Problemstellung 2:

Gegeben sei eine Funktion, die in einem bestimmten Intervall definiert und stetig ist. Es ist erforderlich, den größten (kleinsten) Wert der Funktion in diesem Intervall zu finden.

Theoretische Basis.
Satz (Zweiter Satz von Weierstraß):

Wenn eine Funktion in einem geschlossenen Intervall definiert und stetig ist, dann erreicht sie in diesem Intervall ihre Maximal- und Minimalwerte.

Die Funktion kann ihre Maximal- und Minimalwerte entweder an den internen Punkten des Intervalls oder an seinen Grenzen erreichen. Lassen Sie uns alle möglichen Optionen veranschaulichen.

Erläuterung:
1) Die Funktion erreicht ihren Maximalwert am linken Rand des Intervalls im Punkt , und ihren Minimalwert am rechten Rand des Intervalls im Punkt .
2) Die Funktion erreicht ihren Maximalwert an dem Punkt (dies ist der Maximalpunkt) und ihren Minimalwert an der rechten Grenze des Intervalls an dem Punkt.
3) Die Funktion erreicht ihren Maximalwert am linken Rand des Intervalls am Punkt , und ihren Minimalwert am Punkt (dies ist der Minimalpunkt).
4) Die Funktion ist auf dem Intervall konstant, d.h. es erreicht seine minimalen und maximalen Werte an jedem Punkt im Intervall, und die minimalen und maximalen Werte sind einander gleich.
5) Die Funktion erreicht ihren Maximalwert am Punkt und ihren Minimalwert am Punkt (trotz der Tatsache, dass die Funktion in diesem Intervall sowohl ein Maximum als auch ein Minimum hat).
6) Die Funktion erreicht ihren Maximalwert an einem Punkt (dies ist der Maximalpunkt) und ihren Minimalwert an einem Punkt (dies ist der Minimalpunkt).
Kommentar:

"Maximum" und "Maximalwert" sind verschiedene Dinge. Dies ergibt sich aus der Definition des Maximums und dem intuitiven Verständnis des Begriffs „Maximalwert“.

Algorithmus zur Lösung von Problem 2.



4) Wählen Sie aus den erhaltenen Werten den größten (kleinsten) und schreiben Sie die Antwort auf.

Beispiel 4:

Bestimme den größten und kleinsten Wert einer Funktion auf dem Segment.
Lösung:
1) Finde die Ableitung der Funktion.

2) Finde stationäre Punkte (und extremverdächtige Punkte) durch Lösen der Gleichung . Achten Sie auf die Punkte, an denen es keine zweiseitige endliche Ableitung gibt.

3) Berechnen Sie die Werte der Funktion an stationären Punkten und an den Grenzen des Intervalls.

4) Wählen Sie aus den erhaltenen Werten den größten (kleinsten) und schreiben Sie die Antwort auf.

Die Funktion auf diesem Segment erreicht ihren Maximalwert an dem Punkt mit den Koordinaten .

Die Funktion auf diesem Segment erreicht ihren Minimalwert an dem Punkt mit den Koordinaten .

Sie können die Richtigkeit der Berechnungen überprüfen, indem Sie sich den Graphen der untersuchten Funktion ansehen.


Kommentar: Die Funktion erreicht ihren Maximalwert am Maximalpunkt und den Minimalwert am Rand des Segments.

Besonderer Fall.

Angenommen, Sie möchten den maximalen und minimalen Wert einer Funktion auf einem Segment finden. Nach der Ausführung des ersten Absatzes des Algorithmus, d.h. Berechnung des Derivats wird deutlich, dass es beispielsweise nur negative Werte auf dem gesamten betrachteten Segment annimmt. Denken Sie daran, dass die Funktion abnimmt, wenn die Ableitung negativ ist. Wir haben festgestellt, dass die Funktion im gesamten Intervall abnimmt. Diese Situation ist in der Tabelle Nr. 1 am Anfang des Artikels dargestellt.

Die Funktion nimmt im Intervall ab, d.h. es hat keine Extrempunkte. Aus dem Bild ist ersichtlich, dass die Funktion den kleinsten Wert am rechten Rand des Segments und den größten Wert am linken Rand annimmt. Wenn die Ableitung des Intervalls überall positiv ist, steigt die Funktion. Der kleinste Wert steht am linken Rand des Segments, der größte rechts.

Die Funktion $z=f(x,y)$ sei definiert und stetig in einem beschränkten geschlossenen Bereich $D$. Die gegebene Funktion habe in diesem Bereich endliche partielle Ableitungen erster Ordnung (mit der möglichen Ausnahme einer endlichen Anzahl von Punkten). Um die größten und kleinsten Werte einer Funktion zweier Variablen in einem gegebenen geschlossenen Bereich zu finden, sind drei Schritte eines einfachen Algorithmus erforderlich.

Algorithmus zum Finden der größten und kleinsten Werte der Funktion $z=f(x,y)$ im geschlossenen Bereich $D$.

1. Finden Sie die kritischen Punkte der Funktion $z=f(x,y)$, die zur Region $D$ gehören. Berechnen Sie Funktionswerte an kritischen Punkten.
2. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion $z=f(x,y)$ auf der Grenze der Region $D$, indem Sie die Punkte möglicher Maximal- und Minimalwerte finden. Berechnen Sie die Funktionswerte an den erhaltenen Punkten.
3. Wählen Sie aus den in den beiden vorherigen Absätzen erhaltenen Funktionswerten den größten und den kleinsten aus.

Was sind kritische Punkte? Anzeigen Ausblenden

Unter kritische Punkte implizieren Punkte, an denen beide partielle Ableitungen erster Ordnung gleich Null sind (also $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ und $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) oder mindestens eine partielle Ableitung existiert nicht.

Oft werden die Punkte genannt, an denen die partiellen Ableitungen erster Ordnung gleich Null sind stationäre Punkte. Somit sind stationäre Punkte eine Teilmenge kritischer Punkte.

Beispiel 1

Finden Sie die maximalen und minimalen Werte der Funktion $z=x^2+2xy-y^2-4x$ in der geschlossenen Region, die durch die Linien $x=3$, $y=0$ und $y=x begrenzt ist +1$.

Wir werden dem Obigen folgen, aber zuerst werden wir uns mit der Zeichnung eines bestimmten Bereichs befassen, den wir mit dem Buchstaben $D$ bezeichnen werden. Gegeben sind die Gleichungen dreier Geraden, die diesen Bereich begrenzen. Die Gerade $x=3$ geht durch den Punkt $(3;0)$ parallel zur y-Achse (Achse Oy). Die Gerade $y=0$ ist die Gleichung der Abszissenachse (Ox-Achse). Nun, um eine gerade Linie $y=x+1$ zu konstruieren, suchen wir zwei Punkte, durch die wir diese gerade Linie ziehen. Sie können natürlich ein paar beliebige Werte anstelle von $x$ ersetzen. Wenn wir zum Beispiel $x=10$ ersetzen, erhalten wir: $y=x+1=10+1=11$. Wir haben den Punkt $(10;11)$ gefunden, der auf der Geraden $y=x+1$ liegt. Es ist jedoch besser, die Punkte zu finden, an denen sich die Linie $y=x+1$ mit den Linien $x=3$ und $y=0$ schneidet. Warum ist es besser? Denn wir legen ein paar Fliegen mit einer Klappe: Wir bekommen zwei Punkte für die Konstruktion der Geraden $y=x+1$ und finden gleichzeitig heraus, an welchen Punkten diese Gerade andere Geraden schneidet, die das Gegebene begrenzen Bereich. Die Linie $y=x+1$ schneidet die Linie $x=3$ am Punkt $(3;4)$ und die Linie $y=0$ - am Punkt $(-1;0)$. Um den Ablauf der Lösung nicht mit Hilfserläuterungen zu verstopfen, werde ich die Frage nach der Gewinnung dieser beiden Punkte in einer Anmerkung festhalten.

Wie wurden die Punkte $(3;4)$ und $(-1;0)$ erzielt? Anzeigen Ausblenden

Beginnen wir am Schnittpunkt der Linien $y=x+1$ und $x=3$. Die Koordinaten des gewünschten Punktes gehören sowohl zur ersten als auch zur zweiten Linie. Um also unbekannte Koordinaten zu finden, müssen Sie das Gleichungssystem lösen:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & x=3. \end(aligned) \right. $$

Die Lösung eines solchen Systems ist trivial: Durch Einsetzen von $x=3$ in die erste Gleichung erhalten wir: $y=3+1=4$. Der Punkt $(3;4)$ ist der gewünschte Schnittpunkt der Linien $y=x+1$ und $x=3$.

Suchen wir nun den Schnittpunkt der Linien $y=x+1$ und $y=0$. Wiederum stellen wir das Gleichungssystem auf und lösen es:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & y=0. \end(aligned) \right. $$

Setzen wir $y=0$ in die erste Gleichung ein, erhalten wir: $0=x+1$, $x=-1$. Der Punkt $(-1;0)$ ist der gewünschte Schnittpunkt der Linien $y=x+1$ und $y=0$ (Abszissenachse).

Alles ist bereit, um eine Zeichnung zu erstellen, die so aussehen wird:

Die Frage nach dem Zettel liegt auf der Hand, denn aus der Figur ist alles ersichtlich. Es sei jedoch daran erinnert, dass die Zeichnung nicht als Beweis dienen kann. Die Abbildung dient nur der Verdeutlichung.

Unser Bereich wurde unter Verwendung der Liniengleichungen festgelegt, die ihn begrenzen. Es ist offensichtlich, dass diese Linien ein Dreieck definieren, nicht wahr? Oder nicht ganz offensichtlich? Oder vielleicht bekommen wir einen anderen Bereich, der von denselben Linien begrenzt wird:

Die Bedingung besagt natürlich, dass der Bereich geschlossen ist, also ist das gezeigte Bild falsch. Aber um solche Mehrdeutigkeiten zu vermeiden, ist es besser, Regionen durch Ungleichheiten zu definieren. Uns interessiert der Teil des Flugzeugs, der sich unter der Linie $y=x+1$ befindet? Ok, also $y ≤ x+1$. Unser Bereich soll oberhalb der Linie $y=0$? Großartig, also $y ≥ 0$. Die letzten beiden Ungleichungen lassen sich übrigens ganz einfach zu einer zusammenfassen: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(aligned) \right. $$

Diese Ungleichungen definieren die Domäne $D$ und definieren sie eindeutig, ohne Mehrdeutigkeiten. Aber wie hilft uns das bei der Frage am Anfang der Fußnote? Es wird auch helfen :) Wir müssen überprüfen, ob der Punkt $M_1(1;1)$ zur Region $D$ gehört. Lassen Sie uns $x=1$ und $y=1$ in das Ungleichungssystem einsetzen, das diese Region definiert. Wenn beide Ungleichungen erfüllt sind, liegt der Punkt innerhalb der Region. Wenn mindestens eine der Ungleichungen nicht erfüllt ist, gehört der Punkt nicht zur Region. So:

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right.$$

Beide Ungleichungen sind wahr. Der Punkt $M_1(1;1)$ gehört zur Region $D$.

Nun ist es an der Reihe, das Verhalten der Funktion am Rand des Definitionsbereichs zu untersuchen, d.h. gehe zu. Beginnen wir mit der Geraden $y=0$.

Die Gerade $y=0$ (Abszissenachse) begrenzt den Bereich $D$ unter der Bedingung $-1 ≤ x ≤ 3$. Setze $y=0$ in die gegebene Funktion $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$ ein. Die resultierende Substitutionsfunktion einer Variablen $x$ wird als $f_1(x)$ bezeichnet:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Nun müssen wir für die Funktion $f_1(x)$ die größten und kleinsten Werte im Intervall $-1 ≤ x ≤ 3$ finden. Finden Sie die Ableitung dieser Funktion und setzen Sie sie mit Null gleich:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Der Wert $x=2$ gehört zum Segment $-1 ≤ x ≤ 3$, also fügen wir der Punkteliste auch $M_2(2;0)$ hinzu. Außerdem berechnen wir die Werte der Funktion $z$ an den Enden der Strecke $-1 ≤ x ≤ 3$, also an den Punkten $M_3(-1;0)$ und $M_4(3;0)$. Übrigens, wenn der Punkt $M_2$ nicht zu dem betrachteten Segment gehören würde, wäre es natürlich nicht nötig, den Wert der Funktion $z$ darin zu berechnen.

Berechnen wir also die Werte der Funktion $z$ an den Punkten $M_2$, $M_3$, $M_4$. Sie können natürlich die Koordinaten dieser Punkte im ursprünglichen Ausdruck $z=x^2+2xy-y^2-4x$ ersetzen. Zum Beispiel erhalten wir für den Punkt $M_2$:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Die Berechnungen können jedoch etwas vereinfacht werden. Um dies zu tun, ist es wichtig, sich daran zu erinnern, dass wir auf dem Segment $M_3M_4$ $z(x,y)=f_1(x)$ haben. Ich buchstabiere es im Detail:

\begin(aligned) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(ausgerichtet)

Natürlich sind solche detaillierten Einträge normalerweise nicht erforderlich, und wir werden in Zukunft beginnen, alle Berechnungen in kürzerer Form aufzuschreiben:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Wenden wir uns nun der Geraden $x=3$ zu. Diese Linie begrenzt den Bereich $D$ unter der Bedingung $0 ≤ y ≤ 4$. Ersetzen Sie $x=3$ in die gegebene Funktion $z$. Als Ergebnis einer solchen Substitution erhalten wir die Funktion $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Für die Funktion $f_2(y)$ müssen Sie den größten und kleinsten Wert im Intervall $0 ≤ y ≤ 4$ finden. Finden Sie die Ableitung dieser Funktion und setzen Sie sie mit Null gleich:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Der Wert $y=3$ gehört zum Segment $0 ≤ y ≤ 4$, also fügen wir $M_5(3;3)$ zu den zuvor gefundenen Punkten hinzu. Außerdem ist es notwendig, den Wert der Funktion $z$ an den Punkten an den Enden der Strecke $0 ≤ y ≤ 4$ zu berechnen, d.h. an den Punkten $M_4(3;0)$ und $M_6(3;4)$. An der Stelle $M_4(3;0)$ haben wir bereits den Wert von $z$ berechnet. Berechnen wir den Wert der Funktion $z$ an den Punkten $M_5$ und $M_6$. Ich möchte Sie daran erinnern, dass wir auf dem Segment $M_4M_6$ $z(x,y)=f_2(y)$ haben, also:

\begin(aligned) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(ausgerichtet)

Und schließlich betrachten wir die letzte Grenze von $D$, d.h. Zeile $y=x+1$. Diese Linie begrenzt den Bereich $D$ unter der Bedingung $-1 ≤ x ≤ 3$. Setzen wir $y=x+1$ in die Funktion $z$ ein, erhalten wir:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Wieder haben wir eine Funktion einer Variablen $x$. Und wieder müssen Sie den größten und kleinsten Wert dieser Funktion auf dem Segment $-1 ≤ x ≤ 3$ finden. Finden Sie die Ableitung der Funktion $f_(3)(x)$ und setzen Sie sie mit Null gleich:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Der Wert $x=1$ gehört zum Intervall $-1 ≤ x ≤ 3$. Wenn $x=1$, dann $y=x+1=2$. Lassen Sie uns $M_7(1;2)$ zur Liste der Punkte hinzufügen und herausfinden, welchen Wert die Funktion $z$ an dieser Stelle hat. Die Punkte an den Enden des Segments $-1 ≤ x ≤ 3$, d.h. Die Punkte $M_3(-1;0)$ und $M_6(3;4)$ wurden früher betrachtet, wir haben den Wert der Funktion bereits darin gefunden.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Der zweite Schritt der Lösung ist abgeschlossen. Wir haben sieben Werte:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Wenden wir uns zu. Wenn wir die größten und kleinsten Werte aus den im dritten Absatz erhaltenen Zahlen auswählen, haben wir:

$$z_(min)=-4; \; z_(max)=6.$$

Das Problem ist gelöst, es bleibt nur die Antwort aufzuschreiben.

Antworten: $z_(min)=-4; \; z_(max)=6$.

Beispiel #2

Finde den größten und kleinsten Wert der Funktion $z=x^2+y^2-12x+16y$ im Bereich $x^2+y^2 ≤ 25$.

Lassen Sie uns zuerst eine Zeichnung erstellen. Die Gleichung $x^2+y^2=25$ (das ist die Grenzlinie der gegebenen Fläche) definiert einen Kreis mit einem Mittelpunkt im Ursprung (d.h. am Punkt $(0;0)$) und einem Radius von 5. Die Ungleichung $x^2 +y^2 ≤ 25$ erfüllt alle Punkte innerhalb und auf dem erwähnten Kreis.

Wir werden handeln. Lassen Sie uns partielle Ableitungen finden und die kritischen Punkte herausfinden.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

Es gibt keine Punkte, an denen die gefundenen partiellen Ableitungen nicht existieren. Finden wir heraus, an welchen Stellen beide partiellen Ableitungen gleichzeitig gleich Null sind, d.h. stationäre Punkte finden.

$$ \left \( \begin(aligned) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & x =6;\\ & y=-8.\end(aligned) \right.$$

Wir haben einen stationären Punkt $(6;-8)$. Der gefundene Punkt gehört jedoch nicht zur Region $D$. Dies ist leicht zu zeigen, ohne auf Zeichnen zurückzugreifen. Prüfen wir, ob die Ungleichung $x^2+y^2 ≤ 25$, die unseren Definitionsbereich $D$ definiert, gilt. Wenn $x=6$, $y=-8$, dann $x^2+y^2=36+64=100$, d.h. die Ungleichung $x^2+y^2 ≤ 25$ ist nicht erfüllt. Fazit: Der Punkt $(6;-8)$ gehört nicht zur Region $D$.

Somit gibt es keine kritischen Punkte innerhalb von $D$. Lass uns weitergehen zu. Wir müssen das Verhalten der Funktion am Rand der gegebenen Fläche untersuchen, d.h. auf dem Kreis $x^2+y^2=25$. Sie können natürlich $y$ durch $x$ ausdrücken und dann den resultierenden Ausdruck in unsere Funktion $z$ einsetzen. Aus der Kreisgleichung erhalten wir: $y=\sqrt(25-x^2)$ oder $y=-\sqrt(25-x^2)$. Wenn wir beispielsweise $y=\sqrt(25-x^2)$ in die gegebene Funktion einsetzen, erhalten wir:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5 ≤ x ≤ 5. $$

Die weitere Lösung ist völlig identisch mit der Untersuchung des Verhaltens der Funktion am Rand der Region im vorherigen Beispiel Nr. 1. Sinnvoller erscheint mir in dieser Situation jedoch die Anwendung der Lagrange-Methode. Uns interessiert nur der erste Teil dieser Methode. Nachdem wir den ersten Teil der Lagrange-Methode angewendet haben, werden wir Punkte erhalten und die Funktion $z$ auf die minimalen und maximalen Werte untersuchen.

Wir bilden die Lagrange-Funktion:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Wir finden die partiellen Ableitungen der Lagrange-Funktion und stellen das entsprechende Gleichungssystem auf:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (ausgerichtet) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\end(ausgerichtet) \ rechts. \;\; \left \( \begin(aligned) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( ausgerichtet)\right.$$

Um dieses System zu lösen, lassen Sie uns sofort angeben, dass $\lambda\neq -1$. Warum $\lambda\neq -1$? Versuchen wir, $\lambda=-1$ in die erste Gleichung einzusetzen:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

Der resultierende Widerspruch $0=6$ besagt, dass der Wert $\lambda=-1$ ungültig ist. Ausgabe: $\lambda\neq -1$. Lassen Sie uns $x$ und $y$ durch $\lambda$ ausdrücken:

\begin(aligned) & x+\lambda x=6;\; x(1+λ)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+λ)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(ausgerichtet)

Ich glaube, hier wird deutlich, warum wir gerade die Bedingung $\lambda\neq -1$ festgelegt haben. Dies wurde gemacht, um den Ausdruck $1+\lambda$ störungsfrei in die Nenner einzupassen. Das heißt, um sicherzugehen, dass der Nenner $1+\lambda\neq 0$ ist.

Lassen Sie uns die erhaltenen Ausdrücke für $x$ und $y$ in die dritte Gleichung des Systems einsetzen, d.h. in $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+λ)^2)+\frac(64)((1+λ)^2)=25;\\ \frac(100)((1+λ)^2)=25 ; \; (1+λ)^2=4. $$

Aus der resultierenden Gleichheit folgt $1+\lambda=2$ bzw. $1+\lambda=-2$. Daher haben wir zwei Werte des Parameters $\lambda$, nämlich: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Dementsprechend erhalten wir zwei Wertepaare $x$ und $y$:

\begin(aligned) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(ausgerichtet)

Wir haben also zwei Punkte eines möglichen bedingten Extremums, d.h. $M_1(3;-4)$ und $M_2(-3;4)$. Finden Sie die Werte der Funktion $z$ an den Punkten $M_1$ und $M_2$:

\begin(aligned) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(ausgerichtet)

Wir sollten die größten und kleinsten Werte aus denen auswählen, die wir im ersten und zweiten Schritt erhalten haben. Aber in dieser Fall die Auswahl ist klein :) Wir haben:

$$z_(min)=-75; \; z_(max)=125. $$

Antworten: $z_(min)=-75; \; z_(max)=125$.

Der Prozess, den kleinsten und größten Wert einer Funktion auf einem Segment zu finden, erinnert an einen faszinierenden Flug um ein Objekt (einen Graphen einer Funktion) mit einem Hubschrauber, bei dem an bestimmten Punkten aus einer Langstreckenkanone geschossen und ausgewählt wird Diese Punkte sind ganz besondere Punkte für Kontrollschüsse. Punkte werden auf eine bestimmte Weise und nach bestimmten Regeln ausgewählt. Nach welchen Regeln? Wir werden darüber weiter sprechen.

Wenn die Funktion j = f(x) kontinuierlich im Intervall [ a, b] , dann gelangt es auf dieses Segment am wenigsten und höchste Werte . Dies kann entweder in passieren Extrempunkte oder an den Enden des Segments. Daher zu finden am wenigsten und die größten Werte der Funktion , stetig im Intervall [ a, b] , müssen Sie seine Werte insgesamt berechnen kritische Punkte und an den Enden des Segments, und wählen Sie dann das kleinste und größte davon aus.

Beispielsweise ist es erforderlich, den Maximalwert der Funktion zu bestimmen f(x) auf dem Segment [ a, b] . Finden Sie dazu alle kritischen Punkte, die auf [ liegen a, b] .

kritischer Punkt heißt der Punkt, an dem Funktion definiert, und sie Derivat entweder Null ist oder nicht existiert. Dann sollten Sie die Werte der Funktion an kritischen Stellen berechnen. Und schließlich sollte man die Werte der Funktion an kritischen Punkten und an den Enden des Segments vergleichen ( f(a) und f(b) ). Die größte dieser Zahlen wird sein der größte Wert der Funktion auf dem Segment [a, b] .

Das Problem des Findens die kleinsten Werte der Funktion .

Wir suchen gemeinsam den kleinsten und den größten Wert der Funktion

Beispiel 1. Finde den kleinsten und größten Wert einer Funktion auf dem Segment [-1, 2] .

Lösung. Wir finden die Ableitung dieser Funktion. Gleichen Sie die Ableitung mit Null () und erhalten Sie zwei kritische Punkte: und . Um die kleinsten und größten Werte einer Funktion auf einem bestimmten Segment zu finden, reicht es aus, ihre Werte an den Enden des Segments und am Punkt zu berechnen , da der Punkt nicht zum Segment gehört [-1, 2] . Diese Funktionswerte sind die folgenden: , , . Es folgt dem kleinster Funktionswert(in der Grafik unten rot markiert), gleich -7, wird am rechten Ende des Segments erreicht - am Punkt , und größte(auch rot in der Grafik), ist gleich 9,- am kritischen Punkt .

Wenn die Funktion in einem bestimmten Intervall stetig ist und dieses Intervall kein Segment ist (sondern beispielsweise ein Intervall ist; der Unterschied zwischen einem Intervall und einem Segment: Die Randpunkte des Intervalls werden nicht in das Intervall aufgenommen, sondern die Randpunkte des Segments sind im Segment enthalten), dann gibt es unter den Werten der Funktion möglicherweise nicht den kleinsten und den größten. So ist beispielsweise die in der Abbildung unten dargestellte Funktion auf ]-∞, +∞[ stetig und hat nicht den größten Wert.

Für jedes Intervall (geschlossen, offen oder unendlich) gilt jedoch die folgende Eigenschaft stetiger Funktionen.

Beispiel 4. Finden Sie den kleinsten und größten Wert einer Funktion auf dem Segment [-1, 3] .

Lösung. Die Ableitung dieser Funktion finden wir als Ableitung des Quotienten:

.

Wir setzen die Ableitung mit Null gleich, was uns einen kritischen Punkt gibt: . Es gehört zum Intervall [-1, 3] . Um die kleinsten und größten Werte einer Funktion auf einem bestimmten Segment zu finden, finden wir ihre Werte an den Enden des Segments und am gefundenen kritischen Punkt:

Vergleichen wir diese Werte. Fazit: gleich -5/13, an der Spitze und der größte Wert gleich 1 am Punkt .

Wir suchen weiterhin gemeinsam nach dem kleinsten und größten Wert der Funktion

Es gibt Lehrer, die beim Thema, den kleinsten und größten Wert einer Funktion zu finden, den Schülern keine komplizierteren Beispiele als die gerade betrachteten geben, dh solche, bei denen die Funktion ein Polynom oder ein Bruch ist, der Zähler und deren Nenner Polynome sind. Aber wir werden uns nicht auf solche Beispiele beschränken, da es unter den Lehrern Liebhaber gibt, die Schüler zum vollständigen Denken zu bringen (Tabelle der Ableitungen). Daher werden der Logarithmus und die trigonometrische Funktion verwendet.

Beispiel 6. Finden Sie den kleinsten und größten Wert einer Funktion auf dem Segment .

Lösung. Wir finden die Ableitung dieser Funktion als Derivat des Produkts :

Wir setzen die Ableitung mit Null gleich, was einen kritischen Punkt ergibt: . Es gehört zum Segment. Um die kleinsten und größten Werte einer Funktion auf einem bestimmten Segment zu finden, finden wir ihre Werte an den Enden des Segments und am gefundenen kritischen Punkt:

Das Ergebnis aller Aktionen: Die Funktion erreicht ihren Minimalwert, gleich 0, an einem Punkt und an einem Punkt und der größte Wert gleicht e² , an der Stelle .

Beispiel 7. Finden Sie den kleinsten und größten Wert einer Funktion auf dem Segment .

Lösung. Wir finden die Ableitung dieser Funktion:

Gleichsetzen Sie die Ableitung mit Null:

Der einzige kritische Punkt gehört zum Segment . Um die kleinsten und größten Werte einer Funktion auf einem bestimmten Segment zu finden, finden wir ihre Werte an den Enden des Segments und am gefundenen kritischen Punkt:

Fazit: Die Funktion erreicht ihren Minimalwert, gleich , am Punkt und der größte Wert, gleich , an dem Punkt .

Bei angewandten Extremalproblemen läuft das Finden der kleinsten (größten) Werte einer Funktion in der Regel darauf hinaus, das Minimum (Maximum) zu finden. Aber nicht die Minima oder Maxima selbst sind von größerem praktischem Interesse, sondern die Werte des Arguments, bei denen sie erreicht werden. Bei der Lösung angewandter Probleme entsteht eine zusätzliche Schwierigkeit - die Zusammenstellung von Funktionen, die das betrachtete Phänomen oder den betrachteten Prozess beschreiben.

Beispiel 8 Ein Tank mit einem Fassungsvermögen von 4, der die Form eines Quaders mit quadratischer Grundfläche hat und oben offen ist, muss verzinnt sein. Wie groß sollte der Tank sein, um ihn mit möglichst wenig Material abzudecken?

Lösung. Lassen x- Basisseite h- Tankhöhe, S- seine Oberfläche ohne Abdeckung, v- sein Volumen. Die Oberfläche des Tanks wird durch die Formel ausgedrückt , d.h. ist eine Funktion zweier Variablen. Ausdrücken S als Funktion einer Variablen verwenden wir die Tatsache, dass , woher . Ersetzen des gefundenen Ausdrucks h in die Formel für S:

Untersuchen wir diese Funktion für ein Extremum. Sie ist überall in ]0, +∞[ , und definiert und differenzierbar

.

Wir setzen die Ableitung mit Null gleich () und finden den kritischen Punkt. Wenn die Ableitung nicht existiert, aber dieser Wert nicht im Definitionsbereich enthalten ist und daher kein Extremum sein kann. Also, - der einzige kritische Punkt. Prüfen wir es anhand des zweiten hinreichenden Kriteriums auf das Vorhandensein eines Extremums. Finden wir die zweite Ableitung. Wenn die zweite Ableitung größer als Null ist (). Das heißt, wenn die Funktion ein Minimum erreicht . Weil das Minimum - das einzige Extremum dieser Funktion, es ist ihr kleinster Wert. Die Seite des Tankbodens sollte also 2 m und seine Höhe betragen.

Beispiel 9 Aus Absatz EIN, an der Bahnlinie gelegen, auf den Punkt AUS, davon entfernt l, Waren müssen transportiert werden. Die Kosten für den Transport einer Gewichtseinheit pro Entfernungseinheit auf der Schiene betragen , auf der Autobahn . Bis zu welchem ​​Punkt M Eisenbahnlinie sollte Autobahn gehalten werden, um Fracht von zu transportieren ABER in AUS war am sparsamsten AB Eisenbahn wird als gerade angenommen)?

Der größte (kleinste) Wert der Funktion ist der größte (kleinste) akzeptierte Wert der Ordinate im betrachteten Intervall.

Um den größten oder kleinsten Wert einer Funktion zu finden, müssen Sie:

1. Überprüfen Sie, welche stationären Punkte in dem gegebenen Segment enthalten sind.
2. Berechnen Sie den Wert der Funktion an den Enden des Segments und an stationären Punkten aus Schritt 3
3. Wählen Sie aus den erhaltenen Ergebnissen den größten oder kleinsten Wert aus.

Um die maximale oder minimale Punktzahl zu finden, müssen Sie:

1. Finden Sie die Ableitung der Funktion $f"(x)$
2. Finden Sie stationäre Punkte, indem Sie die Gleichung $f"(x)=0$ lösen
3. Faktorisiere die Ableitung einer Funktion.
4. Zeichnen Sie eine Koordinatenlinie, platzieren Sie darauf stationäre Punkte und bestimmen Sie die Vorzeichen der Ableitung in den erhaltenen Intervallen unter Verwendung der Notation von Abschnitt 3.
5. Finden Sie die maximalen oder minimalen Punkte gemäß der Regel: Wenn die Ableitung an einem Punkt das Vorzeichen von plus nach minus ändert, ist dies der maximale Punkt (wenn von minus nach plus, dann ist dies der minimale Punkt). In der Praxis ist es praktisch, das Bild von Pfeilen auf den Intervallen zu verwenden: Auf dem Intervall, in dem die Ableitung positiv ist, wird der Pfeil nach oben gezogen und umgekehrt.

Tabelle der Ableitungen einiger elementarer Funktionen:

Funktion	Derivat
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n, n∈N$	$nx^(n-1), n∈N$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$(1)/x(^n), n∈N$	$-(n)/(x^(n+1)), n∈N$
$√^n(x), n∈N$	$(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(sin^2x)$
$cos^2x$	$-sin2x$
$sünde^2x$	$sin2x$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^xlna$
$lnx$	$(1)/(x)$
$log_(a)x$	$(1)/(xlna)$

Grundregeln der Differenzierung

1. Die Ableitung der Summe und der Differenz ist gleich der Ableitung jedes Terms

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Finde die Ableitung der Funktion $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$

Die Ableitung der Summe und der Differenz ist gleich der Ableitung jedes Terms

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Derivat eines Produkts.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Finde die Ableitung $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Ableitung des Quotienten

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

Finde die Ableitung $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. Die Ableitung einer komplexen Funktion ist gleich dem Produkt der Ableitung der externen Funktion und der Ableitung der internen Funktion

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Finde den Minimalpunkt der Funktion $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

1. Finden Sie die ODZ der Funktion: $x+11>0; x>-11$

2. Finden Sie die Ableitung der Funktion $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$

3. Finden Sie stationäre Punkte, indem Sie die Ableitung mit Null gleichsetzen

$(2x+21)/(x+11)=0$

Ein Bruch ist Null, wenn der Zähler Null und der Nenner nicht Null ist

$2x+21=0; x≠-11$

4. Zeichnen Sie eine Koordinatenlinie, platzieren Sie darauf stationäre Punkte und bestimmen Sie die Vorzeichen der Ableitung in den erhaltenen Intervallen. Dazu setzen wir in die Ableitung eine beliebige Zahl aus dem äußerst rechten Bereich ein, zum Beispiel Null.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. Am Minimalpunkt ändert die Ableitung das Vorzeichen von Minus zu Plus, daher ist der $-10,5$-Punkt der Minimalpunkt.

Antwort: $-10,5$

Finden Sie den maximalen Wert der Funktion $y=6x^5-90x^3-5$ auf dem Segment $[-5;1]$

1. Finde die Ableitung der Funktion $y′=30x^4-270x^2$

2. Setze die Ableitung mit Null gleich und finde stationäre Punkte

$30x^4-270x^2=0$

Nehmen wir den gemeinsamen Faktor $30x^2$ aus der Klammer

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

Setzen Sie jeden Faktor gleich Null

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. Wählen Sie stationäre Punkte, die zu dem gegebenen Segment $[-5;1]$ gehören

Stationäre Punkte $x=0$ und $x=-3$ sind für uns geeignet

4. Berechnen Sie den Wert der Funktion an den Segmentenden und an stationären Punkten aus Punkt 3

Mit diesem Service ist das möglich Finden Sie den größten und kleinsten Wert einer Funktion eine Variable f(x) mit dem Entwurf der Lösung in Word. Wenn die Funktion f(x,y) gegeben ist, ist es daher notwendig, das Extremum der Funktion zweier Variablen zu finden. Sie können auch die Intervalle der Zunahme und Abnahme der Funktion finden.

Finden Sie den größten und kleinsten Wert einer Funktion

y=

auf dem Segment [ ;]

Theorie einbeziehen

Eingaberegeln für Funktionen:

Eine notwendige Bedingung für ein Extremum einer Funktion einer Variablen

Die Gleichung f "0 (x *) \u003d 0 ist eine notwendige Bedingung für das Extremum einer Funktion einer Variablen, d.h. am Punkt x * muss die erste Ableitung der Funktion verschwinden. Sie wählt stationäre Punkte x c ​​aus, an denen die Funktion nimmt nicht zu und nicht ab.

Eine hinreichende Bedingung für ein Extremum einer Funktion einer Variablen

Sei f 0 (x) zweimal differenzierbar bezüglich x, das zur Menge D gehört. Wenn am Punkt x * die Bedingung erfüllt ist:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Dann ist der Punkt x * der Punkt des lokalen (globalen) Minimums der Funktion.

Wenn am Punkt x * die Bedingung erfüllt ist:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Dieser Punkt x * ist ein lokales (globales) Maximum.

Beispiel 1. Finden Sie den größten und kleinsten Wert der Funktion: auf dem Segment .
Lösung.

Der kritische Punkt ist eins x 1 = 2 (f'(x)=0). Dieser Punkt gehört zum Segment . (Der Punkt x=0 ist unkritisch, da 0∉).
Wir berechnen die Werte der Funktion an den Enden des Segments und am kritischen Punkt.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Antwort: f min = 5 / 2 für x=2; f max = 9 bei x = 1

Beispiel #2. Finde unter Verwendung von Ableitungen höherer Ordnung das Extremum der Funktion y=x-2sin(x) .
Lösung.
Finde die Ableitung der Funktion: y’=1-2cos(x) . Finden wir die kritischen Punkte: 1-cos(x)=2, cos(x)=1, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Wir finden y''=2sin(x), berechnen , also sind x= π / 3 +2πk, k∈Z die Minimalpunkte der Funktion; , also x=- π / 3 +2πk, k∈Z sind die Maxima der Funktion.

Beispiel #3. Untersuchen Sie die Extremumfunktion in der Nähe des Punktes x=0.
Lösung. Hier ist es notwendig, die Extrema der Funktion zu finden. Wenn das Extremum x=0 ist, dann finde seinen Typ heraus (Minimum oder Maximum). Wenn unter den gefundenen Punkten kein x = 0 ist, dann berechne den Wert der Funktion f(x=0).
Es sei darauf hingewiesen, dass, wenn die Ableitung auf jeder Seite eines gegebenen Punktes ihr Vorzeichen nicht ändert, die möglichen Situationen auch für differenzierbare Funktionen nicht erschöpft sind: Es kann vorkommen, dass für eine beliebig kleine Nachbarschaft auf einer Seite des Punktes x 0 oder auf beiden Seiten wechselt die Ableitung das Vorzeichen. An diesen Stellen muss man andere Methoden anwenden, um Funktionen auf ein Extremum zu untersuchen.