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Reziproke Zahl(reziprok, reziprok) zu einer gegebenen Zahl x ist die Zahl, deren Multiplikation mit x, gibt einen. Akzeptierter Eintrag: $\backslash frac(1)x$ oder $x^(-1)$. Zwei Zahlen, deren Produkt gleich eins ist, werden genannt gegenseitig invers. Der Kehrwert einer Zahl darf nicht mit dem Kehrwert einer Funktion verwechselt werden. Zum Beispiel, $\backslash frac(1)(\backslash cos(x))$ anders als der Wert der inversen Kosinusfunktion - Arkuskosinus, der bezeichnet wird $\backslash cos^(-1)x$ oder $\backslash arccos\; x$.

Invers zur reellen Zahl

Komplexe Zahlenformen	Anzahl $(z)$	Umkehren $\backslash links\; (\backslash frac(1)(z)\; \backslash rechts)$
Algebraisch	$x+iy$	$\backslash frac(x)(x^2+y^2)-i\; \backslash frac(y)(x^2+y^2)$
trigonometrisch	$r(\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi)$	$\backslash frac(1)(r)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi)$
Demonstration	$re^(i\backslash varphi)$	$\backslash frac(1)(r)e^(-i\; \backslash varphi)$

Nachweisen:
Für algebraische und trigonometrische Formen verwenden wir die Grundeigenschaft eines Bruchs, indem wir Zähler und Nenner mit dem komplexen Konjugierten multiplizieren:

• Algebraische Form:

$\backslash frac(1)(z)=\; \backslash frac(1)(x+iy)=\; \backslash frac(x-iy)((x+iy)(x-iy))=\; \backslash frac(x-iy)(x^\; 2+y^2)=\; \backslash frac(x)(x^2+y^2)-i\; \backslash frac(y)(x^2+y^2)$

• Trigonometrische Form:

$\backslash frac(1)(z)\; =\; \backslash frac(1)(r(\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)\; \backslash frac(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash \; varphi)((\backslash cos\backslash varphi+i\; \backslash sin\backslash varphi)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)\; \backslash frac(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi\; )(\backslash cos^2\backslash varphi+\; \backslash sin^2\backslash varphi)\; =\; \backslash frac(1)(r)(\backslash cos\backslash varphi-i\; \backslash sin\backslash varphi)$

• Richtform:

$\backslash frac(1)(z)\; =\; \backslash frac(1)(re^(i\; \backslash varphi))\; =\; \backslash frac(1)(r)e^(-i\; \backslash varphi)$

Wenn Sie also die Inverse einer komplexen Zahl finden, ist es bequemer, ihre Exponentialform zu verwenden.

Beispiel:

Komplexe Zahlenformen	Anzahl $(z)$	Umkehren $\backslash links\; (\backslash frac(1)(z)\; \backslash rechts)$
Algebraisch	$1+i\; \backslash sqrt(3)$	$\backslash frac(1)(4)-\; \backslash frac(\backslash sqrt(3))(4)i$
trigonometrisch	$2\; \backslash left\; (\backslash cos\backslash frac(\backslash pi)(3)+i\backslash sin\backslash frac(\backslash pi)(3)\; \backslash right)$ oder $2\; \backslash left\; (\backslash frac(1)(2)+i\backslash frac(\backslash sqrt(3))(2)\; \backslash right)$	$\backslash frac(1)(2)\; \backslash left\; (\backslash cos\backslash frac(\backslash pi)(3)-i\backslash sin\backslash frac(\backslash pi)(3)\; \backslash right)$ oder $\backslash frac(1)(2)\; \backslash left\; (\backslash frac(1)(2)-i\backslash frac(\backslash sqrt(3))(2)\; \backslash right)$
Demonstration	$2\; e^(i\; \backslash frac(\backslash pi)(3))$	$\backslash frac(1)(2)\; e^(-i\; \backslash frac(\backslash pi)(3))$

Invers zur imaginären Einheit

$\backslash frac(1)(i)=\backslash frac(1\; \backslash cdot\; i)(i\; \backslash cdot\; i)=\backslash frac(i)(i^2)=\backslash frac(i)(-1)=-i$

So bekommen wir

$\backslash frac(1)(i)=-i$ __ oder__ $ich^(-1)=-ich$

Ähnlich für $-ich$: __ $-\; \backslash frac(1)(i)=i$ __ oder __ $-i^(-1)=ich$

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Anmerkungen

siehe auch

Ein Auszug, der die reziproke Zahl charakterisiert

So heißt es in den Geschichten, und das alles völlig unfair, wovon sich jeder überzeugen lässt, der auf den Kern der Sache eingehen will.
Die Russen suchten keine bessere Position; aber im Gegenteil, sie passierten auf ihrem Rückzug viele Stellungen, die besser waren als Borodino. Sie blieben bei keiner dieser Positionen stehen: sowohl weil Kutuzov eine nicht von ihm gewählte Position nicht annehmen wollte, als auch weil die Forderung nach einem Volkskampf noch nicht stark genug zum Ausdruck gebracht worden war, und weil Miloradovich noch nicht herangetreten war mit der Miliz, und auch aus anderen Gründen, die unzählbar sind. Tatsache ist, dass die vorherigen Positionen stärker waren und dass die Borodino-Position (die, auf der die Schlacht stattfand) nicht nur nicht stark ist, sondern aus irgendeinem Grund überhaupt keine Position mehr ist als jeder andere Ort im Russischen Reich , die man, ratend, mit einer Stecknadel auf die Karte zeigen würde.
Die Russen haben nicht nur die Position des Borodino-Feldes links im rechten Winkel von der Straße (dh dem Ort, an dem die Schlacht stattfand) nicht befestigt, sondern sie haben vor dem 25. August 1812 nie geglaubt, dass die Schlacht dies könnte finden an diesem Ort statt. Dies wird erstens dadurch belegt, dass es an diesem Ort nicht nur am 25. keine Befestigungen gab, sondern dass sie am 25. begonnen und am 26. nicht vollendet wurden; Zweitens dient die Position der Shevardinsky-Redoute als Beweis: Die Shevardinsky-Redoute vor der Position, auf der die Schlacht genommen wurde, macht keinen Sinn. Warum war diese Redoute stärker befestigt als alle anderen Punkte? Und warum waren bei der Verteidigung am 24. bis spät in die Nacht alle Anstrengungen erschöpft und sechstausend Menschen verloren? Um den Feind zu beobachten, genügte eine Kosakenpatrouille. Drittens ist der Beweis dafür, dass die Position, auf der die Schlacht stattfand, nicht vorhergesehen wurde und dass die Shevardinsky-Redoute nicht der vordere Punkt dieser Position war, dass Barclay de Tolly und Bagration bis zum 25. davon überzeugt waren, dass die Shevardinsky-Redoute die linke Flanke von war die Stellung und dass Kutuzov selbst in seinem hastig nach der Schlacht geschriebenen Bericht die Schewardinski-Redoute als linke Flanke der Stellung bezeichnet. Viel später, als Berichte über die Schlacht von Borodino öffentlich geschrieben wurden, wurde (wahrscheinlich um die Fehler des Oberbefehlshabers zu rechtfertigen, der unfehlbar sein musste) ein unfaires und seltsames Zeugnis erfunden, dass die Schewardinsky-Redoute als diente Vorposten (obwohl es nur ein befestigter Punkt der linken Flanke war) und als ob die Schlacht von Borodino von uns in einer befestigten und vorgewählten Position akzeptiert wurde, während sie an einem völlig unerwarteten und fast unbefestigten Ort stattfand.
Der Fall war offensichtlich so: Die Position wurde entlang des Flusses Kolocha gewählt, der die Hauptstraße nicht gerade, sondern in einem spitzen Winkel überquerte, sodass sich die linke Flanke in Shevardin befand, die rechte Flanke in der Nähe der Dorf Novy und das Zentrum war in Borodino, am Zusammenfluss der Flüsse Kolocha und Vo. yn. Diese Position der Armee unter dem Schutz des Flusses Kolocha, deren Ziel es ist, den Feind daran zu hindern, sich entlang der Straße von Smolensk nach Moskau zu bewegen, ist für jeden offensichtlich, der das Borodino-Feld betrachtet und vergisst, wie die Schlacht stattgefunden hat.
Napoleon, der am 24. nach Valuev aufbrach, sah (wie die Geschichten sagen) die Position der Russen von Utitsa bis Borodin nicht (er konnte diese Position nicht sehen, weil sie nicht da war) und sah den vorgeschobenen Posten der nicht Russische Armee, stolperte jedoch bei der Verfolgung der russischen Nachhut auf der linken Flanke der Stellung der Russen, auf der Schewardinski-Redoute, und verlegte unerwartet für die Russen Truppen durch Kolocha. Und die Russen, die keine Zeit hatten, in eine allgemeine Schlacht einzutreten, zogen sich mit ihrem linken Flügel von der Position zurück, die sie einnehmen wollten, und nahmen eine neue Position ein, die nicht vorgesehen und nicht befestigt war. Nachdem Napoleon die linke Seite von Kolocha links von der Straße überquert hatte, verlegte er die gesamte zukünftige Schlacht von rechts nach links (von der Seite der Russen) und verlegte sie auf das Feld zwischen Utitsa, Semenovsky und Borodino (auf diesem Feld). , das für die Stellung nichts Vorteilhafteres hat als irgendein anderes Feld in Rußland), und auf diesem Feld fand am 26. die ganze Schlacht statt. In groben Zügen sieht der Plan für die vorgeschlagene Schlacht und die Schlacht, die stattgefunden hat, wie folgt aus:

Wenn Napoleon nicht am Abend des 24. nach Kolocha abgereist wäre und nicht befohlen hätte, die Redoute sofort am Abend anzugreifen, sondern am nächsten Tag morgens mit dem Angriff begonnen hätte, hätte niemand daran gezweifelt, dass die Redoute von Shevardinsky die war linke Flanke unserer Stellung; und die Schlacht hätte so stattgefunden, wie wir es erwartet hatten. In diesem Fall hätten wir die Schewardino-Redoute, unsere linke Flanke, wahrscheinlich noch hartnäckiger verteidigt; sie würden Napoleon in der Mitte oder rechts angreifen, und am 24. würde es eine allgemeine Schlacht in der befestigten und vorgesehenen Stellung geben. Aber da der Angriff auf unsere linke Flanke am Abend nach dem Rückzug unserer Nachhut, dh unmittelbar nach der Schlacht von Gridneva, stattfand und die russischen Militärführer keine Zeit hatten oder wollten, um eine allgemeine Schlacht zu beginnen Am selben 24. Abend, der ersten und wichtigsten Aktion von Borodinsky, wurde die Schlacht am 24. verloren und führte offensichtlich zum Verlust der Schlacht, die am 26. stattfand.
Nach dem Verlust der Schewardinski-Redoute fanden wir uns am Morgen des 25. ohne Stellung auf der linken Flanke wieder und waren gezwungen, unseren linken Flügel zurückzubiegen und überall hastig zu verstärken.
Aber nicht nur, dass die russischen Truppen am 26. August nur unter dem Schutz schwacher, unvollendeter Befestigungen standen, der Nachteil dieser Situation wurde noch dadurch verstärkt, dass die russische Militärführung die vollzogene Tatsache (Verlust einer Position an der linken Flanke und die Verlegung des gesamten zukünftigen Schlachtfeldes von rechts nach links ), blieben in ihrer gestreckten Position vom Dorf Novy nach Utitsa und mussten infolgedessen ihre Truppen während der Schlacht von rechts nach links bewegen. Somit hatten die Russen während der gesamten Schlacht zweimal die schwächsten Kräfte gegen die gesamte französische Armee, die auf unseren linken Flügel gerichtet war. (Die Aktionen von Poniatowski gegen Utitsa und Uvarov an der rechten Flanke der Franzosen stellten Aktionen dar, die vom Verlauf der Schlacht getrennt waren.)
Die Schlacht von Borodino fand also überhaupt nicht statt, wie sie beschrieben wird (in dem Versuch, die Fehler unserer Militärführer zu verbergen und infolgedessen den Ruhm der russischen Armee und des russischen Volkes herabzusetzen). Die Schlacht von Borodino fand nicht auf einer ausgewählten und befestigten Position mit nur den schwächsten Kräften seitens der Russen statt, und die Schlacht von Borodino wurde aufgrund des Verlustes der Schewardinsky-Redoute von den Russen in offener, fast unbefestigtes Gebiet mit doppelt schwächsten Kräften gegen die Franzosen, das heißt unter solchen Bedingungen, in denen es nicht nur undenkbar war, zehn Stunden lang zu kämpfen und die Schlacht unentschlossen zu machen, sondern es war undenkbar, die Armee vor einer vollständigen Niederlage und Flucht zu bewahren für drei Stunden.

Am 25. morgens verließ Pierre Mozhaisk. Beim Abstieg von dem riesigen steilen und krummen Berg, der aus der Stadt herausführt, vorbei an der rechts auf dem Berg stehenden Kathedrale, in der ein Gottesdienst und das Evangelium gehalten wurden, stieg Pierre aus der Kutsche und ging zu Fuß. Hinter ihm stieg eine Art Kavallerieregiment mit Peselniks vorne auf den Berg herab. Ein Karrenzug mit den Verwundeten der gestrigen Tat kam ihm entgegen. Die Bauerntreiber, die die Pferde anbrüllten und mit Peitschen peitschten, rannten von einer Seite zur anderen. Die Karren, auf denen drei und vier verwundete Soldaten lagen und saßen, sprangen über die in Form eines Pflasters auf einen steilen Abhang geworfenen Steine. Die Verwundeten, in Lumpen gefesselt, blass, mit geschürzten Lippen und gerunzelten Augenbrauen, hielten sich an den Betten fest, sprangen und schubsten in den Karren. Alle betrachteten mit fast naiver, kindlicher Neugier Pierres weißen Hut und grünen Frack.

Wir geben eine Definition und Beispiele für reziproke Zahlen. Überlege, wie man den Kehrwert einer natürlichen Zahl und den Kehrwert eines gewöhnlichen Bruchs ermittelt. Außerdem schreiben und beweisen wir eine Ungleichung, die die Eigenschaft der Summe reziproker Zahlen widerspiegelt.

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Reziproke Zahlen. Definition

Definition. Reziproke Zahlen

Reziproke Zahlen sind jene Zahlen, deren Produkt Eins ergibt.

Wenn a · b = 1, dann können wir sagen, dass die Zahl a der Kehrwert der Zahl b ist, genauso wie die Zahl b der Kehrwert der Zahl a ist.

Das einfachste Beispiel für reziproke Zahlen sind zwei Einsen. Tatsächlich ist 1 1 = 1, also sind a = 1 und b = 1 zueinander inverse Zahlen. Ein weiteres Beispiel sind die Zahlen 3 und 1 3 , - 2 3 und - 3 2 , 6 13 und 13 6 , log 3 17 und log 17 3 . Das Produkt jedes Paares der obigen Zahlen ist gleich eins. Wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist, wie zum Beispiel bei den Zahlen 2 und 2 3 , dann sind die Zahlen nicht zueinander invers.

Die Definition der reziproken Zahlen gilt für alle Zahlen – natürlich, ganzzahlig, reell und komplex.

So finden Sie den Kehrwert einer gegebenen Zahl

Betrachten wir den allgemeinen Fall. Wenn die ursprüngliche Zahl gleich a ist, dann wird ihr Kehrwert als 1 a oder a-1 geschrieben. Tatsächlich ist a · 1 a = a · a - 1 = 1 .

Bei natürlichen Zahlen und gemeinsamen Brüchen ist es ziemlich einfach, den Kehrwert zu finden. Man könnte sogar sagen, es ist offensichtlich. Wenn Sie eine Zahl finden, die das Inverse einer irrationalen oder komplexen Zahl ist, müssen eine Reihe von Berechnungen durchgeführt werden.

Betrachten Sie die häufigsten Fälle in der Praxis, um den Kehrwert zu finden.

Der Kehrwert eines gemeinsamen Bruchs

Offensichtlich ist der Kehrwert des gemeinsamen Bruchs a b der Bruch b a . Um also den Kehrwert eines Bruchs zu finden, musst du den Bruch einfach umdrehen. Das heißt Zähler und Nenner vertauschen.

Nach dieser Regel kannst du den Kehrwert jedes gewöhnlichen Bruchs fast sofort schreiben. Für den Bruch 28 57 ist der Kehrwert also der Bruch 57 28 und für den Bruch 789 256 die Zahl 256 789.

Der Kehrwert einer natürlichen Zahl

Du kannst den Kehrwert jeder natürlichen Zahl auf die gleiche Weise wie den Kehrwert eines Bruchs finden. Es genügt, eine natürliche Zahl a als gewöhnlichen Bruch a 1 darzustellen. Dann ist sein Kehrwert 1 a . Für die natürliche Zahl 3 ist ihr Kehrwert 1 3 , für die Zahl 666 ist der Kehrwert 1 666 und so weiter.

Besonderes Augenmerk sollte auf die Einheit gelegt werden, da dies die einzige Zahl ist, deren Kehrwert gleich sich selbst ist.

Es gibt keine anderen Paare von reziproken Zahlen, bei denen beide Komponenten gleich sind.

Der Kehrwert einer gemischten Zahl

Die gemischte Zahl hat die Form a b c . Um den Kehrwert zu finden, musst du die gemischte Zahl auf der Seite eines unechten Bruchs darstellen und den Kehrwert für den resultierenden Bruch wählen.

Lassen Sie uns zum Beispiel den Kehrwert von 7 2 5 finden. Stellen wir zuerst 7 2 5 als unechten Bruch dar: 7 2 5 = 7 5 + 2 5 = 37 5 .

Für den unechten Bruch 37 5 ist der Kehrwert 5 37 .

Der Kehrwert einer Dezimalzahl

Ein Dezimalbruch kann auch als gewöhnlicher Bruch dargestellt werden. Den Kehrwert eines Dezimalbruchs einer Zahl zu finden, läuft darauf hinaus, den Dezimalbruch als gewöhnlichen Bruch darzustellen und den Kehrwert davon zu finden.

Zum Beispiel gibt es einen Bruch 5, 128. Finden wir seinen Kehrwert. Zuerst wandeln wir die Dezimalzahl in einen gewöhnlichen Bruch um: 5, 128 = 5 128 1000 = 5 32 250 = 5 16 125 = 641 125. Für den resultierenden Bruch ist der Kehrwert der Bruch 125641.

Betrachten wir ein weiteres Beispiel.

Beispiel. Kehrwert einer Dezimalzahl ermitteln

Finde den Kehrwert des periodischen Dezimalbruchs 2 , (18) .

Konvertieren Sie dezimal in normal:

2, 18 = 2 + 18 10 - 2 + 18 10 - 4 + . . . = 2 + 18 10 - 2 1 - 10 - 2 = 2 + 18 99 = 2 + 2 11 = 24 11

Nach der Übersetzung können wir den Kehrwert des Bruchs 24 11 leicht aufschreiben. Diese Nummer wird offensichtlich 11 24 sein.

Bei einem unendlichen und sich nicht wiederholenden Dezimalbruch wird der Kehrwert als Bruch mit einer Einheit im Zähler und dem Bruch selbst im Nenner geschrieben. Zum Beispiel für den unendlichen Bruch 3 , 6025635789 . . . der Kehrwert ist 1 3 , 6025635789 . . . .

In ähnlicher Weise werden für irrationale Zahlen, die nicht periodischen unendlichen Brüchen entsprechen, Kehrwerte als Bruchausdrücke geschrieben.

Zum Beispiel ist der Kehrwert von π + 3 3 80 80 π + 3 3 , und der Kehrwert von 8 + e 2 + e ist 1 8 + e 2 + e.

Reziproke Zahlen mit Wurzeln

Unterscheidet sich die Form zweier Zahlen von a und 1 a , dann ist es nicht immer einfach festzustellen, ob die Zahlen zueinander invers sind. Dies gilt insbesondere für Zahlen, die ein Wurzelzeichen in ihrer Notation haben, da es normalerweise üblich ist, die Wurzel im Nenner wegzulassen.

Wenden wir uns der Praxis zu.

Beantworten wir die Frage: Sind die Zahlen 4 - 2 3 und 1 + 3 2 reziprok?

Um herauszufinden, ob die Zahlen zueinander invers sind, berechnen wir ihr Produkt.

4 - 2 3 1 + 3 2 = 4 - 2 3 + 2 3 - 3 = 1

Das Produkt ist gleich eins, was bedeutet, dass die Zahlen zueinander invers sind.

Betrachten wir ein weiteres Beispiel.

Beispiel. Reziproke Zahlen mit Wurzeln

Schreiben Sie den Kehrwert von 5 3 + 1 auf.

Du kannst sofort schreiben, dass der Kehrwert gleich dem Bruch 1 5 3 + 1 ist. Wie wir bereits gesagt haben, ist es jedoch üblich, die Wurzel im Nenner loszuwerden. Multiplizieren Sie dazu Zähler und Nenner mit 25 3 - 5 3 + 1 . Wir bekommen:

1 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 + 1 25 3 - 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 3 + 1 3 = 25 3 - 5 3 + 1 6

Reziprokzahlen mit Potenzen

Angenommen, es gibt eine Zahl, die gleich einer Potenz der Zahl a ist. Mit anderen Worten, die Zahl a potenziert mit n. Der Kehrwert von a n ist a - n . Lass es uns überprüfen. Tatsächlich: a n a - n = a n 1 1 a n = 1 .

Beispiel. Reziprokzahlen mit Potenzen

Finde den Kehrwert von 5 - 3 + 4 .

Gemäß dem oben Gesagten ist die gewünschte Zahl 5 - - 3 + 4 = 5 3 - 4

Kehrwerte mit Logarithmen

Für den Logarithmus der Zahl a zur Basis b ist der Kehrwert die Zahl gleich dem Logarithmus der Zahl b zur Basis a.

log a b und log b a sind reziproke Zahlen.

Lass es uns überprüfen. Aus den Eigenschaften des Logarithmus folgt, dass log a b = 1 log b a , also log a b · log b a .

Beispiel. Kehrwerte mit Logarithmen

Ermitteln Sie den Kehrwert von log 3 5 - 2 3 .

Der Kehrwert des Logarithmus von 3 zur Basis 3 5 - 2 ist der Logarithmus von 3 5 - 2 zur Basis 3.

Der Kehrwert einer komplexen Zahl

Wie bereits erwähnt, gilt die Definition der reziproken Zahlen nicht nur für reelle Zahlen, sondern auch für komplexe.

Normalerweise werden komplexe Zahlen in der algebraischen Form z = x + i y dargestellt. Der Kehrwert davon wird ein Bruch sein

1 x + ich y . Der Einfachheit halber kann dieser Ausdruck verkürzt werden, indem Zähler und Nenner mit x - i y multipliziert werden.

Beispiel. Der Kehrwert einer komplexen Zahl

Sei eine komplexe Zahl z = 4 + i . Finden wir den Kehrwert davon.

Der Kehrwert von z = 4 + i ist gleich 1 4 + i .

Multipliziere Zähler und Nenner mit 4 - i und erhalte:

1 4 + ich \u003d 4 - ich 4 + ich 4 - ich \u003d 4 - ich 4 2 - ich 2 \u003d 4 - ich 16 - (- 1) \u003d 4 - ich 17.

Zusätzlich zu ihrer algebraischen Form kann eine komplexe Zahl wie folgt in trigonometrischer oder exponentieller Form dargestellt werden:

z = r cos φ + i sin φ

z = r e ich φ

Dementsprechend sieht die reziproke Zahl so aus:

1 r cos (- φ) + i sin (- φ)

Stellen wir das sicher:

r cos φ + i sin φ 1 r cos (- φ) + i sin (- φ) = r r cos 2 φ + sin 2 φ = 1 r e ich φ 1 r e ich (- φ) = r r e 0 = 1

Betrachten Sie Beispiele mit der Darstellung komplexer Zahlen in trigonometrischer und exponentieller Form.

Finde die Umkehrung von 2 3 cos π 6 + i · sin π 6 .

Da r = 2 3 , φ = π 6 , schreiben wir den Kehrwert

3 2 cos - π 6 + i sin - π 6

Beispiel. Finden Sie den Kehrwert einer komplexen Zahl

Was ist die Umkehrung von 2 · e i · - 2 π 5 .

Antwort: 1 2 e ich 2 π 5

Die Summe der reziproken Zahlen. Ungleichheit

Es gibt einen Satz über die Summe zweier reziproker Zahlen.

Summe reziproker Zahlen

Die Summe zweier positiver und reziproker Zahlen ist immer größer oder gleich 2.

Wir präsentieren den Beweis des Satzes. Wie Sie wissen, ist das arithmetische Mittel für alle positiven Zahlen a und b größer oder gleich dem geometrischen Mittel. Dies kann als Ungleichung geschrieben werden:

a + b 2 ≥ a b

Wenn wir statt der Zahl b die Inverse von a nehmen, nimmt die Ungleichung die Form an:

a + 1 a 2 ≥ a 1 a a + 1 a ≥ 2

Q.E.D.

Lassen Sie uns ein praktisches Beispiel geben, das diese Eigenschaft veranschaulicht.

Beispiel. Finden Sie die Summe der reziproken Zahlen

Lassen Sie uns die Summe der Zahlen 2 3 und ihren Kehrwert berechnen.

2 3 + 3 2 = 4 + 9 6 = 13 6 = 2 1 6

Wie der Satz sagt, ist die resultierende Zahl größer als zwei.

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Ein Zahlenpaar, dessen Produkt gleich eins ist, wird genannt gegenseitig invers.

Beispiele: 5 und 1/5, -6/7 und -7/6 und

Für jede Zahl a ungleich Null gibt es eine Umkehrung 1/a.

Der Kehrwert von Null ist unendlich.

Umgekehrte Brüche- Dies sind zwei Brüche, deren Produkt 1 ist. Zum Beispiel 3/7 und 7/3; 5/8 und 8/5 usw.

siehe auch

Wikimedia-Stiftung. 2010 .

Sehen Sie, was "Umkehrnummer" in anderen Wörterbüchern ist:

Eine Zahl, deren Produkt mal einer gegebenen Zahl gleich eins ist. Zwei solche Zahlen nennt man Kehrwerte. Das sind zum Beispiel 5 und 1/5, 2/3 und 3/2 usw. ... Großes enzyklopädisches Wörterbuch

reziproke Zahl- - [A. S. Goldberg. Englisch-Russisches Energie-Wörterbuch. 2006] Themen Energie allgemein EN KehrzahlKehrzahl … Handbuch für technische Übersetzer

Eine Zahl, deren Produkt mal einer gegebenen Zahl gleich eins ist. Zwei solche Zahlen nennt man Kehrwerte. Das sind zum Beispiel 5 und 1/5, 2/3 und 3/2 usw. * * * RÜCKZAHL RÜCKZAHL, eine Zahl, deren Produkt mal einer gegebenen Zahl ... Enzyklopädisches Wörterbuch

Eine Zahl, deren Produkt mit einer gegebenen Zahl gleich eins ist. Zwei solche Zahlen nennt man Kehrwerte. Das sind zum Beispiel 5 und a, ungleich Null, es gibt eine Umkehrung ... Große sowjetische Enzyklopädie

Die Zahl, das Produkt von k und einer gegebenen Zahl ist gleich eins. Zwei solche Nummern werden aufgerufen gegenseitig invers. Das sind zum Beispiel 5 und 1/5. 2/3 und 3/2 usw... Naturwissenschaft. Enzyklopädisches Wörterbuch

Dieser Begriff hat andere Bedeutungen, siehe Zahl (Bedeutungen). Zahl ist das Grundkonzept der Mathematik, das für quantitative Merkmale, den Vergleich und die Nummerierung von Objekten verwendet wird. Entstanden zurück in die primitive Gesellschaft aus den Bedürfnissen ... ... Wikipedia

Siehe auch: Zahl (Linguistik) Zahl ist eine Abstraktion, die verwendet wird, um Objekte zu quantifizieren. Entstanden in der primitiven Gesellschaft aus den Bedürfnissen des Zählens, veränderte und bereicherte sich der Zahlenbegriff und wurde zur wichtigsten mathematischen ... Wikipedia

Das umgekehrte Verwirbeln von Wasser während des Abflusses ist ein fast wissenschaftlicher Mythos, der auf der falschen Anwendung des Coriolis-Effekts auf die Bewegung von Wasser in einem Whirlpool basiert, die auftritt, wenn es in das Abflussloch eines Waschbeckens oder einer Badewanne fließt. Die Essenz des Mythos ist, dass Wasser ... ... Wikipedia

ZAHL, IRRATIONAL, eine Zahl, die nicht als Bruch ausgedrückt werden kann. Beispiele umfassen die C2- und p-Nummer. Irrationale Zahlen sind also Zahlen mit unendlich vielen (nicht periodischen) Nachkommastellen. (Umgekehrt ist es aber nicht… … Wissenschaftliches und technisches Lexikon

Die Laplace-Transformation ist eine Integraltransformation, die eine Funktion einer komplexen Variablen (Bild) mit einer Funktion einer reellen Variablen (Original) in Beziehung setzt. Mit ihrer Hilfe werden die Eigenschaften dynamischer Systeme untersucht und differentiell und ... Wikipedia

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Umgekehrte – oder reziproke – Zahlen sind ein Zahlenpaar, das multipliziert 1 ergibt. In der allgemeinsten Form sind Reziproke Zahlen. Ein charakteristischer Sonderfall reziproker Zahlen ist ein Paar. Die Inversen sind etwa die Zahlen; .

So finden Sie den Kehrwert

Regel: Sie müssen 1 (eins) durch die angegebene Zahl teilen.

Beispiel 1.

Gegeben ist die Zahl 8. Ihr Kehrwert ist 1:8 oder (die zweite Variante ist vorzuziehen, weil eine solche Notation mathematisch korrekter ist).

Wenn Sie nach dem Kehrwert eines gewöhnlichen Bruchs suchen, ist es nicht sehr praktisch, ihn durch 1 zu teilen, weil Die Aufzeichnung wird umständlich. In diesem Fall geht es anders: Der Bruch wird einfach umgedreht, Zähler und Nenner vertauscht. Wenn ein richtiger Bruch angegeben wird, erhält man nach dem Umdrehen einen unechten Bruch, d.h. eine, aus der ein ganzer Teil extrahiert werden kann. Ob Sie dies tun oder nicht, müssen Sie von Fall zu Fall entscheiden. Wenn Sie also mit dem resultierenden umgekehrten Bruch einige Aktionen ausführen müssen (z. B. Multiplikation oder Division), sollten Sie nicht den ganzen Teil auswählen. Wenn der resultierende Bruch das Endergebnis ist, dann ist vielleicht die Auswahl des ganzzahligen Teils wünschenswert.

Beispiel #2.

Einen Bruchteil gegeben. Umgekehrt dazu:.

Wenn du den Kehrwert eines Dezimalbruchs finden willst, dann solltest du die erste Regel anwenden (1 durch eine Zahl teilen). In dieser Situation können Sie auf zwei Arten handeln. Die erste besteht darin, einfach 1 durch diese Zahl in eine Spalte zu teilen. Die zweite besteht darin, einen Bruch aus 1 im Zähler und einer Dezimalstelle im Nenner zu bilden und dann Zähler und Nenner mit 10, 100 oder einer anderen Zahl zu multiplizieren, die aus 1 und so vielen Nullen wie nötig besteht, um den Dezimalpunkt loszuwerden im Nenner. Das Ergebnis wird ein gewöhnlicher Bruch sein, der das Ergebnis ist. Gegebenenfalls müssen Sie es kürzen, einen ganzzahligen Teil daraus extrahieren oder es in Dezimalform umwandeln.

Beispiel #3.

Die angegebene Zahl ist 0,82. Sein Kehrwert ist: . Lassen Sie uns nun den Bruch kürzen und den ganzzahligen Teil auswählen: .

So prüfen Sie, ob zwei Zahlen reziprok sind

Das Verifikationsprinzip basiert auf der Definition von Reziproken. Das heißt, um sicherzustellen, dass die Zahlen zueinander invers sind, müssen Sie sie multiplizieren. Wenn das Ergebnis eins ist, dann sind die Zahlen zueinander invers.

Beispiel Nummer 4.

Angesichts der Zahlen 0,125 und 8. Sind sie reziprok?

Untersuchung. Es ist notwendig, das Produkt von 0,125 und 8 zu finden. Zur Verdeutlichung stellen wir diese Zahlen als gewöhnliche Brüche dar: (kürzen wir den 1. Bruch um 125). Fazit: Die Zahlen 0,125 und 8 sind invers.

Eigenschaften von Kehrwerten

Eigentum Nr. 1

Der Kehrwert existiert für jede andere Zahl als 0.

Diese Einschränkung ist darauf zurückzuführen, dass es unmöglich ist, durch 0 zu teilen, und wenn der Kehrwert von Null bestimmt wird, muss er nur auf den Nenner verschoben werden, d.h. eigentlich durch sie dividieren.

Eigentum Nr. 2

Die Summe zweier reziproker Zahlen ist nie kleiner als 2.

Mathematisch lässt sich diese Eigenschaft durch die Ungleichung ausdrücken: .

Eigenschaft Nr. 3

Das Multiplizieren einer Zahl mit zwei reziproken Zahlen entspricht dem Multiplizieren mit Eins. Lassen Sie uns diese Eigenschaft mathematisch ausdrücken: .

Beispiel Nummer 5.

Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: 3,4 0,125 8. Da die Zahlen 0,125 und 8 Kehrwerte sind (siehe Beispiel #4), ist es nicht nötig, 3,4 mit 0,125 und dann mit 8 zu multiplizieren. Die Antwort lautet hier also 3,4.

Inhalt:

Kehrwerte werden beim Lösen aller Arten von algebraischen Gleichungen benötigt. Wenn du beispielsweise eine Bruchzahl durch eine andere dividieren musst, multiplizierst du die erste Zahl mit dem Kehrwert der zweiten. Außerdem werden Kehrwerte verwendet, wenn die Gleichung einer geraden Linie gefunden wird.

Schritte

1 Den Kehrwert eines Bruchs oder einer ganzen Zahl finden

1. 1 Finde den Kehrwert einer Bruchzahl, indem du sie umdrehst."Reziproke Zahl" ist sehr einfach definiert. Um es zu berechnen, berechnen Sie einfach den Wert des Ausdrucks "1 ÷ (ursprüngliche Zahl)." Bei einer Bruchzahl ist der Kehrwert eine andere Bruchzahl, die einfach durch "Umkehren" des Bruchs (Umkehren des Zählers und Nenners) berechnet werden kann.
   • Zum Beispiel ist der Kehrwert von 3/4 4 / 3 .
2. 2 Schreibe den Kehrwert einer ganzen Zahl als Bruch. Und in diesem Fall wird der Kehrwert als 1 ÷ (ursprüngliche Zahl) berechnet. Schreiben Sie für eine ganze Zahl den Kehrwert als Bruch, Sie müssen keine Berechnungen durchführen und ihn als Dezimalzahl schreiben.
   • Zum Beispiel ist der Kehrwert von 2 1 ÷ 2 = 1 / 2 .

2 Bestimmen des Kehrwerts eines gemischten Bruchs

1. 1 Was ist eine „gemischte Fraktion“? Ein gemischter Bruch ist eine als ganze Zahl geschriebene Zahl und ein einfacher Bruch, zum Beispiel 2 4 / 5. Das Bestimmen des Kehrwerts eines gemischten Bruchs erfolgt in zwei Schritten, die unten beschrieben werden.
2. 2 Schreibe den gemischten Bruch als unechten Bruch auf. Natürlich erinnern Sie sich, dass die Einheit als (Zahl) / (gleiche Zahl) geschrieben werden kann und Brüche mit demselben Nenner (Zahl unter dem Strich) miteinander addiert werden können. So kann es für den Bruch 2 4 / 5 gemacht werden:
   • 2 4 / 5
   • = 1 + 1 + 4 / 5
   • = 5 / 5 + 5 / 5 + 4 / 5
   • = (5+5+4) / 5
   • = 14 / 5 .
3. 3 Drehe den Bruch um. Wenn ein gemischter Bruch als unechter Bruch geschrieben wird, können wir den Kehrwert leicht finden, indem wir einfach Zähler und Nenner vertauschen.
   • Für das obige Beispiel wäre der Kehrwert 14 / 5 - 5 / 14 .

3 Den Kehrwert einer Dezimalzahl ermitteln

1. 1 Wenn möglich, drücken Sie die Dezimalzahl als Bruch aus. Du musst wissen, dass viele Dezimalzahlen leicht in einfache Brüche umgewandelt werden können. Zum Beispiel 0,5 = 1/2 und 0,25 = 1/4. Wenn du eine Zahl als einfachen Bruch schreibst, kannst du den Kehrwert ganz einfach finden, indem du den Bruch umdrehst.
   • Zum Beispiel ist der Kehrwert von 0,5 2 / 1 = 2.
2. 2 Lösen Sie die Aufgabe durch Division. Wenn Sie eine Dezimalzahl nicht als Bruch schreiben können, berechnen Sie den Kehrwert, indem Sie die Aufgabe lösen, indem Sie dividieren: 1 ÷ (Dezimalzahl). Sie können einen Taschenrechner verwenden, um es zu lösen, oder mit dem nächsten Schritt fortfahren, wenn Sie den Wert manuell berechnen möchten.
   • Beispielsweise wird der Kehrwert von 0,4 als 1 ÷ 0,4 berechnet.
3. 3 Ändern Sie den Ausdruck so, dass er mit ganzen Zahlen funktioniert. Der erste Schritt bei der Dezimaldivision besteht darin, den Positionspunkt zu verschieben, bis alle Zahlen im Ausdruck ganze Zahlen sind. Da Sie das Positionskomma sowohl im Dividenden als auch im Divisor um die gleiche Anzahl von Stellen verschieben, erhalten Sie die richtige Antwort.
4. 4 Nehmen Sie zum Beispiel den Ausdruck 1 ÷ 0,4 und schreiben Sie ihn als 10 ÷ 4. In diesem Fall haben Sie das Komma um eine Stelle nach rechts verschoben, was der Multiplikation jeder Zahl mit zehn entspricht.
5. 5 Lösen Sie das Problem, indem Sie die Zahlen durch eine Spalte dividieren. Mit der Division durch eine Spalte kannst du den Kehrwert einer Zahl berechnen. Wenn Sie 10 durch 4 teilen, sollten Sie 2,5 erhalten, was der Kehrwert von 0,4 ist.

• Der Wert eines negativen Kehrwerts ist der Kehrwert der Zahl multipliziert mit -1. Beispielsweise ist der negative Kehrwert von 3/4 -4/3.
• Der Kehrwert einer Zahl wird manchmal als "Kehrwert" oder "Kehrwert" bezeichnet.
• Die Zahl 1 ist ihr eigener Kehrwert, weil 1 ÷ 1 = 1.
• Null hat keinen Kehrwert, weil der Ausdruck 1 ÷ 0 keine Lösungen hat.