder kleinsten Werte sein können? Zur Überprüfung müssen Sie die zweite Ableitung der Geschwindigkeit ermitteln. Sie wird als Zahl 6 mit einem Minuszeichen ausgedrückt. Dies bedeutet, dass der gefundene Punkt das Maximum ist. Und bei einem positiven Wert der zweiten Ableitung gäbe es ein Minimum. Daher war die gefundene Lösung richtig.

Die als Beispiel aufgeführten Aufgaben stellen nur einen Teil derjenigen dar, die gelöst werden können, wenn man die Extrempunkte einer Funktion finden kann. Tatsächlich gibt es noch viel mehr. Und dieses Wissen eröffnet unbegrenzte Möglichkeiten für die menschliche Zivilisation.

Betrachten Sie zwei Zähne eines bekannten Sägeprofils. Richten wir die Achse entlang der flachen Seite der Säge und die Achse senkrecht dazu. Lassen Sie uns einen Graphen einer Funktion erstellen, wie in Abb. 1.

Es ist ganz offensichtlich, dass sowohl am Punkt als auch am Punkt die Werte der Funktion im Vergleich zu den Werten an den benachbarten Punkten rechts und links am größten ausfallen, und am Punkt - dem am kleinsten im Vergleich zu den Nachbarpunkten. Die Punkte werden als Extrempunkte der Funktion bezeichnet (vom lateinischen Extremum – „extrem“), die Punkte und sind die Maximalpunkte und der Punkt ist der Minimalpunkt (vom lateinischen Maximum und Minimum – „größter“ und „kleinster“) “).

Lassen Sie uns die Definition eines Extremums verfeinern.

Man sagt, dass eine Funktion an einem Punkt ein Maximum hat, wenn es ein Intervall gibt, das den Punkt enthält und zum Definitionsbereich der Funktion gehört, so dass es sich für alle Punkte dieses Intervalls als ergibt. Dementsprechend hat die Funktion an einem Punkt ein Minimum, wenn die Bedingung für alle Punkte eines bestimmten Intervalls erfüllt ist.

Auf Abb. Die Abbildungen 2 und 3 zeigen Diagramme von Funktionen, die an einem Punkt ein Extremum haben.

Achten wir darauf, dass der Extrempunkt per Definition innerhalb des Intervalls liegen muss, in dem die Funktion eingestellt ist, und nicht an ihrem Ende. Daher gilt für die in Abb. 1 kann nicht davon ausgegangen werden, dass es an der Stelle ein Minimum gibt.

Wenn wir in dieser Definition des Maximums (Minimums) einer Funktion die strikte Ungleichung durch eine nicht strikte ersetzen , dann erhalten wir die Definition eines nicht strikten Maximums (nicht strikten Minimums). Betrachten Sie zum Beispiel das Profil eines Berggipfels (Abb. 4). Jeder Punkt einer flachen Fläche – ein Segment – ​​ist ein nicht strenger Maximalpunkt.

In der Differentialrechnung ist die Untersuchung einer Funktion für Extrema sehr effektiv und lässt sich ganz einfach mithilfe einer Ableitung durchführen. Einer der Hauptsätze der Differentialrechnung, der eine notwendige Bedingung für das Extremum einer differenzierbaren Funktion festlegt, ist der Satz von Fermat (siehe Satz von Fermat). Die Funktion soll an einem Punkt ein Extremum haben. Gibt es an dieser Stelle eine Ableitung, dann ist diese gleich Null.

In der geometrischen Sprache bedeutet der Satz von Fermat, dass am Extrempunkt die Tangente an den Graphen der Funktion horizontal ist (Abb. 5). Die umgekehrte Aussage trifft natürlich nicht zu, was beispielsweise die Grafik in Abb. zeigt. 6.

Der Satz ist nach dem französischen Mathematiker P. Fermat benannt, der als einer der ersten eine Reihe von Extremumproblemen löste. Der Begriff einer Ableitung stand ihm noch nicht zur Verfügung, aber er verwendete bei seiner Untersuchung eine Methode, deren Wesen in der Aussage des Theorems zum Ausdruck kommt.

Eine hinreichende Bedingung für das Extremum einer differenzierbaren Funktion ist ein Vorzeichenwechsel der Ableitung. Wenn die Ableitung an einem Punkt das Vorzeichen von Minus nach Plus ändert, d.h. Wird seine Abnahme durch eine Zunahme ersetzt, ist der Punkt der Mindestpunkt. Im Gegenteil, der Punkt ist der maximale Punkt, wenn die Ableitung das Vorzeichen von Plus nach Minus ändert, d. h. geht von aufsteigend nach absteigend.

Der Punkt, an dem die Ableitung der Funktion gleich Null ist, wird als stationär bezeichnet. Wenn eine differenzierbare Funktion für ein Extremum untersucht wird, sollten alle ihre stationären Punkte gefunden und die Vorzeichen der Ableitung links und rechts davon berücksichtigt werden.

Wir untersuchen die Funktion für ein Extremum.

Finden wir seine Ableitung: .

Wenden wir uns dem Diagramm der Funktion y \u003d x 3 - 3x 2 zu. Betrachten Sie die Umgebung des Punktes x = 0, d.h. ein Intervall, das diesen Punkt enthält. Es ist logisch, dass es eine solche Nachbarschaft des Punktes x \u003d 0 gibt, dass die Funktion y \u003d x 3 - 3x 2 den größten Wert in dieser Nachbarschaft am Punkt x \u003d 0 annimmt. Zum Beispiel im Intervall (- 1; 1) Der größte Wert gleich 0 nimmt die Funktion am Punkt x = 0 an. Der Punkt x = 0 wird als Maximalpunkt dieser Funktion bezeichnet.

Ebenso wird der Punkt x \u003d 2 als Minimalpunkt der Funktion x 3 - 3x 2 bezeichnet, da an diesem Punkt der Wert der Funktion nicht größer ist als sein Wert an einem anderen Punkt in der Nähe des Punktes x \u003d 2 , zum Beispiel die Nachbarschaft (1,5; 2,5).

Somit wird der Punkt x 0 als Maximalpunkt der Funktion f (x) bezeichnet, wenn es eine Umgebung des Punktes x 0 gibt – so dass die Ungleichung f (x) ≤ f (x 0) für alle x daraus erfüllt ist Nachbarschaft.

Beispielsweise ist der Punkt x 0 \u003d 0 der Maximalpunkt der Funktion f (x) \u003d 1 - x 2, da f (0) \u003d 1 und die Ungleichung f (x) ≤ 1 für alle Werte gilt ​​von x.

Der Minimalpunkt der Funktion f (x) heißt Punkt x 0, wenn es eine solche Nachbarschaft des Punktes x 0 gibt, dass die Ungleichung f (x) ≥ f (x 0) für alle x aus dieser Nachbarschaft erfüllt ist.

Beispielsweise ist der Punkt x 0 \u003d 2 der Minimalpunkt der Funktion f (x) \u003d 3 + (x - 2) 2, da f (2) \u003d 3 und f (x) ≥ 3 für alle x .

Extrempunkte werden als Minimalpunkte und Maximalpunkte bezeichnet.

Wenden wir uns der Funktion f(x) zu, die in einer Umgebung des Punktes x 0 definiert ist und an diesem Punkt eine Ableitung hat.

Wenn x 0 ein Extrempunkt einer differenzierbaren Funktion f (x) ist, dann ist f "(x 0) \u003d 0. Diese Aussage wird Fermats Theorem genannt.

Der Satz von Fermat hat eine klare geometrische Bedeutung: Am Extrempunkt verläuft die Tangente parallel zur x-Achse und damit zu ihrer Steigung
f "(x 0) ist Null.

Beispielsweise hat die Funktion f (x) \u003d 1 - 3x 2 ein Maximum am Punkt x 0 \u003d 0, ihre Ableitung f "(x) \u003d -2x, f "(0) \u003d 0.

Die Funktion f (x) \u003d (x - 2) 2 + 3 hat ein Minimum am Punkt x 0 \u003d 2, f "(x) \u003d 2 (x - 2), f "(2) \u003d 0 .

Beachten Sie, dass, wenn f "(x 0) \u003d 0, dies nicht ausreicht, um zu behaupten, dass x 0 notwendigerweise der Extrempunkt der Funktion f (x) ist.

Wenn beispielsweise f (x) \u003d x 3 ist, dann ist f "(0) \u003d 0. Der Punkt x \u003d 0 ist jedoch kein Extrempunkt, da die Funktion x 3 entlang der gesamten reellen Achse zunimmt.

Daher müssen die Extrempunkte einer differenzierbaren Funktion nur zwischen den Wurzeln der Gleichung gesucht werden
f "(x) \u003d 0, aber die Wurzel dieser Gleichung ist nicht immer ein Extrempunkt.

Stationäre Punkte sind Punkte, an denen die Ableitung einer Funktion gleich Null ist.

Damit der Punkt x 0 ein Extrempunkt ist, muss er ein stationärer Punkt sein.

Betrachten Sie ausreichende Bedingungen, damit ein stationärer Punkt ein Extrempunkt ist, d. h. Bedingungen, unter denen ein stationärer Punkt ein Minimum- oder Maximumpunkt einer Funktion ist.

Wenn die Ableitung links vom stationären Punkt positiv und rechts negativ ist, d.h. Wenn die Ableitung durch diesen Punkt das Vorzeichen „+“ in das Vorzeichen „-“ ändert, ist dieser stationäre Punkt der Maximalpunkt.

Tatsächlich nimmt die Funktion in diesem Fall links vom stationären Punkt zu und rechts ab, d. h. Dieser Punkt ist der Maximalpunkt.

Wenn die Ableitung beim Durchgang durch einen stationären Punkt das Vorzeichen „-“ in das Vorzeichen „+“ ändert, dann ist dieser stationäre Punkt ein Minimalpunkt.

Wenn die Ableitung beim Durchgang durch einen stationären Punkt das Vorzeichen nicht ändert, d.h. die Ableitung links und rechts vom stationären Punkt positiv oder negativ ist, dann ist dieser Punkt kein Extrempunkt.

Betrachten wir eines der Probleme. Finden Sie die Extrempunkte der Funktion f (x) \u003d x 4 - 4x 3.

Lösung.

1) Finden Sie die Ableitung: f "(x) \u003d 4x 3 - 12x 2 \u003d 4x 2 (x - 3).

2) Finden Sie stationäre Punkte: 4x 2 (x - 3) \u003d 0, x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 3.

3) Mit der Intervallmethode stellen wir fest, dass die Ableitung f "(x) \u003d 4x 2 (x - 3) positiv für x\u003e 3 und negativ für x ist< 0 и при 0 < х < 3.

4) Da sich beim Durchgang durch den Punkt x 1 \u003d 0 das Vorzeichen der Ableitung nicht ändert, ist dieser Punkt kein Extrempunkt.

5) Die Ableitung ändert das Vorzeichen „-“ in das Vorzeichen „+“, wenn sie durch den Punkt x 2 \u003d 3 geht. Daher ist x 2 \u003d 3 der minimale Punkt.

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Definitionen:

Extremum Benennen Sie den Maximal- oder Minimalwert einer Funktion auf einer bestimmten Menge.

Extrempunkt ist der Punkt, an dem der maximale oder minimale Wert der Funktion erreicht wird.

Maximaler Punkt ist der Punkt, an dem der Maximalwert der Funktion erreicht wird.

Tiefpunkt ist der Punkt, an dem der Minimalwert der Funktion erreicht wird.

Erläuterung.

In der Abbildung erreicht die Funktion in der Nähe des Punktes x = 3 ihren Maximalwert (d. h. in der Nähe dieses bestimmten Punktes gibt es keinen höheren Punkt). In der Umgebung von x = 8 hat es wiederum einen Maximalwert (um es noch einmal klarzustellen: In dieser Umgebung gibt es oben keinen Punkt). An diesen Stellen wird der Anstieg durch einen Rückgang ersetzt. Es handelt sich um maximale Punkte:

xmax = 3, xmax = 8.

In der Nähe des Punktes x = 5 wird der Minimalwert der Funktion erreicht (d. h. in der Nähe von x = 5 gibt es keinen Punkt darunter). An diesem Punkt wird der Rückgang durch einen Anstieg ersetzt. Es ist die Mindestpunktzahl:

Die Höchst- und Mindestpunktzahl beträgt Extrempunkte der Funktion, und die Werte der Funktion an diesen Punkten sind ihre Extreme.

Kritische und stationäre Punkte der Funktion:

Notwendige Bedingung für ein Extremum:

Ausreichende Bedingung für ein Extremum:

Auf dem Segment die Funktion j = F(X) kann entweder an kritischen Punkten oder an den Enden des Segments seinen minimalen oder maximalen Wert erreichen.

Algorithmus zur Untersuchung einer stetigen Funktionj = F(X) für Monotonie und Extrema:

Die Funktion $z=f(x,y)$ sei in einer Umgebung des Punktes $(x_0,y_0)$ definiert. Man sagt, dass $(x_0,y_0)$ ein Punkt mit (lokalem) Maximum ist, wenn für alle Punkte $(x,y)$ in einer Umgebung von $(x_0,y_0)$ die Ungleichung $f(x,y) gilt.< f(x_0,y_0)$. Если же для всех точек этой окрестности выполнено условие $f(x,y)>f(x_0,y_0)$, dann heißt der Punkt $(x_0,y_0)$ ein (lokaler) Minimalpunkt.

Hoch- und Tiefpunkte werden oft mit dem Oberbegriff Extrempunkte bezeichnet.

Wenn $(x_0,y_0)$ ein Maximalpunkt ist, dann wird der Wert der Funktion $f(x_0,y_0)$ an diesem Punkt als Maximum der Funktion $z=f(x,y)$ bezeichnet. Dementsprechend wird der Wert der Funktion am Minimalpunkt als Minimum der Funktion $z=f(x,y)$ bezeichnet. Die Minima und Maxima einer Funktion werden durch einen gemeinsamen Term vereint – die Extrema einer Funktion.

Algorithmus zur Untersuchung der Funktion $z=f(x,y)$ für ein Extremum

1. Finden Sie die partiellen Ableitungen von $\frac(\partial z)(\partial x)$ und $\frac(\partial z)(\partial y)$. Stellen Sie das Gleichungssystem $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0 zusammen und lösen Sie es . \ end(aligned) \right.$ Punkte, deren Koordinaten das angegebene System erfüllen, werden als stationär bezeichnet.
2. Finden Sie $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)$, $\frac(\partial^2z)(\partial x\partial y)$, $\frac(\partial^2z)(\partial y^2)$ und berechne den Wert $\Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\ frac (\partial^2z)(\partial x\partial y) \right)^2$ an jedem stationären Punkt. Danach verwenden Sie das folgende Schema:
   1. Wenn $\Delta > 0$ und $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) > 0$ (oder $\frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$), dann ist der zu untersuchende Punkt der Mindestpunkt.
   2. Wenn $\Delta > 0$ und $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)< 0$ (или $\frac{\partial^2z}{\partial y^2} < 0$), то в исследуемая точка есть точкой максимума.
   3. Wenn $\Delta< 0$, то в расматриваемой стационарной точке экстремума нет.
   4. Wenn $\Delta = 0$, dann kann nichts Bestimmtes über das Vorhandensein eines Extremums gesagt werden; Es sind zusätzliche Untersuchungen erforderlich.

Hinweis (zum besseren Verständnis des Textes wünschenswert): ein-/ausblenden

Wenn $\Delta > 0$, dann $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\ partial ^2z)(\partial x\partial y) \right)^2 > 0$. Und daraus folgt, dass $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2) > \left(\frac(\partial^2z ) (\partial x\partial y) \right)^2 ≥ 0$. Diese. $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$. Ist das Produkt einiger Größen größer als Null, dann haben diese Größen das gleiche Vorzeichen. Das heißt zum Beispiel, wenn $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) > 0$, dann ist $\frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$. Kurz gesagt, wenn $\Delta > 0$, dann sind die Vorzeichen von $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)$ und $\frac(\partial^2z)(\partial y^2)$ das gleiche.

Beispiel 1

Untersuchen Sie die Funktion $z=4x^2-6xy-34x+5y^2+42y+7$ für ein Extremum.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=8x-6y-34; \frac(\partial z)(\partial y)=-6x+10y+42. $$

$$ \left \( \begin(aligned) & 8x-6y-34=0;\\ & -6x+10y+42=0. \end(aligned) \right. $$

Lassen Sie uns jede Gleichung dieses Systems um $2$ reduzieren und die Zahlen auf die rechten Seiten der Gleichungen übertragen:

$$ \left \( \begin(aligned) & 4x-3y=17;\\ & -3x+5y=-21. \end(aligned) \right. $$

Wir haben ein System linearer algebraischer Gleichungen erhalten. In dieser Situation scheint es mir die bequemste Anwendung der Cramer-Methode zur Lösung des resultierenden Systems zu sein.

$$ \begin(aligned) & \Delta=\left| \begin(array) (cc) 4 & -3\\ -3 & 5 \end(array)\right|=4\cdot 5-(-3)\cdot (-3)=20-9=11;\ \ & \Delta_x=\left| \begin(array) (cc) 17 & -3\\ -21 & 5 \end(array)\right|=17\cdot 5-(-3)\cdot (-21)=85-63=22;\ \ & \Delta_y=\left| \begin(array) (cc) 4 & 17\\ -3 & -21 \end(array)\right|=4\cdot (-21)-17\cdot (-3)=-84+51=-33 .\end(aligned) \\ x=\frac(\Delta_(x))(\Delta)=\frac(22)(11)=2; \; y=\frac(\Delta_(y))(\Delta)=\frac(-33)(11)=-3. $$

Die Werte $x=2$, $y=-3$ sind die Koordinaten des stationären Punktes $(2;-3)$.

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=8; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=10; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=-6. $$

Berechnen wir den Wert von $\Delta$:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \partial x\partial y) \right)^2= 8\cdot 10-(-6)^2=80-36=44. $$

Da $\Delta > 0$ und $\frac(\partial^2 z)(\partial x^2) > 0$, dann ist gemäß dem Punkt $(2;-3)$ der Minimalpunkt der Funktion $ z$. Wir finden das Minimum der Funktion $z$, indem wir die Koordinaten des Punktes $(2;-3)$ in die gegebene Funktion einsetzen:

$$ z_(min)=z(2;-3)=4\cdot 2^2-6\cdot 2 \cdot (-3)-34\cdot 2+5\cdot (-3)^2+42\ cdot(-3)+7=-90. $$

Antwort: $(2;-3)$ - Mindestpunktzahl; $z_(min)=-90$.

Beispiel #2

Untersuchen Sie die Funktion $z=x^3+3xy^2-15x-12y+1$ für ein Extremum.

Wir werden dem oben Gesagten folgen. Finden wir zunächst die partiellen Ableitungen erster Ordnung:

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=3x^2+3y^2-15; \frac(\partial z)(\partial y)=6xy-12. $$

Bilden Sie das Gleichungssystem $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0. \ end( ausgerichtet)\right.$:

$$ \left \( \begin(aligned) & 3x^2+3y^2-15=0;\\ & 6xy-12=0. \end(aligned) \right. $$

Reduzieren Sie die erste Gleichung um 3 und die zweite um 6.

$$ \left \( \begin(aligned) & x^2+y^2-5=0;\\ & xy-2=0. \end(aligned) \right. $$

Wenn $x=0$, dann führt uns die zweite Gleichung zu einem Widerspruch: $0\cdot y-2=0$, $-2=0$. Daher die Schlussfolgerung: $x\neq 0$. Dann haben wir aus der zweiten Gleichung: $xy=2$, $y=\frac(2)(x)$. Wenn wir $y=\frac(2)(x)$ in die erste Gleichung einsetzen, erhalten wir:

$$ x^2+\left(\frac(2)(x) \right)^2-5=0;\\ x^2+\frac(4)(x^2)-5=0;\\ x^4-5x^2+4=0. $$

Wir haben eine biquadratische Gleichung. Wir führen die Ersetzung $t=x^2$ durch (wir berücksichtigen, dass $t > 0$):

$$ t^2-5t+4=0;\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot 1 \cdot 4=9;\\ & t_1=\frac(-(- 5)-\sqrt(9))(2)=\frac(5-3)(2)=1;\\ & t_2=\frac(-(-5)+\sqrt(9))(2)= \frac(5+3)(2)=4.\end(aligned) $$

Wenn $t=1$, dann $x^2=1$. Daher haben wir zwei Werte von $x$: $x_1=1$, $x_2=-1$. Wenn $t=4$, dann ist $x^2=4$, d.h. $x_3=2$, $x_4=-2$. Wenn wir uns daran erinnern, dass $y=\frac(2)(x)$ ist, erhalten wir:

\begin(aligned) & y_1=\frac(2)(x_1)=\frac(2)(1)=2;\\ & y_2=\frac(2)(x_2)=\frac(2)(-1 )=-2;\\ & y_3=\frac(2)(x_3)=\frac(2)(2)=1;\\ & y_4=\frac(2)(x_4)=\frac(2)( -2)=-1. \end(ausgerichtet)

Wir haben also vier stationäre Punkte: $M_1(1;2)$, $M_2(-1;-2)$, $M_3(2;1)$, $M_4(-2;-1)$. Damit ist der erste Schritt des Algorithmus abgeschlossen.

Kommen wir nun zum Algorithmus. Finden wir partielle Ableitungen zweiter Ordnung:

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=6x; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=6x; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=6y. $$

Finden Sie $\Delta$:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \partial x\partial y) \right)^2= 6x\cdot 6x-(6y)^2=36x^2-36y^2=36(x^2-y^2). $$

Jetzt berechnen wir den Wert von $\Delta$ an jedem der zuvor gefundenen stationären Punkte. Beginnen wir am Punkt $M_1(1;2)$. An diesem Punkt haben wir: $\Delta(M_1)=36(1^2-2^2)=-108$. Da $\Delta(M_1)< 0$, то согласно в точке $M_1$ экстремума нет.

Lassen Sie uns den Punkt $M_2(-1;-2)$ untersuchen. An diesem Punkt haben wir: $\Delta(M_2)=36((-1)^2-(-2)^2)=-108$. Da $\Delta(M_2)< 0$, то согласно в точке $M_2$ экстремума нет.

Lassen Sie uns den Punkt $M_3(2;1)$ untersuchen. An diesem Punkt erhalten wir:

$$ \Delta(M_3)=36(2^2-1^2)=108;\;\; \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3)=6\cdot 2=12. $$

Da $\Delta(M_3) > 0$ und $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3) > 0$, dann ist gemäß $M_3(2; 1)$ ist der Minimalpunkt der Funktion $z$. Wir finden das Minimum der Funktion $z$, indem wir die Koordinaten des Punktes $M_3$ in die gegebene Funktion einsetzen:

$$ z_(min)=z(2;1)=2^3+3\cdot 2\cdot 1^2-15\cdot 2-12\cdot 1+1=-27. $$

Es bleibt noch der Punkt $M_4(-2;-1)$ zu untersuchen. An diesem Punkt erhalten wir:

$$ \Delta(M_4)=36((-2)^2-(-1)^2)=108;\;\; \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_4)=6\cdot (-2)=-12. $$

Da $\Delta(M_4) > 0$ und $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_4)< 0$, то согласно $M_4(-2;-1)$ есть точкой максимума функции $z$. Максимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $M_4$:

$$ z_(max)=z(-2;-1)=(-2)^3+3\cdot (-2)\cdot (-1)^2-15\cdot (-2)-12\cdot (-1)+1=29. $$

Die Extremum-Studie ist abgeschlossen. Es bleibt nur noch, die Antwort aufzuschreiben.

Antwort:

• $(2;1)$ - Mindestpunkt, $z_(min)=-27$;
• $(-2;-1)$ – Maximalpunkt, $z_(max)=29$.

Notiz

Im allgemeinen Fall besteht keine Notwendigkeit, den Wert von $\Delta$ zu berechnen, da uns nur das Vorzeichen und nicht der spezifische Wert dieses Parameters interessiert. Für das oben betrachtete Beispiel Nr. 2 gilt beispielsweise am Punkt $M_3(2;1)$ $\Delta=36\cdot(2^2-1^2)$. Hier ist offensichtlich, dass $\Delta > 0$ (da beide Faktoren $36$ und $(2^2-1^2)$ positiv sind) und es ist möglich, keinen bestimmten Wert von $\Delta$ zu finden. Diese Bemerkung ist zwar für typische Berechnungen nutzlos – sie erfordern, dass die Berechnungen auf eine Zahl gebracht werden :)

Beispiel #3

Untersuchen Sie die Funktion $z=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2+3$ für ein Extremum.

Wir werden folgen. Finden wir zunächst die partiellen Ableitungen erster Ordnung:

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=4x^3-4x+4y; \frac(\partial z)(\partial y)=4y^3+4x-4y. $$

Bilden Sie das Gleichungssystem $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0. \ end( ausgerichtet)\right.$:

$$ \left \( \begin(aligned) & 4x^3-4x+4y=0;\\ & 4y^3+4x-4y=0. \end(aligned) \right. $$

Reduzieren wir beide Gleichungen um $4$:

$$ \left \( \begin(aligned) & x^3-x+y=0;\\ & y^3+x-y=0. \end(aligned) \right. $$

Fügen wir die erste Gleichung zur zweiten hinzu und drücken $y$ durch $x$ aus:

$$ y^3+x-y+(x^3-x+y)=0;\\ y^3+x^3=0; y^3=-x^3; y=-x. $$

Wenn wir $y=-x$ in die erste Gleichung des Systems einsetzen, erhalten wir:

$$ x^3-x-x=0;\\ x^3-2x=0;\\ x(x^2-2)=0. $$

Aus der resultierenden Gleichung ergibt sich: $x=0$ oder $x^2-2=0$. Aus der Gleichung $x^2-2=0$ folgt, dass $x=-\sqrt(2)$ oder $x=\sqrt(2)$. Es werden also drei Werte von $x$ gefunden, nämlich: $x_1=0$, $x_2=-\sqrt(2)$, $x_3=\sqrt(2)$. Da $y=-x$, dann $y_1=-x_1=0$, $y_2=-x_2=\sqrt(2)$, $y_3=-x_3=-\sqrt(2)$.

Der erste Schritt der Lösung ist abgeschlossen. Wir haben drei stationäre Punkte: $M_1(0;0)$, $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ .

Kommen wir nun zum Algorithmus. Finden wir partielle Ableitungen zweiter Ordnung:

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=12x^2-4; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=12y^2-4; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=4. $$

Finden Sie $\Delta$:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \partial x\partial y) \right)^2= (12x^2-4)(12y^2-4)-4^2=\\ =4(3x^2-1)\cdot 4(3y^2 -1)-16=16(3x^2-1)(3y^2-1)-16=16\cdot((3x^2-1)(3y^2-1)-1). $$

Jetzt berechnen wir den Wert von $\Delta$ an jedem der zuvor gefundenen stationären Punkte. Beginnen wir am Punkt $M_1(0;0)$. An diesem Punkt haben wir: $\Delta(M_1)=16\cdot((3\cdot 0^2-1)(3\cdot 0^2-1)-1)=16\cdot 0=0$. Da $\Delta(M_1) = 0$ ist, sind zusätzliche Untersuchungen erforderlich, da über das Vorhandensein eines Extremums am betrachteten Punkt keine eindeutige Aussage getroffen werden kann. Lassen wir diesen Punkt vorerst beiseite und gehen wir zu anderen Punkten über.

Untersuchen wir den Punkt $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$. An diesem Punkt erhalten wir:

\begin(aligned) & \Delta(M_2)=16\cdot((3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_2)=12\cdot (-\sqrt(2) )^2-4=24-4=20. \end(ausgerichtet)

Da $\Delta(M_2) > 0$ und $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_2) > 0$, dann gilt gemäß $M_2(-\ sqrt(2),\sqrt(2))$ ist der Minimalpunkt der Funktion $z$. Wir finden das Minimum der Funktion $z$, indem wir die Koordinaten des Punktes $M_2$ in die gegebene Funktion einsetzen:

$$ z_(min)=z(-\sqrt(2),\sqrt(2))=(-\sqrt(2))^4+(\sqrt(2))^4-2(-\sqrt( 2))^2+4\cdot (-\sqrt(2))\sqrt(2)-2(\sqrt(2))^2+3=-5. $$

Ähnlich wie im vorherigen Punkt untersuchen wir den Punkt $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$. An diesem Punkt erhalten wir:

\begin(aligned) & \Delta(M_3)=16\cdot((3\cdot (\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3)=12\cdot (\sqrt(2)) ^2-4=24-4=20. \end(ausgerichtet)

Da $\Delta(M_3) > 0$ und $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3) > 0$, dann ist gemäß $M_3(\sqrt (2),-\sqrt(2))$ ist der Minimalpunkt der Funktion $z$. Wir finden das Minimum der Funktion $z$, indem wir die Koordinaten des Punktes $M_3$ in die gegebene Funktion einsetzen:

$$ z_(min)=z(\sqrt(2),-\sqrt(2))=(\sqrt(2))^4+(-\sqrt(2))^4-2(\sqrt(2 ))^2+4\cdot \sqrt(2)(-\sqrt(2))-2(-\sqrt(2))^2+3=-5. $$

Es ist Zeit, zum Punkt $M_1(0;0)$ zurückzukehren, wo $\Delta(M_1) = 0$. Zusätzliche Forschung ist erforderlich. Diese ausweichende Phrase bedeutet „mach, was du willst“ :). Es gibt keine allgemeingültige Lösung für solche Situationen – und das ist verständlich. Gäbe es eine solche Methode, dann wäre sie längst in alle Lehrbücher eingegangen. In der Zwischenzeit müssen wir für jeden Punkt, an dem $\Delta = 0$ ist, nach einem speziellen Ansatz suchen. Nun, untersuchen wir das Verhalten der Funktion in der Nähe des Punktes $M_1(0;0)$. Wir stellen sofort fest, dass $z(M_1)=z(0;0)=3$. Nehmen Sie an, dass $M_1(0;0)$ ein Mindestpunkt ist. Dann erhalten wir für jeden Punkt $M$ aus einer Umgebung des Punktes $M_1(0;0)$ $z(M) > z(M_1) $, d.h. $z(M) > 3$. Was ist, wenn eine Nachbarschaft Punkte enthält, an denen $z(M)< 3$? Тогда в точке $M_1$ уж точно не будет минимума.

Betrachten Sie Punkte, für die $y=0$, d.h. Punkte der Form $(x,0)$. An diesen Punkten nimmt die Funktion $z$ die folgenden Werte an:

$$ z(x,0)=x^4+0^4-2x^2+4x\cdot 0-2\cdot 0^2+3=x^4-2x^2+3=x^2(x ^2-2)+3. $$

In allen ausreichend kleinen Umgebungen $M_1(0;0)$ gilt $x^2-2< 0$, посему $x^2(x^2-2) < 0$, откуда следует $x^2(x^2-2)+3 < 3$. Вывод: любая окрестность точки $M_1(0;0)$ содержит точки, в которых $z < 3$, посему точка $M_1(0;0)$ не может быть точкой минимума.

Aber vielleicht ist der Punkt $M_1(0;0)$ ein Maximalpunkt? Wenn das so ist, dann erhalten wir für jeden Punkt $M$ aus einer Umgebung des Punktes $M_1(0;0)$ $z(M)< z(M_1) $, т.е. $z(M) < 3$. А вдруг любая окрестность содержит точки, в которых $z(M) >3$? Dann wird es am Punkt $M_1$ definitiv kein Maximum geben.

Betrachten Sie Punkte, für die $y=x$, d.h. Punkte der Form $(x,x)$. An diesen Punkten nimmt die Funktion $z$ die folgenden Werte an:

$$ z(x,x)=x^4+x^4-2x^2+4x\cdot x-2\cdot x^2+3=2x^4+3. $$

Da in jeder Umgebung des Punktes $M_1(0;0)$ $2x^4 > 0$ gilt, dann ist $2x^4+3 > 3$. Schlussfolgerung: Jede Umgebung des Punktes $M_1(0;0)$ enthält Punkte, bei denen $z > 3$, daher kann der Punkt $M_1(0;0)$ kein Maximalpunkt sein.

Der Punkt $M_1(0;0)$ ist weder ein Maximum noch ein Minimum. Fazit: $M_1$ ist überhaupt kein Extrempunkt.

Antwort: $(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ - Mindestpunkte der Funktion $z$. An beiden Punkten $z_(min)=-5$.