Matrizen vom Diagonaltyp sind am einfachsten angeordnet. Es stellt sich die Frage, ob es möglich ist, eine Basis zu finden, in der die Matrix eines linearen Operators eine Diagonalform hätte. Eine solche Grundlage ist vorhanden.
Gegeben sei ein linearer Raum R n und ein darin wirkender linearer Operator A; in diesem Fall nimmt der Operator A R n in sich auf, also A:R n → R n .

Definition. Ein von Null verschiedener Vektor x heißt Eigenvektor des Operators A, wenn der Operator A x in einen zu ihm kollinearen Vektor transformiert, d.h. Die Zahl λ heißt Eigenwert oder Eigenwert des Operators A, der dem Eigenvektor x entspricht.
Wir bemerken einige Eigenschaften von Eigenwerten und Eigenvektoren.
1. Beliebige Linearkombination von Eigenvektoren des Operators A, der demselben Eigenwert λ entspricht, ist ein Eigenvektor mit demselben Eigenwert.
2. Eigenvektoren Operator A mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1 , λ 2 , …, λ m sind linear unabhängig.
3. Sind die Eigenwerte λ 1 = λ 2 = λ m = λ, dann entspricht der Eigenwert λ höchstens m linear unabhängigen Eigenvektoren.

Also, wenn es n linear unabhängige Eigenvektoren gibt entsprechend unterschiedlichen Eigenwerten λ 1 , λ 2 , …, λ n , dann sind sie linear unabhängig, daher können sie dem Raum R n zugrunde gelegt werden. Finden wir die Form der Matrix des linearen Operators A in der Basis seiner Eigenvektoren, für die wir mit dem Operator A auf den Basisvektoren operieren: dann .
Somit hat die Matrix des linearen Operators A auf der Basis ihrer Eigenvektoren eine diagonale Form und die Eigenwerte des Operators A liegen auf der Diagonale.
Gibt es eine andere Basis, in der die Matrix eine Diagonalform hat? Die Antwort auf diese Frage liefert der folgende Satz.

Satz. Die Matrix eines linearen Operators A in der Basis (i = 1..n) hat genau dann Diagonalform, wenn alle Vektoren der Basis Eigenvektoren des Operators A sind.

Regel zum Finden von Eigenwerten und Eigenvektoren

Lassen Sie den Vektor , wobei x 1 , x 2 , …, x n - Koordinaten des Vektors x relativ zur Basis und x ist der Eigenvektor des linearen Operators A entsprechend dem Eigenwert λ, d.h. Diese Beziehung kann in Matrixform geschrieben werden

. (*)

Die Gleichung (*) kann als Gleichung zum Auffinden von x , und betrachtet werden, das heißt, wir sind an nicht-trivialen Lösungen interessiert, da der Eigenvektor nicht Null sein kann. Es ist bekannt, dass nichttriviale Lösungen eines homogenen linearen Gleichungssystems genau dann existieren, wenn det(A - λE) = 0 ist. Damit λ also ein Eigenwert des Operators A ist, ist es notwendig und ausreichend, dass det(A - λE ) = 0.
Wenn die Gleichung (*) im Detail in Koordinatenform geschrieben wird, erhalten wir ein System linearer homogener Gleichungen:

(1)
wo ist die Matrix des linearen Operators.

System (1) hat eine von Null verschiedene Lösung, wenn seine Determinante D gleich Null ist

Wir haben eine Gleichung zum Finden von Eigenwerten.
Diese Gleichung heißt charakteristische Gleichung und ihre linke Seite heißt charakteristisches Polynom der Matrix (Operator) A. Wenn das charakteristische Polynom keine reellen Wurzeln hat, dann hat die Matrix A keine Eigenvektoren und kann nicht auf eine Diagonalform reduziert werden.
Seien λ 1 , λ 2 , …, λ n die reellen Wurzeln der charakteristischen Gleichung, und es können Vielfache davon vorkommen. Setzen wir diese Werte wiederum in System (1) ein, finden wir die Eigenvektoren.

Beispiel 12. Der lineare Operator A wirkt im R 3 nach dem Gesetz , wobei x 1 , x 2 , ..., x n die Koordinaten des Vektors in der Basis sind , , . Finden Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren dieses Operators.
Entscheidung. Wir bauen die Matrix dieses Operators:
.
Wir stellen ein System zur Bestimmung der Koordinaten von Eigenvektoren zusammen:

Wir stellen die charakteristische Gleichung auf und lösen sie:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Setzen wir λ = -1 in das System ein, haben wir:
oder
Als , dann gibt es zwei abhängige Variablen und eine freie Variable.
Sei also x 1 eine freie Unbekannte Wir lösen dieses System auf beliebige Weise und finden die allgemeine Lösung dieses Systems: Das fundamentale Lösungssystem besteht aus einer Lösung, da n - r = 3 - 2 = 1.
Der dem Eigenwert λ = -1 entsprechende Satz von Eigenvektoren hat die Form: , wobei x 1 eine beliebige Zahl ungleich Null ist. Wählen wir einen Vektor aus dieser Menge, indem wir beispielsweise x 1 = 1 setzen: .
Ähnlich argumentierend finden wir den Eigenvektor, der dem Eigenwert λ = 3 entspricht: .
Im Raum R 3 besteht die Basis aus drei linear unabhängigen Vektoren, aber wir haben nur zwei linear unabhängige Eigenvektoren erhalten, aus denen die Basis im R 3 nicht gebildet werden kann. Folglich kann die Matrix A eines linearen Operators nicht auf eine diagonale Form reduziert werden.

Beispiel 13 Gegeben eine Matrix .
1. Beweisen Sie, dass der Vektor ein Eigenvektor der Matrix A ist. Finden Sie den Eigenwert, der diesem Eigenvektor entspricht.
2. Finden Sie eine Basis, in der die Matrix A eine Diagonalform hat.
Entscheidung.
1. Wenn , dann ist x ein Eigenvektor

.
Vektor (1, 8, -1) ist ein Eigenvektor. Eigenwert λ = -1.
Die Matrix hat eine diagonale Form in der Basis, die aus Eigenvektoren besteht. Einer von ihnen ist berühmt. Finden wir den Rest.
Wir suchen nach Eigenvektoren aus dem System:

Charakteristische Gleichung: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ2 - 1) = 0
λ 1 = –3, λ 2 = 1, λ 3 = –1.
Finden Sie den Eigenvektor, der dem Eigenwert λ = -3 entspricht:

Der Rang der Matrix dieses Systems ist gleich zwei und ist gleich der Anzahl der Unbekannten, daher hat dieses System nur eine Nulllösung x 1 = x 3 = 0. x 2 kann hier beispielsweise alles andere als Null sein, x 2 = 1. Somit ist der Vektor (0 ,1,0) ein Eigenvektor entsprechend λ = –3. Lass uns das Prüfen:
.
Wenn λ = 1, dann erhalten wir das System
Der Rang der Matrix ist zwei. Streiche die letzte Gleichung durch.
Sei x 3 die freie Unbekannte. Dann x 1 \u003d -3x 3, 4x 2 \u003d 10x 1 - 6x 3 \u003d -30x 3 - 6x 3, x 2 \u003d -9x 3.
Unter der Annahme x 3 = 1 haben wir (-3,-9,1) - einen Eigenvektor, der dem Eigenwert λ = 1 entspricht. Prüfen Sie:

.
Da die Eigenwerte reell und unterschiedlich sind, sind die ihnen entsprechenden Vektoren linear unabhängig, sodass sie in R 3 zugrunde gelegt werden können. Also in der Basis , , Matrix A hat die Form:
.
Nicht jede Matrix eines linearen Operators A:R n → R n kann auf eine Diagonalform reduziert werden, da es für einige lineare Operatoren weniger als n linear unabhängige Eigenvektoren geben kann. Ist die Matrix jedoch symmetrisch, so entsprechen genau m linear unabhängige Vektoren der Wurzel der charakteristischen Gleichung der Multiplizität m.

Definition. Eine symmetrische Matrix ist eine quadratische Matrix, in der die Elemente, die in Bezug auf die Hauptdiagonale symmetrisch sind, gleich sind, dh in der .
Bemerkungen. 1. Alle Eigenwerte einer symmetrischen Matrix sind reell.
2. Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix, die paarweise unterschiedlichen Eigenwerten entsprechen, sind orthogonal.
Als eine der zahlreichen Anwendungen des untersuchten Apparats betrachten wir das Problem der Bestimmung der Form einer Kurve zweiter Ordnung.

Definition 9.3. Vektor X namens eigenen Vektor Matrizen SONDERN wenn es eine solche Nummer gibt λ, dass die Gleichheit gilt: SONDERN X= λ X, das heißt, das Ergebnis der Anwendung auf X lineare Transformation durch die Matrix gegeben SONDERN, ist die Multiplikation dieses Vektors mit der Zahl λ . Die Nummer selbst λ namens eigene Nummer Matrizen SONDERN.

Einsetzen in Formeln (9.3) x` j = λx j , wir erhalten ein Gleichungssystem zur Bestimmung der Koordinaten des Eigenvektors:

. (9.5)

Dieses lineare homogene System hat nur dann eine nichttriviale Lösung, wenn seine Hauptdeterminante 0 ist (Cramer-Regel). Indem Sie diese Bedingung in der Form schreiben:

wir erhalten eine Gleichung zur Bestimmung der Eigenwerte λ namens charakteristische Gleichung. Kurz zusammengefasst lässt es sich wie folgt darstellen:

| A-λE | = 0, (9.6)

da seine linke Seite die Determinante der Matrix ist A-λE. Polynom bzgl λ | A-λE| namens charakteristisches Polynom Matrizen A.

Eigenschaften des charakteristischen Polynoms:

1) Das charakteristische Polynom einer linearen Transformation hängt nicht von der Wahl der Basis ab. Nachweisen. (siehe (9.4)), aber somit, . Es kommt also nicht auf die Wahl der Basis an. Daher und | A-λE| ändert sich beim Übergang auf eine neue Basis nicht.

2) Wenn die Matrix SONDERN lineare Transformation ist symmetrisch(jene. ein ij = ein ji), dann sind alle Wurzeln der charakteristischen Gleichung (9.6) reelle Zahlen.

Eigenschaften von Eigenwerten und Eigenvektoren:

1) Wenn wir eine Basis aus Eigenvektoren wählen x 1, x 2, x 3 entsprechend den Eigenwerten λ 1 , λ 2 , λ 3 Matrizen SONDERN, dann hat in dieser Basis die lineare Transformation A eine Diagonalmatrix:

(9.7) Der Beweis dieser Eigenschaft folgt aus der Definition von Eigenvektoren.

2) Wenn die Transformationseigenwerte SONDERN unterschiedlich sind, dann sind die ihnen entsprechenden Eigenvektoren linear unabhängig.

3) Wenn das charakteristische Polynom der Matrix SONDERN hat drei verschiedene Wurzeln, dann in gewisser Weise die Matrix SONDERN hat eine diagonale Form.

Finden wir die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix. Machen wir die charakteristische Gleichung: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Finden Sie die Koordinaten der Eigenvektoren, die jedem gefundenen Wert entsprechen λ. Aus (9.5) folgt, wenn X (1) ={x1, x2, x3) ist der zugehörige Eigenvektor λ 1 = -2, dann

ist ein kooperatives, aber unbestimmtes System. Seine Lösung kann geschrieben werden als X (1) ={a,0,-a), wobei a eine beliebige Zahl ist. Insbesondere, wenn Sie das verlangen | x (1) |=1, X (1) =

Einsetzen in das System (9.5) λ 2 = 3 erhalten wir ein System zur Bestimmung der Koordinaten des zweiten Eigenvektors - x (2) ={y1,y2,y3}:

, wo X (2) ={b,-b,b) oder, sofern | x (2) |=1, x (2) =

Für λ 3 = 6 Finden Sie den Eigenvektor x (3) ={z1, z2, z3}:

, x (3) ={c,2c,c) oder in der normalisierten Version

X (3) = Man kann sehen, dass X (1) X (2) = ab-ab= 0, x (1) x (3) = ac-ac= 0, x (2) x (3) = v. Chr- 2bc + bc= 0. Somit sind die Eigenvektoren dieser Matrix paarweise orthogonal.

Vortrag 10

Quadratische Formen und ihr Zusammenhang mit symmetrischen Matrizen. Eigenschaften von Eigenvektoren und Eigenwerten einer symmetrischen Matrix. Reduktion einer quadratischen Form auf eine kanonische Form.

Definition 10.1.quadratische Form echte Variablen x 1, x 2, …, x n ein Polynom zweiten Grades bezüglich dieser Variablen heißt, das keinen freien Term und Terme ersten Grades enthält.

Beispiele für quadratische Formen:

(n = 2),

(n = 3). (10.1)

Erinnern Sie sich an die Definition einer symmetrischen Matrix aus der letzten Vorlesung:

Definition 10.2. Die quadratische Matrix heißt symmetrisch, wenn , also wenn die zur Hauptdiagonale symmetrischen Matrixelemente gleich sind.

Eigenschaften von Eigenwerten und Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix:

1) Alle Eigenwerte einer symmetrischen Matrix sind reell.

Beweis (z n = 2).

Lassen Sie die Matrix SONDERN sieht aus wie: . Stellen wir die charakteristische Gleichung auf:

(10.2) Finde die Diskriminante:

Daher hat die Gleichung nur reelle Wurzeln.

2) Die Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix sind orthogonal.

Beweis (z n= 2).

Die Koordinaten der Eigenvektoren und müssen die Gleichungen erfüllen.

Vortrag 9

Lineare Transformationen von Koordinaten. Eigenvektoren und Eigenwerte einer Matrix, ihre Eigenschaften. Charakteristisches Polynom einer Matrix, ihre Eigenschaften.

Wir werden das auf der Menge der Vektoren sagenRgegeben Transformation SONDERN , wenn jeder Vektor X R nach irgendeiner Regel der Vektor SONDERN X R.

Definition 9.1.Transformation SONDERN namens linear, wenn für irgendwelche Vektoren X und beim und für jede reelle Zahl λ Gleichheiten sind erfüllt:

SONDERN( X + beim )=SONDERN X+A beim ,A(λ X ) = λ A X. (9.1)

Definition 9.2.Die lineare Transformation wird aufgerufen identisch, wenn es irgendeinen Vektor transformiert X in sich.

Die Identitätstransformation ist bezeichnet SIE X= X .

Betrachten Sie einen dreidimensionalen Raum mit einer Basis e 1 , e 2, e 3 , in der die lineare Transformation angegeben ist SONDERN. Wenden wir es auf die Basisvektoren an, erhalten wir die Vektoren SONDERN e 1, SONDERN e 2, SONDERN e 3 Zugehörigkeit zu diesem dreidimensionalen Raum. Daher kann jeder von ihnen in Bezug auf Basisvektoren auf einzigartige Weise erweitert werden:

SONDERN e 1 = eine 11 e 1+ eine 21 e 2+ 31 e 3,

SONDERN e 2 = eine 12 e 1+ eine 22 e 2+ eine 32 e 3 ,(9.2)

SONDERN e 3= eine 13 e 1+ eine 23 e 2+ eine 33 e 3 .

Matrix namens lineare Transformationsmatrix SONDERN in grundlage e 1 , e 2, e 3 . Die Spalten dieser Matrix setzen sich aus den Koeffizienten in Formeln (9.2) der Basistransformation zusammen.

Kommentar. Offensichtlich ist die Matrix der Identitätstransformation die Identitätsmatrix E.

Für einen beliebigen Vektor X = x 1 e 1+ x 2 e 2+x 3 e 3 das Ergebnis der Anwendung einer linearen Transformation darauf SONDERN wird Vektor SONDERN X, die in Vektoren gleicher Basis entwickelt werden können: SONDERN X = x` 1 e 1+ x` 2 e 2+ x` 3 e 3 , wo die Koordinatenx` ichfindet man mit den Formeln:

X` 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 ,

x` 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3,(9.3)

x` 3 = a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 .

Die Koeffizienten in den Formeln dieser linearen Transformation sind Elemente der Zeilen der Matrix SONDERN.

Lineare Transformationsmatrixtransformation

beim Umzug auf eine neue Basis.

Betrachten Sie eine lineare Transformation A und zwei Basen im dreidimensionalen Raum: e1, e2, e 3 und e 1 , e 2 , e 3 . Lassen Sie die Matrix C die Übergangsformeln aus der Basis (e k) zur Basis ( e k). Wenn in der ersten dieser Basen die gewählte lineare Transformation durch die Matrix A gegeben ist, und in der zweiten - durch die Matrix SONDERN, dann können wir eine Beziehung zwischen diesen Matrizen finden, nämlich:

A \u003d C-1 SONDERN C(9.4)

In der Tat dann SONDERN . Andererseits die Ergebnisse der Anwendung derselben linearen Transformation SONDERN auf Basis (e k), d. h. , und in der Basis (e k ): bzw. - sind durch die Matrix verbunden Mit: , woraus folgt SA= SONDERN Mit. Multiplizieren Sie beide Seiten dieser Gleichheit auf der linken Seite mit Mit-1 bekommen wir Mit -1 CA = = C -1 SONDERN Mit, was die Gültigkeit von Formel (9.4) beweist.

Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix.

Definition 9.3.Vektor X namens eigenen Vektor Matrizen SONDERN wenn es eine solche Nummer gibt λ, dass die Gleichheit gilt: SONDERN X= λ X, das heißt, das Ergebnis der Anwendung auf X lineare Transformation durch die Matrix gegeben SONDERN, ist die Multiplikation dieses Vektors mit der Zahl λ . Die Nummer selbst λ namens eigene Nummer Matrizen SONDERN.

Einsetzen in Formeln (9.3)x` j = λ xj, wir erhalten ein Gleichungssystem zur Bestimmung der Koordinaten des Eigenvektors:

.

Von hier

.(9.5)

Das linear homogen Das System wird nur dann eine nichttriviale Lösung haben, wenn seine Hauptdeterminante 0 ist (Cramer-Regel). Indem Sie diese Bedingung in der Form schreiben:

wir erhalten eine Gleichung zur Bestimmung der Eigenwerte λ namens charakteristische Gleichung. Kurz zusammengefasst lässt es sich wie folgt darstellen:

| EIN -λ E | = 0,(9.6)

da seine linke Seite die Determinante der Matrix ist SONDERN- λE. Polynom bzgl λ| EIN -λ E| namens charakteristisches Polynom Matrizen A.

Eigenschaften des charakteristischen Polynoms:

1) Das charakteristische Polynom einer linearen Transformation hängt nicht von der Wahl der Basis ab. (mit siehe (9.4)), aber somit, . Es kommt also nicht auf die Wahl der Basis an. Daher und |EIN-λ E| ändert sich beim Übergang auf eine neue Basis nicht.

2) Wenn die Matrix SONDERN lineare Transformation ist symmetrisch(jene. a ij= ein Ji), dann sind alle Wurzeln der charakteristischen Gleichung (9.6) reelle Zahlen.

Eigenschaften von Eigenwerten und Eigenvektoren:

1) Wenn wir eine Basis aus Eigenvektoren wählen x 1, x 2, x 3 entsprechend den Eigenwerten λ 1 , λ 2 , λ 3 Matrizen SONDERN, dann hat in dieser Basis die lineare Transformation A eine Diagonalmatrix:

(9.7) Der Beweis dieser Eigenschaft folgt aus der Definition von Eigenvektoren.

2) Wenn die Transformationseigenwerte SONDERN unterschiedlich sind, dann sind die ihnen entsprechenden Eigenvektoren linear unabhängig.

3) Wenn das charakteristische Polynom der Matrix SONDERN hat drei verschiedene Wurzeln, dann in gewisser Weise die Matrix SONDERN hat eine diagonale Form.

Beispiel.

Lassen Sie uns die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix C finden, verlassen Sie die charakteristische Gleichung: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Finden Sie die Koordinaten der Eigenvektoren, die jedem gefundenen Wert entsprechen λ. Aus (9.5) folgt, wenn X (1) ={ x 1 , x 2 , x 3 ) ist der zugehörige Eigenvektor λ 1 = -2, dann

ist ein kooperatives, aber unbestimmtes System. Seine Lösung kann geschrieben werden als X (1) ={ a,0,- a), wobei a eine beliebige Zahl ist. Insbesondere, wenn Sie das verlangen |x (1) |=1, X (1) =

Einsetzen in das System (9.5) λ 2 = 3 erhalten wir ein System zur Bestimmung der Koordinaten des zweiten Eigenvektors-x (2) ={ j 1 , j 2 , j 3

Lineare Transformationen von Koordinaten. Eigenvektoren und Eigenwerte einer Matrix, ihre Eigenschaften. Charakteristisches Polynom einer Matrix, ihre Eigenschaften.

Wir werden das auf der Menge der Vektoren sagen R gegeben TransformationSONDERN , wenn jeder Vektor X R nach irgendeiner Regel der Vektor SONDERNX R.

Definition 9.1. Transformation SONDERN namens linear, wenn für irgendwelche Vektoren X und beim und für jede reelle Zahl λ Gleichheiten sind erfüllt:

SONDERN(X + beim )=SONDERNX +Abeim ,A(λX ) =λ AX . (9.1)

Definition 9.2. Die lineare Transformation wird aufgerufen identisch, wenn es irgendeinen Vektor transformiert X in sich.

Die Identitätstransformation ist bezeichnet SIEX = X .

Betrachten Sie einen dreidimensionalen Raum mit einer Basis e 1 , e 2 , e 3 , in der die lineare Transformation angegeben ist SONDERN. Wenden wir es auf die Basisvektoren an, erhalten wir die Vektoren SONDERNe 1 , SONDERNe 2 , SONDERNe 3 Zugehörigkeit zu diesem dreidimensionalen Raum. Daher kann jeder von ihnen in Bezug auf Basisvektoren auf einzigartige Weise erweitert werden:

SONDERNe 1 = ein 11 e 1 + a 21 e 2 +a 31 e 3 ,

SONDERNe 2 = ein 12 e 1 + a 22 e 2 + a 32 e 3 , (9.2)

SONDERNe 3 = ein 13 e 1 + a 23 e 2 + a 33 e 3 .

Matrix
namens lineare TransformationsmatrixSONDERN in grundlage e 1 , e 2 , e 3 . Die Spalten dieser Matrix setzen sich aus den Koeffizienten in Formeln (9.2) der Basistransformation zusammen.

Kommentar. Offensichtlich ist die Matrix der Identitätstransformation die Identitätsmatrix E.

Für einen beliebigen Vektor X =x 1 e 1 +x 2 e 2 +x 3 e 3 das Ergebnis der Anwendung einer linearen Transformation darauf SONDERN wird Vektor SONDERNX , die in Vektoren gleicher Basis entwickelt werden können: SONDERNX =x` 1 e 1 + x` 2 e 2 + x` 3 e 3 , wo die Koordinaten x` ich findet man mit den Formeln:

X` 1 = ein 11 x 1 +a 12 x 2 +a 13 x 3 ,

x` 2 = ein 21 x 1 +a 22 x 2 +a 23 x 3 , (9.3)

x` 3 = a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 .

Die Koeffizienten in den Formeln dieser linearen Transformation sind Elemente der Zeilen der Matrix SONDERN.

Lineare Transformationsmatrixtransformation

beim Umzug auf eine neue Basis.

Betrachten Sie eine lineare Transformation A und zwei Basen im dreidimensionalen Raum: e 1 , z 2 , e 3 und e 1 , e 2 , e 3 . Lassen Sie die Matrix C die Übergangsformeln aus der Basis ( e k) zur Basis ( e k). Wenn in der ersten dieser Grundlagen die gewählte lineare Transformation durch die Matrix A gegeben ist, und in der zweiten - durch die Matrix SONDERN, dann können wir eine Beziehung zwischen diesen Matrizen finden, nämlich:

A \u003d C-1 SONDERN C (9.4)

Wirklich,
, dann SONDERN
. Andererseits die Ergebnisse der Anwendung derselben linearen Transformation SONDERN auf Basis ( e k), d.h. , und in der Basis ( e k ): bzw - verbunden durch eine Matrix Mit:
, woraus folgt SA=SONDERN Mit. Multiplizieren Sie beide Seiten dieser Gleichheit auf der linken Seite mit Mit-1 bekommen wir Mit - 1 CA = = C -1 SONDERN Mit, was die Gültigkeit von Formel (9.4) beweist.

Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix.

Definition 9.3. Vektor X namens eigenen Vektor Matrizen SONDERN wenn es eine solche Nummer gibt λ, dass die Gleichheit gilt: SONDERNX = λ X , das heißt, das Ergebnis der Anwendung auf X lineare Transformation durch die Matrix gegeben SONDERN, ist die Multiplikation dieses Vektors mit der Zahl λ . Die Nummer selbst λ namens eigene Nummer Matrizen SONDERN.

Einsetzen in Formeln (9.3) x` j = λ x j , wir erhalten ein Gleichungssystem zur Bestimmung der Koordinaten des Eigenvektors:

.

. (9.5)

Dieses lineare homogene System hat nur dann eine nichttriviale Lösung, wenn seine Hauptdeterminante 0 ist (Cramer-Regel). Indem Sie diese Bedingung in der Form schreiben:

wir erhalten eine Gleichung zur Bestimmung der Eigenwerte λ namens charakteristische Gleichung. Kurz zusammengefasst lässt es sich wie folgt darstellen:

| EIN - λ E| = 0, (9.6)

da seine linke Seite die Determinante der Matrix ist A-λE. Polynom bzgl λ | EIN - λ E| namens charakteristisches Polynom Matrizen A.

Eigenschaften des charakteristischen Polynoms:

Eigenschaften von Eigenwerten und Eigenvektoren:

Wenn wir eine Basis aus Eigenvektoren wählen X 1 , X 2 , X 3 entsprechend den Eigenwerten λ 1 , λ 2 , λ 3 Matrizen SONDERN, dann hat in dieser Basis die lineare Transformation A eine Diagonalmatrix:

(9.7) Der Beweis dieser Eigenschaft folgt aus der Definition von Eigenvektoren.

Wenn die Transformationseigenwerte SONDERN unterschiedlich sind, dann sind die ihnen entsprechenden Eigenvektoren linear unabhängig.

Wenn das charakteristische Polynom der Matrix SONDERN hat drei verschiedene Wurzeln, dann in gewisser Weise die Matrix SONDERN hat eine diagonale Form.

Finden wir die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix Stellen wir die charakteristische Gleichung auf:
(1-λ )(5 -λ )(1 -λ ) + 6 - 9(5 -λ ) - (1 -λ ) - (1 -λ ) = 0,λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2,λ 2 = 3,λ 3 = 6.

Finden Sie die Koordinaten der Eigenvektoren, die jedem gefundenen Wert entsprechen λ. Aus (9.5) folgt, wenn X (1) ={x 1 , x 2 , x 3 ) ist der zugehörige Eigenvektor λ 1 = -2, dann

ist ein kooperatives, aber unbestimmtes System. Seine Lösung kann geschrieben werden als X (1) ={a,0,-a), wobei a eine beliebige Zahl ist. Insbesondere, wenn Sie das verlangen | x (1) |=1,X (1) =

Einsetzen in das System (9.5) λ 2 = 3 erhalten wir ein System zur Bestimmung der Koordinaten des zweiten Eigenvektors - x (2) ={j 1 , j 2 , j 3 }:

, wo X (2) ={b,- b, b) oder, sofern | x (2) |=1,x (2) =

Für λ 3 = 6 Finden Sie den Eigenvektor x (3) ={z 1 , z 2 , z 3 }:

,x (3) ={c,2 c, c) oder in der normalisierten Version

X (3) =
Man kann sehen, dass X (1) X (2) =ab – ab = 0,x (1) x (3) =ac – ac = 0,x (2) x (3) =v. Chr - 2v. Chr + v. Chr = 0. Somit sind die Eigenvektoren dieser Matrix paarweise orthogonal.