„Ein Mathematiker ist jemand, der es versteht, Analogien zwischen Aussagen zu finden. Der beste Mathematiker ist derjenige, der Beweisanalogien aufstellt. Je stärker man die Analogien der Theorien bemerken kann. Aber es gibt diejenigen, die Analogien zwischen Analogien sehen.
Stefan Banach

Mathe-Statistiken für Dummies

Am häufigsten wird mathematische Statistik studiert zusammen mit Wahrscheinlichkeitstheorie(Vorlesung „Wahrscheinlichkeitstheorie und Mathematische Statistik“, TViMS). Nützliche Materialien zur Wahrscheinlichkeitstheorie (Online-Lehrbuch, Rechner, Lösungsbeispiele usw.)

Themen: 1. Allgemeinbevölkerung und Stichprobenziehung 2. Mittelwertvergleich 3. Korrelation und Regression.

Internetquellen

• Klokov S.A., Probleme in der Wahrscheinlichkeitstheorie und der mathematischen Statistik. Für Studierende mathematischer Fachrichtungen Aufgaben mit Antworten, teilweise mit Lösungen.
• Manita AD, Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematische Statistik. Das Buch richtet sich an Studierende der naturwissenschaftlichen Fakultäten der Staatlichen Universität Moskau. MV Lomonossow. Neben Informationen zur gedruckten Version des Lehrbuchs finden Sie auf dieser Seite den vollständigen Text des Buchs, einschließlich kurzer statistischer Tabellen.

  Hauptinhaltsabschnitte: Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten. Diskrete Zufallsvariablen und ihre Verteilungen. Allgemeine Zufallsvariablen. Gemeinsame Verteilung allgemeiner Zufallsvariablen. Grenzwertgesetze der Wahrscheinlichkeitstheorie. Überblick über Methoden der mathematischen Statistik. Methode der kleinsten Quadrate. Vertrauensintervalle. Statistische Hypothesen. Tabellen (Standard-Normalgesetz, Quantile der Chi-Quadrat-Verteilung, Quantile der Student-Verteilung).

• Chernova NI, Vorlesungen zur mathematischen Statistik Semestervorlesung. Sehr ausführlich und übersichtlich, empfehlenswert für Studierende der Wirtschaftswissenschaften.
• Elektronisches Lehrbuch der mathematischen Statistik.
  

  Lernprogramm beinhaltet: 1) Vorlesungsreihe zur mathematischen Statistik: V.V. Schelomowski. Mathematische Statistik (Murmansk: MGPU, 2005. - 128 S.), 2) Ein Zyklus von Laborarbeiten, die mit Maple durchgeführt werden, damit Sie die Berechnungsmethoden besser verstehen können, 3) Ein Zyklus von Tests, um Wissen zu testen.

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Kurs für Wahrscheinlichkeitstheorie und Mathematische Statistik. Sewastjanow B.A.

M.: Wissenschaft. CH. ed. Phys.-Math. lit., 1982.- 256 S.

Das Buch basiert auf einer einjährigen Vorlesungsreihe, die der Autor mehrere Jahre an der Fakultät für Mathematik der Fakultät für Mechanik und Mathematik der Staatlichen Universität Moskau gehalten hat. Die grundlegenden Konzepte und Fakten der Wahrscheinlichkeitstheorie werden zunächst für ein endliches Schema eingeführt. Die mathematische Erwartung wird im Allgemeinen auf die gleiche Weise wie das Lebesgue-Integral definiert, es wird jedoch nicht erwartet, dass der Leser Vorkenntnisse über die Lebesgue-Integration hat.

Das Buch enthält die folgenden Abschnitte: Unabhängige Tests und Markov-Ketten, de Moivre-Laplace- und Poisson-Grenzsätze, Zufallsvariablen, charakteristische und erzeugende Funktionen, Gesetz der großen Zahlen, zentraler Grenzwertsatz, Grundbegriffe der mathematischen Statistik, Test statistischer Hypothesen, statistische Schätzungen, Konfidenzintervalle .

Für Studenten der Universitäten und Fachhochschulen, die Wahrscheinlichkeitstheorie studieren.

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INHALTSVERZEICHNIS
Vorwort 7
Kapitel 1 Wahrscheinlichkeitsraum 9
§ 1. Gegenstand der Wahrscheinlichkeitstheorie 9
§ 2. Veranstaltungen 12
§ 3. Wahrscheinlichkeitsraum 16
§ 4. Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum. Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit 19
§ 5 Geometrische Wahrscheinlichkeiten 23
Aufgaben 24
Kapitel 2. Bedingte Wahrscheinlichkeiten. Unabhängigkeit 26
§ 6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten 26
§ 7. Gesamtwahrscheinlichkeitsformel 28
§ 8. Bayes-Formeln 29
§ 9. Unabhängigkeit von Veranstaltungen 30
§ 10. Unabhängigkeit von Partitionen, Algebren und a-Algebren.... 33
§ 11. Unabhängige Prüfungen 35
Aufgaben 39
Kapitel 3. Zufallsvariablen (endgültiges Schema). 41
§ 12. Zufallsvariablen. Indikatoren 41
§ 13. Mathematische Erwartung 45
§ 14. Mehrdimensionale Verteilungsgesetze 50
§ 15. Unabhängigkeit von Zufallsvariablen 53
§ 10. Euklidischer Raum der Zufallsvariablen. . . . 5.
§ 17. Bedingte Erwartungen 5E
§ 18. Chebyshevs Ungleichung. Gesetz der großen Zahlen .... 61
Aufgaben 64
Kapitel 4. Grenzwertsätze im Bernoulli-Schema. 65
§ 19. Binomialverteilung 65
§ 20. Satz von Poisson 66
§ 21. Lokaler Grenzwertsatz von De Moivre - Laplace. . 70
§ 22. Integraler Grenzwertsatz von De Moivre - Laplace 71
§ 23. Anwendungen von Grenzwertsätzen. 73
Aufgaben 76
Kapitel 5. Markov-Ketten 77
§ 24. Markov-Abhängigkeitstest 77
§ 25. Übergangswahrscheinlichkeiten 78
§ 26. Der Satz über die begrenzenden Wahrscheinlichkeiten 80
Aufgaben 83
Kapitel 6. Zufallsvariablen (allgemeiner Fall) 84
§ 27. Zufallsvariablen und ihre Verteilungen 84
§ 28. Multivariate Verteilungen 92
§ 29. Unabhängigkeit von Zufallsvariablen 96
Aufgaben 98
Kapitel 7. Erwartung 100
§ 30. Definition der mathematischen Erwartung 100
§ 31. Formeln zur Berechnung des mathematischen Erwartungswertes 108
Aufgaben 115
Kapitel 8 Generieren von Funktionen 117
§ 32. Ganzzahlige Zufallsvariablen und ihre erzeugenden Funktionen 117
§ 33. Faktorielle Momente 118
§ 34. Multiplikatives Eigentum 120
§ 35. Kontinuitätssatz 123
§ 36. Verzweigungsprozesse 125
Aufgaben 127
Kapitel 9 Charakteristische Funktionen 129
§ 37. Definition und elementare Eigenschaften charakteristischer Funktionen 129
§ 38. Inversionsformeln für charakteristische Funktionen 136
§ 39. Kontinuierlicher Korrespondenzsatz zwischen der Menge der charakteristischen Funktionen und der Menge der Verteilungsfunktionen 140
Aufgaben 145
Kapitel 10. Zentraler Grenzwertsatz 146
§ 40. Zentraler Grenzwertsatz für gleichverteilte unabhängige Terme 146
§ 41. Satz von Ljapunow 147
§ 42. Anwendungen des zentralen Grenzwertsatzes 150
Aufgaben 153
Kapitel 11
§ 43. Definition und elementare Eigenschaften 154
§ 44. Umrechnungsformel 158
§ 45. Grenzwertsätze für charakteristische Funktionen 159
§ 46. Multivariate Normalverteilung und verwandte Verteilungen 164
Aufgaben 173
Kapitel 12
§ 47. Borel-Cantelli-Lemma. Gesetz "0 oder 1" Kolmogorov 174
§ 48 Verschiedene Arten der Konvergenz von Zufallsvariablen. . . 177
§ 49. Starkes Gesetz der großen Zahlen 181
Aufgaben 188
Kapitel 13. Statistik 189
§ 50. Hauptaufgaben der mathematischen Statistik .... 189
§ 51. Stichprobenverfahren 190
Aufgaben 194
Kapitel 14. Statistische Tests 195
§ 52. Statistische Hypothesen 195
§ 53. Aussagekraft und Aussagekraft der Prüfung 197
§ 54. Das optimale Neumann-Pearson-Kriterium .... 199
§ 55. Optimale Kriterien zum Testen von Hypothesen über die Parameter von Normal- und Binomialverteilungen 201
§ 56. Kriterien für die Prüfung komplexer Hypothesen 2E4
§ 57. Nichtparametrische Tests 206
Aufgaben 211
Kapitel 15 Parameterschätzungen 213
§ 58. Statistische Schätzungen und ihre Eigenschaften 213
§ 59. Bedingte Verteilungsgesetze 216
§ 60. Ausreichende Statistik 220
§ 61. Wirksamkeit von Gutachten 223
§ 62. Methoden zur Ermittlung von Schätzungen 228
Aufgaben 232
Kapitel 16. Vertrauensintervalle 234
§ 63. Bestimmung von Konfidenzintervallen 234
§ 64. Vertrauensintervalle für die Parameter der Normalverteilung 236
§ 65. Vertrauensintervalle für die Erfolgswahrscheinlichkeit im Bernoulli-Schema 240
Aufgaben 244
Antworten auf Probleme 245
Normalverteilungstabellen 251
Literatur 253
Index 254

Ministerium der Russischen Föderation für Kommunikation und Information

Sibirische Staatliche Universität für Telekommunikation und Informatik

NI Chernova

MATHEMATISCHE

STATISTIKEN

Lernprogramm

Nowosibirsk

Außerordentlicher Professor, Cand. Phys.-Math. Wissenschaften N. I. Chernova. Mathematische Statistik: Lehrbuch / SibGUTI - Nowosibirsk, 2009. - 90 p.

Das Lehrbuch enthält eine halbjährliche Vorlesungsreihe zur mathematischen Statistik für Studierende wirtschaftswissenschaftlicher Fachrichtungen. Das Lehrbuch entspricht den Anforderungen des Staatlichen Bildungsstandards für berufsbegleitende Bildungsgänge im Fachgebiet 080116 – „Mathematische Methoden der Wirtschaftswissenschaften“.

Lehrstuhl MMBP Tab. 7, Zeichnungen - 9, Liste der lit. - 8 Namen

Gutachter: A.P. Kovalevsky, Ph.D. Phys.-Math. Sci., Außerordentlicher Professor der Fakultät für Höhere Mathematik, NSTU V. I. Lotov, Doktor der Physik und Mathematik. Wissenschaften, Professor der Abteilung

Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematische Statistik NSU

Für den Studienschwerpunkt 080116 - "Mathematische Methoden der Volkswirtschaftslehre"

Vom Redaktions- und Verlagsrat von SibGUTI als Lehrbuch genehmigt

c Sibirische Staatliche Universität

Telekommunikation und Informatik, 2009

Vorwort. . . . . . . . . .
	I. Grundbegriffe der mathematischen Statistik. . . . . . . .
	Probleme der mathematischen Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . .
	Probe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	Ausgewählte Merkmale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	Eigenschaften der empirischen Verteilungsfunktion. . . . . . . . .

§ 5. Eigenschaften von Beispielmomenten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

§ 6. Histogramm als Dichteschätzung. . . . . . . . . . . . . . . . . 14

§ 7. Fragen und Übungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

KAPITEL II. Punktschätzung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

§ 1. Punktschätzungen und ihre Eigenschaften. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

§ 2. Methode der Momente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

	Eigenschaften von Schätzungen der Momentenmethode. . . . . . . . . . . . . . . . .
	Maximum-Likelihood-Methode. . . . . . . . . . . . . . .
	Asymptotische Normalität von Schätzungen. . . . . . . . . . . . . .
	Fragen und Übungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
		Notenvergleich. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	Root-Mean-Square-Ansatz zum Vergleichen von Schätzungen. . . . . . . . .
	Rao-Cramer-Ungleichung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	Fragen und Übungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	IV. Intervallschätzung. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	Vertrauensintervalle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	Prinzipien zur Konstruktion von Konfidenzintervallen. . . . . . . .
	Fragen und Übungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
		Verteilungen bezogen auf die normale . . . . . . . . . .
	Grundlegende statistische Verteilungen. . . . . . . . . . . . . .
	Transformationen normaler Proben. . . . . . . . . . . . . . .
	Konfidenzintervalle für die Normalverteilung. . .

§ 1. Hypothesen und Kriterien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

§ 2. Fragen und Übungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Kapitel VII. Zustimmungskriterien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

§ 1. Allgemeine Ansicht der Anpassungskriterien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

§ 2. Testen einfacher Hypothesen über Parameter. . . . . . . . . . . . . . 53

§ 3. Kriterien zum Testen der Verteilungshypothese. . . . . . . . 56

§ 4. Kriterien für die Prüfung parametrischer Hypothesen. . . . . . . . 59

§ 5. Kriterien für die Prüfung der Homogenität. . . . . . . . . . . . . . . 61

§ 6. Kriterium χ 2 für die Prüfung der Unabhängigkeit. . . . . . . . . . . . . 70

§ 7. Fragen und Übungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

§ 2. Maximum-Likelihood-Methode.. . . . . . . . . . . . . . . 74

§ 3. Methode der kleinsten Quadrate.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

VORWORT

Das Lehrbuch enthält eine vollständige Vorlesung zur mathematischen Statistik für Studenten des Fachgebiets "Mathematische Methoden in der Wirtschaftswissenschaft" der Sibirischen Staatlichen Universität für Telekommunikation und Informatik. Die Inhalte des Studiums entsprechen vollumfänglich den Ausbildungsstandards für die Vorbereitung zum Bachelor in der angegebenen Fachrichtung.

Der Kurs in mathematischer Statistik baut auf dem Semesterkurs in Wahrscheinlichkeitstheorie auf und bildet die Grundlage für den Jahreskurs in Ökonometrie. Als Ergebnis des Studiums des Fachs müssen die Studierenden die mathematischen Methoden zum Studium verschiedener Modelle der mathematischen Statistik beherrschen.

Der Kurs besteht aus acht Kapiteln. Das erste Kapitel ist das wichtigste zum Verständnis des Themas. Es führt den Leser in die grundlegenden Konzepte der mathematischen Statistik ein. Das zweite Kapitel ist Methoden zur Punktschätzung unbekannter Verteilungsparameter gewidmet: Momente und Maximum Likelihood.

Das dritte Kapitel befasst sich mit dem Vergleich von Schätzungen im Sinne des quadratischen Mittelwertes. Dabei wird auch die Rao-Cramer-Ungleichung untersucht, um die Wirksamkeit von Schätzungen zu überprüfen.

Das vierte Kapitel befasst sich mit der Intervallschätzung von Parametern, die im nächsten Kapitel mit der Konstruktion von Intervallen für die Parameter der Normalverteilung endet. Dazu werden spezielle statistische Verteilungen eingeführt, die dann in den Anpassungstests im achten Kapitel verwendet werden. Kapitel sechs enthält die notwendigen Grundkonzepte der Hypothesentesttheorie, daher sollte der Leser es sehr sorgfältig studieren.

Schließlich enthalten die Kapitel sieben und acht eine Liste der in der Praxis am häufigsten verwendeten Zustimmungskriterien. Im neunten Kapitel werden einfache Modelle und Methoden der Regressionsanalyse betrachtet und die Haupteigenschaften der erhaltenen Schätzungen bewiesen.

Fast jedes Kapitel endet mit einer Liste von Übungen im Text des Kapitels. Die Anwendung enthält Tabellen mit einer Liste der Hauptmerkmale diskreter und absolut stetiger Verteilungen, Tabellen grundlegender statistischer Verteilungen.

VORWORT

Am Ende des Buches befindet sich ein ausführliches Stichwortverzeichnis. Das Literaturverzeichnis listet Lehrbücher auf, die ergänzend zur Lehrveranstaltung genutzt werden können, sowie Aufgabensammlungen für praktische Übungen.

Die Nummerierung der Absätze in jedem Kapitel ist separat. Formeln, Beispiele, Aussagen etc. sind fortlaufend nummeriert. Wenn auf ein Objekt aus einem anderen Kapitel verwiesen wird, wird zur Erleichterung des Lesers die Seitenzahl angegeben, auf der das Objekt enthalten ist. Bei Bezugnahme auf ein Objekt aus demselben Kapitel wird nur die Nummer der Formel, des Beispiels, der Aussage angegeben. Das Beweisende ist mit gekennzeichnet.

KAPITEL I

GRUNDBEGRIFFE DER MATHEMATISCHEN STATISTIK

Die mathematische Statistik baut auf den Methoden der Wahrscheinlichkeitstheorie auf, löst aber andere Probleme. In der Wahrscheinlichkeitstheorie werden Zufallsvariablen mit einer bestimmten Verteilung oder Zufallsexperimente betrachtet, deren Eigenschaften vollständig bekannt sind. Aber woher kommt das Wissen über Verteilungen in praktischen Experimenten? Wie groß ist beispielsweise die Wahrscheinlichkeit, dass auf einer bestimmten Münze ein Wappen erscheint? Um diese Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, können wir die Münze viele Male werfen. Aber in jedem Fall müssen Schlussfolgerungen aus den Ergebnissen einer endlichen Anzahl von Beobachtungen gezogen werden. Betrachtet man also 5.035 Wappen nach 10.000 Münzwürfen, ist es unmöglich, einen genauen Schluss auf die Wahrscheinlichkeit zu ziehen, dass ein Wappen herausfällt: Selbst wenn diese Wahrscheinlichkeit von 0,5 abweicht, kann das Wappen 5035 Mal herausfallen . Genaue Rückschlüsse auf die Verteilung können nur gemacht werden, wenn unendlich viele Tests durchgeführt wurden, was nicht machbar ist. Die mathematische Statistik erlaubt es, auf der Grundlage der Ergebnisse einer endlichen Anzahl von Experimenten mehr oder weniger genaue Rückschlüsse auf die in diesen Experimenten beobachteten Verteilungen von Zufallsvariablen zu ziehen.

§ 1. Probleme der mathematischen Statistik

Angenommen, wir wiederholen dasselbe Zufallsexperiment unter denselben Bedingungen. Als Ergebnis jeder Wiederholung des Experiments wird ein bestimmter Datensatz (numerisch oder anderweitig) beobachtet.

Dies wirft die folgenden Fragen auf.

1. Wenn eine Zufallsvariable beobachtet wird, wie kann man anhand einer Reihe ihrer Werte in mehreren Experimenten die genaueste Schlussfolgerung über ihre Verteilung ziehen?

2. Wenn die Ausprägung von zwei oder mehr Zeichen beobachtet wird, was lässt sich über die Art und Stärke der Abhängigkeit der beobachteten Zufallsvariablen sagen?

Es ist oft möglich, einige Annahmen über die beobachtete Verteilung oder über ihre Eigenschaften zu treffen. In diesem Fall ist es experimentellen Daten zufolge erforderlich, diese Annahmen („Hypothesen“) zu bestätigen oder zu widerlegen. Gleichzeitig müssen wir bedenken, dass die Antwort „ja“ oder „nein“ nur mit einem gewissen Maß an Sicherheit gegeben werden kann, und je länger wir das Experiment fortsetzen können, desto genauer können die Schlussfolgerungen sein. Manchmal ist es möglich, die Anwesenheit im Voraus zu behaupten

8 KAPITEL I. GRUNDBEGRIFFE DER MATHEMATISCHEN STATISTIK

einige Eigenschaften des beobachteten Experiments - zum Beispiel über die funktionale Abhängigkeit zwischen den beobachteten Größen, über die Normalität der Verteilung, über ihre Symmetrie, über das Vorhandensein von Dichte in der Verteilung oder über ihre diskrete Natur usw.

Mathematische Statistik funktioniert also dort, wo es ein zufälliges Experiment gibt, dessen Eigenschaften teilweise oder vollständig unbekannt sind, und wo wir dieses Experiment unter den gleichen Bedingungen einige (oder besser beliebig) Male reproduzieren können.

Experimentelle Ergebnisse können quantitativ oder qualitativ sein. Quantitative Ergebnisse können beispielsweise zusammengefasst werden. Daher ist eines ihrer aussagekräftigen Merkmale das arithmetische Mittel der Beobachtungen. Es ist sinnlos, qualitative Ergebnisse zu addieren, obwohl sie in numerische Form gebracht werden können. Nehmen wir an, der Geburtsmonat des Befragten ist eine qualitative, keine quantitative Beobachtung: Obwohl er als Zahl angegeben werden kann, enthält das arithmetische Mittel dieser Zahlen ebenso viele vernünftige Informationen wie die Aussage, dass eine Person im Durchschnitt geboren wurde zwischen Juni und Juli.

In den ersten Kapiteln werden wir die Arbeit mit quantitativen Beobachtungsergebnissen untersuchen.

§ 2. Auswahl

Sei ξ : Ω → R eine in einem Zufallsexperiment beobachtete Zufallsvariable. Wenn wir dieses Experiment n-mal unter denselben Bedingungen durchführen, erhalten wir die Zahlen X1 , X2 , . . . , Xn - Werte der beobachteten Zufallsvariablen im ersten, zweiten usw. Experiment. Die Zufallsvariable ξ hat eine Verteilung F, die uns teilweise oder vollständig unbekannt ist.

Betrachten wir genauer die Menge X = (X1 , . . . , Xn ), die Stichprobe genannt wird.

In einer Reihe von bereits durchgeführten Experimenten ist eine Probe eine Menge von Zahlen. Aber bevor das Experiment durchgeführt wird, ist es sinnvoll, die Stichprobe als eine Menge von Zufallsvariablen zu betrachten (unabhängig und wie ξ verteilt). In der Tat können wir vor der Durchführung von Experimenten nicht sagen, welche Werte die Elemente der Probe annehmen werden: Dies sind einige der Werte der Zufallsvariablen ξ. Daher ist es sinnvoll zu bedenken, dass Xi vor dem Experiment eine mit ξ gleichverteilte Zufallsvariable ist und nach dem Experiment die Zahl, die wir im i-ten Experiment beobachten, also einer der möglichen Werte des Zufalls Variable Xi .

Definition 1. Eine Stichprobe X = (X1 , . . . , Xn ) der Größe n aus einer Verteilung F ist eine Menge von n unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen, die eine Verteilung F haben.

Beispielelemente werden häufig transformiert, um das Arbeiten mit einem großen Datensatz zu vereinfachen – sie werden geordnet oder gruppiert.

Wenn die Elemente der Probe X1 , . . . , Xn in aufsteigender Reihenfolge sortieren, erhalten wir eine Reihe neuer Zufallsvariablen, die als Variationsreihe bezeichnet werden:

X(1) 6 X(2) 6 . . . 6 X(n−1) 6 X(n) .

Hier ist X(1) = min(X1 , . . . , Xn ), X(n) = max(X1 , . . . , Xn ). Das Element X(k) wird das k-te Mitglied der Variationsreihe oder die Statistik k-ter Ordnung genannt.

Beim Gruppieren von Daten werden mehrere Gruppen von Beispielelementwerten unterschieden, die Anzahl der Elemente in jeder Gruppe gezählt und dann nur dieser neue Datensatz behandelt. Sowohl das Gruppieren als auch das Ordnen von Daten verwerfen einige der in der Stichprobe enthaltenen Informationen.

Aufgabe der mathematischen Statistik ist es, aus einer Stichprobe Rückschlüsse auf die unbekannte Verteilung F zu ziehen, aus der sie extrahiert wird. Die Verteilung wird durch eine Verteilungsfunktion, Dichte oder Tabelle, einen Satz numerischer Merkmale charakterisiert: E ξ = E X1 , Dξ = D X1 , Eξ k = E X1 k . Anhand der Stichprobe muss man in der Lage sein, Näherungen für all diese Merkmale zu bilden. Solche Annäherungen werden Schätzungen genannt. Der Begriff "Score" hat nichts mit Ungleichheiten zu tun. Eine Schätzung für ein unbekanntes Merkmal einer Verteilung ist eine Zufallsvariable, die aus einer Stichprobe konstruiert wird, die in gewissem Sinne eine Annäherung an dieses unbekannte Merkmal der Verteilung darstellt.

Beispiel 1. Ein sechsseitiger Würfel wird 100 Mal geworfen. Das erste Gesicht fiel 25 Mal aus, das zweite und fünfte - jeweils 14 Mal, das dritte - 21 Mal, das vierte - 15 Mal, das sechste - 11 Mal. Wir haben es mit einer numerischen Stichprobe zu tun, die der Einfachheit halber nach der Anzahl der verlorenen Punkte gruppiert ist.

Nach den Versuchsergebnissen ist es unmöglich, die Wahrscheinlichkeiten p1 , . . . , p6 Gesicht fällt. Wir können nur sagen, dass für diese Wahrscheinlichkeiten numerische Schätzungen erhalten wurden: 0,25 für p1, 0,14 für p2 und für p5 usw.

Auch ohne ein solches Experiment durchzuführen, könnten wir im Voraus sagen, dass der Schätzwert für die unbekannte Wahrscheinlichkeit p1 eine Zufallsvariable sein wird

und der Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit p2 ist die Zufallsvariable

In dieser Versuchsreihe nahmen diese Zufallsvariablen die Werte 0,25 bzw. 0,14 an. In einer anderen Serie werden sich ihre Bedeutungen ändern.

KAPITEL I. GRUNDBEGRIFFE DER MATHEMATISCHEN STATISTIK

§ 3. Ausgewählte Merkmale

Aus der Wahrscheinlichkeitstheorie kennen wir ein universelles Werkzeug zur näherungsweisen Berechnung mathematischer Erwartungen aller Art: das Gesetz der großen Zahlen. Dieses Gesetz garantiert, dass sich die arithmetischen Mittel unabhängiger und identisch verteilter Terme in gewissem Sinne dem Erwartungswert eines typischen Terms annähern (wenn natürlich dieser mathematische Erwartungswert existiert).

Daher können Sie als Näherung (Schätzung) für die unbekannte mathematische Erwartung E X1 das arithmetische Mittel aller Stichprobenelemente verwenden: den Stichprobenmittelwert

X1 + . . . +Xn

Als Schätzwert für E X1 k ist das k-te Moment der Probe

X1 k + . . . + Xn k

Xi k =

und als Schätzwert für die Varianz D X1 = E (X1 − E X1 )2 = E X1 2 − (E X1 )2

Stichprobenvarianz verwendet wird

S2 = n 1

(Xi − X)2 = X2 − X

Im Allgemeinen der Wert

g(X1 ) + . . . + g(Xn)

g(Xi) =

kann verwendet werden, um die Größe E g(X1 ) abzuschätzen.

In ähnlicher Weise erlaubt uns das Gesetz der großen Zahlen von Bernoulli, verschiedene Wahrscheinlichkeiten abzuschätzen. Zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses (X1< 3} можно заменить на долю успешных испытаний в схеме Бернулли: если для каждого элемента выборки успехом считать событие {Xi < 3}, то доля успехов

p = Menge an Xi< 3n

konvergiert (in der Wahrscheinlichkeit) gegen die Erfolgswahrscheinlichkeit P(X1< 3). Оценивать неизвестную функцию распределения F (y) = P(X1 < y) мож-

sondern mit Hilfe der empirischen Verteilungsfunktion

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Tutoren für mathematische Statistik

Privatlehrer für mathematische Statistik in Moskau.
Unterrichten von Schülern 5 - 11   Klassen, Studenten, Erwachsenen. Vorbereitung auf die Prüfung, OGE. Hochwertige Passage des Schulprogramms. Vorbereitung in allen führenden physikalischen und mathematischen Schulen, Lyzeen. Helfen Sie Schülern beim Mathematik-Selbststudium. Sommerkurse verfügbar.
Unterricht in einer Minigruppe (2-4 Personen) ist zu einem niedrigeren Preis als dem offiziellen möglich.
Ich arbeite für Ergebnisse. Ich verwende eine Unterrichtsmethode, bei der die Schüler ihre kreativen Fähigkeiten und ihr logisches Denken in vollem Umfang entwickeln und sich für Mathematik interessieren. Ich arbeite nach eigenen speziellen Handbüchern und Methoden (übrigens praxiserprobt) ...
  

• Unterrichtskosten: 1500 Rubel. / 60min
• Produkte:
• Die Stadt: Moskau
• Nächste Metrostationen: Electrozavodskaya, Aviamotornaya
• Hausbesuch: Nein
• Status: Schullehrer
• Bildung: Er studierte an der Schule für Physik und Mathematik. A. N. Kolmogorova (jetzt SUNC an der Moskauer Staatsuniversität) in den Jahren 1986-1988. Absolvent der Fakultät für Physik der Staatlichen Universität Moskau. M. V. Lomonosov im Jahr 1994. Ich bin Mathematiklehrer seit 1994...

Mathematik für Schüler der Klassen 2-11, Bewerber, Studenten. Vorbereitung auf die Prüfung in Mathematik. Vorbereitung auf die SU-HSE-Olympiade und Aufnahmeprüfungen an der Staatlichen Universität Moskau. Unterstützung in allen Bereichen des Schullehrplans, Erfahrung in der Schule. Beratung von Studierenden auf allen Gebieten der höheren Mathematik (Mathematische Analysis, Lineare Algebra, Analytische Geometrie, Wahrscheinlichkeitstheorie, Mathematische Statistik, Ökonometrie, Diskrete Mathematik u.a.).
  

• Unterrichtskosten: 2000 reiben. / 60min
• Produkte:
• Die Stadt: Moskau
• Nächste Metrostation: Kuntsevskaya
• Hausbesuch: erhältlich
• Status: Universitätsprofessor
• Bildung: Moskauer Staatsuniversität M. V. Lomonosov (MSU), Fakultät für Mechanik und Mathematik, Abschluss 1981. Kandidat der Physikalischen und Mathematischen Wissenschaften. Ich unterrichte an der SU-HSE.

Dienstleistungen eines Tutors in mathematischer Statistik.
Vorbereitung auf die Prüfung, GIA. Vorbereitung von Schülern in allen Bereichen der Mathematik, Beseitigung von Lücken bei Schülern und Studenten. Vorbereitung von Bewerbern auf Aufnahmeprüfungen an Universitäten. Informatik und Programmierung.
  

• Unterrichtskosten: 1500 Rubel. / 60min
• Produkte: Mathematik, Analysis, Wahrscheinlichkeitstheorie, Informatik
• Städte: Moskau, Krasnogorsk
• Nächste Metrostationen: Jugend, Strogino
• Hausbesuch: erhältlich
• Status: Privatlehrer
• Bildung: Moskauer Staatsuniversität M. V. Lomonosov, Fakultät für Mechanik und Mathematik, Abschluss 1996.

Individueller Tutor für mathematische Statistik.
Mathematik: Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen und GIA, Algebra (einschließlich Trigonometrie, Arithmetik, Mathematische Logik), Geometrie (Planimetrie, Stereometrie), Mathematische Analysis, Höhere Mathematik, Wahrscheinlichkeitstheorie, Lineare Algebra, Diskrete Mathematik und andere Disziplinen der Mathematik, Vorbereitung für die Aufnahme einer Universität für Universitätsprüfungen. Physik: Schullehrplan, Prüfungsvorbereitung, GIA.
Geographie: Schullehrplan, Prüfungsvorbereitung, GIA.
Die Herangehensweise an jeden Schüler ist individuell. Sie sagen mir, welches Ergebnis Sie mit diesen Kursen erzielen möchten, und gemeinsam erreichen wir es.
Die Herangehensweise an jeden Schüler ist individuell ...
  

• Unterrichtskosten: 60 Minuten / 2200-2900 Rubel (je nach Unterrichtsort und Ausbildungsstand);
  90 Minuten / 3200 - 4000 Rubel (je nach Unterrichtsort und Ausbildungsstand);
  120 Minuten/410...
• Produkte: Mathematik, Physik, Geographie, Wahrscheinlichkeitstheorie
• Städte: Moskau, Odinzowo
• Nächste Metrostation: Krylatskoje
• Hausbesuch: erhältlich
• Status: Privatlehrer
• Bildung: Moskauer Staatsuniversität M. V. Lomonosov, Fakultät für Mechanik und Mathematik, Abschluss 2010. Die Durchschnittsnote beträgt 4,5. Schule mit Medaille abgeschlossen.

Privatlehrer für mathematische Statistik.
Vorbereitung von Schülern auf das Einheitliche Staatsexamen und interne Prüfungen, auf die Zulassung zu ausländischen Schulen, Unterstützung von Schülern beim Füllen von Lücken in mathematischer Analyse, TFKP, höherer Mathematik (lineare Algebra, analytische Geometrie, höhere Mathematik).
Zertifizierter USE-Experte für Mathematik, 12 Jahre Erfahrung in der Vorbereitung auf den USE, mehr als 30 Jahre Nachhilfeerfahrung. Die Studenten geben das Budget an der Fakultät für Wirtschaftswissenschaften der Staatlichen Universität Moskau, an der Staatlichen Universität-Higher School of Economics, FA, ein. Es gibt eine erfolgreiche Erfahrung in der Vorbereitung auf GSCE, A-Level.
  

• Unterrichtskosten: 60 Minuten / 2000 Rubel;
  120 Minuten/4000 Rubel.
• Produkte: Mathematik, Analysis, Wahrscheinlichkeitstheorie, Lineare Algebra
• Die Stadt: Moskau
• Nächste Metrostationen: Kitai-Gorod, Lubjanka
• Hausbesuch: erhältlich
• Status: Universitätsprofessor
• Bildung: Uralisches Pädagogisches Institut, Fakultät für Physik und Mathematik, Abschluss 1982, Diplom mit Auszeichnung. Kandidat der physikalischen und mathematischen Wissenschaften, außerordentlicher Professor der staatlichen Universität.

• Unterrichtskosten: 1500 r.-2000 r./60 min. je nach Klasse.
• Produkte: Mathematik, Analysis, Lineare Algebra, Wahrscheinlichkeitstheorie
• Die Stadt: Moskau
• Nächste Metrostation: Nowogirejewo
• Hausbesuch: erhältlich
• Status: Schullehrer
• Bildung: Pädagogisches Institut Swerdlowsk, Fachrichtung: Mathematik, Informatik und Informatik, Abschluss 1991.

Erfahrener Lehrer in mathematischer Statistik.
Professionelle und hochwertige Vorbereitung auf die 9. Klasse des HSE Lyceums im Jahr 2019. Intensives Arbeiten an den Varianten der HSE Comprehensive Tests, sowie an Aufgabenstellungen, die strikt den Prüfungsvarianten entsprechen! Sorgfältige Methodenentwicklung zur Lösung aller Aufgaben des Comprehensive Test! Der Schüler wird gut vorbereitet sein!
Systematisierung des Wissens für die Klassen 5 - 11. Effektive und aussagekräftige Klimmzüge im Programm (Algebra und Geometrie). Sicherstellung einer konstant hohen Studienleistung (für „4“ und „5“). Gründliche Vorbereitung auf die OGE - 2019. Lernen, Probleme des 1. und 2. Teils der OGE-Optionen zu lösen ...
  

Privatdozent für mathematische Statistik.
Schülerinnen und Schüler der Klassen 5-11, Studienbewerber (Vorbereitung an der Staatlichen Universität Moskau bzw. auf Aufgaben C5 und C6 beim Einheitlichen Staatsexamen), Studierende (Lehrveranstaltungen im allgemeinen Studiengang Höhere Mathematik: Mathematische Analysis, Analytische Geometrie, Lineare Algebra, Wahrscheinlichkeitstheorie) .
Ich gebe ziemlich ernsthaften Unterricht zu Autorenmaterialien, individuell ausgewählte Aufgaben für jeden Schüler. Außerdem analysiere ich komplexe Olympiade-Nummern und C6 mit dem Einheitlichen Staatsexamen.
Der Mindestpreis für eine Unterrichtsstunde beträgt 90 min. 3300 Rubel.
Bei der Vorbereitung an der Moskauer Staatsuniversität oder für die Aufgaben C5 und C6 auf der Einheitlichen Staatsprüfung - innerhalb von 3800-4000 Rubel.
Professioneller Mathe-Nachhilfelehrer. Garantierte Arbeitsqualität. Individuelle Herangehensweise und Methodenauswahl für jeden Studierenden...
  

• Unterrichtskosten: 2200 Rubel. / 60min
• Produkte: Mathematik, Analysis, Wahrscheinlichkeitstheorie, Lineare Algebra
• Die Stadt: Moskau
• Nächste Metrostation: Schukinskaja
• Hausbesuch: Nein
• Status: Privatlehrer
• Bildung: Höhere pädagogische Ausbildung: Fakultät für Mathematik, Staatliche Pädagogische Universität Moskau. Abschluss 1996.

Qualifizierter Tutor für mathematische Statistik.
Fächer: Mathematik (Schule und Oberstufe, OGE und EGE), Physik (Schule, OGE und EGE), Wahrscheinlichkeitstheorie, Mathematische Statistik, Kombinatorik.
Schüler, Bewerber, Studenten. Vorbereitung für jede Universität, VERWENDUNG, Olympiade. Fächer: Mathematik, Physik, Mathematische Analysis, Lineare Algebra, Analytische Geometrie, Wahrscheinlichkeitstheorie, Mathematische Statistik, Zufallsprozesse.
Dozent für Vorbereitungskurse an der Universität.
  

• Unterrichtskosten: Mein Tarif zu Hause in Dolgoprudny beträgt 3000 Rubel/60 min. , beim Studenten zu Hause - 3700 Rubel / 60 min. , Fernunterricht (Skype) - 2700 Rubel / 60 min.
• Produkte: Mathematik, Physik, Wahrscheinlichkeitstheorie, Analysis
• Städte: Moskau, Lobnya, Dolgoprudny, Dmitrov
• Nächste Metrostationen: Altufievo, Flussstation
• Hausbesuch: erhältlich
• Status: Universitätsprofessor
• Bildung: Moskauer Institut für Physik und Technologie (MIPT), Fakultät für Kontroll- und Angewandte Mathematik, Ph.D.

Erfahrener Mathelehrer.
Mathematik und Physik für Mittel- und Oberstufenschüler, Studenten, Erwachsene, Vorbereitung auf die OGE und die USE. Klassen mit Studienbewerbern. Einzelunterricht ist am effektivsten. Große Lehrerfahrung garantiert das erfolgreiche Studium der komplexesten Themen.
  

• Unterrichtskosten: Mathematik und Physik: 90 Min. / 900 Rubel für Schulkinder.
  Studenten und Erwachsene 90 Min. / 1200 Rubel.
• Produkte: Mathematik, Analysis, Physik
• Städte: Moskau, Schukowski, Schukowski, Schukowski, Schukowski
• Nächste Metrostationen: Kotelniki, Wychin
• Hausbesuch: erhältlich
• Status: Privatlehrer
• Bildung: Moskauer Staatsuniversität M. V. Lomonosov, Fakultät für Physik, Institut für Mathematik für die Fakultät für Physik, 1976. Russische Akademie für Unternehmertum, 1994