Die Wellengleichung ist ein Ausdruck, der die Verschiebung eines oszillierenden Teilchens als Funktion seiner Koordinaten x, y, z und der Zeit t angibt:

(gemeint sind die Koordinaten der Gleichgewichtslage des Teilchens). Diese Funktion muss sowohl bezüglich der Zeit t als auch bezüglich der Koordinaten x, y, z periodisch sein. Die zeitliche Periodizität ergibt sich daraus, dass sie die Schwingungen eines Teilchens mit den Koordinaten x, y, z beschreibt. Die Periodizität in Koordinaten ergibt sich aus der Tatsache, dass Punkte, die durch einen Abstand K voneinander entfernt sind, auf die gleiche Weise schwingen.

Finden wir die Form der Funktion im Fall einer ebenen Welle unter der Annahme, dass die Schwingungen harmonischer Natur sind. Zur Vereinfachung richten wir die Koordinatenachsen so aus, dass die Achse mit der Richtung der Wellenausbreitung übereinstimmt. Dann stehen die Wellenoberflächen senkrecht zur Achse und da alle Punkte der Wellenoberfläche gleich schwingen, hängt die Verschiebung nur davon ab. Die Schwingungen der in der Ebene liegenden Punkte (Abb. 94.1) haben die Form

Finden wir die Art der Schwingung von Punkten in der Ebene, die einem beliebigen Wert von x entspricht. Um von der Ebene x = 0 zu dieser Ebene zu gelangen, benötigt die Welle Zeit – die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle).

Folglich werden die Schwingungen der in der x-Ebene liegenden Teilchen zeitlich nacheilen gegenüber den Schwingungen der Teilchen in der Ebene, d. h. sie werden die Form haben

Die Gleichung einer ebenen Welle (sowohl longitudinal als auch transversal), die sich in Richtung der x-Achse ausbreitet, lautet also wie folgt:

Die Größe a repräsentiert die Amplitude der Welle. Die Anfangsphase der Welle a wird durch die Wahl der Ursprünge bestimmt. Bei der Betrachtung einer einzelnen Welle werden die Zeitursprünge und Koordinaten normalerweise so gewählt, dass a gleich Null ist. Bei der gemeinsamen Betrachtung mehrerer Wellen kann in der Regel nicht sichergestellt werden, dass die Anfangsphasen aller Wellen gleich Null sind.

Lassen Sie uns einen beliebigen Wert der Phase in Gleichung (94.2) festlegen, indem wir Folgendes eingeben:

(94.3)

Dieser Ausdruck definiert die Beziehung zwischen der Zeit t und dem Ort x, an dem die Phase einen festen Wert hat. Der resultierende Wert gibt die Geschwindigkeit an, mit der sich ein bestimmter Phasenwert bewegt. Durch Differenzieren des Ausdrucks (94.3) erhalten wir

Somit ist die Geschwindigkeit der Wellenausbreitung v in Gleichung (94.2) die Geschwindigkeit der Phasenbewegung und wird daher Phasengeschwindigkeit genannt.

Nach (94.4). Folglich beschreibt Gleichung (94.2) eine Welle, die sich in Richtung zunehmenden x ausbreitet. Eine Welle, die sich in die entgegengesetzte Richtung ausbreitet, wird durch die Gleichung beschrieben

Tatsächlich gelangen wir zu der Beziehung, indem wir die Phase der Welle (94.5) mit einer Konstanten gleichsetzen und die resultierende Gleichheit differenzieren

woraus folgt, dass sich die Welle (94.5) in Richtung abnehmender x ausbreitet.

Die ebene Wellengleichung kann in eine bezüglich x und t symmetrische Form gebracht werden. Dazu führen wir die Menge ein

was als Wellenzahl bezeichnet wird. Nachdem wir Zähler und Nenner des Ausdrucks (94.6) auf die Frequenz v reduziert haben, können wir die Wellenzahl in der Form darstellen

(siehe Formel (93.2)). Wenn wir die Klammern in (94.2) öffnen und (94.7) berücksichtigen, erhalten wir die folgende Gleichung für eine ebene Welle, die sich entlang der x-Achse ausbreitet:

Die Gleichung einer Welle, die sich in Richtung des abnehmenden x ausbreitet, unterscheidet sich von (94.8) nur im Vorzeichen des Termes

Bei der Ableitung der Formel (94.8) haben wir angenommen, dass die Amplitude der Schwingungen nicht von x abhängt. Bei einer ebenen Welle wird dies dann beobachtet, wenn die Wellenenergie nicht vom Medium absorbiert wird. Bei der Ausbreitung in einem energieabsorbierenden Medium nimmt die Intensität der Welle mit der Entfernung von der Schwingungsquelle allmählich ab – es wird eine Wellendämpfung beobachtet. Die Erfahrung zeigt, dass in einem homogenen Medium eine solche Dämpfung nach einem Exponentialgesetz erfolgt: mit einer zeitlichen Abnahme der Amplitude der gedämpften Schwingungen; siehe Formel (58.7) des 1. Bandes). Dementsprechend hat die ebene Wellengleichung die folgende Form:

Amplitude an Punkten der Ebene

Lassen Sie uns nun die Gleichung einer Kugelwelle finden. Jede echte Wellenquelle hat eine gewisse Ausdehnung. Wenn wir uns jedoch auf die Betrachtung von Wellen beschränken, deren Entfernung von der Quelle deutlich über deren Abmessungen liegt, kann die Quelle als Punktquelle betrachtet werden. In einem isotropen und homogenen Medium ist die von einer Punktquelle erzeugte Welle kugelförmig. Nehmen wir an, dass die Phase der Schwingungen der Quelle gleich ist. Dann schwingen die auf der Wellenoberfläche mit Radius liegenden Punkte mit der Phase

Bevor wir den Wellenprozess betrachten, wollen wir eine Definition der Schwingungsbewegung geben. Zögern - Dies ist ein sich periodisch wiederholender Vorgang. Beispiele für oszillierende Bewegungen sind sehr vielfältig: der Wechsel der Jahreszeiten, Herzvibrationen, Atmung, Ladung auf den Platten eines Kondensators und andere.

Die Schwingungsgleichung wird in allgemeiner Form geschrieben als

Wo - Schwingungsamplitude,
- zyklische Frequenz, - Zeit, - Anfangsphase. Oftmals kann man davon ausgehen, dass die Anfangsphase Null ist.

Von der oszillierenden Bewegung können wir zur Wellenbewegung übergehen. Welle ist der Prozess der zeitlichen Ausbreitung von Schwingungen im Raum. Da sich Schwingungen zeitlich im Raum ausbreiten, muss die Wellengleichung sowohl Raumkoordinaten als auch Zeit berücksichtigen. Die Wellengleichung hat die Form

wobei A 0 – Amplitude,  – Frequenz, t – Zeit,  – Wellenzahl, z – Koordinate.

Die physikalische Natur von Wellen ist sehr vielfältig. Bekannt sind Schall-, elektromagnetische, Gravitations- und akustische Wellen.

Basierend auf der Art der Schwingung können alle Wellen in Longitudinal- und Transversalwellen eingeteilt werden. Longitudinalwellen - das sind Wellen, bei denen die Teilchen des Mediums entlang der Ausbreitungsrichtung der Welle schwingen (Abb. 3.1a). Ein Beispiel für eine Longitudinalwelle ist eine Schallwelle.

Transversalwellen - Dabei handelt es sich um Wellen, bei denen die Teilchen des Mediums quer zur Ausbreitungsrichtung schwingen (Abb. 3.1b).

Elektromagnetische Wellen werden als Transversalwellen klassifiziert. Es ist zu berücksichtigen, dass bei elektromagnetischen Wellen das Feld oszilliert und keine Schwingungen der Partikel des Mediums auftreten. Wenn sich eine Welle mit einer Frequenz  im Raum ausbreitet, dann z Welle angerufen monochromatisch .

Um die Ausbreitung von Wellenprozessen zu beschreiben, werden folgende Merkmale eingeführt. Das Kosinusargument (siehe Formel (3.2)), d.h. Ausdruck
, angerufen Wellenphase .

Schematisch ist die Wellenausbreitung entlang einer Koordinate in Abb. dargestellt. 3.2, in diesem Fall erfolgt die Ausbreitung entlang der z-Achse.

Zeitraum – Zeit einer vollständigen Schwingung. Der Zeitraum wird mit dem Buchstaben T bezeichnet und in Sekunden (s) gemessen. Der Kehrwert der Periode heißt lineare Frequenz und ist bezeichnet F, gemessen in Hertz (=Hz). Die lineare Frequenz hängt mit der Kreisfrequenz zusammen. Der Zusammenhang wird durch die Formel ausgedrückt

(3.3)

Wenn wir die Zeit t festlegen, dann ergibt sich aus Abb. 3.2 Es ist klar, dass es Punkte gibt, zum Beispiel A und B, die gleich schwingen, d. h. in Phase (in Phase). Der Abstand zwischen den nächsten zwei gleichphasig oszillierenden Punkten wird genannt Wellenlänge . Die Wellenlänge wird mit  bezeichnet und in Metern (m) gemessen.

Wellenzahl  und Wellenlänge  hängen durch die Formel miteinander zusammen

(3.4)

Die Wellenzahl  wird auch Phasenkonstante oder Ausbreitungskonstante genannt. Aus Formel (3.4) geht hervor, dass die Ausbreitungskonstante gemessen wird in ( ). Die physikalische Bedeutung besteht darin, dass sie angibt, um wie viel Bogenmaß sich die Phase der Welle ändert, wenn sie einen Meter Weg zurücklegt.

Zur Beschreibung des Wellenprozesses wird der Begriff der Wellenfront eingeführt. Wellenfront – Dies ist die geometrische Lage der imaginären Punkte der Oberfläche, die die Anregung erreicht hat. Eine Wellenfront wird auch Wellenfront genannt.

Die Gleichung, die die Wellenfront einer ebenen Welle beschreibt, kann aus Gleichung (3.2) in der Form erhalten werden

(3.5)

Formel (3.5) ist die Wellenfrontgleichung einer ebenen Welle. Gleichung (3.4) zeigt, dass Wellenfronten unendliche Ebenen sind, die sich im Raum senkrecht zur z-Achse bewegen.

Die Bewegungsgeschwindigkeit der Phasenfront wird aufgerufen Phasengeschwindigkeit . Die Phasengeschwindigkeit wird mit V f bezeichnet und durch die Formel bestimmt

(3.6)

Gleichung (3.2) enthält zunächst eine Phase mit zwei Vorzeichen – negativ und positiv. Negatives Vorzeichen, d.h.
, zeigt an, dass sich die Wellenfront entlang der positiven Ausbreitungsrichtung der z-Achse ausbreitet. Eine solche Welle nennt man Wandern oder Fallen.

Ein positives Vorzeichen der Wellenphase zeigt eine Bewegung der Wellenfront in die entgegengesetzte Richtung an, d. h. entgegengesetzt zur z-Achsenrichtung. Eine solche Welle nennt man reflektiert.

Im Folgenden betrachten wir Wanderwellen.

Wenn sich eine Welle in einer realen Umgebung ausbreitet, kommt es aufgrund der auftretenden Wärmeverluste zwangsläufig zu einer Abnahme der Amplitude. Schauen wir uns ein einfaches Beispiel an. Lassen Sie die Welle sich entlang der z-Achse ausbreiten und der Anfangswert der Wellenamplitude entspricht 100 %, d. h. A 0 =100. Nehmen wir an, dass die Amplitude der Welle beim Passieren eines Meters Weg um 10 % abnimmt. Dann haben wir die folgenden Werte der Wellenamplituden

Das allgemeine Muster der Amplitudenänderungen hat die Form

Die Exponentialfunktion hat diese Eigenschaften. Grafisch kann der Vorgang in Form von Abb. dargestellt werden. 3.3.

Im Allgemeinen schreiben wir die Proportionalitätsrelation als

, (3.7)

wobei  die Wellendämpfungskonstante ist.

Die Phasenkonstante  und die Dämpfungskonstante  können durch Einführung einer komplexen Ausbreitungskonstante  kombiniert werden, d. h.

, (3.8)

wobei  die Phasenkonstante und  die Wellendämpfungskonstante ist.

Je nach Art der Wellenfront werden ebene, sphärische und zylindrische Wellen unterschieden.

Flugzeugwelle ist eine Welle mit einer ebenen Wellenfront. Eine ebene Welle kann auch wie folgt definiert werden. Eine Welle heißt eben, homogen, wenn das Vektorfeld Und an jedem Punkt der Ebene stehen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung und ändern weder Phase noch Amplitude.

Ebene Wellengleichung

Wenn die Quelle, die die Welle erzeugt, eine Punktquelle ist, dann ist die Wellenfront, die sich in einem unbegrenzten homogenen Raum ausbreitet, eine Kugel. Kugelwelle ist eine Welle mit einer kugelförmigen Wellenfront. Die Kugelwellengleichung hat die Form

, (3.10)

Dabei ist r der Radiusvektor, der vom Ursprung, der mit der Position der Punktquelle übereinstimmt, zu einem bestimmten Punkt im Raum im Abstand r gezogen wird.

Die Wellen können durch eine endlose Reihe von Quellen entlang der z-Achse angeregt werden. In diesem Fall erzeugt ein solcher Faden Wellen, deren Phasenfront eine zylindrische Oberfläche ist.

Zylindrische Welle ist eine Welle, die eine Phasenfront in Form einer zylindrischen Oberfläche hat. Die Gleichung einer Zylinderwelle lautet

, (3.11)

Die Formeln (3.2), (3.10, 3.11) zeigen eine unterschiedliche Abhängigkeit der Amplitude vom Abstand zwischen der Wellenquelle und dem spezifischen Punkt im Raum, den die Welle erreicht hat.

Helmholtz-Gleichungen

Maxwell erzielte eines der wichtigsten Ergebnisse der Elektrodynamik und bewies, dass die Ausbreitung elektromagnetischer Prozesse im Raum über die Zeit in Form einer Welle erfolgt. Betrachten wir den Beweis dieses Satzes, d.h. Lassen Sie uns die Wellennatur des elektromagnetischen Feldes beweisen.

Schreiben wir die ersten beiden Maxwell-Gleichungen in komplexer Form als

(3.12)

Nehmen wir die zweite Gleichung des Systems (3.12) und wenden die Rotoroperation auf der linken und rechten Seite darauf an. Als Ergebnis bekommen wir

Bezeichnen wir
, was die Ausbreitungskonstante darstellt. Auf diese Weise

(3.14)

Andererseits können wir basierend auf der bekannten Identität in der Vektoranalyse schreiben

, (3.15)

Wo
ist der Laplace-Operator, der im kartesischen Koordinatensystem durch die Identität ausgedrückt wird

(3.16)

Betrachtet man das Gaußsche Gesetz, d.h.
, Gleichung (3.15) wird in einer einfacheren Form geschrieben

, oder

(3.17)

In ähnlicher Weise können wir mithilfe der Symmetrie der Maxwell-Gleichungen eine Gleichung für den Vektor erhalten , d.h.

(3.18)

Gleichungen der Form (3.17, 3.18) heißen Helmholtz-Gleichungen. In der Mathematik wurde nachgewiesen, dass, wenn ein Prozess in Form von Helmholtz-Gleichungen beschrieben wird, dies bedeutet, dass es sich bei dem Prozess um einen Wellenprozess handelt. In unserem Fall kommen wir zu dem Schluss: Zeitlich veränderliche elektrische und magnetische Felder führen zwangsläufig zur Ausbreitung elektromagnetischer Wellen im Raum.

In Koordinatenform wird die Helmholtz-Gleichung (3.17) geschrieben als

Wo ,,- Einheitsvektoren entlang der entsprechenden Koordinatenachsen

,

,

.(3.20)

Eigenschaften ebener Wellen bei der Ausbreitung in nicht absorbierenden Medien

Wenn sich eine ebene elektromagnetische Welle entlang der z-Achse ausbreitet, dann wird die Ausbreitung der Welle durch ein System von Differentialgleichungen beschrieben

(3.21)

Wo Und - komplexe Feldamplituden,

(3.22)

Die Lösung zu System (3.21) hat die Form

(3.23)

Wenn sich die Welle nur in einer Richtung entlang der Z-Achse ausbreitet, und der Vektor entlang der x-Achse gerichtet ist, empfiehlt es sich, die Lösung des Gleichungssystems in der Form aufzuschreiben

(3.24)

Wo Und - Einheitsvektoren entlang der x-, y-Achsen.

Wenn es keine Verluste im Medium gibt, d.h. Umgebungsparameter  a und  a, und
sind reale Größen.

Lassen Sie uns die Eigenschaften ebener elektromagnetischer Wellen auflisten

Für das Medium wird das Konzept der Wellenimpedanz des Mediums eingeführt

(3.25)

Wo ,
- Amplitudenwerte der Feldstärken. Auch die charakteristische Impedanz für ein verlustfreies Medium ist ein realer Wert.

Für Luft beträgt der Wellenwiderstand

(3.26)

Aus Gleichung (3.24) geht hervor, dass das magnetische und das elektrische Feld in Phase sind. Das ebene Wellenfeld ist eine Wanderwelle, die in der Form geschrieben wird

(3.27)

In Abb. 3.4 Feldvektoren Und Phasenänderung, wie aus Formel (3.27) folgt.

Der Poynting-Vektor stimmt zu jedem Zeitpunkt mit der Ausbreitungsrichtung der Welle überein

(3.28)

Der Poynting-Vektormodul bestimmt die Leistungsflussdichte und wird in gemessen
.

Die durchschnittliche Leistungsflussdichte wird bestimmt durch

(3.29)

, (3.30)

Wo
- effektive Werte der Feldstärken.

Die in einer Volumeneinheit enthaltene Feldenergie wird als Energiedichte bezeichnet. Das elektromagnetische Feld verändert sich im Laufe der Zeit, d.h. ist variabel. Der Wert der Energiedichte zu einem bestimmten Zeitpunkt wird als momentane Energiedichte bezeichnet. Für die elektrische und magnetische Komponente des elektromagnetischen Feldes sind die momentanen Energiedichten jeweils gleich

Bedenkt, dass
Aus den Beziehungen (3.31) und (3.32) geht hervor, dass
.

Die gesamte elektromagnetische Energiedichte ist gegeben durch

(3.33)

Die Phasengeschwindigkeit der Ausbreitung einer elektromagnetischen Welle wird durch die Formel bestimmt

(3.34)

Die Wellenlänge wird bestimmt

(3.35)

Wo - Wellenlänge im Vakuum (Luft), s - Lichtgeschwindigkeit in Luft,  - relative Dielektrizitätskonstante,  - relative magnetische Permeabilität, F– lineare Frequenz,  – zyklische Frequenz, V f – Phasengeschwindigkeit,  – Ausbreitungskonstante.

Aus der Formel lässt sich die Geschwindigkeit der Energiebewegung (Gruppengeschwindigkeit) ermitteln

(3.36)

Wo - Poynting-Vektor, - Energiedichte.

Wenn Sie malen und gemäß den Formeln (3.28), (3.33) erhalten wir

(3.37)

Somit erhalten wir

(3.38)

Wenn sich eine elektromagnetische monochromatische Welle in einem verlustfreien Medium ausbreitet, sind die Phasen- und Gruppengeschwindigkeiten gleich.

Es gibt einen Zusammenhang zwischen Phasen- und Gruppengeschwindigkeit, der durch die Formel ausgedrückt wird

(3.39)

Betrachten wir ein Beispiel für die Ausbreitung einer elektromagnetischen Welle in Fluorkunststoff mit den Parametern  =2, =1. Die elektrische Feldstärke sei entsprechend

(3.40)

Die Geschwindigkeit der Wellenausbreitung in einem solchen Medium ist gleich

Der Wellenwiderstand von Fluorkunststoff entspricht dem Wert

Ohm (3,42)

Die Amplitudenwerte der magnetischen Feldstärke nehmen die Werte an

, (3.43)

Die Energieflussdichte ist dementsprechend gleich

Wellenlänge bei Frequenz
hat die Bedeutung

(3.45)

Umov-Poynting-Theorem

Ein elektromagnetisches Feld zeichnet sich durch seine eigene Feldenergie aus und die Gesamtenergie wird durch die Summe der Energien des elektrischen und magnetischen Feldes bestimmt. Nehmen wir an, dass das elektromagnetische Feld ein geschlossenes Volumen V einnimmt, dann können wir schreiben

(3.46)

Die Energie des elektromagnetischen Feldes kann grundsätzlich kein konstanter Wert bleiben. Es stellt sich die Frage: Welche Faktoren beeinflussen die Energieänderung? Es wurde festgestellt, dass die Energieänderung innerhalb eines geschlossenen Volumens von folgenden Faktoren beeinflusst wird:

ein Teil der Energie des elektromagnetischen Feldes kann in andere Energiearten umgewandelt werden, beispielsweise in mechanische;

innerhalb eines geschlossenen Volumens können äußere Kräfte wirken, die die Energie des im betrachteten Volumen enthaltenen elektromagnetischen Feldes erhöhen oder verringern können;

Das betrachtete geschlossene Volumen V kann durch den Prozess der Energiestrahlung Energie mit umgebenden Körpern austauschen.

Die Strahlungsintensität wird durch den Poynting-Vektor charakterisiert . Volumen V hat eine geschlossene Oberfläche S. Die Änderung der Energie des elektromagnetischen Feldes kann als Fluss des Poynting-Vektors durch die geschlossene Oberfläche S (Abb. 3.5) betrachtet werden, d.h.
, und Optionen sind möglich
>0 ,
<0 ,
=0 . Beachten Sie, dass die Normale zur Oberfläche gezogen wird
,ist immer extern.

Wir möchten Sie daran erinnern
, Wo
sind momentane Feldstärkewerte.

Übergang vom Oberflächenintegral
zum Integral über das Volumen V erfolgt auf Basis des Ostrogradsky-Gauss-Theorems.

Wissend, dass

Setzen wir diese Ausdrücke in die Formel (3.47) ein. Nach der Transformation erhalten wir einen Ausdruck in der Form:

Aus Formel (3.48) geht hervor, dass die linke Seite durch eine Summe ausgedrückt wird, die aus drei Termen besteht, die wir jeweils separat betrachten werden.

Begriff
drückt aus momentaner Leistungsverlust , verursacht durch Leitungsströme im betrachteten geschlossenen Volumen. Mit anderen Worten: Der Begriff drückt die Wärmeenergieverluste des in einem geschlossenen Volumen eingeschlossenen Feldes aus.

Zweites Semester
drückt die pro Zeiteinheit geleistete Arbeit äußerer Kräfte aus, d.h. Macht äußerer Kräfte. Für eine solche Leistung sind die möglichen Werte
>0,
<0.

Wenn
>0, diese. Wird dem Volumen V Energie zugeführt, so können äußere Kräfte als Generator betrachtet werden. Wenn
<0 , d.h. Im Volumen V nimmt die Energie ab, dann spielen äußere Kräfte die Rolle der Belastung.

Der letzte Term für ein lineares Medium kann wie folgt dargestellt werden:

(3.49)

Formel (3.49) drückt die Änderungsrate der Energie des elektromagnetischen Feldes aus, das im Volumen V enthalten ist.

Nach Berücksichtigung aller Terme kann Formel (3.48) wie folgt geschrieben werden:

Formel (3.50) drückt den Satz von Poynting aus. Der Satz von Poynting drückt das Energiegleichgewicht innerhalb einer beliebigen Region aus, in der ein elektromagnetisches Feld existiert.

Verzögerte Potenziale

Maxwells Gleichungen in komplexer Form haben bekanntlich die Form:

(3.51)

In einem homogenen Medium gebe es äußere Ströme. Versuchen wir, die Maxwell-Gleichungen für ein solches Medium umzuwandeln und eine einfachere Gleichung zu erhalten, die das elektromagnetische Feld in einem solchen Medium beschreibt.

Nehmen wir die Gleichung
.Wissen, dass die Eigenschaften Und verbunden
, dann können wir schreiben
Bedenken wir, dass die magnetische Feldstärke mit ausgedrückt werden kann Vektorelektrodynamisches Potential , was durch die Relation eingeführt wird
, Dann

(3.52)

Nehmen wir die zweite Gleichung des Maxwell-Systems (3.51) und führen die Transformationen durch:

(3.53)

Formel (3.53) drückt Maxwells zweite Gleichung in Form des Vektorpotentials aus . Formel (3.53) kann geschrieben werden als

(3.54)

In der Elektrostatik gilt bekanntlich folgender Zusammenhang:

(3.55)

Wo -Feldstärkevektor,
- Skalares elektrostatisches Potential. Das Minuszeichen zeigt an, dass der Vektor von einem Punkt mit höherem Potenzial zu einem Punkt mit niedrigerem Potenzial gerichtet.

Der Ausdruck in Klammern (3.54) kann analog zur Formel (3.55) in der Form geschrieben werden

(3.56)

Wo
- Skalares elektrodynamisches Potential.

Nehmen wir die erste Gleichung von Maxwell und schreiben sie unter Verwendung elektrodynamischer Potentiale

In der Vektoralgebra wurde folgende Identität nachgewiesen:

Unter Verwendung der Identität (3.58) können wir Maxwells erste Gleichung, geschrieben in der Form (3.57), als darstellen

Lassen Sie uns etwas Ähnliches geben

Multiplizieren Sie die linke und rechte Seite mit einem Faktor (-1):

kann auf beliebige Weise angegeben werden, daher können wir davon ausgehen

Ausdruck (3.60) wird aufgerufen Lorentz-Messgerät .

Wenn w=0 , dann bekommen wir Coulomb-Kalibrierung
=0.

Unter Berücksichtigung der Messgeräte kann Gleichung (3.59) geschrieben werden

(3.61)

Gleichung (3.61) drückt aus inhomogene Wellengleichung für das vektorelektrodynamische Potential.

In ähnlicher Weise, basierend auf Maxwells dritter Gleichung
können wir eine inhomogene Gleichung für erhalten Skalares elektrodynamisches Potential als:

(3.62)

Die resultierenden inhomogenen Gleichungen für elektrodynamische Potentiale haben ihre eigenen Lösungen

, (3.63)

Wo M– beliebiger Punkt M, - volumetrische Ladungsdichte, γ – Ausbreitungskonstante, R

(3.64)

Wo V– von externen Strömen eingenommenes Volumen, R– aktueller Abstand von jedem Element des Quellvolumens zum Punkt M.

Die Lösung für das vektorielle elektrodynamische Potential (3.63) heißt (3.64). Kirchhoff-Integral für retardierte Potentiale .

Faktor
kann unter Berücksichtigung ausgedrückt werden
als

Dieser Faktor entspricht der endlichen Geschwindigkeit der Wellenausbreitung von der Quelle und
Weil Ist die Geschwindigkeit der Wellenausbreitung ein endlicher Wert, so erreicht der Einfluss der Quelle, die die Wellen erzeugt, mit einer Zeitverzögerung einen beliebigen Punkt M. Der Verzögerungszeitwert wird bestimmt durch:
In Abb. 3.6 zeigt eine Punktquelle U, der Kugelwellen aussendet, die sich mit der Geschwindigkeit v im umgebenden homogenen Raum ausbreiten, sowie ein beliebiger, in einiger Entfernung befindlicher Punkt M R, die die Welle erreicht.

Zu einem bestimmten Zeitpunkt T Vektorpotential
am Punkt M ist eine Funktion der in der Quelle fließenden Ströme U zu einem früheren Zeitpunkt
Mit anderen Worten,
hängt von den Quellenströmen ab, die zu einem früheren Zeitpunkt darin geflossen sind

Aus der Formel (3.64) geht hervor, dass das vektorelektrodynamische Potential parallel (kodirektional) zur Stromdichte der äußeren Kräfte verläuft; seine Amplitude nimmt gesetzesgemäß ab; Bei großen Entfernungen im Vergleich zur Größe des Emitters weist die Welle eine kugelförmige Wellenfront auf.

Angesichts
und Maxwells erster Gleichung kann die elektrische Feldstärke bestimmt werden:

Die daraus resultierenden Beziehungen bestimmen das elektromagnetische Feld im Raum, das durch eine gegebene Verteilung äußerer Ströme entsteht

Ausbreitung ebener elektromagnetischer Wellen in hochleitenden Medien

Betrachten wir die Ausbreitung einer elektromagnetischen Welle in einem leitenden Medium. Solche Medien werden auch metallähnliche Medien genannt. Ein reales Medium ist leitfähig, wenn die Dichte der Leitungsströme die Dichte der Verschiebungsströme deutlich übersteigt, d. h.
Und
, Und
, oder

(3.66)

Formel (3.66) drückt die Bedingung aus, unter der ein reales Medium als leitfähig angesehen werden kann. Mit anderen Worten: Der Imaginärteil der komplexen Dielektrizitätskonstante muss größer sein als der Realteil. Formel (3.66) zeigt auch die Abhängigkeit abhängig von der Frequenz, und je niedriger die Frequenz, desto ausgeprägter sind die Eigenschaften des Leiters im Medium. Schauen wir uns diese Situation anhand eines Beispiels an.

Ja, bei Frequenz F = 1 MHz = 10 6 Hz trockener Boden hat die Parameter =4, =0,01 ,. Vergleichen wir miteinander Und , d.h.
. Aus den erhaltenen Werten geht hervor, dass 1,610 -19 >> 3,5610 -11, daher sollte trockener Boden als leitfähig angesehen werden, wenn sich eine Welle mit einer Frequenz von 1 MHz ausbreitet.

Für ein reales Medium geben wir die komplexe Dielektrizitätskonstante an

(3.67)

Weil in unserem Fall
, dann können wir für ein leitendes Medium schreiben

, (3.68)

wobei  die spezifische Leitfähigkeit und  die zyklische Frequenz ist.

Die Ausbreitungskonstante  wird bekanntlich aus den Helmholtz-Gleichungen bestimmt

Somit erhalten wir eine Formel für die Ausbreitungskonstante

(3.69)

Es ist bekannt, dass

(3.70)

Unter Berücksichtigung der Identität (3.49) kann die Formel (3.50) in das Formular geschrieben werden

(3.71)

Die Ausbreitungskonstante wird ausgedrückt als

(3.72)

Der Vergleich der Real- und Imaginärteile in den Formeln (3.71), (3.72) führt zur Gleichheit der Werte der Phasenkonstante  und der Dämpfungskonstante , d.h.

(3.73)

Aus Formel (3.73) schreiben wir die Wellenlänge aus, die das Feld bei der Ausbreitung in einem gut leitenden Medium annimmt

(3.74)

Wo - Wellenlänge in Metall.

Aus der resultierenden Formel (3.74) wird deutlich, dass die Länge der sich im Metall ausbreitenden elektromagnetischen Welle im Vergleich zur Wellenlänge im Raum deutlich reduziert ist.

Oben wurde gesagt, dass die Amplitude einer Welle bei Ausbreitung in einem Medium mit Verlusten gesetzesgemäß abnimmt
. Um den Prozess der Wellenausbreitung in einem leitenden Medium zu charakterisieren, wird das Konzept eingeführt Tiefe der Oberflächenschicht oder Eindringtiefe .

Tiefe der Oberflächenschicht - Dies ist der Abstand d, bei dem die Amplitude der Oberflächenwelle im Vergleich zu ihrem Ausgangsniveau um den Faktor e abnimmt.

(3.75)

Wo - Wellenlänge in Metall.

Aus der Formel lässt sich auch die Tiefe der Oberflächenschicht ermitteln

, (3.76)

Dabei ist  die zyklische Frequenz,  a die absolute magnetische Permeabilität des Mediums,  die spezifische Leitfähigkeit des Mediums.

Aus Formel (3.76) geht hervor, dass mit zunehmender Frequenz und spezifischer Leitfähigkeit die Tiefe der Oberflächenschicht abnimmt.

Geben wir ein Beispiel. Leitfähigkeit Kupfer
bei der Frequenz F = 10 GHz ( = 3cm) hat eine Oberflächenschichttiefe d =
. Daraus lässt sich eine wichtige Schlussfolgerung für die Praxis ziehen: Durch das Aufbringen einer Schicht aus einem hochleitfähigen Stoff auf eine nichtleitende Beschichtung können Geräteelemente mit geringen Wärmeverlusten hergestellt werden.

Reflexion und Brechung einer ebenen Welle an der Grenzfläche

Wenn sich eine ebene elektromagnetische Welle im Raum ausbreitet, besteht dieser aus Regionen mit unterschiedlichen Parameterwerten
und der Grenzfläche in Form einer Ebene entstehen reflektierte und gebrochene Wellen. Die Intensitäten dieser Wellen werden durch die Reflexions- und Brechungskoeffizienten bestimmt.

Wellenreflexionskoeffizient ist das Verhältnis der komplexen Werte der elektrischen Feldstärken der reflektierten zu einfallenden Wellen an der Grenzfläche und wird durch die Formel bestimmt:

(3.77)

Erfolgsquote Wellen in das zweite Medium aus dem ersten heißt das Verhältnis der komplexen Werte der elektrischen Feldstärken der gebrochenen zum Fallen Wellen und wird durch die Formel bestimmt

(3.78)

Wenn der Poynting-Vektor der einfallenden Welle senkrecht zur Grenzfläche steht, dann

(3.79)

wobei Z 1 ,Z 2 – charakteristischer Widerstand für die entsprechenden Medien.

Der charakteristische Widerstand wird durch die Formel bestimmt:

Wo
(3.80)

.

Bei schrägem Einfall wird die Richtung der Wellenausbreitung relativ zur Grenzfläche durch den Einfallswinkel bestimmt. Einfallswinkel – der Winkel zwischen der Flächennormalen und der Strahlausbreitungsrichtung.

Einfallsebene ist die Ebene, die den einfallenden Strahl und die zum Einfallspunkt wiederhergestellte Normale enthält.

Aus den Randbedingungen ergeben sich die Einfallswinkel und Brechung im Zusammenhang mit dem Snelliusschen Gesetz:

(3.81)

wobei n 1, n 2 die Brechungsindizes der entsprechenden Medien sind.

Elektromagnetische Wellen zeichnen sich durch Polarisation aus. Es gibt elliptische, zirkulare und lineare Polarisationen. Bei der linearen Polarisation wird zwischen horizontaler und vertikaler Polarisation unterschieden.

Horizontale Polarisation – Polarisation, bei der der Vektor schwingt in einer Ebene senkrecht zur Einfallsebene.

Lassen Sie eine ebene elektromagnetische Welle mit horizontaler Polarisation auf die Grenzfläche zwischen zwei Medien fallen, wie in Abb. 3.7. Der Poynting-Vektor der einfallenden Welle wird durch angegeben . Weil die Welle hat horizontale Polarisation, d.h. Schwingt der elektrische Feldstärkevektor in einer Ebene senkrecht zur Einfallsebene, so wird er bezeichnet und in Abb. 3.7 ist als Kreis mit einem Kreuz dargestellt (von uns weggerichtet). Dementsprechend liegt der magnetische Feldstärkevektor in der Einfallsebene der Welle und wird bezeichnet . Vektoren ,,bilden ein rechtes Triplett von Vektoren.

Für eine reflektierte Welle sind die entsprechenden Feldvektoren mit dem Index „neg“ versehen, für eine gebrochene Welle ist der Index „pr“.

Bei horizontaler (senkrechter) Polarisation werden die Reflexions- und Transmissionskoeffizienten wie folgt bestimmt (Abb. 3.7).

An der Schnittstelle zwischen zwei Medien sind Randbedingungen erfüllt, d. h.

In unserem Fall müssen wir tangentiale Projektionen von Vektoren identifizieren, d.h. kann aufgeschrieben werden

Die magnetischen Feldstärkelinien der einfallenden, reflektierten und gebrochenen Wellen sind senkrecht zur Einfallsebene gerichtet. Deshalb sollten wir schreiben

Auf dieser Grundlage können wir ein System erstellen, das auf Randbedingungen basiert

Es ist auch bekannt, dass die elektrischen und magnetischen Feldstärken über den Wellenwiderstand des Mediums Z miteinander verbunden sind

Dann kann die zweite Gleichung des Systems geschrieben werden als

Das Gleichungssystem nahm also die Form an

Teilen wir beide Gleichungen dieses Systems durch die Amplitude der einfallenden Welle
und unter Berücksichtigung der Definitionen des Brechungsindex (3,77) und der Transmission (3,78) können wir das System in der Form schreiben

Das System hat zwei Lösungen und zwei unbekannte Größen. Es ist bekannt, dass ein solches System lösbar ist.

Vertikale Polarisation – Polarisation, bei der der Vektor schwingt in der Einfallsebene.

Bei vertikaler (paralleler) Polarisation werden die Reflexions- und Transmissionskoeffizienten wie folgt ausgedrückt (Abb. 3.8).

Für die vertikale Polarisation wird ein ähnliches Gleichungssystem geschrieben wie für die horizontale Polarisation, jedoch unter Berücksichtigung der Richtung der elektromagnetischen Feldvektoren

Ein solches Gleichungssystem kann in ähnlicher Weise auf die Form reduziert werden

Die Lösung des Systems sind die Ausdrücke für die Reflexions- und Transmissionskoeffizienten

Wenn ebene elektromagnetische Wellen mit paralleler Polarisation auf die Grenzfläche zwischen zwei Medien treffen, kann der Reflexionskoeffizient Null werden. Der Einfallswinkel, bei dem die einfallende Welle vollständig und ohne Reflexion von einem Medium in ein anderes eindringt, wird Brewster-Winkel genannt und mit bezeichnet
.

(3.84)

(3.85)

Wir betonen, dass der Brewster-Winkel beim Einfall einer ebenen elektromagnetischen Welle auf ein nichtmagnetisches Dielektrikum nur bei paralleler Polarisation existieren kann.

Trifft eine ebene elektromagnetische Welle in einem beliebigen Winkel auf die Grenzfläche zwischen zwei Medien mit Verlusten ein, so sind die reflektierten und gebrochenen Wellen als inhomogen zu betrachten, da die Ebene gleicher Amplituden mit der Grenzfläche zusammenfallen muss. Bei echten Metallen ist der Winkel zwischen der Phasenfront und der Ebene gleicher Amplituden klein, sodass wir davon ausgehen können, dass der Brechungswinkel 0 beträgt.

Ungefähre Randbedingungen von Shchukin-Leontovich

Diese Randbedingungen gelten, wenn eines der Medien ein guter Leiter ist. Nehmen wir an, dass eine ebene elektromagnetische Welle aus Luft unter einem Winkel  auf eine ebene Grenzfläche mit einem gut leitenden Medium einfällt, die durch den komplexen Brechungsindex beschrieben wird

(3.86)

Aus der Definition des Begriffs eines gut leitenden Mediums ergibt sich Folgendes
. Unter Anwendung des Snelliusschen Gesetzes lässt sich feststellen, dass der Brechungswinkel  sehr klein sein wird. Daraus lässt sich schließen, dass die gebrochene Welle bei jedem Wert des Einfallswinkels nahezu entlang der Normalenrichtung in das gut leitende Medium eintritt.

Unter Verwendung der Leontovich-Randbedingungen müssen Sie die Tangenskomponente des magnetischen Vektors kennen . Normalerweise wird angenommen, dass dieser Wert ungefähr mit einer ähnlichen Komponente übereinstimmt, die für die Oberfläche eines idealen Leiters berechnet wurde. Der aus einer solchen Näherung resultierende Fehler wird sehr gering sein, da der Reflexionskoeffizient von der Oberfläche von Metallen in der Regel nahe Null liegt.

Emission elektromagnetischer Wellen in den freien Raum

Lassen Sie uns herausfinden, unter welchen Bedingungen elektromagnetische Energie in den freien Raum abgestrahlt wird. Betrachten Sie dazu einen punktförmigen monochromatischen Emitter elektromagnetischer Wellen, der im Ursprung eines sphärischen Koordinatensystems platziert ist. Bekanntlich ist ein sphärisches Koordinatensystem durch (r, Θ, φ) gegeben, wobei r der Radiusvektor ist, der vom Ursprung des Systems zum Beobachtungspunkt gezogen wird; Θ – Meridianwinkel, gemessen von der Z-Achse (Zenit) zum Radiusvektor, der zum Punkt M gezeichnet wird; φ – Azimutwinkel, gemessen von der X-Achse zur Projektion des vom Ursprung zum Punkt M′ gezogenen Radiusvektors (M′ ist die Projektion des Punktes M auf die XOY-Ebene). (Abb.3.9).

Ein Punktstrahler befindet sich in einem homogenen Medium mit den Parametern

Ein Punktstrahler sendet elektromagnetische Wellen in alle Richtungen aus und jede Komponente des elektromagnetischen Feldes gehorcht der Helmholtz-Gleichung, mit Ausnahme des Punktes R=0 . Wir können eine komplexe Skalarfunktion Ψ einführen, unter der jede beliebige Feldkomponente verstanden wird. Dann hat die Helmholtz-Gleichung für die Funktion Ψ die Form:

(3.87)

Wo
- Wellenzahl (Ausbreitungskonstante).

(3.88)

Nehmen wir an, dass die Funktion Ψ sphärische Symmetrie hat, dann kann die Helmholtz-Gleichung wie folgt geschrieben werden:

(3.89)

Gleichung (3.89) kann auch geschrieben werden als:

(3.90)

Die Gleichungen (3.89) und (3.90) sind miteinander identisch. Gleichung (3.90) ist in der Physik als Schwingungsgleichung bekannt. Diese Gleichung hat zwei Lösungen, die bei gleichen Amplituden die Form haben:

(3.91)

(3.92)

Wie aus (3.91), (3.92) ersichtlich ist, unterscheidet sich die Lösung der Gleichung nur im Vorzeichen. Darüber hinaus, zeigt eine eingehende Welle von der Quelle an, d. h. Die Welle breitet sich von der Quelle bis ins Unendliche aus. Zweite Welle zeigt an, dass die Welle aus dem Unendlichen zur Quelle kommt. Physikalisch gesehen kann ein und dieselbe Quelle nicht gleichzeitig zwei Wellen erzeugen: wandernde und aus dem Unendlichen kommende. Daher ist es notwendig, die Welle zu berücksichtigen existiert physisch nicht.

Das betreffende Beispiel ist recht einfach. Aber im Falle der Energieemission aus einem Quellensystem ist die Wahl der richtigen Lösung sehr schwierig. Daher ist ein analytischer Ausdruck erforderlich, der ein Kriterium für die Auswahl der richtigen Lösung darstellt. Wir benötigen ein allgemeines Kriterium in analytischer Form, das es uns ermöglicht, eine eindeutige physikalisch bestimmte Lösung zu wählen.

Mit anderen Worten, wir brauchen ein Kriterium, das eine Funktion, die eine Wanderwelle von einer Quelle bis ins Unendliche ausdrückt, von einer Funktion unterscheidet, die eine Welle beschreibt, die vom Unendlichen zu einer Strahlungsquelle kommt.

Dieses Problem wurde von A. Sommerfeld gelöst. Er zeigte das für eine Wanderwelle, die durch die Funktion beschrieben wird Es gilt folgende Beziehung:

(3.93)

Diese Formel heißt Strahlungszustand oder Sommerfeld-Zustand .

Betrachten wir einen elementaren elektrischen Emitter in Form eines Dipols. Ein elektrischer Dipol ist ein kurzes Stück Draht l im Vergleich zur Wellenlänge  ( l<< ), по которому протекает переменный ток (рис. 3.9). Т.к. соблюдается выполнение условия l<< , то можно считать, что во всех сечениях провода в данный момент времени протекает одинаковый ток

Es ist nicht schwer zu zeigen, dass die Änderung des elektrischen Feldes im Raum um den Draht wellenförmiger Natur ist. Betrachten wir der Klarheit halber ein extrem vereinfachtes Modell des Prozesses der Bildung und Veränderung der elektrischen Komponente des elektromagnetischen Feldes, das der Draht aussendet. In Abb. Abbildung 3.11 zeigt ein Modell des Strahlungsprozesses des elektrischen Feldes einer elektromagnetischen Welle über einen Zeitraum, der einer Periode entspricht

Bekanntlich entsteht elektrischer Strom durch die Bewegung elektrischer Ladungen, nämlich

oder

In Zukunft werden wir nur noch die Positionsänderung positiver und negativer Ladungen auf dem Draht berücksichtigen. Die elektrische Feldlinie beginnt bei einer positiven Ladung und endet bei einer negativen Ladung. In Abb. In Abb. 3.11 ist die Stromleitung mit einer gepunkteten Linie dargestellt. Es sei daran erinnert, dass das elektrische Feld im gesamten Raum um den Leiter herum erzeugt wird, obwohl in Abb. Abbildung 3.11 zeigt eine Stromleitung.

Damit Wechselstrom durch einen Leiter fließen kann, ist eine Wechsel-EMK-Quelle erforderlich. Eine solche Quelle ist in der Mitte des Drahtes enthalten. Der Zustand des elektrischen Feldemissionsprozesses wird durch Zahlen von 1 bis 13 angezeigt. Jede Zahl entspricht einem bestimmten Zeitpunkt, der mit dem Zustand des Prozesses verbunden ist. Der Zeitpunkt t=1 entspricht dem Beginn des Prozesses, d.h. EMF = 0. Im Moment t=2 tritt eine alternierende EMF auf, die die Bewegung von Ladungen verursacht, wie in Abb. 3.11. Beim Auftreten bewegter Ladungen im Draht entsteht im Raum ein elektrisches Feld. Im Laufe der Zeit (t = 3 ÷ 5) wandern die Ladungen zu den Enden des Leiters und die Stromleitung bedeckt einen immer größeren Teil des Raums. Die Kraftlinie breitet sich mit Lichtgeschwindigkeit senkrecht zum Draht aus. Zum Zeitpunkt t = 6 – 8 nimmt die EMK ab, nachdem sie den Maximalwert überschritten hat. Ladungen bewegen sich zur Mitte des Drahtes.

Zum Zeitpunkt t = 9 endet die Halbperiode der EMK-Änderung und sie sinkt auf Null. In diesem Fall verschmelzen die Gebühren und gleichen sich gegenseitig aus. In diesem Fall gibt es kein elektrisches Feld. Die Stärkelinie des abgestrahlten elektrischen Feldes schließt sich und entfernt sich weiter vom Draht.

Als nächstes kommt der zweite Halbzyklus des EMF-Wechsels, die Vorgänge werden unter Berücksichtigung des Polaritätswechsels wiederholt. In Abb. Abbildung 3.11 zeigt zu den Zeitpunkten t = 10÷13 ein Bild des Prozesses unter Berücksichtigung der elektrischen Feldstärkelinie.

Wir haben den Prozess der Bildung geschlossener Kraftlinien eines elektrischen Wirbelfelds untersucht. Es sei jedoch daran erinnert, dass die Emission elektromagnetischer Wellen ein einzelner Prozess ist. Das elektrische und das magnetische Feld sind untrennbar voneinander abhängige Komponenten des elektromagnetischen Feldes.

Der in Abb. dargestellte Strahlungsprozess 3.11 ähnelt der Strahlung eines elektromagnetischen Feldes durch einen symmetrischen elektrischen Vibrator und wird häufig in der Funkkommunikationstechnik verwendet. Es muss daran erinnert werden, dass die Schwingungsebene des elektrischen Feldstärkevektors ist zueinander senkrecht zur Schwingungsebene des magnetischen Feldstärkevektors steht .

Die Emission elektromagnetischer Wellen ist auf einen veränderlichen Prozess zurückzuführen. Daher können wir in der Formel für die Ladung die Konstante C = 0 einsetzen. Für den komplexen Wert kann die Gebühr geschrieben werden.

(3.94)

In Analogie zur Elektrostatik können wir den Begriff des Moments eines elektrischen Dipols bei Wechselstrom einführen

(3.95)

Aus Formel (3.95) folgt, dass die Vektoren des Moments des elektrischen Dipols und des gerichteten Drahtstücks sind sind gleichgerichtet.

Es ist zu beachten, dass reale Antennen Drahtlängen haben, die normalerweise mit der Wellenlänge vergleichbar sind. Um die Strahlungseigenschaften solcher Antennen zu bestimmen, wird der Draht üblicherweise gedanklich in einzelne kleine Abschnitte unterteilt, von denen jeder als elementarer elektrischer Dipol betrachtet wird. Das resultierende Antennenfeld wird durch Summieren der von den einzelnen Dipolen erzeugten emittierten Vektorfelder ermittelt.

Wellenprozesse

Grundlegende Konzepte und Definitionen

Betrachten wir ein elastisches Medium – fest, flüssig oder gasförmig. Wenn an einer beliebigen Stelle dieses Mediums Schwingungen seiner Teilchen angeregt werden, dann breiten sich die Schwingungen aufgrund der Wechselwirkung zwischen den Teilchen, die von einem Teilchen des Mediums auf ein anderes übertragen werden, mit einer bestimmten Geschwindigkeit durch das Medium aus. Verfahren Ausbreitung von Schwingungen im Raum nennt man Welle .

Wenn Teilchen in einem Medium in der Ausbreitungsrichtung der Welle schwingen, spricht man von einer Welle längs Treten Teilchenschwingungen in einer Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle auf, so heißt die Welle quer . Transversale mechanische Wellen können nur in einem Medium mit einem Schubmodul ungleich Null entstehen. Daher können sie sich in flüssigen und gasförmigen Medien ausbreiten nur Longitudinalwellen . Am deutlichsten wird der Unterschied zwischen Longitudinal- und Transversalwellen am Beispiel der Schwingungsausbreitung in einer Feder – siehe Abbildung.

Zur Charakterisierung von Transversalschwingungen ist es notwendig, die Position im Raum festzulegen Ebene, die durch die Schwingungsrichtung und die Wellenausbreitungsrichtung verläuft - Polarisationsebene .

Man nennt den Raumbereich, in dem alle Teilchen des Mediums schwingen Wellenfeld . Die Grenze zwischen dem Wellenfeld und dem Rest des Mediums heißt Wellenfront . Mit anderen Worten, Wellenfront – die geometrische Lage der Punkte, die die Schwingungen zu einem bestimmten Zeitpunkt erreicht haben. In einem homogenen und isotropen Medium ist die Richtung der Wellenausbreitung aufrecht zur Wellenfront.

Während im Medium eine Welle existiert, schwingen die Teilchen des Mediums um ihre Gleichgewichtslagen. Lassen Sie diese Schwingungen harmonisch sein, und die Periode dieser Schwingungen ist T. Durch einen Abstand getrennte Teilchen

entlang der Wellenausbreitungsrichtung schwingen auf die gleiche Weise, d.h. Zu jedem Zeitpunkt sind ihre Verschiebungen gleich. Der Abstand wird aufgerufen Wellenlänge . Mit anderen Worten, Wellenlänge ist die Distanz, die eine Welle in einer Schwingungsperiode zurücklegt .

Die geometrische Lage von Punkten, die in derselben Phase schwingen, wird aufgerufen Wellenoberfläche . Eine Wellenfront ist ein Sonderfall einer Wellenoberfläche. Wellenlänge - Minimum der Abstand zwischen zwei Wellenoberflächen, bei denen die Punkte auf die gleiche Weise schwingen, oder so kann man es sagen die Phasen ihrer Schwingungen unterscheiden sich um .

Sind die Wellenoberflächen Ebenen, so heißt die Welle Wohnung , und wenn durch Sphären, dann sphärisch. Eine ebene Welle wird in einem kontinuierlichen homogenen und isotropen Medium angeregt, wenn eine unendliche Ebene schwingt. Die Anregung einer Kugeloberfläche kann als Folge radialer Pulsationen einer Kugeloberfläche, aber auch als Folge der Einwirkung dargestellt werden Punktquelle, deren Abmessungen im Vergleich zur Entfernung zum Beobachtungspunkt vernachlässigbar sind. Da jede reale Quelle endliche Abmessungen hat, wird die Welle in einem ausreichend großen Abstand von ihr nahezu kugelförmig sein. Gleichzeitig nähert sich der Abschnitt der Wellenoberfläche einer Kugelwelle mit abnehmender Größe beliebig dem Abschnitt der Wellenoberfläche einer ebenen Welle an.

Gleichungen ebener und sphärischer Wellen

Wellengleichung ist ein Ausdruck, der die Verschiebung eines oszillierenden Punktes als Funktion der Koordinaten der Gleichgewichtslage des Punktes und der Zeit bestimmt:

Wenn die Quelle festschreibt periodisch Schwingungen, dann muss die Funktion (22.2) eine periodische Funktion sowohl der Koordinaten als auch der Zeit sein. Die zeitliche Periodizität ergibt sich aus der Tatsache, dass die Funktion beschreibt periodische Schwingungen eines Punktes mit Koordinaten; Periodizität in Koordinaten - aus der Tatsache, dass Punkte, die in einem Abstand entlang der Wellenausbreitungsrichtung liegen, schwingen auf die gleiche Weise

Beschränken wir uns auf die Betrachtung harmonischer Wellen, bei denen Punkte im Medium harmonische Schwingungen ausführen. Es ist zu beachten, dass jede nichtharmonische Funktion als Ergebnis der Überlagerung harmonischer Wellen dargestellt werden kann. Daher führt die alleinige Betrachtung harmonischer Wellen nicht zu einer grundsätzlichen Verschlechterung der Allgemeingültigkeit der erzielten Ergebnisse.

Betrachten wir eine ebene Welle. Wählen wir ein Koordinatensystem mit der Achse Oh fiel mit der Richtung der Wellenausbreitung zusammen. Dann stehen die Wellenoberflächen senkrecht zur Achse Oh und, da alle Punkte der Wellenoberfläche gleich schwingen, die Verschiebung von Punkten des Mediums aus Gleichgewichtspositionen wird nur davon abhängen x und t:

Die Schwingungen der in der Ebene liegenden Punkte sollen die Form haben:

(22.4)

Schwingungen in einer weit entfernten Ebene X vom Ursprung, zeitliche Verzögerung gegenüber den Schwingungen in der Zeitspanne, die die Welle benötigt, um die Strecke zurückzulegen X, und werden durch die Gleichung beschrieben

welches ist Gleichung einer ebenen Welle, die sich in Richtung der Ox-Achse ausbreitet.

Bei der Ableitung von Gleichung (22.5) haben wir angenommen, dass die Amplitude der Schwingungen an allen Punkten gleich ist. Im Falle einer ebenen Welle ist dies der Fall, wenn die Wellenenergie nicht vom Medium absorbiert wird.

Betrachten wir einen Wert der Phase in Gleichung (22.5):

(22.6)

Gleichung (22.6) gibt den Zusammenhang zwischen der Zeit an T und Platz - X, in dem der angegebene Phasenwert gerade umgesetzt wird. Nachdem wir aus Gleichung (22.6) ermittelt haben, ermitteln wir die Geschwindigkeit, mit der sich ein gegebener Phasenwert bewegt. Wenn wir (22.6) differenzieren, erhalten wir:

Wo folgt (22.7)

PLATTENWELLE

PLATTENWELLE

Eine Welle, deren Ausbreitungsrichtung an allen Punkten im Raum gleich ist. Das einfachste Beispiel ist ein homogenes Monochromat. ungedämpfter P.v.:

u(z, t)=Aeiwt±ikz, (1)

wobei A die Amplitude ist, j= wt±kz - , w=2p/T - Kreisfrequenz, T - Schwingungsperiode, k - . Konstante Phasenflächen (Phasenfronten) j=const P.v. sind Flugzeuge.

Bei fehlender Dispersion, wenn vph und vgr identisch und konstant sind (vgr = vph = v), liegen stationäre (d. h. als Ganzes bewegte) laufende lineare Bewegungen vor, die eine allgemeine Darstellung der Form erlauben:

u(z, t)=f(z±vt), (2)

wobei f eine beliebige Funktion ist. In nichtlinearen Medien mit Dispersion sind auch stationär laufende PVs möglich. Typ (2), ihre Form ist jedoch nicht mehr willkürlich, sondern hängt sowohl von den Parametern des Systems als auch von der Art der Bewegung ab. In absorbierenden (dissipativen) Medien P. v. verringern ihre Amplitude, wenn sie sich ausbreiten; Bei linearer Dämpfung kann dies berücksichtigt werden, indem k in (1) durch die komplexe Wellenzahl kd ± ikì ersetzt wird, wobei km der Koeffizient ist. Abschwächung von P. v.

Eine homogene PV, die das gesamte Unendliche einnimmt, ist eine Idealisierung, aber jede Welle, die in einem endlichen Bereich konzentriert ist (z. B. durch Übertragungsleitungen oder Wellenleiter geleitet), kann als Überlagerung von PV dargestellt werden. mit dem einen oder anderen Leerzeichen. Spektrum k. In diesem Fall hat die Welle möglicherweise immer noch eine flache Phasenfront, aber eine ungleichmäßige Amplitude. Solche P. v. angerufen ebene inhomogene Wellen. Einige Bereiche sind kugelförmig. und zylindrisch Wellen, die im Vergleich zum Krümmungsradius der Phasenfront klein sind, verhalten sich ungefähr wie eine Phasenwelle.

Physikalisches enzyklopädisches Wörterbuch. - M.: Sowjetische Enzyklopädie. . 1983 .

PLATTENWELLE

- Welle, Die Ausbreitungsrichtung ist an allen Punkten im Raum gleich.

Wo A - Amplitude, - Phase, - Kreisfrequenz, T - Schwingungsdauer k- Wellenzahl. = const P.v. sind Flugzeuge.
In Abwesenheit einer Dispersion, wenn die Phasengeschwindigkeit v f und Gruppe v gr sind identisch und konstant ( v gr = v f = v) gibt es stationäre (also sich als Ganzes bewegende) laufende P. c., die in allgemeiner Form dargestellt werden kann

Wo F- beliebige Funktion. In nichtlinearen Medien mit Dispersion sind auch stationär laufende PVs möglich. Typ (2), aber ihre Form ist nicht mehr willkürlich, sondern hängt sowohl von den Parametern des Systems als auch von der Art der Wellenbewegung ab. In absorbierenden (dissipativen) Medien hängt P. k von der komplexen Wellenzahl ab k D ich k m, wo k m - Koeffizient Abschwächung von P. v. Ein homogenes Wellenfeld, das die gesamte Unendlichkeit einnimmt, ist eine Idealisierung, aber jedes Wellenfeld, das in einem endlichen Bereich konzentriert (z. B. gerichtet) ist Übertragungsleitungen oder Wellenleiter), kann als Überlagerung P dargestellt werden. V. mit dem einen oder anderen räumlichen Spektrum k. In diesem Fall kann die Welle immer noch eine flache Phasenfront mit einer ungleichmäßigen Amplitudenverteilung haben. Solche P. v. angerufen ebene inhomogene Wellen. Abt. Bereichesphärisch oder zylindrisch Wellen, die im Vergleich zum Krümmungsradius der Phasenfront klein sind, verhalten sich ungefähr wie PT.

Zündete. siehe unter Art. Wellen.

M. A. Miller, L. A. Ostrovsky.

Physische Enzyklopädie. In 5 Bänden. - M.: Sowjetische Enzyklopädie. Chefredakteur A. M. Prokhorov. 1988 .

Für die meisten Probleme mit Wellen ist es wichtig, den Schwingungszustand verschiedener Punkte im Medium zu einem bestimmten Zeitpunkt zu kennen. Die Zustände von Punkten im Medium lassen sich bestimmen, wenn die Amplituden und Phasen ihrer Schwingungen bekannt sind. Für Transversalwellen ist es außerdem notwendig, die Art der Polarisation zu kennen. Für eine ebene linear polarisierte Welle reicht es aus, einen Ausdruck zu haben, mit dem Sie die Verschiebung c(x, T) von der Gleichgewichtsposition eines beliebigen Punktes im Medium mit Koordinaten X, jederzeit T. Dieser Ausdruck heißt Wellengleichung.

Reis. 2.21.

Betrachten wir das sogenannte laufende Welle, diese. eine Welle mit einer ebenen Wellenfront, die sich in eine bestimmte Richtung ausbreitet (z. B. entlang der x-Achse). Lassen Sie die Teilchen des Mediums unmittelbar neben der Quelle ebener Wellen nach dem harmonischen Gesetz schwingen; %(0, /) = = LsobsoG (Abb. 2.21). In Abbildung 2.21, A bis ^(0, T) gibt die Verschiebung von Partikeln des Mediums an, die in einer Ebene senkrecht zur Zeichnung liegen und eine Koordinate im ausgewählten Koordinatensystem haben X= 0 zur Zeit T. Der Ursprung der Zeit wird so gewählt, dass die durch die Kosinusfunktion definierte Anfangsphase der Schwingungen gleich Null ist. Achse X kompatibel mit dem Balken, d.h. mit der Richtung der Schwingungsausbreitung. In diesem Fall steht die Wellenfront senkrecht zur Achse X, so dass in dieser Ebene liegende Teilchen in einer Phase schwingen. Die Wellenfront selbst bewegt sich in einem bestimmten Medium entlang der Achse X mit Geschwindigkeit Und Wellenausbreitung in einem bestimmten Medium.

Finden wir einen Ausdruck? (x, T) Verschiebung von Partikeln des Mediums entfernt von der Quelle im Abstand x. Dies ist die Distanz, die die Wellenfront zurücklegt

in der Zeit folglich die Schwingungen von Teilchen, die in einer Ebene liegen, die von der Quelle in einiger Entfernung entfernt ist X, wird zeitlich um einen Betrag m von den Schwingungen der Teilchen direkt neben der Quelle verzögert. Diese Teilchen (mit der Koordinate x) führen ebenfalls harmonische Schwingungen aus. Bei fehlender Dämpfung ist die Amplitude A Schwingungen (im Fall einer ebenen Welle) hängen nicht von der x-Koordinate ab, d.h.

Dies ist die erforderliche Gleichung die Melancholie einer laufenden Welle(Nicht zu verwechseln mit der unten diskutierten Wellengleichung!). Die Gleichung ermöglicht, wie bereits erwähnt, die Bestimmung der Verschiebung % Teilchen des Mediums mit der Koordinate x zum jeweiligen Zeitpunkt T. Die Phase der Schwingung hängt davon ab

auf zwei Variablen: auf der x-Koordinate des Teilchens und der Zeit T. Zu einem bestimmten festen Zeitpunkt sind die Schwingungsphasen verschiedener Teilchen im Allgemeinen unterschiedlich, es ist jedoch möglich, Teilchen zu identifizieren, deren Schwingungen in derselben Phase (in Phase) auftreten. Wir können auch davon ausgehen, dass die Phasendifferenz zwischen den Schwingungen dieser Teilchen gleich ist 2pt(Wo t = 1, 2, 3,...). Der kürzeste Abstand zwischen zwei gleichphasig schwingenden Teilchen einer Wanderwelle nennt man Wellenlänge X.

Lassen Sie uns die Wellenlängenbeziehung finden X mit anderen Größen, die die Ausbreitung von Schwingungen im Medium charakterisieren. Gemäß der eingeführten Definition der Wellenlänge können wir schreiben

oder nach Abkürzungen Seit, dann

Dieser Ausdruck ermöglicht uns eine andere Definition der Wellenlänge: Die Wellenlänge ist die Entfernung, über die sich die Schwingungen der Teilchen des Mediums in einer Zeit ausbreiten können, die der Schwingungsperiode entspricht.

Die Wellengleichung offenbart eine doppelte Periodizität: in Koordinaten und Zeit: ^(x, t) = Z,(x + nk, t) = l,(x, t + mT) = ​​​​Tx + pX, ml), Wo pete - beliebige ganze Zahlen. Sie können beispielsweise die Koordinaten von Partikeln festlegen (put x = const) und betrachten Sie ihre Verschiebung als Funktion der Zeit. Oder umgekehrt, legen Sie einen Zeitpunkt fest (akzeptieren t = const) und betrachten Sie die Verschiebung von Partikeln als Funktion von Koordinaten (der momentane Zustand der Verschiebungen ist eine momentane Fotografie einer Welle). So können Sie vom Pier aus jederzeit eine Kamera benutzen T Fotografieren Sie die Meeresoberfläche, aber Sie können auch einen Chip ins Meer werfen (d. h. die Koordinaten festlegen). X),Überwachen Sie seine Schwankungen im Laufe der Zeit. Beide Fälle sind in Abb. 1 grafisch dargestellt. 2.21, Wechselstrom.

Die Wellengleichung (2.125) kann anders umgeschrieben werden

Die Beziehung wird bezeichnet Zu und heißt Wellenzahl

Als , Das

Die Wellenzahl gibt also an, wie viele Wellenlängen in ein Segment von 2l Längeneinheiten passen. Indem wir die Wellenzahl in die Wellengleichung einführen, erhalten wir die Gleichung einer Welle, die sich in positiver Richtung ausbreitet Oh Wellen in der am häufigsten verwendeten Form

Lassen Sie uns einen Ausdruck finden, der sich auf die Phasendifferenz Der von Schwingungen zweier Teilchen bezieht, die zu unterschiedlichen Wellenoberflächen gehören X und x 2. Mit der Wellengleichung (2.131) schreiben wir:

Bezeichnen wir oder nach (2.130)

Eine ebene Wanderwelle, die sich in beliebiger Richtung ausbreitet, wird im allgemeinen Fall durch die Gleichung beschrieben

Wo G-Radiusvektor, der vom Ursprung zum auf der Wellenoberfläche liegenden Teilchen gezogen wird; Zu - ein Wellenvektor, dessen Betrag der Wellenzahl (2.130) entspricht und dessen Richtung mit der Normalen zur Wellenoberfläche in Richtung der Wellenausbreitung zusammenfällt.

Auch eine komplexe Schreibweise der Wellengleichung ist möglich. Dies gilt beispielsweise für eine ebene Welle, die sich entlang der Achse ausbreitet X

und im allgemeinen Fall einer ebenen Welle beliebiger Richtung

Die Wellengleichung in jeder der aufgeführten Formen kann als Lösung einer Differentialgleichung namens erhalten werden Wellengleichung. Wenn wir die Lösung dieser Gleichung in der Form (2.128) oder (2.135) kennen – die Wanderwellengleichung, dann ist es nicht schwierig, die Wellengleichung selbst zu finden. Differenzieren wir 4(x, t) = % aus (2.135) zweimal in Koordinaten und zweimal in der Zeit und wir erhalten

ausdrücken? Durch die erhaltenen Ableitungen und den Vergleich der Ergebnisse erhalten wir

Unter Berücksichtigung der Beziehung (2.129) schreiben wir

Das ist die Wellengleichung für den eindimensionalen Fall.

Im Allgemeinen für?, = c(x, y, z,/) Die Wellengleichung in kartesischen Koordinaten sieht so aus

oder in kompakterer Form:

wobei D der Laplace-Differentialoperator ist

Phasengeschwindigkeit ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Wellenpunkten, die in derselben Phase schwingen. Mit anderen Worten ist dies die Bewegungsgeschwindigkeit des „Gipfels“, des „Tals“ oder eines anderen Punktes der Welle, dessen Phase fest ist. Wie bereits erwähnt, bewegt sich die Wellenfront (und damit jede Wellenoberfläche) entlang der Achse Oh mit Geschwindigkeit Und. Folglich stimmt die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Schwingungen im Medium mit der Bewegungsgeschwindigkeit einer bestimmten Schwingungsphase überein. Daher die Geschwindigkeit Und, bestimmt durch die Beziehung (2.129), d.h.

normalerweise aufgerufen Phasengeschwindigkeit.

Das gleiche Ergebnis kann erzielt werden, indem man die Geschwindigkeit von Punkten im Medium ermittelt, die die Bedingung einer konstanten Phase co/ - fee = const erfüllen. Von hier aus finden wir die Abhängigkeit der Koordinate von der Zeit (co/ - const) und der Bewegungsgeschwindigkeit dieser Phase

was mit (2.142) übereinstimmt.

Ebene Wanderwelle, die sich in Richtung der negativen Achse ausbreitet Oh, durch die Gleichung beschrieben

Tatsächlich ist in diesem Fall die Phasengeschwindigkeit negativ

Die Phasengeschwindigkeit in einem bestimmten Medium kann von der Schwingungsfrequenz der Quelle abhängen. Die Abhängigkeit der Phasengeschwindigkeit von der Frequenz heißt Streuung, und die Umgebungen, in denen diese Abhängigkeit auftritt, werden aufgerufen Dispergiermedien. Man sollte jedoch nicht denken, dass der Ausdruck (2.142) die angegebene Abhängigkeit ist. Der Punkt ist, dass bei fehlender Dispersion die Wellenzahl Zu im direkten Verhältnis

mit und daher . Dispersion tritt nur auf, wenn ω davon abhängt Zu nichtlinear).

Eine wandernde ebene Welle wird genannt monochromatisch (mit einer Frequenz), wenn die Schwingungen in der Quelle harmonisch sind. Monochromatische Wellen entsprechen einer Gleichung der Form (2.131).

Für eine monochromatische Welle sind die Kreisfrequenz co und die Amplitude A hängen Sie nicht von der Zeit ab. Das bedeutet, dass eine monochromatische Welle räumlich grenzenlos und zeitlich unendlich ist, d.h. ist ein idealisiertes Modell. Jede echte Welle ist nicht monochromatisch, egal wie sorgfältig die Konstanz von Frequenz und Amplitude eingehalten wird. Eine echte Welle dauert nicht unbegrenzt, sondern beginnt und endet zu bestimmten Zeiten an einem bestimmten Ort, und daher ist die Amplitude einer solchen Welle eine Funktion der Zeit und der Koordinaten dieses Ortes. Je länger jedoch das Zeitintervall ist, in dem Amplitude und Frequenz der Schwingungen konstant gehalten werden, desto näher ist diese Welle monochromatisch. In der Praxis wird eine monochromatische Welle oft als ein ausreichend großes Segment der Welle bezeichnet, innerhalb dessen sich Frequenz und Amplitude nicht ändern, so wie in der Abbildung ein Segment einer Sinuswelle dargestellt ist, und es wird als Sinuswelle bezeichnet.