GRUNDLEGENDE KONZEPTE DER THEORIE DER Fuzzy-SÄTZE UND SPRACHVARIABLEN

1. Das Konzept und die Hauptmerkmale eines Fuzzy-Sets

Definition 1.1. Sei X eine universelle Menge. Fuzzy-Menge A auf einer Menge X (einer Fuzzy-Teilmenge A einer Menge X) ist eine Sammlung von Paaren

A = (<μ A (x ),x >}, (1.1)

wobei x X ,μ A (x ) .X genannt wird Definitionsbereich Fuzzy-Set A und μ A – Zugehörigkeitsfunktion dieser Satz. Der Wert der Zugehörigkeitsfunktion μ A (x) für ein bestimmtes Element x X wird aufgerufen Mitgliedschaft Grad dieses Element zum Fuzzy-Set A .

Die Interpretation der Zugehörigkeitsfunktion ist ein subjektives Maß dafür, wie das Element x X dem Konzept entspricht, dessen Bedeutung durch die Fuzzy-Menge A formalisiert wird. Dabei bedeutet ein Wert gleich 1 vollständige (absolute) Erfüllung, ein Wert gleich 0 vollständige (absolute) Nichtübereinstimmung.

Definition 1.2. Fuzzy-Mengen mit einem diskreten Definitionsbereich werden genannt diskrete Fuzzy-Mengen, nicht-

gestochen scharfe Mengen mit einem kontinuierlichen Definitionsbereich sind kontinuierlich

unscharfe Sätze.

Gewöhnliche (klare) Mengen können auch in einem Fuzzy-Kontext betrachtet werden. Die Zugehörigkeitsfunktion einer gewöhnlichen Menge kann nur zwei Werte annehmen: 0, wenn das Element nicht zur Menge gehört, und 1, wenn das Element gehört.

In der Literatur findet man verschiedene Formen, Fuzzy-Sets zu schreiben. Für den diskreten Bereich X =(x 1 ,x 2 , …,x n ) (auch der Fall n = ∞ ist möglich) gibt es folgende Formen:

A = ( , , …, };
A = (μ A (x 1 )/x 1 ,μ A (x 2 )/x 2 , …,μ A (x n )/x n );
EIN \u003d μ EIN (x 1) / x 1 + μ EIN (x 2) / x 2 + ... + μ EIN (x n) / x n \u003d∑ μ EIN (x j) / x j.

j = 1

wo das Integralzeichen sinnvoll ist punktweise Vereinigung auf X. Darüber hinaus wird sowohl für diskrete als auch kontinuierliche Fälle eine verallgemeinerte Notation verwendet:

B = (x x ≈ 2) ist die Menge der reellen Zahlen, etwa gleich 2, und C = (x x >> 1) ist die Menge der reellen Zahlen, auf-

viel mehr als 1. Die möglichen Formen der Zugehörigkeitsfunktionen dieser Mengen sind schematisch in Abb. 1.1 bzw. Abb. 1.2 dargestellt.

Reis. 1.1. Mitgliedschaftsfunktion							Reis. 1.2. Mitgliedschaftsfunktion
unscharfe Menge von Zahlen,								unscharfe Menge von Zahlen,
		ungefähr gleich 2								viel größer 1

Als Beispiel für eine diskrete Fuzzy-Menge können wir D = (n n ≈ 1) betrachten - die Menge von ganzen Zahlen nahe 1,

die mögliche Form der Abtretung ist wie folgt:

N = (0,2/-3; 0,4/-2; 0,6/-1; 0,8/0; 1/1; 0,8/2; 0,6/3; 0,4/4; 0,2/5) (andere Punkte haben Zugehörigkeitsgrad Null) .

Die spezifische Form der Zugehörigkeitsfunktion hängt von der Bedeutung ab, die dem zu formalisierenden Begriff unter den Bedingungen einer bestimmten Aufgabe gegeben wird, und hat oft einen subjektiven Charakter. Die meisten Methoden zum Konstruieren von Zugehörigkeitsfunktionen basieren zu einem gewissen Grad auf der Verarbeitung von Informationen, die von einem Experten erhalten wurden.

Anmerkung 1. Hier ist sup (Supremum) die kleinste obere Schranke der Zugehörigkeitsfunktion. Wenn die Menge X (Domäne) abgeschlossen ist, dann fällt das Supremum der Funktion mit ihrem Maximum zusammen.

Definition 1.5. Ist h A = 1, so wird die Fuzzy-Menge A aufgerufen

ist normal, sonst (hA< 1) – субнормальным.

Definition 1.6. Der Träger der Fuzzy-Menge A ist die Menge

Elemente des Definitionsbereichs, die zumindest teilweise dem zu formalisierenden Konzept entsprechen.

Anmerkung 2. Die Bezeichnungen sup und Supp sollten nicht verwechselt werden. Das erste steht für Supremum, das zweite für Support.

Definition 1.7. Pegelmenge α (α -Schnitt) von Fuzzy

Der Kern des Fuzzy-Sets enthält daher alle Elemente des Definitionsbereichs, die dem zu formalisierenden Konzept vollständig entsprechen.

woraus folgt, dass ein zur Niveaumenge α gehörendes Element auch zu allen Mengen niedrigerer Niveaus β ≤ α gehört.

Definition 1.9. Seien A und B Fuzzy-Mengen auf der Menge X mit Zugehörigkeitsfunktionen μ A bzw. μ B . Sprechen-

sagen, dass A eine Fuzzy-Teilmenge von B ist (B enthält

A ) wenn folgende Bedingung erfüllt ist:

Unter den Fuzzy-Mengen mit numerischem Definitionsbereich gibt es auch eine Klasse von Fuzzy-Zahlen und unscharfe Intervalle. Um diese Klasse zu definieren, wird das Konzept der Konvexität von Fuzzy-Mengen eingeführt.

Definition 1.11. Eine unscharfe Teilmenge A der reellen Achse heißt konvex, wenn folgende Bedingung erfüllt ist:

Auf Abb. 1.3 zeigt Beispiele für konvexe (links) und nicht-konvexe (rechts) Fuzzy-Mengen.

Reis. 1.3. Zur Definition der Konvexität einer Fuzzy-Menge

Grundbegriffe der Fuzzy-Set-Theorie

Definition 1.12. unscharfer Abstand ist ein konvexes normales Fuzzy-Set auf dem numerischen Definitionsbereich, das eine kontinuierliche Zugehörigkeitsfunktion und einen nicht leeren Kern hat. unscharfe Zahl ist ein Fuzzy-Intervall, dessen Kern genau ein Element enthält.

Für Fuzzy-Intervalle und Zahlen gibt es einen Darstellungssatz, nach dem eine Fuzzy-Teilmenge A der reellen Achse genau dann ein Fuzzy-Intervall ist, wenn ihre Zugehörigkeitsfunktion dargestellt werden kann als:

	LA(x), a0 ≤ x< a1 ,
	1, a1 ≤ x ≤ b1
	(x)=			(x),b< u≤ b

Die Funktionen L A und R A werden als linker bzw. rechter Zweig der Fuzzy-Zahlen-Zugehörigkeitsfunktion bezeichnet. Diese Funktionen sind kontinuierlich, während L A auf dem Segment von L A (a 0 ) = 0 zunimmt

L A (a 1 ) = 1, und R A auf dem Segment nimmt von R A (b 1 ) = 1 auf R A (b 0 ) = 0 ab (Abb. 1.4).

Reis. 1.4. Zur Definition eines Fuzzy-Intervalls

Definition 1.13. Sei A = (A 1 ,A 2 ,… ,A n ) eine auf dem Gebiet X definierte Familie von Fuzzy-Mengen Fuzzy-Partition X mit dem Parameter α (0<α ≤ 1), если все множестваA j являются выпуклыми и нормальными, и выполняется условие:

x X j (1,… ,n )μ A j (x )≥ α

(das heißt, jedes Element des Definitionsbereichs gehört zu mindestens einer der Mengen der Familie à mit einem Grad nicht kleiner als α – Abb. 1.5).

Anmerkung: Die Vorlesung stellt Methoden zur Modellierung ökonomischer Probleme mit Hilfe von Fuzzy Sets in der Mathcad Umgebung vor. Die grundlegenden Konzepte der Theorie der Fuzzy-Mengen werden eingeführt. Die Beispiele zeigen Operationen auf Mengen, Berechnung von Eigenschaften. Es werden Originalprobleme betrachtet, bei denen ein Fuzzy-Multiple-Ansatz im Entscheidungsprozess angewendet wird. Die Modellierungstechnik wird unter Verwendung der Matrizen des Programms Mathcad implementiert.

Zweck der Vorlesung. Fuzzy-Mengen einführen. Lehren, wie eine Aufgabe zum Erstellen eines Fuzzy-Multiple-Modells festgelegt wird. Zeigen Sie, wie Sie in Mathcad Fuzzy-Mengen erstellen und mit ihnen arbeiten. Präsentieren Sie Methoden zur Lösung eines Fuzzy-Multiple-Modells im Prozess der Problemlösung.

6.1 Fuzzy-Multiple-Modellierung

Beim Modellieren einer breiten Klasse von realen Objekten wird es notwendig, Entscheidungen unter Bedingungen unvollständiger Fuzzy-Informationen zu treffen. Eine moderne vielversprechende Richtung bei der Modellierung verschiedener Arten von Unsicherheiten ist die Theorie der Fuzzy-Mengen. Im Rahmen der Fuzzy-Set-Theorie wurden Methoden entwickelt, um menschliches Denken zu formalisieren und zu modellieren, wie Konzepte wie "mehr oder weniger hohe Inflation", "stabile Position auf dem Markt", "wertvoller" usw.

Zum ersten Mal wurde das Konzept der Fuzzy-Mengen von dem amerikanischen Wissenschaftler L.A. Zade (1965) vorgeschlagen. Seine Ideen dienten der Entwicklung der Fuzzy-Logik. Im Gegensatz zur Standardlogik mit zwei binären Zuständen (1/0, Ja/Nein, Wahr/Falsch) können Sie mit der Fuzzy-Logik Zwischenwerte zwischen Standardwerten definieren. Beispiele für solche Bewertungen sind: „eher wahrscheinlich“, „eher ja“, „etwas nach rechts“, „stark nach links“ im Gegensatz zu den Standardeinschätzungen: „nach rechts“ oder „nach links“, "ja". In der Theorie der Fuzzy-Mengen werden Fuzzy-Zahlen als Fuzzy-Teilmengen eines spezialisierten Typs eingeführt, die Aussagen wie "der Wert der Variablen ist ungefähr gleich a" entsprechen. Betrachten Sie als Beispiel eine dreieckige Fuzzy-Zahl , bei der drei Punkte unterschieden werden: der minimal mögliche, der am meisten erwartete und der maximal mögliche Wert des Faktors. Dreieckszahlen sind die in der Praxis am häufigsten verwendete Art von Fuzzy-Zahlen, außerdem werden sie am häufigsten als prädiktive Parameterwerte verwendet. Zum Beispiel der erwartete Wert der Inflation für das nächste Jahr. Der wahrscheinlichste Wert sei 10 %, der minimal mögliche Wert 5 % und der maximal mögliche Wert 20 %, dann können alle diese Werte auf die Form einer Fuzzy-Teilmenge oder Fuzzy-Zahl A: A: ( 5, 10, 20)

Mit der Einführung von Fuzzy-Zahlen erwies es sich als möglich, die zukünftigen Werte von Parametern vorherzusagen, die sich innerhalb des festgelegten berechneten Bereichs ändern. Es wird eine Menge von Operationen auf Fuzzy-Zahlen eingeführt, die auf algebraische Operationen mit gewöhnlichen Zahlen reduziert werden, wenn ein bestimmtes Konfidenzintervall (Zugehörigkeitsniveau) angegeben wird. Durch die Verwendung von Fuzzy-Zahlen können Sie den geschätzten Korridor der Werte der vorhergesagten Parameter festlegen. Dann wird der zu erwartende Effekt auch vom Experten als Fuzzy-Zahl mit einer eigenen berechneten Streuung (Grad der Unschärfe) abgeschätzt.

Fuzzy-Logik als Modell menschlicher Denkprozesse ist in künstliche Intelligenzsysteme und automatisierte Support-Tools eingebaut Entscheidung fällen(insbesondere in Prozessleitsystemen).

6.2 Grundkonzepte der Fuzzy-Set-Theorie

Eine Menge ist ein undefinierbarer Begriff der Mathematik. Georg Kantor (1845 - 1918) - ein deutscher Mathematiker, dessen Arbeit der modernen Mengenlehre zugrunde liegt, gibt folgendes Konzept: "... eine Menge ist viel, denkbar als eine einzelne."

Eine Menge, die alle im Problem betrachteten Objekte enthält, wird als universelle Menge bezeichnet. universelles Set wird normalerweise mit dem Buchstaben bezeichnet. universelles Set ist eine maximale Menge in dem Sinne, dass alle Objekte ihre Elemente sind, d.h. die Aussage innerhalb des Problems ist immer wahr. Der Mindestsatz ist leeres Set– die kein Element enthält. Alle anderen Mengen des betrachteten Problems sind Teilmengen der Menge . Denken Sie daran, dass eine Menge eine Teilmenge einer Menge heißt, wenn alle Elemente auch Elemente von sind. Die Zuordnung einer Menge ist eine Regel, die es erlaubt, für jedes Element einer universellen Menge eindeutig zu bestimmen, ob es zur Menge gehört oder nicht. Mit anderen Worten, es ist eine Regel zur Bestimmung, welche von zwei Aussagen oder , wahr und welche falsch ist. Eine Möglichkeit, Mengen zu definieren, ist die Verwendung einer charakteristischen Funktion.

Die charakteristische Funktion einer Menge ist eine Funktion, die auf einer universellen Menge definiert ist und den Wert eins auf den Elementen der Menge annimmt, die zu gehören, und den Wert Null auf den Elementen, die nicht zu gehören:

(6.1)

Betrachten Sie als Beispiel universelles Set und ihre zwei Teilmengen: - die Zahlenmenge kleiner als 7, und - die Zahlenmenge etwas kleiner als 7. Die charakteristische Funktion der Menge hat die Form

(6.2)

Die Menge in diesem Beispiel ist eine gewöhnliche Menge.

Es ist unmöglich, die charakteristische Funktion der Menge nur mit 0 und 1 zu schreiben. Sollen beispielsweise die Zahlen 1 und 2 enthalten sein? Ist 3 weniger als 7 „viel“ oder „nicht viel“? Antworten auf diese und ähnliche Fragen können abhängig von den Bedingungen des Problems, in dem die Mengen und verwendet werden, sowie von der subjektiven Sichtweise desjenigen, der dieses Problem löst, erhalten werden. Die Menge heißt Fuzzy-Menge. Bei der Zusammenstellung der charakteristischen Funktion einer Fuzzy-Menge kann der Problemlöser (Experte) seine Meinung darüber äußern, inwieweit jede der Zahlen der Menge zur Menge gehört. Als Grad der Zugehörigkeit können Sie eine beliebige Zahl aus dem Segment wählen. Gleichzeitig bedeutet es das volle Vertrauen des Experten, dass - ebenso volles Vertrauen ist, was bedeutet, dass es dem Experten schwer fällt, die Frage zu beantworten, ob er zum Set gehört oder nicht gehört. Wenn , dann neigt der Experte dazu, der Menge zuzuordnen, aber wenn , dann neigt er nicht dazu.

Die Zugehörigkeitsfunktion eines Fuzzy-Sets ist eine Funktion, die

Eine solche Funktion wird aufgerufen Zugehörigkeitsfunktion unscharfer Satz. - Der Maximalwert der in der Menge vorhandenen Zugehörigkeitsfunktion - die Obergrenze - wird als Supremum bezeichnet. Mitgliedschaftsfunktion spiegelt die subjektive Sicht eines Spezialisten auf die Aufgabe wider, bringt Individualität in ihre Lösung.

Die charakteristische Funktion einer gewöhnlichen Menge kann als Funktion der Zugehörigkeit zu dieser Menge betrachtet werden, nimmt aber im Gegensatz zu einer Fuzzy-Menge nur zwei Werte an: 0 oder 1.

Ein Paar wird als Fuzzy-Set bezeichnet, wobei - universelles Set, - Zugehörigkeitsfunktion unscharfer Satz.

Eine Trägermenge oder ein Träger einer Fuzzy-Menge ist eine Teilmenge der Menge, die aus Elementen besteht, auf denen .

Der Übergangspunkt einer Fuzzy-Menge wird aufgerufen Set-Element, auf welche .

In dem betrachteten Beispiel, wo die Zahlenmenge kleiner als 7 ist, die Zahlenmenge etwas kleiner als 7 ist, wählen wir subjektiv die Werte für die Menge, die die Zugehörigkeitsfunktion bilden wird. Tabelle 6.1 listet die Zugehörigkeitsfunktionen für und für und auf.

Tabelle 6.1.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	1	1	1	1	1	1	0	0	0	0
	0	0	0,5	0,6	0,8	0,9	0	0	0	0

Häufig wird eine kompaktere Notation endlicher oder zählbarer Fuzzy-Mengen verwendet. Anstelle der obigen tabellarischen Darstellung von Teilmengen und können diese Teilmengen also wie folgt geschrieben werden.

Traditionell werden klare Sets normalerweise mit Kreisen mit scharf konturierten Grenzen dargestellt. Fuzzy-Sets sind Kreise, die aus einzelnen Punkten bestehen: In der Mitte des Kreises befinden sich viele Punkte, und näher an der Peripherie nimmt ihre Dichte auf Null ab; der Kreis scheint an den Rändern schattiert zu sein. Solche "Fuzzy-Sets" sieht man ... im Schießstand - an der Wand, wo die Scheiben aufgehängt sind. Aufzählungszeichen bilden sich zufällig Mengen, deren Mathematik bekannt ist. Es stellte sich heraus, dass der seit langem entwickelte Apparat der Zufallsmengen geeignet ist, mit Fuzzy-Mengen zu operieren...

Das Konzept eines Fuzzy-Sets ist ein Versuch, Fuzzy-Informationen mathematisch zu formalisieren, um sie bei der Konstruktion mathematischer Modelle komplexer Systeme zu verwenden. Dieses Konzept basiert auf der Vorstellung, dass die Elemente, die eine gegebene Menge bilden und eine gemeinsame Eigenschaft haben, diese Eigenschaft in unterschiedlichem Maße haben können und daher in unterschiedlichem Maße zu einer gegebenen Menge gehören.

Eine der einfachsten Möglichkeiten, eine Fuzzy-Menge mathematisch zu beschreiben, besteht darin, den Grad der Zugehörigkeit eines Elements zu einer Menge durch eine Zahl zu charakterisieren, beispielsweise aus dem Intervall . Lassen X- einige Elemente. Im Folgenden betrachten wir Teilmengen dieser Menge.

Fuzzy-Menge A in X heißt eine Menge von Paaren der Form ( x, m Axt)), wo xОX, bin SONDERN– Funktion x® , genannt Zugehörigkeitsfunktion unscharfer Satz SONDERN. m-Wert Axt) diese Funktion für eine bestimmte x wird der Zugehörigkeitsgrad dieses Elements in der Fuzzy-Menge genannt SONDERN.

Wie aus dieser Definition ersichtlich ist, wird ein Fuzzy-Set vollständig durch seine Zugehörigkeitsfunktion beschrieben, daher werden wir diese Funktion häufig als Notation für ein Fuzzy-Set verwenden.

Gewöhnliche Mengen bilden eine Unterklasse der Klasse der Fuzzy-Mengen. Tatsächlich die Zugehörigkeitsfunktion einer gewöhnlichen Menge BÌ X ist seine charakteristische Funktion: m B(x)=1 wenn xÎ B und M B(x)=0 wenn xÏ b. Dann, gemäß der Definition einer Fuzzy-Menge, die übliche Menge BEIM kann auch als Menge von Paaren der Form ( x, m B(x)). Somit ist eine Fuzzy-Menge ein breiteres Konzept als eine gewöhnliche Menge in dem Sinne, dass die Zugehörigkeitsfunktion einer Fuzzy-Menge allgemein gesprochen eine beliebige Funktion oder sogar eine beliebige Abbildung sein kann.

Wir sprechen unscharfer Satz. Ein Satz was? Konsequenterweise müssen wir festhalten, dass sich ein Element einer Fuzzy-Menge als ... eine neue Fuzzy-Menge aus neuen Fuzzy-Mengen usw. herausstellt. Nehmen wir ein klassisches Beispiel - Haufen Getreide. Das Element dieses Fuzzy-Sets wird sein eine Million Körner, Zum Beispiel. Aber eine Million Körner ist nicht klar Element, und neu unscharfer Satz. Schließlich ist es nicht verwunderlich, beim Zählen der Körner (manuell oder automatisch) einen Fehler zu machen - zum Beispiel für eine Million 999 997 Körner zu nehmen. Hier können wir sagen, dass das Element 999 997 den Wert der Zugehörigkeitsfunktion zur Menge „Million“ hat, gleich 0,999997. Außerdem ist das Korn selbst wieder kein Element, sondern eine neue unscharfe Menge: Es gibt ein vollwertiges Korn, aber es gibt zwei verschmolzene Körner, ein unterentwickeltes Korn oder nur eine Schale. Beim Zählen von Körnern muss eine Person einige ablehnen, zwei Körner für einen nehmen und in einem anderen Fall einen Körner für zwei. Es ist nicht so einfach, mit klassischen Sprachen ein Fuzzy-Set in einen digitalen Computer zu stopfen: Die Elemente eines Arrays (Vektors) müssen neue Arrays von Arrays sein (verschachtelte Vektoren und Matrizen, wenn wir davon sprechen Mathcad). Die klassische Mathematik der knackigen Mengen (Zahlentheorie, Arithmetik usw.) ist ein Haken an dem Vernünftiger Mann fixiert (bestimmt) sich selbst in der schlüpfrigen und unscharfen Umgebung. Und der Haken ist, wie Sie wissen, ein ziemlich grobes Werkzeug, das oft verdirbt, woran er haftet. Die Begriffe, die Fuzzy-Mengen darstellen, sind „viele“, „etwas“, „geringfügig“ usw. usw. - es ist schwierig, sie in den Computer zu "schieben", auch weil sie kontextsensitiv. Es ist eine Sache, zu einer Person zu sagen, die ein Glas Samen hat, „Gib mir ein paar Samen“, aber eine andere Sache, zu einer Person zu sagen, die einen Lastwagen voller Samen fährt.

Fuzzy-Teilmenge SONDERN setzt X gekennzeichnet durch die Zugehörigkeitsfunktion m EIN:X →, die zu jedem Element passt xÎ X Zahl m Axt) aus dem Intervall, das den Zugehörigkeitsgrad des Elements charakterisiert X Teilmenge SONDERN. Darüber hinaus repräsentieren 0 und 1 jeweils den niedrigsten und höchsten Grad der Zugehörigkeit eines Elements zu einer bestimmten Teilmenge.

Lassen Sie uns die wichtigsten Definitionen geben.

Wert sup m EIN(x) namens hoch unscharfer Satz EIN. unscharfer Satz EIN fein wenn seine Höhe ist 1 , d.h. die obere Grenze seiner Zugehörigkeitsfunktion ist 1. Für sup mEIN(x)<1 Fuzzy-Set heißt unternormal.

Die Fuzzy-Menge wird aufgerufen leer, wenn ihre Zugehörigkeitsfunktion auf der ganzen Menge gleich Null ist X, d.h. m0 (x)= 0 " xÎ X.

unscharfer Satz leer , Wenn " xÎ E m A ( x)=0 . Eine nicht leere Unternormalmenge kann durch die Formel normalisiert werden

(Abb. 1).

Abb.1. Normalisierung eines Fuzzy-Sets mit einer Zugehörigkeitsfunktion. .

Träger unscharfer Satz SONDERN(Notation unterstützung A) mit Zugehörigkeitsfunktion m Axt) heißt Menge der Form super={x|xÎ x, m A(x)> 0). Für praktische Anwendungen sind die Unterstützungen von Fuzzy-Sets immer begrenzt. Der Träger der Fuzzy-Menge zulässiger Moden für das System kann also eine eindeutige Teilmenge (Intervall) sein, für die der Grad der Zulässigkeit ungleich Null ist (Bild 2).

Reis. 3. Kern, Träger u α- Abschnitt einer Fuzzy-Menge

Bedeutung α namens α -Stufe. Der Träger (Kernel) kann als Abschnitt einer Fuzzy-Menge auf der Null (Einheit) betrachtet werden. α -Stufe.

Reis. 3 veranschaulicht die Definitionen Träger, Kern,α - Abschnitte uα - Stufe unscharfer Satz.

Unter einer klaren Menge oder einfach einer Menge verstehen sie normalerweise eine bestimmte Menge bestimmter und unterscheidbarer Objekte unserer Intuition und unseres Intellekts, die als ein einziges Ganzes denkbar sind. In dieser Aussage bemerken wir den folgenden Punkt: Die Menge A ist eine Sammlung bestimmter Objekte. Das bedeutet, dass man für jedes x eindeutig sagen kann, ob es zur Menge A gehört oder nicht.

Die Bedingung, dass ein Element x zur Menge A gehört, lässt sich mit dem Konzept der Zugehörigkeitsfunktion m(x) schreiben, nämlich

Daher kann die Menge als Menge von Paaren angegeben werden: ein Element und der Wert seiner Zugehörigkeitsfunktion

A = ((x|m(x)) (1)

Beispiel 1. Der Fachbereich bietet fünf Wahlfächer x 1 , x 2 , x 3 , x 4 und x 5 an. Entsprechend dem Programm sind drei Kurse erforderlich. Der Student wählte die Kurse x 2 , x 3 und x 5 . Wir schreiben diese Tatsache unter Verwendung der Zugehörigkeitsfunktion

wobei das erste Element jedes Paares den Namen des Kurses bedeutet und das zweite die Tatsache beschreibt, dass es zu der von diesem Studenten ausgewählten Teilmenge gehört ("ja" oder "nein").

Es gibt unendlich viele Beispiele für klare Mengen: eine Liste von Studenten in einer Lerngruppe, eine Reihe von Häusern in einer bestimmten Stadtstraße, eine Reihe von Molekülen in einem Wassertropfen und so weiter.

Inzwischen enthält eine riesige Menge menschlichen Wissens und Verbindungen mit der Außenwelt solche Konzepte, die nicht Mengen im Sinne von (1) genannt werden können. Sie sollten eher als Klassen mit unscharfen Grenzen betrachtet werden, wenn der Übergang von der Zugehörigkeit zu einer Klasse zur Zugehörigkeit zu einer anderen allmählich und nicht abrupt erfolgt. Somit wird davon ausgegangen, dass die Logik des menschlichen Denkens nicht auf klassischer zweiwertiger Logik basiert, sondern auf einer Logik mit unscharfen Wahrheitswerten – Fuzzy-Connectives und Fuzzy-Inferenzregeln. Hier ein paar Beispiele: Die Länge des Artikels beträgt etwa 12 Seiten, der größte Teil des Territoriums, die überwältigende Überlegenheit des Spiels, eine Gruppe von mehreren Personen.

Schauen wir uns das letzte Beispiel an. Es ist klar, dass eine Gruppe von Personen von 3, 5 oder 9 Personen zu dem Begriff gehört: "eine Gruppe von Personen, die aus mehreren Personen besteht". Für sie besteht jedoch ein ungleiches Vertrauen in die Zugehörigkeit zu diesem Konzept, das von verschiedenen, auch subjektiven Umständen abhängt. Diese Umstände lassen sich formalisieren, wenn wir davon ausgehen, dass die Zugehörigkeitsfunktion im Intervall beliebige Werte annehmen kann. Außerdem werden Extremwerte vorgeschrieben für den Fall, dass das Element sicher nicht oder eindeutig zu diesem Begriff gehört. Insbesondere kann eine Menge von Personen A aus mehreren Personen durch einen Ausdruck der Form beschrieben werden:

A = ((1½0), 2½0,1), 3½0,4), (4½1), (5½1), (6½1), (7½0,8), (8½0,3), (9½0,1), (a½0)

Lassen Sie uns die Definition einer Fuzzy-Menge geben, die vom Begründer der Theorie der Fuzzy-Mengen, L.A. Zade, gegeben wurde. Sei x ein Element einer bestimmten universellen (sogenannten Basis-)Menge E. Dann verschwommen(unscharf) eingestellt EIN definiert auf der Basismenge E ist die Menge der geordneten Paare

EIN= (xum EIN((x)), "x О E,

wo m EIN(X) - Zugehörigkeitsfunktion, die die Menge E auf das Einheitsintervall abbildet, d.h. m EIN (x): E®.

Offensichtlich, wenn die Reichweite von m EIN (x) auf zwei Zahlen 0 und 1 beschränkt sein, dann fällt diese Definition mit dem Konzept einer gewöhnlichen (klaren) Menge zusammen.

Die Zugehörigkeitsfunktion einer Fuzzy-Menge kann nicht nur durch Auflisten aller ihrer Werte für jedes Element der Basismenge angegeben werden, sondern auch in Form eines analytischen Ausdrucks. Zum Beispiel kann die Menge der reellen Zahlen Z sehr nahe an der Zahl 2 wie folgt angegeben werden:

Z= (xum Z(x)), "x О R,

wo m Z(x) = .

Die Menge der reellen Zahlen Y ist hinreichend nahe an der Zahl 2

Y= (xum Y(x)), "x О R,

MEIN Z(x) = .

Eine grafische Darstellung dieser beiden Zugehörigkeitsfunktionen ist in Abbildung 3.9 gegeben.

Definition. unscharfer Satz EIN heißt Fuzzy-Teilmenge B, Wenn EIN und B sind auf der gleichen Basismenge E und "x í E: m" definiert EIN(x) Mio. £ B(x), was als bezeichnet wird EINÌ B.

Bedingungen für die Gleichheit zweier Fuzzy-Mengen EIN und B, definiert auf der gleichen Grundmenge E, hat die folgende Form

EIN = B oder "х н E: m EIN(x) = m B(x).

Kommentar. Es besteht eine gewisse Ähnlichkeit zwischen den Konzepten "Unschärfe" und "Wahrscheinlichkeit", die sich in ihrem Wesen unterscheiden. Erstens werden diese Konzepte bei Problemen verwendet, bei denen Unsicherheit oder Ungenauigkeit unseres Wissens oder die grundsätzliche Unmöglichkeit genauer Vorhersagen der Ergebnisse von Entscheidungen besteht. Zweitens sind die Änderungsintervalle und die Wahrscheinlichkeiten und Zugehörigkeitsfunktionen gleich:

und P О und m EIN(x) О .

Gleichzeitig ist die Wahrscheinlichkeit ein objektives Merkmal, und die auf der Grundlage der Anwendung der Wahrscheinlichkeitstheorie gewonnenen Schlussfolgerungen können im Prinzip experimentell überprüft werden.

Die Zugehörigkeitsfunktion wird subjektiv bestimmt, obwohl sie normalerweise die realen Beziehungen zwischen den betrachteten Objekten widerspiegelt. Die Wirksamkeit der Anwendung von Methoden, die auf der Theorie der Fuzzy-Mengen basieren, wird normalerweise beurteilt, nachdem bestimmte Ergebnisse erzielt wurden.

Geht man in der Wahrscheinlichkeitstheorie davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ereignis gleich eins ist, d.h.

dann kann die entsprechende Summe aller Werte der Zugehörigkeitsfunktion beliebige Werte von 0 bis ¥ annehmen.

Also, um ein Fuzzy-Set zu definieren EIN Es ist notwendig, die Basismenge der Elemente E zu bestimmen und die Zugehörigkeitsfunktion m zu bilden EIN(x), was ein subjektives Vertrauensmaß ist, mit dem jedes Element x von E zu der gegebenen Fuzzy-Menge gehört EIN.

Die moderne Wissenschaft und Technik ist ohne den weit verbreiteten Einsatz mathematischer Modellierung nicht mehr vorstellbar, da Experimente im Originalmaßstab bei weitem nicht immer möglich, oft zu teuer und zeitintensiv, in vielen Fällen mit Risiken und hohem Materialaufwand verbunden sind oder moralische Kosten. Das Wesen der mathematischen Modellierung besteht darin, ein reales Objekt durch sein "Bild" - ein mathematisches Modell - zu ersetzen und das Modell mit Hilfe von auf Computern implementierten Rechenlogikalgorithmen weiter zu untersuchen. Die wichtigste Anforderung an ein mathematisches Modell ist die Bedingung seiner Angemessenheit (korrekte Übereinstimmung) mit dem realen Untersuchungsobjekt in Bezug auf das gewählte System seiner Eigenschaften. Darunter wird zunächst die richtige quantitative Beschreibung der betrachteten Eigenschaften des Objekts verstanden. Die Konstruktion solcher quantitativer Modelle ist für einfache Systeme möglich.

Anders sieht es bei komplexen Systemen aus. Um aussagekräftige Aussagen über das Verhalten komplexer Systeme zu erhalten, ist es notwendig, bei der Konstruktion des Modells auf hohe Genauigkeit und Strenge zu verzichten und näherungsweise Ansätze in seine Konstruktion einzubeziehen. Einer dieser Ansätze ist mit der Einführung linguistischer Variablen verbunden, die die unscharfe Reflexion einer Person auf der ganzen Welt beschreiben. Damit eine linguistische Variable zu einem vollwertigen mathematischen Objekt wird, wurde das Konzept eines Fuzzy-Sets eingeführt.

In der Theorie der scharfen Mengen wurde die charakteristische Funktion einer scharfen Menge im universellen Raum betrachtet , gleich 1, wenn das Element die Eigenschaft erfüllt und daher zur Menge gehört, andernfalls gleich 0. Wir sprachen also von einer klaren Welt (boolesche Algebra), in der das Vorhandensein oder Fehlen einer bestimmten Eigenschaft durch die Werte 0 oder 1 („nein“ oder „ja“) bestimmt wird.

Allerdings lässt sich nicht alles auf der Welt in Weiß und Schwarz, Wahrheit und Lüge einteilen. Selbst der Buddha sah also eine Welt voller Widersprüche, die Dinge konnten bis zu einem gewissen Grad wahr und bis zu einem gewissen Grad gleichzeitig falsch sein. Plato legte den Grundstein für das, was zur Fuzzy-Logik werden sollte, indem er darauf hinwies, dass es einen dritten Bereich (jenseits von Wahrheit und Falschheit) gab, in dem diese Widersprüche relativ sind.

Professor Zadeh von der University of California veröffentlichte 1965 den Artikel "Fuzzy Sets", in dem er die zweiwertige Schätzung von 0 oder 1 auf eine unbegrenzte mehrwertige Schätzung über 0 und unter 1 in einem geschlossenen Intervall erweiterte und erstmals das Konzept von einführte "Fuzzy-Set". Anstelle des Begriffs „charakteristische Funktion“ verwendete Zadeh den Begriff „Zugehörigkeitsfunktion“. unscharfer Satz (die gleiche Notation wird beibehalten wie für das Crisp-Set) im universellen Raum
durch die Zugehörigkeitsfunktion (die gleiche Notation wie für die charakteristische Funktion) ist wie folgt definiert

Die Zugehörigkeitsfunktion wird am häufigsten wie folgt interpretiert: Der Wert bedeutet eine subjektive Einschätzung des Zugehörigkeitsgrades eines Elements in einer Fuzzy-Menge, zum Beispiel bedeutet er, dass 80 % zu gehören. Daher müssen „Meine Mitgliedschaftsfunktion“, „Ihre Mitgliedschaftsfunktion“, „Fachspezifische Mitgliedschaftsfunktion“ usw. vorhanden sein. 1. Die Zugehörigkeitsfunktion einer unscharfen Menge hat einen glockenförmigen Graphen, im Gegensatz zu der rechteckigen charakteristischen Funktion einer scharfen Menge. ein.

Es sollte auf die Beziehung zwischen gestochen scharfen und unscharfen Sätzen geachtet werden. Zwei Werte (0,1) der charakteristischen Funktion gehören zu einem geschlossenen Intervall von Werten der Zugehörigkeitsfunktion. Daher ist ein Crisp-Set ein Sonderfall eines Fuzzy-Sets, und das Konzept eines Fuzzy-Sets ist ein erweitertes Konzept, das das Konzept eines Crisp-Sets enthält. Mit anderen Worten, ein klares Set ist auch ein Fuzzy-Set.

Ein Fuzzy-Set ist mit der Zugehörigkeitsfunktion streng definiert und enthält keine Unschärfe. Tatsache ist, dass das Fuzzy-Set anhand der geschätzten Werte des geschlossenen Intervalls streng definiert ist, und dies ist die Zugehörigkeitsfunktion. Wenn die universelle Menge aus einer diskreten endlichen Menge von Elementen besteht, geben Sie aus praktischen Gründen den Wert der Zugehörigkeitsfunktion und des entsprechenden Elements mit den Trennzeichen / und + an. Lassen Sie beispielsweise die universelle Menge aus ganzen Zahlen kleiner als 10 bestehen, dann kann die Fuzzy-Menge "kleine Zahlen" dargestellt werden als

A=1/0 + 1/1 + 0,8/2 + 0,5/3 + 0,1/4

Hier bedeutet beispielsweise 0,8/2 . Das +-Zeichen bezeichnet Vereinigung. Beim Schreiben eines Fuzzy-Sets in der obigen Form werden Elemente des universellen Sets mit Zugehörigkeitsfunktionswerten gleich Null weggelassen. Üblicherweise werden alle Elemente der universellen Menge mit den entsprechenden Werten der Zugehörigkeitsfunktion angeschrieben. Die Notation einer Fuzzy-Menge wird wie in der Wahrscheinlichkeitstheorie verwendet,

Definition. Im Allgemeinen wird eine Fuzzy-Teilmenge einer universellen Menge als eine Menge geordneter Paare definiert