Beachten Sie! Bevor Sie eine endgültige Antwort schreiben, prüfen Sie, ob Sie den Bruchteil, den Sie erhalten haben, reduzieren können.

Subtraktion von Brüchen mit gleichem Nenner Beispiele:

,

,

Einen echten Bruch von eins subtrahieren.

Wenn von der Einheit ein korrekter Bruch subtrahiert werden muss, wird die Einheit in die Form eines unechten Bruchs umgewandelt, dessen Nenner gleich dem Nenner des subtrahierten Bruchs ist.

Ein Beispiel für das Subtrahieren eines echten Bruchs von einem:

Der Nenner des zu subtrahierenden Bruchs = 7 , d.h. wir stellen die Einheit als unechten Bruch 7/7 dar und subtrahieren nach der Subtraktionsregel für Brüche mit gleichem Nenner.

Einen echten Bruch von einer ganzen Zahl subtrahieren.

Regeln zum Subtrahieren von Brüchen - Korrigieren von Integer (natürliche Zahl):

• Wir übersetzen die gegebenen Brüche, die einen ganzzahligen Teil enthalten, in unechte Brüche. Wir erhalten normale Terme (es spielt keine Rolle, ob sie verschiedene Nenner haben), die wir nach den oben angegebenen Regeln betrachten;
• Als nächstes berechnen wir die Differenz der Brüche, die wir erhalten haben. Als Ergebnis werden wir fast die Antwort finden;
• Wir führen die umgekehrte Transformation durch, dh wir entfernen den unechten Bruch - wir wählen den ganzzahligen Teil im Bruch aus.

Einen echten Bruch von einer ganzen Zahl subtrahieren: Wir stellen eine natürliche Zahl als gemischte Zahl dar. Jene. Wir nehmen eine Einheit in einer natürlichen Zahl und übersetzen sie in die Form eines unechten Bruchs, der Nenner ist derselbe wie der des subtrahierten Bruchs.

Beispiel für die Subtraktion von Brüchen:

Im Beispiel haben wir die Einheit durch einen unechten Bruch 7/7 ersetzt und statt 3 eine gemischte Zahl notiert und vom Bruchteil einen Bruch abgezogen.

Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern.

Oder anders ausgedrückt, Subtraktion verschiedener Brüche.

Regel zum Subtrahieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern. Um Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu subtrahieren, müssen diese Brüche zunächst auf den kleinsten gemeinsamen Nenner (LCD) gebracht und erst danach wie bei Brüchen mit gleichem Nenner subtrahiert werden.

Der gemeinsame Nenner mehrerer Brüche ist LCM (kleinstes gemeinsames Vielfaches) natürliche Zahlen, die die Nenner der gegebenen Brüche sind.

Beachtung! Wenn im letzten Bruch Zähler und Nenner gemeinsame Teiler haben, dann muss der Bruch gekürzt werden. Einen unechten Bruch stellt man am besten als gemischten Bruch dar. Das Ergebnis der Subtraktion zu belassen, ohne den Bruch möglichst zu kürzen, ist eine unfertige Lösung des Beispiels!

Verfahren zum Subtrahieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern.

• finde das LCM für alle Nenner;
• setzen Sie zusätzliche Multiplikatoren für alle Brüche ein;
• alle Zähler mit einem zusätzlichen Faktor multiplizieren;
• wir schreiben die resultierenden Produkte in den Zähler und unterzeichnen einen gemeinsamen Nenner unter allen Brüchen;
• subtrahiere die Zähler von Brüchen und unterschreibe den gemeinsamen Nenner unter der Differenz.

Auf die gleiche Weise wird die Addition und Subtraktion von Brüchen bei Vorhandensein von Buchstaben im Zähler durchgeführt.

Subtraktion von Brüchen, Beispiele:

Subtraktion gemischter Brüche.

Beim Subtraktion gemischter Brüche (Zahlen) separat wird der ganzzahlige Teil von dem ganzzahligen Teil subtrahiert, und der Bruchteil wird von dem Bruchteil subtrahiert.

Die erste Möglichkeit besteht darin, gemischte Brüche zu subtrahieren.

Wenn die Bruchteile das gleiche Nenner und Zähler des Bruchteils des Minuends (wir subtrahieren davon) ≥ Zähler des Bruchteils des Subtrahends (wir subtrahieren ihn).

Zum Beispiel:

Die zweite Möglichkeit besteht darin, gemischte Brüche abzuziehen.

Wenn die Bruchteile verschieden Nenner. Zuerst bringen wir die Bruchteile auf einen gemeinsamen Nenner, und dann subtrahieren wir den ganzzahligen Teil von der ganzen Zahl und den Bruchteil von dem Bruchteil.

Zum Beispiel:

Die dritte Möglichkeit besteht darin, gemischte Brüche zu subtrahieren.

Der Bruchteil des Minuends ist kleiner als der Bruchteil des Subtrahends.

Beispiel:

weil Bruchteile haben unterschiedliche Nenner, was bedeutet, dass wir wie bei der zweiten Möglichkeit zuerst gewöhnliche Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen.

Der Zähler des Bruchteils des Minuends ist kleiner als der Zähler des Bruchteils des Subtrahends.3 < 14. Wir nehmen also eine Einheit aus dem ganzzahligen Teil und bringen diese Einheit in die Form eines unechten Bruchs mit gleichem Nenner und Zähler = 18.

In den Zähler von rechts schreiben wir die Summe der Zähler, dann öffnen wir die Klammern im Zähler von rechts, das heißt, wir multiplizieren alles und geben ähnliche an. Wir öffnen keine Klammern im Nenner. Es ist üblich, das Produkt in den Nennern zu belassen. Wir bekommen:

Hier werden wir verstehen, wie Subtraktion gemeinsamer Brüche. Zuerst erhalten wir die Regel zum Subtrahieren von Brüchen mit gleichem Nenner. Betrachten Sie als Nächstes die Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern und geben Sie Beispiele für die Subtraktion mit detaillierten Lösungen an. Danach konzentrieren wir uns darauf, einen Bruch von einer natürlichen Zahl zu subtrahieren und eine Zahl von einem Bruch zu subtrahieren. Abschließend zeigen wir, wie die Subtraktion gewöhnlicher Brüche unter Verwendung der Eigenschaften dieser Aktion durchgeführt wird.

Wir stellen sofort fest, dass wir in diesem Artikel nur über das Subtrahieren eines kleineren Bruchs von einem größeren Bruch sprechen werden. Andere Fälle werden im Artikel Subtraktion rationaler Zahlen behandelt.

Seitennavigation.

Subtraktion von Brüchen mit gleichem Nenner

Lassen Sie uns zunächst ein Beispiel geben, das es uns ermöglicht zu verstehen, wie die Subtraktion von Brüchen mit gleichem Nenner.

Angenommen, es lägen fünf Achtel eines Apfels auf dem Teller, also 5/8 des Apfels, wonach zwei Achtel weggenommen würden. Entsprechend der Bedeutung der Subtraktion (siehe allgemeine Idee der Subtraktion) wird die angegebene Aktion wie folgt beschrieben: . Es ist klar, dass in diesem Fall 5−2=3 Achtel eines Apfels auf dem Teller bleiben. Also, .

Das betrachtete Beispiel verdeutlicht Regel zum Subtrahieren von Brüchen mit gleichem Nenner: Beim Subtrahieren von Brüchen mit gleichem Nenner wird der Zähler des Subtrahends vom Zähler des Minuends subtrahiert und der Nenner bleibt gleich.

Die stimmhafte Regel mit Hilfe von Buchstaben lautet wie folgt: . Wir werden diese Formel verwenden, wenn wir Brüche mit demselben Nenner subtrahieren.

Prüfen Beispiele für das Subtrahieren von Brüchen mit gleichem Nenner.

Beispiel.

Subtrahiere den gemeinsamen Bruch 17/15 vom gemeinsamen Bruch 24/15.

Entscheidung.

Die Nenner der subtrahierten Brüche sind gleich. Der Zähler des Minuends ist 24 und der Zähler des Subtrahends ist 17 , ihre Differenz ist 7 (24−17=7, falls erforderlich, siehe Subtraktion natürlicher Zahlen). Daher ergibt das Subtrahieren von Brüchen mit denselben Nennern 24/15 und 17/15 einen Bruch 7/15.

Eine Kurzfassung der Lösung sieht so aus: .

Antworten:

.

Wenn möglich, ist es notwendig, den Bruch zu kürzen und (oder) den ganzen Teil von einem unechten Bruch zu isolieren, der durch Subtrahieren von Brüchen mit demselben Nenner erhalten wird.

Beispiel.

Berechnen Sie die Differenz.

Entscheidung.

Wir verwenden die Formel zum Subtrahieren von Brüchen mit gleichem Nenner: .

Offensichtlich sind Zähler und Nenner des resultierenden Bruchs durch 2 teilbar (siehe), das heißt, 22/12 ist ein gekürzter Bruch. Indem wir diesen Bruch um 2 kürzen, erhalten wir den Bruch 11/6.

Fraktion 11/6 ist falsch (siehe echte und unechte Brüche). Daher ist es notwendig, den gesamten Teil daraus auszuwählen: .

Die berechnete Differenz von Brüchen mit gleichem Nenner ist also .

Hier ist die ganze Lösung: .

Antworten:

.

Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern

Die Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern wird auf die Subtraktion von Brüchen mit demselben Nenner reduziert. Dazu reicht es, Brüche mit unterschiedlichen Nennern auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen.

Also ausgeben Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern, notwendig:

• Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen (normalerweise führen Brüche zum kleinsten gemeinsamen Nenner);
• Subtrahiere die resultierenden Brüche mit denselben Nennern.

Prüfen Beispiele für das Subtrahieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern.

Beispiel.

Subtrahiere vom gemeinsamen Bruch 2/9 den gemeinsamen Bruch 1/15.

Entscheidung.

Da die Nenner der zu subtrahierenden Brüche unterschiedlich sind, führen wir zunächst die Kürzung der Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner durch: Da LCM(9, 15)=45, dann ist der zusätzliche Faktor des Bruchs 2/9 die Zahl 45: 9=5, und der zusätzliche Faktor des Bruchs ist 1/15 ist die Zahl 45:15=3 , dann und .

Es bleibt, den Bruch 3/45 vom Bruch 10/45 abzuziehen, wir erhalten , was uns die erforderliche Differenz von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern liefert.

Kurz gesagt, die Lösung wird wie folgt geschrieben: .

Antworten:

Wir sollten die Kürzung des nach der Subtraktion erhaltenen Bruches sowie die Auswahl des ganzen Teils nicht vergessen.

Beispiel.

Subtrahiere den Bruch 7/36 vom Bruch 19/9.

Entscheidung.

Nachdem wir Brüche mit unterschiedlichen Nennern auf den kleinsten gemeinsamen Nenner 36 gekürzt haben, haben wir die Brüche 76/9 und 7/36. Wir berechnen ihre Differenz: .

Der resultierende Bruch ist reduzierbar, nach seiner Reduzierung um 3 erhalten wir 23/12. Und dieser Bruch ist falsch, nachdem wir den ganzzahligen Teil davon getrennt haben, haben wir .

Fassen wir alle Aktionen zusammen, die beim Subtrahieren der ursprünglichen Brüche mit unterschiedlichen Nennern durchgeführt werden:.

Antworten:

.

Subtraktion einer natürlichen Zahl von einem gewöhnlichen Bruch

Subtrahieren einer natürlichen Zahl von einem Bruch kann auf die Subtraktion gewöhnlicher Brüche reduziert werden. Dazu reicht es, eine natürliche Zahl als Bruch mit dem Nenner 1 darzustellen. Schauen wir uns eine Beispiellösung an.

Beispiel.

Subtrahiere die Zahl 3 vom Bruch 83/21.

Entscheidung.

Da die Zahl 3 gleich dem Bruch 3/1 ist, dann.

Antworten:

Es ist jedoch bequemer, eine natürliche Zahl von einem unechten Bruch zu subtrahieren, indem man den Bruch als gemischte Zahl darstellt. Lassen Sie uns die Lösung des vorherigen Beispiels auf diese Weise zeigen.

Einen Bruch von einer natürlichen Zahl subtrahieren

Einen Bruch von einer natürlichen Zahl subtrahieren lässt sich auf die Subtraktion gewöhnlicher Brüche reduzieren, indem man eine natürliche Zahl als Bruch darstellt. Analysieren wir die Lösung eines Beispiels, das diesen Ansatz veranschaulicht.

Beispiel.

Subtrahiere den gemeinsamen Bruch 5/3 von der natürlichen Zahl 7.

Entscheidung.

Wir stellen die Zahl 7 als Bruch 7/1 dar, danach führen wir die Subtraktion durch: .

Nachdem wir den ganzzahligen Teil aus dem resultierenden Bruch ausgewählt haben, erhalten wir die endgültige Antwort.

Antworten:

Es gibt jedoch einen rationaleren Weg, einen Bruch von einer natürlichen Zahl zu subtrahieren. Ihre Vorteile kommen besonders dann zum Tragen, wenn die zu kürzende natürliche Zahl und der Nenner des zu subtrahierenden Bruchs große Zahlen sind. All dies wird aus den folgenden Beispielen ersichtlich.

Wenn der subtrahierte Bruch korrekt ist, kann die reduzierte natürliche Zahl durch die Summe zweier Zahlen ersetzt werden, von denen eine gleich eins ist, den richtigen Bruch von eins subtrahieren und dann die Berechnung abschließen.

Beispiel.

Subtrahiere den gemeinsamen Bruch 13/62 von der natürlichen Zahl 1065.

Entscheidung.

Der subtrahierte gewöhnliche Bruch ist richtig. Lassen Sie uns die Zahl 1065 durch die Summe 1064+1 ersetzen und erhalten . Es bleibt, den Wert des resultierenden Ausdrucks zu berechnen (wir werden mehr über die Berechnung solcher Ausdrücke in sprechen).

Aufgrund der Eigenschaften der Subtraktion kann der resultierende Ausdruck umgeschrieben werden als . Berechnen Sie den Wert der Differenz in Klammern, indem Sie die Einheit durch einen Bruch 1/1 ersetzen, haben wir . Auf diese Weise, . Damit ist die Subtraktion des Bruchs 13/62 von der natürlichen Zahl 1065 abgeschlossen.

Hier ist die ganze Lösung:

Und jetzt zeigen wir zum Vergleich, mit welchen Zahlen wir arbeiten müssten, wenn wir uns entschließen würden, die Subtraktion der ursprünglichen Zahlen auf die Subtraktion von Brüchen zu reduzieren:

Antworten:

.

Wenn der zu subtrahierende Bruch falsch ist, dann kann man ihn durch eine gemischte Zahl ersetzen und dann die gemischte Zahl von einer natürlichen Zahl subtrahieren.

Eine der wichtigsten Wissenschaften, deren Anwendung in Disziplinen wie Chemie, Physik und sogar Biologie zu sehen ist, ist die Mathematik. Das Studium dieser Wissenschaft ermöglicht es Ihnen, einige geistige Qualitäten zu entwickeln und die Konzentrationsfähigkeit zu verbessern. Eines der Themen, die im Kurs "Mathematik" besondere Aufmerksamkeit verdienen, ist die Addition und Subtraktion von Brüchen. Vielen Studenten fällt das Lernen schwer. Vielleicht hilft unser Artikel, dieses Thema besser zu verstehen.

Wie man Brüche subtrahiert, deren Nenner gleich sind

Brüche sind die gleichen Zahlen, mit denen Sie verschiedene Aktionen ausführen können. Ihr Unterschied zu ganzen Zahlen liegt im Vorhandensein eines Nenners. Aus diesem Grund müssen Sie beim Ausführen von Aktionen mit Brüchen einige ihrer Funktionen und Regeln studieren. Der einfachste Fall ist die Subtraktion gewöhnlicher Brüche, deren Nenner als gleiche Zahl dargestellt werden. Es wird nicht schwierig sein, diese Aktion auszuführen, wenn Sie eine einfache Regel kennen:

• Um die Sekunde von einem Bruch zu subtrahieren, muss der Zähler des zu subtrahierenden Bruchs vom Zähler des gekürzten Bruchs subtrahiert werden. Wir schreiben diese Zahl in den Zähler der Differenz und lassen den Nenner gleich: k / m - b / m = (k-b) / m.

Beispiele für das Subtrahieren von Brüchen, deren Nenner gleich sind

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Subtrahieren Sie vom Zähler des reduzierten Bruchs "7" den Zähler des subtrahierten Bruchs "3", wir erhalten "4". Wir schreiben diese Zahl in den Zähler der Antwort und setzen in den Nenner dieselbe Zahl, die in den Nennern des ersten und zweiten Bruchs stand - "19".

Das Bild unten zeigt einige weitere solcher Beispiele.

Betrachten Sie ein komplexeres Beispiel, bei dem Brüche mit demselben Nenner subtrahiert werden:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Vom Zähler des reduzierten Bruchs "29" durch Subtrahieren der Zähler aller nachfolgenden Brüche - "3", "8", "2", "7". Als Ergebnis erhalten wir das Ergebnis "9", das wir in den Zähler der Antwort schreiben, und in den Nenner schreiben wir die Zahl, die sich in den Nennern all dieser Brüche befindet - "47".

Brüche mit gleichem Nenner addieren

Die Addition und Subtraktion gewöhnlicher Brüche erfolgt nach dem gleichen Prinzip.

• Um Brüche mit gleichem Nenner zu addieren, musst du die Zähler addieren. Die resultierende Zahl ist der Zähler der Summe, und der Nenner bleibt gleich: k/m + b/m = (k + b)/m.

Mal sehen, wie es in einem Beispiel aussieht:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Zum Zähler des ersten Bruchteils - "1" - addieren wir den Zähler des zweiten Bruchteils - "2". Das Ergebnis - "3" - wird in den Zähler des Betrags geschrieben, und der Nenner bleibt der gleiche wie in den Brüchen - "4".

Brüche mit verschiedenen Nennern und ihre Subtraktion

Wir haben bereits die Wirkungsweise mit Brüchen betrachtet, die den gleichen Nenner haben. Wie Sie sehen können, ist das Lösen solcher Beispiele mit einfachen Regeln recht einfach. Aber was ist, wenn Sie eine Aktion mit Brüchen ausführen müssen, die unterschiedliche Nenner haben? Viele Gymnasiasten sind durch solche Beispiele verwirrt. Aber auch hier, wenn Sie das Prinzip der Lösung kennen, werden Ihnen die Beispiele nicht mehr schwer fallen. Auch hier gibt es eine Regel, ohne die das Lösen solcher Brüche einfach unmöglich ist.

Um Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu subtrahieren, müssen sie auf denselben kleinsten Nenner gekürzt werden.



Wir werden ausführlicher darüber sprechen, wie dies zu tun ist.

Brucheigenschaft

Um mehrere Brüche auf denselben Nenner zu bringen, müssen Sie die Haupteigenschaft des Bruchs in der Lösung verwenden: Nachdem Sie Zähler und Nenner mit derselben Zahl dividiert oder multipliziert haben, erhalten Sie einen Bruch, der dem angegebenen entspricht.

So kann zum Beispiel der Bruch 2/3 Nenner wie „6“, „9“, „12“ usw. haben, das heißt, er kann wie eine beliebige Zahl aussehen, die ein Vielfaches von „3“ ist. Nachdem wir Zähler und Nenner mit „2“ multipliziert haben, erhalten wir einen Bruch von 4/6. Nachdem wir Zähler und Nenner des ursprünglichen Bruchs mit "3" multipliziert haben, erhalten wir 6/9, und wenn wir eine ähnliche Aktion mit der Zahl "4" ausführen, erhalten wir 8/12. In einer Gleichung kann dies geschrieben werden als:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Wie man mehrere Brüche auf den gleichen Nenner bringt

Überlegen Sie, wie Sie mehrere Brüche auf denselben Nenner kürzen können. Nehmen Sie zum Beispiel die im Bild unten gezeigten Brüche. Zuerst müssen Sie bestimmen, welche Zahl der Nenner für alle werden kann. Um es einfacher zu machen, zerlegen wir die verfügbaren Nenner in Faktoren.

Der Nenner des Bruchs 1/2 und des Bruchs 2/3 kann nicht faktorisiert werden. Der Nenner von 7/9 hat zwei Teiler 7/9 = 7/(3 x 3), der Nenner des Bruchs 5/6 = 5/(2 x 3). Jetzt müssen Sie bestimmen, welche Faktoren für alle diese vier Brüche die kleinsten sein werden. Da der erste Bruch die Zahl „2“ im Nenner hat, bedeutet dies, dass er in allen Nennern vorhanden sein muss, im Bruch 7/9 gibt es zwei Tripel, was bedeutet, dass sie auch im Nenner vorhanden sein müssen. Angesichts des Obigen bestimmen wir, dass der Nenner aus drei Faktoren besteht: 3, 2, 3 und gleich 3 x 2 x 3 = 18 ist.



Betrachten Sie den ersten Bruchteil - 1/2. Sein Nenner enthält "2", aber es gibt keine einzelne "3", sondern es sollten zwei sein. Dazu multiplizieren wir den Nenner mit zwei Tripel, aber gemäß der Brucheigenschaft müssen wir den Zähler mit zwei Tripel multiplizieren:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

In ähnlicher Weise führen wir Aktionen mit den verbleibenden Fraktionen durch.

• 2/3 - im Nenner fehlen eins drei und eins zwei:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 oder 7/(3 x 3) - dem Nenner fehlen zwei:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 oder 5/(2 x 3) - dem Nenner fehlt ein Tripel:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Alles zusammen sieht so aus:



Brüche mit unterschiedlichen Nennern subtrahieren und addieren

Wie oben erwähnt, müssen zum Addieren oder Subtrahieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern diese auf denselben Nenner gekürzt werden und dann die bereits beschriebenen Regeln zum Subtrahieren von Brüchen mit demselben Nenner angewendet werden.

Betrachten Sie dies anhand eines Beispiels: 4/18 - 3/15.

Vielfache von 18 und 15 finden:

• Die Zahl 18 besteht aus 3 x 2 x 3.
• Die Zahl 15 besteht aus 5 x 3.
• Das gemeinsame Vielfache besteht aus den folgenden Faktoren 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Nachdem der Nenner gefunden wurde, muss ein Faktor berechnet werden, der für jeden Bruch unterschiedlich ist, dh die Zahl, mit der nicht nur der Nenner, sondern auch der Zähler multipliziert werden muss. Dazu dividieren wir die gefundene Zahl (gemeinsames Vielfaches) durch den Nenner des Bruches, für den weitere Faktoren bestimmt werden müssen.

• 90 geteilt durch 15. Die resultierende Zahl „6“ ist ein Multiplikator für 3/15.
• 90 geteilt durch 18. Die resultierende Zahl "5" ist ein Multiplikator für 4/18.

Der nächste Schritt in unserer Lösung besteht darin, jeden Bruch auf den Nenner „90“ zu bringen.

Wie das geht, haben wir bereits besprochen. Mal sehen, wie dies in einem Beispiel geschrieben wird:

(4 x 5) / (18 x 5) - (3 x 6) / (15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Handelt es sich um Brüche mit kleinen Zahlen, dann kannst du den gemeinsamen Nenner bestimmen, wie im Beispiel im Bild unten gezeigt.



Ähnlich produziert und mit unterschiedlichen Nennern.

Subtraktion und mit ganzzahligen Teilen

Die Subtraktion von Brüchen und deren Addition haben wir bereits ausführlich analysiert. Aber wie subtrahiert man, wenn der Bruch einen ganzzahligen Teil hat? Lassen Sie uns wieder ein paar Regeln verwenden:

• Wandeln Sie alle Brüche, die einen ganzzahligen Teil haben, in unechte Brüche um. In einfachen Worten, entfernen Sie das gesamte Teil. Dazu wird die Zahl des ganzzahligen Teils mit dem Nenner des Bruchs multipliziert, das resultierende Produkt zum Zähler addiert. Die Zahl, die nach diesen Aktionen erhalten wird, ist der Zähler eines unechten Bruchs. Der Nenner bleibt unverändert.
• Wenn Brüche unterschiedliche Nenner haben, sollten sie auf denselben gekürzt werden.
• Führe Addition oder Subtraktion mit denselben Nennern durch.
• Wenn Sie einen unechten Bruch erhalten, wählen Sie den ganzen Teil aus.



Es gibt eine andere Möglichkeit, Brüche mit ganzzahligen Teilen zu addieren und zu subtrahieren. Dazu werden Aktionen getrennt mit ganzzahligen Teilen und getrennt mit Brüchen ausgeführt und die Ergebnisse zusammen aufgezeichnet.



Das obige Beispiel besteht aus Brüchen, die den gleichen Nenner haben. Falls die Nenner unterschiedlich sind, müssen sie auf den gleichen reduziert werden, und dann folgen Sie den Schritten, wie im Beispiel gezeigt.

Brüche von einer ganzen Zahl subtrahieren

Eine andere Art von Aktionen mit Brüchen ist der Fall, wenn der Bruch subtrahiert werden muss. Auf den ersten Blick scheint ein solches Beispiel schwierig zu lösen. Hier ist jedoch alles ganz einfach. Um es zu lösen, ist es notwendig, eine ganze Zahl in einen Bruch umzuwandeln, und zwar mit einem solchen Nenner, der sich in dem zu subtrahierenden Bruch befindet. Als nächstes führen wir eine Subtraktion ähnlich der Subtraktion mit denselben Nennern durch. Zum Beispiel sieht es so aus:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Die in diesem Artikel gegebene Subtraktion von Brüchen (Klasse 6) ist die Grundlage für die Lösung komplexerer Beispiele, die in nachfolgenden Klassen behandelt werden. Das Wissen zu diesem Thema wird anschließend verwendet, um Funktionen, Ableitungen usw. zu lösen. Daher ist es sehr wichtig, die oben besprochenen Aktionen mit Brüchen zu verstehen und zu verstehen.

Brüche sind gewöhnliche Zahlen, sie können auch addiert und subtrahiert werden. Da sie aber einen Nenner haben, sind hier komplexere Regeln erforderlich als bei ganzen Zahlen.

Betrachten Sie den einfachsten Fall, wenn es zwei Brüche mit demselben Nenner gibt. Dann:

Um Brüche mit gleichem Nenner zu addieren, addieren Sie ihre Zähler und lassen den Nenner unverändert.

Um Brüche mit demselben Nenner zu subtrahieren, ist es notwendig, den Zähler des zweiten vom Zähler des ersten Bruchs zu subtrahieren und den Nenner wieder unverändert zu lassen.

Innerhalb jedes Ausdrucks sind die Nenner der Brüche gleich. Durch die Definition von Addition und Subtraktion von Brüchen erhalten wir:

Wie Sie sehen, nichts Kompliziertes: Addieren oder subtrahieren Sie einfach die Zähler - und das war's.

Aber selbst bei solch einfachen Handlungen schaffen es Menschen, Fehler zu machen. Meistens vergessen sie, dass sich der Nenner nicht ändert. Wenn sie beispielsweise addiert werden, beginnen sie sich auch zu summieren, und das ist grundlegend falsch.

Die schlechte Angewohnheit, Nenner zu addieren, loszuwerden, ist ganz einfach. Versuchen Sie dasselbe beim Subtrahieren. Dadurch wird der Nenner Null und der Bruch verliert (plötzlich!) seine Bedeutung.

Denken Sie deshalb ein für alle Mal daran: Beim Addieren und Subtrahieren ändert sich der Nenner nicht!

Außerdem machen viele Leute Fehler, wenn sie mehrere negative Brüche addieren. Es gibt Verwirrung mit den Zeichen: wo ein Minus und wo - ein Plus.

Auch dieses Problem ist sehr einfach zu lösen. Es genügt, sich daran zu erinnern, dass das Minus vor dem Bruchzeichen immer auf den Zähler übertragen werden kann – und umgekehrt. Und natürlich zwei einfache Regeln nicht vergessen:

1. Plus mal Minus ergibt Minus;
2. Zwei Verneinungen ergeben eine Bejahung.

Analysieren wir das alles anhand konkreter Beispiele:

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Im ersten Fall ist alles einfach, und im zweiten Fall fügen wir den Zählern der Brüche Minuspunkte hinzu:

Was ist, wenn die Nenner unterschiedlich sind?

Sie können Brüche mit unterschiedlichen Nennern nicht direkt addieren. Diese Methode ist mir zumindest unbekannt. Die ursprünglichen Brüche können jedoch immer so umgeschrieben werden, dass die Nenner gleich werden.

Es gibt viele Möglichkeiten, Brüche umzuwandeln. Drei davon werden in der Lektion "Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen" besprochen, daher werden wir uns hier nicht mit ihnen beschäftigen. Schauen wir uns einige Beispiele an:

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Im ersten Fall bringen wir die Brüche mit der „Kreuzweise“-Methode auf einen gemeinsamen Nenner. Im zweiten suchen wir nach dem LCM. Beachten Sie, dass 6 = 2 3; 9 = 3 · 3. Die letzten Teiler in diesen Erweiterungen sind gleich, und die ersten sind teilerfremd. Daher ist LCM(6; 9) = 2 3 3 = 18.

Was ist, wenn der Bruch einen ganzzahligen Teil hat?

Ich kann Sie erfreuen: Unterschiedliche Nenner von Brüchen sind nicht das größte Übel. Viel mehr Fehler treten auf, wenn der ganze Teil in den Bruchzahlen hervorgehoben wird.

Natürlich gibt es für solche Brüche eigene Additions- und Subtraktionsalgorithmen, aber sie sind ziemlich kompliziert und erfordern ein langes Studium. Verwenden Sie besser das einfache Diagramm unten:

1. Wandeln Sie alle Brüche, die einen ganzzahligen Teil enthalten, in unechte um. Wir erhalten normale Terme (wenn auch mit unterschiedlichen Nennern), die nach den oben diskutierten Regeln berechnet werden;
2. Berechnen Sie tatsächlich die Summe oder Differenz der resultierenden Brüche. Als Ergebnis werden wir praktisch die Antwort finden;
3. Wenn dies in der Aufgabe nicht erforderlich war, führen wir die Rücktransformation durch, d.h. Wir entfernen den unechten Bruch und markieren den ganzzahligen Teil darin.

Die Regeln zum Wechseln zu unechten Brüchen und zum Hervorheben des ganzzahligen Teils werden ausführlich in der Lektion "Was ist ein numerischer Bruch" beschrieben. Wenn Sie sich nicht erinnern, wiederholen Sie es unbedingt. Beispiele:

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Hier ist alles einfach. Die Nenner in jedem Ausdruck sind gleich, also müssen alle Brüche in unechte umgewandelt und gezählt werden. Wir haben:

Um die Berechnungen zu vereinfachen, habe ich in den letzten Beispielen einige offensichtliche Schritte übersprungen.

Eine kleine Anmerkung zu den letzten beiden Beispielen, wo Brüche mit einem hervorgehobenen ganzzahligen Teil subtrahiert werden. Das Minus vor dem zweiten Bruch bedeutet, dass der ganze Bruch subtrahiert wird und nicht nur sein ganzer Teil.

Lesen Sie diesen Satz noch einmal, sehen Sie sich die Beispiele an und denken Sie darüber nach. Hier machen Anfänger viele Fehler. Solche Aufgaben geben sie gerne bei Kontrollarbeiten ab. Auch in den Tests zu dieser Lektion, die in Kürze veröffentlicht wird, werden Sie ihnen immer wieder begegnen.

Zusammenfassung: Allgemeines Rechenschema

Abschließend gebe ich einen allgemeinen Algorithmus an, der Ihnen hilft, die Summe oder Differenz von zwei oder mehr Brüchen zu finden:

1. Wenn ein ganzzahliger Teil in einem oder mehreren Brüchen hervorgehoben ist, wandeln Sie diese Brüche in unechte um;
2. Bringen Sie alle Brüche auf eine für Sie bequeme Weise auf einen gemeinsamen Nenner (außer natürlich, die Compiler der Aufgaben haben dies getan);
3. Addieren oder subtrahieren Sie die resultierenden Zahlen gemäß den Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Brüchen mit demselben Nenner.
4. Reduzieren Sie das Ergebnis, wenn möglich. Wenn sich herausstellt, dass der Bruch falsch ist, wählen Sie den ganzen Teil aus.

Denken Sie daran, dass es besser ist, den ganzen Teil ganz am Ende der Aufgabe hervorzuheben, kurz bevor Sie die Antwort schreiben.

Im fünften Jahrhundert v. Chr. formulierte der antike griechische Philosoph Zeno von Elea seine berühmten Aporien, von denen die berühmteste die Aporie „Achilles und die Schildkröte“ ist. So klingt es:

Nehmen wir an, Achilles läuft zehnmal schneller als die Schildkröte und ist ihr tausend Schritte hinterher. In der Zeit, in der Achilles diese Strecke läuft, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Wenn Achilles hundert Schritte gelaufen ist, kriecht die Schildkröte weitere zehn Schritte und so weiter. Der Prozess wird auf unbestimmte Zeit fortgesetzt, Achilles wird die Schildkröte niemals einholen.

Diese Argumentation wurde zu einem logischen Schock für alle nachfolgenden Generationen. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Alle betrachteten sie auf die eine oder andere Weise als Zenons Aporien. Der Schock war so stark, dass " ... die Diskussionen werden derzeit fortgesetzt, die wissenschaftliche Gemeinschaft hat es noch nicht geschafft, zu einer gemeinsamen Meinung über das Wesen von Paradoxien zu gelangen ... mathematische Analyse, Mengenlehre, neue physikalische und philosophische Ansätze waren an der Untersuchung des Problems beteiligt ; keiner von ihnen ist zu einer allgemein akzeptierten Lösung des Problems geworden ..."[Wikipedia," Zenos Aporien "]. Jeder versteht, dass er getäuscht wird, aber niemand versteht, was die Täuschung ist.

Aus mathematischer Sicht hat Zeno in seiner Aporie den Übergang vom Wert zu deutlich demonstriert. Dieser Übergang impliziert die Anwendung anstelle von Konstanten. Soweit ich weiß, ist der mathematische Apparat zur Anwendung variabler Maßeinheiten entweder noch nicht entwickelt oder auf Zenos Aporie nicht angewendet worden. Die Anwendung unserer üblichen Logik führt uns in eine Falle. Durch die Trägheit des Denkens wenden wir konstante Zeiteinheiten auf den Kehrwert an. Aus physikalischer Sicht sieht es so aus, als ob die Zeit in dem Moment, in dem Achilles die Schildkröte einholt, verlangsamt und vollständig angehalten wird. Wenn die Zeit stehen bleibt, kann Achilles die Schildkröte nicht mehr überholen.

Wenn wir die gewohnte Logik umdrehen, ergibt sich alles. Achilles läuft mit konstanter Geschwindigkeit. Jedes nachfolgende Segment seines Weges ist zehnmal kürzer als das vorherige. Dementsprechend ist die Zeit, die für die Überwindung aufgewendet wird, zehnmal kürzer als die vorherige. Wenn wir in dieser Situation den Begriff „Unendlichkeit“ anwenden, dann wäre es richtig zu sagen „Achilles wird die Schildkröte unendlich schnell überholen“.

Wie vermeidet man diese logische Falle? Bleiben Sie in konstanten Zeiteinheiten und wechseln Sie nicht zu reziproken Werten. In Zenos Sprache sieht das so aus:

In der Zeit, die Achilles braucht, um tausend Schritte zu laufen, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Während des nächsten Zeitintervalls, gleich dem ersten, wird Achilles weitere tausend Schritte laufen und die Schildkröte wird hundert Schritte kriechen. Jetzt ist Achilles der Schildkröte achthundert Schritte voraus.

Dieser Ansatz beschreibt die Realität angemessen ohne logische Paradoxien. Dies ist jedoch keine vollständige Lösung des Problems. Einsteins Aussage über die Unüberwindbarkeit der Lichtgeschwindigkeit ist Zenos Aporie „Achilles und die Schildkröte“ sehr ähnlich. Wir müssen dieses Problem noch untersuchen, überdenken und lösen. Und die Lösung muss nicht in unendlich großen Zahlen, sondern in Maßeinheiten gesucht werden.

Eine weitere interessante Aporie von Zeno erzählt von einem fliegenden Pfeil:

Ein fliegender Pfeil ist bewegungslos, da er zu jedem Zeitpunkt ruht, und da er zu jedem Zeitpunkt ruht, ruht er immer.

In dieser Aporie wird das logische Paradoxon sehr einfach überwunden – es genügt zu verdeutlichen, dass der fliegende Pfeil zu jedem Zeitpunkt an verschiedenen Punkten im Raum ruht, was tatsächlich Bewegung ist. Hier ist noch ein weiterer Punkt zu beachten. Aus einem Foto eines Autos auf der Straße kann weder die Tatsache seiner Bewegung noch die Entfernung zu ihm bestimmt werden. Um die Tatsache der Bewegung des Autos zu bestimmen, werden zwei Fotos benötigt, die vom selben Punkt zu unterschiedlichen Zeitpunkten aufgenommen wurden, aber sie können nicht zur Bestimmung der Entfernung verwendet werden. Um die Entfernung zum Auto zu bestimmen, benötigen Sie zwei Fotos, die gleichzeitig von verschiedenen Punkten im Raum aufgenommen wurden, aber Sie können daraus nicht die Tatsache der Bewegung bestimmen (natürlich benötigen Sie noch zusätzliche Daten für Berechnungen, die Trigonometrie hilft Ihnen). Was ich besonders hervorheben möchte, ist, dass zwei Zeitpunkte und zwei Punkte im Raum zwei verschiedene Dinge sind, die nicht verwechselt werden sollten, da sie unterschiedliche Möglichkeiten der Erforschung bieten.

Mittwoch, 4. Juli 2018

Sehr gut sind die Unterschiede zwischen Menge und Multimenge in Wikipedia beschrieben. Wir schauen.

Wie Sie sehen können, "kann die Menge nicht zwei identische Elemente haben", aber wenn es identische Elemente in der Menge gibt, wird eine solche Menge als "Multimenge" bezeichnet. Vernünftige Wesen werden niemals eine solche Logik der Absurdität verstehen. Dies ist die Ebene sprechender Papageien und abgerichteter Affen, auf der der Verstand dem Wort „vollständig“ abwesend ist. Mathematiker agieren als gewöhnliche Trainer und predigen uns ihre absurden Ideen.

Es war einmal, dass die Ingenieure, die die Brücke gebaut haben, während der Tests der Brücke in einem Boot unter der Brücke waren. Wenn die Brücke einstürzte, starb der mittelmäßige Ingenieur unter den Trümmern seiner Schöpfung. Wenn die Brücke der Belastung standhalten konnte, baute der begabte Ingenieur weitere Brücken.

So sehr sich Mathematiker auch hinter dem Satz „wohlgemerkt, ich bin im Haus“ oder vielmehr „Mathematik studiert abstrakte Konzepte“ verstecken, es gibt eine Nabelschnur, die sie untrennbar mit der Realität verbindet. Diese Nabelschnur ist Geld. Wenden wir die mathematische Mengenlehre auf Mathematiker selbst an.

Wir haben sehr gut Mathematik studiert und jetzt sitzen wir an der Kasse und zahlen Gehälter aus. Hier kommt ein Mathematiker auf sein Geld zu uns. Wir zählen ihm den gesamten Betrag vor und legen ihn auf unserem Tisch in verschiedenen Stapeln aus, in die wir Scheine der gleichen Stückelung legen. Dann nehmen wir von jedem Stapel einen Schein und geben dem Mathematiker seinen „mathematischen Gehaltssatz“. Wir erklären die Mathematik, dass er die restlichen Rechnungen nur erhält, wenn er beweist, dass die Menge ohne identische Elemente nicht gleich der Menge mit identischen Elementen ist. Hier beginnt der Spaß.

Zunächst einmal wird die Logik der Abgeordneten funktionieren: "Sie können es auf andere anwenden, aber nicht auf mich!" Außerdem wird zugesichert, dass auf Banknoten derselben Stückelung unterschiedliche Banknotennummern vorhanden sind, was bedeutet, dass sie nicht als identische Elemente betrachtet werden können. Nun, wir zählen das Gehalt in Münzen - es gibt keine Zahlen auf den Münzen. Hier erinnert sich der Mathematiker hektisch an die Physik: Verschiedene Münzen haben unterschiedlich viel Schmutz, die Kristallstruktur und Anordnung der Atome für jede Münze ist einzigartig ...

Und jetzt habe ich die interessanteste Frage: Wo ist die Grenze, ab der Elemente einer Multimenge zu Elementen einer Menge werden und umgekehrt? Eine solche Linie gibt es nicht - alles wird von Schamanen entschieden, die Wissenschaft ist hier nicht einmal annähernd.

Schau hier. Wir wählen Fußballstadien mit gleicher Spielfeldfläche aus. Die Fläche der Felder ist gleich, was bedeutet, dass wir eine Multimenge haben. Aber wenn wir die Namen der gleichen Stadien betrachten, bekommen wir viel, weil die Namen unterschiedlich sind. Wie Sie sehen können, ist dieselbe Menge von Elementen gleichzeitig eine Menge und eine Multimenge. Wie richtig? Und hier holt der Mathematiker-Schamane-Schüler ein Trumpf-Ass aus seinem Ärmel und beginnt uns entweder von einem Set oder einem Multiset zu erzählen. Auf jeden Fall wird er uns davon überzeugen, dass er Recht hat.

Um zu verstehen, wie moderne Schamanen mit der Mengentheorie arbeiten und sie mit der Realität verknüpfen, genügt es, eine Frage zu beantworten: Wie unterscheiden sich die Elemente einer Menge von den Elementen einer anderen Menge? Ich werde es Ihnen zeigen, ohne „als nicht ein Ganzes denkbar“ oder „nicht als ein Ganzes denkbar“.

Sonntag, 18. März 2018

Die Quersumme einer Zahl ist ein Schamanentanz mit Tamburin, der nichts mit Mathematik zu tun hat. Ja, im Mathematikunterricht wird uns beigebracht, die Summe der Ziffern einer Zahl zu finden und zu verwenden, aber dafür sind sie Schamanen, um ihren Nachkommen ihre Fähigkeiten und Weisheit beizubringen, sonst sterben Schamanen einfach aus.

Benötigen Sie einen Nachweis? Öffnen Sie Wikipedia und versuchen Sie, die Seite „Summe der Ziffern einer Zahl“ zu finden. Sie existiert nicht. In der Mathematik gibt es keine Formel, mit der man die Quersumme einer beliebigen Zahl ermitteln kann. Schließlich sind Zahlen grafische Symbole, mit denen wir Zahlen schreiben, und in der Sprache der Mathematik klingt die Aufgabe so: „Finde die Summe von grafischen Symbolen, die eine beliebige Zahl darstellen.“ Mathematiker können dieses Problem nicht lösen, aber Schamanen können es elementar.

Lassen Sie uns herausfinden, was und wie wir tun, um die Summe der Ziffern einer bestimmten Zahl zu finden. Nehmen wir also an, wir haben die Zahl 12345. Was muss getan werden, um die Quersumme dieser Zahl zu finden? Betrachten wir alle Schritte der Reihe nach.

1. Notieren Sie die Nummer auf einem Blatt Papier. Was haben wir getan? Wir haben die Zahl in ein grafisches Zahlensymbol umgewandelt. Dies ist keine mathematische Operation.

2. Wir schneiden ein empfangenes Bild in mehrere Bilder mit separaten Nummern. Das Schneiden eines Bildes ist keine mathematische Operation.

3. Wandeln Sie einzelne Grafikzeichen in Zahlen um. Dies ist keine mathematische Operation.

4. Addieren Sie die resultierenden Zahlen. Das ist jetzt Mathematik.

Die Quersumme der Zahl 12345 ist 15. Dies sind die „Schneide- und Nähkurse“ von Schamanen, die von Mathematikern verwendet werden. Aber das ist noch nicht alles.

Aus mathematischer Sicht spielt es keine Rolle, in welchem ​​Zahlensystem wir die Zahl schreiben. In verschiedenen Zahlensystemen ist die Summe der Ziffern derselben Zahl also unterschiedlich. In der Mathematik wird das Zahlensystem als Index rechts neben der Zahl angegeben. Bei einer großen Zahl von 12345 möchte ich mir nicht den Kopf verdrehen, betrachten Sie die Zahl 26 aus dem Artikel darüber. Lassen Sie uns diese Zahl in binären, oktalen, dezimalen und hexadezimalen Zahlensystemen schreiben. Wir werden nicht jeden Schritt unter die Lupe nehmen, das haben wir bereits getan. Schauen wir uns das Ergebnis an.

Wie Sie sehen können, ist in verschiedenen Zahlensystemen die Summe der Ziffern derselben Zahl unterschiedlich. Dieses Ergebnis hat nichts mit Mathematik zu tun. Es ist, als würde man die Fläche eines Rechtecks ​​in Metern und Zentimetern zu ganz anderen Ergebnissen bringen.

Die Null sieht in allen Zahlensystemen gleich aus und hat keine Quersumme. Dies ist ein weiteres Argument dafür, dass . Eine Frage an die Mathematiker: Wie bezeichnet man in der Mathematik das, was keine Zahl ist? Was existiert für Mathematiker nur aus Zahlen? Für Schamanen kann ich das zulassen, aber für Wissenschaftler nicht. Realität besteht nicht nur aus Zahlen.

Das erhaltene Ergebnis sollte als Beweis dafür angesehen werden, dass Zahlensysteme Maßeinheiten für Zahlen sind. Schließlich können wir Zahlen mit unterschiedlichen Maßeinheiten nicht vergleichen. Wenn gleiche Handlungen mit unterschiedlichen Maßeinheiten derselben Größe nach dem Vergleich zu unterschiedlichen Ergebnissen führen, dann hat das nichts mit Mathematik zu tun.

Was ist echte Mathematik? Dies ist der Fall, wenn das Ergebnis einer mathematischen Aktion nicht vom Wert der Zahl, der verwendeten Maßeinheit und davon abhängt, wer diese Aktion ausführt.

Schild an der Tür Öffnet die Tür und sagt:

Autsch! Ist das nicht die Damentoilette?
- Junge Frau! Dies ist ein Labor zum Studium der unbestimmten Heiligkeit der Seelen beim Aufstieg in den Himmel! Nimbus oben und Pfeil nach oben. Welche andere Toilette?

Weiblich ... Ein Heiligenschein oben und ein Pfeil nach unten sind männlich.

Wenn Sie ein solches Designkunstwerk mehrmals täglich vor Augen haben,

Dann ist es nicht verwunderlich, dass Sie plötzlich ein seltsames Symbol in Ihrem Auto finden:

Ich persönlich gebe mir Mühe, bei einer kackenden Person (ein Bild) minus vier Grad zu sehen (Zusammensetzung mehrerer Bilder: Minuszeichen, Zahl vier, Gradbezeichnung). Und ich halte dieses Mädchen nicht für einen Narren, der keine Physik versteht. Sie hat nur ein Bogenstereotyp der Wahrnehmung von grafischen Bildern. Und Mathematiker lehren uns das ständig. Hier ist ein Beispiel.

1A ist nicht "minus vier Grad" oder "ein a". Das ist „pooping man“ oder die Zahl „sechsundzwanzig“ im hexadezimalen Zahlensystem. Wer ständig in diesem Zahlensystem arbeitet, nimmt Zahl und Buchstabe automatisch als ein grafisches Symbol wahr.