Wenn der Punkt M (x; y) auf einer geraden Linie liegt, die durch zwei gegebene Punkte M 1 (x 1; y 1), M 2 (x 2; y 2) und das Verhältnis λ \u003d M 1 M / MM verläuft 2 gegeben ist, in der der Punkt M die Strecke M 1 M 2 teilt, dann die Koordinaten des Punktes M
werden durch die Formeln bestimmt
x = (x 1 + λx 2)/(1 + λ), y = (y 1 + λy 2)/(1 + λ)
Wenn der Punkt M der Mittelpunkt des Segments M 1 M 2 ist, werden seine Koordinaten durch die Formeln bestimmt
x \u003d (x 1 + x 2) / 2, y \u003d (y 1 + y 2) / 2
86. Gegeben seien die Enden A(3; -5) und 6(-1; 1) eines homogenen Stabes. Bestimme die Koordinaten seines Schwerpunkts.
87. Der Schwerpunkt eines homogenen Stabes liegt im Punkt M (1; 4), eines seiner Enden im Punkt P (-2; 2). Bestimme die Koordinaten des Punktes Q am anderen Ende dieses Stabes
88. Dreiecksecken A(1; -3), 6(3; -5) und C(-5; 7) sind gegeben. Bestimme die Mittelpunkte seiner Seiten.
89. Zwei Punkte A(3; - 1) und B(2; 1) werden gegeben. Definieren:
1) Koordinaten von Punkt M, symmetrisch zu Punkt A in Bezug auf Punkt B;
2) Koordinaten von Punkt N, symmetrisch zu Punkt B in Bezug auf Punkt A.
90. Die Punkte M (2; -1), N (-1; 4) und P (-2; 2) sind die Mittelpunkte der Seiten des Dreiecks. Bestimme seine Eckpunkte.
91. Gegeben sind drei Eckpunkte eines Parallelogramms A(3; -5), B(5; -3), C(-1; 3). Bestimme den vierten Eckpunkt D, gegenüber von B.
92. Gegeben seien zwei benachbarte Eckpunkte eines Parallelogramms A(-3; 5), B(1; 7) und der Schnittpunkt seiner Diagonalen M(1; 1). Definieren Sie zwei weitere Scheitelpunkte.
93. Drei Eckpunkte A(2; 3), 6(4; -1) und C(0; 5) des Parallelogramms ABCD sind gegeben. Finde seinen vierten Scheitelpunkt D.
94. Eckpunkte eines Dreiecks A(1; 4), B(3; -9), С(-5; 2) sind gegeben. Finden Sie die Länge seines Medians, der von Scheitelpunkt B gezogen wird.
95. Das durch die Punkte A (1; -3) und B (4; 3) begrenzte Segment wird in drei gleiche Teile geteilt. Bestimmen Sie die Koordinaten der Teilungspunkte.
96. Eckpunkte eines Dreiecks A(2; -5), B(1; -2), C(4; 7) sind gegeben. Finde den Schnittpunkt mit der Seite AC der Winkelhalbierenden seines Innenwinkels am Scheitelpunkt B.
97. Die Dreiecksecken A(3; –5), B(–3; 3) und C(–1; –2) sind gegeben. Bestimme die Länge der Winkelhalbierenden seines Innenwinkels am Scheitelpunkt A.
98. Gegeben seien die Eckpunkte eines Dreiecks A(-1; -1), B(3; 5), C(-4; 1). Finden Sie den Schnittpunkt mit der Verlängerung der Seite BC der Winkelhalbierenden seines Außenwinkels am Scheitelpunkt A.
99. Gegeben seien die Eckpunkte des Dreiecks A (3; -5), B (1; -3), C (2; -2). Bestimme die Länge der Winkelhalbierenden seines Außenwinkels am Scheitelpunkt B.
100. Gegeben seien drei Punkte A(1; -1), B(3; 3) und C(4; 5), die auf derselben Geraden liegen. Bestimmen Sie das Verhältnis λ, in dem jeder von ihnen das von den anderen beiden begrenzte Segment teilt.
101. Bestimmen Sie die Koordinaten der Enden A und B des Segments, das durch die Punkte P (2; 2) und Q (1; 5) in drei gleiche Teile geteilt wird.
102. Die Gerade verläuft durch die Punkte M 1 (-12; -13) und M 2 (-2; -5). Finden Sie einen Punkt auf dieser Linie, dessen Abszisse 3 ist.
103. Die Gerade verläuft durch die Punkte M(2; -3) und N(-6; 5). Finden Sie auf dieser Linie einen Punkt, dessen Ordinate -5 ist.
104. Die Gerade verläuft durch die Punkte A(7; -3) und B(23; -6). Finden Sie den Schnittpunkt dieser Linie mit der x-Achse.
105. Die Gerade verläuft durch die Punkte A(5; 2) und B(-4; -7). Finden Sie den Schnittpunkt dieser Linie mit der y-Achse.
106. Eckpunkte des Vierecks A(-3; 12), B(3; -4), C(5; -4) und D(5; 8) sind gegeben. Bestimmen Sie, in welchem Verhältnis seine Diagonale AC die Diagonale BD teilt.
107. Die Eckpunkte A(–2; 14), B(4; –2), C(6; –2) und D(6; 10) sind gegeben. Finde den Schnittpunkt seiner Diagonalen AC und BD.
108. Gegeben seien die Eckpunkte einer homogenen Dreiecksplatte A (x 1; y 1), B (x 2; y 2) und C (x 3; y 3). Bestimmen Sie die Koordinaten seines Schwerpunkts,
Anweisung. Der Schwerpunkt liegt im Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.
109. Der Punkt M des Schnittpunkts der Seitenhalbierenden des Dreiecks liegt auf der Abszissenachse, seine beiden Eckpunkte sind die Punkte A (2; -3) und B (-5; 1), der dritte Eckpunkt C liegt auf der y- Achse. Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte M und C.
110. Gegeben seien die Eckpunkte einer homogenen Dreiecksplatte A (x 1; y 1), B (x 2; y 2) und C (x 3; y 3). Wenn Sie die Mittelpunkte seiner Seiten verbinden, wird eine neue homogene dreieckige Platte gebildet. Beweisen Sie, dass die Schwerpunkte beider Platten gleich sind.
Anweisung. Verwenden Sie das Ergebnis von Aufgabe 108.
111. Eine homogene Platte hat die Form eines Quadrats mit einer Seite gleich 12, in dem ein quadratischer Schnitt gemacht wird, die Schnittlinien gehen durch die Mitte des Quadrats, die Achsen
Die Koordinaten sind entlang der Plattenränder gerichtet (Abb. 4). Bestimmen Sie den Schwerpunkt dieser Platte.
112. Eine homogene Platte hat die Form eines Rechtecks mit Seiten gleich a und b, in dem ein rechteckiger Schnitt gemacht wird; die geraden Schnittlinien gehen durch die Mitte, die Koordinatenachsen sind entlang der Plattenränder gerichtet (Abb. 5). Bestimmen Sie den Schwerpunkt dieser Platte.
113. Eine homogene Platte hat die Form eines Quadrats mit einer Seite gleich 2a, von der ein Dreieck abgeschnitten wird; Die Schnittlinie verbindet die Mittelpunkte zweier benachbarter Seiten, die Koordinatenachsen sind entlang der Kanten der Platte gerichtet (Abb. 6). Bestimmen Sie den Schwerpunkt der Platte.
114. An den folgenden Punkten A (x 1; y 1), B (x 2; y 2) und C (x 3; y 3) sind die Massen m, n und p konzentriert. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schwerpunkts dieses Dreimassensystems.
115. Die Punkte A (4; 2), B (7; -2) und C (1; 6) sind die Eckpunkte eines Dreiecks aus einem homogenen Draht. Finde den Schwerpunkt dieses Dreiecks.
Die Berechnung der Koordinaten eines bestimmten Punktes C, der ein bestimmtes Segment AB in einem bestimmten Verhältnis teilt, kann mit den Formeln durchgeführt werden:
хС = (хА + λхВ) / (1 + λ), уС = (уА + λуВ) / (1 + λ),
wobei (xA; yA) und (xB; yB) die Koordinaten der Enden des gegebenen Segments AB sind; die Zahl λ \u003d AC / CB ist das Verhältnis, in dem das Segment AB durch den Punkt C geteilt wird, der Koordinaten (xC; yC) hat.
Wenn das Segment AB durch den Punkt C in zwei Hälften geteilt wird, haben die Zahl λ \u003d 1 und die Formeln für xC und yC die Form:
xC = (xA + xB)/2, yC = (yA + yB)/2.
Es ist zu beachten, dass bei Aufgaben λ das Verhältnis der Längen der Segmente ist und daher die in diesem Verhältnis enthaltenen Zahlen nicht die Längen der Segmente selbst in einer bestimmten Maßeinheit sind. Beispiel: AC = 12 cm, CB = 16 cm: λ = AC/CB = 12 cm / 16 cm = 3/4.
1. Suchen Sie nach den Koordinaten der Mitte eines bestimmten Segments gemäß den angegebenen Koordinaten seiner Enden
Beispiel 1
Die Punkte A (-2; 3) und B (6; -9) sind die Enden des Segments AB. Finden Sie Punkt C, der der Mittelpunkt des Segments AB ist.
Entscheidung.
In der Bedingung des Problems wird angegeben, dass xA = -2; xB = 6; yA = 3 und yB = -9. Es ist erforderlich, C(xC; yC) zu finden.
Wenden wir die Formeln xC = (xA + xB)/2, yC = (yA + yB)/2 an, erhalten wir:
xC \u003d (-2 + 6) / 2 \u003d 2, yC \u003d (3 + (-9)) / 2 \u003d -3.
Somit hat Punkt C, der der Mittelpunkt des Segments AB ist, die Koordinaten (-2; 3) (Abb. 1).
2. Berechnung der Koordinaten des Endes eines bestimmten Segments, wobei die Koordinaten seines mittleren und anderen Endes bekannt sind
Beispiel 2
Ein Ende des Segments AB ist Punkt A mit den Koordinaten (-3; -5), und sein Mittelpunkt ist Punkt C (3; -2). Berechnen Sie die Koordinaten des zweiten Endes des Segments - Punkt B.
Entscheidung.
Je nach Problemstellung wird klar, dass xA = -3; yA = -5; xC = 3 und yC = -2.
Setzen wir diese Werte in die Formeln xC = (xA + xB)/2, yC = (yA + yB)/2 ein, erhalten wir:
3 = (-3 + xB)/2 und
2 \u003d (-5 + UV) / 2.
Nachdem wir die erste Gleichung für xB und die zweite für yB gelöst haben, finden wir: xB = 9 und yB = 1, es stellt sich heraus, dass der gewünschte Punkt B durch die Koordinaten (9; 1) gegeben ist. (Abb. 2).
3. Berechnung der Koordinaten der Ecken eines bestimmten Dreiecks nach den gegebenen Koordinaten der Mittelpunkte seiner Seiten
Beispiel 3
Die Mittelpunkte der Seiten des Dreiecks ABC sind die Punkte D(1; 3), E(-1; -2) und F(4; -1). Finden Sie die Koordinaten der Eckpunkte A, B und C des gegebenen Dreiecks.
Entscheidung.
Sei Punkt D der Mittelpunkt der Seite AB, Punkt E der Mittelpunkt von BC und Punkt F der Mittelpunkt der Seite AC (Abb. 3). Finden Sie die Punkte A, B und C.
Wir bezeichnen die Eckpunkte des Dreiecks als A (xA; yA), B (xB; yB) und C (xC; yC) und kennen die Koordinaten der Punkte D, E und F gemäß den Formeln xC \u003d (xA + xB) / 2, yC \u003d (yA + uV)/2 erhalten wir:
(1 = (xA + xB)/2, 
(-1 \u003d (xB + xC) / 2,
(4 \u003d (xA + xC) / 2,
(3 \u003d (uA + uB) / 2,
(-2 \u003d (uV + uS) / 2,
(-1 \u003d (yA + yC) / 2.
Wir bringen die Gleichungen in eine ganzzahlige Form:
(xA + xB = 2,
(xB + xC = -2,
(xA + xC = 8,
(uA + uB = 6,
(uV + yC = -4,
(uA + yC = -2.
Lösen wir die Systeme, erhalten wir:
xA = 6; xB = -4; xC = 2.
yA = 4; UV = 2; yC = -6.
Die Punkte A (6; 4), B (-4; 2) und C (2; -6) sind die notwendigen Eckpunkte des Dreiecks.
4. Berechnung der Koordinaten von Punkten, die das Segment in einem bestimmten Verhältnis teilen, gemäß den gegebenen Koordinaten der Enden dieses Segments
Beispiel 4
Segment AB wird durch Punkt C im Verhältnis 3:5 geteilt (Zählung von Punkt A nach Punkt B). Die Enden des Segments AB sind die Punkte A(2; 3) und B(10; 11). Finden Sie Punkt C.
Entscheidung.
Die Bedingung des Problems besagt, dass xA = 2; xB = 10; yA = 3; UV = 11; λ = AC/CB = 3/5. Finde C(xC; yC) (Abb. 4).
nach den Formeln xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) erhalten wir:
xC = (2 + 3/5 10) / (1 + 3/5) = 5 und yC = (3 + 3/5 11) / (1 + 3/5) = 6. Somit haben wir C( 5; 6).
Lass uns das Prüfen: AC = 3√2, CB = 5√2, λ = AC/CB = 3√2/5√2 = 3/5.
Kommentar. Die Bedingung des Problems besagt, dass die Teilung des Segments in einem bestimmten Verhältnis von Punkt A zu Punkt B durchgeführt wird. Wenn dies nicht angegeben wäre, hätte das Problem zwei Lösungen. Zweite Lösung: Teilung des Segments von Punkt B nach Punkt A. 
Beispiel 5
Einige Segmente AB sind im Verhältnis 2: 3: 5 (gezählt von Punkt A bis Punkt B) unterteilt, ihre Enden sind Punkte mit den Koordinaten A (-11; 1) und B (9; 11). Finden Sie die Teilungspunkte des gegebenen Segments.
Entscheidung.
Lassen Sie uns die Teilungspunkte des Segments von A nach B durch C und D bezeichnen. In der Bedingung des Problems ist dies gegeben
xA = -11; xB = 9; yA = 1; yB = 11. Finden Sie C(xC; yC) und D(xD; yD), wenn AC: CD: DB = 2: 3: 5.
Punkt C teilt Segment AB in Bezug auf λ = AC/CB = 2/(3 + 5) = 2/8 = 1/4.
Nach den Formeln xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) erhalten wir:
xC = (-11 + ¼ 9) / (1 + 1/4) = -7 und yC = (1 + ¼ 11) / (1 + 1/4) = 3.
Also C(-7; 3).
Punkt D ist der Mittelpunkt des Segments AB. Wenden wir die Formeln xD = (xA + xB)/2, yD = (yA + yB)/2 an, finden wir:
xD \u003d (-11 + 9) / 2 \u003d -1, yD \u003d (1 + 11) / 2 \u003d 6. Daher hat D Koordinaten (-1; 6).
5. Berechnung der Koordinaten der Punkte, die das Segment teilen, wenn die Koordinaten der Enden dieses Segments und die Anzahl der Teile, in die dieses Segment unterteilt ist, angegeben sind
Beispiel 6
Die Enden des Segments sind die Punkte A(-8; -5) und B(10; 4). Finden Sie die Punkte C und D, die dieses Segment in drei gleiche Teile teilen.
Entscheidung.
Aus der Bedingung des Problems ist bekannt, dass xA = -8; xB = 10; yA = -5; yB = 4 und n = 3. Finde C(xC; yC) und D(xD; yD) (Abb. 5).
Suchen wir den Punkt C. Er teilt die Strecke AB bezüglich λ = 1/2. Wir dividieren von Punkt A nach Punkt B. Nach den Formeln xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) gilt:
xC = (-8 + ½ 10) / (1 + 1/2) = -2 und yC = (-5 + ½ 4) / (1 + 1/2) = -2. Also C(-2; -2).
Die Teilung des Segments CB erfolgt im Verhältnis 1: 1, daher verwenden wir die Formeln
xD = (xA + xB)/2, yD = (yA + yB)/2:
xD \u003d (-2 + 10) / 2 \u003d 4, yD \u003d (-2 + 4) / 2 \u003d 1. Also D (4; 1).
Teilungspunkte C(-2; -2) und D(4; 1).
Hinweis: Punkt D kann gefunden werden, indem Segment AB in Bezug auf 2: 1 geteilt wird. In diesem Fall müssen die Formeln xD = (xA + λxB) / (1 + λ), yD = (yA + λyB) angewendet werden ) / (1 + λ).
Beispiel 7
Die Punkte A(5; -6) und B(-5; 9) sind die Enden des Segments. Finden Sie die Punkte, die das gegebene Segment in fünf gleiche Teile teilen.
Entscheidung.
Die aufeinanderfolgenden Teilungspunkte von A nach B seien C(xC; yC), D(xD; yD), E(xE; yE) und F(xF; yF). Die Bedingungen des Problems besagen, dass xA = 5; xB = -5; yA = -6; yB = 9 und n = 5.
Unter Verwendung der Formeln xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) Punkt C. Es teilt die Strecke AB in Bezug auf λ = 1/4:
xC = (5 + 1/4 (-5)) / (1 + 1/4) = 3 und yC = (-6 + 1/4 9) / (1 + 1/4) = -3, das bekommen wir Punkt C hat Koordinaten (3; -3).
Die Strecke AB wird durch den Punkt D im Verhältnis 2:3 geteilt (also λ = 2/3), also:
xD = (5 + 2/3 (-5)) / (1 + 2/3) = 1 und yD = (-6 + 2/3 9) / (1 + 2/3) = 0, also D (zehn ).
Suchen wir den Punkt E. Er teilt die Strecke AB in Bezug auf λ = 2/3:
XE = (5 + 3/2 (-5)) / (1 + 3/2) = -1 und yE = (-6 + 3/2 9) / (1 + 3/2) = 3. Somit E(-1; 3).
Punkt F teilt die Strecke AB bezüglich λ = 4/1, also:
XF = (5 + 4 (-5)) / (1 + 4) = -3 und yF = (-6 + 4 9) / (1 + 4) = 6, F(-3; 6).
Teilungspunkte С(-2; -2); D(4; 1); E(-1; 3) und F(-3; 6).
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Wenn es Bedingungen gibt, ein Segment in einem bestimmten Verhältnis zu teilen, ist es notwendig, die Koordinaten des Punktes bestimmen zu können, der als Trenner dient. Wir leiten eine Formel zum Auffinden dieser Koordinaten ab, indem wir das Problem in die Ebene stellen.
Ausgangsdaten: Gegeben sind ein rechteckiges Koordinatensystem O x y und zwei darauf liegende, nicht deckungsgleiche Punkte mit gegebenen Koordinaten A (x A , y A) und B (x B , y B). Und auch ein Punkt C ist gegeben, der das Segment A B in Bezug auf λ (eine positive reelle Zahl) teilt. Es ist notwendig, die Koordinaten des Punktes C zu bestimmen: x C und y C .
Bevor wir mit der Lösung der Aufgabe fortfahren, lassen Sie uns ein wenig die Bedeutung der gegebenen Bedingung enthüllen: "Punkt C, Teilung der Strecke A B in Bezug auf λ". Erstens gibt dieser Ausdruck an, dass Punkt C auf dem Segment A B liegt (d. h. zwischen den Punkten A und B). Zweitens ist klar, dass gemäß der gegebenen Bedingung das Verhältnis der Längen der Segmente A C und C B gleich λ ist. Jene. Gleichheit ist richtig:
In diesem Fall ist Punkt A der Anfang des Segments, Punkt B ist das Ende des Segments. Wenn gegeben wäre, dass der Punkt C die Strecke B A in einem gegebenen Verhältnis teilt, dann wäre die Gleichheit wahr: .
Nun, es ist eine völlig offensichtliche Tatsache, dass bei λ = 1 der Punkt C der Mittelpunkt der Strecke A B ist.
Lösen wir das Problem mit Hilfe von Vektoren. Stellen wir willkürlich die Punkte A, B und Punkt C auf der Strecke A B in einem bestimmten rechteckigen Koordinatensystem dar. Lassen Sie uns die Radiusvektoren dieser Punkte sowie die Vektoren A C → und C B → konstruieren. Gemäß den Bedingungen des Problems teilt Punkt C die Strecke A B in Bezug auf λ.
Die Koordinaten des Radiusvektors des Punktes sind gleich den Koordinaten des Punktes, dann gelten die Gleichheiten: O A → = (x A , y A) und O B → = (x B , y B) .
Lassen Sie uns die Koordinaten des Vektors bestimmen: Sie sind gleich den Koordinaten des Punktes C, die je nach Problembedingung gefunden werden müssen.
Mit der Operation der Vektoraddition schreiben wir die Gleichungen: O C → = O A → + A C → O B → = O C → + C B → ⇔ C B → = O B → - O C →
Je nach Problemstellung teilt Punkt C die Strecke A B nach λ, d.h. die Gleichheit A C = λ · C B gilt.
Die Vektoren A C → und C B → liegen auf derselben Geraden und sind gleichgerichtet. λ > 0 durch die Bedingung des Problems, dann erhalten wir gemäß der Operation der Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl: A C → = λ · C B → .
Lassen Sie uns den Ausdruck umwandeln, indem wir ihn ersetzen: C B → = O B → - O C → .
EIN C → = λ · (O B → - O C →) .
Die Gleichheit O C → = O A → + A C → kann umgeschrieben werden als O C → = O A → + λ · (O B → - O C →) .
Unter Verwendung der Eigenschaften von Operationen auf Vektoren impliziert die letzte Gleichheit: O C → = 1 1 + λ · (O A → + λ · O B →) .
Nun bleibt uns noch, direkt die Koordinaten des Vektors O C → = 1 1 + λ · O A → + λ · O B → zu berechnen.
Lassen Sie uns die notwendigen Operationen an den Vektoren O A → und O B → durchführen.
O A → = (x A , y A) und O B → = (x B , y B) , dann O A → + λ O B → = (x A + λ x B , y A + λ y B) .
Somit ist O C → = 1 1 + λ · (O A → + λ · O B →) = (x A + λ · x B 1 + λ , y A + λ · y B 1 + λ) .
Zusammenfassend: Die Koordinaten des Punktes C, der das Segment A B in einem bestimmten Verhältnis λ teilt, werden durch die Formeln bestimmt: x C \u003d x A + λ x B 1 + λ und y C \u003d y A + λ y B 1 + λ .
Bestimmung der Koordinaten eines Punktes, der eine Strecke in einem gegebenen Verhältnis im Raum teilt
Ausgangsdaten: rechtwinkliges Koordinatensystem O x y z , Punkte mit gegebenen Koordinaten A (x A , y A , z A) und B (x B , y B , z B) .
Punkt C teilt Segment A B bezüglich λ. Es ist notwendig, die Koordinaten des Punktes C zu bestimmen.
Unter Verwendung des gleichen Argumentationsschemas wie im obigen Fall im Flugzeug gelangen wir zur Gleichheit:
O C → = 1 1 + λ (O A → + λ O B →)
Die Vektoren und sind die Radiusvektoren der Punkte A und B, was bedeutet:
O A → = (x A , y A , z A) und O B → = (x B , y B , z B) , also
O C → = 1 1 + λ (O A → + λ O B →) = (x A + λ x B 1 + λ , y A + λ y B 1 + λ , z A + λ z B 1 + λ)
Somit hat Punkt C, der das Segment A B im Raum in einem gegebenen Verhältnis λ teilt, Koordinaten: (x A + λ x B 1 + λ, y A + λ y B 1 + λ, z A + λ z B 1+λ )
Betrachten wir die Theorie an konkreten Beispielen.
Beispiel 1
Ausgangsdaten: Punkt C teilt Segment A B in einem Verhältnis von fünf zu drei. Die Koordinaten der Punkte A und B sind gegeben durch A (11 , 1 , 0) , B (- 9 , 2 , - 4) .
Entscheidung
Durch die Bedingung des Problems ist λ = 5 3 . Wenden wir die obigen Formeln an und erhalten:
x A + λ x B 1 + λ = 11 + 5 3 (- 9) 1 + 5 3 = - 3 2
y A + λ y B 1 + λ = 1 + 5 3 2 1 + 5 3 = 13 8
z EIN + λ z B 1 + λ = 0 + 5 3 (- 4) 1 + 5 3 = - 5 2
Antwort: C (- 3 2 , 13 8 , - 5 2)
Beispiel 2
Ausgangsdaten: Es ist notwendig, die Koordinaten des Schwerpunkts des Dreiecks A B C zu bestimmen.
Die Koordinaten seiner Ecken sind gegeben: A (2 , 3 , 1) , B (4 , 1 , - 2) , C (- 5 , - 4 , 8)
Entscheidung
Es ist bekannt, dass der Schwerpunkt jedes Dreiecks der Schnittpunkt seiner Mittellinien ist (dies sei der Punkt M). Jeder der Mediane wird durch Punkt M in einem Verhältnis von 2 zu 1 geteilt, von oben gezählt. Darauf aufbauend finden wir die Antwort auf die gestellte Frage.
Angenommen, A D sei die Seitenhalbierende des Dreiecks A B C. Punkt M sei der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden, habe die Koordinaten M (x M, y M, z M) und sei der Schwerpunkt des Dreiecks. M als Schnittpunkt der Seitenhalbierenden teilt die Strecke A D im Verhältnis 2 zu 1, d.h. λ = 2 .
Lassen Sie uns die Koordinaten des Punktes D finden. Da A D der Median ist, ist Punkt D der Mittelpunkt des Segments B C. Dann erhalten wir unter Verwendung der Formel zum Ermitteln der Koordinaten des Mittelpunkts des Segments:
x D = x B + x C 2 = 4 + (- 5) 2 = - 1 2 y D = y B + y C 2 = 1 + (- 4) 2 = - 3 2 z D = z B + z C 2 = - 2 + 8 2 = 3
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes M:
x M = x EIN + λ x D 1 + λ = 2 + 2 (- 1 2) 1 + 2 = 1 3
y M = y EIN + λ y D 1 + λ = 3 + 2 (- 3 2) 1 + 2 = 0
z M = z EIN + λ z D 1 + λ = 1 + 2 3 1 + 2 = 7 3
Antwort: (1 3 , 0 , 7 3)
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Die Punkte M 1 , M 2 , M 3 sollen auf einer Geraden liegen. Es wird gesagt, dass der Punkt M das Segment M 1 M 2 in Bezug auf λ(λ ≠ – 1) teilt, wenn .
Die Koordinaten der Punkte M 1 und M 2 seien in Bezug auf ein Koordinatensystem bekannt: M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ), M 2 (x 2 , y 2 , z 2), dann die Koordinaten von die Punkte M(x, y, z ) relativ zu demselben Koordinatensystem werden durch die Formeln gefunden:
Wenn der Punkt M in der Mitte des Segments M 1 M 2 liegt, dann 
, das heißt, λ=1 und die Formeln (*) nehmen die Form an:
(**)
Verwenden Sie zur Lösung den folgenden Rechner:
- Punkte werden durch zwei Koordinaten gegeben: A(x 1 ,y 1), B(x 2 ,y 2).
- Die Punkte sind durch drei Koordinaten gegeben: A(x 1 ,y 1 ,z 1), B(x 2 ,y 2 ,z 2).
Beispiel 1. Das Dreieck ist durch die Koordinaten seiner Eckpunkte A(3, -2, 1), B(3, 1, 5), C(4, 0, 3) gegeben. Finden Sie die Koordinaten D(x, y, z) - die Schnittpunkte ihrer Mediane.
Entscheidung. Bezeichne mit M(x 0 , y 0 , z 0) den Mittelpunkt von BC, dann mit Formeln (**)
und M(7/2, ½, 4). Punkt D teilt den Median AM bezüglich λ=2 . Wenden wir Formeln (*) an, finden wir .
Beispiel #2. Segment AB wird durch Punkt C(4,1) in Bezug auf λ=1/4 geteilt, gezählt von Punkt A. Finden Sie die Koordinaten von A, wenn B(8,5).
Entscheidung. Wenden wir Formeln (*) an, erhalten wir: 
, woraus wir x=3 , y=0 finden.
Beispiel #3. Das Segment AB wird durch die Punkte C(3, -1) und D(1,4) in drei gleiche Teile geteilt. Finden Sie die Koordinaten der Enden des Segments.
Entscheidung. Bezeichne A(x 1 , y 1), B(x 2 , y 2). Punkt C ist der Mittelpunkt des Segments AD, daher finden wir unter Verwendung der Formeln (**) Folgendes: 
woher x 1 = 5, y 1 = –6. In ähnlicher Weise werden die Koordinaten von Punkt B gefunden: x 2 \u003d -1, y 2 \u003d 9.
Gegeben sei eine gerichtete Strecke AB; Punkt sagen
M dieser Linie teilt das Segment AB in einem Verhältnis gleich X, wobei eine beliebige reelle Zahl ist, wenn
Wenn Punkt M zwischen den Punkten A und B liegt (d. h. innerhalb des Segments
AB), dann sind die Vektoren AM und MB in die gleiche Richtung gerichtet (Abb. 2) und das Verhältnis (1) ist positiv.
Wenn Punkt M außerhalb des Segments liegt
AB, dann sind die Vektoren AM und MB entgegengesetzt gerichtet (Abb. 3) und das Verhältnis (1) ist negativ.
Sehen wir uns an, wie sich die Beziehung (1) ändert, wenn der Punkt M durch die gesamte Linie läuft. Wenn Punkt M mit Punkt A zusammenfällt, dann ist Beziehung (1) gleich Null; läuft nun der Punkt M durch die Strecke AB in Richtung von A nach B, so nimmt das Verhältnis (1) kontinuierlich zu und wird beliebig groß, je näher sich der Punkt M B annähert. Wenn , dann verliert der Bruch (1) seine Bedeutung, da sein Nenner zu einem Nullvektor wird. Bei weiterer Bewegung des Punktes entlang einer geraden Linie in die gleiche Richtung (in Abb. 3 a rechts von B) wird das Verhältnis (1) negativ, und wenn W nahe genug an B liegt, dann hat dieses Verhältnis einen willkürlichen Wert großer absoluter Wert.
Da haben wir dann (kraft Satz 8 von § 4).
Wenn sich der Punkt M die ganze Zeit in die gleiche Richtung bewegt (in unserer Abb. 3 und von links nach rechts), aber direkt ins Unendliche geht, dann tendiert der Bruch - gegen Null (da sein Zähler konstant bleibt und der Nenner steigt unbegrenzt an), daher tendiert das Verhältnis , - zu -1.
Nun gehe M auf die "linke" der beiden Halbgeraden über, in die der Punkt A die Gerade teilt (also in diejenige Halbgerade, die die Strecke AB nicht enthält). Wenn in diesem Fall der Punkt M weit genug vom Punkt A entfernt ist, dann wieder beliebig klein, und daher weicht das Verhältnis der Formel beliebig wenig von -1 ab. Nähert sich der Punkt M dem Punkt A von links (Fig. 3, b), nimmt das Verhältnis (I), das negativ bleibt, kontinuierlich im Absolutwert ab und wird schließlich gleich Null, wenn der Punkt M zum Punkt A zurückkehrt.
Beachten Sie, dass für jede Position des Punktes M auf der Linie das Verhältnis nicht gleich -1 ist. Das Verhältnis ist nämlich nur dann negativ, wenn der Punkt M außerhalb der Strecke AB liegt. Aber in diesem Fall sind die Segmente AM und MB niemals gleich, d.h.
Nun sei ein Koordinatensystem auf der Linie festgelegt und O der Ursprung dieses Systems. Wir bezeichnen die Koordinaten von Punkt A durch Punkte B-durch, und den variablen Punkt M-durch. Dann und
