Eine der wichtigsten Wissenschaften, deren Anwendung in Disziplinen wie Chemie, Physik und sogar Biologie zu sehen ist, ist die Mathematik. Das Studium dieser Wissenschaft ermöglicht es Ihnen, einige geistige Qualitäten zu entwickeln und die Konzentrationsfähigkeit zu verbessern. Eines der Themen, die im Kurs "Mathematik" besondere Aufmerksamkeit verdienen, ist die Addition und Subtraktion von Brüchen. Vielen Studenten fällt das Lernen schwer. Vielleicht hilft unser Artikel, dieses Thema besser zu verstehen.

Wie man Brüche subtrahiert, deren Nenner gleich sind

Brüche sind die gleichen Zahlen, mit denen Sie verschiedene Aktionen ausführen können. Ihr Unterschied zu ganzen Zahlen liegt im Vorhandensein eines Nenners. Aus diesem Grund müssen Sie beim Ausführen von Aktionen mit Brüchen einige ihrer Funktionen und Regeln studieren. Der einfachste Fall ist die Subtraktion gewöhnlicher Brüche, deren Nenner als gleiche Zahl dargestellt werden. Es wird nicht schwierig sein, diese Aktion auszuführen, wenn Sie eine einfache Regel kennen:

• Um die Sekunde von einem Bruch zu subtrahieren, muss der Zähler des zu subtrahierenden Bruchs vom Zähler des gekürzten Bruchs subtrahiert werden. Wir schreiben diese Zahl in den Zähler der Differenz und lassen den Nenner gleich: k / m - b / m = (k-b) / m.

Beispiele für das Subtrahieren von Brüchen, deren Nenner gleich sind

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Subtrahieren Sie vom Zähler des reduzierten Bruchs "7" den Zähler des subtrahierten Bruchs "3", wir erhalten "4". Wir schreiben diese Zahl in den Zähler der Antwort und setzen in den Nenner dieselbe Zahl, die in den Nennern des ersten und zweiten Bruchs stand - "19".

Das Bild unten zeigt einige weitere solcher Beispiele.

Betrachten Sie ein komplexeres Beispiel, bei dem Brüche mit demselben Nenner subtrahiert werden:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Vom Zähler des reduzierten Bruchs "29" durch Subtrahieren der Zähler aller nachfolgenden Brüche - "3", "8", "2", "7". Als Ergebnis erhalten wir das Ergebnis "9", das wir in den Zähler der Antwort schreiben, und in den Nenner schreiben wir die Zahl, die sich in den Nennern all dieser Brüche befindet - "47".

Brüche mit gleichem Nenner addieren

Die Addition und Subtraktion gewöhnlicher Brüche erfolgt nach dem gleichen Prinzip.

• Um Brüche mit gleichem Nenner zu addieren, musst du die Zähler addieren. Die resultierende Zahl ist der Zähler der Summe, und der Nenner bleibt gleich: k/m + b/m = (k + b)/m.

Mal sehen, wie es in einem Beispiel aussieht:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Zum Zähler des ersten Glieds des Bruchs - "1" - addieren wir den Zähler des zweiten Glieds des Bruchs - "2". Das Ergebnis - "3" - wird in den Zähler des Betrags geschrieben, und der Nenner bleibt der gleiche wie in den Brüchen - "4".

Brüche mit verschiedenen Nennern und ihre Subtraktion

Wir haben bereits die Wirkungsweise mit Brüchen betrachtet, die den gleichen Nenner haben. Wie Sie sehen können, ist das Lösen solcher Beispiele mit einfachen Regeln recht einfach. Aber was ist, wenn Sie eine Aktion mit Brüchen ausführen müssen, die unterschiedliche Nenner haben? Viele Gymnasiasten sind durch solche Beispiele verwirrt. Aber auch hier, wenn Sie das Prinzip der Lösung kennen, werden Ihnen die Beispiele nicht mehr schwer fallen. Auch hier gibt es eine Regel, ohne die das Lösen solcher Brüche einfach unmöglich ist.

Um Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu subtrahieren, müssen sie auf denselben kleinsten Nenner gekürzt werden.



Wir werden ausführlicher darüber sprechen, wie dies zu tun ist.

Brucheigenschaft

Um mehrere Brüche auf denselben Nenner zu bringen, müssen Sie die Haupteigenschaft des Bruchs in der Lösung verwenden: Nachdem Sie Zähler und Nenner mit derselben Zahl dividiert oder multipliziert haben, erhalten Sie einen Bruch, der dem angegebenen entspricht.

So kann beispielsweise der Bruch 2/3 Nenner wie „6“, „9“, „12“ usw. haben, das heißt, er kann wie eine beliebige Zahl aussehen, die ein Vielfaches von „3“ ist. Nachdem wir Zähler und Nenner mit „2“ multipliziert haben, erhalten wir einen Bruch von 4/6. Nachdem wir Zähler und Nenner des ursprünglichen Bruchs mit "3" multipliziert haben, erhalten wir 6/9, und wenn wir eine ähnliche Aktion mit der Zahl "4" ausführen, erhalten wir 8/12. In einer Gleichung kann dies geschrieben werden als:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Wie man mehrere Brüche auf den gleichen Nenner bringt

Überlegen Sie, wie Sie mehrere Brüche auf denselben Nenner kürzen können. Nehmen Sie zum Beispiel die im Bild unten gezeigten Brüche. Zuerst müssen Sie bestimmen, welche Zahl der Nenner für alle werden kann. Um es einfacher zu machen, zerlegen wir die verfügbaren Nenner in Faktoren.

Der Nenner des Bruchs 1/2 und des Bruchs 2/3 kann nicht faktorisiert werden. Der Nenner von 7/9 hat zwei Teiler 7/9 = 7/(3 x 3), der Nenner des Bruchs 5/6 = 5/(2 x 3). Jetzt müssen Sie bestimmen, welche Faktoren für alle diese vier Brüche die kleinsten sein werden. Da der erste Bruch die Zahl „2“ im Nenner hat, bedeutet dies, dass er in allen Nennern vorhanden sein muss, im Bruch 7/9 gibt es zwei Tripel, was bedeutet, dass beide auch im Nenner vorhanden sein müssen. Angesichts des Obigen stellen wir fest, dass der Nenner aus drei Faktoren besteht: 3, 2, 3 und gleich 3 x 2 x 3 = 18 ist.



Betrachten Sie den ersten Bruchteil - 1/2. Sein Nenner enthält "2", aber es gibt keine einzelne "3", sondern es sollten zwei sein. Dazu multiplizieren wir den Nenner mit zwei Tripel, aber gemäß der Brucheigenschaft müssen wir den Zähler mit zwei Tripel multiplizieren:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

In ähnlicher Weise führen wir Aktionen mit den verbleibenden Fraktionen durch.

• 2/3 - im Nenner fehlen eins drei und eins zwei:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 oder 7/(3 x 3) - dem Nenner fehlen zwei:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 oder 5/(2 x 3) - dem Nenner fehlt ein Tripel:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Alles zusammen sieht so aus:



Brüche mit unterschiedlichen Nennern subtrahieren und addieren

Wie oben erwähnt, müssen zum Addieren oder Subtrahieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern diese auf denselben Nenner gekürzt werden und dann die bereits beschriebenen Regeln zum Subtrahieren von Brüchen mit demselben Nenner angewendet werden.

Betrachten Sie dies anhand eines Beispiels: 4/18 - 3/15.

Vielfache von 18 und 15 finden:

• Die Zahl 18 besteht aus 3 x 2 x 3.
• Die Zahl 15 besteht aus 5 x 3.
• Das gemeinsame Vielfache besteht aus den folgenden Faktoren 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Nachdem der Nenner gefunden wurde, muss ein Faktor berechnet werden, der für jeden Bruch unterschiedlich ist, dh die Zahl, mit der nicht nur der Nenner, sondern auch der Zähler multipliziert werden muss. Dazu dividieren wir die gefundene Zahl (gemeinsames Vielfaches) durch den Nenner des Bruches, für den weitere Faktoren bestimmt werden müssen.

• 90 geteilt durch 15. Die resultierende Zahl „6“ ist ein Multiplikator für 3/15.
• 90 geteilt durch 18. Die resultierende Zahl "5" ist ein Multiplikator für 4/18.

Der nächste Schritt in unserer Lösung besteht darin, jeden Bruch auf den Nenner „90“ zu bringen.

Wie das geht, haben wir bereits besprochen. Mal sehen, wie dies in einem Beispiel geschrieben wird:

(4 x 5) / (18 x 5) - (3 x 6) / (15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Handelt es sich um Brüche mit kleinen Zahlen, dann kannst du den gemeinsamen Nenner bestimmen, wie im Beispiel im Bild unten gezeigt.



Ähnlich produziert und mit unterschiedlichen Nennern.

Subtraktion und mit ganzzahligen Teilen

Die Subtraktion von Brüchen und deren Addition haben wir bereits ausführlich analysiert. Aber wie subtrahiert man, wenn der Bruch einen ganzzahligen Teil hat? Lassen Sie uns wieder ein paar Regeln verwenden:

• Wandeln Sie alle Brüche, die einen ganzzahligen Teil haben, in unechte Brüche um. In einfachen Worten, entfernen Sie das gesamte Teil. Dazu wird die Zahl des ganzzahligen Teils mit dem Nenner des Bruchs multipliziert, das resultierende Produkt zum Zähler addiert. Die Zahl, die nach diesen Aktionen erhalten wird, ist der Zähler eines unechten Bruchs. Der Nenner bleibt unverändert.
• Wenn Brüche unterschiedliche Nenner haben, sollten sie auf denselben gekürzt werden.
• Führe Addition oder Subtraktion mit denselben Nennern durch.
• Wenn Sie einen unechten Bruch erhalten, wählen Sie den ganzen Teil aus.



Es gibt eine andere Möglichkeit, Brüche mit ganzzahligen Teilen zu addieren und zu subtrahieren. Dazu werden Aktionen getrennt mit ganzzahligen Teilen und getrennt mit Brüchen ausgeführt und die Ergebnisse zusammen aufgezeichnet.



Das obige Beispiel besteht aus Brüchen, die den gleichen Nenner haben. Falls die Nenner unterschiedlich sind, müssen sie auf den gleichen reduziert werden, und dann folgen Sie den Schritten, wie im Beispiel gezeigt.

Brüche von einer ganzen Zahl subtrahieren

Eine andere Art von Aktionen mit Brüchen ist der Fall, wenn der Bruch subtrahiert werden muss. Auf den ersten Blick scheint ein solches Beispiel schwierig zu lösen. Hier ist jedoch alles ganz einfach. Um es zu lösen, ist es notwendig, eine ganze Zahl in einen Bruch umzuwandeln, und zwar mit einem solchen Nenner, der sich in dem zu subtrahierenden Bruch befindet. Als nächstes führen wir eine Subtraktion ähnlich der Subtraktion mit denselben Nennern durch. Zum Beispiel sieht es so aus:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Die in diesem Artikel gegebene Subtraktion von Brüchen (Klasse 6) ist die Grundlage für die Lösung komplexerer Beispiele, die in nachfolgenden Klassen behandelt werden. Das Wissen zu diesem Thema wird anschließend verwendet, um Funktionen, Ableitungen usw. zu lösen. Daher ist es sehr wichtig, die oben besprochenen Aktionen mit Brüchen zu verstehen und zu verstehen.

Die Regeln zum Addieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern sind sehr einfach.

Beachten Sie die Regeln zum schrittweisen Addieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern:

1. Ermitteln Sie das LCM (kleinstes gemeinsames Vielfaches) der Nenner. Das resultierende LCM ist der gemeinsame Nenner der Brüche;

2. Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen;

3. Addiere auf einen gemeinsamen Nenner gekürzte Brüche.

Anhand eines einfachen Beispiels lernen wir, wie man die Regeln zum Addieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern anwendet.

Beispiel

Ein Beispiel für das Addieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern.

Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren:

1	+	5
6		12

Entscheiden wir Schritt für Schritt.

1. Ermitteln Sie das LCM (kleinstes gemeinsames Vielfaches) der Nenner.

Die Zahl 12 ist durch 6 teilbar.

Daraus schließen wir, dass 12 das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 6 und 12 ist.

Antwort: Das Nok der Zahlen 6 und 12 ist 12:

LCM(6, 12) = 12

Das resultierende NOC ist der gemeinsame Nenner der beiden Brüche 1/6 und 5/12.

2. Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen.

In unserem Beispiel muss nur der erste Bruch auf einen gemeinsamen Nenner von 12 gekürzt werden, da der zweite Bruch bereits einen Nenner von 12 hat.

Teilen Sie den gemeinsamen Nenner von 12 durch den Nenner des ersten Bruchs:

2 hat einen zusätzlichen Multiplikator.

Multipliziere Zähler und Nenner des ersten Bruchs (1/6) mit einem zusätzlichen Faktor von 2.

Beachten Sie! Bevor Sie eine endgültige Antwort schreiben, prüfen Sie, ob Sie den Bruchteil, den Sie erhalten haben, reduzieren können.

Subtraktion von Brüchen mit gleichem Nenner Beispiele:

,

,

Einen echten Bruch von eins subtrahieren.

Wenn von der Einheit ein korrekter Bruch subtrahiert werden muss, wird die Einheit in die Form eines unechten Bruchs umgewandelt, dessen Nenner gleich dem Nenner des subtrahierten Bruchs ist.

Ein Beispiel für das Subtrahieren eines echten Bruchs von einem:

Der Nenner des zu subtrahierenden Bruchs = 7 , d.h. wir stellen die Einheit als unechten Bruch 7/7 dar und subtrahieren nach der Subtraktionsregel für Brüche mit gleichem Nenner.

Einen echten Bruch von einer ganzen Zahl subtrahieren.

Regeln zum Subtrahieren von Brüchen - Korrigieren von Integer (natürliche Zahl):

• Wir übersetzen die gegebenen Brüche, die einen ganzzahligen Teil enthalten, in unechte Brüche. Wir erhalten normale Terme (es spielt keine Rolle, ob sie verschiedene Nenner haben), die wir nach den oben angegebenen Regeln betrachten;
• Als nächstes berechnen wir die Differenz der Brüche, die wir erhalten haben. Als Ergebnis werden wir fast die Antwort finden;
• Wir führen die umgekehrte Transformation durch, dh wir entfernen den unechten Bruch - wir wählen den ganzzahligen Teil im Bruch aus.

Einen echten Bruch von einer ganzen Zahl subtrahieren: Wir stellen eine natürliche Zahl als gemischte Zahl dar. Jene. Wir nehmen eine Einheit in einer natürlichen Zahl und übersetzen sie in die Form eines unechten Bruchs, der Nenner ist derselbe wie der des subtrahierten Bruchs.

Beispiel für die Subtraktion von Brüchen:

Im Beispiel haben wir die Einheit durch einen unechten Bruch 7/7 ersetzt und statt 3 eine gemischte Zahl notiert und vom Bruchteil einen Bruch abgezogen.

Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern.

Oder anders ausgedrückt, Subtraktion verschiedener Brüche.

Regel zum Subtrahieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern. Um Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu subtrahieren, müssen diese Brüche zunächst auf den kleinsten gemeinsamen Nenner (LCD) gebracht und erst danach wie bei Brüchen mit gleichem Nenner subtrahiert werden.

Der gemeinsame Nenner mehrerer Brüche ist LCM (kleinstes gemeinsames Vielfaches) natürliche Zahlen, die die Nenner der gegebenen Brüche sind.

Beachtung! Wenn im letzten Bruch Zähler und Nenner gemeinsame Teiler haben, dann muss der Bruch gekürzt werden. Einen unechten Bruch stellt man am besten als gemischten Bruch dar. Das Ergebnis der Subtraktion zu belassen, ohne den Bruch möglichst zu kürzen, ist eine unfertige Lösung des Beispiels!

Verfahren zum Subtrahieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern.

• finde das LCM für alle Nenner;
• setzen Sie zusätzliche Multiplikatoren für alle Brüche ein;
• alle Zähler mit einem zusätzlichen Faktor multiplizieren;
• wir schreiben die resultierenden Produkte in den Zähler und unterzeichnen einen gemeinsamen Nenner unter allen Brüchen;
• subtrahiere die Zähler von Brüchen und unterschreibe den gemeinsamen Nenner unter der Differenz.

Auf die gleiche Weise wird die Addition und Subtraktion von Brüchen bei Vorhandensein von Buchstaben im Zähler durchgeführt.

Subtraktion von Brüchen, Beispiele:

Subtraktion gemischter Brüche.

Beim Subtraktion gemischter Brüche (Zahlen) separat wird der ganzzahlige Teil von dem ganzzahligen Teil subtrahiert, und der Bruchteil wird von dem Bruchteil subtrahiert.

Die erste Möglichkeit besteht darin, gemischte Brüche zu subtrahieren.

Wenn die Bruchteile das gleiche Nenner und Zähler des Bruchteils des Minuends (wir subtrahieren davon) ≥ Zähler des Bruchteils des Subtrahends (wir subtrahieren ihn).

Zum Beispiel:

Die zweite Möglichkeit besteht darin, gemischte Brüche abzuziehen.

Wenn die Bruchteile verschieden Nenner. Zuerst bringen wir die Bruchteile auf einen gemeinsamen Nenner, und dann subtrahieren wir den ganzzahligen Teil von der ganzen Zahl und den Bruchteil von dem Bruchteil.

Zum Beispiel:

Die dritte Möglichkeit besteht darin, gemischte Brüche zu subtrahieren.

Der Bruchteil des Minuends ist kleiner als der Bruchteil des Subtrahends.

Beispiel:

weil Bruchteile haben unterschiedliche Nenner, was bedeutet, dass wir wie bei der zweiten Möglichkeit zuerst gewöhnliche Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen.

Der Zähler des Bruchteils des Minuends ist kleiner als der Zähler des Bruchteils des Subtrahends.3 < 14. Wir nehmen also eine Einheit aus dem ganzzahligen Teil und reduzieren diese Einheit auf die Form eines unechten Bruchs mit demselben Nenner und Zähler = 18.

In den Zähler von rechts schreiben wir die Summe der Zähler, dann öffnen wir die Klammern im Zähler von rechts, das heißt, wir multiplizieren alles und geben ähnliche an. Wir öffnen keine Klammern im Nenner. Es ist üblich, das Produkt in den Nennern zu belassen. Wir bekommen:

Brüche sind gewöhnliche Zahlen, sie können auch addiert und subtrahiert werden. Da sie aber einen Nenner haben, sind hier komplexere Regeln erforderlich als bei ganzen Zahlen.

Betrachten Sie den einfachsten Fall, wenn es zwei Brüche mit demselben Nenner gibt. Dann:

Um Brüche mit gleichem Nenner zu addieren, addieren Sie ihre Zähler und lassen den Nenner unverändert.

Um Brüche mit demselben Nenner zu subtrahieren, ist es notwendig, den Zähler des zweiten vom Zähler des ersten Bruchs zu subtrahieren und den Nenner wieder unverändert zu lassen.

Innerhalb jedes Ausdrucks sind die Nenner der Brüche gleich. Durch die Definition von Addition und Subtraktion von Brüchen erhalten wir:

Wie Sie sehen, nichts Kompliziertes: Addieren oder subtrahieren Sie einfach die Zähler - und das war's.

Aber selbst bei solch einfachen Handlungen schaffen es Menschen, Fehler zu machen. Meistens vergessen sie, dass sich der Nenner nicht ändert. Wenn sie beispielsweise addiert werden, beginnen sie sich auch zu summieren, und das ist grundlegend falsch.

Die schlechte Angewohnheit, Nenner zu addieren, loszuwerden, ist ganz einfach. Versuchen Sie dasselbe beim Subtrahieren. Dadurch wird der Nenner Null und der Bruch verliert (plötzlich!) seine Bedeutung.

Denken Sie deshalb ein für alle Mal daran: Beim Addieren und Subtrahieren ändert sich der Nenner nicht!

Außerdem machen viele Leute Fehler, wenn sie mehrere negative Brüche addieren. Es gibt Verwirrung mit den Zeichen: wo ein Minus und wo - ein Plus.

Auch dieses Problem ist sehr einfach zu lösen. Es genügt, sich daran zu erinnern, dass das Minus vor dem Bruchzeichen immer auf den Zähler übertragen werden kann – und umgekehrt. Und natürlich zwei einfache Regeln nicht vergessen:

1. Plus mal Minus ergibt Minus;
2. Zwei Verneinungen ergeben eine Bejahung.

Analysieren wir das alles anhand konkreter Beispiele:

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Im ersten Fall ist alles einfach, und im zweiten Fall fügen wir den Zählern der Brüche Minuspunkte hinzu:

Was ist, wenn die Nenner unterschiedlich sind?

Sie können Brüche mit unterschiedlichen Nennern nicht direkt addieren. Diese Methode ist mir zumindest unbekannt. Die ursprünglichen Brüche können jedoch immer so umgeschrieben werden, dass die Nenner gleich werden.

Es gibt viele Möglichkeiten, Brüche umzuwandeln. Drei davon werden in der Lektion "Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen" besprochen, daher werden wir uns hier nicht mit ihnen beschäftigen. Schauen wir uns einige Beispiele an:

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Im ersten Fall bringen wir die Brüche mit der „Kreuzweise“-Methode auf einen gemeinsamen Nenner. Im zweiten suchen wir nach dem LCM. Beachten Sie, dass 6 = 2 3; 9 = 3 · 3. Die letzten Teiler in diesen Erweiterungen sind gleich, und die ersten sind teilerfremd. Daher ist LCM(6; 9) = 2 3 3 = 18.

Was ist, wenn der Bruch einen ganzzahligen Teil hat?

Ich kann Sie erfreuen: Unterschiedliche Nenner von Brüchen sind nicht das größte Übel. Viel mehr Fehler treten auf, wenn der ganze Teil in den Bruchzahlen hervorgehoben wird.

Natürlich gibt es für solche Brüche eigene Additions- und Subtraktionsalgorithmen, aber sie sind ziemlich kompliziert und erfordern ein langes Studium. Verwenden Sie besser das einfache Diagramm unten:

1. Wandeln Sie alle Brüche, die einen ganzzahligen Teil enthalten, in unechte um. Wir erhalten normale Terme (wenn auch mit unterschiedlichen Nennern), die nach den oben diskutierten Regeln berechnet werden;
2. Berechnen Sie tatsächlich die Summe oder Differenz der resultierenden Brüche. Als Ergebnis werden wir praktisch die Antwort finden;
3. Wenn dies in der Aufgabe nicht erforderlich war, führen wir die Rücktransformation durch, d.h. Wir entfernen den unechten Bruch und markieren den ganzzahligen Teil darin.

Die Regeln zum Wechseln zu unechten Brüchen und zum Hervorheben des ganzzahligen Teils werden ausführlich in der Lektion "Was ist ein numerischer Bruch" beschrieben. Wenn Sie sich nicht erinnern, wiederholen Sie es unbedingt. Beispiele:

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Hier ist alles einfach. Die Nenner in jedem Ausdruck sind gleich, also müssen alle Brüche in unechte umgewandelt und gezählt werden. Wir haben:

Um die Berechnungen zu vereinfachen, habe ich in den letzten Beispielen einige offensichtliche Schritte übersprungen.

Eine kleine Anmerkung zu den letzten beiden Beispielen, wo Brüche mit einem hervorgehobenen ganzzahligen Teil subtrahiert werden. Das Minus vor dem zweiten Bruch bedeutet, dass der ganze Bruch subtrahiert wird und nicht nur sein ganzer Teil.

Lesen Sie diesen Satz noch einmal, sehen Sie sich die Beispiele an und denken Sie darüber nach. Hier machen Anfänger viele Fehler. Solche Aufgaben geben sie gerne bei Kontrollarbeiten ab. Auch in den Tests zu dieser Lektion, die in Kürze veröffentlicht wird, werden Sie ihnen immer wieder begegnen.

Zusammenfassung: Allgemeines Rechenschema

Abschließend gebe ich einen allgemeinen Algorithmus an, der Ihnen hilft, die Summe oder Differenz von zwei oder mehr Brüchen zu finden:

1. Wenn ein ganzzahliger Teil in einem oder mehreren Brüchen hervorgehoben ist, wandeln Sie diese Brüche in unechte um;
2. Bringen Sie alle Brüche auf eine für Sie bequeme Weise auf einen gemeinsamen Nenner (außer natürlich, die Compiler der Aufgaben haben dies getan);
3. Addieren oder subtrahieren Sie die resultierenden Zahlen gemäß den Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Brüchen mit demselben Nenner.
4. Reduzieren Sie das Ergebnis, wenn möglich. Wenn sich herausstellt, dass der Bruch falsch ist, wählen Sie den ganzen Teil aus.

Denken Sie daran, dass es besser ist, den ganzen Teil ganz am Ende der Aufgabe hervorzuheben, kurz bevor Sie die Antwort schreiben.

Beachten Sie! Bevor Sie eine endgültige Antwort schreiben, prüfen Sie, ob Sie den Bruchteil, den Sie erhalten haben, reduzieren können.

Subtraktion von Brüchen mit gleichem Nenner Beispiele:

,

,

Einen echten Bruch von eins subtrahieren.

Wenn von der Einheit ein korrekter Bruch subtrahiert werden muss, wird die Einheit in die Form eines unechten Bruchs umgewandelt, dessen Nenner gleich dem Nenner des subtrahierten Bruchs ist.

Ein Beispiel für das Subtrahieren eines echten Bruchs von einem:

Der Nenner des zu subtrahierenden Bruchs = 7 , d.h. wir stellen die Einheit als unechten Bruch 7/7 dar und subtrahieren nach der Subtraktionsregel für Brüche mit gleichem Nenner.

Einen echten Bruch von einer ganzen Zahl subtrahieren.

Regeln zum Subtrahieren von Brüchen - Korrigieren von Integer (natürliche Zahl):

• Wir übersetzen die gegebenen Brüche, die einen ganzzahligen Teil enthalten, in unechte Brüche. Wir erhalten normale Terme (es spielt keine Rolle, ob sie verschiedene Nenner haben), die wir nach den oben angegebenen Regeln betrachten;
• Als nächstes berechnen wir die Differenz der Brüche, die wir erhalten haben. Als Ergebnis werden wir fast die Antwort finden;
• Wir führen die umgekehrte Transformation durch, dh wir entfernen den unechten Bruch - wir wählen den ganzzahligen Teil im Bruch aus.

Einen echten Bruch von einer ganzen Zahl subtrahieren: Wir stellen eine natürliche Zahl als gemischte Zahl dar. Jene. Wir nehmen eine Einheit in einer natürlichen Zahl und übersetzen sie in die Form eines unechten Bruchs, der Nenner ist derselbe wie der des subtrahierten Bruchs.

Beispiel für die Subtraktion von Brüchen:

Im Beispiel haben wir die Einheit durch einen unechten Bruch 7/7 ersetzt und statt 3 eine gemischte Zahl notiert und vom Bruchteil einen Bruch abgezogen.

Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern.

Oder anders ausgedrückt, Subtraktion verschiedener Brüche.

Regel zum Subtrahieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern. Um Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu subtrahieren, müssen diese Brüche zunächst auf den kleinsten gemeinsamen Nenner (LCD) gebracht und erst danach wie bei Brüchen mit gleichem Nenner subtrahiert werden.

Der gemeinsame Nenner mehrerer Brüche ist LCM (kleinstes gemeinsames Vielfaches) natürliche Zahlen, die die Nenner der gegebenen Brüche sind.

Beachtung! Wenn im letzten Bruch Zähler und Nenner gemeinsame Teiler haben, dann muss der Bruch gekürzt werden. Einen unechten Bruch stellt man am besten als gemischten Bruch dar. Das Ergebnis der Subtraktion zu belassen, ohne den Bruch möglichst zu kürzen, ist eine unfertige Lösung des Beispiels!

Verfahren zum Subtrahieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern.

• finde das LCM für alle Nenner;
• setzen Sie zusätzliche Multiplikatoren für alle Brüche ein;
• alle Zähler mit einem zusätzlichen Faktor multiplizieren;
• wir schreiben die resultierenden Produkte in den Zähler und unterzeichnen einen gemeinsamen Nenner unter allen Brüchen;
• subtrahiere die Zähler von Brüchen und unterschreibe den gemeinsamen Nenner unter der Differenz.

Auf die gleiche Weise wird die Addition und Subtraktion von Brüchen bei Vorhandensein von Buchstaben im Zähler durchgeführt.

Subtraktion von Brüchen, Beispiele:

Subtraktion gemischter Brüche.

Beim Subtraktion gemischter Brüche (Zahlen) separat wird der ganzzahlige Teil von dem ganzzahligen Teil subtrahiert, und der Bruchteil wird von dem Bruchteil subtrahiert.

Die erste Möglichkeit besteht darin, gemischte Brüche zu subtrahieren.

Wenn die Bruchteile das gleiche Nenner und Zähler des Bruchteils des Minuends (wir subtrahieren davon) ≥ Zähler des Bruchteils des Subtrahends (wir subtrahieren ihn).

Zum Beispiel:

Die zweite Möglichkeit besteht darin, gemischte Brüche abzuziehen.

Wenn die Bruchteile verschieden Nenner. Zuerst bringen wir die Bruchteile auf einen gemeinsamen Nenner, und dann subtrahieren wir den ganzzahligen Teil von der ganzen Zahl und den Bruchteil von dem Bruchteil.

Zum Beispiel:

Die dritte Möglichkeit besteht darin, gemischte Brüche zu subtrahieren.

Der Bruchteil des Minuends ist kleiner als der Bruchteil des Subtrahends.

Beispiel:

weil Bruchteile haben unterschiedliche Nenner, was bedeutet, dass wir wie bei der zweiten Möglichkeit zuerst gewöhnliche Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen.

Der Zähler des Bruchteils des Minuends ist kleiner als der Zähler des Bruchteils des Subtrahends.3 < 14. Wir nehmen also eine Einheit aus dem ganzzahligen Teil und reduzieren diese Einheit auf die Form eines unechten Bruchs mit demselben Nenner und Zähler = 18.

In den Zähler von rechts schreiben wir die Summe der Zähler, dann öffnen wir die Klammern im Zähler von rechts, das heißt, wir multiplizieren alles und geben ähnliche an. Wir öffnen keine Klammern im Nenner. Es ist üblich, das Produkt in den Nennern zu belassen. Wir bekommen: