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Konstruktion eines einparametrigen, stochastischen Modells des Produktionsprozesses

Ph.D. Assoz. Mordasov Yu.P.

Universität für Maschinenwesen, 8-916-853-13-32, [E-Mail geschützt] gi

Anmerkung. Der Autor hat ein mathematisches, stochastisches Modell des Produktionsprozesses in Abhängigkeit von einem Parameter entwickelt. Das Modell wurde getestet. Dazu wurde ein Simulationsmodell des Produktions- und Maschinenbauprozesses unter Berücksichtigung des Einflusses zufälliger Störungen-Ausfälle erstellt. Der Vergleich der Ergebnisse der mathematischen und der Simulationsmodellierung bestätigt die Zweckmäßigkeit der Anwendung des mathematischen Modells in der Praxis.

Schlüsselwörter: technologischer Prozess, mathematisch, Simulationsmodell, Betriebssteuerung, Approbation, zufällige Störungen.

Die Kosten der Betriebsführung lassen sich erheblich reduzieren, indem eine Methodik entwickelt wird, die es erlaubt, das Optimum zwischen den Kosten der Betriebsplanung und den Verlusten zu finden, die sich aus der Diskrepanz zwischen geplanten Kennzahlen und Kenngrößen realer Produktionsprozesse ergeben. Das bedeutet, die optimale Dauer des Signals in der Rückkopplungsschleife zu finden. In der Praxis bedeutet dies eine Verringerung der Anzahl der Berechnungen von Kalenderplänen zum Einfahren von Montageeinheiten in die Produktion und dadurch eine Einsparung von Materialressourcen.

Der Ablauf des Produktionsprozesses im Maschinenbau ist probabilistischer Natur. Der ständige Einfluss ständig wechselnder Faktoren macht es nicht möglich, für eine bestimmte Perspektive (Monat, Quartal) den Ablauf des Produktionsprozesses in Raum und Zeit vorherzusagen. In statistischen Dispositionsmodellen soll der Zustand eines Teils zu jedem bestimmten Zeitpunkt in Form einer angemessenen Wahrscheinlichkeit (Wahrscheinlichkeitsverteilung) für seinen Verbleib an unterschiedlichen Arbeitsplätzen angegeben werden. Es ist jedoch notwendig, den Determinismus des Endergebnisses des Unternehmens sicherzustellen. Dies wiederum impliziert die Möglichkeit, mit deterministischen Methoden bestimmte Fristen für in Produktion befindliche Teile zu planen. Die Erfahrung zeigt jedoch, dass verschiedene Wechselbeziehungen und gegenseitige Übergänge realer Produktionsprozesse vielfältig und zahlreich sind. Bei der Entwicklung deterministischer Modelle bereitet dies erhebliche Schwierigkeiten.

Der Versuch, alle Faktoren zu berücksichtigen, die den Produktionsablauf beeinflussen, macht das Modell schwerfällig und es verliert seine Funktion als Planungs-, Bilanzierungs- und Regulierungsinstrument.

Eine einfachere Methode zur Konstruktion mathematischer Modelle komplexer realer Prozesse, die von einer Vielzahl unterschiedlicher Faktoren abhängen, die nur schwer oder gar nicht berücksichtigt werden können, ist die Konstruktion stochastischer Modelle. In diesem Fall werden bei der Analyse der Funktionsprinzipien eines realen Systems oder bei der Beobachtung seiner individuellen Eigenschaften Wahrschefür einige Parameter erstellt. Bei Vorhandensein einer hohen statistischen Stabilität der quantitativen Eigenschaften des Prozesses und ihrer geringen Streuung stimmen die unter Verwendung des konstruierten Modells erhaltenen Ergebnisse gut mit der Leistung des realen Systems überein.

Die wichtigsten Voraussetzungen für die Erstellung statistischer Modelle wirtschaftlicher Prozesse sind:

Übermäßige Komplexität und damit verbundene wirtschaftliche Ineffizienz des entsprechenden deterministischen Modells;

Große Abweichungen der theoretischen Indikatoren, die als Ergebnis des Experiments am Modell erhalten wurden, von den Indikatoren tatsächlich funktionierender Objekte.

Daher ist es wünschenswert, einen einfachen mathematischen Apparat zu haben, der den Einfluss stochastischer Störungen auf die globalen Eigenschaften des Produktionsprozesses (Rohstoffausstoß, Umfang der laufenden Arbeiten usw.) beschreibt. Das heißt, ein mathematisches Modell des Produktionsprozesses zu erstellen, das von wenigen Parametern abhängt und den gesamten Einfluss vieler Faktoren unterschiedlicher Art auf den Verlauf des Produktionsprozesses widerspiegelt. Die Hauptaufgabe, die sich ein Forscher beim Bau eines Modells stellen sollte, ist nicht die passive Beobachtung der Parameter eines realen Systems, sondern die Konstruktion eines solchen Modells, das bei jeder Abweichung unter dem Einfluss von Störungen die Parameter des Dargestellten bringen würde Prozesse in einen bestimmten Modus. Das heißt, unter der Wirkung eines beliebigen Zufallsfaktors muss im System ein Prozess etabliert werden, der zu einer geplanten Lösung konvergiert. Derzeit wird diese Funktion in automatisierten Steuerungssystemen hauptsächlich einer Person zugewiesen, die eines der Glieder in der Rückkopplungskette bei der Verwaltung von Produktionsprozessen ist.

Wenden wir uns der Analyse des realen Produktionsprozesses zu. Normalerweise wird die Dauer des Planungszeitraums (die Häufigkeit der Ausgabe von Plänen an Werkstätten) auf der Grundlage der traditionell festgelegten Kalenderzeitintervalle ausgewählt: Schicht, Tag, fünf Tage usw. Sie orientieren sich hauptsächlich an praktischen Erwägungen. Die Mindestdauer des Planungszeitraums richtet sich nach der Einsatzfähigkeit der vorgesehenen Stellen. Wenn die Produktions- und Versandabteilung des Unternehmens die Erteilung angepasster Schichtaufgaben an die Geschäfte bewältigt, erfolgt die Berechnung für jede Schicht (dh die mit der Berechnung und Analyse der geplanten Ziele verbundenen Kosten fallen für jede Schicht an).

Um die numerischen Eigenschaften der Wahrscheinlichkeitsverteilung von Zufallszahlen zu bestimmen

Eine Reihe von "Wirtschafts- und Management"-Störungen wird ein probabilistisches Modell eines realen technologischen Prozesses zur Herstellung einer Montageeinheit erstellen. Der technologische Prozess zur Herstellung einer Baugruppe bezeichnet hier und im Folgenden eine in der Technologie dokumentierte Abfolge von Arbeitsgängen (Arbeiten zur Herstellung dieser Teile oder Baugruppen). Jede technologische Operation zur Herstellung von Produkten gemäß dem technologischen Weg kann nur nach der vorherigen durchgeführt werden. Folglich ist der technologische Prozess der Herstellung einer Montageeinheit eine Abfolge von Ereignisvorgängen. Unter dem Einfluss verschiedener stochastischer Gründe kann sich die Dauer einer einzelnen Operation ändern. In einigen Fällen kann es vorkommen, dass der Vorgang während der Gültigkeit dieses Schichtjobs nicht abgeschlossen wird. Es liegt auf der Hand, dass diese Ereignisse in elementare Bestandteile zerlegt werden können: Erfüllung und Nichterfüllung einzelner Operationen, die auch mit Erfüllungs- und Nichterfüllungswahrscheinlichkeiten in Beziehung gesetzt werden können.

Für einen bestimmten technologischen Prozess kann die Wahrscheinlichkeit, eine aus K Operationen bestehende Sequenz auszuführen, durch die folgende Formel ausgedrückt werden:

PC5 \u003d k) \u003d (1-pk + 1) PG \u003d 1P1, (1)

wobei: P1 - die Wahrscheinlichkeit der Durchführung der 1. Operation, separat genommen; r ist die Nummer der Operation in der Reihenfolge des technologischen Prozesses.

Mit dieser Formel können die stochastischen Charakteristika eines bestimmten Planungszeitraums, das in Produktion gegangene Produktsortiment und die Liste der in einem gegebenen Planungszeitraum auszuführenden Arbeiten sowie deren stochastische Charakteristika, die empirisch ermittelt werden, ermittelt werden , sind bekannt. In der Praxis erfüllen nur bestimmte Arten der Massenproduktion, die eine hohe statistische Stabilität der Merkmale aufweisen, die aufgeführten Anforderungen.

Die Wahrscheinlichkeit, eine einzelne Operation durchzuführen, hängt nicht nur von äußeren Faktoren ab, sondern auch von der spezifischen Art der durchgeführten Arbeit und von der Art der Montageeinheit.

Um die Parameter der obigen Formel selbst mit einem relativ kleinen Satz von Montageeinheiten zu bestimmen, ist bei kleinen Änderungen in der Palette der hergestellten Produkte eine erhebliche Menge an experimentellen Daten erforderlich, was einen erheblichen materiellen und organisatorischen Aufwand verursacht und dieses Verfahren z Bestimmung der Wahrscheinlichkeit einer ununterbrochenen Produktion von Produkten kaum anwendbar.

Lassen Sie uns das erhaltene Modell einer Studie für die Möglichkeit seiner Vereinfachung unterziehen. Der Anfangswert der Analyse ist die Wahrscheinlichkeit der störungsfreien Ausführung einer Operation des technologischen Prozesses der Herstellung von Produkten. Unter realen Produktionsbedingungen sind die Wahrscheinlichkeiten der Durchführung von Operationen jeder Art unterschiedlich. Für einen bestimmten technologischen Prozess hängt diese Wahrscheinlichkeit ab von:

Von der Art der durchgeführten Operation;

Aus einer bestimmten Montageeinheit;

Aus parallel hergestellten Produkten;

von externen Faktoren.

Analysieren wir den Einfluss von Schwankungen in der Wahrscheinlichkeit, eine Operation auszuführen, auf die aggregierten Merkmale des Produktionsprozesses von Herstellungsprodukten (Volumen der kommerziellen Produktion, Volumen der unfertigen Erzeugnisse usw.), die mit diesem Modell bestimmt wurden. Ziel der Studie ist es, die Möglichkeit zu analysieren, im Modell verschiedene Wahrscheinlichkeiten für die Durchführung einer Operation durch einen Durchschnittswert zu ersetzen.

Die kombinierte Wirkung all dieser Faktoren wird bei der Berechnung der durchschnittlichen geometrischen Wahrscheinlichkeit für die Durchführung einer Operation des durchschnittlichen technologischen Prozesses berücksichtigt. Eine Analyse der modernen Produktion zeigt, dass sie leicht schwankt: praktisch innerhalb von 0,9 - 1,0.

Ein klares Beispiel dafür, wie gering die Wahrscheinlichkeit ist, eine Operation durchzuführen

Walkie-Talkie einem Wert von 0,9 entspricht, ist das folgende abstrakte Beispiel. Nehmen wir an, wir müssen zehn Teile herstellen. Die technologischen Herstellungsprozesse umfassen jeweils zehn Operationen. Die Wahrscheinlichkeit, jede Operation auszuführen, beträgt 0,9. Lassen Sie uns die Wahrscheinlichkeiten für das Verzögern des Zeitplans für eine unterschiedliche Anzahl von technologischen Prozessen ermitteln.

Ein zufälliges Ereignis, das darin besteht, dass ein bestimmter technologischer Prozess zur Herstellung einer Montageeinheit in Verzug gerät, entspricht der Minderleistung mindestens eines Arbeitsgangs in diesem Prozess. Es ist das Gegenteil eines Ereignisses: die fehlerfreie Ausführung aller Operationen. Seine Wahrscheinlichkeit ist 1 - 0,910 = 0,65. Da Planverzögerungen unabhängige Ereignisse sind, kann die Bernoulli-Wahrscheinlichkeitsverteilung verwendet werden, um die Wahrscheinlichkeit einer Planverzögerung für eine unterschiedliche Anzahl von Prozessen zu bestimmen. Die Berechnungsergebnisse sind in Tabelle 1 gezeigt.

Tabelle 1

Berechnung der Wahrscheinlichkeiten des Verzögerns des Zeitplans technologischer Prozesse

zu C^o0.35k0.651O-k Summe

Die Tabelle zeigt, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,92 fünf technologische Prozesse hinter dem Zeitplan zurückbleiben, also die Hälfte. Die mathematische Erwartung der Anzahl der technologischen Prozesse, die hinter dem Zeitplan zurückbleiben, beträgt 6,5. Das bedeutet, dass im Durchschnitt 6,5 von 10 Montageeinheiten hinter dem Zeitplan zurückbleiben, dh im Durchschnitt werden 3 bis 4 Teile fehlerfrei produziert. Dem Verfasser sind keine Beispiele für eine so niedrige Arbeitsorganisation in der realen Produktion bekannt. Das betrachtete Beispiel zeigt deutlich, dass die auferlegte Beschränkung des Werts der Wahrscheinlichkeit, eine Operation ohne Fehler durchzuführen, der Praxis nicht widerspricht. Alle oben genannten Anforderungen werden durch die Produktionsprozesse von Maschinenmontagewerken der Maschinenbauproduktion erfüllt.

Um die stochastischen Eigenschaften von Produktionsprozessen zu bestimmen, wird daher vorgeschlagen, eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die betriebliche Ausführung eines technologischen Prozesses zu konstruieren, die die Wahrscheinlichkeit der Ausführung einer Folge von technologischen Vorgängen zur Herstellung einer Montageeinheit durch die geometrische Durchschnittswahrscheinlichkeit von ausdrückt Durchführung einer Operation. Die Wahrscheinlichkeit, K Operationen auszuführen, ist in diesem Fall gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten, jede Operation auszuführen, multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit, den Rest des technologischen Prozesses nicht auszuführen, was mit der Wahrscheinlichkeit übereinstimmt, (K + T )-te Operation. Diese Tatsache wird durch die Tatsache erklärt, dass, wenn irgendeine Operation nicht ausgeführt wird, die folgenden nicht ausgeführt werden können. Der letzte Eintrag unterscheidet sich von den anderen, da er die Wahrscheinlichkeit des vollständigen Durchgangs ohne Ausfall des gesamten technologischen Prozesses ausdrückt. Die Wahrscheinlichkeit, K der ersten Operationen des technologischen Prozesses auszuführen, hängt eindeutig mit der Wahrscheinlichkeit zusammen, die verbleibenden Operationen nicht auszuführen. Damit hat die Wahrscheinlichkeitsverteilung folgende Form:

PY=0)=p°(1-p),

Ð(§=1) = Ð1(1-Ð), (2)

P(^=1) = p1(1-p),

P(t=u-1) = pn"1(1 - p), P(t=n) = pn,

wo: ^ - zufälliger Wert, die Anzahl der durchgeführten Operationen;

p ist die geometrische mittlere Wahrscheinlichkeit, eine Operation auszuführen, n ist die Anzahl der Operationen im technologischen Prozess.

Die Gültigkeit der Anwendung der erhaltenen Einparameter-Wahrscheinlichkeitsverteilung ist aus der folgenden Überlegung intuitiv ersichtlich. Nehmen wir an, wir haben das geometrische Mittel der Wahrscheinlichkeit berechnet, eine 1-Operation an einer Stichprobe von n Elementen durchzuführen, wobei n groß genug ist.

p = USHT7P7= tl|n]t=1p!), (3)

wobei: Iy - die Anzahl der Operationen, die dieselbe Ausführungswahrscheinlichkeit haben; ] - Index einer Gruppe von Operationen, die dieselbe Ausführungswahrscheinlichkeit haben; m - die Anzahl der Gruppen, die aus Operationen bestehen, die dieselbe Ausführungswahrscheinlichkeit haben;

^ = - - relative Häufigkeit des Auftretens von Operationen mit der Ausführungswahrscheinlichkeit p^.

Nach dem Gesetz der großen Zahlen tendiert bei einer unbegrenzten Anzahl von Operationen die relative Häufigkeit des Auftretens in einer Folge von Operationen mit bestimmten stochastischen Eigenschaften in der Wahrscheinlichkeit zur Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses. Woraus folgt das

für zwei ausreichend große Stichproben = , dann:

wobei: t1, t2 - die Anzahl der Gruppen in der ersten bzw. zweiten Stichprobe;

1*, I2 - die Anzahl der Elemente in der Gruppe der ersten bzw. zweiten Probe.

Daraus ist ersichtlich, dass, wenn der Parameter für eine große Anzahl von Tests berechnet wird, er nahe dem Parameter P liegt, der für diese ziemlich große Stichprobe berechnet wurde.

Zu beachten ist die unterschiedliche Nähe zum wahren Wert der Wahrscheinlichkeiten, eine unterschiedliche Anzahl von Prozessoperationen durchzuführen. In allen Elementen der Verteilung, mit Ausnahme des letzten, gibt es einen Faktor (I - P). Da der Wert des Parameters P im Bereich von 0,9 - 1,0 liegt, schwankt der Faktor (I - P) zwischen 0 - 0,1. Dieser Multiplikator entspricht dem Multiplikator (I - p;) im Originalmodell. Die Erfahrung zeigt, dass diese Übereinstimmung für eine bestimmte Wahrscheinlichkeit einen Fehler von bis zu 300 % verursachen kann. In der Praxis interessiert man sich jedoch normalerweise nicht für die Wahrscheinlichkeiten der Durchführung beliebig vieler Operationen, sondern für die Wahrscheinlichkeit der vollständigen Durchführung ohne Fehler des technologischen Prozesses. Diese Wahrscheinlichkeit enthält keinen Faktor (I - P), und daher ist ihre Abweichung vom tatsächlichen Wert gering (praktisch nicht mehr als 3%). Für wirtschaftliche Aufgaben ist dies eine ziemlich hohe Genauigkeit.

Die so konstruierte Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen ist ein stochastisches dynamisches Modell des Herstellungsprozesses einer Baugruppe. Die Zeit nimmt daran implizit teil, als Dauer einer Operation. Mit dem Modell lässt sich die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass nach einer bestimmten Zeit (der entsprechenden Anzahl von Arbeitsgängen) der Produktionsprozess zur Herstellung einer Baugruppe nicht unterbrochen wird. Für mechanische Montagewerkstätten der Maschinenbauproduktion ist die durchschnittliche Anzahl von Operationen eines technologischen Prozesses ziemlich groß (15 - 80). Wenn wir diese Zahl als Basiszahl betrachten und davon ausgehen, dass bei der Herstellung einer Montageeinheit im Durchschnitt eine kleine Menge erweiterter Arten von Arbeiten verwendet wird (Drehen, Schlossern, Fräsen usw.),

dann kann die resultierende Verteilung erfolgreich verwendet werden, um den Einfluss stochastischer Störungen auf den Verlauf des Produktionsprozesses zu bewerten.

Der Autor führte ein Simulationsexperiment durch, das auf diesem Prinzip aufbaut. Um eine Folge von Pseudozufallsvariablen zu erzeugen, die gleichmäßig über das Intervall 0,9–1,0 verteilt sind, wurde ein Pseudozufallszahlengenerator verwendet, der in beschrieben ist. Die Software des Experiments ist in der algorithmischen COBOL-Sprache geschrieben.

Im Experiment werden Produkte aus generierten Zufallsvariablen gebildet, die die realen Wahrscheinlichkeiten der vollständigen Ausführung eines bestimmten technologischen Prozesses simulieren. Sie werden mit der Wahrscheinlichkeit der Durchführung des technologischen Prozesses verglichen, die sich aus dem geometrischen Mittelwert ergibt, der für eine bestimmte Folge von Zufallszahlen gleicher Verteilung berechnet wurde. Das geometrische Mittel wird potenziert mit der Anzahl der Faktoren im Produkt. Zwischen diesen beiden Ergebnissen wird die relative Differenz in Prozent berechnet. Das Experiment wird für eine andere Anzahl von Faktoren in den Produkten und die Anzahl von Zahlen, für die das geometrische Mittel berechnet wird, wiederholt. Ein Fragment der Ergebnisse des Experiments ist in Tabelle 2 gezeigt.

Tabelle 2

Ergebnisse des Simulationsexperiments:

n ist der Grad des geometrischen Mittels; k - der Grad des Produkts

n zu Produktabweichung zu Produktabweichung zu Produktabweichung

10 1 0,9680 0% 7 0,7200 3% 13 0,6277 -7%

10 19 0,4620 -1% 25 0,3577 -1% 31 0,2453 2%

10 37 0,2004 6% 43 0,1333 4% 49 0,0888 6%

10 55 0,0598 8% 61 0,0475 5% 67 0,0376 2%

10 73 0,0277 1% 79 0,0196 9% 85 0,0143 2%

10 91 0,0094 9% 97 0,0058 0%

13 7 0,7200 8% 13 0,6277 0% 19 0,4620 0%

13 25 0,3577 5% 31 0,2453 6% 37 0,2004 4%

13 43 0,1333 3% 49 0,0888 8% 55 0,0598 8%

13 61 0,0475 2% 67 0,0376 8% 73 0,0277 2%

13 79 0,0196 1% 85 0,0143 5% 91 0,0094 5%

16 1 0,9680 0% 7 0,7200 9%

16 13 0,6277 2% 19 0,4620 3% 25 0,3577 0%

16 31 0,2453 2% 37 0,2004 2% 43 0,1333 5%

16 49 0,0888 4% 55 0,0598 0% 61 0,0475 7%

16 67 0,0376 5% 73 0,0277 5% 79 0,0196 2%

16 85 0,0143 4% 91 0,0094 0% 97 0,0058 4%

19 4 0,8157 4% 10 0,6591 1% 16 0,5795 -9%

19 22 0,4373 -5% 28 0,2814 5% 34 0,2256 3%

19 40 0,1591 6% 46 0,1118 1% 52 0,0757 3%

19 58 0,0529 4% 64 0,0418 3% 70 0,0330 2%

19 76 0,0241 6% 82 0,0160 1% 88 0,0117 8%

19 94 0,0075 7% 100 0,0048 3%

22 10 0,6591 4% 16 0,5795 -4% 22 0,4373 0%

22 28 0,2814 5% 34 0,2256 5% 40 0,1591 1%

22 46 0,1118 1% 52 0,0757 0% 58 0,0529 8%

22 64 0,0418 1% 70 0,0330 3% 76 0,0241 5%

22 82 0,0160 4% 88 0,0117 2% 94 0,0075 5%

22 100 0,0048 1%

25 4 0,8157 3% 10 0,6591 0%

25 16 0,5795 0% 72 0,4373 -7% 28 0,2814 2%

25 34 0,2256 9% 40 0,1591 1% 46 0,1118 4%

25 52 0,0757 5% 58 0,0529 4% 64 0,0418 2%

25 70 0,0330 0% 76 0,0241 2% 82 0,0160 4%

28 4 0,8157 2% 10 0,6591 -2% 16 0,5795 -5%

28 22 0,4373 -3% 28 0,2814 2% 34 0,2256 -1%

28 40 0,1591 6% 46 0,1118 6% 52 0,0757 1%

28 58 0,0529 4% 64 0,041 8 9% 70 0,0330 5%

28 70 0,0241 2% 82 0,0160 3% 88 0,0117 1%

28 94 0,0075 100 0,0048 5%

31 10 0,6591 -3% 16 0,5795 -5% 22 0,4373 -4%

31 28 0,2814 0% 34 0,2256 -3% 40 0,1591 4%

31 46 0,1118 3% 52 0,0757 7% 58 0,0529 9%

31 64 0,0418 4% 70 0,0330 0% 76 0,0241 6%

31 82 0,0160 6% 88 0,0117 2% 94 0,0075 5%

Bei der Einrichtung dieses Simulationsexperiments war das Ziel, die Möglichkeit zu untersuchen, unter Verwendung der Wahrscheinlichkeitsverteilung (2) eine der erweiterten statistischen Eigenschaften des Produktionsprozesses zu erhalten - die Wahrscheinlichkeit, einen technologischen Prozess zur Herstellung einer zusammengesetzten Einheit durchzuführen K-Operationen ohne Ausfälle. Für einen bestimmten technologischen Prozess ist diese Wahrscheinlichkeit gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten für die Ausführung aller seiner Operationen. Wie das Simulationsexperiment zeigt, überschreiten seine relativen Abweichungen von der mit dem entwickelten Wahrscheinlichkeitsmodell erhaltenen Wahrscheinlichkeit nicht 9%.

Da das Simulationsexperiment eine unbequemere als die reale Wahrscheinlichkeitsverteilung verwendet, werden die praktischen Abweichungen noch kleiner sein. Abweichungen werden sowohl in Richtung abnehmender als auch in Richtung Überschreiten des aus den durchschnittlichen Merkmalen erhaltenen Wertes beobachtet. Diese Tatsache legt nahe, dass, wenn wir die Abweichung der Wahrscheinlichkeit der fehlerfreien Ausführung nicht eines einzelnen technologischen Prozesses, sondern mehrerer berücksichtigen, diese viel geringer sein wird. Offensichtlich wird es umso kleiner, je mehr technologische Prozesse berücksichtigt werden. Somit zeigt das Simulationsexperiment eine gute Übereinstimmung zwischen der Wahrscheinlichkeit, dass der technologische Prozess der Herstellung von Produkten ohne Fehler funktioniert, mit der Wahrscheinlichkeit, die unter Verwendung eines mathematischen Modells mit einem Parameter erhalten wird.

Zusätzlich wurden Simulationsexperimente durchgeführt:

Untersuchung der statistischen Konvergenz der Parameterschätzung der Wahrscheinlichkeitsverteilung;

Untersuchung der statistischen Stabilität der mathematischen Erwartung der Anzahl der fehlerfrei durchgeführten Operationen;

Analyse von Methoden zur Bestimmung der Dauer des Mindestplanungszeitraums und zur Bewertung der Diskrepanz zwischen geplanten und tatsächlichen Indikatoren des Produktionsprozesses, wenn Plan- und Produktionszeitraum zeitlich nicht zusammenfallen.

Experimente haben eine gute Übereinstimmung zwischen den durch die Verwendung von Techniken erhaltenen theoretischen Daten und den durch Simulation erhaltenen empirischen Daten gezeigt

Reihe "Wirtschaft und Management"

Computer realer Produktionsprozesse.

Basierend auf der Anwendung des konstruierten mathematischen Modells hat der Autor drei spezifische Methoden zur Verbesserung der Effizienz der Betriebsführung entwickelt. Zu ihrer Approbation wurden separate Simulationsexperimente durchgeführt.

1. Methodik zur Bestimmung des rationellen Volumens der Produktionsaufgabe für den Planungszeitraum.

2. Methodik zur Bestimmung der effektivsten Dauer des operativen Planungszeitraums.

3. Bewertung der Abweichung bei zeitlicher Diskrepanz zwischen Plan- und Produktionszeitraum.

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Der Übergang von der Konzentration zur Diversifizierung ist ein effektiver Weg, um die Wirtschaft kleiner und mittlerer Unternehmen zu entwickeln

Prof. Kozlenko N. N. Universität für Maschinenbau

Anmerkung. Dieser Artikel befasst sich mit dem Problem der Wahl der effektivsten Entwicklung russischer kleiner und mittlerer Unternehmen durch den Übergang von einer Konzentrationsstrategie zu einer Diversifizierungsstrategie. Die Fragen der Zweckmäßigkeit der Diversifikation, ihrer Vorteile, Kriterien für die Wahl des Diversifikationsweges werden betrachtet, eine Klassifizierung von Diversifikationsstrategien wird gegeben.

Schlüsselwörter: kleine und mittlere Unternehmen; Diversifikation; strategische Fit; Wettbewerbsvorteile.

Eine aktive Änderung der Parameter des Makroumfelds (Änderungen der Marktbedingungen, das Auftreten neuer Wettbewerber in verwandten Branchen, eine Erhöhung des Wettbewerbsniveaus im Allgemeinen) führt häufig dazu, dass die geplanten strategischen Pläne kleiner und mittlerer Unternehmen nicht erfüllt werden -große Unternehmen, Verlust der finanziellen und wirtschaftlichen Stabilität von Unternehmen aufgrund einer erheblichen Diskrepanz zwischen den objektiven Bedingungen für die Aktivitäten kleiner Unternehmen und dem technologischen Stand ihrer Verwaltung.

Die Hauptvoraussetzungen für wirtschaftliche Stabilität und die Möglichkeit, Wettbewerbsvorteile zu erhalten, sind die Fähigkeit des Managementsystems, rechtzeitig zu reagieren und interne Produktionsprozesse zu ändern (Änderung des Sortiments unter Berücksichtigung der Diversifizierung, Umbau von Produktions- und Technologieprozessen, Änderung der Struktur von der Organisation, Nutzung innovativer Marketing- und Managementinstrumente).

Eine Studie über die Praxis kleiner und mittlerer russischer Produktions- und Dienstleistungsunternehmen hat die folgenden Merkmale und grundlegenden Ursache-Wirkungs-Beziehungen in Bezug auf den aktuellen Trend beim Übergang kleiner Unternehmen von der Konzentration zur Diversifizierung ergeben.

Die meisten SMBs beginnen als kleine One-Size-Fits-All-Unternehmen, die lokale oder regionale Märkte bedienen. Zu Beginn seiner Tätigkeit ist die Produktpalette eines solchen Unternehmens sehr begrenzt, seine Kapitalbasis schwach und seine Wettbewerbsposition anfällig. Typischerweise konzentriert sich die Strategie solcher Unternehmen auf Umsatzwachstum und Marktanteil sowie

Wie der Name schon sagt, konzentriert sich diese Art von Modell auf die Beschreibung von Systemen, die ein statistisch regelmäßiges zufälliges Verhalten aufweisen, und die Zeit in ihnen kann als diskreter Wert betrachtet werden. Das Wesen der Zeitdiskretisierung ist das gleiche wie in diskret-deterministischen Modellen. Modelle solcher Systeme können auf der Basis von zwei formalisierten Beschreibungsschemata aufgebaut werden. Erstens sind dies Finite-Differenzen-Gleichungen, zu deren Variablen Funktionen gehören, die zufällige Prozesse definieren. Zweitens verwenden sie probabilistische Automaten.

Ein Beispiel für den Aufbau eines diskreten stochastischen Systems. Es gebe ein Produktionssystem, dessen Struktur in Abb. 3.8. Im Rahmen dieses Systems bewegt sich ein homogener Materialfluss durch die Lager- und Produktionsstufen.

Der Rohstoffstrom soll beispielsweise aus Metallbarren bestehen, die im Eingangslager gelagert werden. Dann gehen diese Scheiben in die Produktion, wo daraus irgendein Produkt hergestellt wird. Fertige Produkte werden im Ausgangslager gelagert, von wo aus sie für weitere Aktionen mitgenommen werden (in die nächsten Produktionsphasen oder zum Verkauf übertragen). Im Allgemeinen wandelt ein solches Produktionssystem die Stoffströme von Rohstoffen, Materialien und Halbfertigprodukten in einen Strom von Fertigprodukten um.

Der Zeitschritt in diesem Produktionssystem sei gleich eins (D? = 1). Wir werden die Änderung im Betrieb dieses Systems als Einheit betrachten. Wir gehen davon aus, dass der Herstellungsprozess des Produkts einen Zeitschritt dauert.

Reis. 3.8, Diagramm des Produktionssystems

Der Produktionsprozess wird von einer speziellen Aufsichtsbehörde kontrolliert, die einen Plan für die Freigabe von Produkten in Form einer Richtlinie für die Produktionsintensität (die Anzahl der Produkte, die pro Zeiteinheit, in diesem Fall pro Schicht, hergestellt werden müssen) erhält ). Wir bezeichnen diese Intensität d t . Tatsächlich ist dies die Produktionsrate. Lassen d t \u003d a + bt, d.h. ist eine lineare Funktion. Das heißt, mit jeder weiteren Schicht erhöht sich der Plan um bt.

Da wir es mit einem homogenen Materialfluss zu tun haben, gehen wir davon aus, dass im Durchschnitt das Volumen der pro Zeiteinheit in das System eintretenden Rohstoffe, das Volumen der Produktion pro Zeiteinheit, das Volumen der pro Einheit das System verlassenden Fertigprodukte Zeit sollte gleich sein d t .

Die Eingangs- und Ausgangsströme für die Regulierungsbehörde sind unkontrollierbar, ihre Intensität (oder Geschwindigkeit - die Anzahl der Rohlinge bzw. Produkte pro Zeiteinheit, die in das System eintreten und es verlassen) muss gleich sein d t . Discs können jedoch während des Transports verloren gehen oder einige von ihnen sind von schlechter Qualität oder aus irgendeinem Grund werden mehr als nötig ankommen usw. Daher nehmen wir an, dass der Eingangsfluss eine Intensität hat:

x t in \u003d d t +ξ t ein,

wobei ξ 1 in eine gleichmäßig verteilte Zufallsvariable von -15 bis +15 ist.

Annähernd die gleichen Prozesse können mit dem Ausgangsstrom ablaufen. Daher hat der Ausgangsstrom die folgende Intensität:

x t in s x \u003d d t +ξ t aus,

wobei ξ t out eine normalverteilte Zufallsvariable mit einer mathematischen Erwartung von null und einer Varianz von 15 ist.

Wir gehen davon aus, dass es im Produktionsprozess zu Unfällen kommt, die mit Arbeitsausfall, Maschinenausfällen usw. Diese Zufälligkeiten werden durch eine normalverteilte Zufallsvariable mit mathematischer Erwartung Null und einer Varianz gleich 15 beschrieben. Bezeichnen wir sie mit ξ t/ Der Produktionsprozess dauert eine Zeiteinheit, während der x t Rohstoffe, dann werden diese Rohstoffe verarbeitet und in der gleichen Zeiteinheit an das Ausgangslager übergeben. Die Regulierungsbehörde erhält Informationen über den Betrieb des Systems auf drei möglichen Wegen (sie sind in Abb. 3.8 mit den Nummern 1, 2, 3 gekennzeichnet). Wir glauben, dass sich diese Methoden zur Informationsbeschaffung im System aus irgendeinem Grund gegenseitig ausschließen.

Methode 1. Die Regulierungsbehörde erhält nur Informationen über den Zustand des Eingangslagers (z. B. über eine Bestandsveränderung in einem Lager oder über eine Abweichung der Bestandsmenge von ihrem Standardniveau) und beurteilt anhand dieser die Geschwindigkeit des Produktionsprozesses (über die Geschwindigkeit der Entnahme von Rohstoffen aus dem Lager):

1) ( du bist drin - u t-1 ein )- Änderung des Bestandsvolumens im Lager (u t in - das Volumen der Rohstoffe im Eingangslager zu diesem Zeitpunkt t);

2) (ù- u t in) - Abweichung der Rohstoffmenge im Eingangslager von der Bestandsrate.

Weg 2. Regulator erhält Informationen direkt aus der Produktion (x t - tatsächliche Produktionsintensität) und vergleicht sie mit der Richtlinienintensität (dt-xt).

Methode 3. Die Regulierungsbehörde erhält Informationen wie bei Methode 1, jedoch vom Ausgangslager im Formular ( du bist raus - u t-1 aus )- oder (u-u Schlepper). Er beurteilt den Produktionsprozess auch anhand indirekter Daten - einer Zunahme oder Abnahme der Bestände an Fertigwaren.

Um eine bestimmte Produktionsrate aufrechtzuerhalten d t , Entscheidungen trifft die Regulierungsbehörde ja,(oder (y t - y t - 1)), darauf abzielt, die tatsächliche Ausgangsintensität zu ändern x t . Als Entscheidung teilt die Regulierungsbehörde der Produktion mit, mit welchen Intensitätswerten gearbeitet werden soll, d.h. x t = y t . Die zweite Version der Kontrolllösung - (yt-yt-1), jene. Der Regler teilt der Produktion mit, um wie viel die Intensität der Produktion erhöht oder verringert werden soll (xt-xt-1).

Abhängig von der Art der Informationsbeschaffung und der Art der Variablen, die die Steueraktion beschreiben, können die folgenden Größen die Entscheidungsfindung beeinflussen.

1. Entscheidungsgrundlage (der Wert, der gleich der tatsächlichen Produktionsintensität sein sollte, wenn es keine Abweichungen gäbe):

Direktive Ausgangsintensität im Moment t(dt);

die Änderungsrate der Richtintensität der Produktion im Moment t(dt-dt-1).

2. Abweichungsbetrag:

Abweichung der tatsächlichen Leistung von der Richtlinie (dt-xt);

Abweichung der tatsächlichen Produktionsmenge von der geplanten Menge

Σ d τ - Σ x τ

Änderung der Vorratshöhe am Eingang ( ( du bist drin - u t-1 in) oder Ausgang

(Du bist raus - u t-1 aus) Lagerhallen;

Bestandsabweichung am Input (ù- u t Input) oder Output ( u-u t out) Lager aus der Standardebene.

Im Allgemeinen besteht die von der Regulierungsbehörde getroffene Managemententscheidung aus den folgenden Komponenten:

Lösungsbeispiele:

yt = dt + y(dt-1 - xt-1);

y t = d t -y(ù -u Schlepper)

Durch verschiedene formelle Entscheidungen versucht die Regulierungsbehörde, das Hauptziel zu erreichen – die tatsächliche Ausgangsintensität näher an die der Richtlinie zu bringen. Allerdings kann er sich bei seinen Entscheidungen nicht immer direkt vom Grad der Zielerreichung leiten lassen. (dt-xt). Die Endergebnisse können in der Erreichung lokaler Ziele ausgedrückt werden - Stabilisierung des Bestandsniveaus im Eingangs- oder Ausgangslager ( und T ein (aus) - und T-1 in (out)) oder in der Annäherung der Bestände im Lager an den Standard (und-und ein (aus)). Je nach zu erreichendem Ziel wird in der Kontrolllösung die Art des Vorzeichens (+ oder -) vor dem zur Regelung verwendeten Mismatch-Anteil bestimmt.

In unserem Fall erhält die Regulierungsbehörde Informationen über den Zustand des Eingangslagers (Veränderung der Lagerbestände). Es ist bekannt, dass es in jedem Steuerungssystem zu Verzögerungen bei der Entwicklung und Implementierung einer Lösung kommt. In diesem Beispiel gehen Informationen über den Zustand des Eingangslagers mit einer Verzögerung von einem Zeitschritt in die Regulierungsbehörde ein. Eine solche Verzögerung wird als Entscheidungsverzögerung bezeichnet und bedeutet, dass zum Zeitpunkt des Eingangs der Information bei der Regulierungsbehörde der tatsächliche Zustand des Lagerbestands im Eingangslager bereits anders sein wird. Sobald die Regulierungsbehörde eine Entscheidung getroffen hat bei t es wird auch Zeit brauchen (in unserem Beispiel wird es eine Zeiteinheit sein), um die Lösung zum Ausführenden zu bringen. Das heißt, die tatsächliche Produktionsintensität ist es nicht ja, sondern zu der Entscheidung, die das Leitungsgremium vor einer Zeiteinheit getroffen hat. Dies ist eine Verzögerung bei der Implementierung der Lösung.

Um unser Produktionssystem zu beschreiben, haben wir die folgenden Gleichungen:

x tbx=dt +ξ t ein

x t Ausfahrt =dt +ξt aus;

y t = dt + y(u-u t-2 Zoll)

xt = y t-1 + ξt

u Zinn - u t-1 in = x t in - x t

Mit diesem Gleichungssystem können Sie ein Modell des Produktionssystems erstellen, in dem die Eingangsvariablen enthalten sein werden d t ,ξ t ein, ξ t aus, ξ t ,a

freier Tag - x t . Das stimmt, weil ein externer Beobachter unsere Produktion als ein System betrachtet, das Rohstoffe mit einer Rate erhält dt und Produkte mit Intensität zu produzieren x t , Zufälligkeiten unterliegen ξ t in, ξ t out, ξ t . Nachdem wir alle Substitutionen im resultierenden Gleichungssystem durchgeführt haben, gelangen wir zu einer Dynamikgleichung, die das Verhalten charakterisiert x t abhängig von d t ,ξ t ein, ξ t aus, ξ t .

Das oben betrachtete Modell enthielt keine Beschränkungen hinsichtlich des Lagervolumens und der Produktionskapazitäten. Wenn wir davon ausgehen, dass die Kapazität des Eingangslagers Vx ist, ist die Kapazität des Ausgangslagers V BX und die Produktionskapazität ist M, dann lautet das neue Gleichungssystem für ein solches nichtlineares Produktionssystem wie folgt:

x tBX=min((d t+ ξ t ein), (V ein - u t in)) - es ist unmöglich, mehr in das Eingangslager zu legen, als der Platz zulässt;

x Ausfahrt =min((d t+ ξ t aus), (V aus - u t out)) - Sie können nicht mehr Produkte aus dem Ausgangslager nehmen, als vorhanden sind;

y t = d t + y (u Zinn -u t-1 Zoll)

x tBX = Mindest(( u Zinn, ( y t-1+ ξ t in), M,(V aus - u t out)) - es ist unmöglich, mehr Produkte als bestellt zu produzieren, die einschränkenden Faktoren sind die Anzahl der verfügbaren Rohlinge und die Verfügbarkeit von freiem Platz im Ausgangslager;

u Zinn -u t-1 in = x tBX-x t

Die Konstruktion eines stochastischen Modells umfasst die Entwicklung, Qualitätsbewertung und Untersuchung des Systemverhaltens unter Verwendung von Gleichungen, die den untersuchten Prozess beschreiben.

Dazu werden durch ein spezielles Experiment mit einem realen System erste Informationen gewonnen. In diesem Fall werden Methoden zur Planung eines Experiments, zur Verarbeitung von Ergebnissen sowie Kriterien zur Bewertung der erhaltenen Modelle auf der Grundlage von Abschnitten der mathematischen Statistik wie Streuung, Korrelation, Regressionsanalyse usw. verwendet.

Die Methoden zur Erstellung eines statistischen Modells zur Beschreibung des technologischen Prozesses (Abb. 6.1) basieren auf dem Konzept einer "Black Box". Dabei sind Mehrfachmessungen von Inputfaktoren möglich: x 1 ,x 2 ,…,x k und Ausgangsparameter: j 1 ,y 2 ,…,y p, nach deren Ergebnissen Abhängigkeiten hergestellt werden:

Bei der statistischen Modellierung werden nach der Problemstellung (1) aus einer Vielzahl von Eingangsgrößen, die den Prozessablauf beeinflussen (2), die unwichtigsten Faktoren herausgefiltert. Die für die weitere Forschung ausgewählten Eingabevariablen bilden eine Liste von Faktoren x 1 ,x 2 ,…,x k in (6.1), durch deren Steuerung es möglich ist, die Ausgabeparameter zu steuern ja n. Die Anzahl der Modellausgaben sollte auch so weit wie möglich reduziert werden, um die Kosten für Experimente und Datenverarbeitung zu reduzieren.

Bei der Entwicklung eines statistischen Modells wird seine Struktur (3) normalerweise willkürlich in Form von bequem zu verwendenden Funktionen festgelegt, die sich experimentellen Daten annähern, und dann basierend auf einer Bewertung der Angemessenheit des Modells verfeinert.

Die Polynomform des Modells wird am häufigsten verwendet. Also für eine quadratische Funktion:

(6.2)

wo b 0 , b i , b ij , b ii sind die Regressionskoeffizienten.

Üblicherweise beschränken wir uns zunächst auf das einfachste lineare Modell, für das in (6.2) b ii = 0, b ij = 0. Im Falle seiner Unzulänglichkeit wird das Modell durch die Einführung von Termen kompliziert, die das Zusammenspiel von Faktoren berücksichtigen x ich , x j und (oder) quadratische Terme .

Um die Extraktion von Informationen aus den laufenden Experimenten zu maximieren und ihre Anzahl zu reduzieren, werden Experimente geplant (4), d.h. Auswahl der Anzahl und Bedingungen für die Durchführung von Experimenten, die notwendig und ausreichend sind, um das Problem mit einer bestimmten Genauigkeit zu lösen.

Um statistische Modelle zu erstellen, werden zwei Arten von Experimenten verwendet: passiv und aktiv. Passives Experiment Sie erfolgt in Form einer Langzeitbeobachtung des Ablaufs eines unkontrollierten Prozesses, wodurch ein umfangreiches Datenspektrum für statistische Auswertungen erhoben werden kann. BEIM aktiver Versuch Es ist möglich, die Bedingungen der Experimente zu steuern. Bei der Durchführung ist die gleichzeitige Variation der Größe aller Faktoren nach einem bestimmten Plan am effektivsten, was es ermöglicht, die Wechselwirkung von Faktoren zu identifizieren und die Anzahl der Experimente zu reduzieren.

Basierend auf den Ergebnissen der Experimente (5) werden die Regressionskoeffizienten (6.2) berechnet und ihre statistische Signifikanz geschätzt, womit die Konstruktion des Modells abgeschlossen ist (6). Das Maß für die Angemessenheit von Modell (7) ist die Varianz, d.h. Standardabweichung der berechneten Werte von den experimentellen. Die erhaltene Varianz wird mit der zulässigen mit der erreichten Genauigkeit der Experimente verglichen.

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Demidova Anastasia Wjatscheslawowna Methode zur Konstruktion stochastischer Modelle von einstufigen Prozessen: Dissertation ... Kandidat der physikalischen und mathematischen Wissenschaften: 05.13.18 / Demidova Anastasia Vyacheslavovna; [Ort der Verteidigung: Universität der Völkerfreundschaft Russlands].- Moskau, 2014.- 126 p.

Einführung

Kapitel 1. Rezension von Arbeiten zum Thema der Dissertation 14

1.1. Überblick über Populationsdynamikmodelle 14

1.2. Stochastische Bevölkerungsmodelle 23

1.3. Stochastische Differentialgleichungen 26

1.4. Informationen zur Stochastik 32

Kapitel 2 Einstufige Prozessmodellierungsmethode 39

2.1. Prozesse in einem Schritt. Kolmogorov-Chapman-Gleichung. Kinetische Grundgleichung 39

2.2. Methode zur Modellierung mehrdimensionaler einstufiger Prozesse. 47

2.3. Numerische Simulation 56

Kapitel 3 Anwendung der Methode zur Modellierung einstufiger Prozesse 60

3.1. Stochastische Modelle der Populationsdynamik 60

3.2. Stochastische Modelle von Populationssystemen mit verschiedenen inter- und intraspezifischen Wechselwirkungen 75

3.3. Stochastisches Modell der Verbreitung von Netzwerkwürmern. 92

3.4. Stochastische Modelle von Peer-to-Peer-Protokollen 97

Fazit 113

Literatur 116

Stochastische Differentialgleichungen

Eines der Ziele der Dissertation ist die Aufgabe, eine stochastische Differentialgleichung für ein System so zu schreiben, dass der stochastische Term mit der Struktur des untersuchten Systems verknüpft ist. Eine mögliche Lösung für dieses Problem besteht darin, den stochastischen und den deterministischen Teil aus derselben Gleichung zu erhalten. Für diese Zwecke ist es zweckmäßig, die kinetische Grundgleichung zu verwenden, die durch die Fokker-Planck-Gleichung angenähert werden kann, für die man wiederum eine äquivalente stochastische Differentialgleichung in Form der Langevin-Gleichung schreiben kann.

Abschnitt 1.4. enthält die grundlegenden Informationen, die notwendig sind, um die Beziehung zwischen der stochastischen Differentialgleichung und der Fokker-Planck-Gleichung anzuzeigen, sowie die grundlegenden Konzepte der stochastischen Analysis.

Das zweite Kapitel liefert grundlegende Informationen aus der Theorie zufälliger Prozesse und auf der Grundlage dieser Theorie wird eine Methode zur Modellierung einstufiger Prozesse formuliert.

Abschnitt 2.1 liefert grundlegende Informationen aus der Theorie zufälliger Einschrittprozesse.

Unter Einschrittprozessen werden Markov-Prozesse mit kontinuierlicher Zeit verstanden, die Werte im Bereich ganzer Zahlen annehmen, deren Übergangsmatrix nur Übergänge zwischen benachbarten Abschnitten zulässt.

Wir betrachten einen mehrdimensionalen Einschrittprozess Х() = (i(),2(), ...,n()) = ( j(), = 1, ) , (0.1) Є , wobei die Länge des Zeitintervalls ist, in dem der X()-Prozess angegeben ist. Die Menge G \u003d (x, \u003d 1, Є NQ x NQ1 ist die Menge diskreter Werte, die ein Zufallsprozess annehmen kann.

Für diesen einstufigen Prozess werden die Übergangswahrscheinlichkeiten pro Zeiteinheit s+ und s vom Zustand Xj in den Zustand Xj__i bzw. Xj_i eingeführt. In diesem Fall wird davon ausgegangen, dass die Wahrscheinlichkeit des Übergangs vom Zustand x zu zwei oder mehr Schritten pro Zeiteinheit sehr klein ist. Daher können wir sagen, dass sich der Zustandsvektor Xj des Systems in Schritten der Länge Г( ändert, und dann können wir anstelle von Übergängen von x zu Xj+i und Xj_i Übergänge von X zu X + Гі bzw. X - Гі betrachten .

Bei der Modellierung von Systemen, in denen die zeitliche Entwicklung als Ergebnis der Wechselwirkung von Systemelementen auftritt, ist es zweckmäßig, die kinetische Hauptgleichung zu verwenden (ein anderer Name ist die Hauptgleichung, und in der englischen Literatur wird sie als Hauptgleichung bezeichnet).

Als nächstes stellt sich die Frage, wie man mit Hilfe einer stochastischen Differentialgleichung in Form der Langevin-Gleichung aus der kinetischen Grundgleichung eine Beschreibung des untersuchten, durch Einschrittprozesse beschriebenen Systems erhält. Formal sollten nur Gleichungen, die stochastische Funktionen enthalten, als stochastische Gleichungen klassifiziert werden. Somit erfüllen nur die Langevin-Gleichungen diese Definition. Sie stehen jedoch in direktem Zusammenhang mit anderen Gleichungen, nämlich der Fokker-Planck-Gleichung und der kinetischen Grundgleichung. Daher erscheint es logisch, alle diese Gleichungen zusammen zu betrachten. Um dieses Problem zu lösen, wird daher vorgeschlagen, die kinetische Hauptgleichung durch die Fokker-Planck-Gleichung anzunähern, für die es möglich ist, eine äquivalente stochastische Differentialgleichung in Form der Langevin-Gleichung zu schreiben.

Abschnitt 2.2 formuliert eine Methode zur Beschreibung und stochastischen Modellierung von Systemen, die durch mehrdimensionale Einschrittprozesse beschrieben werden.

Darüber hinaus wird gezeigt, dass die Koeffizienten für die Fokker-Planck-Gleichung unmittelbar nach dem Schreiben des Wechselwirkungsschemas, des Zustandsänderungsvektors r und der Ausdrücke für die Übergangswahrscheinlichkeiten s+ und s- für das untersuchte System erhalten werden können, d.h. Bei der praktischen Anwendung dieser Methode ist es nicht erforderlich, die kinetische Hauptgleichung aufzuschreiben.

Abschnitt 2.3. betrachtet wird das Runge-Kutta-Verfahren zur numerischen Lösung stochastischer Differentialgleichungen, das im dritten Kapitel zur Veranschaulichung der gewonnenen Ergebnisse verwendet wird.

Das dritte Kapitel veranschaulicht die Anwendung der im zweiten Kapitel beschriebenen Methode zur Konstruktion stochastischer Modelle am Beispiel von Systemen, die die Dynamik des Wachstums interagierender Populationen beschreiben, wie "Räuber-Beute", Symbiose, Konkurrenz und deren Modifikationen. Ziel ist es, diese als stochastische Differentialgleichungen zu schreiben und die Auswirkung der Einführung der Stochastik auf das Verhalten des Systems zu untersuchen.

In Abschnitt 3.1. Die Anwendung der im zweiten Kapitel beschriebenen Methode wird am Beispiel des „Räuber-Beute“-Modells illustriert. Systeme mit der Wechselwirkung zweier Arten von Populationen des Typs "Räuber-Beute" wurden umfassend untersucht, was es ermöglicht, die erhaltenen Ergebnisse mit den bereits bekannten zu vergleichen.

Die Analyse der erhaltenen Gleichungen zeigte, dass man zur Untersuchung des deterministischen Verhaltens des Systems den Driftvektor A der erhaltenen stochastischen Differentialgleichung verwenden kann, d.h. Mit der entwickelten Methode kann sowohl stochastisches als auch deterministisches Verhalten analysiert werden. Darüber hinaus wurde der Schluss gezogen, dass stochastische Modelle eine realistischere Beschreibung des Verhaltens des Systems liefern. Insbesondere für das „Räuber-Beute“-System im deterministischen Fall haben die Lösungen der Gleichungen eine periodische Form und das Phasenvolumen bleibt erhalten, während die Einführung von Stochastik in das Modell einen monotonen Anstieg des Phasenvolumens ergibt, was zeigt den unvermeidlichen Tod einer oder beider Populationen an. Um die erzielten Ergebnisse zu visualisieren, wurde eine numerische Simulation durchgeführt.

Abschnitt 3.2. Die entwickelte Methode dient der Gewinnung und Analyse verschiedener stochastischer Modelle der Populationsdynamik, wie z. B. des „Räuber-Beute“-Modells unter Berücksichtigung von interspezifischer Beutekonkurrenz, Symbiose, Konkurrenz und dem Modell der Interaktion dreier Populationen.

Informationen zur Stochastik

Die Entwicklung der Theorie zufälliger Prozesse führte zu einem Übergang in der Untersuchung natürlicher Phänomene von deterministischen Darstellungen und Modellen der Bevölkerungsdynamik zu probabilistischen Darstellungen und als Folge zur Entstehung einer großen Anzahl von Arbeiten, die sich der stochastischen Modellierung in der mathematischen Biologie widmeten , Chemie, Wirtschaftswissenschaften usw.

Bei der Betrachtung deterministischer Populationsmodelle bleiben so wichtige Punkte wie die zufälligen Einflüsse verschiedener Faktoren auf die Entwicklung des Systems unberücksichtigt. Bei der Beschreibung der Populationsdynamik sollte man die zufällige Natur der Reproduktion und des Überlebens von Individuen sowie zufällige Schwankungen berücksichtigen, die im Laufe der Zeit in der Umwelt auftreten und zu zufälligen Schwankungen der Systemparameter führen. Daher sollten probabilistische Mechanismen, die diese Momente widerspiegeln, in jedes Modell der Populationsdynamik eingeführt werden.

Die stochastische Modellierung ermöglicht eine vollständigere Beschreibung von Änderungen in Populationsmerkmalen, wobei sowohl alle deterministischen Faktoren als auch zufällige Effekte berücksichtigt werden, die die Schlussfolgerungen aus deterministischen Modellen erheblich ändern können. Andererseits können sie genutzt werden, um qualitativ neue Aspekte des Bevölkerungsverhaltens aufzudecken.

Stochastische Modelle von Veränderungen in Bevölkerungszuständen können mit Zufallsprozessen beschrieben werden. Unter einigen Annahmen können wir davon ausgehen, dass das Verhalten der Bevölkerung angesichts ihres gegenwärtigen Zustands nicht davon abhängt, wie dieser Zustand erreicht wurde (d. h. bei einer festen Gegenwart hängt die Zukunft nicht von der Vergangenheit ab). Dass. Um die Prozesse der Populationsdynamik zu modellieren, ist es zweckmäßig, Markov-Geburts-Todes-Prozesse und die entsprechenden Kontrollgleichungen zu verwenden, die im zweiten Teil der Arbeit ausführlich beschrieben werden.

N. N. Kalinkin verwendet in seinen Arbeiten zur Veranschaulichung der Prozesse, die in Systemen mit interagierenden Elementen ablaufen, Interaktionsschemata und erstellt auf der Grundlage dieser Schemata Modelle dieser Systeme unter Verwendung des Apparats der Verzweigungs-Markov-Prozesse. Die Anwendung dieses Ansatzes wird am Beispiel von Modellierungsprozessen in chemischen, Populations-, Telekommunikations- und anderen Systemen veranschaulicht.

Die Arbeit betrachtet probabilistische Populationsmodelle, für deren Konstruktion der Apparat der Geburts-Todes-Prozesse verwendet wird, und die resultierenden Systeme von Differential-Differenz-Gleichungen sind dynamische Gleichungen für Zufallsprozesse. Das Papier betrachtet auch Methoden zum Finden von Lösungen für diese Gleichungen.

Sie können viele Artikel finden, die sich mit der Konstruktion stochastischer Modelle befassen, die verschiedene Faktoren berücksichtigen, die die Dynamik von Änderungen in der Bevölkerungszahl beeinflussen. So wird beispielsweise in den Artikeln ein Modell der Dynamik der Größe einer biologischen Gemeinschaft aufgebaut und analysiert, in der Individuen schadstoffhaltige Nahrungsressourcen verzehren. Und im Modell der Populationsentwicklung berücksichtigt der Artikel den Faktor der Ansiedlung von Vertretern von Populationen in ihren Lebensräumen. Das Modell ist ein System selbstkonsistenter Wlassow-Gleichungen.

Erwähnenswert sind die Arbeiten, die sich mit der Theorie der Fluktuationen und der Anwendung stochastischer Methoden in den Naturwissenschaften wie Physik, Chemie, Biologie usw. Geburt-Tod-Prozessen befassen.

Man kann das „Räuber-Beute“-Modell als eine Realisierung von Geburts-Tod-Prozessen betrachten. In dieser Interpretation können sie für Modelle in vielen Bereichen der Wissenschaft verwendet werden. In den 1970er Jahren schlug M. Doi eine Methode zum Studium solcher Modelle vor, die auf Erzeugungs-Vernichtungs-Operatoren (in Analogie zur zweiten Quantisierung) basiert. Hier können Sie die Arbeit markieren. Darüber hinaus wird diese Methode jetzt in der Gruppe von M. M. Gnatich aktiv weiterentwickelt.

Ein weiterer Ansatz zur Modellierung und Untersuchung von Populationsdynamikmodellen ist mit der Theorie der optimalen Kontrolle verbunden. Hier können Sie die Arbeit markieren.

Es ist anzumerken, dass die meisten Arbeiten, die sich mit der Konstruktion stochastischer Modelle von Populationsprozessen befassen, den Apparat zufälliger Prozesse verwenden, um Differential-Differenz-Gleichungen und die anschließende numerische Implementierung zu erhalten. Daneben sind stochastische Differentialgleichungen in der Langevin-Form weit verbreitet, bei denen der stochastische Term aus allgemeinen Überlegungen zum Verhalten des Systems hinzukommt und zufällige Umwelteinflüsse beschreiben soll. Eine weitere Untersuchung des Modells ist ihre qualitative Analyse oder das Finden von Lösungen mit numerischen Methoden.

Stochastische Differentialgleichungen Definition 1. Eine stochastische Differentialgleichung ist eine Differentialgleichung, in der ein oder mehrere Terme einen stochastischen Prozess darstellen. Das am häufigsten verwendete und bekannteste Beispiel einer stochastischen Differentialgleichung (SDE) ist eine Gleichung mit einem Term, der weißes Rauschen beschreibt und als Wiener-Prozess Wt, t 0 angesehen werden kann.

Stochastische Differentialgleichungen sind ein wichtiges und weit verbreitetes mathematisches Werkzeug bei der Untersuchung und Modellierung dynamischer Systeme, die verschiedenen zufälligen Störungen unterliegen.

Als Beginn der stochastischen Modellierung von Naturphänomenen gilt die Beschreibung des Phänomens der Brownschen Bewegung, die 1827 von R. Brown entdeckt wurde, als er die Bewegung von Pflanzenpollen in einer Flüssigkeit untersuchte. Die erste strenge Erklärung dieses Phänomens wurde unabhängig voneinander von A. Einstein und M. Smoluchowski gegeben. Erwähnenswert ist die Artikelsammlung, in der die Arbeiten von A. Einstein und M. Smoluchowski zur Brownschen Bewegung gesammelt sind. Diese Studien haben einen wesentlichen Beitrag zur Entwicklung der Theorie der Brownschen Bewegung und ihrer experimentellen Überprüfung geleistet. A. Einstein schuf eine molekularkinetische Theorie zur quantitativen Beschreibung der Brownschen Bewegung. Die erhaltenen Formeln wurden durch die Experimente von J. Perrin in den Jahren 1908-1909 bestätigt.

Methode zur Modellierung mehrdimensionaler einstufiger Prozesse.

Um die Evolution von Systemen mit interagierenden Elementen zu beschreiben, gibt es zwei Ansätze - das ist die Konstruktion deterministischer oder stochastischer Modelle. Im Gegensatz zu deterministischen Modellen ermöglichen stochastische Modelle die Berücksichtigung der probabilistischen Natur der Prozesse, die in den untersuchten Systemen auftreten, sowie der Auswirkungen der externen Umgebung, die zufällige Schwankungen in den Modellparametern verursachen.

Untersuchungsgegenstand sind Systeme, deren Abläufe sich durch Einschrittprozesse beschreiben lassen und solche, bei denen der Übergang von einem Zustand in einen anderen mit dem Zusammenwirken von Systemelementen verbunden ist. Ein Beispiel sind Modelle, die die Wachstumsdynamik von interagierenden Populationen beschreiben, wie „Räuber-Beute“, Symbiose, Konkurrenz und deren Modifikationen. Ziel ist es, für solche Systeme SDE aufzuschreiben und den Einfluss der Einführung des stochastischen Anteils auf das Verhalten der Lösung der das deterministische Verhalten beschreibenden Gleichung zu untersuchen.

Chemische Kinetik

Die Gleichungssysteme, die bei der Beschreibung von Systemen mit wechselwirkenden Elementen entstehen, ähneln in vielerlei Hinsicht den Systemen von Differentialgleichungen, die die Kinetik chemischer Reaktionen beschreiben. So wurde beispielsweise das Lotka-Volterra-System ursprünglich von Lotka als ein System abgeleitet, das eine hypothetische chemische Reaktion beschreibt, und erst später leitete Volterra es als ein System ab, das das "Räuber-Beute" -Modell beschreibt.

Die chemische Kinetik beschreibt chemische Reaktionen mit Hilfe der sogenannten stöchiometrischen Gleichungen - Gleichungen, die die quantitativen Verhältnisse der Reaktanten und Produkte einer chemischen Reaktion widerspiegeln und die folgende allgemeine Form haben: wobei die natürlichen Zahlen mі und U stöchiometrische Koeffizienten genannt werden. Dies ist eine symbolische Aufzeichnung einer chemischen Reaktion, bei der ti Moleküle des Reagens Xi, ni2 Moleküle des Reagens Xp, ..., tr Moleküle des Reagens Xp, die in die Reaktion eingetreten sind, u Moleküle der Substanz Yї bilden, u Moleküle des Stoffes I2, ..., nq Moleküle des Stoffes Yq, bzw. .

In der chemischen Kinetik wird angenommen, dass eine chemische Reaktion nur durch die direkte Wechselwirkung von Reagenzien stattfinden kann, und die Geschwindigkeit einer chemischen Reaktion ist definiert als die Anzahl der pro Zeiteinheit pro Volumeneinheit gebildeten Teilchen.

Das Grundpostulat der chemischen Kinetik ist das Massenwirkungsgesetz, das besagt, dass die Geschwindigkeit einer chemischen Reaktion direkt proportional zum Produkt der Konzentrationen der Reaktanten in Potenzen ihrer stöchiometrischen Koeffizienten ist. Wenn wir also mit XI und y I die Konzentrationen der entsprechenden Stoffe bezeichnen, dann haben wir eine Gleichung für die zeitliche Änderungsgeschwindigkeit der Konzentration eines Stoffes infolge einer chemischen Reaktion:

Ferner wird vorgeschlagen, die Grundideen der chemischen Kinetik zu verwenden, um Systeme zu beschreiben, deren zeitliche Entwicklung als Ergebnis der Wechselwirkung der Elemente dieses Systems miteinander erfolgt, wobei die folgenden Hauptänderungen vorgenommen werden: 1. nicht die Reaktionsgeschwindigkeiten berücksichtigt, sondern die Übergangswahrscheinlichkeiten; 2. Es wird vorgeschlagen, dass die Wahrscheinlichkeit eines Übergangs von einem Zustand in einen anderen, der das Ergebnis einer Wechselwirkung ist, proportional zur Anzahl möglicher Wechselwirkungen dieser Art ist; 3. Zur Beschreibung des Systems in diesem Verfahren wird die kinetische Hauptgleichung verwendet; 4. deterministische Gleichungen werden durch stochastische ersetzt. Ein ähnlicher Ansatz zur Beschreibung solcher Systeme findet sich in den Arbeiten. Um die in dem simulierten System ablaufenden Prozesse zu beschreiben, soll es, wie oben erwähnt, Markov-Einschrittprozesse verwenden.

Stellen Sie sich ein System vor, das aus Typen verschiedener Elemente besteht, die auf verschiedene Weise miteinander interagieren können. Bezeichne durch ein Element des -ten Typs, wobei = 1, und durch - die Anzahl der Elemente des -ten Typs.

Lassen (), .

Nehmen wir an, die Datei besteht aus einem Teil. Somit lädt der neue Knoten in einem Interaktionsschritt zwischen dem neuen Knoten, der die Datei herunterladen möchte, und dem Knoten, der die Datei verteilt, die gesamte Datei herunter und wird zum Verteilerknoten.

Let ist die Bezeichnung des neuen Knotens, der Verteilungsknoten und der Wechselwirkungskoeffizient. Neue Knoten können mit Intensität in das System eintreten und verteilende Knoten können es mit Intensität verlassen. Dann sehen das Interaktionsschema und der Vektor r so aus:

Eine stochastische Differentialgleichung in der Langevin-Form erhält man 100 mit der entsprechenden Formel (1.15). weil der Driftvektor A das deterministische Verhalten des Systems vollständig beschreibt, erhalten Sie ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen, die die Dynamik der Anzahl von Neukunden und Samen beschreiben:

So kann je nach Wahl der Parameter der singuläre Punkt einen anderen Charakter haben. Somit ist der singuläre Punkt für /3A 4/I2 ein stabiler Fokus und für die inverse Relation ein stabiler Knoten. In beiden Fällen ist der singuläre Punkt stabil, da durch die Wahl der Koeffizientenwerte Änderungen der Systemvariablen entlang einer von zwei Trajektorien auftreten können. Wenn der singuläre Punkt ein Fokus ist, dann treten im System gedämpfte Oszillationen in der Anzahl der neuen und verteilenden Knoten auf (siehe Abb. 3.12). Und im Knotenfall erfolgt die Annäherung von Zahlen an stationäre Werte in einem vibrationslosen Modus (siehe Abb. 3.13). Die Phasenportraits des Systems für jeden der beiden Fälle sind jeweils in den Grafiken (3.14) und (3.15) dargestellt.