Eine der klassischen Definitionen des Begriffs „Funktion“ sind Definitionen, die auf Korrespondenzen beruhen. Wir stellen eine Reihe solcher Definitionen vor.

Bestimmung 1

Eine Beziehung, in der jeder Wert der unabhängigen Variablen einem einzelnen Wert der abhängigen Variablen entspricht, wird aufgerufen Funktion.

Bestimmung 2

Gegeben seien zwei nichtleere Mengen $X$ und $Y$. Eine Übereinstimmung $f$, die jedem $x\in X$ ein und nur ein $y\in Y$ zuordnet, wird aufgerufen Funktion($f:X → Y$).

Bestimmung 3

Seien $M$ und $N$ zwei beliebige Zahlenmengen. Es wird gesagt, dass eine Funktion $f$ auf $M$ definiert ist, die Werte von $N$ nimmt, wenn jedes Element von $x\in X$ mit einem und nur einem Element von $N$ verknüpft ist.

Die folgende Definition wird durch das Konzept einer Variablen gegeben. Eine Variable ist eine Größe, die in dieser Studie verschiedene Zahlenwerte annimmt.

Bestimmung 4

Sei $M$ die Wertemenge der Variablen $x$. Wenn dann jeder Wert $x\in M$ einem bestimmten Wert einer anderen Variablen entspricht, ist $y$ eine Funktion des Wertes $x$, der auf der Menge $M$ definiert ist.

Bestimmung 5

Seien $X$ und $Y$ einige Zahlenmengen. Eine Funktion ist eine Menge $f$ von geordneten Zahlenpaaren $(x,\ y)$ derart, dass $x\in X$, $y\in Y$ und jedes $x$ zu einem und nur einem Paar davon gehört gesetzt, und jedes $y$ ist in mindestens einem Paar von .

Bestimmung 6

Jede Menge $f=\(\left(x,\ y\right)\)$ von geordneten Paaren $\left(x,\ y\right)$ so dass für alle Paare $\left(x",\ y" \right)\in f$ und $\left(x"",\ y""\right)\in f$ folgt aus der Bedingung $y"≠ y""$, dass $x"≠x""$ ist eine Funktion oder Anzeige genannt.

Bestimmung 7

Eine Funktion $f:X → Y$ ist eine Menge $f$ von geordneten Paaren $\left(x,\ y\right)\in X\times Y$, sodass es für jedes Element $x\in X$ ein a gibt eindeutiges Element $y\in Y$, so dass $\left(x,\ y\right)\in f$, d. h. die Funktion ist ein Tupel von Objekten $\left(f,\ X,\ Y\right) $.

In diesen Definitionen

$x$ ist eine unabhängige Variable.

$y$ ist die abhängige Variable.

Alle möglichen Werte der Variablen $x$ werden Definitionsbereich der Funktion genannt, und alle möglichen Werte der Variablen $y$ werden Definitionsbereich der Funktion genannt.

Analytische Art, eine Funktion zu definieren

Für diese Methode benötigen wir das Konzept eines analytischen Ausdrucks.

Bestimmung 8

Ein analytischer Ausdruck ist das Produkt aller möglichen mathematischen Operationen an beliebigen Zahlen und Variablen.

Die analytische Art, eine Funktion zu setzen, ist ihre Einstellung unter Verwendung eines analytischen Ausdrucks.

Beispiel 1

$y=x^2+7x-3$, $y=\frac(x+5)(x+2)$, $y=cos5x$.

Vorteile:

1. Mit Formeln können wir den Wert einer Funktion für jeden gegebenen Wert der Variablen $x$ bestimmen;
2. Auf diese Weise definierte Funktionen können mit dem Apparat der mathematischen Analyse untersucht werden.

Minuspunkte:

1. Wenig Sichtbarkeit.
2. Manchmal müssen Sie sehr umständliche Berechnungen durchführen.

Tabellarische Art, eine Funktion zu definieren

Diese Art der Einstellung besteht darin, dass bei mehreren Werten der unabhängigen Variablen die Werte der abhängigen Variablen ausgeschrieben werden. All dies wird in die Tabelle eingetragen.

Beispiel 2

Bild 1.

Plus: Für jeden in die Tabelle eingetragenen Wert der unabhängigen Variablen $x$ wird sofort der entsprechende Wert der Funktion $y$ erkannt.

Minuspunkte:

1. Meistens gibt es keine vollständige Spezifikation der Funktion;
2. Wenig Sichtbarkeit.

Funktionen können auf verschiedene Arten definiert werden. Am gebräuchlichsten sind jedoch die folgenden drei Möglichkeiten, Funktionen zu definieren: analytisch, tabellarisch und grafisch.

Analytische Art, eine Funktion zu definieren. Bei der analytischen Einstellungsmethode wird die Funktion unter Verwendung eines analytischen Ausdrucks definiert, d. h. unter Verwendung einer Formel, die angibt, welche Operationen mit dem Wert des Arguments ausgeführt werden müssen, um den entsprechenden Wert der Funktion zu erhalten.

In den Abschnitten 2 und 3 sind wir bereits Funktionen begegnet, die mit Hilfe von Formeln, also analytisch, definiert wurden. Gleichzeitig wurde in Absatz 2 für die Funktion der Definitionsbereich ) aufgrund geometrischer Überlegungen festgelegt und für die Funktion der Zuordnungsbereich in der Bedingung angegeben. In Abschnitt 3 wurde für die Funktion auch der Definitionsbereich durch Bedingung spezifiziert. Sehr oft wird eine Funktion jedoch ohne weitere Bedingungen nur mit Hilfe eines analytischen Ausdrucks (Formel) spezifiziert. Unter Definitionsbereich einer Funktion verstehen wir in solchen Fällen die Menge all jener Werte des Arguments, für die dieser Ausdruck sinnvoll ist und zu den eigentlichen Werten der Funktion führt.

Beispiel 1. Ermitteln Sie den Geltungsbereich einer Funktion

Entscheidung. Die Funktion ist nur durch eine Formel definiert, ihr Umfang ist nicht festgelegt, und es gibt keine zusätzlichen Bedingungen. Daher müssen wir unter der Domäne dieser Funktion die Gesamtheit aller Werte des Arguments verstehen, für die der Ausdruck reale Werte hat. Dafür sollte es geben. Wenn wir diese Ungleichung lösen, kommen wir zu dem Schluss, dass der Definitionsbereich dieser Funktion das Segment [-1.1] ist.

Beispiel 2. Ermitteln Sie den Gültigkeitsbereich einer Funktion.

Entscheidung. Der Definitionsbereich besteht offensichtlich aus zwei unendlichen Intervallen, da der Ausdruck nicht sinnvoll und sinnvoll ist, wenn a für alle anderen Werte definiert ist.

Der Leser wird nun leicht erkennen, dass der Definitionsbereich für eine Funktion die gesamte numerische Achse und für eine Funktion ein unendliches Intervall ist

Es ist zu beachten, dass es unmöglich ist, eine Funktion und eine Formel zu identifizieren, mit der diese Funktion angegeben wird. Mit derselben Formel können Sie verschiedene Funktionen definieren. Tatsächlich haben wir in Abschnitt 2 eine Funktion mit einem Definitionsbereich betrachtet, in Abschnitt 3 wurde ein Graph für eine Funktion mit einem Definitionsbereich konstruiert. Und schließlich haben wir gerade eine Funktion betrachtet, die nur durch eine Formel ohne zusätzliche Bedingungen definiert ist. Der Geltungsbereich dieser Funktion ist die gesamte Zahlenachse. Diese drei Funktionen unterscheiden sich, weil sie unterschiedliche Geltungsbereiche haben. Aber sie werden mit der gleichen Formel eingestellt.

Auch der umgekehrte Fall ist möglich, wenn eine Funktion in verschiedenen Teilen ihres Definitionsbereichs durch unterschiedliche Formeln gegeben ist. Betrachten Sie zum Beispiel eine Funktion y, die für alle nicht negativen Werte wie folgt definiert ist: für at d.h.

Diese Funktion wird durch zwei analytische Ausdrücke definiert, die auf verschiedene Teile ihres Definitionsbereichs wirken. Der Graph dieser Funktion ist in Abb. achtzehn.

Tabellarische Art, eine Funktion zu definieren. Wenn eine Funktion in einer Tabelle angegeben wird, wird eine Tabelle erstellt, in der eine Reihe von Argumentwerten und entsprechenden Funktionswerten angegeben sind. Logarithmische Tabellen, Wertetabellen trigonometrischer Funktionen und viele andere sind weithin bekannt. Sehr oft ist es notwendig, Tabellen von Funktionswerten zu verwenden, die direkt aus Erfahrung gewonnen wurden. Die folgende Tabelle zeigt die aus Erfahrung gewonnenen spezifischen Widerstände von Kupfer (in cm - Zentimeter) bei verschiedenen Temperaturen t (in Grad):

Grafische Art, eine Funktion zu definieren. Wenn eine grafische Aufgabe gegeben wird, wird der Graph der Funktion angegeben, und ihre Werte, die bestimmten Werten des Arguments entsprechen, werden direkt aus diesem Graphen gefunden. In vielen Fällen werden solche Grafiken mit selbstaufzeichnenden Geräten erstellt.

Die wichtigsten Arten der Funktionsspezifikation werden angegeben: explizit analytisch; Intervall; parametrisch; implizit; Definieren einer Funktion unter Verwendung einer Reihe; tabellarisch; Grafik. Beispiele für die Anwendung dieser Methoden

Es gibt folgende Möglichkeiten, die Funktion y = f zu definieren (x):

1. Eine explizite analytische Methode, die eine Formel der Form y = f verwendet (x).
2. Intervall.
3. Parametrisch: x = x (t) , y = y(t).
4. Implizit als Lösung von Gleichung F (x, y) = 0.
5. In Form einer Reihe bekannter Funktionen.
6. Tabellarisch.
7. Grafik.

Explizite Art, eine Funktion zu definieren

Beim explizite Weise, wird der Wert der Funktion durch die Formel bestimmt, die die Gleichung y = f ist (x). Auf der linken Seite dieser Gleichung befindet sich die abhängige Variable y und auf der rechten Seite ein Ausdruck, der sich aus der unabhängigen Variablen x, Konstanten, bekannten Funktionen und Additions-, Subtraktions-, Multiplikations- und Divisionsoperationen zusammensetzt. Bekannte Funktionen sind elementare Funktionen und Sonderfunktionen, deren Werte computertechnisch berechnet werden können.

Hier sind einige Beispiele für die explizite Definition einer Funktion mit einer unabhängigen Variablen x und einer abhängigen Variablen y :
;
;
.

Intervallmethode zum Definieren einer Funktion

Beim Intervallmethode zum Einstellen einer Funktion, wird der Definitionsbereich in mehrere Intervalle unterteilt und die Funktion für jedes Intervall separat angegeben.

Hier sind einige Beispiele für die Intervallmethode zum Definieren einer Funktion:

Parametrische Art, eine Funktion zu definieren

Beim parametrische Methode, wird eine neue Variable eingeführt, die als Parameter bezeichnet wird. Als nächstes werden die x- und y-Werte als Funktionen des Parameters eingestellt, wobei die explizite Art der Einstellung verwendet wird:
(1)

Hier sind Beispiele für eine parametrische Methode zum Definieren einer Funktion mit dem t-Parameter:

Der Vorteil der parametrischen Methode besteht darin, dass dieselbe Funktion auf unendlich viele Arten definiert werden kann. Eine Funktion kann beispielsweise wie folgt definiert werden:

Und so ist es möglich:

Diese Wahlfreiheit ermöglicht es Ihnen in einigen Fällen, diese Methode zum Lösen von Gleichungen anzuwenden (siehe "Differentialgleichungen, die keine der Variablen enthalten"). Die Essenz der Anwendung besteht darin, dass wir zwei Funktionen und anstelle der Variablen x und y in die Gleichung einsetzen. Dann legen wir einen davon nach eigenem Ermessen fest, damit der andere aus der resultierenden Gleichung bestimmt werden kann.

Diese Methode wird auch verwendet, um Berechnungen zu vereinfachen. Beispielsweise lässt sich die Abhängigkeit der Koordinaten der Punkte einer Ellipse mit den Halbachsen a und b wie folgt darstellen:
.
In einer parametrischen Form kann dieser Abhängigkeit eine einfachere Form gegeben werden:
.

Gleichungen (1) sind nicht die einzige Möglichkeit, eine Funktion parametrisch zu definieren. Sie können nicht nur einen, sondern mehrere Parameter eingeben, indem Sie sie mit zusätzlichen Gleichungen verknüpfen. Sie können beispielsweise zwei Parameter und eingeben. Dann sieht die Funktionsdefinition so aus:

Hier kommt eine zusätzliche Gleichung, die die Parameter betrifft. Wenn die Anzahl der Parameter n ist, muss es n geben - 1 zusätzliche Gleichungen.

Ein Beispiel für die Verwendung mehrerer Parameter finden Sie auf der Seite zur Jacobi-Differentialgleichung. Dort wird die Lösung in folgender Form gesucht:
(2) .
Das Ergebnis ist ein Gleichungssystem. Um es zu lösen, wird ein vierter Parameter t eingeführt. Nach dem Lösen des Systems erhält man drei Gleichungen, die vier Parameter und in Beziehung setzen.

Implizite Art, eine Funktion zu definieren

Beim implizite Weise, wird der Wert der Funktion aus der Lösung der Gleichung bestimmt .

Die Gleichung für eine Ellipse lautet beispielsweise:
(3) .
Dies ist eine einfache Gleichung. Betrachten wir nur den oberen Teil der Ellipse, so können wir die Variable y explizit als Funktion von x ausdrücken:
(4) .
Aber selbst wenn es möglich ist, (3) auf eine explizite Art der Spezifikation der Funktion (4) zu reduzieren, ist die Verwendung der letzten Formel nicht immer bequem. Um beispielsweise die Ableitung zu finden, ist es zweckmäßig, Gleichung (3) statt (4) zu differenzieren:
;
.

Einstellen einer Funktion in der Nähe

Eine äußerst wichtige Art, eine Funktion zu definieren, ist to Zeilendarstellung zusammengesetzt aus bekannten Funktionen. Mit dieser Methode können Sie die Funktion mit mathematischen Methoden untersuchen und ihre Werte für angewandte Probleme berechnen.

Die gebräuchlichste Darstellung besteht darin, eine Funktion mithilfe einer Potenzreihe zu definieren. In diesem Fall werden eine Reihe von Potenzfunktionen verwendet:
.
Es wird auch eine Reihe mit negativen Exponenten verwendet:
.
Die Sinusfunktion hat beispielsweise die folgende Erweiterung:
(5) .
Solche Erweiterungen werden in der Informatik häufig verwendet, um die Werte von Funktionen zu berechnen, da sie es ermöglichen, Berechnungen auf arithmetische Operationen zu reduzieren.

Lassen Sie uns zur Veranschaulichung den Wert des Sinus von 30° mithilfe der Erweiterung (5) berechnen.
Grad in Radiant umrechnen:
.
Ersatz in (5):



.

In der Mathematik sind neben Potenzreihen Erweiterungen in trigonometrische Reihen in Funktionen und sowie in anderen speziellen Funktionen weit verbreitet. Mit Hilfe von Reihen kann man Integrale, Gleichungen (Differential, Integral, in partiellen Ableitungen) näherungsweise berechnen und deren Lösungen untersuchen.

Tabellarische Art, eine Funktion zu definieren

Beim tabellarischer Weg zum Einstellen einer Funktion Wir haben eine Tabelle, die die Werte der unabhängigen Variablen x und die entsprechenden Werte der abhängigen Variablen y enthält. Die unabhängigen und abhängigen Variablen können unterschiedliche Bezeichnungen haben, aber wir verwenden hier x und y. Um den Wert einer Funktion für einen gegebenen Wert von x zu bestimmen, verwenden wir die Tabelle, um den Wert von x zu finden, der unserem Wert am nächsten kommt. Danach bestimmen wir den entsprechenden Wert der abhängigen Variablen y .

Für eine genauere Definition des Funktionswerts gehen wir davon aus, dass die Funktion zwischen zwei benachbarten Werten von x linear ist, dh sie hat die folgende Form:
.
Hier sind die Werte der gefundenen Funktion aus der Tabelle, mit den entsprechenden Werten der Argumente.
Betrachten Sie ein Beispiel. Lassen Sie uns den Wert der Funktion bei finden. Aus der Tabelle finden wir:
.
Dann

.
Genauer Wert:
.
Aus diesem Beispiel ist ersichtlich, dass die Verwendung einer linearen Approximation zu einer Erhöhung der Genauigkeit bei der Bestimmung des Wertes der Funktion führte.

Die tabellarische Methode wird in den angewandten Wissenschaften verwendet. Vor der Entwicklung der Computertechnologie wurde es häufig in Ingenieurwissenschaften und anderen Berechnungen verwendet. Jetzt wird die tabellarische Methode in der Statistik und den experimentellen Wissenschaften verwendet, um experimentelle Daten zu sammeln und zu analysieren.

Grafische Art, eine Funktion zu definieren

Beim grafische Weise, Der Wert der Funktion wird aus dem Diagramm bestimmt, auf dessen Abszissenachse die Werte der unabhängigen Variablen aufgetragen sind, und auf der Ordinatenachse - der abhängigen Variablen.

Die grafische Methode gibt eine visuelle Darstellung des Verhaltens der Funktion. Die Ergebnisse der Untersuchung einer Funktion werden oft durch ihren Graphen veranschaulicht. Aus dem Diagramm können Sie den ungefähren Wert der Funktion bestimmen. Damit können Sie die grafische Methode in den angewandten und ingenieurwissenschaftlichen Wissenschaften anwenden.

>>Mathe: Möglichkeiten, eine Funktion zu definieren

Möglichkeiten, eine Funktion einzustellen

Indem wir im vorherigen Absatz verschiedene Beispiele für Funktionen gegeben haben, haben wir das eigentliche Konzept einer Funktion etwas verarmt.

Eine Funktion zu setzen bedeutet schließlich, eine Regel anzugeben, die es erlaubt, für einen willkürlich gewählten Wert von x aus B(0) den entsprechenden Wert von y zu berechnen, meist verbunden mit einer Formel oder mit mehreren Formeln - diese Art, eine Funktion zu spezifizieren, wird normalerweise als analytisch bezeichnet. Alle in § 7 betrachteten Funktionen wurden analytisch spezifiziert, aber es gibt andere Arten, die Funktion zu spezifizieren, die in diesem Abschnitt besprochen werden.

Wenn die Funktion analytisch spezifiziert wurde und wir es geschafft haben, den Graphen der Funktion zu zeichnen, dann haben wir tatsächlich von der analytischen Methode zur Spezifizierung der Funktion zur grafischen gewechselt. Der umgekehrte Übergang ist nicht immer möglich. Dies ist in der Regel eine eher schwierige, aber interessante Aufgabe.

Nicht jede Linie auf der Koordinatenebene kann als Graph einer Funktion betrachtet werden. Beispielsweise ist der durch die Gleichung x 2 + y 2 - 9 definierte Kreis (Abb. 51) kein Funktionsgraph, da jede gerade Linie x = a, wobei | ein |<3, пересекает эту линию в д в у х точках (а для задания функции таких точек должно быть не более одной, т.е. прямая х = а должна пересекать линию F только в одной точке либо вообще не должна ее пересекать).

Wenn dieser Kreis gleichzeitig in zwei Teile geschnitten wird - den oberen Halbkreis (Abb. 52) und den unteren Halbkreis (Abb. 53), kann jeder der Halbkreise als Graph einer Funktion betrachtet werden, und zwar in beiden Fällen Es ist einfach, von der grafischen Methode zur Spezifikation der Funktion zur Analyse zu wechseln.

Aus der Gleichung x 2 + y 2 \u003d 9 finden wir y 2 \u003d 9 - x 2 und weiter Der Graph der Funktion ist der obere Halbkreis des Kreises x 2 + y 2 \u003d 9 (Abb. 52), und der Graph der Funktion ist der untere Halbkreis des Kreises x 2 + y 2 \u003d 9 (Abb. 53).

Dieses Beispiel erlaubt uns, auf einen wesentlichen Umstand aufmerksam zu machen. Betrachten Sie den Graphen der Funktion (Abb. 52). Es ist sofort klar, dass D(f) = [-3, 3]. Und wenn wir davon sprächen, den Definitionsbereich einer analytisch gegebenen Funktion zu finden, dann müssten wir, wie in § 7, Zeit und Mühe aufwenden, um die Ungleichung zu lösen, weshalb sie normalerweise versuchen, mit beiden gleichzeitig zu arbeiten analytische und graphische Methoden zur Definition von Funktionen. Daran hat man sich aber nach zwei Jahren Algebrakurs in der Schule schon gewöhnt.

Neben analytischen und grafischen Verfahren wird in der Praxis eine tabellarische Methode zum Einstellen einer Funktion verwendet. Bei dieser Methode wird eine Tabelle bereitgestellt, in der für eine endliche Menge von Argumentwerten die Werte der Funktion (mal exakt, mal ungefähr) angegeben sind. Als Beispiele für eine tabellarische Definition einer Funktion können Tabellen von Zahlenquadraten, Kubikzahlen, Quadratwurzeln usw. dienen.

In vielen Fällen ist eine tabellarische Definition einer Funktion praktisch. Es ermöglicht Ihnen, den Wert der Funktion für die Werte des Arguments in der Tabelle ohne Berechnungen zu finden.

Analytisch, grafisch, tabellarisch - die tabellarischsten, einfacheren und damit beliebtesten verbalen Funktionszuweisungen, diese Methoden reichen für unsere Bedürfnisse völlig aus. Tatsächlich gibt es in der Mathematik einige verschiedene Möglichkeiten, eine Funktion zu definieren, aber wir stellen Ihnen nur eine weitere Möglichkeit vor, die in sehr besonderen Situationen verwendet wird. Wir sprechen von der verbalen Methode, wenn die Regel zum Einstellen einer Funktion in Worten beschrieben wird. Lassen Sie uns Beispiele geben.

Beispiel 1

Die Funktion y \u003d f (x) wird anhand der folgenden Regel für die Menge aller nicht negativen Zahlen definiert: Jeder Zahl x > 0 wird die erste Dezimalstelle in der Dezimalschreibweise der Zahl x zugewiesen. Wenn, sagen wir, x \u003d 2,534, dann f (x) \u003d 5 (die erste Dezimalstelle ist die Zahl 5); wenn x = 13,002, dann f(x) = 0; Wenn wir dann in Form eines unendlichen Dezimalbruchs 0,6666 ... schreiben, finden wir f (x) \u003d 6. Und was ist der Wert von f (15)? Es ist gleich 0, da 15 = 15.000... , und wir sehen, dass die erste Dezimalstelle nach dem Komma 0 ist (eigentlich ist die Gleichheit 15 = 14.999... auch wahr, aber die Mathematiker haben sich darauf geeinigt, dies nicht zu berücksichtigen unendliche periodische Dezimalbrüche mit einer Periode neun).

Jede nicht negative Zahl x kann als Dezimalbruch (endlich oder unendlich) geschrieben werden, und daher können Sie für jeden Wert von x einen bestimmten Wert der ersten Dezimalstelle finden, sodass wir von einer Funktion sprechen können, wenn auch etwas ungewöhnlich. Diese Funktion hat
Beispiel 2

Die Funktion y \u003d f (x) wird anhand der folgenden Regel für die Menge aller reellen Zahlen definiert: Jeder Zahl x wird die größte aller ganzen Zahlen zugewiesen, die x nicht überschreiten. Mit anderen Worten, die Funktion y \u003d f (x) wird durch die folgenden Bedingungen bestimmt:

a) f(x) ist eine ganze Zahl;
b) f(x)< х (поскольку f(х) не превосходит х);
c) f(x) + 1 > x (da f(x) die größte ganze Zahl ist, die x nicht überschreitet, dann ist f(x) + 1 bereits größer als r). Wenn beispielsweise x \u003d 2,534, dann f (x) \u003d 2, da 2 erstens eine ganze Zahl ist, zweitens 2< 2,534 и, в-третьих, следующее целое число 3 уже больше, чем 2,534. Если х = 47, то /(х) = 47, поскольку, во-первых, 47 - целое число, во-вторых, 47< 47 (точнее, 47 = 47) и, в-третьих, следующее за числом 47 целое число 48 уже больше, чем 47. А чему равно значение f(-0,(23))? Оно равно -1. Проверяйте: -1 - наибольшее из всех целых чисел, которые не превосходят числа -0,232323....

Diese Funktion hat (Satz von ganzen Zahlen).

Die in Beispiel 2 besprochene Funktion heißt ganzzahliger Teil der Zahl; Verwenden Sie für den ganzzahligen Teil der Zahl x die Notation [x]. Beispiel: = 2, = 47, [-0,(23)] = -1. Der Graph der Funktion y \u003d [x] sieht sehr eigenartig aus (Abb. 54).

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Eine Funktion zu setzen bedeutet, eine Regel (ein Gesetz) aufzustellen, mit deren Hilfe wir gemäß den gegebenen Werten der unabhängigen Variablen die entsprechenden Werte der Funktion finden. Sehen wir uns verschiedene Möglichkeiten an, eine Funktion zu definieren.

Dieser Eintrag definiert die Temperatur T als Funktion der Zeit t:T=f(t). Die Vorteile der tabellarischen Angabe einer Funktion liegen darin, dass sich ohne zusätzliche Änderungen oder Berechnungen sofort bestimmte spezifische Werte der Funktion ermitteln lassen. Nachteile: definiert die Funktion nicht vollständig, sondern nur für einige Werte des Arguments; gibt keine visuelle Darstellung der Art der Änderung der Funktion bei einer Änderung des Arguments.

2. Grafischer Weg.Plan die Funktion y=f(x) ist die Menge aller Punkte in der Ebene, deren Koordinaten die gegebene Gleichung erfüllen. Es kann eine Kurve sein, insbesondere eine gerade Linie, eine Menge von Punkten auf einer Ebene.

Der Vorteil ist die Sichtbarkeit, der Nachteil ist, dass es nicht möglich ist, die Werte des Arguments genau zu bestimmen. In Technik und Physik ist es oft die einzige Möglichkeit, eine Funktion einzustellen, z. B. bei der Verwendung von Schreibern, die automatisch die Änderung eines Werts relativ zu einem anderen aufzeichnen (Barograph, Thermograph usw.).

3. Analytische Methode. Nach diesem Verfahren wird die Funktion mit Hilfe einer Formel analytisch spezifiziert. Dieses Verfahren ermöglicht es, zu jedem Zahlenwert des Arguments x den entsprechenden Zahlenwert der Funktion y genau oder mit einiger Genauigkeit zu finden.

Bei der analytischen Methode kann die Funktion durch mehrere verschiedene Formeln angegeben werden. Zum Beispiel die Funktion

definiert im Definitionsbereich [- , 15] mit drei Formeln.

Wenn die Beziehung zwischen x und y durch eine nach y aufgelöste Formel gegeben ist, d.h. hat die Form y \u003d f (x) , dann sagen sie, dass die Funktion von x zum Beispiel explizit gegeben ist. Wenn die Werte x und y durch eine Gleichung der Form F(x, y) = 0 in Beziehung stehen, d.h. formel in Bezug auf y nicht erlaubt, dann heißt die Funktion implizit definiert. Zum Beispiel,. Beachten Sie, dass nicht jede implizite Funktion als y \u003d f (x) dargestellt werden kann, im Gegenteil, jede explizite Funktion kann immer als implizite dargestellt werden:
. Eine andere Art der analytischen Spezifikation einer Funktion ist parametrisch, wenn das Argument x und die Funktion y Funktionen der dritten Größe - des Parameters t sind:
, wo
, T ist ein Intervall. Diese Methode ist in der Mechanik und Geometrie weit verbreitet.

Der analytische Weg ist der gebräuchlichste Weg, um eine Funktion zu definieren. Kompaktheit, die Fähigkeit, den Apparat der mathematischen Analyse auf eine bestimmte Funktion anzuwenden, die Fähigkeit, die Werte einer Funktion für beliebige Werte des Arguments zu berechnen, sind ihre Hauptvorteile.

4. Verbale Weise. Diese Methode besteht darin, dass die funktionale Abhängigkeit in Worten ausgedrückt wird. Beispielsweise ist die Funktion E (x) der ganzzahlige Teil der Zahl x, die Dirichlet-Funktion, die Riemann-Funktion, n!, r (n) ist die Anzahl der Teiler einer natürlichen Zahl n.

5. Semigrafische Methode. Hier werden die Funktionswerte als Segmente dargestellt, und die Argumentwerte werden als Zahlen an den Enden der Segmente dargestellt, die die Werte der Funktion angeben. So gibt es zum Beispiel in einem Thermometer eine Skala mit gleichen Teilungen, die Zahlen haben. Diese Zahlen sind die Werte des Arguments (Temperatur). Sie stehen an der Stelle, die die graphische Verlängerung der Quecksilbersäule (Funktionswerte) aufgrund ihrer Volumenausdehnung infolge von Temperaturänderungen bestimmt.